解析函数的孤立奇点

即 f (z) cm(z z0)m c2(z z0)2 c1(z z0)1 c0 c1(z z0 ) (m 1, cm 0)
那末孤立奇点 z0 称为函数 f (z) 的(m级)极点.
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由极点的定义
f (z) cm(z z0)m c2(z z0)2 c1(z z0)1 c0 c1(z z0 )
1 1 z 1 zn1 , 0 z
2!
n!
无负幂项
所以 z 0 为 ez 1 z
的可去奇点.
另解
因为
ez lim
1
lim ez 1,
z0 z
z0
所以 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
9
由于z=0为函数 f (z) (ez 1) 的z 可去奇点， 且当z→0时，f(z)→1，因此可补充定义 f(0)=1，
z0若是f (z)的孤立奇点，则 在 0 z z0 内
f (z) c0 c1(z z0 ) cn(z z0 )n
其和函数F(z)在 z0 处解析.
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无论 f (z) 在 z0 是否有定义, 可补充定义
F (z0 )
c0
lim
zz0
f
(z)
则函数 F(z) 在 z z0 解析.
且当z0为极点时，若级数中负幂的系数c-m≠0 并且cn=0(n=-m-1,-m-2, ∙∙∙), 则称z0为f(z)的m级极点，
一级极点又称为简单极点。
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二、函数各类孤立奇点的充要条件
1 可去奇点
定义 如果Laurent级数中不含z z的0 负幂项, 则称孤立奇点z0 称为f (z的) 可去奇点.
(由于这个Fra Baidu bibliotek因，因此把这样的奇点z0叫做 f(z) 的可去奇点。)
反过来，若 f (z) 在 0 z z0 解析， 且
lim f (z) 存在， 则z0 必是 f (z的) 可去奇点。
z z0
这样得到下面的结论：
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设 f (z)在 0 z z0 R上解析，则 z0 为 f (z)
的可去奇点的充要条件为lim f (z)存在并且是有限值。 zz0 由定义判断: 如果 f (z)在 z0 的 Laurent 级数无负 幂项, 则 z0 为 f (z) 的可去奇点.
函数的孤立奇点及其分类(P193)
一Δ、函数孤立奇点的概念及其分类 二、函数各类孤立奇点的充要条件 三、用函数的零点判断极点的类型 四*、函数在无穷远点的性态
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一Δ 、函数孤立奇点的概念及其分类
定义 如果函数 f (z) 在z0 不解析, 但 f (z)在
z0 的某一去心邻0域 z z0 内处处解析, 则
f (z)
z
3z 2 2(z 2)
,
z 0 是二级极点, z 2 是一级极点.
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由定义判别：f (z) 的Laurent展开式中含有z z0
的负幂项为有限项. 由定义的等价形式判别：在点z0 的某去心邻域内
(z)
f (z) (z z0 )m
其中(z) 在 z的0 邻域内解析, 且 (z0 ) 0.
由有界性判断： 若f(z)在点z0的去心邻域内有界
则 z0 为 f (z) 的可去奇点.
注：函数f(z)的可去奇点z0看作它的解析点，且规
f (z0 ) c0
定
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例 说明 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
解 ez 1 1(1 z 1 z2 1 zn 1)
zz
2!
n!
k k
(k 1, 2, )
即在 z 0 的不论怎样小的去心邻域内, 总有f (z) 的奇点存在, 所以z 0 不是孤立奇点.
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讨论函数在孤立奇点的情况
如果点 z0为函数 f (的z)孤立奇点，则在点 某z去0
心邻域 0 内z 可z0设 的Laurfe(nzt)级数展开式 为
f (z) cn (z z0 )n n
在 z z0 内是解析函数, 且 (z0 ) 0
由此可得：
z0 为函数 f (z) 的m级极点的充要条件是
f
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
这里z0 为函数(z) 的解析点，并且有(z0 ) 0
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由此也得：
z0 为函数 f (z) 的极点的充要条件是
lim f (z) .
zz0
例
有理分式函数
称 z0 为 f (z) 的孤立奇点.
例1
1
z 0 是函数 e z ,
sin z 的孤立奇点.
z 1
是函数 1 z1
z 的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤
立奇点.
2
例2 指出函数f (z)
z
2
1
在点
z
0
的奇点特性.
sin
z
解 函数的奇点为
z 0, z 1
k
因为 lim 1 0，
(z z0)m [ cm cm1(z z0) cn(z z0)nm ] (m 1, cm 0)
记 (z) cm cm1(z z0 ) cn(z z0 )nm
则
f
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
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注意到:
(z) cm cm1(z z0 ) cm2(z z0 )2
使 f(z) 在整个复平面上处处解析。
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例 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
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Schwarz 引理
如果f(z)在单位圆|z|<1内解析，并且满足条件 f(0)= 0,|f(z)|<1 (|z|<1),则在单位圆内恒有：
其中
1 f (z)dz
cn 2i c (z z0 )n1
(n为整数)
C 为该去心邻域内围绕点z0的任一条正向简单闭 曲线。
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定义1 若Laurent级数(5-1-1)中所含(z-z0)的负幂 项的项数分别为
1）零个， 2）有限个， 3）无穷多个， 则分别称z0为f(z)的可去奇点、极点和本性奇点。
|f(z)|≤|z|且有|f'(0)|≤1
特别的，如果上式等号成立或存在圆内一点z0 使得|f(z0)|=|z0 |,则有f(z)= eiαz(|z|<1)
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2 极点
定义 如果Laurent级数中只有有限多个 z z0 的
负幂项, 其中关于 (z z0 )1 的最高幂为 (z z0 )m ,