《函数模型的比较》PPT课件
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几种不同增长的函数模型课件
,
5
2.5 = = ·
4 .
5
∴
4
2
= ,
4
1
= ,
2
5
1
2
∴y1= 4 ,x∈[0,+∞).
P2:y2=bx+c 过点(0,0),(4,1),
= 0,
1
1
∴
∴y2= 4x,x∈[0,+∞).
= ,
4
总利润
(2)设用 x 万元投资甲商品,则投资乙商品为(10-x)万元,总利润
P1:y1=axn,P2:y 2=bx+c 如图所示.
(1)求函数 y1,y2 的解析式;
(2)为使投资获得最大利润,应怎样分配投资额,才能获得最大利
润.
【审题策略】函数图象
y1 与 y2 的解析式
y=y1+y2
最大利润
【规范展示】解:(1)P1:y 1=axn 过点(1,1.25),(4,2.5),
为 y 万元.
1
2
5
1
根据题意得 y= + (10-x)
1
4
1
5
)2+
4
5 2
4
2
=- (
=-
-
4
+
+
65
16
5
10
4
4
(0≤x≤10),
当且仅当 = ,
25
2
即 x= =6.25 时,
4
65
ymax= ,投资乙商品为 10-6.25=3.75(万元).
16
所以用 6.25 万元投资甲商品,3.75 万元投资乙商品,才能获得最
5
2.5 = = ·
4 .
5
∴
4
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= ,
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= ,
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∴y1= 4 ,x∈[0,+∞).
P2:y2=bx+c 过点(0,0),(4,1),
= 0,
1
1
∴
∴y2= 4x,x∈[0,+∞).
= ,
4
总利润
(2)设用 x 万元投资甲商品,则投资乙商品为(10-x)万元,总利润
P1:y1=axn,P2:y 2=bx+c 如图所示.
(1)求函数 y1,y2 的解析式;
(2)为使投资获得最大利润,应怎样分配投资额,才能获得最大利
润.
【审题策略】函数图象
y1 与 y2 的解析式
y=y1+y2
最大利润
【规范展示】解:(1)P1:y 1=axn 过点(1,1.25),(4,2.5),
为 y 万元.
1
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5
1
根据题意得 y= + (10-x)
1
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)2+
4
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=- (
=-
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+
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(0≤x≤10),
当且仅当 = ,
25
2
即 x= =6.25 时,
4
65
ymax= ,投资乙商品为 10-6.25=3.75(万元).
16
所以用 6.25 万元投资甲商品,3.75 万元投资乙商品,才能获得最
新教材苏教版数学必修第一册课件8.2.1 几个函数模型的比较
解：A 种债券的收益是每 100 元一年到期收益 3 元；B 种债券的半年利率为51.45－0 50， 所以 100 元一年到期的本息和为 1001＋51.45－0 502≈105.68(元)，收益为 5.68 元；C 种 债券的利率为1009－7 97，100 元一年到期的本息和为 1001＋1009－7 97≈103.09(元)，收益 为 3.09 元．通过以上分析，应购买 B 种债券．
[跟踪训练] 某债券市场发行三种债券，A 种面值为 100 元，一年到期本息和为 103 元；B 种面值为 50 元，半年到期本息和为 51.4 元；C 种面值为 100 元，但买入价为 97 元，一年到期本 息和为 100 元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为 应购买哪种？
当 a>1 时，指数函数 y＝ax 是增函数，且 a 越大，y＝ax 的函数值的增长就 越快；
当 a>1 时，对数函数 y＝logax 是增函数，且 a 越小，y＝loga x 的函数值的 增长就越快；
当 x>0，n>1 时，幂函数 y＝xn 是增函数，且当 x>1 时，n 越大，y＝xn 的函 数值的增长就越快．
利润 y 与产量 x 的关系，则可选用
()
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
答案：D
几类函数模型增长差异的比较
[例 1] 已知三个变量 y1，y2，y3 随变量 x 变化的数据如下表：
x
12
4
6
8
…
y1
2
4
16
64
256
…
y2
1
4
16
36
[跟踪训练] 某债券市场发行三种债券，A 种面值为 100 元，一年到期本息和为 103 元；B 种面值为 50 元，半年到期本息和为 51.4 元；C 种面值为 100 元，但买入价为 97 元，一年到期本 息和为 100 元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为 应购买哪种？
当 a>1 时，指数函数 y＝ax 是增函数，且 a 越大，y＝ax 的函数值的增长就 越快；
当 a>1 时，对数函数 y＝logax 是增函数，且 a 越小，y＝loga x 的函数值的 增长就越快；
当 x>0，n>1 时，幂函数 y＝xn 是增函数，且当 x>1 时，n 越大，y＝xn 的函 数值的增长就越快．
利润 y 与产量 x 的关系，则可选用
()
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
答案：D
几类函数模型增长差异的比较
[例 1] 已知三个变量 y1，y2，y3 随变量 x 变化的数据如下表：
x
12
4
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8
…
y1
2
4
16
64
256
…
y2
1
4
16
36
函数模型及其应用_PPT课件
设在公路通车的后 5 年中，每年用 x 万元投资于本地的销售，
而用剩下的(60－x)万元投资于外地的销售，则其总利润为
W2＝
[－
1 160
(x－
40)2＋
100]×5＋
(－
159 160
x2＋
119 2
x)×5＝
－
5(x
－30)2＋4950.
当 x＝30 时，(W2)max＝4950(万元)．从而 10 年的总利润为27875
例 1 西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，
当地政府对该项特产的销售投资收益为：每投入 x 万元，可获得 利润 P＝－1160(x－40)2＋100 万元．当地政府拟在新的十年发展
规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该 项目每年都投入 60 万元的销售投资，在未来 10 年的前 5 年中， 每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路，5 年修成， 通车前该特产只能在当地销售；
【解】 设温室的左侧边长为 xm，则后侧边长为80x0m.
∴蔬菜种植面积
y
＝
(x
－
4)(
800 x
－
2)
＝
808
－
2(x
＋
16x00)(4<x<400)，
∵x＋16x00≥2 x·16x00＝80，∴y≤808－2×80＝648(m2)．
当且仅当 x＝16x00，即 x＝40，此时80x0＝20(m)，y 最大＝648m2.
∴当矩形温室的左侧边长为 40m，后侧边长为 20m 时，蔬菜
的种植面积最大，为 648m2.
变式迁移 2 某工厂有一段旧墙长 14m，现准备利用这段旧 墙为一面建造平面图形为矩形，面积为 126m2 的厂房，工程条件 是：①建 1m 新墙的费用为 a 元；②修 1m 旧墙费用是a4元；③拆 去 1m 旧墙，用所得的材料建 1m 新墙的费用为a2元，经讨论有两 种方案：(1)利用旧墙的一段 xm(x<14)为矩形厂房一面的边长；
新教材苏教版必修第一册 几个函数模型的比较 课件(32张)
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 y＝2x 比 y＝2x 增长的速度更快些．
()
(2)当 a>1，k>0 时，在区间(0，＋∞)上，对任意的 x，总有
logax<kx<ax 成立．
()
(3)函数 y＝log1x 衰减的速度越来越慢．
2
()
[答案] (1)× (2)× (3)√
A．y＝ex
B．y＝ln x
C．y＝2x
D．y＝e－x
A [结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知 A正确．]
3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图 所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度 越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不 变．
似与 y轴 平行 似与 x轴 平行 长速度
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度 __越__来__越__快___，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速 度，y＝logax(a>1)的增长速度 越来越慢 ；在描 述现实问题的变化规律时，常用“指数爆
炸”“直线上升”“对数增长”来表示指数函
1 2
x
与h(x)＝－2x在区间(0，＋
∞)上的递减情况说法正确的是( )
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速
度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速
度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速 度不变
指数函数、对数函数与一次函数模型的比较
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第三章第九节函数模型及其应用pptx课件北师大版
1 2
x -300x+80 000,假设每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的收入为200
2
元.
(1)该公司二氧化碳月处理量为多少吨时,每吨的平均月处理成本最低,最
低平均成本是多少?
(2)该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少?(月收益=月收
入-月处理成本)
解 (1)设每吨的平均处理成本为t元,
由已知得
所以
t=
=
1 80 000
x+
-300,x∈[300,600].
2
1 80 000
1
80 000
t=2x+ -300≥2 2 · -300=2
1 80 000
x=
,即
2
40 000-300=100,当且仅当
x=400 时,等号成立.
故当二氧化碳月处理量为400吨时,每吨的平均月处理成本取得最低值100
益为282万元.
时,△AMN 的面积为
1
f(t)= ×2×[t-(2t-2)]=2-t;当
2
1
f(t)=2×2×[(2t-4)-(t-2)]=t-2;当
1
f(t)=2·
2t·
t=t2;当
1<t≤2
2<t≤3 时,△AMN 的面积为
3<t≤4 时,△AMN 的面积为
2 ,0 ≤ ≤ 1,
2-,1 < ≤ 2,
C.y=max+n(m>0,a>1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1)
)
答案
B
解析 由函图象可知符合条件的只有指数函数模型,并且m>0,0<a<1,故
x -300x+80 000,假设每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的收入为200
2
元.
(1)该公司二氧化碳月处理量为多少吨时,每吨的平均月处理成本最低,最
低平均成本是多少?
(2)该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少?(月收益=月收
入-月处理成本)
解 (1)设每吨的平均处理成本为t元,
由已知得
所以
t=
=
1 80 000
x+
-300,x∈[300,600].
2
1 80 000
1
80 000
t=2x+ -300≥2 2 · -300=2
1 80 000
x=
,即
2
40 000-300=100,当且仅当
x=400 时,等号成立.
故当二氧化碳月处理量为400吨时,每吨的平均月处理成本取得最低值100
益为282万元.
时,△AMN 的面积为
1
f(t)= ×2×[t-(2t-2)]=2-t;当
2
1
f(t)=2×2×[(2t-4)-(t-2)]=t-2;当
1
f(t)=2·
2t·
t=t2;当
1<t≤2
2<t≤3 时,△AMN 的面积为
3<t≤4 时,△AMN 的面积为
2 ,0 ≤ ≤ 1,
2-,1 < ≤ 2,
C.y=max+n(m>0,a>1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1)
)
答案
B
解析 由函图象可知符合条件的只有指数函数模型,并且m>0,0<a<1,故
指数函数,幂函数,对数函数的增长的比较及函数模型 课件
2018年年份代码为 = 2，依此类推）有两个函数模型 = > 0, > 1 与
= + > 0 可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型
的函数解析式；
(2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：
2、建立函数模型解决实际问题的步骤
（1）确切理解题意：明确问题的实际背景，进行科学的抽象、概括，将实际问
题转化为数学问题。
（2）建立相应的数学模型（选择合适的数学模型）
（3）求解函数模型，得出数学结论
（4）将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义，并进行验证，
看是否符合实际。
典 例 剖 析
1
= 80 + 4 21 , = 2 + 120，设甲大棚的资金投入为（单位：万元），
4
每年两个大棚的总收入为 （单位：万元），求 的最大值。
题型六 分段函数模型
例6、通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力着老师讲课时间的变化
而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的
指数函数、幂函数、对数函
数增长的比较与函数模型
目
标
1
输 入 标 题 名 称
2
输 入 标 题 名 称
3
输 入 标 题 名 称
4
输 入 标 题 名 称
情 景 导 入
每年的3月21日时植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树
活动，某市现有树木面积为10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现
有两种方案如下：
状态,随后学生的注意力开始分散,设 表示学生注意力随时间(分钟)的变化
= + > 0 可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型
的函数解析式；
(2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：
2、建立函数模型解决实际问题的步骤
（1）确切理解题意：明确问题的实际背景，进行科学的抽象、概括，将实际问
题转化为数学问题。
（2）建立相应的数学模型（选择合适的数学模型）
（3）求解函数模型，得出数学结论
（4）将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义，并进行验证，
看是否符合实际。
典 例 剖 析
1
= 80 + 4 21 , = 2 + 120，设甲大棚的资金投入为（单位：万元），
4
每年两个大棚的总收入为 （单位：万元），求 的最大值。
题型六 分段函数模型
例6、通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力着老师讲课时间的变化
而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的
指数函数、幂函数、对数函
数增长的比较与函数模型
目
标
1
输 入 标 题 名 称
2
输 入 标 题 名 称
3
输 入 标 题 名 称
4
输 入 标 题 名 称
情 景 导 入
每年的3月21日时植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树
活动，某市现有树木面积为10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现
有两种方案如下：
状态,随后学生的注意力开始分散,设 表示学生注意力随时间(分钟)的变化
4.5.3函数模型的应用课件(人教版)
因此我国在1950~1959年期间的人口增长模型为：
y=55196e0.021876t，t∈[0,9].
（2）分别取t=1,2，…，8，由：y=55196e0.021876t 可得我国在
1951～1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，
得到我国在1951～1958年各年末人口总数，如表所示：
关系？
思考1:上表提供的数据对应的散点图大致如何？
体重（kg）
o
身 高 （ cm ）
思考2:根据这些点的散布情况，可以选用那个函数模型进行拟合，
使它能比较近似地反应这个地区未成年男性体重与身高的函数
关系？
体 重 （ kg ）
指数型函数模型y=a·bx，因为它的
图象与散点的变化趋势最类似.
o
思考3:如何求出函数关系式中参数a,b？
A．70元
B．65元
C．60元
D．55元
解析：设该商品每件单价提高x元，销售该商品的月利润为y元，
则y＝(10＋x)(500－10x)＝－10x2＋400x＋5 000
＝－10(x－20)2＋9 000
∴当x＝20时，ymax＝9 000，此时每件定价为50＋20＝70元.
2．以每秒a米的速度从地面垂直向上发射子弹，t秒后的高度x米
（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国的人口总数
到达13亿？
设置探究问题：
(1)本例中所涉及的数量有哪些?
答：经过t年后的人口数y,y0；人口年平均增长率r；经过的
时间t以及1950～1959年我国的人口数据.
(2)描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的?确定
这种函数模型需要几个因素?
下表是1951～1958年我国的人口数据资料：
y=55196e0.021876t，t∈[0,9].
（2）分别取t=1,2，…，8，由：y=55196e0.021876t 可得我国在
1951～1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，
得到我国在1951～1958年各年末人口总数，如表所示：
关系？
思考1:上表提供的数据对应的散点图大致如何？
体重（kg）
o
身 高 （ cm ）
思考2:根据这些点的散布情况，可以选用那个函数模型进行拟合，
使它能比较近似地反应这个地区未成年男性体重与身高的函数
关系？
体 重 （ kg ）
指数型函数模型y=a·bx，因为它的
图象与散点的变化趋势最类似.
o
思考3:如何求出函数关系式中参数a,b？
A．70元
B．65元
C．60元
D．55元
解析：设该商品每件单价提高x元，销售该商品的月利润为y元，
则y＝(10＋x)(500－10x)＝－10x2＋400x＋5 000
＝－10(x－20)2＋9 000
∴当x＝20时，ymax＝9 000，此时每件定价为50＋20＝70元.
2．以每秒a米的速度从地面垂直向上发射子弹，t秒后的高度x米
（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国的人口总数
到达13亿？
设置探究问题：
(1)本例中所涉及的数量有哪些?
答：经过t年后的人口数y,y0；人口年平均增长率r；经过的
时间t以及1950～1959年我国的人口数据.
(2)描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的?确定
这种函数模型需要几个因素?
下表是1951～1958年我国的人口数据资料：
函数模型及其应用几种不同增长的函数模型课件
03
工程学
在工程学中，对数增长函数可以用来描述某些物理量的变化过程。例如，
材料的疲劳寿命与应力之间的关系往往呈现出对数增长的趋势。
05
幂次增长函数模型
幂次增长函数定义与性质
定义：幂次增长函数是指形如 y = ax^m (a > 0, m ≠ 0) 的函数，其中 a 是常数，m 是实数。
性质
当 m > 0 时，函数在整个定义域内单 调递增；
性质
线性增长函数具有比例性、可加 性和可减性。即当自变量x增加或 减少一个单位时，函数值y按一定 比例增加或减少。
线性增长函数图像及特点
图像
线性增长函数的图像是一条直线， 斜率为k，截距为b。
直线性
图像是一条直线，表示函数值 随自变量变化而均匀变化。
比例性
图像上任意两点的纵坐标之差 与横坐标之差的比值相等，即 斜率k。
函数性质
包括单调性、奇偶性、周期性、连续性等。这些性质反映了函数图像的变化规律 和函数值的分布特征。
常见函数类型及图像
一次函数
形如$y=kx+b(k neq 0)$的函数。图像是 一条直线，斜率为$k$，截距为$b$。
三角函数
如正弦函数、余弦函数、正切函数等。它 们的图像分别是正弦曲线、余弦曲线和正 切曲线，具有周期性和对称性。
统计学
在统计学中，线性增长函数可用于进 行数据拟合和预测分析，如回归分析 中的线性回归模型。
03
指数增长函数模型
指数增长函数定义与性质
01
定义：指数增长函数是一种形如 y = a * b^x （其中 a ≠ 0， b > 1）的函数，表示自变量 x 的指数增长。
02
性质
几类不同增长的函数模型 课件
第三步：利用数学方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予 以解答，求得结果． 第四步：再转译成具体问题作出解答．
题型一 一次函数模型的应用 【例 1】 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 50 元， 其成本价为 25 元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有 0.5 立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水 进行处理，并准备实施．
2．解函数应用题的步骤 第一步：阅读理解、认真审题． 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背 景中概括出来的数学实质．在此基础上，分析出已知什么，求 什么，涉及哪些知识．审题时要抓住题目中的关键量，善于联 想、化归，实现应用问题向数学问题的转化． 第二步：引进数学符号，建立数学模型． 一般地设自变量为 x，函数为 y，并用 x 表示各相关量，然后根 据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知 识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问 题的数学化，即所谓建立数学模型．
题型三 对数函数的模型 【例 3】 (12 分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究 燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v＝ 5log21Q0，单位是 m/s，其中 Q 表示燕子的耗氧量． (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位； (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度是多少？ 审题指导 由题意可知飞行速度是耗氧量的函数，由函数表达式 分别给变量赋值，求出另外的量．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理 1 立方米污 水所用原料费 2 元，并且每月排污设备损耗费为 30 000 元； 方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理 1 立方 米污水需付 14 元的排污费．问： (1)工厂每月生产 3 000 件产品时，你作为厂长，在不污染环境， 又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明． (2)若工厂每月生产 6 000 件产品，你作为厂长，又该如何决策 呢？
高中数学必修一3.2函数模型(共23张PPT)
解:每次过滤杂质含量降为原来的
2 3
,过滤n次后杂质含量
为 2%（ 2） n 2 (2)n
3 1003
结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学
模型．依题意，得 2(2)n 1 ,即 (2)n1
100 3 10003 20
例：某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%， 若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 1 ，问至少应过 滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2＝0.33010，lg3＝0.4771）
题型三、指数、对数型函数及直线函数模型的应用
例：三个变量y1、y2、y3随变量x的变化情况如下表：
x
y1
y2
y3
其中x呈对数函数型变化的变量是 y2 呈指数函数型变化的变量是 y3
，f(x)＝mlogax＋n ，f(x)＝abx＋c
呈直线函数型变化的变量是 y1 ． f(x)＝kx＋b
例：某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%， 若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 1 ，问至少应过 滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2＝0.33010，lg3＝0.4771）
2、建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量 的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函 数式，不要忘记考察函数的定义域；
3、求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函 数的值域、最大（小）值等，注意发挥函数图象的作用；
4、还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符 合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结 论，作出回答．
∴该函数在[20,30]上单调递减，即
几个函数模型的比较高一数学教学课件(2019)(1(精)
8.2.1几个函数模型的比较
学习目标
1. 掌握常见增函数的定义、图象、性质，并体会其 增长快慢． 2. 理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，比 较三种函数模型的性质． 3. 会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题 ．
复习引入 问题1. 我们学习了哪些基本函数? 这些函数的图象是怎样的? 在解 决实际问题时, 你如何选择函数模型?
解: 在奖励模型中, 其定义域为 {x|10≤x≤1000}. 按要求, 三个函数的最大值不能超过 5 万元, 同时, y 又不能超过 x 的 25%.
三个函数在 [10, 1000]上都是增函数, 其最大值分别是:
y1=0.251000=250(万元), y2=log71000+1 ≈4.55(万元), y3=1.0021000 ≈7.37(万元). 只有第二个函数 y=log7x+1 符合第一条要求.
15
20
25
合作探究 上述例子中, 我们接触到了常数函数 y=40, 一次函数 y=10x,
y=0.25x-1, 指数函数 y=0.410x, y=1.002x, 对数函数 y=log7x.
应用函数的图象, 通过分析函数的增长速度, 函数的值域等 来选择函数模型.
这些函数中增长最快的是指数函数, 增长最慢的是对数函数, 常函数没有增长.
合作探究
另解: 利用几何画板画出三个函数的图象进行分析.
16
在 [10, 1000] 内, 14
最大值不能超过 5 万元12 , ① y 不能超过 x 的 25%, 即 10 y≤0.25例x,2②的图象
很明显, y=0.25x 不满足8 ①.
指数函数随着 x 的增大6增长速度很快,
y = 0.25∙x
学习目标
1. 掌握常见增函数的定义、图象、性质，并体会其 增长快慢． 2. 理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，比 较三种函数模型的性质． 3. 会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题 ．
复习引入 问题1. 我们学习了哪些基本函数? 这些函数的图象是怎样的? 在解 决实际问题时, 你如何选择函数模型?
解: 在奖励模型中, 其定义域为 {x|10≤x≤1000}. 按要求, 三个函数的最大值不能超过 5 万元, 同时, y 又不能超过 x 的 25%.
三个函数在 [10, 1000]上都是增函数, 其最大值分别是:
y1=0.251000=250(万元), y2=log71000+1 ≈4.55(万元), y3=1.0021000 ≈7.37(万元). 只有第二个函数 y=log7x+1 符合第一条要求.
15
20
25
合作探究 上述例子中, 我们接触到了常数函数 y=40, 一次函数 y=10x,
y=0.25x-1, 指数函数 y=0.410x, y=1.002x, 对数函数 y=log7x.
应用函数的图象, 通过分析函数的增长速度, 函数的值域等 来选择函数模型.
这些函数中增长最快的是指数函数, 增长最慢的是对数函数, 常函数没有增长.
合作探究
另解: 利用几何画板画出三个函数的图象进行分析.
16
在 [10, 1000] 内, 14
最大值不能超过 5 万元12 , ① y 不能超过 x 的 25%, 即 10 y≤0.25例x,2②的图象
很明显, y=0.25x 不满足8 ①.
指数函数随着 x 的增大6增长速度很快,
y = 0.25∙x
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y=5
4
y log 600 800 1000 1200
x
下面列表计算确认上述判断：
奖金/万元 模型 利润
10
y＝0.25X 2.5
y 1.002 x y log 7 x 1
1.02
2.18
20
5
1.04
2.54
…
…
…
…
800
4.95
4.44
810
问分题析：在先例建1立中三，涉种及方哪案些所数对量应关系的？函如数何模用型函，数描述 这方些案数一量：关y系=4？0,y=10x, y 0.4 2x1 。通过 比较它们的增长情况，为选择投资方案提供 依据。
从表格中获取信息，体会
我们来计算三种方案所得回报的增长情况三：种函数的增长差异。
方案一
…
…
…
30 40
0 300 10 214748364.8107374182.4
下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：
y
我们看到，底为
y 0.4 2 x1
2的指数函数模型比 线性函数模型增长
速度要快得多。从中
体会“指数爆炸“的含义。
160
y= 10x
120
80 y=40
40
o ２ ４ ６ ８ 10 12 x
情境创设(请单击下图开始播放)
我们来看两个具体问题：
例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方 案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报 10元 方案三:第一天回报0.4元，以后每天的回 报比前一 天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？
作业：
1．课本116页课后练习第二题 2．举出生活实例，并用函数模型进行分析。
y＝0.25X，y log 7 x 1 y, 1.002 x ,其中哪 个模型能符合公司的要求？
问题：例2涉及了哪几类函数模型？本例的实质是 什么？
我们不妨先作出函数图象：
y8 y=0.25x
7 6 5
y 1.002 x
通对过数观增察长函模数型图比象 得较到适初合步于结描论述：增按 对长数速模度型平进缓行的奖变励 时化符规合律公。司的要求。
方案二
x/天 y/元 增加量 y/元 增加量
方案三 y/元 增加量
1
40
2
40
3
40
4
40
5
40
6
40
7
40
10
0.4
0
20
10
0.8
0.4
0
30
10
1.6
0.8
0
40
10
3.2
1.6
0
50
10
6.4
3.2
0
60
10
12.8
6.4
0
70
10
25.6 12.8
8
40
0
80
10
51.2 25.6
…
……
…
下面再看累计的回报数：
回报/ 元
天 数
12
3
方案
45
67
8 9 10 11
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4409.2818.8
5.04
4.442
…
…
…
…
1000
4.55
问我题们:来当看x函数10,1y000log时7 ,x奖金1 是0.否25不x 的超图过象利:润的25%呢?
y o
10
x 综上所述:模型 y log7 x 1
确实符合公司要求.
小结
确定函数模型 利用数据表格、函数 图象讨论模型 体会直线上升、指数 爆炸、对数增长等不同类型函数的含义。
结论：投资8天以下，应选择第一种投资方案； 投资8－10天，应选择第二种投资方案；投资 11天，应选择第三种投资方案。
例2 某公司为了实现1000万元利润的目标， 准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在 销售利润达到10元时，按销售利润进行奖励， 且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位： 万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万 元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个 奖励模型：
4
y log 600 800 1000 1200
x
下面列表计算确认上述判断：
奖金/万元 模型 利润
10
y＝0.25X 2.5
y 1.002 x y log 7 x 1
1.02
2.18
20
5
1.04
2.54
…
…
…
…
800
4.95
4.44
810
问分题析：在先例建1立中三，涉种及方哪案些所数对量应关系的？函如数何模用型函，数描述 这方些案数一量：关y系=4？0,y=10x, y 0.4 2x1 。通过 比较它们的增长情况，为选择投资方案提供 依据。
从表格中获取信息，体会
我们来计算三种方案所得回报的增长情况三：种函数的增长差异。
方案一
…
…
…
30 40
0 300 10 214748364.8107374182.4
下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：
y
我们看到，底为
y 0.4 2 x1
2的指数函数模型比 线性函数模型增长
速度要快得多。从中
体会“指数爆炸“的含义。
160
y= 10x
120
80 y=40
40
o ２ ４ ６ ８ 10 12 x
情境创设(请单击下图开始播放)
我们来看两个具体问题：
例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方 案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报 10元 方案三:第一天回报0.4元，以后每天的回 报比前一 天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？
作业：
1．课本116页课后练习第二题 2．举出生活实例，并用函数模型进行分析。
y＝0.25X，y log 7 x 1 y, 1.002 x ,其中哪 个模型能符合公司的要求？
问题：例2涉及了哪几类函数模型？本例的实质是 什么？
我们不妨先作出函数图象：
y8 y=0.25x
7 6 5
y 1.002 x
通对过数观增察长函模数型图比象 得较到适初合步于结描论述：增按 对长数速模度型平进缓行的奖变励 时化符规合律公。司的要求。
方案二
x/天 y/元 增加量 y/元 增加量
方案三 y/元 增加量
1
40
2
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25.6 12.8
8
40
0
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10
51.2 25.6
…
……
…
下面再看累计的回报数：
回报/ 元
天 数
12
3
方案
45
67
8 9 10 11
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4409.2818.8
5.04
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…
…
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…
1000
4.55
问我题们:来当看x函数10,1y000log时7 ,x奖金1 是0.否25不x 的超图过象利:润的25%呢?
y o
10
x 综上所述:模型 y log7 x 1
确实符合公司要求.
小结
确定函数模型 利用数据表格、函数 图象讨论模型 体会直线上升、指数 爆炸、对数增长等不同类型函数的含义。
结论：投资8天以下，应选择第一种投资方案； 投资8－10天，应选择第二种投资方案；投资 11天，应选择第三种投资方案。
例2 某公司为了实现1000万元利润的目标， 准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在 销售利润达到10元时，按销售利润进行奖励， 且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位： 万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万 元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个 奖励模型：