2020年高考数学解答题核心：函数与导数综合问题(专项训练)(教师版)

合集下载

相关主题

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

专题02 函数与导数综合问题（专项训练）

1．(2019·河北武邑中学月考)已知函数f (x )＝2a ln x －x 2

. (1)若a ＝2,求函数f (x )的图象在点(1,f (1))处的切线方程；

(2)若a ＞0,判断函数f (x )在定义域上是否存在最大值或最小值,若存在,求出函数f (x )的最大值或最小值．【答案】见解析

【解析】(1)当a ＝2时,f (x )＝4ln x －x 2

.f ′(x )＝4x

－2x ,f ′(1)＝2,f (1)＝－1,所以函数f (x )的图象在点

(1,f (1))处的切线方程为y ＋1＝2(x －1),即2x －y －3＝0. (2)f ′(x )＝2a x －2x ＝－2（x 2

－a ）

x

,x >0.

令f ′(x )＝0,由a >0,解得x 1＝a ,x 2＝－a (舍去)．当x 在(0,＋∞)上变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表.

无最小值． 2．(2017·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝(1－x 2

)e x

. (1)讨论f (x )的单调性；

(2)当x ≥0时,f (x )≤ax ＋1,求a 的取值范围．【答案】见解析

【解析】(1)f ′(x )＝(1－2x －x 2

)e x

.令f ′(x )＝0,得x ＝－1－2或x ＝－1＋ 2.当x ∈(－∞,－1－2)时,f ′(x )<0；当x ∈(－1－2,－1＋2)时,f ′(x )>0；当x ∈(－1＋2,＋∞)时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,－1－2),(－1＋2,＋∞)上单调递减,在(－1－2,－1＋2)上单调递增．

(2)f (x )＝(1＋x )(1－x )e x

.当a ≥1时,设函数h (x )＝(1－x )e x

,h ′(x )＝－x e x

<0(x >0),因此h (x )在[0,＋∞)上单调递减,而h (0)＝1,故h (x )≤1,所以f (x )＝(x ＋1)h (x )≤x ＋1≤ax ＋1.当0

x

－x －1,g ′(x )＝e x

－1>0(x >0),所以g (x )在[0,＋∞)上单调递增,而g (0)＝0,故e x

≥x ＋1.当0(1－x )(1＋x )2

,(1－x )(1＋x )2

－ax －1＝x (1－a －x －x 2

),取x 0＝

5－4a －1

2

,则x 0∈(0,1),(1－x 0)(1＋x 0)2－ax 0－1＝0,故f (x 0)>ax 0＋1.当a ≤0时,取x 0＝

5－12

,则x 0∈(0,1),f (x 0)>(1－x 0)(1＋x 0)2

＝1≥ax 0＋1.综上,a 的取值范围是[1,＋∞)．

3．已知函数f (x )＝a ln x (a ＞0),e 为自然对数的底数． (1)若过点A (2,f (2))的切线斜率为2,求实数a 的值；

(2)当x ＞0时,求证：f (x )≥a ⎝

e xe -<恒成立,求实数a 的取值范围．【答案】见解析

【解析】(1)由题意得f ′(x )＝a x ,所以f ′(2)＝a

2＝2,所以a ＝4. (2)证明：令g (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －1＋1x (x >0),则g ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x －1x 2.

令g ′(x )>0,即a ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x －1x 2>0,解得x >1；令g ′(x )<0,解得0

上单调递增．

所以g (x )的最小值为g (1)＝0,所以f (x )≥a ⎝

e xe <,化简得x －1a x －1ln x .令h (x )＝x －1ln x ,则h ′(x )＝ln x －1＋1

x （ln x ）2.

由(2)知,当x ∈(1,e)时,ln x －1＋1

x

>0,所以h ′(x )>0,即h (x )在(1,e)上单调递增,所以h (x )

所以a ≥e－1.故实数a 的取值范围为[e －1,＋∞)．

4．(2019·重庆一模)设函数f (x )＝ln x ,g (x )＝ax ＋b

x

－c (a ,b ,c ∈R )．

(1)当c ＝0时,若函数f (x )与g (x )的图像在x ＝1处有相同的切线,求a ,b 的值；

(2)当b ＝3－a 时,若对任意x 0∈(1,＋∞)和任意a ∈(0,3),总存在不相等的正实数x 1,x 2,使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0),求c 的最小值．【答案】见解析

【解析】(1)由f (x )＝ln x ,得f (1)＝0.又f ′(x )＝1x ,所以f ′(1)＝1.当c ＝0时,g (x )＝ax ＋b

,所以g ′(1)＝a －b .因为函数f (x )与g (x )的图像在x ＝1处有相同的切线,所以⎩

(2)当x 0＞1时,则f (x 0)＞0,又b ＝3－a ,设t ＝f (x 0),则题意可转化为方程ax ＋3－a

x

－c ＝t (t ＞0)在(0,＋∞)

上有相异两实根x 1,x 2,即关于x 的方程ax 2

－(c ＋t )x ＋(3－a )＝0(t ＞0)在(0,＋∞)上有相异两实根x 1,x 2.