三角函数复习题(含答案)

三角函数复习题
1．若tan α＞0，则( )
A ．sin α＞0
B ．cos α＞0
C ．sin 2α＞0
D ．cos 2α＞0 [解析] C 因为sin 2α＝2sin αcos α
sin 2α＋cos 2α＝2tan α
1＋tan 2α
>0，所以选C.
2． 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2
θ＝( )
A ．－45
B ．－35 C.35 D.4
5
[解析] B 方法一：在角θ终边上任取一点P (a ，2a )(a ≠0)，则r 2＝
||OP 2
＝a 2＋(2a )2＝5a 2，
∴cos 2θ＝
a 25a 2
＝15，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35
. 方法二：tan θ＝2a a ＝2，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－3
5.
3.
若sin α＝－5
13，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A.125 B ．－125 C.512 D ．－512
[解析] D 因为α为第四象限角，所以cos α＝1－sin 2α＝1213，tan α＝sin αcos α＝－512.
4.
已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ≤0，f （x －1）＋1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫
－43的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 [解析] C 因为f ⎝⎛⎭⎫43＝f ⎝⎛⎭⎫13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫－23＋2＝ cos ⎝⎛⎭⎫－23π＋2＝cos 23π＋2＝－cos π3＋2＝32
， ⎝⎛⎭⎫－43＝cos ⎝⎛⎭⎫－4π3＝cos ⎝
⎛⎭⎫π＋π3＝－cos π3＝－12，所以f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝1.
5.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π
4中，最小正周期为
π的所有函数为( )
A ．①②③
B ．①③④
C ．②④
D ．①③
[解析] A 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；函数y ＝cos x 位于x 轴上
方的图像不变，将位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y
＝tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．
6.已知ω>0，0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π
4
是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝( )
A.π4
B.π3
C.π2
D.3π
4
[解析] A 由题意，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2⎝
⎛⎭⎪⎫
5π4－π4＝2π，又ω>0，所以ω＝2π
T ＝1.故f (x )＝sin ()x ＋φ.故⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝－1， ①或⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋φ＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5π4＋φ＝1， ②由①得φ＝2k π＋π4()k ∈Z ；由②得φ＝2k π－
3π
4
()
k ∈Z . 又已知0<φ<π，所以由①得φ＝π
4；②无解．
综上，φ＝π
4
.故选A.
7.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4，则( )
A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π
2上单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称
B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π
2上单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称
C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π
2上单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称
D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π
2上单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称
[解析] D f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，
所以y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减，又f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＝2cos π＝－2是最小值．
所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π
2对称．
8.函数y ＝sin x 2的图像是( )
[解析] D 设y ＝f (x )＝sin x 2，则f (－x )＝sin(－x )2＝sin x 2＝f (x )，故f (x )为偶函数，A ，C 不符合．f π2＝sin π22
＝sin π2
4<1，则B 不符合，故选D.
9.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
A ．y ＝sin2x ＋π2
B ．y ＝cos2x ＋π
2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x
[解析] B 选项A ，B ，C 中的函数的最小正周期都是π，选项D 中，y ＝sin x ＋cos x ＝2
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π4的最小正周期是2π，故排除D.选项A 中，y ＝cos 2x 是偶函数；选项B 中，y ＝－sin 2x 为奇函数；选项C 中，y ＝2sin2x ＋π
4
是非奇非偶函数．
10.定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝cos x 的图像的交点个数是________． [解析] 方法一：令sin 2x ＝cos x ，即2sin x cos x ＝ cos x ，解得cos x ＝0或sin x ＝12
，
即x ＝k π＋π2或x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋5
6π(k ∈Z )，又x ∈[0，3π]，故x ＝π2，3π2，5π2或x ＝π6，
5π6，13π6，17π
6
，共7个解，故两个函数的图像有7个交点． 11.若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π
2上是减函数，则a 的取值范围是 ( )
A ．(2，4)
B ．(－∞，2]
C ．(－∞，4]
D ．[4，＋∞) [解析] B f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，由x ∈⎝⎛
⎭
⎫
π6，π2得t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，依题意有g (t )＝－2t 2＋at ＋1在⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，所以a 4≤1
2
，即a ≤2.故选B. 12. 若tan θ＝－1
3
，则cos 2θ＝( )
A ．－45
B ．－15 C.15 D.45
D [解析] cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ
1＋tan 2θ
＝1－191＋19＝45.
13.将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图像向右平移1
4
个周期后，所得图像对应的函数为( )
A ．y ＝2sin(2x ＋π4)
B ．y ＝2sin(2x ＋π
3)
C ．y ＝2sin(2x －π4)
D ．y ＝2sin(2x －π
3
)
D [解析] 函数y ＝2sin(2x ＋
π6)的周期为2π2＝π，将函数 y ＝2sin(2x ＋π
6
)的图像向右平移1
4个周期，即平移π4个单位，所得图像对应的函数为y ＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝2sin(2x －π3). 14． 函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝2sin x 的图像至少向右平移________个单位长度得到． 14.π3 [解析] 函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin （x －π
3
）的图像可由函数y ＝2sin x 的图像至少向右平移π
3
个单位长度得到．
15． 已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________．
15.2 1 [解析] 2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin （2x ＋π
4
）＋1，故A ＝2，b
＝1.
16.若函数f (x )＝4sin x ＋a cos x 的最大值为5，则常数a ＝________．
±3 [解析] 根据题意得f (x )＝16＋a 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a
4，故函数f (x )的最大
值为16＋a 2，则16＋a 2＝5，解得a ＝±3.
17.为了得到函数y ＝sin(x ＋π
3
)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )
A ．向左平行移动π3个单位长度
B ．向右平行移动π
3个单位长度
C ．向上平行移动π3个单位长度
D ．向下平行移动π
3
个单位长度
A [解析] 根据“左加右减”的原则，要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
3的图像，只需把y ＝sin x 的
图像向左平移π
3
个单位长度．
18要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
3的图像( )
A. 向左平移π2个单位长度
B. 向右平移π
2个单位长度
C. 向左平移π4个单位长度
D. 向右平移π
4
个单位长度
C [解析] 易知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6， 故把g (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
3的图像向左
平移π4个单位长度，就可得到f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π
3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像．
19． 设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.
(1)求f (x )的单调递增区间；
(2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像
向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g （π
6）的值．
解：(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )＝3(1－cos
2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin （2x －π
3
）＋3－1.
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
(k ∈Z )，
所以f (x )的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )或（k π－π12，k π＋5π
12）(k ∈Z )．
(2)由(1)知f (x )＝2sin （2x －π
3
）＋3－1，
把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin （x －π
3
）
＋3－1的图像，
再把得到的图像向左平移π
3
个单位，
得到y ＝2sin x ＋3－1的图像， 即g (x )＝2sin x ＋3－1，
所以g （π6）＝2sin π
6
＋3－1＝ 3.
20.已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；
(2)求f (x )的单调递增区间．
解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx
＝2sin(2ωx ＋π
4
)，
所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，π
ω＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π
4
).
函数y ＝sin x 的单调递增区间为[2k π－π2，2k π＋π
2](k ∈Z )，
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
(k ∈Z )，
所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π
8](k ∈Z )．。