直线与方程高考题
高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类平面解析几何(直线与方程)练习(附答案)
高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类平面解析几何（直线与方程）练习一、单选题1．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A B C ．12D ．132．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.93．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+的距离为p =（ ）A ．1B ．2C ．D ．44．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（ ）A．1BC D ．25．（2020ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y =图像上的点，则|OP |=（ ）A ．2B ．5C D6．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（ ） A ．32100x y --= B ．32230x y --= C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=7．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角8．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知双曲线22221(00)x y C a b a b -=>>：，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2 C ．2D ．9．（2018ꞏ北京ꞏ高考真题）在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．410．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是A ．15B ．25C ．45D ．65二、多选题11．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒三、填空题12．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．13．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．14．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．15．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 16．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.四、解答题17．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.18．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．19．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小．．于圆．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．五、双空题20．（2020ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知双曲线22:163x yC-=，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．参考答案1．A【要点分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b +=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【答案详解】[方法一]：设而不求 设()11,P x y ，则()11,Q x y - 则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C的离心率c e a === A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQ k k =-故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=-，故2214b a = 所以椭圆C的离心率c e a === A.2．D【要点分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项.【答案详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===， 依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D 3．B【要点分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【答案详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B. 4．B【要点分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果. 【答案详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -， 当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.【名师点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题. 5．D【要点分析】根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数y =的图象上，即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【答案详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =的图象上，所以，由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==故选：D.【名师点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 6．D【要点分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，代入已知直线即可求得结果.【答案详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，， 则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---， 因为点(2,4)x y ---在直线2360x y +-=上， 所以()()223460x y --+--=即2320x y +-=. 故选：D.7．D【要点分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【答案详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D.8．D【答案详解】要点分析：由离心率计算出ba，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．答案详解：e c a === 1ba∴= 所以双曲线的渐近线方程为x y 0±=所以点（4，0）到渐近线的距离d== 故选D名师点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．9．C【要点分析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +.【答案详解】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ， 所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．10．D【要点分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可. 【答案详解】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l 的距离65d ==,故选D. 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.11．ACD【要点分析】由AF AM =及抛物线方程求得3(42p A ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得(,33p B -，即可求出OB 判断B 选项；由抛物线的定义求出2512pAB =即可判断C 选项；由0OA OB ⋅< ，0MA MB ⋅< 求得AOB ∠，AMB∠为钝角即可判断D 选项.【答案详解】对于A ，易得(,0)2pF ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224p pp +=， 代入抛物线可得2233242p y p p =⋅=，则3()42p A ，则直线AB的斜率为2342p p =-，A 正确；对于B，由斜率为可得直线AB的方程为2px y =+，联立抛物线方程得220y py p -=，设11(,)B x y1p y p +=，则1y =2123p x ⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，解得13p x =，则(,)33p B ，则2p OB OF =≠=，B 错误； 对于C ，由抛物线定义知：325244312p p pAB p p OF =++=>=，C 正确； 对于D，2333(,(,0423343234p p p p p OA OB ⎛⎫⋅=⋅-=⋅+⋅-=-< ⎪ ⎪⎝⎭，则AOB ∠为钝角，又2225()(,)0423343236p p p p p MA MB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-⋅-+⋅=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AMB ∠为钝角，又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠= ，则180OAM OBM ∠+∠< ，D 正确. 故选：ACD.12．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【要点分析】首先求出点A 关于y a =对称点A '的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【答案详解】解：()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=； 圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =， 依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．22(1)(1)5x y -++=【要点分析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【答案详解】[方法一]：三点共圆∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上，∴点M到两点的距离相等且为半径R ， ∴==R ，222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，R=M 的方程为22(1)(1)5x y -++=. 故答案为：22(1)(1)5x y -++= [方法二]：圆的几何性质由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线210xy +-=的交点(1,-1).R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=. 故答案为：22(1)(1)5x y -++= 14【要点分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【答案详解】由已知，3c ==，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.15．()0,1【要点分析】结合导数的几何意义可得120x x +=，结合直线方程及两点间距离公式可得1A x M =，2B x N =，化简即可得解.【答案详解】由题意，()1011,0,xx x e x f x e e x <=⎧---≥⎪=⎨⎪⎩，则()0,,0xx x f x e e x ⎧-⎪=<>⎨'⎪⎩，所以点()11,1x A x e -和点()22,1x B x e -，12,x xAM BN k e k e =-=,所以12121,0x xe e x x -⋅=-+=，所以()()111111,0:,11x x x xe e x x e AM e y M x -+=---+，所以1x AM ==，同理2B x N =,所以()10,1x e N AM B ===∈=. 故答案为：()0,1【名师点睛】关键点名师点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120x x +=，消去一个变量后，运算即可得解. 16．4.【要点分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【答案详解】当直线0x y +=平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小.由2411y x '=-=-，得)x =，y =即切点Q ，则切点Q 到直线0x y +=4=，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.17．（1）AM的方程为2y x =-2y x =（2）证明见解析. 【要点分析】（1）根据l 与x 轴垂直，且过点()1,0F ，求得直线l 的方程为=1x ，代入椭圆方程求得点A的坐标为2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1,2⎛-⎝⎭，利用两点式求得直线AM 的方程； （2）方法一：分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.【答案详解】（1）由已知得()1,0F ，l 的方程为=1x .由已知可得，点A的坐标为1,2⎛ ⎝⎭或1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以AM的方程为2y x =+2y x =. （2）［方法一］：【通性通法】分类＋常规联立 当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=o .当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则12x x <<MA 、MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得()()()12121223422MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--.将()1y k x =-代入2212x y +=得()2222214220k x k x k +-+-=.所以，22121222422,2121k k x x x x k k -+==++. 则()33312122441284234021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+.从而0MA MB k k +=，故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.［方法二］：角平分线定义的应用当直线l 与x 轴重合或垂直时，显然有OMA OMB ∠=∠．当直线l 与x 轴不垂直也不重合时，设直线l 的方程为1x my =+，交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y ． 由22+=12=+1x y x my ⎧⎪⎨⎪⎩得()222210m y my ++-=． 由韦达定理得12122221,22m y y y y m m --+==++． 点A 关于x 轴的对称点()11,N x y -，则直线BN 的方程为()()()()121121y y x x y y x x +-=+-．令=0y ，()()221211212122111212122122222222mm y x x my y y y x y x y m m x x m y y y y y y m -⋅--+++++=+====-++++，则直线BN 过点M ，OMA OMB ∠=∠． ［方法三］：直线参数方程的应用设直线l 的参数方程为=1+cos =sin x t y t αα⎧⎨⎩（t 为参数）．（*）将（*）式代入椭圆方程2212x y +=中，整理得()221sin 2cos 10t t αα++-=．则12211sin t t α-⋅=+，1222cos 1sin t t αα+=-+． 又()()11221cos ,sin ,1cos ,sin A t t B t t αααα++，则MA MB k k +=1212sin sin 1cos 21cos 2t t t t αααα+=+-+-1212sin sin cos 1cos 1t t t t αααα+=--()(()()122112sin cos 1+sin cos=cos 1cos 1t t t t t t αα-αα-α-()()()1212122sin cos sin cos 1cos 1t t t t t t ααααα-+=--()()22122sin cos 2sin cos 1sin 1sin 0cos 1cos 1t t αααααααα-+++=--， 即MA MB k k =-．所以OMA OMB ∠=∠． ［方法四］：【最优解】椭圆第二定义的应用 当直线l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当直线l 与x 轴不重合时，如图6，过点A ，B 分别作准线=2x 的垂线，垂足分别为C ，D ，则有AC BD x ∥∥轴．由椭圆的第二定义，有e AF AC=，||e ||BF BD =，得||||||||AF BF AC BD =，即||||||||AF AC BF BD =．由AC BD x ∥∥轴，有||||||||AF BF CM DM =，即||||||||AF CM BF DM =，于是||||||||AC CM BD DM =，且90ACM BDM ∠=∠=︒．可得AMC BMD ∠=∠，即有∠=∠AMO BMO ．［方法五］：角平分线定理逆定理＋极坐标方程的应用椭圆22:12x C y +=以右焦点为极点，x轴正方向为极轴，得ρ=设()()12,,,A B ρθρθπ+．22221122||12cos ,||12cos AM BM ρρθρρθ=+-=++．所以1||||AM AF ==2||||BM BF ==由角平分线定理的逆定理可知，命题得证． ［方法六］：角平分线定理的逆定理的应用设点O （也可选点F ）到直线,MA MB 的距离分别为12,d d ，根据角平分线定理的逆定理，要证OMA OMB ∠=∠，只需证12d d =． 当直线l 的斜率为0时，易得120d d ==．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x my A x y B x y =+．由方程组22+=1,2=+1,x y x my ⎧⎪⎨⎪⎩得()222210,Δ0m y my ++-=>恒成立，12222m y y m +=-+．12212y y m =-+． 直线MA 的方程为：()1111220,y x x y y d ---==因为点A 在直线l 上，所以111x my =+，故1d =同理，2d =()()()()12121222122222112242121121y y y y my y d d m y my m y my -+-⎡⎤⎣⎦-=⎡⎤⎡⎤+-++-+⎣⎦⎣⎦．因为()121222222022m m y y my y m m +-=-+=++，所以22120d d -=，即12d d =． 综上，OMA OMB ∠=∠．［方法七］：【通性通法】分类＋常规联立当直线l 与x 轴重合或垂直时，显然有OMA OMB ∠=∠．当直线l 与x 轴不垂直也不重合时，设直线l 的方程为1x my =+，交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y ．由22+=12=+1x y x my ⎧⎪⎨⎪⎩得()222210m y my ++-=． 由韦达定理得12122221,22m y y y y m m --+==++． 所以()()()1212121212121220221111MA MB my y y y y y y y k k x x my my my my -++=+=+==------， 故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. ［方法八］：定比点差法设()0,1AF FB λλ=≠± ，()()1122,,,A x y B x y ，所以1212+1=1++0=1+x x y y λλλλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由22112222222+=12+=2x y x y λλλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩作差可得，()12121212112111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⨯+⨯=+-+-，所以， ()1221x x λλ-=-，又121x x λλ+=+，所以，()121113,322x x λλ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()1222120111221122MA MB y y y y k k x x λλλ-+=+=+=--⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.当1λ=时，l 与x 轴垂直，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠. 故OMA OMB ∠=∠．【整体点评】（2）方法一：通过分类以及常规联立，把角相等转化为斜率和为零，再通过韦达定理即可实现，是解决该类问题的通性通法；方法二：根据角平分线的定义可知，利用点A 关于x 轴的对称点N 在直线BM 上，证直线AN 过点M 即可；方法三：利用直线的参数方程证明斜率互为相反数；方法四：根据点M 是椭圆的右准线=2x 与x 轴的交点，用椭圆的第二定义结合平面几何知识证明，运算量极小，是该题的最优解；方法五：利用椭圆的极坐标方程以及角平分线定理的逆定理的应用，也是不错的方法选择； 方法六：类比方法五，角平分线定理的逆定理的应用； 方法七：常规联立，同方法一，只是设直线的方程形式不一样； 方法八：定比点差法的应用．18．（1）112y x =+或112y x =--；（2）证明见解析.【要点分析】（1）根据题意可得直线l 的方程为=2x ，从而得出点M 的坐标为()2,2或()2,2-，利用两点式求得直线BM 的方程；（2）方法一：设直线l 的方程为2x ty =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线BM 、BN 的斜率之和为零，从而得出所证结论成立.【答案详解】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为=2x ，可得M 的坐标为()2,2或()2,2-． 所以直线BM 的方程为112y x =+或112y x =--；（2）［方法一］：【通性通法】韦达定理＋斜率公式 设l 的方程为2x ty =+，()11,M x y 、()22,N x y ，由2=+2=2x ty y x ⎧⎨⎩，得2240y ty --=，可知122y y t +=，124y y =-． 直线BM 、BN 的斜率之和为()()()()()()()()21122112121212122244222222BM BN x y x y ty y ty y y yk k x x x x x x +++++++=+==++++++()()()()()()1212121224244202222ty y y y t tx x x x ++⨯-+⨯===++++，所以0BM BN k k +=，可知BM 、BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠. ［方法2］：【最优解】斜率公式＋三点共线的坐标表示因为M ，N 在抛物线上，可设()2112,2M t t ，()2222,2N t t ，故()21122,2AM t t =- ，()22222,2AN t t =- ．而A ，M ，N 共线，故AM AN ∥，即()()2221122222220t t t t -⋅--⋅=，化简得()()1221410t t t t +-=．而M ，N 是不同的点，故12t t ≠，可得1210t t +=．这样()()()()121212222212121220222211BM BN t t t t t t k k t t t t +++=+==++++．故ABM ABN ∠=∠． 【整体点评】（2）方法一：通过联立方程得出根与系数的关系，再直接使用斜率公式化简即可证出，是此题问题的通性通法；方法二：通过设点，根据三点共线的坐标表示寻找关系，再利用斜率公式化简证出，省略了联立过程，适当降低了运算量，是此类问题的最优解． 19．（1）15（百米）； （2）见解析；（3）17+. 【要点分析】解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .利用几何关系即可求得道路PB 的长； （2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P 和点B 的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB 的长；（2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案详解】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====. 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQ===此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3. 因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为3 4 .因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为43 -，直线PB的方程为42533 y x=--.所以P（−13，9），15PB==.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：36(44)4y x x=-+-剟.在线段AD上取点M（3，154），因为5OM=<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时()113,9P -；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识要点分析和解决实际问题的能力.20． ()3,0【要点分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【答案详解】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，所以，双曲线C.故答案为：()3,0【名师点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.。
直线和正方形的方程十年高考题(含答案)
直线和正方形的方程十年高考题(含答案)这份文档将为您提供过去十年高考题中与直线和正方形方程相关的问题以及它们的答案。
以下是一些典型的问题和解答：直线方程问题题目1已知一条直线的斜率为2，过点（3, 4）。
请写出该直线的方程。
解答1这条直线的斜率为2，过点（3, 4）。
使用点斜式可以得到方程：$y - y_1 = m(x - x_1)$代入斜率$m=2$和点坐标$(x_1, y_1)=(3, 4)$可得：$y - 4 = 2(x - 3)$方程化简后即为所求的直线方程。
题目2已知直线通过点（1, -2）和（4, 6），请写出该直线的方程。
解答2这条直线通过点（1, -2）和（4, 6）。
使用两点式可以得到方程：$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$代入点坐标$(x_1, y_1)=(1, -2)$和$(x_2, y_2)=(4, 6)$可得：$\frac{y - (-2)}{6 - (-2)} = \frac{x - 1}{4 - 1}$方程化简后即为所求的直线方程。
正方形方程问题题目1已知正方形的对角线长度为5，求其边长。
解答1正方形的对角线长度等于边长的√2倍。
设正方形的边长为x，则有：$x\sqrt{2} = 5$解方程可得：$x = \frac{5}{\sqrt{2}}$化简后即为所求的正方形的边长。
题目2已知正方形的周长为20，求其面积。
解答2正方形的周长等于4倍的边长。
设正方形的边长为x，则有：$4x = 20$解方程可得：$x = 5$正方形的面积等于边长的平方，所以面积为：$x^2 = 5^2 = 25$化简后即为所求的正方形的面积。
以上就是一些与直线和正方形方程相关的高考题及其答案。
希望对您有所帮助。
直线与方程高考题
直线与圆专题复习、直线方程的几种形式1.一般式：ax+by+c=0, a ≠ 02.点斜式：V-V 仁k(x-x1)3.斜截距式y=k X+ b4.两点式：V - V1X-X1—V2 - V1X^- x〔5.截距式：XV a b=16、点向式：X-X1V - V1V1V27、点法式：A(X -xj B(y -％ ) = 0二、圆的方程1、圆的规范方程：(x-a f+(y-bf =r22、圆的一般方程：χ2 y2 DX Ey= O三、直线与直线关系、直线与圆的关系1、直线与直线平行的判断及其应用2、直线与直线垂直的判断及其应用3、直线与直线相交的判断及其应用4、直线关于直线的对称直线的方程5、圆与圆的位置关系及其判断及应用6、直线与圆的位置关系及其应用实战演练：1.(安徽高考)直线「过点(-1，2)且与直线2x-3y+4=0垂直，则「的方程是A. 3x+2y-l= 0B.3X+2)+7=0C. 2ι3y+5=0D.2ι3y+8 = 02.(上海高考)已知直线lι :(k -3)x ∙(4 -k)y ^0,与∣2 : 2(k -3)x-2y • 3 = 0,平行，则K得值是( )(A) 1 或 3 ( B) 1 或 5 (C) 3 或5 (D) 1 或23.若直线m被两平行线l i：x-y ∙ 1 = 0与∣2 : x - y，3 = 0所截得的线段的长为2 2 ,则m的倾斜角可以是：①15②30③45④60⑤75其中正确答案的序号是.(写出所有正确答案的序号)X V4.若直线1通过点M (cos ：• ,sin ：•),则( )a b2 2 2 2 1 1 1 1A. a b ≤ 1B. a b ≥ 1C. J2J2≤ 1D. J2U2≥ 1a b a b 5在直线的斜率为（A. 3B. 2 C . -136、直线X -2y • 1 = O关于直线x=1对称的直线方程是（）A. x 2y-1=0B. 2x y -1=0C. 2x y-3= 0D. x 2y-3=07、I i、∣2、∣3是同一平面内的三条平行直线，∣1与∣2间的距离是1, 12与13间的距离是2,正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ ABC的边长是（）—X___________ I___ J(A)2、3 ( B) 4 6(C)3、17(D) 2方343——良8经过圆x2 2x y^0的圆心C ,且与直线x ^0垂直的直线方程是9、（2008江苏高考）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为A（0, a）, B（b,0）, C（c,0）,点P（0, P）在线段OA上（异于端点），设a,b,c, P均为非零实数，直线BP,CP分别交AC, AB于点E,1lχ+'丄—丄y = 0 ,请你求OF的方程：。
高考数学《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》真题含答案
高考数学《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》真题含答案一、选择题1．直线经过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率k 为( )A ．23B ．32C ．－23D ．－32答案：C解析：k ＝0－23－0 ＝－23 .2．直线x ＋ 3 y ＋1＝0的倾斜角是( )A ．π6B ．π3C ．23 πD ．56 π答案：D解析：由x ＋ 3 y ＋1＝0，得y ＝－33 x －33 ，∴直线的斜率k ＝－33 ，其倾斜角为56 π.3．已知直线l 过点P(－2，5)，且斜率为－34 ，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案：A解析：由点斜式得y －5＝－34 (x ＋2)，即：3x ＋4y －14＝0．4．已知直线l 的倾斜角为α、斜率为k ，那么“α>π3 ”是“k> 3 ”的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：∵当π2 <α<π时，k<0，∴α>π3 D ⇒/k> 3 ； 当k> 3 时，π3 <α<π2 ，∴k> 3 ⇒π3 <α<π2 ，∴α>π3是k> 3 的必要不充分条件． 5．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ． 3 x －y ＋1＝0B ． 3 x －y － 3 ＝0C ． 3 x ＋y － 3 ＝0D ． 3 x ＋y ＋ 3 ＝0答案：D解析：由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3 .又直线过点(－1，0)，由点斜式可知y ＝－ 3 (x ＋1)，即： 3 x ＋y ＋ 3 ＝0.6．经过点P(1，2)且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程为( )A ．2x －y ＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0或2x －y ＝0D ．x ＋y －3＝0或2x －y ＝0答案：D解析：若直线过原点，则直线方程为y ＝2x ，若直线不过原点，设所求的直线方程为x ＋y ＝m ，又P(1，2)在直线上，∴1＋2＝m ，∴m ＝3，即：x ＋y ＝3.7．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab>0，bc<0B ．ab>0，bc>0C ．ab<0，bc>0D ．ab<0，bc<0答案：A解析：ax ＋by ＋c ＝0可化为y ＝－a b x －c b ，又直线过一、二、四象限，∴－a b<0且－c b>0，即ab>0，bc<0. 8．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π)B ．⎣⎡⎦⎤0，π4 ∪⎣⎡⎭⎫34π，π C ．⎣⎡⎦⎤0，π4 D ．⎣⎡⎦⎤0，π4 ∪⎝⎛⎭⎫π2，π 答案：B解析：设直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，由题意得tan θ＝－sin α∈[－1，1]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π4 ∪⎣⎡⎭⎫34π，π .9．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤34，2B ．⎝⎛⎦⎤－∞，34 ∪[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1，2]答案：B解析：直线kx －y ＋1－k ＝0恒过P(1，1)，k PA ＝2，k PB ＝34，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，34 ∪[2，＋∞).二、填空题10．若A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a 的值为________．答案：4解析：由题意得k AC ＝k BC ，∴5－36－4 ＝5－a 6－5，得a ＝4. 11．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为________．答案：45°解析：y′＝3x 2－2，当x ＝1时，该曲线的导函数值为1，∴k ＝1，其倾斜角为45°.12．过点M(－2，m)，N(m ，4)的直线的斜率为1，则m ＝________.答案：1解析：由题意得，4－m m ＋2＝1，得m ＝1.。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(直线与方程)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（直线与方程）练习一. 基础小题练透篇1．过点P (3 ，－23 )且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．3x －y －43 ＝0 B ．x －y －3 ＝0 C ．x ＋y －3 ＝0 D ．x ＋y ＋3 ＝02．直线l ：x ＋3 y ＋1＝0的倾斜角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°3．[2023ꞏ河北示范性高中开学考]“λ＝3”是“直线(2λ－3)x ＋(λ＋1)y ＋3＝0与直线(λ＋1)x －λy ＋3＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．[2023ꞏ广东韶关月考]过点M ()－1，－2 ，在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0C ．y ＝x －1D ．x ＋y ＋3＝0或y ＝x －15．[2023ꞏ湖北省质量检测]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x ＋2y ＋1＝0和x ＋2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x －4y ＋c 1＝0和3x －4y ＋c 2＝0，则|c 1－c 2|＝( )A ．23B ．25C ．2D ．46．[2023ꞏ杭州市长河高级中学期中]已知直线l 过点P ()2，4 ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y －8＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －10＝0D ．2x －y ＝0或2x ＋y －8＝07．经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．8．[2023ꞏ宁夏银川月考]已知直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，则它们之间的距离是________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ江苏泰州调研]已知直线l ：x ＋()a －1 y ＋2＝0，l 2：3 bx ＋y ＝0，且l 1⊥l 2，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．14B ．12C ．22 D ．13162．[2023ꞏ河北邢台市月考]下列四个命题中，正确的是( ) A ．直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为2 B ．直线y ＝0的倾斜角和斜率均存在C ．若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行D ．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等3．[2023ꞏ福建宁德质量检测]已知点A (－2，1)和点B 关于直线l ：x ＋y －1＝0对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C .若△ABC 的面积为2，则实数k 的值为( )A ．3或13 B ．0C ．13 D ．34．[2023ꞏ云南大理检测]设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 面积的最大值是( )A ．25B ．5C ．52 D ．55．[2023ꞏ重庆黔江检测]在平面直角坐标系中，△ABC 的一个顶点是A (－3，1)，∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为________.6．[2023ꞏ云南楚雄期中]已知平面上一点M (5，0)，若直线l 上存在点P ，使|PM |＝4，则称该直线为点M 的“相关直线”，下列直线中是点M 的“相关直线”的是________．(填序号)①y ＝x ＋1；②y ＝2；③4x －3y ＝0；④2x －y ＋1＝0.三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ全国卷Ⅱ]若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55 B ．255 C ．355 D ．4552．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3．[北京卷]在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．[2019ꞏ江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ武汉调研]已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．2．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求：(1)点A 和点C 的坐标； (2)△ABC 的面积．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以直线方程为y ＋23 ＝－（x －3 ），即x ＋y ＋3 ＝0. 2．答案：D答案解析：由l ：x ＋3 y ＋1＝0可得y ＝－33 x －33 ，所以直线l 的斜率为k ＝－33 ，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－33，因为0°≤α<180°，所以α＝150°. 3．答案：A答案解析：∵直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直，∴（2λ－3）（λ＋1）－λ（λ＋1）＝0，∴λ＝3或－1， 而“λ＝3”是“λ＝3或－1”的充分不必要条件，∴“λ＝3”是“直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A. 4．答案：B答案解析：当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为x ＋y ＝a ， 因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得a ＝－3，即x ＋y ＋3＝0； 当所求直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得k ＝2，即2x －y ＝0， 综上可得，所求直线的方程为2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0. 故选B. 5．答案：B答案解析：设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝03x －4y ＋c 2＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c 2＋25y ＝c 2－310，故A （－c 2＋25 ，c 2－310 ），同理设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为B ，则B （－c 1＋25 ，c 1－310），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为C ，则C （－c 1＋65 ，c 1－910），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为D ，则D （－c 2＋65 ，c 2－910），由菱形的性质可知BD ⊥AC ，且BD ，AC 的斜率均存在，所以k BD ·k AC ＝－1，则c 1－310－c 2－910－c 1＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2＋65 ·c 2－310－c 1－910－c 2＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 1＋65 ＝－1，即36－（c 2－c 1）24[]16－（c 2－c 1）2 ＝－1，解得|c 1－c 2|＝25 .6．答案：D答案解析：若直线l 经过原点，满足条件，可得直线l 的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；若直线l 不经过原点，可设直线l 的方程为x a ＋y2a＝1()a ≠0 ，把点P ()2，4 代入可得2a ＋42a ＝1，解得a ＝4，∴直线l 的方程为x 4 ＋y8＝1，即2x ＋y －8＝0，综上可得直线l 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －8＝0. 故选D.7．答案：4x －3y ＋9＝0答案解析：方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79即交点为（－53 ，79），∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79 ＝43 （x ＋53），即4x －3y ＋9＝0.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 可解得交点为（－53 ，79 ），代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9，故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 方法三 由题意可设所求直线方程为（2x ＋3y ＋1）＋λ（x －3y ＋4）＝0，即（2＋λ）x ＋（3－3λ）y ＋1＋4λ＝0 ① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴3（2＋λ）＋4（3－3λ）＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.8．答案：2答案解析：∵直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，∴m ＝8，6x ＋8y －14＝0可化为3x ＋4y －7＝0.∴它们之间的距离为|3－（－7）|32＋42＝2.二 能力小题提升篇1．答案：A答案解析：l 1⊥l 2，则3 b ＋a －1＝0，∴a ＝1－3 b ， 所以a 2＋b 2＝()1－3b 2＋b 2＝4b 2－23 b ＋1，二次函数的抛物线的对称轴为b ＝－－232×4 ＝34，当b ＝34 时，a 2＋b 2取最小值14. 故选A. 2．答案：B答案解析：对于直线3x ＋y ＋2＝0，令x ＝0得y ＝－2，所以直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为－2，故A 错误；直线y ＝0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B 正确；若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行或重合，所以C 错误；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D 错误．故选B. 3．答案：B答案解析：设点B （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋2＝1，x －22＋y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3， 则B （0，3）.由已知可得直线m 的方程为y －1＝k （x ＋2），与方程x ＋y －1＝0联立， 解得x ＝－2k k ＋1，y ＝3k ＋1k ＋1 ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k ＋1，3k ＋1k ＋1 . 由已知可得直线AB 的方程为y －1＝x ＋2，即y ＝x ＋3，且|AB |＝22 ， 则点C 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k k ＋1－3k ＋1k ＋1＋32 ＝|2－2k |2|k ＋1|， 所以S △ABC ＝12 ×22 ·|2－2k |2|k ＋1|＝2，即|1－k |＝|k ＋1|（k ≠－1），解得k ＝0. 4．答案：C答案解析：动直线x ＋my ＝0，令y ＝0，解得x ＝0，因此此直线过定点A （0，0）. 动直线mx －y －m ＋3＝0，即m （x －1）＋3－y ＝0，令x －1＝0，3－y ＝0，解得x ＝1，y ＝3，因此此直线过定点B （1，3）.当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P （0，3），S △PAB ＝12 ×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．设|PA |＝a ，|PB |＝b ，∵|AB |＝12＋32 ＝10 ，∴a 2＋b 2＝10.又a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝5 时等号成立．∴S △PAB ＝12 |PA |·|PB |＝12 ab ≤52.综上，△PAB 的面积最大值是52.5．答案：2x －y －5＝0答案解析：因为∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，所以直线AB 与直线BC 关于直线x ＝0对称，直线AC 与直线BC 关于直线y ＝x 对称．则点A （－3，1）关于直线x ＝0对称的点A ′（3，1）在直线BC 上，点A （－3，1）关于直线y ＝x 对称的点A″（1，－3）也在直线BC上，所以由两点式得直线BC的方程为y＋31＋3＝x－13－1，即y＝2x－5.6．答案：②③答案解析：①点M到直线y＝x＋1的距离d＝|5－0＋1|12＋（－1）2＝32>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故①不是点M 的“相关直线”．②点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故②是点M的“相关直线”．③点M到直线4x－3y＝0的距离d＝|4×5－3×0|42＋（－3）2＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故③是点M的“相关直线”．④点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝|2×5－0＋1|22＋（－1）2＝1155>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故④不是点M的“相关直线”．三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：设圆心为P（x0，y0），半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点（2，1），∴x0＝y0＝r且（2－x0）2＋（1－y0）2＝r2，∴（r－2）2＋（r－1）2＝r2，解得r＝1或r＝5.①r＝1时，圆心P（1，1），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|2－1－3|22＋（－1）2＝255；②r＝5时，圆心P（5，5），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|10－5－3|22＋（－1）2＝255.2．答案：B答案解析：方法一 点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离为d＝|k·0－（－1）＋k|k2＋1＝|k＋1|k2＋1，注意到k2＋1≥2k，于是2（k2＋1）≥k2＋2k＋1＝|k＋1|2，当且仅当k＝1时取等号．即|k＋1|≤k2＋1·2，所以d＝|k＋1|k2＋1≤2，故点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为2.方法二 由题意知，直线l：y＝k（x＋1）是过点P（－1，0）且斜率存在的直线，点Q（0，－1）到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得，此时k＝1，最大距离为|PQ|＝2.3．答案：C答案解析：由题意可得d＝|cos θ－m sin θ－2|m2＋1＝|m sin θ－cos θ＋2|m2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m2＋1（mm2＋1sin θ－1m2＋1cos θ）＋2m2＋1＝|m2＋1sin （θ－φ）＋2|m2＋1（其中cos φ＝mm2＋1，sin φ＝1m2＋1），∵－1≤sin （θ－φ）≤1，∴|2－m 2＋1|m 2＋1 ≤d ≤m 2＋1＋2m 2＋1 ，m 2＋1＋2m 2＋1 ＝1＋2m 2＋1，∴当m ＝0时，d 取最大值3.4．答案：4答案解析：通解 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋4x ，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2 ≥22x ·4x 2＝4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝2 时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.优解 由y ＝x ＋4x （x >0）得y ′＝1－4x 2 ，令1－4x2 ＝－1，得x ＝2 ，则当点P 的坐标为（2 ，32 ）时，点P 到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为|2＋32|2＝4. 四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）易知点A 到直线x －2y ＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.由题意得|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2 ＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点为P （2，1），如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A到l 的距离，则d ≤|PA |（当l ⊥PA 时等号成立）.∴d max ＝|PA |＝10 .2．答案解析：（1）由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得点A （－1，0）.又直线AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，所以AC 所在的直线方程为y ＝－（x ＋1）. 已知BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率为－2，故BC 所在的直线方程为y －2＝－2（x －1）.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－（x ＋1），y －2＝－2（x －1）， 得点C 的坐标为（5，－6）.（2）因为B （1，2），C （5，－6），所以|BC |＝（1－5）2＋（2＋6）2＝45 ，点A（－1，0）到直线BC：y－2＝－2（x－1）的距离为d＝|2×（－1）－4|5＝65，所以△ABC的面积为12×45×65＝12.。
历年高考数学真题精选34 直线与方程
历年高考数学真题精选（按考点分类）专题34 直线与方程（学生版）一．选择题（共5小题）1．（2018•北京）在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．（2014•四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是( ) A ．[5，25]B ．[10，25]C ．[10，45]D ．[25，45]3．（2013•全国）斜率为(0)k k >的直线沿x 轴的正方向平移5个单位，平移后的直线与原直线之间的距离为4，则(k = ) A ．53B ．43C ．34 D ．354．（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC 中，4AB AC ==，点P 是边AB 边上异于AB 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图），若光线QR 经过ABC ∆的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1C ．83D ．435．（2013•新课标Ⅱ）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．21(1)2-C ．21(1]3-D ．11[,)32二．填空题（共6小题）6．（2020•上海）已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则11与2l 的距离为 ． 7．（2015•全国）点(3,1)-关于直线0x y +=的对称点为 ．8．（2014•四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ．则||||PA PB 的最大值是 ．9．（2013•四川）在平面直角坐标系内，到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是 ．10．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1(0)y x x=>图象上一动点，若点P ，A 之间的最短距离为a 的所有值为 ． 11．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy 中，若直线121:(x s l s y s =+⎧⎨=⎩为参数）和直线2:(21x atl t y t =⎧⎨=-⎩为参数）平行，则常数a 的值为 ．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题34 直线与方程（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2018•北京）在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意d ==1tan ym x α==，∴当sin()1θα-=-时，13max d =+．d ∴的最大值为3．2．（2014•四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．，【答案】B【解析】由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ， 动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过点定点(1,3)B ， 动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=的斜率之积为1-，始终垂直，P 又是两条直线的交点，PA PB ∴⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==．设ABP θ∠=，则||PA θ=，||PB θ=，由||0PA 且||0PB ，可得[0θ∈，]2π||||cos ))4PA PB πθθθ∴++=+，[0θ∈，]2π，[44ππθ∴+∈，3]4π，sin()4πθ∴+∈，1]，)4πθ∴+∈3．（2013•全国）斜率为(0)k k >的直线沿x 轴的正方向平移5个单位，平移后的直线与原直线之间的距离为4，则(k=)A．53B．43C．34D．35【答案】B【解析】设斜率为(0)k k>的直线为y kx b=+，把它沿x轴的正方向平移5个单位，得到直线(5)y k x b=-+，根据平移后的直线与原直线之间的距离为4，可得241k=+，求得43k= 4．（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，4AB AC==，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过ABC∆的重心，则AP等于()A．2B．1C．83D．43【答案】D【解析】建立如图所示的坐标系：可得(4,0)B，(0,4)C，故直线BC的方程为4x y+=，ABC∆的重心为004(3++，040)3++，设(,0)P a，其中04a<<，则点P关于直线BC的对称点1(,)P x y，满足422(1)1a x yyx a++⎧+=⎪⎪⎨-⎪-=-⎪-⎩，解得44xy a=⎧⎨=-⎩，即1(4,4)P a-，易得P关于y轴的对称点2(,0)P a-，由光的反射原理可知1P，Q，R，2P四点共线，直线QR的斜率为4044()4a aka a---==--+，故直线QR的方程为4()4ay x aa-=++，由于直线QR过ABC∆的重心4(3，4)3，代入化简可得2340a a-=，解得43a=，或0a=（舍去），故4(3P，0)，故43AP=5．（2013•新课标Ⅱ）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．21(1)2-C ．21(1]3-D ．11[,)32【答案】B【解析】当0a =时，直线(0)y ax b a =+>平行于AB 边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得211()12b -=，21b =趋于最小． 由于0a >，212b ∴>-． 当a 逐渐变大时，b 也逐渐变大， 当12b =时，直线经过点1(0,)2，再根据直线平分ABC ∆的面积，故a 不存在，故12b <．综上可得，2112b << 二．填空题（共6小题）6．（2020•上海）已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则11与2l 的距离为 ． 2【解析】直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=， 当12//l l 时，210a -=，解得1a =±； 当1a =时1l 与2l 重合，不满足题意；当1a =-时12//l l ，此时1:10l x y --=，2:10l x y -+=； 则11与2l 的距离为2221(1)d ==+-．7．（2015•全国）点(3,1)-关于直线0x y +=的对称点为 ． 【答案】(1,3)-【解析】设点(3,1)-关于直线0x y +=的对称点为(,)a b ， 则31022113a bb a +-+⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩，解得1a =，3b =-，∴点(3,1)-关于直线0x y +=的对称点为(1,3)-．8．（2014•四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ．则||||PA PB 的最大值是 ．【答案】5【解析】由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ， 动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过点定点(1,3)B ，注意到动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交点，则有PA PB ⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==． 故22||||||||52PA PB PA PB +=（当且仅当||||PA PB ===” )故答案为：59．（2013•四川）在平面直角坐标系内，到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是 ． 【答案】(2,4)【解析】如图，设平面直角坐标系中任一点P ，P 到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和为：PA PB PC PD PB PD PA PC BD AC QA QB QC QD +++=++++=+++，故四边形ABCD 对角线的交点Q 即为所求距离之和最小的点． (1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -， AC ∴，BD 的方程分别为：216231y x --=--，511571y x --=---， 即20x y -=，60x y +-=． 解方程组2060x y x y -=⎧⎨+-=⎩得(2,4)Q ．故答案为：(2,4)．10．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1(0)y x x=>图象上一动点，若点P ，A 之间的最短距离为22a 的所有值为 ． 【答案】1-10【解析】设点1(,)(0)P x x x>，则222222211111||()()2()2()2()22PA x a a x a x a x a x a x x x x x=-+-=+-+++-++-，令1t x x=+，0x >，2t ∴，令2222()222()2g t t at a t a a =-+-=-+-，①当2a 时，2t =时()g t 取得最小值g （2）22242(22)a a =-+=，解得1a =-； ②当2a >时，()g t 在区间[2，)a 上单调递减，在(,)a +∞单调递增，t a ∴=，()g t 取得最小值g （a ）=22a -，222(22)a ∴-=，解得10a =综上可知：1a =-1011．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy 中，若直线121:(x s l s y s =+⎧⎨=⎩为参数）和直线2:(21x atl t y t =⎧⎨=-⎩为参数）平行，则常数a 的值为 ．【答案】4【解析】直线1l 的参数方程为21(x s s y s =+⎧⎨=⎩为参数），消去s 得普通方程为210x y --=，直线2l 的参数方程为(21x att y t =⎧⎨=-⎩为参数），消去t 得普通方程为20x ay a --=，12//l l ，210x y --=的斜率为112k =， 20x ay a ∴--=的斜率2212k a ==，解得：4a =．。
高中数学直线与方程精选题目(附答案)
高中数学直线与方程精选题目（附答案）1．经过A (2,0)，B (5,3)两点的直线的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．90°D ．60°解析：选A ∵A (2,0)，B (5,3)， ∴直线AB 的斜率k ＝3－05－2＝1. 设直线AB 的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)， 则tan θ＝1，∴θ＝45°.故选A.2．点F (3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为( ) A. 3 B.3m C ．3D ．3m解析：选A 由点到直线的距离公式得点F (3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为3·3m ＋33m ＋3＝ 3.3．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.4．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 依题意得：直线3x －y ＝33的斜率为3，∴其倾斜角为60°.∴－3n ＝－3，－mn＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.5．直线y ＝ax ＋1a的图象可能是( )解析：选B 根据斜截式方程知，斜率与直线在y 轴上的截距同正负． 6．已知两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy ( )A ．无最小值且无最大值B ．无最小值但有最大值C ．有最小值但无最大值D ．有最小值且有最大值解析：选D 线段AB 的方程为x 3＋y4＝1(0≤x ≤3)，于是y ＝4⎝⎛⎭⎫1－x 3(0≤x ≤3)，从而xy ＝4x ⎝⎛⎭⎫1－x 3＝－43⎝⎛⎭⎫x －322＋3，显然当x ＝32∈[0,3]时，xy 取最大值为3；当x ＝0或3时，xy 取最小值0.7．已知直线x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且它们间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选A 由题意，所给两条直线平行，∴n ＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|m ＋3|12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，∴m ＋n ＝0. 8．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．2 3B ．3 3C ．3 2D ．4 2解析：选C 由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l 1，l 2且到l 1，l 2距离相等的直线l ，故其方程为x ＋y －6＝0，∴M 到原点的距离的最小值为d ＝62＝3 2. 9．直线l 过点(－3,0)，且与直线y ＝2x －3垂直，则直线l 的方程为( ) A ．y ＝－12(x －3)B ．y ＝－12(x ＋3)C ．y ＝12(x －3)D ．y ＝12(x ＋3)解析：选B 因为直线y ＝2x －3的斜率为2，所以直线l 的斜率为－12.又直线l 过点(－3,0)，故所求直线的方程为y ＝－12(x ＋3)，选 B.10．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线，∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3，由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.11．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A (0,4)，则点B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6)D ．(0,2)解析：选A 设B 点坐标为(x ，y )，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0×y －3x －3＝－1，(x －3)2＋(y －3)2＝(0－3)2＋(4－3)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6.12．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 解析：选D 依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0， 则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)， 解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.13．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________. 解析：∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直， ∴12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1， ∴m ＝1. 答案：114．若x ＋ky ＝0,2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0三条直线交于一点，则k ＝________. 解析：∵直线x ＋ky ＝0,2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0三条直线交于一点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴直线x ＋ky ＝0过点(－1，－2)， 解得k ＝－12.答案：－1215．若过点P (1－a,1＋a )与点Q (3,2a )的直线的倾斜角是钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1a ＋2<0，得－2<a <1.答案：(－2,1)16．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为________________．解析：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，∴12|ab |＝3，且－b a ＝16，解得a ＝－6，b ＝1或a ＝6，b ＝－1，∴直线l 的方程为x －6＋y ＝1或x6－y ＝1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.答案：x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝017．(本小题满分10分)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1， ∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．18．(本小题满分12分)在x 轴的正半轴上求一点P ，使以A (1,2)，B (3,3)及点P 为顶点的△ABP 的面积为5.解：设点P 的坐标为(a,0)(a >0)，点P 到直线AB 的距离为 D.由已知，得S △ABP ＝12|AB |·d ＝12(3－1)2＋(3－2)2·d ＝5，解得d ＝2 5. 由已知易得，直线AB 的方程为x －2y ＋3＝0，所以d ＝|a ＋3|1＋(－2)2＝25，解得a ＝7或a ＝－13(舍去)， 所以点P 的坐标为(7,0)．19．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1. (1)求证：直线l 恒过一个定点．(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围． 解：(1)证明：由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)． 由直线方程的点斜式可知直线恒过定点(－2,1)．(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图)．若当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)≥0，f (3)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－15，1. 20．(本小题满分12分)已知点A (m －1,2)，B (1,1)，C (3，m 2－m －1)． (1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若AB ⊥BC ，求实数m 的值．解：(1)因为A ，B ，C 三点共线，且x B ≠x C ，则该直线斜率存在，则k BC ＝k AB ，即m 2－m －22＝1m －2，解得m ＝1或1－3或1＋ 3. (2)由已知，得k BC ＝m 2－m －22，且x A －x B ＝m －2.①当m －2＝0，即m ＝2时，直线AB 的斜率不存在，此时k BC ＝0，于是AB ⊥BC ； ②当m －2≠0，即m ≠2时，k AB ＝1m －2， 由k AB ·k BC ＝－1，得1m －2·m 2－m －22＝－1，解得m ＝－3.综上，可得实数m 的值为2或－3.21．(本小题满分12分)直线过点P ⎝⎛⎭⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB 的周长为12；②△AOB 的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由条件①可知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.由条件②可得12ab ＝6.又直线过点P ⎝⎛⎭⎫43，2，∴43a ＋2b ＝1， 联立，得⎩⎨⎧a ＋b ＋a 2＋b 2＝12，12ab ＝6，43a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.∴所求直线方程为x 4＋y3＝1.22．(本小题满分12分)已知点P (2，－1)． (1)求过点P 且与原点O 的距离为2的直线的方程；(2)求过点P 且与原点O 的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点P 且与原点O 的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x ＝2符合题意． ②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为 y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 根据题意，得|2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.则直线方程为3x －4y －10＝0.故符合题意的直线方程为x －2＝0或3x －4y －10＝0.(2)过点P 且与原点的距离最大的直线应为过点P 且与OP 垂直的直线． 则其斜率k ＝2，所以其方程为y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0. 最大距离为 5.(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为5，而6>5，故不存在这样的直线.。
高考真题与模拟训练 专题18 直线与方程(解析版)
专题18 直线与方程第一部分真题分类1．（2020·浙江高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y=图像上的点，则|OP |=（）ABCD【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<4的双曲线可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩OP ==故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（）A ．1B 2CD ．2【答案】B 【解析】由(1)y k x =+知直线过定点与AP 垂直时，点到直线(1)y k x =+距离最大，.故选：B.3．（2021·)的图象在点()()22,B xf x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N_______．所以点()11,1x A x e -和点，，,()10,1xe==∈=.4．（2019·xOy P是曲线4(0)y x xx=+>上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.【答案】4.Q即为点P.y=，则切点Q4=，．5．（2021·上的偶函数，当0x<时，()()log2af x x x=-+(0a>，且1a≠).又直线():250l mx y m m R+++=∈恒过定点A，且点A在函数()f x 的图像上.(1) 的值；(2) 求()()48f f-+的值；(3) 求函数()f x的解析式.【答案】(1) 12a=；(2) ；【解析】(1) 由直线l过定点可得：(2)5m x y+=--，0，解得25xy=-⎧⎨=-⎩，l 过定点0时，，112a =.(2)12(4)log 4810f -=-=-，)为偶函数，所以12(8)(8)log 81619f f =-=-=-，.(3) 由(1)知，当0x <时，12()log ()2f x x x=-+.0时，)为偶函数，所以综上可知，1212log ()20()log 20x xx f x x xx -+<⎧⎪=⎨->⎪⎩.6．（2019·江苏高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.因为PB ⊥AB ，所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1，BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.1P为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°PPB 中，由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ 21时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-…….在线段AD 上取点M （3所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时()113,9P -；当∠OBP >90°PPB 中，由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9，得a 21，所以Q 9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q 9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离因此，d 最小时，P ，Q .第二部分模拟训练一、单选题1与函数0)y x =…的图象交于点PA B C D 【答案】D)04PF k m =+则在P处的切线斜率()k f m '===m ，得(4,2)P ，(4,0)，则2||||1)a PF PA =-=-=-，即4故选：D2ABCD 【答案】A21y -=2AB 点，1)23y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩AB ===，故选：A.30和的交点，且与直线210x y ++=垂直的直线方程是（）A ．230x y +-=BC 0D【答案】C 【解析】联立，解得12x y=⎧⎨=⎩2，则所求直线方程为()221y x -=-，即故选：C.44与圆2C A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】B4的圆心为1(2,1)C -，半径为2，1)关于直线，2的方程为故两圆相交，故而可得两圆公切线的条数为2条，故选：B.5．已知函数()ln ,01,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若12x x ≠12x x -的最大值为（）A B 2C D ．1【答案】B0时，1()0f x '=当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，如下图所示：()y f x =B 的横坐标为2x ，并过l d l 与曲线相切时，d 取最大值，1，得故选：B.6所截得的弦长为A B4C D ．2【答案】A【解析】2228130+--+=x y x y 4，该圆圆心为3，则圆心10ax y +-=的距离为1d ==43a =-故选：A二、填空题71201y k -+=k =___________.11201y k -+=0的方向向量为0，解得1k =-．．8．已知双曲线22145x y Γ-=：、2F ，直线Γ的左、右支分别交于点P 、Q （P、Q 均在x 轴上方）．若直线1PF 、2QF 的斜率均为k ，且四边形21PQF F ，则k =___________．【答案】2【解析】按题意作出图如下：由双曲线方程可得：2a =3，因为直线1PF 、2QF 的斜率均为k ，所以直线1PF ∥2QF ，在三角形中，设2QF x =，则124QF a x x =+=+，221PQF F 的面积故答案为：29，则曲线上的点到直线________.，∴0平行的直线为0x y m ++=，切点1，解得．10．若圆C 的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C 的方程为__________．【答案】22(2)16x y -+=1112则24c =长半轴为4.为圆心，4为圆的半径.则圆的方程为()22216x y -+=..。
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1．一条光线从点 A(－1,3)射向 x 轴，经过 x 轴上的点 P 反射后通过点 B(3,1)，求 P 点的坐标．3－0＝－31－ 01解 设 P( x,0) ，则 k PA ＝， k PB ＝＝，依题意，－ 1－ x x ＋ 1 3－ x 3－ x由光的反射定律得k PA ＝－ k PB ，即 3＝ 1，解得 x ＝2，即 P(2,0)．x ＋1 3－ x2．△ ABC 为正三角形，顶点A 在 x 轴上， A 在边 BC 的右侧，∠ BAC 的平分线在 x 轴上，求边 AB 与 AC 所在直线的斜率．解如右图，由题意知 ∠BAO ＝ ∠ OAC ＝ 30°，∴ 直线 AB 的倾斜角为 180°－ 30°＝ 150°，直线 AC 的倾斜角为 30°，∴ k AB ＝ tan 1503＝°－ 3 ，AC3k ＝ tan 30 ＝° 3 .2f a ， f b ， f c的大小． 3．已知函数 f(x)＝ log ( x ＋ 1)， a>b>c>0，试比较a b c解画出函数的草图如图，f xx 可视为过原点直线的斜率．f c f b f a由图象可知：c>b>a.4． (1) 已知四点 A(5,3)， B(10,6)，C(3，－ 4)， D(－ 6,11)，求证： AB ⊥ CD .(2)已知直线 l 1 的斜率 k 1＝ 3，直线 l 2 经过点 A(3a ，－ 2)， B(0， a 2＋ 1)且 l 1⊥ l 2，求实数4 a 的值．(1)证明 由斜率公式得：k AB ＝ 6－ 3 310－5 ＝ 5，11－ － 45 k CD ＝ － 6－ 3 ＝－ 3，则 k AB ·k CD ＝－ 1， ∴ AB ⊥CD .(2)解∵ l 1⊥ l 2，∴ k 1·k 2＝－ 1，3× a 2＋ 1－ － 2即 ＝－ 1，解得 a ＝1 或 a ＝3.40－ 3a5. 如图所示， 在平面直角坐标系中， 四边形 OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1， t)、 Q(1－ 2t,2＋ t)、R(－ 2t,2)，其中 t>0. 试判断四边形 OPQR 的形状．解由斜率公式得k OP＝t － 0＝ t，1－ 0QR 2－ 2＋ t＝－t＝ t，k OR2－ 0＝－1，k ＝－ 2t－ 1－ 2t－ 1＝t － 2t－ 0k PQ＝2＋ t －t2＝－1.＝1－ 2t－ 1－ 2t t∴k OP＝k QR， k OR＝ k PQ，从而 OP∥ QR， OR∥PQ .∴四边形 OPQR 为平行四边形．又k OP·k OR＝－ 1，∴ OP⊥ OR，故四边形 OPQR 为矩形．6．已知四边形ABCD 的顶点 A(m， n)， B(5，－ 1)， C(4， 2)， D(2,2) ，求 m 和 n 的值，使四边形 ABCD 为直角梯形．解∵四边形 ABCD 是直角梯形，∴有 2 种情形：(1)AB∥CD ， AB⊥ AD，由图可知： A(2，－ 1)．(2)AD∥ BC， AD ⊥ AB，k AD＝ k BCk AD·k AB＝－ 1n－2＝ 3m－ 2－1?n－ 2 n＋1·＝－ 1m－ 2 m－ 516m＝5.∴8n＝－516m＝ 2m＝5.综上或n＝－ 18n＝－57．已知直线 l1与 l 2的方程分别为7x＋ 8y＋ 9＝ 0,7x＋ 8y－3＝ 0.直线 l 平行于 l 1，直线 l 与 l1的距离为 d1，与 l2的距离为 d2，且 d1∶d2＝ 1∶ 2，求直线 l 的方程．解因为直线 l 平行 l1，设直线 l 的方程为 7x＋ 8y＋ C＝ 0，则 d1＝|C－ 9||C－－ 3 |，d2＝. 72＋ 8272＋82又2d1＝ d2，∴2|C－9|＝ |C＋ 3|.解得 C＝ 21 或 C＝ 5.故所求直线l 的方程为7x＋ 8y＋ 21＝ 0 或 7x＋8y＋ 5＝ 08．△ ABC 中， D 是 BC 边上任意一点(D 与 B，C 不重合 ) ，且 |AB|2＝ |AD |2＋ |BD | ·|DC|.求证：△ ABC 为等腰三角形．证明作 AO⊥ BC，垂足为 O，以 BC 所在直线为 x 轴，以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系 (如右图所示 )．设A(0，a)， B(b,0)， C(c,0)， D (d,0)．因为 |AB|2＝ |AD |2＋ |BD | |DC· |，所以，由距离公式可得b2＋ a2＝ d2＋ a2＋ (d－ b)(c－ d)，即－ (d－ b)(b＋d)＝( d－b)( c－d)．又 d－b≠ 0，故－ b－ d＝ c－ d，即－ b＝ c.所以 |AB|＝ |AC|，即△ ABC 为等腰三角形．9．一束平行光线从原点 O(0,0) 出发，经过直线l：8x＋ 6y＝ 25 反射后通过点 P(－ 4,3)，求反射光线与直线l 的交点坐标．解设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为 (a，b)，由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得b4a·－3＝－ 1a＝4，解得，8×a b b＝3 2＋ 6×2＝ 25∴A 的坐标为 (4,3) ．∵ 反射光线的反向延长线过A(4,3) ，又由反射光线过P(－ 4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.y＝ 3x＝78，由方程组，解得8x＋ 6y＝25y＝ 37∴反射光线与直线l 的交点坐标为8，3 .。
2023届新高考数学：直线与方程(B卷)
2023届新高考数学高频考点专项练习： 专题十三 考点35 直线与方程（B 卷）1.已知直线1l 的倾斜角为30°，直线12l l ⊥，则直线2l 的斜率为( ) 3 B.33 D.3-2.不论k 为任何实数，直线(21)(3)(11)0k x k y k --+--=恒过定点，则这个点的坐标为( ) A.(2,3)-B.(2,3)C.(2,3)-D.(2,3)--3.已知直线1l ，2l 分别过点(1,3)P -，(2,1)Q -，若它们分别绕点P ，Q 旋转，但始终保持平行，则1l ，2l 之间的距离d 的取值范围为( ) A.(0,5]B.(0,5)C.(0,)+∞D.17]4.已知直线:20l kx y k -+-=过定点M ，点(,)P x y 在直线210x y +-=上，则||MP 的最小值是( ) 10356 D.355.若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.ππ,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭6.若两直线120x my ++=和30x y m ++=的交点在y 轴正半轴上，则m 的值是( ) A.6B.-24C.-6D.6或-67.下列说法中不正确的是( )A.平面上任一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)表示B.当0C =时，方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)表示的直线过原点C.当0,0,0A B C =≠≠时，方程0Ax By C ++=表示的直线与 x 轴平行D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化8. (多选)已知直线()2:110l a a x y ++-+=，其中a ∈R ，则下列说法中正确的是( ) A.当1a =-时，直线l 的斜率为1B.若直线l 的斜率为1，则0a =C.直线l 过定点(0,1)D.当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 9. (多选)下列说法中，正确的是( )A.直线40x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是8B.过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- C.过点(1,1)且与直线210x y ++=相互平行的直线方程是23y x =-+ D.经过点(1,2)且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=10. (多选)已知平面上一点(5,0)M ，若直线l 上存在点P 使4PM =，则称该直线为点(5,0)M 的“相关直线”，下列直线中是点(5,0)M 的“相关直线”的是( )A.3y x =-B.2y =C.430x y -=D.210x y -+=11.已知直线1:23l y x a =+，()22:13l y a x =++，若12//l l ，则实数a =___________. 12.已知直线l 与直线20x y +-=垂直，且直线l 在y 轴上的截距为4，则直线l 的方程为_____________________.13.已知直线1:224l ax y a -=-，222:224l x a y a +=+，当02a <<时，直线1l ，2l 与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a 的值为___________.14.已知点(1,0)M ，(1,0)N -，点P 为直线210x y --=上的动点，则22PM PN +的最小值为____________，此时点P 的坐标为______________.15.过两直线310x +=330x y +的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________________.答案以及解析1.答案：D解析：因为直线1l 的倾斜角为30°，所以斜率为3tan30=︒又12l l ⊥，所以直线2l 的斜率为3-2.答案：B解析：方程整理为(21)(311)0k x y x y --+--+=，则210,3110,x y x y --=⎧⎨--+=⎩解得2,3,x y =⎧⎨=⎩则直线恒过定点(2,3). 3.答案：A解析：易知两直线之间的最大距离为P ，Q 两点间的距离，由两点间的距离公式得22||(21)(13)5PQ ++--.故1l ，2l 之间的距离d 的取值范围为(0,5]. 4.答案：B解析：由题易得直线:20l kx y k -+-=，即(1)20k x y --+=，过定点(1,2)M . 点(,)P x y 在直线210x y +-=上，12y x ∴=-，222219||(1)(122)522555MP x x x x x ⎛⎫∴-+--++++ ⎪⎝⎭故当15x =-时，||MP 35，故选B.5.答案：C解析：由32360y kx x y =-⎧⎨+-=⎩可得15326632x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 因为两直线的交点位于第一象限，所以1503266032x k k y k ⎧=>⎪⎪+⎨-⎪=>⎪+⎩，解得1k >，设直线l 的倾斜角为α，则tan 1k α=>， 因为0πα≤<，所以ππ42α<<，所以直线l 的倾斜角的取值范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 6.答案：C解析：由题意可知3m ≠，解方程组120,30,x my x y m ++=⎧⎨++=⎩得交点坐标为23612,33m m m m ⎛⎫-+- ⎪--⎝⎭，所以23603m m -+=-，解得6m =±.当6m =时，交点坐标为(0,2)-，舍去；当6m =-时，交点坐标为(0,2)，符合题意. 7.答案：D解析：对于选项A ，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α，当90α≠︒时，直线的斜率k 存在，其方程可写成y kx b =+，它可变形为0kx y b -+=，与0Ax By C ++=比较，可得,1,A k B C b ==-=；当90α=︒时，直线的斜率不存在，其方程可写成1x x =，与0Ax B C ++=比较，可得11,0,A B C x ===-，显然,A B 不同时为0，所以此说法是正确的.对于选项B ，当0C =时，方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)，即0Ax By +=，显然有000A B ⨯+⨯=，即直线过原点()0,0，故此说法正确.对于选项C ，因为当0A =，0,0B C ≠≠时，方程0Ax By C ++=可化为Cy B=-，它表示的直线与x 轴平行，故此说法正确.D 说法显然错误. 8.答案：AC解析：当1a =-时，直线:10l x y -+=的斜率为1，故A 正确；若直线l 的斜率为1，则211a a ++=，解得1a =-或0a =，故B 错误；直线()2:11l y a a x =+++过定点(0,1)，故C 正确；当0a =时，直线:10l x y -+=在两坐标轴上的截距互为相反数，故D 错误.故选AC. 9.答案：AC解析：直线40x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是14482⨯⨯=，故A 正确；当21x x =或21y y =时，式子112121y y x x y y x x --=--无意义，故B 不正确；设与直线210x y ++=相互平行的直线方程是20x y m ++=，将点(1,1)代入，得3m =-，则直线的方程是23y x =-+，故C 正确；经过点(1,2)且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=或2y x =，故D 错误.故选AC. 10.答案：ABC解析：由题意，知当点M 到直线的距离小于或等于4时，则称该直线为点M 的“相关直线”.对于A ，点(5,0)M 到直线3y x =-的距离24d =<，即点M 到直线的距离的最小值小于4，所以直线上存在点P 使4PM =成立，则直线3y x =-是点(5,0)M 的“相关直线”；对于B ，点M 到直线2y =的距离为24<，即点M 到直线的距离的最小值小于4，所以直线上存在点P 使4PM =成立，则直线2y =是点(5,0)M 的“相关直线”；对于C ，点(5,0)M 到直线430x y -=的距离4d =，即点M 到直线的距离的最小值等于4，所以直线上存在点P 使4PM =成立，则直线430x y -=是点(5,0)M 的“相关直线”；对于D ，点(5,0)M 到直线210x y -+=的距离为1154d =>，即点M 到直线的距离的最小值大于4，所以直线上不存在点P 使4PM =成立，则直线210x y -+=不是点(5,0)M 的“相关直线”.故选ABC. 11.答案：-1解析：因为12//l l ，所以212a +=，即21a =，所以1a =±.又1l 与2l 不能重合，所以33a ≠，即1a ≠，故1a =-. 12.答案：40x y -+= 解析：直线l 与直线20x y +-=垂直，∴斜率1l k =.直线l 在y 轴上的截距为4，∴直线l 的方程为4y x =+，整理得40x y -+=.13.答案：12解析：由题意，得直线1l ，2l 恒过定点(2,2)P ，直线1l 的纵截距为2a -，直线2l 的横截距为22a +，如图所示，所以四边形的面积()222111152(2)2242224S a a a a a ⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯+=-+=-+ ⎪⎝⎭，当面积最小时，12a =.14.答案：125；21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭解析：因为P 为直线210x y --=上的点，所以设点P 的坐标为(,21)m m -.由两点间的距离公式，得2222222(1)(21)(1)(21)1084PM PN m m m m m m +=-+-+++-=-+，m ∈R .又因为2221212108410555m m m ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭，所以当25m =时，22PM PN +有最小值125，此时点P 的坐标为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.15.答案：12x =或310x y += 解析：联立310,330,x x y ⎧-+=⎪+=解得1,23x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即两直线的交点为132⎛ ⎝⎭.当直线的斜率不存在时，12x =，到原点的距离等于12，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为132y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2230kx y k -=.因为直线与原点的最短距离为12，所以2|3|1244k k -=+，解得3k =，所以所求直线的方程为310x +=，所以所求直线的方程为12x =或310x y +=.。
直线与方程(含直线方程交点坐标与距离公式),高考历年真题
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【考点26】直线与方程（含直线方程、交点坐标与距离公式）2009年考题1.（2009安徽高考）直线过点（-1，2）且与直线23x y -+4=0垂直，则的方程是 A ． B.C.D.【解析】选A.可得l 斜率为33:2(1)22l y x -∴-=-+即3210x y +-=，选A 。
2.（2009上海高考）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则K 得值是（ ）（A ） 1或3 （B ）1或5 （C ）3或5 （D ）1或2【解析】选C 。
当k ＝3时，两直线平行，当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得：kk--43＝k －3， 解得：k ＝5.3.（2009广东高考）若直线⎩⎨⎧+=-=.2,21:1kt y t x l （t 为参数）与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．【解析】1)2(2-=-⨯-k，得1-=k . 答案:-14.（2009广东高考）若直线1223x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k = .【解析】将1223x t y t=-⎧⎨=+⎩化为普通方程为3722y x =-+,斜率132k =-,当k ≠0时，直线4x+4y=1的斜率,24k k =-由1234-602k k k k k =-⨯-==（）（）=-1得;当时，3741622y x x k =-+==-直线与直线不垂直，综上，答案:6-5.（2009江西高考）设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对于下列四个命题： A ．M 中所有直线均经过一个定点 B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形,其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 【解析】因为cos (2)sin 1x y θθ+-=所以点(0,2)P 到M 中每条直线的距离1d ==即M 为圆C :22(2)1x y +-=的全体切线组成的集合,从而M 中存在两条平行直线,所以A 错误 又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B 正确 对任意3n ≥,存在正n 边形使其内切圆为圆C ,故C 正确M 中边能组成两个大小不同的正三角形ABC 和AEF ,故D 错误, 故命题中正确的代号是 B,C 答案:,B C6.（2009江西高考）设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对于下列四个命题： A ．存在一个圆与所有直线相交 B ．存在一个圆与所有直线不相交 C ．存在一个圆与所有直线相切D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 【解析】因为cos (2)sin 1x y θθ+-=所以点(0,2)P 到M 中每条直线的距离1d ==即M 为圆C :22(2)1x y +-=的全体切线组成的集合,所以存在圆心在(0,2),半径大于1的圆与M 中所有直线相交, 也存在圆心在(0,2),半径小于1的圆与M 中所有直线均不相交, 也存在圆心在(0,2),半径等于1的圆与M 中所有直线相切, 故ABC 正确,又因M 中的边能组成两类大小不同的正三角形,故D 错误, 故命题中正确的代号是ABC 答案:ABC7.（2009全国Ⅰ）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是：①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 【解析】两平行线间的距离为211|13|=+-=d ，由图知直线m 与1l 的夹角为o 30，1l 的倾斜角为o 45，所以直线m 的倾斜角等于304575o +=或453015o -=。
高考数学专题《直线与方程》训练试题含答案
高考数学专题《直线与方程》一、单选题1．已知点(3,4)A ，(1,1)B -，则线段AB 的长度是（ ）A ．5B ．25CD ．292．已知直线l 经过点()1,0P ，且与直线21y x =-平行，那么直线l 的方程是（ ） A ．1y x =- B ．22y x =- C ．1y x =-+ D ．21y x =-+ 3．已知直线l 倾斜角是arctan 2π-，在y 轴上截距是2，则直线l 的参数方程可以是（ ）A ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩B ．2x t y t =+⎧⎨=-⎩C ．22x t y t =⎧⎨=-⎩D ．22x t y t=⎧⎨=-⎩ 4．倾斜角为45，在y 轴上的截距为1-的直线的方程是（ ）A ．1y x =+B ．1y x =-C ．1y x =-+D ．1y x =--5．直线3210x y +-=的一个方向向量是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()3,2-D ．()3,26．下列命题错误的是（ ）①y =2y x =表示的是同一条抛物线②所有过原点的直线都可设为y kx =；③若方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆，则必有2240D E F +->④椭圆2248x y +=A ．①② B ．②④ C ．③④ D ．①②④ 7．已知两直线20x y -=和30x y +-=的交点为M ，则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是（ ）A ．22(1)(2)1x y +++=B ．22(1)(2)1x y -+-=C ．22(2)(1)1x y +++=D ．22(2)(1)1x y -+-=8．已知直线1:3420l x y ++=，2:6810l x y +-=，则1l 与2l 之间的距离是A ．12 B ．35 C ．1 D ．3109．若直线220mx y +-=与直线(1)20x m y +-+=平行，则m 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2或1-D ．210．如图所示,直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ,则A ．123k k k <<B ．231k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k << 11．“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．直线1y ax a =+-()a R ∈所过定点的坐标为（ ）A ．()1,1--B ．()1,1-C ．()1,1-D ．()1,113．已知(1,4)A ，(3,2)B -，直线:20l ax y ++=，若直线l 过线段AB 的中点，则=a A ．-5 B ．5 C ．-4 D ．414．平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y ++=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y -= 15．已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135，那么1l 与2l A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．相交但不垂直 16．已知ABC ∆的顶点坐标为()7,8A ，()10,4B ，()2,4C -，则BC 边上的中线AM 的长为A ．8B ．13C ．D 17．已知直线l 经过点()0,1，且与直线210x y -+=的倾斜角互补，则直线l 的方程为（ ） A ．220x y +-= B ．210x y +-= C ．210x y +-= D ．210x y ++=18．若双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线l 与直线g ：20++=ax by b 平行，则直线l ，g 间的距离为（ ）A B C D19．已知直线l 过点2)-和(0,1)，则直线l 的倾斜角大小为A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．3020．直线l 的倾斜角,43ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则其斜率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．⎝D ． 21．已知两条直线1:60l x my ++=，()2:2320l m x y m -++=，若1l 与2l 平行，则m 为（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．022．已知椭圆：22143x y +=，直线l ：y x =+P ，则点P 到直线l 的距离的最大值（ ）A ．B ．C ．D ．23．若点(,0)P m 到点(3,2)A -及(2,8)B 的距离之和最小，则m 的值为A ．2B ．2-C ．1D ．1-24．已知a R ∈，设函数()ln 1f x ax x =-+的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 过定点（ ） A ．(0,2) B ．(1,0) C ．(1,1)a + D ．(,1)e25．已知直线1:32l y x =-，直线221:60l x y -+=，则1 l 与2 l 之间的距离为（ ）A B C D 26．已知直线2120l x a y a -+=：与直线()2110l a x ay --+=：互相平行，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．227．经过点()0,1且与直线210x y +-=垂直的直线的方程为（ ）A ．220x y +-=B ．220x yC ．210x y -+=D ．210x y +-=28．已知直线()():20l y k x k =+>与抛物线28C y x =：相交于A 、B 两点，且2AF BF =，则k 为（ ）A B C D 29．已知椭圆2222:19x y C a a +=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 30．已知抛物线2x y =上的点P 到直线240x y --=的距离最小，则点P 的坐标是（ ） A ．()1,1- B ．()1,1 C ．()2,2 D ．()0,031．在Rt ABO 中，90BOA ∠=︒，8OA =，6OB =，点P 为Rt ABO 内切圆C 上任一点，则点Р到顶点A ，B ，O 的距离的平方和的最小值为（ ）A ．68B ．70C ．72D ．7432．“2a =-”是“直线()2310a x ay +++=与直线()()2230a x a y -++-=相互垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分也非必要 33．已知圆C ：x 2+（y ﹣2）2＝r 2与直线x ﹣y ＝0交于A ，B 两点，若以弦AB 为直径的圆刚好经过已知圆的圆心C ，则圆C 的半径r 的值为（ ）A ．1BC ．2D ．434．已知直线1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||2AB =，则||PA PB +的最小值是（ ）A ．B ．C ．1D ．235．以下四个命题表述正确的是（ ） ①若点(1,2)A ，圆的一般方程为222410x y x y ++-+=，则点A 在圆上②圆22:28130C x y x y +--+=的圆心到直线4330x y -+=的距离为2③圆22120C :x y x ++=与圆222:4840C x y x y +--+=外切④两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=的公共弦所在的直线方程为260x y ++=A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④36．已知两条直线l 1：x +m 2y +6＝0，l 2：（m ﹣2）x +3my +2m ＝0，若l 1与l 2平行，则m ＝（ ） A ．﹣1或0B ．﹣1C ．0D ．﹣1或0 或3二、填空题37．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ． 38．直线20x y +-=和10ax y -+=的夹角为3π，则a 的值为______．39．设点p 为y 轴上一点，并且点P 到直线3460x y -+=的距离为6，则点P 的坐标为_________.40．直线3y x =-+与坐标轴围成的三角形的面积是_________.41．若在平面直角坐标系内过点P ，且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为________.42．已知直线()()1:3410l a x a y -+-+=与()2:23220l a x y --+=平行，则a =___________.43．若点(),a b 在直线10x -=上，则22a b +的最小值为_____________________. 44．设△ABC 的三个顶点的坐标为A （2，0），B （﹣1，3），C （3，﹣2），则AB 边上的高线CD 所在直线的方程为_____．45．已知函数()243f x x x =-+的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，则ABC 的外接圆E 的方程是________．46．设直线212:260,(1)10l ax y l x a y a ++==+-+-=，若12l l ⊥，则a =__________.47．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________.48．已知定点()1,1A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP O '=，是坐标原点，则PQ 的取值范围是___________.49．已知两直线与平行，则___ 50．已知函数2()1f x og x =，a b >且1223b ≤≤，()()f a f b k ==，设k 值改变时点(,)a b 的轨迹为C ，若点M ，N 为曲线C 上的两点，O 为坐标原点，则MON ∆面积的最大值为__.51．点(3,2)P 关于直线1y x =+的对称点P '的坐标为__________．52．若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数的值为__________． 53．已知直线80(,)ax by a b R +-=∈经过点(1,2)-，则124a b+的最小值是__． 54．若对于任意一组实数(),x y 都有唯一一个实数z 与之对应，我们把z 称为变量,x y 的函数，即(),z f x y =，其中,x y 均为自变量，为了与所学过的函数加以区别，称该类函数为二元函数，现给出二元函数(),f m n ()229m n n ⎫=-+⎪⎭，则此函数的最小值为__________．三、解答题55．设直线4310x y +=与210x y -=相交于一点A .（1）求点A 的坐标；（2）求经过点A ，且垂直于直线3240x y -+=的直线的方程.56．已知：ABC 的三个顶点的坐标分别为(1,2),(4,1),(6,5)A B C -．求AB 边上的高所在直线的点法向式方程．57．（本小题满分12分）已知直线l 经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点．（1）若直线l 平行于直线3240x y -+=，求直线l 的方程；（2）若直线l 垂直于直线4370x y --=，求直线l 的方程．58．已知点P 在圆22:4240C x y x y +--+=上运动，A 点坐标为()2,0-.（1）求线段AP 中点的轨迹方程；（2）若直线:250l x y --=与坐标轴交于MN 两点，求PMN 面积的取值范围.59．在平面直角坐标系中，已知点(2,0),(1,3)A B -.（1）求AB 所在直线的一般式方程；（2）求线段AB 的中垂线l 的方程.60．求满足下列条件的直线方程：（1）直线l 过点A （2,-3），并且与直线13y x =的倾斜角相等； （2）直线l 经过点P (2,4),并且在x 轴上的截距是y 轴上截距的12.61．已知两直线1l ：240x y -+=，2l ：4350x y ++=．()1求直线1l 与2l 的交点P 的坐标；()2设()1,2A --，若直线l 过点P ，且点A 到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程． 62．矩形ABCD 的两条对角线相交于点(2,0),M AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(1,1)T -在AD 边所在的直线上．（1）求AD 边所在直线的方程；（2）若直线:10l ax y b +++=平分矩形ABCD 的面积，求出原点与(,)a b 距离的最小值．63．已知直线l 1：3x+4y ﹣2=0和l 2：2x ﹣5y+14=0的相交于点P ．求：（1）过点P 且平行于直线2x ﹣y+7=0的直线方程；（2）过点P 且垂直于直线2x ﹣y+7=0的直线方程．64．已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点． （1）点P 的坐标为1(1,)3P ，若MP PN =，求直线l 的方程； （2）若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，且点M 在第一象限，求23(MA NB MA k k k -、NB k 分别为直线MA 、NB 的斜率）的取值范围．65．已知直线()()222:11310l a a x a a y a a -+-++-+-=，a R ∈（1）求证，直线l 恒过定点，并求出定点坐标；（2）求当1a =和1a =-时对应的两条直线的夹角.66．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(20)A ，、3(5)B ，，经过原点O 的直线l 将OAB ∆ 分成面积之比为1:2的两部分，求直线l 的方程．67．已知直线:120l kx y k -++=（1）求证：直线l 经过定点．（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．（3）若直线l 不经过第四象限，求实数k 的取值范围．68．已知圆C:x 2+(y −3)2=4，直线m:x +3y +6=0，过A(−1，0)的一条动直线l 与直线m 相交于N ，与圆C 相交于P ，Q 两点.（1）当l 与m 垂直时，求出N 点的坐标；（2）当|PQ|=2√3时，求直线l 的方程.69．已知圆P 过点1,0A ，()4,0B .（1）若圆P 还过点()6,2C -，求圆P 的标准方程；（2）若圆心P 的纵坐标为2，求圆P 的标准方程.70．已知(),4A m ，()2,B m -，()1,1C ，()2,3D m +四点.（1）当直线AB 与直线CD 平行，求m 的值；（2）求证：无论m 取何值，总有90ACB ∠=.71．已知圆心为M 的圆经过点(0,4),(2,0),(3,1)A B C 三个点.（1）求ABC 的面积；（2）求圆M 的方程.72．已知过原点O 的直线:40l x y -=和点(6,4)P ，动点(Q m ,)(0)n m >在直线l 上，且直线QP 与x 轴的正半轴交于点R ．（1）若QOR 为直角三角形，求点Q 的坐标；（2）当QOR 面积的取最小值时，求点Q 的坐标．73．平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)F ，直线:3l y =-，动点M 到点F 的距离比它到直线l 的距离小2.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）设斜率为2的直线与曲线C 交于A 、B 两点（点A 在第一象限），过点B 作x 轴的平行线m ，问在坐标平面xOy 中是否存在定点P ，使直线PA 交直线m 于点N ，且PB PN =恒成立？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.74．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y ++=和圆22:1O x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标；（2）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若有在，求出点T ；若不存在，请说明理由．75．如图所示，将一块直角三角形板ABO 置于平面直角坐标系中，已知1,AB OB AB OB ==⊥，点11,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭是三角板内一点，现因三角板中，阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角板锯成AMN ∆，设直线MN 的斜率为k .（1）用k 表示出直线MN 的方程，并求出点,M N 的坐标；（2）求出k 的取值范围及其所对应的倾斜角α的范围；（3）求AMN ∆面积的取值范围.76．求满足下列条件的直线的方程：(1)求与直线20x y -=平行，且过点(2)3，的直线方程； (2)已知正方形的中心为直线220x y -+=和10x y ++=的交点，其一边所在直线的方程为350x y +-=,求其他三边的方程.77．过圆222:C x y r +=上一点()2,2A -作圆的切线，切线与x 轴交于点B ，过点B 的直线与圆C 交于不同的两点M 、N ，MA 、NA 分别交直线4x =-交于点P 、Q ．（1）求点B 的坐标；（2）求PBQB 的值．78．已知点()2,0M -，()2,0N ，动点P 满足条件2PM PN -=，记动点P 的轨迹为W . （1）求W 的方程；（2）若P 是W 上任意一点，求2PMPN 的最小值.79．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:4O x y +=与x 轴的正负半轴的交点分别是M ，N .（1）已知点(2,4)Q ，直线l 过点Q 与圆O 相切，求直线l 的方程；（2）已知点P 在直线：4x =上，直线PM ，PN 与圆的另一个交点分别为E ，F . ①若(4,6)P ，求直线EF 的方程；②求证：直线EF 过定点.参考答案1．A【分析】根据两点之间的距离公式，即可代值求解.【详解】因为(3,4)A ，(1,1)B -，故可得5AB ==.故选：A.【点睛】本题考查平面中两点之间的距离公式，属基础题.2．B【分析】由平行关系可得直线l 斜率，由直线点斜式方程可求得结果.【详解】l 与21y x =-平行，∴直线l 的斜率2k =，l ∴方程为：()2122y x x =-=-.故选：B.3．D【分析】由倾斜角求得斜率,由斜截式得直线方程,再将四个选项中的参数方程化为普通方程,比较可得答案. 【详解】因为直线l 倾斜角是arctan 2π-,所以直线l 的斜率tan(tan 2)tan arctan 22k arc π=-=-=-, 所以直线l 的斜截式方程为:22y x =-+,由22x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得24y x =-+,故A 不正确;由2x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得2y x =-+,故B 不正确; 由22x t y t =⎧⎨=-⎩消去t 得122y x =-+,故C 不正确;由22x ty t=⎧⎨=-⎩消去t 得22y x =-+,故D 正确; 故选:D. 【点睛】本题考查了直线方程的斜截式,参数方程化普通方程,属于基础题. 4．B 【分析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程. 【详解】由倾斜角为45可知所求直线的斜率为1，由直线的斜截式方程可得1y x =-. 故选：B. 5．A 【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线3210x y +-=的斜率为32-，所以直线的一个方向向量为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为()2,3-与31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，所以3210x y +-=的一个方向向量可以是()2,3-，故选：A. 6．D 【分析】①利用曲线中变量的范围来判断；②利用点斜式的适用条件来判断；③利用圆的一般式方程的系数关系来判断；④利用椭圆几何性质来判断. 【详解】解：①y =0y >，其仅表示抛物线的一部分，与2y x =表示的不是同一条抛物线，故错误；②所有过原点的直线中，0x =不可设为y kx =，故错误；③若方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆，则必有2240D E F +->，故正确；④椭圆2248x y +=标准方程为22182x y +=，2b =.故选：D. 【点睛】本题考查学生对圆锥曲线的基础知识的掌握情况，是基础题. 7．D 【分析】联立两直线方程，得到交点坐标，即为圆心，再结合半径就可写出圆的方程. 【详解】解：联立2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得()2,1M ，则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是22(2)(1)1x y -+-=. 故答案为：D 【点睛】本题考查圆的标准方程，是基础题. 8．A 【分析】直接利用平行线之间的距离公式化简求解即可. 【详解】两条直线1:3420l x y +-=与2:6810l x y ++=，化为直线1:6840l x y +-=与2:6810l x y ++=，则1l 与2l 12=，故选A. 【点睛】本题主要考查两平行线之间的距离，属于简单题.解析几何中的距离常见有：（1）点到点距离，AB =（2）点到线距离，d =，（3）线到线距离d 9．D 【分析】由平行可得()120m m --=，解之，排除重合的情形即可. 【详解】解：∵直线220mx y +-=与直线(1)20x m y +-+=平行， ∴()120m m --=，即220m m --=，解得1m =-或2m =，经验证当1m =-时，直线重合应舍去， 故选：D. 【点睛】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题. 10．B 【分析】设直线123,,l l l 所对应的倾斜角为123,,ααα， 由图可知，12302παααπ<<<<<，由直线的倾斜角与斜率的关系可得231k k k <<，得解. 【详解】解：由图可知,直线1l 的倾斜角为锐角,所以10k >,而直线2l 与3l 的倾斜角均为钝角,且2l 的倾斜角小于3l 的倾斜角,故230k k <<.所以231k k k <<. 故选B.本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，重点考查了识图能力，属基础题. 11．C 【详解】试题分析：直线20ax y +=平行于直线1x y +=122aa -⇒=-⇒=，因此正确答案应是充分必要条件，故选C. 考点：充要条件. 12．A 【分析】提取公因数a ，得()11y a x =+-，即得1x =-时，1y =-，即得定点. 【详解】直线1y ax a =+-，整理得()11y a x =+-，故对于a R ∈，恒有1x =-时，1y =-.故直线恒过点()1,1--. 故选：A. 13．B 【分析】根据题意先求出线段AB 的中点，然后代入直线方程求出a 的值. 【详解】因为(1,4)A ，(3,2)B -，所以线段AB 的中点为(1,3)-，因为直线l 过线段AB 的中点，所以320a -++=，解得5a =.故选B 【点睛】本题考查了直线过某一点求解参量的问题，较为简单. 14．A 【详解】设所求直线为20x y c =＋＋， 由直线与圆相切得，=解得5c =±．所以直线方程为250x y ＋＋＝或250x y ＋－＝．选A.【分析】根据两点求出直线1l 的斜率，根据倾斜角求出直线2l 的斜率；可知斜率乘积为1-，从而得到垂直关系. 【详解】直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点 ∴直线1l 的斜率：141138k +==-+ 直线2l 的倾斜角为135 ∴直线2l 的斜率：2tan1351k ==- 121k k ∴⋅=- 12l l ∴⊥本题正确选项：A 【点睛】本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜率，根据斜率关系求得位置关系. 16．D 【分析】利用中点坐标公式求得()6,0M ，再利用两点间距离公式求得结果. 【详解】由()10,4B ，()2,4C -可得中点()6,0M又()7,8A AM ∴=本题正确选项：D 【点睛】本题考查两点间距离公式的应用，关键是能够利用中点坐标公式求得中点坐标. 17．A 【分析】根据题意求出直线l 的斜率，然后利用斜截式即可写出直线的方程，进而转化为一般式方程即可. 【详解】因为与直线210x y -+=的倾斜角互补，而直线210x y -+=的斜率为12，所以直线l 的斜率为12-，则直线l 的方程为112y x =-+，即220x y +-=．故选：A 18．D 【分析】由题可得渐近线方程，利用直线平行可得a =，再利用平行线间距离公式即得. 【详解】根据题意，双曲线C 的渐近线l 的方程为0bx ay +=，该直线与直线g 平行，所以2-=-b aa b，所以a ，此时直线l 的方程为0x +=，直线g 的方程为02+=x ，所以直线l ，g=故选：D . 19．B 【分析】求出斜率后可得直线的倾斜角 【详解】=，故直线的倾斜角为120︒. 故选：B. 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的计算，注意倾斜角的范围为0,.本题属于基础题.20．B 【分析】根据倾斜角和斜率的关系，确定正确选项. 【详解】直线的倾斜角为2παα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则斜率为tan α，tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数.由于直线l 的倾斜角,43ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以其斜率的取值范围为tan ,tan 43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即.故选：B【点睛】本小题主要考查倾斜角和斜率的关系，属于基础题. 21．A 【分析】由题意利用两条直线平行的性质，求得m 的值． 【详解】解：两条直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，若1l 与2l 平行，则()213m m -=⨯且()2162m m ⨯≠⨯-，由()213m m -=⨯解得1m =-或3m =， 当3m =时()2162m m ⨯=⨯-故舍去，所以1m =-； 故选：A ． 22．C 【解析】设椭圆上点的坐标为()()2cos P R θθθ∈ ，由点到直线距离公式可得：d ==，则当()sin 1θϕ+=- 时，点P 到直线l 的距离有最大值max d =.本题选择C 选项.点睛：求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式.23．B 【详解】试题分析：点(3,2)A -关于x 轴的对称点为()3,2A '--．因为点(,0)P m 在x 轴上，由对称性可知PA PA =',所以PA PB PA PB +='+,所以当,,A P B '三点共线时此距离和最短． 因为8+2223A B k '==+，所以直线A B '方程为()822y x -=-，即24y x =+，令0y =得2x =-，即,,A P B '三点共线时()2,0P -．所以所求m 的值为2-．故B 正确． 考点：点关于直线的对称点，考查数形结合思想、转化思想． 24．A 【分析】根据导数几何意义求出切线方程，化成斜截式，即可求解 【详解】由()1()ln 1'f x ax x f x a x=-+⇒=-，()'11f a =-，()11f a =+，故过(1,(1))f 处的切线方程为：()()()11+112y a x a a x =--+=-+，故l 过定点(0,2) 故选：A 【点睛】本题考查由导数的几何意义求解切线方程，直线过定点问题，属于简单题 25．D 【分析】利用两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】直线1l 的方程可化为6240x y --=，则1l 与2l 之间的距离d = 故选：D 26．B 【分析】由题意利用两条直线平行的性质，分类讨论，求得结果． 【详解】解：当0a =时，直线1l ：即0x =，直线2l ：即1x =，满足12l l //． 当0a ≠时，直线21:20l x a y a -+=与直线2:(1)10l a x ay --+=互相平行，∴2211a a a a -=≠--，解得实数a ∈∅． 综上，0a =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，考查分类讨论思想，属于基础题． 27．C 【分析】与直线210x y +-=垂直的直线的斜率为2，结合点斜式即可求解直线方程． 【详解】直线210x y +-=的斜率为12-所以与直线210x y +-=垂直的直线的斜率为2，又过点()0,1， ∴所求直线方程为：21y x =+ 即210x y -+= 故选：C 28．D 【分析】根据直线方程可知直线l 恒过定点()2,0P -，过A B ，分别作准线的垂线，垂足分别为M N ，，由2AF BF =，得到点B 为AP 的中点，连接OB ，进而可知||||OB BF =，由此求得点B 的坐标，最后利用直线上的两点求得直线l 的斜率． 【详解】抛物线2:8C y x =的准线2x =-，直线l ：(2)y k x =+恒过定点()2,0P -， 如图过,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为M N ，，由2AF BF =，则||2||AM BN =， 所以点B 为AP 的中点，连接OB ，则1||||2OB AF =，∴||||OB BF =，OBF ∴∆为等腰三角形，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为(，又(2,0)P -，所以k =故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，抛物线的定义，直线斜率的计算，考查了数形结合，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力. 29．A 【分析】先求得椭圆焦点坐标，判断出直线12,l l 过椭圆的焦点.然后判断出12l l ⊥，判断出P 点的轨迹方程，根据P 恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率e 的取值范围. 【详解】设()()12,0,,0F c F c -是椭圆的焦点，所以22299,3c a a c =+-==.直线1l 过点()13,0F -，直线2l 过点()23,0F ，由于()110m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以P 点的轨迹是以12,F F 为直径的圆229x y +=.由于P 点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于3，即2239a >=，所以2918a +>，所以双曲线的离心率22910,92e a ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，所以e ⎛ ⎝⎭∈. 故选：A 【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题. 30．B 【分析】 设抛物线2yx 上一点为200),(A x x ，求出点200),(A x x 到直线240x y --=的距离，利用配方法，由此能求出抛物线2x y =上一点到直线240x y --=的距离最短的点的坐标． 【详解】 解：设抛物线2yx 上一点为200),(A x x ，点200),(A x x 到直线240x y --=的距离2201)3d x -+，∴当01x =时，即当()1,1A 时，抛物线2yx 上一点到直线240x y --=的距离最短．故选：B ． 【点睛】本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，考查学生的计算能力，属于中档题． 31．C 【分析】利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出p 的坐标，表示出，222||||||S PA PB PO =++，利用x 的范围确定S 的范围，则最小值可得 【详解】解：如图，ABO 是直角三角形，设ABO 的内切圆圆心为O '，切点分别为D ，E ，F ，则1(1086)122AD DB EO ++=++=．但上式中10AD DB +=，所以内切圆半径2r EO ==，如图建立坐标系，则内切圆方程为：22(2)(2)4x y -+-= 设圆上动点P 的坐标为(,)x y ， 则222||||||S PA PB PO =++222222(8)(6)x y x y x y =-+++-++ 22331612100x y x y =+--+223[(2)(2)]476x y x =-+--+ 34476884x x =⨯-+=-．因为P 点在内切圆上，所以04x ，所以881672S =-=最小值故选：C 32．B 【解析】2a =-时，两条直线分别化为：610,430y y -+=--=，此时两条直线相互垂直，满足条件；由“直线()2310a x ay +++=与直线()()2230a x a y -++-=相互垂直”，可得，()()[]22320a a a a +-+⨯+=，解得12a =或2a =-，∴“2a =-”是“直线()2310a x ay +++=与直线()()2230a x a y -++-=相互垂直”的充分非必要条件，故选B. 33．C 【分析】转化以弦AB 为直径的圆刚好经过已知圆的圆心C 为AC ⊥BC ，可得弦心距2d =，再用圆心到直线距离表示d ，即得解 【详解】由题意，AC ⊥BC ，则C （0，2）到直线x ﹣y ＝0的距离2d =，2=，即r ＝2． 故选：C34．B 【分析】由已知得到12l l ⊥，1l 过定点()3,1，2l 过定点()1,3，从而得到点P 轨迹为圆()()22222x y -+-=，作线段CD AB ⊥，先求得CD ，求得PD 的最小值，再由||2||PA PB PD +=可得答案.【详解】设圆C 的半径为1r ，直线1:310l mx y m --+=与2310l x my m +--=∶ 垂直， 又1l 过定点()3,1，2l 过定点()1,3，从而得到点P 轨迹为圆()()22222x y -+-=，设圆心为M ，半径为2r ，作垂直线段CD AB ⊥，则CDmin 12||||PD CM r r ∴=--=2PA PB PD +=∴||PA PB + 的最小值为故选：B35．B 【分析】代入点验证知①正确，计算点到直线的距离得到②错误，计算圆心距为125r r =+，得到③正确，圆方程相减得到公共弦方程，④错误，得到答案. 【详解】将点代入圆方程，222242110++-⨯+=满足，故①正确；圆22:28130C x y x y +--+=的圆心为()1,4，到直线4330x y -+=1=，②错误；圆()221:11C x y ++=，圆心为()1,0-，半径11r =，圆()()222:2416C x y -+-=，圆心为()2,4，半径为24r =125r r =+，故③正确；两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=方程相减得到24120x y -+=，即公共弦方程为：260x y -+=，④错误. 故选：B. 36．A 【分析】解方程213(2)0m m m ⨯-⨯-=，再检验即得解. 【详解】解：因为l 1与l 2平行，所以2213(2)0,(23=0m m m m m m ⨯-⨯-=∴--）， 所以(3)(1)=0,0m m m m -+∴=或1m =-或3m =.当3m =时，两直线重合为x +9y +6＝0，与已知不符，所以舍去. 当0m =或1-时，符合题意. 故选：A 37．10x y -+= 【详解】圆：x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C(－1,0)，因为直线0x y +=的斜率为1-，所以与直线0x y +=垂直的直线的斜率为1，因此所求直线方程为+1y x =，即x －y ＋1＝038．2 【分析】先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求得a 的值. 【详解】解：直线20x y +-=的斜率为1-，和10ax y -+=的斜率为a ，直线20x y +-=和10ax y -+=的夹角为3π，∴()()1tan311a a π--==+⋅-，求得2a ==，或2a ==，故答案为：2【点睛】本题考查两直线的夹角公式，是基础题. 39．()0,6-或()0,9 【分析】设P 点坐标，由点到直线距离公式求解． 【详解】设(0,)P a 6=，解得a =6-或9.所以P 点坐标为(0,6)-或(0,9)． 故答案为：(0,6)-或(0,9)． 【点睛】本题考查点到直线的距离公式，掌握点到直线距离公式是解题关键．40．92【分析】根据直线方程求其与坐标轴的交点坐标，再应用三角形面积公式求直线与坐标轴围成的三角形的面积即可. 【详解】令0y =，则3x =；令0x =，则3y =， ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积193322S =⨯⨯=. 故答案为：9241．(0,2) 【分析】先计算原点与点P 的距离，此时过点P 与原点的距离最大且仅有一条，过原点和点P 时，距离最小，最小为0，可得与原点的距离为d 的直线有两条时d 的取值范围. 【详解】过点P 的直线中，与原点的距离最大为||2OP ，最小为0， 当02d <<时，与原点的距离为d 的直线有两条. 故答案为：(0,2). 【点睛】本题考查了过定点的直线与定点的距离的范围问题，属于基础题. 42．3 【分析】根据平行可得斜率相等列出关于参数的方程，解方程进行检验即可求解. 【详解】因为直线()()1:3410l a x a y -+-+=与()2:23220l a x y --+=平行， 所以()()2324(3)0a a a -----=，解得3a =或5a =， 又因为5a =时，1:210l x y -+=，2:4220l x y -+=， 所以直线1l ，2l 重合故舍去，而3a =,1:10l y +=,2:220l y -+=，所以两直线平行. 所以3a =， 故答案为：3. 【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．43．14【分析】由题意，可得22a b +表示直线上的点(),a b 到原点的距离的平方，根据点到直线距离公式，即可求出最小值.【详解】因为22220(()0)+-+=-a b a b 表示点(),a b 到原点距离的平方，又点(),a b 在直线10x -=上，所以当点(),a b 与原点连线垂直于直线10x -=时，距离最小，即22a b +最小；因为原点到直线10x +-=的距离为12==d ， 所以22214≥=+d a b . 即22a b +有最小值14.故答案为：14【点睛】本题主要考查直线上的点与原点距离最值的问题，熟记点到直线距离公式即可，属于常考题型. 44．x-y -5=0 【分析】利用两条直线垂直的条件，求得AB 边上的高线CD 所在直线的斜率，再用点斜式求得AB 边上的高线CD 所在直线的方程． 【详解】AB 直线的斜率为3012AB k -=--＝﹣1，故AB 边上的高线CD 所在直线的斜率为1， 故AB 边上的高线CD 所在直线的方程为y +2＝1（x ﹣3），即 x ﹣y ﹣5＝0， 故答案为：x ﹣y ﹣5＝0． 45．22(2)(2)5x y -+-= 【分析】由题可求三角形三顶点的坐标，三角形的外接圆的方程即求. 【详解】令2()430f x x x =-+=，得1x =或3x =， 则(1,0)A ，(3,0)B∴外接圆的圆心E 的横坐标为2，设()2,E m ，半径为r ，由(0)3f =，得(0,3)C ，则||||EA EC =r ， 得2m =，r =∴ABC 的外接圆E 的方程为22(2)(2)5x y -+-=. 故答案为：22(2)(2)5x y -+-=.46．【详解】试题分析：由12l l ⊥，那么，解得：.考点：两条直线在一般式下垂直的充要条件的应用. 47．0或83【分析】利用已知条件得(1)0a b a +-=⎧⎪=，求解检验即可得解. 【详解】由题意得(1)0a b a +-=⎧⎪， 解得22a b =⎧⎨=-⎩或232a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 经检验，两种情况均符合题意， ∴a ＋b 的值为0或83.故答案为：0或83.【点睛】方法点睛：形如直线1111:0l A x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=， 当l 1∥l 2时，A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0；当l 1⊥l 2时，A 1A 2＋B 1B 2＝0.48． 【详解】令(),P x y ,而点P 关于直线y x =的对称点为P '，所以(),P y x ',(),OP y x '=;而AQ OP '=,所以(),AQ y x =;而()1,1A ,所以()1,1Q y x ++;所以()1,1PQ y x x y =-+-+,2PQ =()222y x -+;而动点P 在圆221x y +=上,所以()202y x ≤-≤,所以()22226y x ≤-+≤,6PQ ≤,所以PQ 的取值范围是.故答案为. 49．7- 【详解】试题分析：由题意可知系数满足()()()()3542{38532a a a a ++=⨯+⨯≠-⨯，解方程得7a =-考点：两直线平行的判定 50．724【分析】由2()1f x og x =，()()f a f b k ==，得到1ab =，然后根据a ，b 范围画出其图像，找到MON∆面积最大的情况，求出此时MN 长度，及O 点到MN 的距离，从而计算出MON ∆面积的最大值. 【详解】 由题意，可知：1223b ≤≤，()f b ∴2211og b og b ==-． 又()()f a f b k ==，1a ∴>，()2211f a og a og a ∴==．()()f a f b =，2211og a og b ∴=-，即：2221110og a og b og ab +==，1ab ∴=．∴曲线C 的轨迹方程即为：1ab =．1223b≤≤，1ab=．∴322a≤≤，则曲线C的图象如图：MON∆面积要取最大值，∴当M、N为曲线C的两个端点时，MON∆面积最大，M∴点坐标为32,23⎛⎫⎪⎝⎭，N点坐标为12,2⎛⎫⎪⎝⎭．则直线MN的直线方程为：23323122223yx--=--，化简，得：2670x y+-=．MN⎛==⎝原点O到直线MN的距离d==MON∴∆面积的最大值为：1172224MN d⋅⋅==．故答案为724．【点睛】本题考查对数函数的图像与性质，两点间距离，点到直线的距离，题目涉及到的知识点较多，比较综合，属于中档题.51．()1,4【详解】设(,)P x y ' ，则21113(1,4)423122y x x P y y x -⎧⋅=-⎪=⎧⎪-⇒∴⎨⎨=++⎩⎪+⎩'=⎪ 52．3-或2 【详解】试题分析：依题意可得20311a a =≠+,解得3a =-或2a =． 考点：两直线平行． 53．32 【分析】根据题意，由直线经过点(1,2)-，分析可得28a b -=，即82a b =+；进而可得824111224444a b bb b b+++=+=+，结合基本不等式分析可得答案． 【详解】根据题意，直线80(,)ax by a b R +-=∈经过点(1,2)-，则有28a b -=， 即82a b =+；则82441112242432444a b bb b b b ++++=+=+⨯=，当且仅当2b =-时等号成立； 即124ab +的最小值是32；故答案为：32． 【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及直线的一般式方程，属于中档题． 54．22-【详解】因为点(m 在圆224x y += 上,点9(,)n n 在曲线9y x= 上,所以本题转化为求圆224x y +=与曲线9y x=上的两点之间的最小值,如下图，作直线y x = 与它们的图象在第一象限交于A,B 两点，显然圆224x y +=与曲线9y x=的图象都关于直线y x =对称，所以AB 就是圆224x y +=与曲线9y x=上的两点之间距离的最小值,求出(3,3)A B ,所以222(3(322AB =+=-所以。
2025年高考数学复习核心考点全题型突破(新教材新高考)第01讲 直线与方程(解析版)
第01讲直线与方程目录题型一：直线的倾斜角与斜率 (1)题型二：求直线的方程 (5)题型三：直线过定点问题 (9)题型四：与直线方程有关的最值问题 (12)题型五：由两直线的位置关系（平行或垂直）求参数 (16)题型六：与距离有关的问题 (18)题型七：点关于直线对称 (21)题型八：直线关于直线对称 (25)题型一：直线的倾斜角与斜率例题2．（2023秋·四川广安的最小值是（）A ．2【答案】B24y x --表示点(,)P x y 与(4,2)Q 连线的斜率k ，当直线PQ 与圆相切时，设直线方程为2(y k -=圆心到直线的距离24221k k d k -+==+，解得k =因为0y ≤，所以125k =，当直线经过点(1,0)A -时，20224145y x --==---，由图可知21255k ≤≤，所以24y x --的最小值是25，故选：B精练核心考点的取值范围为（由斜率公式，射线PA的斜率为射线PB的斜率为20111PBk-==+如上图，由题意，一束光射向题型二：求直线的方程题型三：直线过定点问题精练核心考点12+⎧题型四：与直线方程有关的最值问题故选：A．例题2．（2023秋·安徽亳州()+-+=，其中mx n y110A．2B精练核心考点24y x --表示点(,)P x y 与(4,2)Q 连线的斜率当直线PQ 与圆相切时，设直线方程为圆心到直线的距离2421k k d k -+==+因为0y ≤，所以125k =，当直线经过点(1,0)A -时，24y x -=-由图可知21255k ≤≤，所以24y x --的最小值是25，故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）若点为.【答案】247/337【详解】曲线C 方程化为()21x -+3y x +表示点(),P x y 与点()3,0-连线的斜率，不妨设题型五：由两直线的位置关系（平行或垂直）求参数题型六：与距离有关的问题精练核心考点题型七：点关于直线对称如图所示，设直线x y +由直线10x y ++=方程可得其倾斜角为设A 关于直线1x y ++=则A A D '、、三点共线，易知故PA PB PA PB '+=+点M 关于x 轴对称点M '在圆A 上，则精练核心考点即PO PA +．设()0,0O 关于直线易得PO PB =，当A ，P ，B 三点共线时，由直线OA 与l 垂直和线段OA 的中点在解得:43a b =⎧⎨=⎩，()4,3.题型八：直线关于直线对称典型例题例题1．（2023秋·高二单元测试）已知从点()5,3-发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：()()22115x y -+-=的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A ．2310x y -+=B ．2310x y --=C ．3210x y -+=D ．3210x y --=【答案】A精练核心考点3．（2023·江苏·高二专题练习）已知入射光线经过点点()3,7N ，则反射光线所在直线的方程为【答案】7270x y --=【详解】设()3,4M -关于直线:l x y -则线段AM 的中点为34,22a b -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线34a b。
高考文科数学练习题直线与方程
第九章⎪⎪⎪解析几何第一节 直线与方程[考纲要求]1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．4．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．5．能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．6．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．突破点一 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系[基本知识]1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 2．直线的斜率公式(1)定义式：若直线l 的倾斜角α≠π2，则斜率k ＝tan_α.(2)两点式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．两条直线平行与垂直的判定两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )(4)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (5)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 二、填空题1．过点M (－1，m )，N (m ＋1,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 答案：12．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为________． 答案：343．(2019·湖南百所中学检测)若直线l 1：ax ＋y －1＝0与l 2：3x ＋(a ＋2)y ＋1＝0平行，则a 的值为________．答案：14．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________． 答案：⎣⎡⎭⎫3π4，π[全析考法]考法一 直线的倾斜角与斜率1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：斜率k k ＝tan α＞0k ＝0 k ＝tan α＜0不存在 倾斜角α锐角0°钝角90°2．在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k ＝tan α的单调性，如图所示：(1)当α取值在⎣⎡⎭⎫0，π2内，由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 由0增大并趋向于正无穷大；(2)当α取值在⎝⎛⎭⎫π2，π内，由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由负无穷大增大并趋近于0. 解决此类问题，常采用数形结合思想．[例1] (1)(2019·江西五校联考)已知直线l 与两条直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率是( )A.23B.32C ．－23D ．－32(2)(2019·张家口模拟)直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4B.⎝⎛⎭⎫π2，πC.⎣⎡⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4[解析] (1)设P (a,1)，Q (b ，b －7)，则⎩⎨⎧a ＋b2＝1，1＋b －72＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以P (－2,1)，Q (4，－3)，所以直线l 的斜率k＝1－(－3)－2－4＝－23，故选C.(2)直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α＜π2.[答案] (1)C (2)C [方法技巧]求直线倾斜角范围的注意事项直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)． 考法二 两直线的位置关系两直线位置关系的判断方法 (1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．[例2] (1)(2019·武邑中学月考)已知过两点A (－3，m )，B (m,5)的直线与直线3x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．3B ．7C ．－7D ．－9(2)(2019·安徽六安四校联考)设m ∈R ，则“m ＝0”是“直线l 1：(m ＋1)x ＋(1－m )y －1＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋4＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题可知，5－mm ＋3＝－3，解得m ＝－7，故选C. (2)由直线l 1与l 2垂直可得(m ＋1)(m －1)＋(1－m )·(2m ＋1)＝0，解得m ＝0或m ＝1.所以“m ＝0”是“直线l 1：(m ＋1)x ＋(1－m )y －1＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋4＝0垂直”的充分不必要条件．故选A.[答案] (1)C (2)A [方法技巧]由一般式方程确定两直线位置关系的方法到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．[集训冲关]1.[考法一]已知直线过A (2,4)，B (1，m )两点，且倾斜角为45°，则m ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．5D ．－1解析：选A ∵直线过A (2,4)，B (1，m )两点，∴直线的斜率为m －41－2＝4－m .又∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，即4－m ＝1，∴m ＝3.故选A.2.[考法一、二]已知倾斜角为θ的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos 2θ的值为( ) A.35 B ．－35C.15D ．－15解析：选B 由题意得－12·tan θ＝－1，∴tan θ＝2，cos 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35，故选B.3.[考法二]若直线l 1：ax －(a ＋1)y ＋1＝0与直线l 2：2x －ay －1＝0垂直，则实数a ＝( ) A ．3 B ．0 C ．－3D ．0或－3解析：选D ∵直线l 1与直线l 2垂直，∴2a ＋a (a ＋1)＝0，整理得a 2＋3a ＝0，解得a ＝0或a ＝－3.故选D.4.[考法二]设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0的斜率都是－12，截距不相等，∴两条直线平行，故前者是后者的充分条件；当两条直线平行时，得a 1＝2a ＋1≠－14，解得a ＝－2或a ＝1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选C.突破点二 直线的方程[基本知识]直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x 0，y 0)，斜率k y －y 0＝k (x －x 0) 与x 轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b ，斜率k y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线 两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与x 轴、y 轴均不垂直的直线 截距式 横截距a ，纵截距bx a ＋y b ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面直角坐标系内所有直线[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )(3)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb ＝1表示．( )答案：(1)× (2)√ (3)× 二、填空题1．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________________________．答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝02．(2019·开封模拟)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 斜率的－14的直线方程为____________．答案：3x ＋4y ＋15＝03．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为____________．解析：由已知，得BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，且直线BC 边上的中线过点A ，则BC 边上中线的斜率k ＝－113，故BC 边上的中线所在直线方程为y ＋12＝－113⎝⎛⎭⎫x －32，即x ＋13y＋5＝0.答案：x ＋13y ＋5＝0[全析考法]考法一 求直线方程[例1] (2019·湖北十堰模拟)已知菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程． [解] (1)k BC ＝－5－(－1)6－8＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2.∴AD 边所在直线的方程为y －7＝2(x ＋4)， 即2x －y ＋15＝0. (2)k AC ＝－5－76－(－4)＝－65.∵菱形的对角线互相垂直， ∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56.∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0.[方法技巧]求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．考法二 与直线方程有关的最值问题[例2] (1)已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)，当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是( )A ．0B ．2 C. 2D ．1(2)若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)[解析] (1)直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a ，此直线在x 轴，y 轴上的截距和为a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时，等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是1，故选D.(2)令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．[答案] (1)D (2)C [方法技巧]与直线方程有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y 表示x 或用x 表示y ； (2)将问题转化成关于x (或y )的函数；(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．[集训冲关]1.[考法一]已知直线l 过点P (1,3)，且与x 轴，y 轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0解析：选A 设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得⎩⎨⎧1a ＋3b ＝1，12ab ＝6，解得a ＝2，b ＝6.故直线l 的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0.故选A.2.[考法一]过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________． 解析：当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1(a ≠0)，即x －y ＝a (a ≠0)，把(－3,5)代入，得a ＝－8， 所以直线方程为x －y ＋8＝0.故所求直线方程为y ＝－53x 或x －y ＋8＝0.答案：y ＝－53x 或x －y ＋8＝03.[考法二]已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析：直线l 1可写成a (x －2)＝2(y －2)，直线l 2可写成2(x －2)＝a 2(2－y )，所以直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154.当a ＝12时，面积最小． 答案：12突破点三 直线的交点、距离与对称问题[基本知识]1．两条直线的交点2．三种距离类型 条件距离公式两点间的距离点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2点到直线的距离点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2两平行直线间的距离 两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (2)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( ) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )(4)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB的中点在直线l 上．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 二、填空题1．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 的值为________． 答案：2－12．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为________． 答案：8233．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第________象限．答案：二4．(2018·忻州检测)在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称，则直线l的方程为________________________________________________________________________．答案：2x －y －3＝0[全析考法]考法一 距离问题[例1] (2019·北京西城期中)已知直线l 经过点P (－2，1)． (1)若点Q (－1，－2)到直线l 的距离为1，求直线l 的方程； (2)若直线l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程．[解] (1)当直线l 的斜率不存在时，即直线l 的方程为x ＝－2，符合要求； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)， 整理得kx －y ＋2k ＋1＝0，Q (－1，－2)到直线l 的距离d ＝|－k ＋2＋2k ＋1|k 2＋(－1)2＝|k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43，所以直线l 的方程为4x ＋3y ＋5＝0.(2)由题知，直线l 的斜率k 一定存在且k ≠0，故可设直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋1＝0， 当x ＝0时，y ＝2k ＋1，当y ＝0时，x ＝－2k ＋1k ，∴2k ＋1＝－2k ＋1k ，解得k ＝－1或－12，即直线l 的方程为x ＋2y ＝0或x ＋y ＋1＝0. [方法技巧]1．解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．2．求两条平行线间的距离要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．考法二 对称问题[例2] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上， 所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. [方法技巧]1．中心对称问题的两种类型及求解方法2．轴对称问题的两种类型及求解方法[集训冲关]1.[考法一]“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3，则有|1＋3＋C |12＋(3)2＝3，解得C ＝2或C ＝－10，故“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.2.[考法二]直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 在所求直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ，－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0，故选A.3.[考法一]已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x－1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝04.[考法二]若直线l 与直线2x －y －2＝0关于直线x ＋y －4＝0对称，则直线l 的方程为________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －2＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即两直线的交点坐标为(2,2)，在直线2x －y －2＝0上取一点A (1,0)，设点A 关于直线x ＋y －4＝0的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧ba －1＝1，a ＋12＋b2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，即点A 关于直线x ＋y －4＝0的对称点的坐标为(4,3)，则直线l 的方程为y －23－2＝x －24－2，整理得x －2y ＋2＝0.答案：x －2y ＋2＝0[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．(2019·永州模拟)已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则直线l 1与直线l 2之间的距离为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选B 由平行线间的距离公式可知，直线l 1与直线l 2之间的距离为|1＋1|2＝ 2.3．(2019·成都月考)当点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时，m 的值为( ) A. 2 B ．0 C ．－1D ．1解析：选C 直线mx －y ＋1－2m ＝0过定点Q (2,1)，所以点P (3，2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时，P Q 垂直直线，即m ·2－13－2＝－1，∴m ＝－1，故选C.4．(2019·济宁模拟)过点(－10,10)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为( )A ．x －y ＝0B ．x ＋4y －30＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0D ．x ＋y ＝0或x －4y －30＝0解析：选C 当直线经过原点时，此时直线的方程为x ＋y ＝0，满足题意．当直线不经过原点时，设直线方程为x 4a ＋y a ＝1，把点(－10,10)代入可得a ＝152，故直线方程为x 30＋2y 15＝1，即x ＋4y －30＝0.综上所述，可知选C.5．(2019·深圳月考)若两直线kx －y ＋1＝0和x －ky ＝0相交且交点在第二象限，则k 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：选A 由题意知k ≠±1.联立⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1＝0，x －ky ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝k1－k 2，y ＝11－k 2，∴⎩⎨⎧k1－k 2＜0，11－k 2＞0，∴－1＜k ＜0.故选A.6．(2019·银川月考)点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为( ) A ．(6,3) B ．(3，－6) C ．(－6，－3)D ．(－6,3)解析：选C 设点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0的对称点为Q (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －5a －2·(－1)＝－1，a ＋22＋b ＋52＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－3，即P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为(－6，－3)．故选C.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·广州月考)已知点A (1，3)，B (－1,33)，则直线AB 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120°D ．150°解析：选C 设直线AB 的倾斜角为α. ∵A (1，3)，B (－1,33)， ∴k AB ＝33－3－1－1＝－3，∴tan α＝－3，∵0°≤α＜180°，∴α＝120°.故选C.2．(2019·惠阳月考)点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为( ) A ．2 5B.55C. 5D.255解析：选C 点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|2－10＋3|1＋4＝ 5.故选C.3．(2019·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A ．7 B.172 C ．14D ．17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172.4．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C. 2D ．16解析：选A 因为点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，所以x 2＋y 2的最小值即为原点到直线x ＋y －4＝0距离的平方，d ＝|－4|1＋1＝22，d 2＝8.5．(2019·重庆第一中学月考)光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经x 轴反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离为( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 5解析：选C 点B (2,10)关于x 轴的对称点为B ′(2，－10)，由对称性可得光线从A 到B 的距离为|AB ′|＝(－3－2)2＋[5－(－10)]2＝510.故选C.6．(2019·黄陵期中)不论m 为何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3)D ．(9，－4)解析：选D ∵直线方程为(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5， ∴直线方程可化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0.∵不论m 为何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，－x －y ＋5＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.故选D. 7．(2018·成都五校联考)已知A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0解析：选B 由|PA |＝|PB |得点P 一定在线段AB 的垂直平分线上，根据直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，可得A (－1，0)，将x ＝2代入直线x －y ＋1＝0，得y ＝3，所以P (2,3)，所以B (5,0)，所以直线PB 的方程是x ＋y －5＝0，选B.8．(2019·大庆一中期末)设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞ 解析：选B 直线ax ＋y ＋2＝0过定点P (0，－2)，可得直线PA 的斜率k PA ＝－52，直线PB 的斜率k PB ＝43.若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则－52＜－a ＜43，解得－43＜a ＜52，故选B.9．(2019·河南新乡期末)三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1解析：选C 由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10，故选C.10．(2019·淮安期末)若三条直线x ＋y －2＝0，mx －2y ＋3＝0，x －y ＝0交于一点，则实数m 的值为________．解析：直线x ＋y －2＝0，x －y ＝0的交点为(1,1)，所以m －2＋3＝0，解得m ＝－1. 答案：－111．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________________．解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪c ＋32，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.答案：12x ＋8y －15＝012．直线l ：x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．解析：设直线l 的倾斜角为θ，依题意知，θ≠π2，直线l 的斜率k ＝－33cos α，∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎡⎦⎤－33，33，即tan θ∈⎣⎡⎦⎤－33，33.又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π 13．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1,0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是________________．解析：设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3， 得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3. 联立⎩⎨⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝⎛⎭⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0. 要使直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1,0)连线的斜率k MA与k MB 之积为3，则Δ＝⎝⎛⎭⎫23m 2－24⎝⎛⎭⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16.所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞ 14．(2019·江苏如皋联考)“m ＝3”是“两直线l 1：mx ＋3y ＋2＝0和l 2：x ＋(m －2)y ＋m －1＝0平行”的________条件．(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个填空)解析：若l 1∥l 2，则m (m －2)－3＝0，解得m ＝3或m ＝－1(此时两直线重合，舍去)，所以m ＝3，必要性成立；若m ＝3，k 1＝k 2，l 1∥l 2，充分性成立，所以“m ＝3”是“两直线l 1：mx ＋3y ＋2＝0和l 2：x ＋(m －2)y ＋m －1＝0平行”的充要条件．答案：充要15．(2019·四川达州月考)已知直线l 过点(1,2)且在x ，y 轴上的截距相等． (1)求直线l 的一般方程；(2)若直线l 在x ，y 轴上的截距不为0，点P (a ，b )在直线l 上，求3a ＋3b 的最小值． 解：(1)①截距为0时，l ：y ＝2x ；②截距不为0时，k ＝－1，l ：y －2＝－(x －1)，∴y ＝－x ＋3.综上，l 的一般方程为2x －y ＝0或x ＋y －3＝0.(2)由题意得l ：x ＋y －3＝0，∴a ＋b ＝3，∴3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝63，当且仅当a ＝b ＝32时，等号成立，∴3a ＋3b 的最小值为6 3.16．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0. 所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线， 最大距离为|－5|5＝ 5.。
2023年新高考数学一轮复习9-1 直线与直线方程(真题测试)含详解
专题9.1 直线与直线方程（真题测试）一、单选题1．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.92．（2020·山东·高考真题）直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（ ）A ．32100x y --=B ．32230x y --=C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=3．（2020·山东·高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4．（山东·高考真题）如下图，直线l 的方程是（ ）A 0y -=B 20y --=C 310y --=D ．10x -=5．（2020·全国·高考真题（文））点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（ ）A ．1 BC D ．26．（2018·北京·高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．47．（全国·高考真题（理））等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）A ．3B ．2C ．13-D ．12- 8．（四川·高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（ ）A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ>B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ10．（2023·全国·高三专题练习）过点(2,3)P ，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ）A ．320x y -=B ．10x y -+=C ．50x y +-=D ．4250x y -+=11．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）A ．直线()32y ax a a R =-+∈必过定点()3,2B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2C 10y -+=的倾斜角为60°D ．过点()1,2-且平行于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=12．（2022·山东省实验中学模拟预测）对于平面直角坐标系内的任意两点()11,P x y ，()22,Q x y ，定义它们之间的一种“距离”为1212PQ x x y y =-+-‖‖．已知不同三点A ，B ，C 满足AC BC AB +=‖‖‖‖‖‖，则下列结论正确的是（ ）A ．A ，B ，C 三点可能共线B ．A ，B ，C 三点可能构成锐角三角形C ．A ，B ，C 三点可能构成直角三角形D ．A ，B ，C 三点可能构成钝角三角形三、填空题13．（2008·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p 在线段OA 上（异于端点），设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点E ，F ，一同学已正确算出OE 的方程：11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程：__________________________． 14．（四川·高考真题（理））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是______．15．（2017·北京·高考真题（理））三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Qi 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________.②记pi 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.16．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知点P 是x 轴上的任意一点，(0,2)A -，(3,0)B -，则2||||AP BP +的最小值为_________.四、解答题17.（2022·全国·高三专题练习）已知一直线经过点()1,2，并且与点()2,3和()0,5-的距离相等，求此直线的方程．18．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l ：120(R)kx y k k -++=∈，直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求此时直线l 的方程.19．（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，AB AC =，120A ∠=︒，(0,2)A ，边BC 所在的直线方程10y --=，求边AB 、AC 所在的直线方程．20．（2023·全国·高三专题练习）已知两曲线3y x ax =+和2y x bx c =++都经过点()1,2P ，且在点P 处有公切线．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；21．（2022·全国·高三专题练习）已知(4,3)A -､(2,1)B -和直线:4320l x y +-=，若坐标平面内存在一点P ，使PA PB =，且点P 到直线l 的距离为2，求点P 的坐标.22．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线1210:l mx y -+=，直线()21:10l x m y ---=(1)若12l l //，求m ；(2)当01m <<时，设直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，求211k k -的最小值．专题9.1 直线与直线方程（真题测试）一、单选题1．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】D【解析】【分析】 设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++， 所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =， 故选：D2．（2020·山东·高考真题）直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（ ）A ．32100x y --=B ．32230x y --=C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=【答案】D【解析】【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，，则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，因为点(2,4)x y ---在直线2360x y +-=上，所以()()223460x y --+--=即2320x y +-=.故选：D.3．（2020·山东·高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【解析】【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果.【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>，则角θ是第四象限角，故选：D.4．（山东·高考真题）如下图，直线l 的方程是（ ）A 0y -=B 20y --=C 310y --=D ．10x -=【答案】D【解析】【分析】 由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解.【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=， 所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=．故选：D5．（2020·全国·高考真题（文））点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（ ）A ．1BC D ．2 【答案】B【解析】【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果.【详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.6．（2018·北京·高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +. 【详解】22cos sin 1θθ+=∴，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.7．（全国·高考真题（理））等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）A ．3B ．2C ．13-D ．12- 【答案】A【解析】【详解】，，设底边为 由题意，到所成的角等于到所成的角于是有，再将A 、B 、C 、D 代入验证得正确答案是A ．8．（四川·高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【详解】 试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.所以sin()14πθ≤+≤PA PB +≤.选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（ ）A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ>B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ【答案】ACD【解析】【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可.【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是0,，即[)0,θπ∈，所以sin 0θ≥， 当2πθ≠时直线的斜率tan θk ，故A 、C 均错误；B 正确；对于D ：若直线的斜率4tan3k π==3π，故D 错误； 故选：ACD 10．（2023·全国·高三专题练习）过点(2,3)P ，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ） A ．320x y -=B ．10x y -+=C ．50x y +-=D ．4250x y -+=【答案】AB【解析】【分析】根据题意，分直线l 过原点和不过原点两种情况讨论求解即可．【详解】解：若直线l 过原点，则直线的方程为y kx =，将点(2,3)P 代入得32k ，所以直线方程为32y x =，即320x y -=； 若直线l 不过原点，根据题意，设直线方程为1x y a a-=， 将点(2,3)P 代入得1a =-，故直线l 的方程为10x y -+=；所以直线l 的方程为：320x y -=或10x y -+=．故选：AB ．11．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）A ．直线()32y ax a a R =-+∈必过定点()3,2B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2C 10y -+=的倾斜角为60°D ．过点()1,2-且平行于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=【答案】AC【解析】【分析】将直线方程化为()()320x a y -+-=，即可求出直线过定点坐标，从而判断A ，令0x =求出y ，即可判断B ，求出直线的斜率即可得到倾斜角，从而判断C ，根据两直线平行斜率相等求出直线方程即可判断D ；【详解】解：对于A ，()32y ax a a R =-+∈，即()()320x a y -+-=，令3020x y -=⎧⎨-=⎩，即32x y =⎧⎨=⎩，所以直线()32y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)，故A 正确； 对于B ，对于直线32y x =-，令0x =得2y =-，所以直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 错误；对于C ，10y -+=，即1y +，所以斜率k =60︒，故C 正确；对于D ，过点(1,2)-且平行于直线230x y -+=的直线方程为：[]12(1)2y x -=--，即250x y -+=，故D 错误， 故选：AC ．12．（2022·山东省实验中学模拟预测）对于平面直角坐标系内的任意两点()11,P x y ，()22,Q x y ，定义它们之间的一种“距离”为1212PQ x x y y =-+-‖‖．已知不同三点A ，B ，C 满足AC BC AB +=‖‖‖‖‖‖，则下列结论正确的是（ ）A ．A ，B ，C 三点可能共线B ．A ，B ，C 三点可能构成锐角三角形 C ．A ，B ，C 三点可能构成直角三角形D ．A ，B ，C 三点可能构成钝角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】取两定点为A ，C ，再设任意点B ，然后利用给定定义逐项分析、计算判断作答. 【详解】令点(0,0),(1,0)C A ，设点(,)B t s ，则有||||1,||||||||,|||||1|||AC BC t s AB t s ==+=-+， 由AC BC AB +=‖‖‖‖‖‖得：1|||1|t t +=-， 当0,0s t =<时，A ，B ，C 三点共线，且有1|||1|t t +=-成立，A 正确； 当0s ≠时，则A ，B ，C 三点不共线，若0=t ，有90ACB ∠=，且1|||1|t t +=-成立，ABC 为直角三角形，C 正确； 若0t <，显然ACB ∠是钝角，且1|||1|t t +=-成立，ABC 为钝角三角形，D 正确； 若0t >，1|||1|t t +=-不成立，显然A ，B ，C 三点不可能构成锐角三角形，B 不正确. 故选：ACD 三、填空题13．（2008·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p 在线段OA 上（异于端点），设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点E ，F ，一同学已正确算出OE 的方程：11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程：__________________________．【答案】1111()()0x y c b p a -+-=【解析】【详解】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想1111()()0x y c b p a -+-=．事实上，由截距式可得直线:1x yAB a b+=，直线，两式相减得1111()()0x y c b p a-+-=，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求的直线OF 的方程．14．（四川·高考真题（理））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，2||52AB PA PB ⨯≤=.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一. 15．（2017·北京·高考真题（理））三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Qi 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记pi 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.【答案】 Q 1 p 2 【解析】 【详解】试题分析：作图可得11A B 中点的纵坐标比2233,A B A B 中点的纵坐标大，所以Q 1，Q 2，Q 3中最大的是1Q ，分别作123,,B B B 关于原点的对称点123,,B B B '''，比较直线112233,,A B A B A B '''的斜率（即为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数），可得22A B '最大，所以p 1，p 2，p 3中最大的是2.p 【考点】图象的应用，实际应用问题【名师点睛】本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，因为第i 名工人加工总的零件数是i i A B +，比较总的零件数的大小，即可转化为比较2i i A B +的大小，而2i iA B +表示i i A B 中点连线的纵坐标，第二问也可转化为i i A B 中点与原点连线的斜率.16．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知点P 是x 轴上的任意一点，(0,2)A -，(3,0)B -，则2||||AP BP +的最小值为_________.【答案】3+3 【解析】 【分析】如图，过B 点作倾斜角为6π的直线BM ，过点P 作PE BM ⊥，则1||||2PE PB =，从而得1||||||||||2AP BP AP PE AE +=+≥，然后利用点到直线的距离公式求出A 到直线BM 的距离，进而可求出2||||AP BP +的最小值，【详解】如图，过B 点作倾斜角为6π的一条直线:3)BM y x =+，过点P 作PE BM ⊥于E ，则||1||2PE PB =，即1||||2PE PB =，所以1||||||||||2AP BP AP PE AE +=+≥，A 到直线BM 的距离d =因此2||||AP BP +的最小值为3+故答案为：3+四、解答题17.（2022·全国·高三专题练习）已知一直线经过点()1,2，并且与点()2,3和()0,5-的距离相等，求此直线的方程．【答案】420x y --=或1x = 【解析】 【分析】当直线斜率存在时，设出方程，由点到直线的距离解出斜率即可；斜率不存在时检验满足条件即可. 【详解】假设所求直线的斜率存在，则可设其方程为()21y k x -=-，即20kx y k --+=．，即17k k -=-，解得4k =，则直线方程420x y --=．又所求直线的斜率不存在时，方程为1x =，适合题意．∴所求直线的方程为420x y --=或1x =． 18．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l ：120(R)kx y k k -++=∈，直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求此时直线l 的方程.【答案】30x y -+=或10x y ++=【解析】 【分析】根据直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，可得1k =或1k =-，再代入直线方程可得结果. 【详解】由120(R)kx y k k -++=∈得12y kx k =++，斜率为k ， 因为直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， 所以1k =或1k =-，当1k =时，直线l 的方程为30x y -+=， 当1k =-时，直线l 的方程为10x y ++=.综上所述：直线l 的方程为30x y -+=或10x y ++=.19．（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，AB AC =，120A ∠=︒，(0,2)A ，边BC 所在的直线方程10y --=，求边AB 、AC 所在的直线方程．【答案】边AB 、AC 所在的直线方程分别是0x =， 2y =+或边AB 、AC 所在的直线方程分别是2y x =+，0x =. 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，结合直线夹角公式、直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】因为AB AC =，120A ∠=︒，所以ABC 是等腰三角形，且30ABC ACB ∠=∠=︒，10y --=60︒. 当过(0,2)A 的直线不存在斜率时，此时该直线方程为0x =，10y --=的夹角为30，符合题意； 当过(0,2)A 的直线存在斜率k 时，所以有tan 30k ︒⇒=2y =+，所以边AB 、AC 所在的直线方程分别是0x =， 2y x =+，或者边AB 、AC 所在的直线方程分别是2y x =+，0x =. 20．（2023·全国·高三专题练习）已知两曲线3y x ax =+和2y x bx c =++都经过点()1,2P ，且在点P 处有公切线．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积； 【答案】(1)1,2,1ab c ===-(2)12 【解析】 【分析】（1）先求导，根据两曲先都经过点()1,2P ，且在点P 处有公切线求解；（2）由（1）得到公切线方程24(1)y x -=-，分别令0x =，0y =，再利用面积公式求解. (1)解：两函数3y x ax =+和2y x bx c =++的导数分别为： 23'=+y x a 和2y x b '=+，由题意121232a b c a b +=⎧⎪++=⎨⎪+=+⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩；(2)由（1）知公切线方程为24(1)y x -=-， 即420x y --=，令0x =得2y =-，令0y =得12x =， 所以所求面积为1112222S =⨯⨯=.21．（2022·全国·高三专题练习）已知(4,3)A -､(2,1)B -和直线:4320l x y +-=，若坐标平面内存在一点P ，使PA PB =，且点P 到直线l 的距离为2，求点P 的坐标.【答案】(1,4)-或278,77⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据PA PB =,可知点P 在AB 的垂直平分线上，求出AB 的垂直平分线方程，根据P 到直线l 的距离为2，列出方程即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(,)a b .∵(4,3)A -，(2,1)B -，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3,2)-.而AB 所在直线的斜率31142AB k -+==--， ∴线段AB 的垂直平分线方程为23y x +=-，即50x y --=. ∵点(,)P a b 在直线50x y --=上，∴50a b --=……①； 又点(,)P a b 到直线4320x y +-=的距离为22=，即43210a b +-=±……②.联立①②，解得1,4,a b =⎧⎨=-⎩或27,78.7a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故所求点P 的坐标为(1,4)-或278,77⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为(1,4)-或278,77⎛⎫- ⎪⎝⎭22．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线1210:l mx y -+=，直线()21:10l x m y ---= (1)若12l l //，求m ；(2)当01m <<时，设直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，求211k k -的最小值． 【答案】(1)2m =；(2)3+【解析】 【分析】（1）直接由直线一般式方程的平行公式求出m ，代入直线方程检验是否重合即可； （2）先表示出12,k k ，通过211k k -()2111m m m m ⎛⎫=++- ⎪-⎝⎭结合基本不等式即可求出最小值. (1)由题意知：[](1)21m m ⋅--=-⨯，解得2m =或1m =-，又1m =-时，1:210l x y --+=，2:210l x y +-=，12,l l 重合，舍去，故2m =. (2)由题意知121,21m k k m ==-，又01m <<，则10m ->，则211k k -()2121211111m m m m m m m m ⎛⎫=-=+=++- ⎪---⎝⎭2(1)3331m m m m -=++≥+=+-2(1)1m m m m -=-，即2m =. 故211k k -的最小值为3+。
高考数学专题《直线与直线方程》习题含答案解析
专题9.1 直线与直线方程1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】直线x +y =0和直线x−ay =0互相垂直的充要条件是1×(−a)+1×1=0，即a =1，故选C 2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（ ）ABC．D【答案】C 【解析】原点到直线40x y +-==故选C.3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （）．A．过点)2-BC ．倾斜角为60°D ．在y 轴上的截距为1【答案】BC 【分析】根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解【详解】点)2-的坐标不满足方程1y =-，故A 错误；根据斜截式的定义，直线l的斜率tan k θ==60°，故B ，C 正确；由1y =-，知直线l 在y 轴上的截距为1-，故D 错误．故选：BC4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（）．A ．直线l 的斜率可以等于0练基础B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =-【答案】BD 【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误.【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在，当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误；∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m =m =B 选项正确；直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误；当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在，当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-，令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确．故选：BD ．5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0°【答案】ABD 【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，A 正确；对于B 选项，若0b =，0a ≠，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，B 正确；对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，C 错误；对于D 选项，若0a =，0b ≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0°，D 正确．故选：ABD ．6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______.【答案】32-43【分析】将直线转化为斜截式即可得出斜率，令0y =可求出在x 轴上的截距.【详解】由3240x y +-=，可得322y x =-+，故该直线的斜率32k =-.令0y =，得43x =，所以该直线在x 轴上的截距为43.故答案为：32-；43.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．【答案】1x = 2y =【分析】根据斜率和倾斜角的关系得出直线2l 和直线3l 的斜率再求解其直线方程即可.【详解】易知直线1l 的斜率为1，倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为90︒，直线3l 的倾斜角为0︒，又因为直线2l 和直线3l 都经过点()1,2，所以直线2l 和直线3l 的方程分别为1x =，2y =．故答案为：1x =；2y =8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________．【答案】-4；2【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案.【详解】解：直线1:3480l x y +-=和2:320l x ay -+=，12l l //，334a -∴=，解得4a =-；∴2:3420l x y ++= 两直线1l 与2l间的距离是：2d == .故答案为：4-；2.9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________.【答案】34310【解析】直线1l 的方程为3420x y --=即为3142y x =-，斜率为34.因为直线2l 的方程为6810x y --=即为13402x y --=，所以直线1l 与2l 平行，则直线1l 与2l310.故答案为：34；31010．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|PA |+|PB |＝a 的取值范围是 ___________．【答案】2[,2]3-【分析】计算线段AB 的距离，得到点P 的轨迹，将点A ，B 分别代入2x ﹣ay ﹣a ＝0，得到a ，根据题意得到直线l 所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC 的斜率，根结合直线l 与线段AB 始终有交点计算出a 的取值范围.【详解】因为||AB ==||||PA PB +=，由图可知，点P 的轨迹为线段AB ，将点A ，B 的坐标分别代入直线l 的方程，可得a ＝2，a ＝23-，由直线l 的方程可化为：2x ﹣a （y +1）＝0，所以直线l 过定点C （0，﹣1），画出图形，如图所示：因为直线AC 的斜率为k AC ＝1，直线BC 的斜率为k BC ＝2(1)10----＝﹣3，所以直线l 的斜率为k ＝2a ，令2123aa ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得23-≤a ≤2，所以a 的取值范围是[23-，2]．故答案为：[23-，2]．1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．16D ．18【答案】B 【分析】利用给定条件可得1a b +=，再借助“1”的妙用即可计算得解.【详解】因直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则有2220a b --+=，即1a b +=，又0a >，0b >，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，练提升即2b a =时取“=”，由21b a a b =⎧⎨+=⎩得12,33a b ==，所以当12,33a b ==时，14a b+取得最小值9.故选：B2．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,2N ，那么||MN 的最小值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．12【答案】D 【解析】因为动直线()()130m x n y -+-=方程为，所以该直线过定点Q （1,3），所以动点M 在以PQ5,2=圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N3=，所以MN 的最小值为51322-=.故答案为：D 3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线的倾斜角为且过点，其中，则直线的方程为( )C.【答案】B 【解析】，，则直线方程为：故选l θ1sin(22p q-=l 20y --=40y +-=0x -=360y +-=122sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1cos 2θ∴=-23πθ=tan θ=1y x -=-40y +-=B4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】B 【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________.【答案】240x y -+= (0,1)-【分析】根据所求直线与直线210x y -+=平行，设方程为()201x y n n -+=≠求解；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，由112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩求解.【详解】因为所求直线与直线210x y -+=平行，所以设方程为()201x y n n -+=≠，因为直线过点(2,1)M -，代入直线方程解得4n =，所以所求直线方程为：240x y -+=；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，则112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为()0.1-故答案为：240x y -+=，(0,1)-6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程；（2）求OAB ∆面积的最小值.【答案】（1）7241000x y +-=（2）24【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为()34y k x -=-，即430kx y k --+=，则4d ，解得724k =-. 故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=. （2）因为直线l 的方程为430kx y k --+=，所以34,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,43B k -+， 则OAB ∆的面积为()113194431624222S OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由题意可知k 0<，则91624k k --≥=（当且仅当34k =-时，等号成立）.故OAB ∆面积的最小值为()12424242⨯+=.7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1)求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ；(2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程．【答案】(1)2x ﹣y +3＝0，P （﹣2，﹣1）；(2) 3x +4y +10＝0或x ＝﹣2.【分析】(1)由对称关系求直线l 3的方程，联立l 2与l 3的方程，求点P 的坐标，(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m 的方程，再检验过点P 的斜率不存在的直线是否满足要求.【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为2x ﹣y +3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2），即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m 2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意，综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，()4,B n -在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值；（2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式.【答案】(1)2(2)0(3)2y x =+【分析】（1）先把A 点坐标代入()0k y k x =>求出k 的值得到反比例函数解析式为8y x=，然后把(4,)B n -代8y x=可求出n 的值；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m ＝k ，﹣4n ＝k ，然后把两式相减消去k 即可得到m +n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE 4AE mOE ==，tan 4BF n BOF OF -∠==，则144m n-+=，加上0m n +=，于是可解得2,2m n ==-，从而得到(2,4)A ，(4,2)B --，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）当m ＝2，则A （2，4），把A （2，4）代入ky x=得k ＝2×4＝8，所以反比例函数解析式为8y x=，把(4,)B n -代入8y x=得﹣4n ＝8，解得n ＝﹣2；（2）因为点A （m ，4），B （﹣4，n ）在反比例函数()0ky k x=>的图象上，所以4m ＝k ，﹣4n ＝k ，所以4m +4n ＝0，即m +n ＝0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE 4AE mOE ==，在Rt △BOF 中，tan 4BF nBOF OF -∠==，而tan ∠AOD +tan ∠BOC ＝1，所以144m n-+=，而m +n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣2，则A （2，4），B （﹣4，﹣2），设直线AB 的解析式为y ＝px +q ，把(2,4),(4,2)A B --代入得2442p q p q +=⎧⎨-+=-⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为y ＝x +2．9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -.（1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 20x -=或34100x y --=；（2） 不存在这样的直线；理由见解析．【分析】（1）分k 存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；（2）过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，分析即得解【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意．②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=．2，解得34k =，所以直线方程为34100x y --=．故所求直线方程为20x -=或34100x y --=．（2）不存在．理由如下：过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，=，而6>10．（2021·全国高三专题练习）AOB V 是等腰直角三角形，||AB =l 过点(1,1)P 与AOB V 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标；（2）试写出表示AMN V 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.【答案】（1）0k >，1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭；（2）112(1)()012(1)k k k S k kk k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩…，max 1()4S k =.【分析】(1)根据题意，结合图象即可得到k 的取值范围，再联立直线方程即可得到M 的坐标；(2) 由于l 绕P 点转动，则N 点可落在OA 上，也可落在OB 上，AMN S V 的计算不一样，所以必须对l 的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出()S k ，结合函数单调性即可求解.【详解】(1)由已知条件得(1,0)A 、(0,1)B ，0k >，设直线l 的方程为1y kx k =+-.由11x y y kx k +=⎧⎨=+-⎩，得1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.(2)当1k …时，点N 在直角边OA 上，1,0k N k -⎛⎫⎪⎝⎭，1111()1212(1)k S k k k k k -⎛⎫=-⋅= ⎪++⎝⎭.当01k <<时，点k 在直角边OB 上，(0,1)N k -，111()11(1)122212(1)k k S k k k k k =⨯⨯--⨯-⨯=++.∴112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩…，当1k …时，()S k 递减，∴max 1()(1)4S k S ==，当01k <<时，11111()22(1)244S k k =-<-=+.综上所述，当1k =时，max 1()4S k =.1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）.A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C 【解析】练真题由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为1y =- 和32y =，显然两直线平行．当k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5，故选 C ．2．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果.【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>，则角θ是第四象限角，故选：D.3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A 0y -=B 20y -=C 310y --=D ．10x -=【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解.【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=，所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=．故选：D4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（ ）A ．25B ．35C ．45D ．1【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为515d =，故选：D.5.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A.（0，1） B.112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， C.113⎛⎤⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1，由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0，故ba-≤0，故点M 在射线OA 上．设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N 为线段BC 的中点，故N （12，12），把A 、N 两点的坐标代入直线y ＝ax +b ，求得a ＝b 13=．②若点M 在点O 和点A 之间，如图：此时b 13＞，点N 在点B 和点C 之间，由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即1122N MB y ⋅⋅=，即 111212b a b a a +⎛⎫⨯+⋅= ⎪+⎝⎭，可得a 212b b=-0，求得 b 12＜，故有13＜b 12＜．③若点M 在点A 的左侧，则b 13＜，由点M 的横坐标b a--＜1，求得b ＞a ．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=，即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ．两边开方可得（1﹣b）=1，∴1﹣b ，化简可得 b ＞1，故有1b 13＜．综上可得b 的取值范围应是 112⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，故选：B ．6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线【答案】①③⑤【解析】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确；②令直线为：，则直线经过整点，②错误；③令直线为：，过两个不同的整点，则，两式作差得：即直线经过整点x y (,)x y k b y kx b =+l l y kx b =+k b l 12y x =+l y =-()2,0l y kx =()11,x y ()22,x y 112y kx y kx =⎧⎨=⎩()1212y y k x x -=-l ()1212,x x y y --直线经过无穷多个整点，③正确；④令直线为：，则不过整点，④错误；⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤∴l l 1132y x =+ll y =()0,0。
高考数学直线方程典型例题解析
高考数学直线方程典型例题解析一. 教学内容： 直线方程［知识点］1. 直线方程两点式：()()()方程推导：已知直线经过两点，，，求直线的l P x y P x y x x l 11122212≠方程？解：k y y x x =--2121代入点斜式()y y k x x -=-121()∴-=---y y y y x x x x 121211·∴--=--y y y y x x x x 121121注意：（1）特殊情况：x ＝x 1或y ＝y 1不能用两点式表示，即与x 轴平行或与x 轴垂直的直线不能用两点式表示，故平面上的直线与两点式方程不是一一对应。
（2）两点式变形形式：（y －y 1）（x 2－x 1）＝（y 2－y 1）（x －x 1） 此方程与平面上的直线一一对应。
2. 直线方程的截距式：公式推导：已知直线与x 轴交于A （0，a ）与y 轴交于B （b ，0），其中（a ≠0，b ≠0）求直线l 的方程。
解用两点式：y b x aa --=--000∴=-y b a x a∴+=x a yb1（截距式）注意：（1）特殊情况：当a ＝0或b ＝0时不能用上式，即过原点或与x 轴平行或与y 轴平行的直线不能用截距式。
（2）截距式是两点式的特殊情况。
3. 直线方程的一般式：方程形式：，、不同时为零。
Ax By C A B ++=0适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可由一般式表示出来。
4. 关于直线方程形式间的互化方法。
【典型例题】例1. 已知直线过点P （-5，-4），且与两坐标轴围成三角形面积为5，求直线l 的方程。
解：设直线的截距式方程为：x a yb +=1则有-+-==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪541125a bab⇒==-a b 52，或，a b =-=524∴-+=--=直线方程为或852*******x y x y例2. 如图，已知直线l 经过点P （3，2），且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B 。
高考数学 试题汇编 第一节 直线与方程 理(含解析)
第一节直线与方程直线的斜率和倾斜角考向聚焦在高考中一般不会单独命题,有时与导数结合命题,主要考查斜率的定义,斜率公式,多以选择题、填空题形式出现,难度不大,所占分值4~5分1.(2010年重庆卷,理8)直线y=x+与圆心为D的圆(θ∈[0,2π))交于A 、B 两点,则直线AD与BD 的倾斜角之和为( )(A)(B)π(C)π(D)π解析:参数方程化为直角坐标方程得(x-)2+(y-1)2=3,∴圆心D(,1),圆心D到直线y=x+的距离为,又圆的半径为,∴∠DAB=∠DBA=,∴不妨认为直线AD的倾斜角为+=,直线BD的倾斜角为+=,∴两直线的倾斜角之和为+=,故选C.答案:C.直线方程与两条直线的位置关系考向聚焦直线方程是平面解析几何的基础,也是高考必考内容,常考查直线平行、垂直的位置关系,以选择题、填空题的形式出现,难度中档,所占分值4~5分备考指津掌握直线方程的几种形式,两条直线平行、相交的条件等基础知识是备考的关键,同时要注意斜率不存在的直线的处理,提高学生分析问题的能力和分类讨论、数形结合思想的应用2.(2010年山东卷,理16)已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上.直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长为2,则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为.解析:设所求直线的方程为x+y+m=0,圆心(a,0),由题意知:()2+2=(a-1)2,解得a=3或a=-1,又因为圆心在x轴的正半轴上,∴a=3,故圆心坐标为(3,0),而直线x+y+m=0过圆心(3,0),∴3+0+m=0,即m=-3,故所求直线的方程为x+y-3=0.答案:x+y-3=0直线与圆的位置关系是新课标的重要知识点,也是高考的热点之一,本题中的直线与圆相交,其弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形,勾股定理是连结“已知”与“未知”的“桥梁”.点到直线的距离或两条平行直线的距离考向聚焦高考对点到直线的距离公式很少单独考查,此公式作为必备的基础知识,一般在试题中的某一步应用该公式,难度不大,所占分值2分左右.3.(2012年江西卷,理7,5分)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=( )(A)2 (B)4 (C)5 (D)10解析:本题主要考查两点间的距离公式,以及坐标法这一重要的解题方法和数形结合的数学思想.法一:以C为原点,CB,CA所在直线分别为x,y轴,建立直角坐标系如图所示 .设点A(0,a),B(b,0),则点D(,),P(,).由两点间的距离公式可得|PA|2=+,|PB|2=+,|PC|2=+,所以==10.故选D.法二:取特殊三角形不失一般性,故不妨令|AC|=|BC|=2,则|AB|=2,|CD|=|AB|=,|PC|=|PD|=|CD|=,|PA|=|PB|===,所以==10.故选D.答案:D.对于平面几何问题,有时另辟蹊径,巧妙利用图中的垂直关系建立直角坐标系,利用坐标法求解,往往能起到事半功倍的奇效.4.(2010年上海卷,理5)圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d= .解析:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心为C(1,2),到直线l的距离d===3.答案:3。
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直线与圆专题复习一 、直线方程的几种形式 ：1.一般式：ax+by+c=0, a ≠02.点斜式：y-y1=k(x-x1)3.斜截距式：y=k x + b4.两点式：121121x x x x y y y y --=--5．截距式：1=+bya x 6、点向式：2111v y y v x x -=- 7、点法式：0)()(11=-+-y y B x x A 二、圆的方程1、 圆的规方程：()()222r b y a x =-+-2、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x 三、直线与直线关系、直线与圆的关系 1、 直线与直线平行的判断及其应用 2、直线与直线垂直的判断及其应用 3、直线与直线相交的判断及其应用 4、直线关于直线的对称直线的方程 5、圆与圆的位置关系及其判断及应用 6、直线与圆的位置关系及其应用 实战演练：1.（高考）直线过点（-1，2）且与直线23x y -+4=0垂直，则的方程是A ． B. C. D.2.（高考）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则K 得值是（ ）（A ） 1或3 （B ）1或5 （C ）3或5 （D ）1或23．若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是： ①15②30③45④60⑤75其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号） 4．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ）A ．221a b +≤B ．221a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．22111a b+≥5、等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）A ．3B ．2C ．13-D ．12-6、直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ） Ａ．210x y +-=Ｂ．210x y +-= Ｃ．230x y +-=Ｄ．230x y +-=7、1l 、2l 、3l 是同一平面的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则△ABC 的边长是（ ）（A ）23 （B ）364（C ）3174（D ）22138、经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是9、（2008高考）在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ， 点(0,)P p 在线段OA 上（异于端点），设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点E ，F ，一同学已正确算出OE 的方程：11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程：。
强化训练：1 ．（2013年高考卷（文））已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）A ．12-B ．1C ．2D ．122 ．（2013年高考卷（文））已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是 （ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定3 ．（2013年高考卷（文））垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是 （ ）A ．20x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．20x y ++=4 ．（2013年高考卷（文））若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C 的方程是_________. 5．（2013年高考卷（文））直线y=2x+3被圆x 2+y 2-6x-8y=0所截得的弦长等于__________.6、（2013年高考卷（文））过点(3,1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦,其中最短的弦长为__________三、解答题 7．（2013年高考卷（文））已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=,点O 是坐标原点.直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两点.(Ⅰ)求k 的取值围。
巩固练习:1、 （卷文4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）A ．x-2y-1=0B ．x-2y+1=0C ．2x+y-2=0D ．x+2y-1=02、 （卷理4）设变量x ，y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z=2x+y 的最大值为（）A ．-2B ．4C ．6D ．83、 （卷理7）设不等式组110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数y=x a 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值围是（ ）A ．（1，3]B ．[2，3]C ． （1，2]D ．[ 3， +∞]4、 （卷理7）若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9，则实数m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 5、 （卷理7文8）某加工厂用某原料由车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（ ）A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱6、 （卷理8）设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称。
对于1Ω中的任意点A 与2Ω中的任意点B ，||AB 的最小值等于（ ）A ．285B ．4C ．125D ．27、 （卷理10）设变量x 、y 满足约束条件2,5100,80,x y o x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数z=3x-4y 的最大值和最小值分别为（）A ．3，-11B ．-3，-11C ．11，-3D ．11，38、 （全国Ⅰ新卷文11）已知 ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，y ）在 ABCD 的部，则z=2x-5y 的取值围是（ ）A ．（-14，16）B ．（-14，20）C ．（-12，18）D ．（-12，20）9、 （卷文15）满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是（）A ．1.B ．32. C ．2. D ．3.10、（卷理16）直线l 的参数方程是x=1+2t()y=2-tt R ⎧∈⎨⎩，则l 的方向向量d 可以是（ ）A ．（1，2）B ．（2，1）C ．（-2，1）D ．（1，-2）11、（卷文11）若点p （m ，3）到直线4310x y -+=的距离为4，且点p 在不等式2x y +＜3表示的平面区域，则m = 。
12、（卷理12文12）已知2z x y =-，式中变量x ，y 满足约束条件,1,2,y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z 的最大值为___________.13、（卷理13）设,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b +的最小值为________。
14、（卷理14文15）已知14x y -<+<且23x y <-<，则23z x y =-的取值围是_______（答案用区间表示）15、（卷理14）铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的的2CO 排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：a b （万吨）c （百万元）A 50％ 1 3 B70％0.56某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求2CO 的排放量不超过2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为（万元）16、（卷理19文19）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。
已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C ．另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C ．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？17、（卷文6）若圆心在x 轴上、半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是（）A ．22(5)5x y -+=B ．22(5)5x y ++=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++= 18、（卷理7）设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．419、（卷理8）直线y=323x +D 的圆33,13x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩())0,2θπ⎡∈⎣交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（）A ．76π B ．54π C ．43π D ．53π 20、（卷文8）若直线y x b =-与曲线2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（[)0,2θπ∈）有两个不同的公共点，则实数b 的取值围为（）A ．(22,1)B ．22,22⎡-+⎣C ．(,22)(22,)-∞-⋃++∞D ．(22,22)21、（卷理8）直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若|MN|≥23k 的取值围是（）A ．3[,0]4-B ．3(,][0,)4-∞-+∞ C ．33[ D ．2[,0]3-22、（卷理9文9）若直线y=x+b 与曲线234y x x =-b 的取值围是（）A ．1,122⎡⎤-+⎣⎦B ． 122,122⎡⎤-+⎣⎦C ． 122,3⎡⎤-⎣⎦D ． 12,3⎡⎤⎣⎦23、（卷文10）直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于M 、N 两点，若|MN|≥23k 的取值围是（）A ．3[,0]4-B ．33[C ．[3,3]D ．2[,0]3-24、（全国Ⅰ卷理11文11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB •的最小值为（）A ． 4-+B ．3-C ． 4-+D ．3-+25、（卷理5文7）圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线l ：3440x y ++=的距离d =。