广东省湛江农垦实验中学2015届高三上学期第一次月考数学理试题 Word版

广东省湛江农垦实验中学2015届高三上学期第一次月考数学理试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋂= A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2、已知复数z 满足(34)25,i z -=则z = A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3、若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n +=A ．6 B.-6 C.0 D.14、若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等C. 实半轴长相等D.焦距相等5、已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成90︒夹角的是A ．（-1,1,0）B. （1,-1,1）C. （0,-1,1）D. （-1,0,1）6、已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了解该地区中下学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 100，10B. 200,10C. 100，20D. 200，20年级7、若空间中四条两两不同的直线1234,,,,l l l l 满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥则下面结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定 8、已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数且当(),0x ∈-∞时，不等式()()'0f x xf x +<成立，若()0.30.333a f =⋅，()()log 3log 3b f ππ=⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则,,a b c 的大小关系是A.c b a >>B.c a b >>C.a b c >>D.a c b >> 二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9、不等式325x x -++≥的解集为 10、曲线5x y e -=在点(0,1)处的切线方程为11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数，则这3个数的平均数是6的概率为 12、在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知cos cos 3b C c B b +=， 则ab= 13、若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119128133a a a a a a e ++=， 则1220ln ln ln a a a +++=（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2cos ρθ=和1ρ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点所在的直线方程为_________15、（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD 中， 点E 在AB 上且3EB AE =，AC 与DE 交于点F ， 则=∆∆的面积的面积AEF CDFCAFD三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且53122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， （1）求A 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）求()f x 在区间()0,π内的最值.17、（本小题满分12分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）求在这25名工人中任意抽取2人，且恰有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率；（3）求在该厂大量的工人中任取4人，至多有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率. 18、（本小题满分14分）如图4，在正方体1111ABCD A BC D -中，O 是1BC 与1B C 的交点 （1）求直线AO 与直线11C D 所成角的余弦值； （2）求直线AO 与平面11BCC B 所成角的正弦值； （2）求二面角1D AC B --的正切值.1A19、（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()()222330,n n S n n S n n n N *-+--+=∈ ①（1）求1a 的值；（2）对①进行因式分解并求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有()()()112211111113n n a a a a a a +++<+++②20、（本小题满分14分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1、F 2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点．(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，证明：k 1·k 2＝1.21、（本小题满分14分） 已知函数()()()22ln f x x a x a R x=-+-∈，讨论函数()f x 的单调性.参考答案DBCDBDDB9.R 10.51y x =-+ 11.7120 12.3 13.50 14.12x = 15.16 16、解：（1）依题意有5523sin sin 12124322f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A =3分）（2）增区间：322,2224244k x k k x k πππππππππ-≤+≤+-≤≤+， 即()f x 的单调增区间为()32244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，（6分） 减区间：3522,2224244k x k k x k πππππππππ+≤+≤++≤≤+， 即()f x 的单调减区间为()52244+k k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，（9分） （3）50,,444x x ππππ<<∴<+<∴当42x ππ+=，即4=x π时，()f x.（12分）注意：单调区间没有写成区间形式每个扣1分；没有写k Z ∈扣一分；求出最小值，扣1分 17、解：（1）12127,2,0.28,0.08n n f f ==== （3分）(全对给3分，部分对给1分) （2）25名工人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为5人，设在这25名工人中任意抽取2人，且恰有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的事件为A ，则()1152022513C C P A C ⋅==（6分） （3）由（1）知，任取一人，日加工零件数落在区间（30,35］的概率为15， 设该厂任取4人，没有人日加工零件数落在区间（30,35］的事件为B ，恰有1人人日加工零件数落在区间（30,35］的事件为C ，则()4414256155625=P B ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（8分），()3141425655625=C =P C ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭，（10分） 故至多有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率为()()256256512625625625P B P C +=+= 答：在该厂任取4人，至多有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率为512625（12分）18、解：（1）3（4分）（2）38分）（3）14分） 注意：本题用传统方法和向量方法皆可，老师们酌情设置给分点. 19、解：（1）12a = （3分）（2）2n a n =（9分） （3）由于()()()()1111111221212122121n n a a n n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++-+-+⎝⎭故②11111111162352121663++n n ⎛⎫<-++-<= ⎪-+⎝⎭左边，即②成立（14分） 20、解：(1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知：c a ＝22，2a ＋2c ＝4(2＋1)，所以a ＝22，c ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，因此b ＝2. 故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.（4分）由题意设等轴双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m 2＝1(m >0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m ＝2， 因此双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.（8分）(2)证明：P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2.因为点P 在双曲线x 2－y 2＝4上，所以x 20－y 20＝4. 因此k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1，即k 1k 2＝1.（14分）21、解：()f x 的定义域为()0,+∞，()2'22x ax f x x-+=（4分） （1）当0a ≤时，()2'220x ax f x x -+=>，()f x 在区间()0,+∞上是增函数；（8分）（2）当0a >时，设()()220g x x ax x =-+>，则二次方程()0g x =的判别式28a ∆=-i ）当280a ∆=-≤时，()220g x x ax =-+≥，()f x 在区间()0,+∞上是增函数；ii ）当280a ∆=->时，二次方程()0g x =有两个不相同的实数根，记为12x x ==，结合函数()g x 的图像可知，()f x 在区间()10,x 和()2,x +∞ 上是增函数，在区间()12,x x 上是减函数.（14分） （也可以用韦达定理说明12120,20x x a x x +=>⋅=>，故12,x x 均为正数）。