解析函数的孤立奇点
(优选)解析函数的孤立奇点与留数.
内 ， f(z) 的Laurent 展式为: f (z) C n (z z0 )n n
L为0 z z0 内包含z0的任一条简单闭曲线，
对 上 式 两 边 积 分 得 L
f
(z)dz
2iC1
称
C 1
1
2
i
L
f
( z )dz
为f
(
z
)在z
的
0
留
数
，
记为Res[ f (z), z0 ],即
例2.
z
=
是
f
(z)
(z
1 1)( z
2)
的可去奇点.
z = 是g(z) = (z 1)(z 2) = z2 3z + 2的二级极点.
sin z 1 1 1 z 2
z3
z 2 3! 5!
z 0为f (z)的2级极点, z 为f (z)的本性奇点
四 .留数
设z0 为f(z) 的孤立奇点,在z0 的去心邻域 0 z z0
n
z 为极点
f (z) Cn z（ n R z )只含有限个正幂项 n
z 为m级极点 Cm 0,Cn 0(n m)
lim f (z) z
z 为本性奇点
f (z) Cn z（ n R z )含无穷多个正幂项 n
lim f (z)不存在且不为 z
关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为 原点情况或者利用已知函数的展开式来判定， 当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内 的Laurent展式。
C n z n中z 1的 系 数
n
留数计算法：
(1) 若z0为f (z)的可去奇点,则 Res[ f (z), z0 ] 0
(2) 若z0为f (z)的1级极点,则
4.0解析函数的孤立奇点
其中
( z ) a m a m1 ( z z 0) ( z0 ) 0
z z0
a0 ( z z0 ) m 是解析函数，且
如果z0是f(z)的极点，lim | f ( z ) | 或写作 lim f ( z )
z z0
极点的判定定理 （1）f(z)在奇点z0的去心邻域内的Laurent级数的主要 部分为有限多项； （2）f(z)在z0点的去心邻域0<|z-z0|<R内能表示为如下 ( z) 形式：
f ( z0 ) f '( z0 )
f
( m 1)
( z0 ) 0,
f
( m)
( z0 ) 0
例如：z=0,z=1分别为函数f(z)=z(z-1)3的一级与三级零点。
（2）极点的概念 如果f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域内，Laurent级数中的主 要部分为优先多项（即有限个负幂项），即为
奇点是z=kπ (k=0,±1, ±2, …)，很显然他们都是孤立 奇点，又
(sin z )'| z k cos z | z k (1) 0 1 所以z=kπ都是sin z的一级零点，从而是 的一阶 sin z 极点
k
3.本性奇点 如果f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域的Laurent级数中 主要部分为无限多项（即含无限多个负幂项），则 称z0为f(z)的本性奇点。
2、非孤立奇点
z z0
f ( z)
( z)
二、孤立奇点的分类 奇点
z0
k k k 0 0
∞
| R
k
类型
展开 a ( z z ) ,0 | z z 式
谈解析函数中有限孤立奇点的判定方法
谈解析函数中有限孤立奇点的判定方法有限孤立奇点是一种重要的数学概念，它是一种有限、孤立的特殊点，具有解析函数的性质。
有限孤立奇点的存在及其判断具有重要的理论和应用价值。
本文主要就解析函数中的有限孤立奇点作一深入的研究，主要介绍以下内容：一、有限孤立奇点的定义有限孤立奇点是指一类有限的孤立的点，这些点具有解析函数的性质。
可定义为：若函数f（x）在x=x_0处及它的邻域内无有限值，则称x_0是f（x）的有限孤立奇点。
这里，f（x）一般指定义域上的可导分析函数，并且特征点x_0也要满足函数f（x）在有限范围内无有限值。
二、有限孤立奇点的重要性有限孤立奇点对于解析函数有着重要的意义。
首先，有限孤立奇点可以帮助数学研究人员更加深入地研究函数，从而有助于函数分析。
其次，有限孤立奇点也可以用来分析一些特定问题，比如求解方程。
在应用中，有限孤立奇点的存在也可以提供一种有力的理论基础，涉及到一些数学上的研究，如解析函数的求解、有限元素分析等。
三、有限孤立奇点的判定方法判断一个点是否为有限孤立奇点，有多种方法可以实现。
首先，是通过函数的求导，利用极值定理，从而判断函数是否有孤立的极值点，若是的话，这个点就可能是有限孤立奇点。
其次，还可以利用超参数曲面，观察曲面的拐点以及曲线的行为来判定。
再次，可以利用数值求解的方法，给定函数的定义域，进行穷举，并利用精确数值计算和迭代法，不断收敛，最后达到极值点。
最后，还可以通过分离变量法来进行求解。
四、总结本文讨论了解析函数中有限孤立奇点的判定方法，提出了多种判定方法，以便解析函数中有限孤立奇点的判断。
借助这些方法，可以更深入地了解函数的性质，为函数分析和应用提供有力的理论支持。
第四章-解析函数的孤立奇点--有限点
例 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
11
Schwarz 引理
如果f(z)在单位圆|z|<1内解析，并且满足条件 f(0)= 0,|f(z)|<1 (|z|<1),则在单位圆内恒有：
z z0
这样得到下面的结论：
7
设 f (z)在 0 z z0 R上解析，则 z0 为 f (z)
的可去奇点的充要条件为 lim f (z)存在并且是有限值。 zz0 由定义判断: 如果 f (z)在 z0 的 Laurent 级数无负 幂项, 则 z0 为 f (z) 的可去奇点.
由有界性判断：若f(z)在点z0的去心邻域内有界
z 2! 3!
z
(z) 解析且 (0) 0
所以 z 0不是二级极点, 而是一级极点.
思考
z 0是
sin z z3
的几级极点?
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
19
定理 点 z为0 的f (z) 阶极m 点的充要条件为
z0
是 1的
f (z)
阶m零点。
推论2 若点 z0为函数 fk的(z) 阶m零k点(k=1,2)，则
z
k
是
sin
z的一阶零点，即
1 sin
z
的一阶极点.
21
例3 求下列函数孤立奇点的类型，并指出极点级
数
（2） f2(z) sin z z 12 z 13
解： 显然 z 和1 z是 函1数 的孤f2立(z)奇点，分别取
第2节解析函数的孤立奇点
f (z)
A.这样由定理5.7,函数(z)
1 f (z) A
在K {a}内解析,且以a为本质奇点.
由(1)的结论, 必有一个趋于a的点列{zn}存在,使得
lim
zn a
(
zn
)
.
从而
lim
zn a
f
(zn )
A.
注: 设a为函数f (z)的本质奇点,则无论怎样小的去心邻
域内,函数f (z)可以取任意接近于预先给定的任何数值.
za
即 M 0, 0,使当0 z a 时, f (z) M; 即f (z)在0 z a 内无异于a的零点, 矛盾
故z a为f (z)的本质奇点.
五 Picard定理
1定理5.8(Weierstrass) 如果a为函数f (z)的本质奇点,
则对任何常数A, 不管它是有限还是无穷, 都有一个收
证明 "(1) (2)" 由于
f (z) c0 c1(z a) cn(z a)n (0 z a R)
"(2)
故
lz(i3m)a"f由(z于) licm0
; f (z)
b,
(b
);
za
由函数极限的性质, f (z)在点a的某去心邻域内有界;
"(3) (1)" 设 f (z) M, z K {a}
六 Schwarz定理
如果函数f (z)在单位圆 z 1内解析,并且满足条件
f (0) 0; f (z) 1,( z 1); 则在单位圆 z 1内恒有
f (z) z 且有 f ' (0) 1;
如果上式等号成立,或在圆 z 1内一点z0 0处 前一式的等号成立, 则(当且仅当)
解析函数的孤立奇点
f (z) (z 1)3 (z i )1(z i )1(z 2),
所以, z i 是 f (z) 的1级极点,
z 1 是f (z)的3级极点.
数学学院
例4
求
1 f (z) ez 1
的孤立奇点,
并指出奇点的类型.
解 zk (2k 1) i (k 0, 1, 2, ) 是 ez 1 的零点，
有无穷多个奇点. 1
1
k
o
x
z 0 不是函数 sin 的孤立奇点.
z
数学学院
一. 可去奇点 定义1 如果 f (z)在 0 z z0 内的Laurent
级数中不含有 z z0 的负幂项, 即当 n 1, 2, 3, 时, cn 0, 则称 z0 是 f (z) 的可去奇点.
f (z) c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n .
内解析，则称 z0 是 f (z) 的孤立奇点.
z0
例如 z 0
是函数
1
ez
和
sin z z
的孤立奇点.
o
x
数学学院
1
例1 证明:z 0不是函数 sin 的孤立奇点.
z
证明
令sin 0，得 k , z 1 , k 1, 2,
z
z
k
lim 1 0, k k
y (z)
所以, 0,在0 | z | 内,
数学学院
第五章 留数及其应用
5.1 孤立奇点 主讲人:魏平 教授 数学与统计学院
数学学院
回顾 若 z0 是 f (z) 的孤立奇点，此时 f (z)在圆环域
0 z z0 内解析, 展开为Laurent级数
f (z)
cn (z z0 )n ,
孤立奇点
z 0 是函数 e z , z 1 是函数
1
sin z z
的孤立奇点.
z1
的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点.
例2 指出函数 f ( z ) 解 函数的奇点为
z 0, z 因为 1 k 1 k
z sin
2
在点 z 0 的奇点特性. 1
2
m
,
f ( z ) cm ( z z0 )
c2 ( z z0 )
c 1 ( z z0 )
1
c 0 c1 ( z z 0 )
( m 1, c m 0 )
或写成
f (z)
1 ( z z0 )
m
(z) ,
那么孤立奇点 z 0 称为函数 f ( z ) 的 m 阶(级)极点.
当 n 0时，令 r 0，得 c n 0．即 ( 1 ) 成立．
由定理可得可去奇点的判定方法：
(1) 由Leabharlann 义判断: 如果 f ( z ) 在 z 0 的洛朗级数无负
幂项，则 z 0 为 f ( z ) 的可去奇点.
(2) 判断极限 lim f ( z ) : 若极限存在且为有限值, z z
(2) 由定义的等价形式判别
z 0 是 f ( z )的 m 阶极点 f ( z ) lim ( z z 0 )
z z0
(z)
( z z0 )
m m
f ( z ) cm 0.
0
其中 ( z ) 在 z 0 的邻域内解析, 且 ( z ) 0 .
(3) 利用极限 lim f ( z ) 判断 . z z
解析函数的洛朗展式与孤立奇点
❖ 定义5.3 设 a 是 f z 的孤立奇点，
❖ （ 1 ） 若 主 要 部 分 为 0 ， 则 称 f z 是 的可去奇点 f(z)。
❖ （2）若主要部分为有限多项，则称 a 是
的 f z 极点，此时主要部分的系数必满足
cm 0 此时称a 为 f z 极点 m 阶级点，
亦称为 m 级极点。
❖ 若主要部分有无限多项，则称 a 是f(z)
在
z 1
的（最大）去心邻域
0 z 1 1
内
f z 1 1
z 1 z 2
z
1＋ 1
z
1
1
１
1
z 1n
z 1 n0
❖ 在 z 2 的（最大）去心邻域
0 z 1 1
内
f
z
z
1
2
z
1
2 １
1
1n z 2n
z 2 n0
5.2 解析函数的孤立奇点
❖ １孤立奇点的分类 可去奇点、极点、本性奇点。
亦为 1 的本性奇点。
ez
❖ 6、毕卡定理
❖ 定理5.8 若 a 为 f z 的本性奇
点，则对任意数 （可以是 ），
都有一个收敛于 A 的点列 zn
使
lim
n
f
zn
A
❖ 定理5.9（毕卡大定理） 若a f 为z
的本性奇点，则对每一个 A ，
a 除 掉 可 能 一 个 值A A0 外 ， 必 有 趋 于
的本性奇点。
❖ 2、可去奇点的判断
❖ 定理5.3 设 a 为 f z 的孤立奇点，
则下述等价：
❖ （1）f z 在 a 的主要部分为0；
❖ （2） lim f z b za （３） f z 在点 a 的某去心邻域内 有界。
4.3.2 解析函数的孤立奇点
第四章 级 数 第三节 洛朗展式 8、解析函数的孤立奇点：设函数f (z )在去掉圆心的圆盘)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内确定并且解析，那么我们称0z 为f (z )的孤立奇点。
在D 内，f (z )有洛朗展式,)()(0∑+∞-∞=-=n nnz z z f α其中,...)2,1,0(,)()(2110±±=-=⎰+ρζζζπαC n n n d z f i ρC 是圆)0(||0R z z <<=-ρρ。
例如，0是z e zz z z 12,sin ,sin 的孤立奇点。
一般地，对于上述函数f (z )，按照它的洛朗展式含负数幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：（1）、如果当时n =-1,-2,-3,…，0=n α，那么我们说0z是f (z )的可去奇点，或者说f (z )在0z有可去奇点。
这是因为令00)(α=z f ，就得到在整个圆盘R z z <-||0内的解析函数f (z )。
（2）、如果只有有限个（至少一个）整数n ，使得0≠n α，那么我们说0z是f (z )的极点。
设对于正整数m ，0≠-m α，而当n<-m时，0=n α，那么我们0z 是f (z )的m 阶极点。
按照m=1或m>1，我们也称0z是f (z )的单极点或m 重极点。
（3）、如果有无限个整数n<0，使得0≠n α，那么我们说0z 是f (z )的本性奇点。
例如，0分别是z e zz z z 12,sin ,sin 的可去奇点、单极点及本性奇点。
定理8.1函数f (z )在)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内解析，那么0z是f (z )的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，0)(lim 0α=→z f zz ，其中0α是一个复数。
证明：（必要性）。
由假设，在R z z <-<||00内，f (z )有洛朗级数展式：...)(...)()(0010+-++-+=n n z z z z z f ααα因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R ，所以它的和函数在R z z <-||0内解析，于是显然存在着0)(lim 0α=→z f z z 。
解析函数的孤立奇点
( 0 z z0 ) 其和函数F (z)为在 z0 解析的函数.
(2) 无论 f (z) 在 z0 是否有定义, 补充定义 f (z0 ) c0 , 则函数 f (z) 在 z0 解析.
f
(z)
F(z)
c0
,
, z
z z0 z0
lim
zz0
f
(z)
c0
2) 可去奇点的判定
2!
n!
无负幂项
所以 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
另解 因为 lim ez 1 lim ez 1,
z0 z
z0
所以 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
2. 极点 1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z z0 的
负幂项, 其中关于 (z z0 )1的最高幂为 (z z0 )m ,
f (z) 的 m 级零点. 例6 z 0是函数 f (z) z(z 1)3的一级零点，
z 1是函数 f (z) z(z 1)3的三级零点.
2.零点的判定
如果 f (z) 在 z0 解析, 那末 z0 为 f (z)的 m级 零点的充要条件是
f (n)(z0 ) 0, (n 0,1,2,m 1); f (m)(z0 ) 0.
z
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤
立奇点.
例2 指出函数 f (z)
z2 1
在点
z
0
的奇点特性.
sin
z
解 函数的奇点为
z 0, z 1 (k 1, 2,) k
因为 lim 1 0， k k
即在 z 0 的不论怎样小的去心邻域内, 总有 f (z) 的奇点存在, 所以z 0不是孤立奇点.
5.1.15.1.1孤立奇点
sin z 的可去奇点. z
lim sin z 1 z0 z
2 极点
如果洛朗级数中只含有限多个 z z0 的负幂项，
且其中关于 z z0 1的最高幂为 z z0 m , 则称
孤立奇点 z0 为 f (z) 的 m 级极点.
在 0 z 内，有
ez 1
z3
1 z3
n0
zn n!
1 孤立奇点的分类
以洛朗级数为工具对解析函数的孤立奇点分类
2 留数定理
以留数定理为工具对解析函数的复积分计算
沈阳 理工
留数 大学
孤立奇点
1 孤立奇点的定义 2 孤立奇点的分类
一、孤立奇点的定义
如果函数 f (z) 在 z0 点不解析，但在 z0 点的某个
去心邻域 0 z z0 内处处解析，则称点 z0 为 f (z)
1
1 z2
1 2!z
1 3!
1z 4!
由于展开式中关于 z1 的最高幂为 z2 , 因此 z = 0
为函数 ez 1 的二级极点. z3
3 本性奇点
如果洛朗级数中含有无穷多个 z z0 的负幂项， 则称孤立奇点 z0 为 f (z)的本性奇点.
在 0 z 内，有
sin 1 z1 z3 z5 (1)n1 z(2n1)
根据展开式中负幂项的不同情况将孤立奇点进行分类.
1 可去奇点
如果洛朗级数中不含 z z0 的负幂项， 则称孤立 奇点 z0为 f (z) 的可去奇点.
在 0 z 内，有
sin z 1 (z 1 z3 1 z5 ) 1 1 z2 1 z4
z z 3! 5!
3! 5!
由于展开式中不含 z 的负幂项，因此 z = 0为函数
解析函数的孤立奇点
z0 的某一去心邻域 0 < z z0 < δ 内处处解析, 则 内处处解析,
孤立奇点. 称 z0 为 f (z ) 的孤立奇点. 1 的孤立奇点. 例1 z = 0 是函数 e z , sin z 的孤立奇点 z 1 z = 1 是函数 的孤立奇点. 的孤立奇点 z+1 注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 注意: 孤立奇点一定是奇点, 立奇点. 立奇点
3
讨论函数在孤立奇点的情况 孤立奇点, 如果点 z0 为函数 f (z ) 的孤立奇点,则在点 z0 某去心邻域 0 < z z0 < δ 内可设 f (z ) 的Laurent 级数展开式为
f (z) =
n = ∞
cn ( z z0 )n ∑
+∞
其中
1 f ( z )dz cn = ∫ ( z z0 )n+1 (n为整数 ) 2πi c
思考 z = 0 是
sin z z3
的几级极点? 的几级极点
注意: 注意 不能以函数的表面形式作出结论 .
19
定理 是
点 z0 为
f (z ) 的
阶极点的充要条件 充要条件为 m 阶极点的充要条件为 z0
1 的 f (z)
阶零点. m 阶零点.
推论2 阶零点(k=1,2),则 推论 若点 z0 为函数 f k (z ) 的 m k 阶零点 , 阶零点; z0为函数 f1 ( z ) f 2 ( z ) 的 m1 + m2 阶零点;当 m1 < m2 时, z0为函数
10
例
sin z 1 2 1 4 中不含负幂项, = 1 z + z 中不含负幂项 z 3! 5! sin z z=0是 的可去奇点 . z
解析函数零点与孤立奇点
定义法：将函数f(z)在a处的洛朗级数展开，通过找出负指数项的个数的方法来判断处解析函数的孤立奇点的三种类型.
极限法：通过对函数f(z)在a处的极限求解，即可判断出孤立奇点的类型.即:
当a是函数f(z)的可去奇点时，有lim┬(z→a) f(z)存在但是为有限个;
当a是函数f(z)的极点时，有lim┬(z→a) f(z)=∞;
当n<m时，lim┬(z→z_0 )=f(z)/g(z) =∞.[7]
孤立奇点在复变函数极限求解中主要是利用极点来求解∞/∞型的复变函数求极限问题.如果函数f(z)和g(z)在点z_0的去心邻域：0<|z-z_0 |<R内解析，并且z_0是函数f(z)的n阶极点，是函数g(z)的m阶极点，则有：
当n>m时，lim┬(z→z_0 )=f(z)/g(z) =∞;[8]
解析函数的零点在极限的求解中的应用主要是针对于0/0型的复变函数求极限问题.如果z_0是解析函数f(z)的n阶零点，也是g(z)的m阶零点，则有：
当n>m时，lim┬(z→z_0 )=f(z)/g(z) =0; [5]
当n=m时，lim┬(z→z_0 )=f(z)/g(z) =(f^m (z_0 ))/(g^n (z_0 ) ) ，即是分子、分母展开式中的首项系数之比;[6]
对于孤立奇点的分类，我们主要是以解析函数的洛朗展开式为工具，根据洛朗展开式中的负指数的有无和系数将孤立奇点分为以下三种类型：
对于f(z)在a处的洛朗展开式中负指数项的系数为0，则称a为函数f(z)的可去奇点；
如果f(z)在a处的洛朗展开式中负指数项有无数多项，则称a为函数f(z)的本质奇点；
如果f(z)在a处的洛朗展开式中负指数项存在，则称a为函数f(z)的极点，而且a还是函数f(z)的一阶极点，一阶极点也称为单极点。
5.1孤立奇点解读
一、孤立奇点的定义及分类 二、孤立奇点的判定条件
三、零点与极点的关系
四、函数在无穷远点的性态
§5.1 孤立奇点
定义 5.1 若 z z0 为函数 f ( z )的一个奇点，且存在一 个去心邻域 0 z z0 , f ( z )在其中处处解析，则称 z0为f(z)的孤立奇点. 设z0为f(z)的一孤立奇点，因为在0 z z0 中解析， f(z)可展成z- z0的洛朗级数，即
1 z sin z Res , 0 a 1 . 6 5! z
z dz ，这里C: |z–1|= 3 例5.23 计算积分 2 2 2 ( z 1) ( z 1) C 取正向. z 解：令f(z)= 2 ，则z1=i, z2=–i为f(z)的两个 2 2 ( z 1) ( z 1)
f ( z ) an ( z z0 ) n a n ( z z0 ) n
n 0 n 1
(1)级数中不出现负幂项，此时称点z0为f(z)的可去奇点； (2)级数中只含有有限个负幂项，则点z0称为f(z)的极点； (3)级数中含有无穷多个负幂项，点z0称为f(z)的本性奇点
又g(z)=(z−z0)mf(z)，因而得到
g m1 ( z0 ) 1 d m1 lim m1 m 1! m 1! zz0 d z
(2) 若z0是f(z)的一阶极点，那么
z z
0
m
f ( z) .
Res[ f ( z ), 0] lim( z z0 ) f ( z ).
ez 例5.21 计算f(z)= 在z=0处的留数. sin z
解: P(z)=ez,Q(z)=sinz，于是P(0)=1,Q(0)=0,Q'(0)=1.
解析函数的孤立奇点与留数
)
0,
Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,则
Res[ f
(z),
z0 ]
P(z0 ) Q(z0 )
11
(5) Res[f
2020/7/9
(z),
]
Res[ f
(
z
)
z2
,0]
14
注：1（. 3）中取m 1,即得（2）；
2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m, 也可当作级数为m 来计算。这是因为表达式
i
L
f
( z )dz
为f
(
z
)在z
的
0
留
数
，
记为Res[ f (z), z0 ],即
1
Res[ f (z), z0 ] 2 i L f (z)dz C 1
2020/7/9
12
无穷远点处的留数
设f (z)在无穷远点z 的去心邻域R z 内解析, L为R z 内任一条逆时针方向的 简单闭曲线，则f (z)在处的留数定义为
lim(z
z z0
z0 )k
f
(z)
,0
k
lim(z
zz0
z0 )m
f
(z)
cm ,
m
c-m为有限复常数;
(3) z0为f(z) 的本性奇点：
lim f (z)不存在也不为
zz0
2020/7/9
3
二. 零点与极点的关系
(1) 定义: 若解析函数f(z)能表示成 f(z) = (zz0)m(z),
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例6. 计算
2
I
dx
,其中a > 0且a 1.
0 1 2a cos x a 2
高等数学孤立奇点
课堂练习
求
z3
1 z2
z
1
的奇点,
如果是极点,
指出它的
阶数.
答案
由于
z3
1 z2
z1
1 (z 1)(z 1)2
,
所以 : z 1是函数的一级极点,
z 1是函数的二级极点.
3. 本性奇点
如果洛朗级数中含有无穷多个z z0 的负幂项,
那末孤立奇点 z0 称为 f (z) 的本性奇点.
其中 c0 (z0 ) 0,
从而f (z)在z0的泰勒展开式为 f (z) c0(z z0 )m c1(z z0 )m1 c2(z z0 )m2 展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数
例3 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
例4 说明 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
解 ez 1 1(1 z 1 z2 1 zn 1)
说明: (1) g(z) cm cm1(z z0 ) cm2(z z0 )2 特点: 1. 在 z z0 内是解析函数 2. g(z0 ) 0 (2) 如果 z0 为函数 f (z) 的极点 , 等价于
lim f (z) .
zz0
例5
有理分式函数
f
(z)
z
3z 2 2(z 2)
z
的孤立奇点.
z
z
1是函数
z
1
1
的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤
解析函数孤立奇点的分类
解析函数孤立奇点的分类。
函数孤立奇点是复杂学科数学中概念，它指的是给定函数f（x），在某个合理的定义域内，使得f（x）的导数不存在的点，又称为函数的驻点，孤立奇点。
孤立奇点有各种分类，根据它们的奇性、个数、特征等，可以将它们分为局部奇点、全局奇点、桥点、谷点、极点、波动点、交叉点、分叉点、折点等。
局部奇点指的是一个函数在某个区间上存在一个奇点，此区间除了这一个奇点外，函数f （x）在其余点上都是单调或满足另外一种定义条件。
这种孤立奇点多数出现在非线性函数图像上，由于它是一种极值，具有局部最小或最大的特点，而且只存在于这一个特定的区间，因此也被称为局部奇点。
全局奇点是指在函数f（x）在整个定义域内有一个"孤立"的奇点，此时它既不是极值也不是波动点。
只有一个这样的点，这种奇点称为"全局奇点"。
桥点，也称拱点，是指函数f（x）在某一区间内，其对应的值在两个序列段中，存在一个连续曲线，将每个序列段连接起来，这个点被称为桥点。
谷点指的是函数f（x）本身的一个极值点，即某一区间的函数值处于最低，该点被称为谷点，也被称为凹点。
极点是指一个函数在某一定义域内，函数值变化不灵敏，梯度趋近于零值，这类孤立奇点被称为极点。
交叉点是指在函数f（x）的曲线图上，在某个区间中，函数值有两个连续的极值，这两个极值的中点，被称为交叉点。
分叉点，也叫报分点，是指在函数f（x）的曲线图上，函数值在某个区间开始处为一个极值，在两个区间的中点处变成另一个极值，这样的点就是分叉点。
折点是指在函数f（x）的曲线图上，如果在两个定义域上，函数值有连续极值，而转折点之间有一个孤立点，这个点就是折点。
以上就是函数孤立奇。
如何理解数学中的孤立奇点
孤立奇点1.1 孤立奇点我们把不解析的点称做奇点. 下面我们讨论孤立奇点的定义: 若函数()f z 点0z 不解析，但在0z 的某个去心领域 00||z z r <-<内处处解析，则称0z 为()f z 的孤立奇点.例如,0z =是函数 1()f z z =的孤立奇点.0z =和1z =-都是21()(1)f z z z =+ 的孤立奇点.但并不是所有的奇点都是孤立奇点.如0z =和负实轴上的点都是函数()ln f z z =的奇点.但它们不是孤立奇点. 下面我们看一下函数()f z 在00||z z r <-<内的洛朗展式0()()n n f z C z z +∞-∞=-∑ , (1.1) 101()(0,1,2,)2()p n n C f C d n i z ζζπζ+==±±-⎰ . (1.2) 1.2 孤立奇点的分类根据(1.1)式，可将孤立奇点分为如下几类.1.2.1 可去奇点当(1.1)中0n <时，0n C =，则称孤立奇点0z 为()f z 的可去奇点，即 2010200()()()n n C C z z C z z C z z +-+-++-+ . (1.3) 此时，式(1.2)的和函数()S z 在0z 点解析.当0z z ≠时，()()f z S z =；当0z z =时0()S z C =.但由于0000lim ()lim ()z z z z f z S z C →→===，所以不论()f z 在0z 有无定义.若令00()f z C =，则在0||z z r -< 内有2010200()()()()n n f z C C z z C z z C z z =+-+-++-+ . (1.4) 于是()f z 在0z 点解析.这就是孤立奇点0z 被称可去奇点的原因.例如，sin ()z f z z =，0z =为可去奇点. 这是由于()f z 在0z =的洛朗级数 35111z ()3!5!f z z z z -+（）=24613!5!7!z z z =-+-+ . 中不含负幂项，若约定函数sin ()z f z z =在0z =处的值为0.则函数sin ()z f z z = 在0z =处解析.1.2.2 极点如果只有有限个（至少一个）整数0n <，使得0n C ≠，那么我们说0z 是函数()f z 的极点.如果式(1.1)只含有有限多个0z z -的负幂项，且关于0z z -的最高次幂项为0()m z z --，即1201001020()()()()()m m f z C z z C z z C C z z C z z ----=-++-++-+-+ (1.5) 其中1m ≥，0m C -≠.称孤立奇点0z 为()f z 的m 阶极点. 令21020()+m m m g z C C C --+-+=++ （z-z ）（z-z ）.则(1.4)式可表示为01()=()z-m f z g z （z ），其中()g z 在0||z z r -<内解析，且0()0g z ≠.反之，若(1.4)式成立，则称0z 是()f z 的m 阶极点. 按照1m =或1m >，我们也说0z 是()f z 的单极点或m 重极点. 例如，2()(1)(2)z f z z z =-+，1z =，2z =分别是()f z 的一阶极点和二阶极点. 1.2.3 本性奇点在(1.1)式中如果有无穷多个0z z -的负幂项，则称孤立奇点0z 为()f z 的本性奇点.例如,1()z f z e =,0z =是本性奇点，这是由于()f z 在0z =的去心领域的洛朗级数中含有无穷多个z 的负幂项.不难发现，当z 沿负实轴趋于0时，有10z e →.当z 沿正实轴趋于0时，有1z e →+∞.故01lim z z →不存在，也不为∞.。
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由此可得：
z0 为函数 f (z) 的m级极0 )m
(z)
这里z0 为函数(z) 的解析点，并且有(z0 ) 0
15
由此也得：
z0 为函数 f (z) 的极点的充要条件是
lim f (z) .
zz0
例
有理分式函数
k k
(k 1, 2, )
即在 z 0 的不论怎样小的去心邻域内, 总有f (z) 的奇点存在, 所以z 0 不是孤立奇点.
3
讨论函数在孤立奇点的情况
如果点 z0为函数 f (的z)孤立奇点，则在点 某z去0
心邻域 0 内z 可z0设 的Laurfe(nzt)级数展开式 为
f (z) cn (z z0 )n n
z0若是f (z)的孤立奇点，则 在 0 z z0 内
f (z) c0 c1(z z0 ) cn(z z0 )n
其和函数F(z)在 z0 处解析.
6
无论 f (z) 在 z0 是否有定义, 可补充定义
F (z0 )
c0
lim
zz0
f
(z)
则函数 F(z) 在 z z0 解析.
使 f(z) 在整个复平面上处处解析。
10
例 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
11
Schwarz 引理
如果f(z)在单位圆|z|<1内解析，并且满足条件 f(0)= 0,|f(z)|<1 (|z|<1),则在单位圆内恒有：
即 f (z) cm(z z0)m c2(z z0)2 c1(z z0)1 c0 c1(z z0 ) (m 1, cm 0)
那末孤立奇点 z0 称为函数 f (z) 的(m级)极点.
13
由极点的定义
f (z) cm(z z0)m c2(z z0)2 c1(z z0)1 c0 c1(z z0 )
由有界性判断： 若f(z)在点z0的去心邻域内有界
则 z0 为 f (z) 的可去奇点.
注：函数f(z)的可去奇点z0看作它的解析点，且规
f (z0 ) c0
定
8
例 说明 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
解 ez 1 1(1 z 1 z2 1 zn 1)
zz
2!
n!
其中
1 f (z)dz
cn 2i c (z z0 )n1
(n为整数)
C 为该去心邻域内围绕点z0的任一条正向简单闭 曲线。
4
定义1 若Laurent级数(5-1-1)中所含(z-z0)的负幂 项的项数分别为
1）零个， 2）有限个， 3）无穷多个， 则分别称z0为f(z)的可去奇点、极点和本性奇点。
f (z)
z
3z 2 2(z 2)
,
z 0 是二级极点, z 2 是一级极点.
16
由定义判别：f (z) 的Laurent展开式中含有z z0
的负幂项为有限项. 由定义的等价形式判别：在点z0 的某去心邻域内
(z)
f (z) (z z0 )m
其中(z) 在 z的0 邻域内解析, 且 (z0 ) 0.
(由于这个原因，因此把这样的奇点z0叫做 f(z) 的可去奇点。)
反过来，若 f (z) 在 0 z z0 解析， 且
lim f (z) 存在， 则z0 必是 f (z的) 可去奇点。
z z0
这样得到下面的结论：
7
设 f (z)在 0 z z0 R上解析，则 z0 为 f (z)
的可去奇点的充要条件为lim f (z)存在并且是有限值。 zz0 由定义判断: 如果 f (z)在 z0 的 Laurent 级数无负 幂项, 则 z0 为 f (z) 的可去奇点.
|f(z)|≤|z|且有|f'(0)|≤1
特别的，如果上式等号成立或存在圆内一点z0 使得|f(z0)|=|z0 |,则有f(z)= eiαz(|z|<1)
12
2 极点
定义 如果Laurent级数中只有有限多个 z z0 的
负幂项, 其中关于 (z z0 )1 的最高幂为 (z z0 )m ,
(z z0)m [ cm cm1(z z0) cn(z z0)nm ] (m 1, cm 0)
记 (z) cm cm1(z z0 ) cn(z z0 )nm
则
f
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
14
注意到:
(z) cm cm1(z z0 ) cm2(z z0 )2
且当z0为极点时，若级数中负幂的系数c-m≠0 并且cn=0(n=-m-1,-m-2, ∙∙∙), 则称z0为f(z)的m级极点，
一级极点又称为简单极点。
5
二、函数各类孤立奇点的充要条件
1 可去奇点
定义 如果Laurent级数中不含z z的0 负幂项, 则称孤立奇点z0 称为f (z的) 可去奇点.
函数的孤立奇点及其分类(P193)
一Δ、函数孤立奇点的概念及其分类 二、函数各类孤立奇点的充要条件 三、用函数的零点判断极点的类型 四*、函数在无穷远点的性态
1
一Δ 、函数孤立奇点的概念及其分类
定义 如果函数 f (z) 在z0 不解析, 但 f (z)在
z0 的某一去心邻0域 z z0 内处处解析, 则
1 1 z 1 zn1 , 0 z
2!
n!
无负幂项
所以 z 0 为 ez 1 z
的可去奇点.
另解
因为
ez lim
1
lim ez 1,
z0 z
z0
所以 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
9
由于z=0为函数 f (z) (ez 1) 的z 可去奇点， 且当z→0时，f(z)→1，因此可补充定义 f(0)=1，
称 z0 为 f (z) 的孤立奇点.
例1
1
z 0 是函数 e z ,
sin z 的孤立奇点.
z 1
是函数 1 z1
z 的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤
立奇点.
2
例2 指出函数f (z)
z
2
1
在点
z
0
的奇点特性.
sin
z
解 函数的奇点为
z 0, z 1
k
因为 lim 1 0，