约束-自由度
§4-2平面体系的自由度和约束
黄河水利职业技术学院
重庆水利水电职业技术学院
工程力学
/
§4-2 平面体系的自由度和约束
3.多余约束
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而减少， 则此约束称为多余约束。
工程力学
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主持单位: 杨凌职业技术学院
黄河水利职业技术学院
参建单位: 杨凌职业技术学院
与别的物体相联的刚性杆。
工程力学
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§4-2 平面体系的自由度和约束
（2）单铰——联结两个刚片的铰。 （3）复铰——联结三个或三个以上刚片的铰。
工程力学
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§4-2 平面体系的自由度和约束
（4）刚性连结。
（5）虚铰。
工程力学
平面体系的自由度和约束
主 讲 人：袁 芙 蓉
杨凌职业技术学院
2014.09
工程力学
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第四章 平面体系的几何组成分析
§4-2Байду номын сангаас平面体系的自由度和约束
工程力学
/
§4-2 平面体系的自由度和约束
1．自由度
平面体系的自由度是指该体系运动时可以独立变化的几何参数
的数目，即确定体系的位置所需的独立坐标的数目。
工程力学
/
§4-2 平面体系的自由度和约束
2．约束
凡是能够减少体系自由度的装置都可称为约束。能减少一个
自由度，就说它相当于一个约束。
（1）链杆——是两端以铰
机构自由度的计算公式
机构自由度的计算公式1. 机构自由度是指一个机构、系统或者模型能够自由调整和变化的程度。
它可以用数学公式来计算，一般可以使用以下公式：机构自由度= 总体自由度- 约束自由度其中，总体自由度是指机构、系统或者模型中可以自由调整和变化的总的参数数量，而约束自由度是指受到限制和约束的参数数量。
通过计算机构自由度，我们可以了解机构的灵活性和可调整性。
2. 在机构设计中，机构自由度的计算可以进一步细分为平动自由度和转动自由度。
平动自由度是指机构中可以进行平移运动的自由度数量，转动自由度是指机构中可以进行旋转运动的自由度数量。
这两者的计算可以使用以下公式：平动自由度= 总体自由度- 转动自由度转动自由度= 总体自由度- 平动自由度通过计算平动自由度和转动自由度，我们可以更加具体地了解机构的运动方式和约束情况。
3. 在实际应用中，机构自由度的计算可以根据具体的机构结构和设计要求来确定。
通常情况下，机构自由度的计算需要考虑以下几个因素：- 约束条件：机构中的约束条件可以限制机构的运动范围和方式，需要将这些约束条件考虑进机构自由度的计算中。
- 关节数量：机构中的关节数量也会影响机构的自由度。
每个关节都可以提供一定的自由度，因此需要将关节数量考虑进机构自由度的计算中。
- 运动链路：机构中的运动链路是指连接各个部件的路径和方式。
不同的运动链路会影响机构的自由度，需要将运动链路的特性考虑进机构自由度的计算中。
综上所述，机构自由度是通过计算机构中可调整和变化的参数数量来衡量机构的灵活性和可调整性。
它可以通过总体自由度减去约束自由度来计算，也可以进一步细分为平动自由度和转动自由度。
在实际应用中，还需要考虑约束条件、关节数量和运动链路等因素来确定机构自由度的计算。
几何组成分析—刚片、自由度、约束的概念(建筑力学)
m2
(2)g
m5
m3 (3)r
(1)h (1)g m6
(2)g (1)h m8
m7
(3)r
m=9，g=6，r=9
(1)h
m9 (3)r
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×6+2×4+9) = -8
式中： m为刚片数，g为结点数； h为体系内部链杆数； r为支承链杆数 。
图3.8 链杆的约束简图 （a）梁AB有一个约束；（b）梁AB有两个约束； （c）梁AB有三个约束
I B
1根链杆（支杆）相当于1个约束
A II
铰的约束作用
(1) 单铰（连接两个刚片的铰）
1个单铰相当于2个约束，减少2个自由度。
(2) 复铰（连接两个刚片以上的铰）
连接n个刚片的复铰可折算成（n-1）个 单束的概念
刚片、自由度、约束的概念 一、刚片
体系的几何组成分析不考虑材料的应变，任一杆件（或体系中一 几何不变部分）均可看为一个刚体，一个平面刚体称为一个刚片。
注意：链杆和几何不变体系都可看成钢片。
刚片、自由度、约束的概念
二. 自由度：
体系的自由度是指体系运动时， 可以独立改变的几何参数的数目； 即确定体系位置所需要的独立坐标 的数目。
r 为与地基之间加入的支杆数。
刚片、自由度、约束的概念
三、约束
减少自由度的装置称为约束（或联系）。可以减少1个自由度的装 置是1个约束。
杆件与地基之间常用的约束是支杆、固定铰支座和固定支座，称 为外部约束；
杆件之间常用的约束是链杆、铰结和刚结，称为内部约束。
刚片、自由度、约束的概念
链杆（支杆）的约束作用
刚结的约束作用
约束和自由度的关系
约束和自由度的关系约束和自由度是存在于人类生活和社会发展中的两个互相依存的概念。
它们之间的关系紧密而复杂，在生活、工作和社会发展等方面起着重要的作用。
从宏观层面上看，约束和自由度之间的关系是相对的。
一方面，约束可以充分保障人们的自由和权利。
在法律和道德约束下，人们可以有更大的自由空间，不会遭受恶意攻击、侵犯和不公平待遇。
同时，约束也是社会秩序的基础，可以维护公平、正义和安全的社会环境。
正是因为约束的存在，人们才能够在有序的社会中充分发挥自己的能力，创造出更多的财富和价值。
另一方面，自由度也是约束的基础。
只有在自由度充足的情况下，人们才有更大的创造力和创新能力，才能更好地满足个人和社会需要。
例如，在国家和企业中，领导者应该给予员工一定的自由度，让他们能够充分发挥自己的能力和潜力，这样才能提升整个组织的竞争力。
同时，良好的自由度也是吸引优秀人才，推动社会发展的重要依据。
在日常生活中，约束和自由度也同样存在着密切的关联。
人们需要遵循一定的规则和道德准则，对自己的行为进行一定的控制，这是生活中不可或缺的约束。
例如，不可随意侵犯他人的人身自由和财产权，不可自私自利，违反道德和法律的约束，一旦触犯规则就会受到惩罚。
同时，人们也需要保留一定的自由空间，追求自己的兴趣和梦想，发挥自己的才干和潜力，这是生活和工作中必不可少的自由度。
例如，希望选择自己职业发展的方向、爱好、朋友等等，这些都是自由度的表现，可以让生命变得更加丰富多彩。
总之，约束和自由度是两个相互依存、密不可分的概念，是社会稳定和个人自由发展的基础。
在生活和工作中，我们应该适度地遵循约束，同时也保留一定的自由空间，才能让自己的生活和社会更加美好。
第二章第二节平面体系的自由度和约束
一、刚片：本身几何不变的构件。 二、自由度： 确定一物体或体系的位置所需的独立几何参数的数目， 称为这一物体或体系的运动自由度，简称自由度。
平面内一点自由度为2 (有2个自由度)
y x A x y O x O A y
一个刚片在平面内有3个自由度
y B A'
q
q'
B' x
= 3×11 —3×7 —2×5 —5 =—3
体系具有3个“多余约束”
能否把支杆也看成刚片？
√
例：试计算体系的内部可变度
各杆都 看成1个刚片 M =9 R =2 H =9
V =3M —3R —2H —3
= 3×9 —3×2 —2×9 —3 =0
体系内部可变度=0
把AC、CB分别 看成1个刚片
M =7
链杆数： B=23 体系的内部可变度： V= 2J —B —3 = 2×12 —23 —3 = —2
看成6根杆件 M =6 R =6
H =0
V =3M —3R —2H —3 = 3×6 —3×6 —2×0 —3 = —3 体系具有3个“多余约束”
√
整体看成1个刚片 M =1 R =0 H =0 V =3M —3R —2H —3 = 3×1 —3×0 —2×0 —3 =0 体系没有“多余约束”
×
体系内部 3个“多余约束”没有反映出来
例：试计算图示体系的自由度
结点数： 链杆数：
J=14 B=25
支杆总数： S=3 自由度数： W=2J —B —S = 2×14 —25 —3 =0
例：试计算图示体系的内部可变度
结点数：
J=12
结点数：
J=12
链杆数： B=21 体系的内部可变度： V= 2J —B —3 = 2×12 —21 —3 =0
平面体系自由度和约束
平面体系自由度和约束自由度：所谓体系的自由度，是指该体系运动时，用来确定其位置所需的独立坐标（或参变量）的个数。
如果一个体系的自由度大于零，则该体系就是几何可变体系。
（1）点的自由度：平面内一动点A，其位置需用两个坐标x和y来确定，所以一个点在平面内有两个自由度。
1.swf（2）刚片的自由度：一个刚片在平面内运动时，其位置将由其上任一点A的坐标x、y 和过点A的任一直线AB的倾角φ来确定，因此，一个刚片在平面内有三个自由度。
2.swf约束：约束是指能够减少自由度的装置（又称联系）。
减少一个自由度的装置，就称为一个约束（或联系）。
约束有两大类：支座约束和刚片间的约束。
1. 支座约束（1）滚轴支座：能限制刚片A点在垂直方向移动，但不能限制其水平方向移动和绕A 点的转动，减少了一个自由度，相当于一个约束。
3.swf（2）铰支座：能限制刚片A点在水平方向和竖直方向移动，但不能限制其绕A点的转动，减少了两个自由度，相当于两个约束。
4.swf（3）固定支座：能限制刚片在水平、竖直方向的移动和转动，使刚片的自由度减少为零，相当于三个约束。
5.swf2. 刚片间的联结约束（1）单铰约束：联结两个刚片的铰称为单铰。
两刚片在平面内独立的自由度个数为六个，用一个铰将刚片Ⅰ、Ⅱ联结起来，对刚片Ⅰ而言，其位置可由A点的坐标x、y和AB 线的倾角φ1来确定，因此其有三个自由度，刚片Ⅱ相对刚片Ⅰ只能绕A点转动，即两刚片间只保留了相对转角φ2，则由刚片Ⅰ、Ⅱ所组成的体系在平面内有四个自由度，则一个单铰约束减少了二个自由度。
一个单铰相当于两个约束。
6.swf（2）复铰约束：用一个铰同时联结三个或三个以上的刚片，则这种铰称为复铰。
设其中一刚片可沿x、y向移动和绕某点转动，则其余两刚片都只能绕其转动，因此各减少两个自由度。
象这种联结三刚片的复铰相当于两个单铰的作用，由此可见，联结n个刚片的复铰，相当于（n－1）个单铰的作用。
7.swf。
1-1&2约束及约束方程、自由度和广义坐标
§1-2 自由度和广义坐标
确定具有完整约束质点系的位置的独立参数的个数称为 质点系的自由度数。 质点系的自由度数。 例如，图1 例如，图1-5两刚性杆连接两小球组成的双摆，确定两小 球位置的直角坐标为 它们必须满足下面两个约束方程
可见有两个独立坐标，即质点系有两个自由度。 确定一个质点系位置的独立参数选取一般不是唯一的 ，如上述双摆，可以选中的任意两个作为独立参数，也 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下，质点系的广义坐标 在完整约束的情况下， 的数目等于自由度数。 的数目等于自由度数。 如果以 表示一非自由质点系的广义坐标，则各质 点的直角坐标都可以写成这些广义坐标的函数。对于完整、双面和 定常约束，可以写成如下的函数形式
第一章 虚位移定理
§1-1 约束及约束方程
在几何静力学中，我们将限制某物体位移的周围物体 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用， 现在从运动学角度来看约束的作用， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制，这种 限制条件称为该质点系的约束。 限制条件称为该质点系的约束。 例如，圆球被限制在水平面上做纯滚动，这是约束 表现为限制圆球中心到水平面的距离保持不变；圆球与水 平面接触点的速度在每瞬时都为零。在一般情况下，约束 对质点系运动的限制可以通过质点系各质点的坐标或速度 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程。 约束方程。
机械系统的自由度和约束
机械系统的自由度和约束机械系统是由各种互相连接和配合的零件组成的，它们通过各种约束和连接方式形成一个协同工作的整体。
在机械领域中，自由度和约束是研究和设计机械系统的重要概念。
本文将详细探讨机械系统中的自由度和约束的概念及其在设计中的应用。
一、自由度的概念及计算方法自由度是指在机械系统中能够独立运动的最小参数数量。
例如，一个物体在三维空间中的运动需要有三个自由度，因为它可以绕三个轴线进行独立的旋转和平移。
一般来说，机械系统的自由度取决于其可变参数的数量。
在计算机械系统的自由度时，我们可以使用以下公式：F = 3N - C - J其中，F代表自由度，N代表物体的自由度数量，C代表约束的数量，J代表关节类型的数量。
通过计算可得出机械系统的自由度。
二、约束的概念及分类约束是指限制机械系统中零件或物体运动的条件。
在机械系统中，约束分为几种不同的类型，具体包括：1. 几何约束：指的是机械系统中物体之间的位置和方向关系的约束。
例如，一根钢杆通过螺旋装配在两个零件之间，就限制了它们的相对位置和方向。
2. 力学约束：指的是机械系统中物体之间的力和力矩关系的约束。
例如，一个受力的杆件在两端受到固定约束，限制了杆件的运动。
3. 运动约束：指的是机械系统中物体的运动范围和运动方式的约束。
例如，一个平台通过导轨固定在一个平面上，只能在平面上做平移运动。
三、自由度与约束的关系自由度和约束在机械系统中相互制约，它们的关系可以通过以下公式表示：F + C = 3N - J这个公式表明，在机械系统中自由度和约束的总和等于可变参数的数量减去关节的数量。
一般来说，自由度和约束的关系是互补的，当自由度增加时，约束相应减少，反之亦然。
四、自由度和约束在机械系统设计中的应用在机械系统的设计中，理解自由度和约束的概念是非常重要的。
通过合理地设置自由度和约束，可以实现机械系统的运动控制和稳定性。
首先，自由度和约束的分析可以帮助我们确定机械系统的运动自由程度。
刚体自由度计算
刚体自由度计算
刚体自由度计算是一种重要的物理计算方法，它可以用来描述刚体在运动过程中的自由度。
刚体是指形状不变的物体，它的运动可以分解为平移和旋转两个部分。
而自由度则是指刚体在运动过程中可以自由变化的参数，例如位置、速度、角度等。
在刚体自由度计算中，我们需要考虑刚体的几何形状和运动状态。
对于一个刚体而言，它的自由度可以通过以下公式进行计算：
自由度 = 6 - 约束数
其中，6代表刚体在三维空间中的自由度，约束数则是指刚体在运动过程中受到的限制条件。
例如，一个固定在地面上的刚体就有3个约束，因为它不能在x、y、z三个方向上自由运动；而一个在空间中自由运动的刚体则没有约束，因此它的自由度为6。
在实际应用中，刚体自由度计算可以用来解决各种物理问题。
例如，在机械工程中，我们可以通过计算刚体的自由度来确定机械系统的运动状态和稳定性；在航空航天工程中，我们可以利用刚体自由度计算来设计飞行器的姿态控制系统。
刚体自由度计算是一种非常重要的物理计算方法，它可以帮助我们更好地理解和解决各种物理问题。
在未来的科学研究和工程设计中，刚体自由度计算将继续发挥重要作用，为人类创造更加美好的未来。
力学系统的自由度与约束分析
力学系统的自由度与约束分析在力学的广袤领域中，自由度和约束是两个至关重要的概念。
它们如同构建力学大厦的基石，深刻影响着我们对物体运动和力学系统行为的理解。
让我们从自由度的概念说起。
简单来讲，自由度指的是确定一个力学系统在空间中的位置和姿态所需要的独立变量的数目。
比如说，一个在空间中自由运动的质点，它可以在x、y、z 三个方向上独立移动，所以它有三个自由度。
而对于一个在平面上运动的质点，就只有 x 和 y 两个方向的自由度。
再看一个刚性杆件，它在空间中的位置和姿态可以用杆件上某一点的坐标（x、y、z）以及杆件绕三个坐标轴的转角来描述，总共六个自由度。
但如果这个杆件的一端被固定，那么它就失去了一些自由度。
那约束又是什么呢？约束就是对力学系统运动的限制条件。
这些限制可以是几何的，比如一个质点被限制在一个固定的曲面上运动；也可以是物理的，比如两个物体之间通过一根不可伸长的绳子相连。
约束的存在会减少力学系统的自由度。
比如，一个质点被限制在一个平面内运动，那么它原本在空间中的三个自由度就减少为平面内的两个自由度。
在实际的力学问题中，我们经常需要分析力学系统的自由度和约束，这对于求解力学问题有着至关重要的作用。
举个简单的例子，考虑一个单摆。
单摆由一个质量为 m 的小球通过一根长度为 l 的无质量细线悬挂在一个固定点 O 上。
在这个系统中，小球可以在以 O 为圆心、l 为半径的圆弧上摆动。
对于这个单摆系统，我们来分析它的自由度和约束。
首先，小球在空间中的位置可以用它的坐标（x，y，z）来描述。
但由于小球被细线约束在圆弧上运动，所以实际上我们只需要一个角度变量θ 就能确定小球的位置。
因此，这个单摆系统的自由度为 1。
约束条件就是细线的长度不变，即小球到固定点O 的距离始终为l。
根据几何关系，可以得到约束方程：x²＋ y²＝ l²。
通过分析自由度和约束，我们可以大大简化对单摆运动的研究。
构件数,约束数与机构自由度的关系
一、概述在工程学中，机构是指由多个构件组成的系统，构件之间通过连接点连接在一起，因此构成了一个相对独立的结构。
每个构件的自由度用来描述构件在系统中的运动和转动能力，而约束则限制了构件的运动和转动。
在研究机构的时候，构件数、约束数和机构的自由度之间存在着密切的通联。
二、构件数对机构自由度的影响1. 增加构件数会增加机构自由度当一个机构中增加了构件数时，原有的构件之间的连接点会增加，并且新增加的构件也会有自由度，因此整个系统的自由度会增加。
这也意味着系统的运动和转动能力会有所增加，因此构件数和机构的自由度是成正比的关系。
2. 减少构件数会减少机构自由度相反地，如果一个机构中减少了构件数，那么连接点会减少，整个系统的自由度也会减少。
这意味着系统的运动和转动能力会有所减少，因此构件数和机构的自由度也是成反比的关系。
三、约束数对机构自由度的影响1. 增加约束数会减少机构自由度约束可以限制构件的运动和转动，当一个机构中增加了约束数时，构件的运动和转动能力会受到限制，相当于整个系统的自由度会减少。
因此约束数和机构的自由度是成反比的关系。
2. 减少约束数会增加机构自由度相反地，如果一个机构中减少了约束数，构件的运动和转动能力会得到一定程度的放松，整个系统的自由度也会增加。
因此约束数和机构的自由度也是成正比的关系。
四、总结构件数、约束数和机构的自由度之间存在着密切的通联。
增加构件数会增加机构自由度，减少构件数会减少机构自由度；而增加约束数会减少机构自由度，减少约束数会增加机构自由度。
工程师在设计机构的时候需要充分考虑构件数和约束数对机构自由度的影响，以便使机构能够正常运行并满足设计要求。
五、实际案例分析为了更好地理解构件数、约束数与机构自由度的关系，我们可以通过一个实际的案例来进行分析。
假设我们有一个简单的机构，由三个构件组成，每个构件上都有一个连接点，连接点可以自由运动。
如果每个构件和连接点都是自由的，那么整个系统的自由度就可以表示为每个构件和连接点的自由度之和。
约束-自由度
第14章 虚位移原理在静力学中，我们利用力系的平衡条件研究了刚体在力的作用下的平衡问题，但对有许多约束的刚体系而言，求解某些未知力需要取几次研究对象，建立足够多的平衡方程，才能求出所要求的未知力。
这样做是非常繁杂，同时平衡方程的确立只是对刚体而言是必要和充分的条件；而对任意的非自由质点系而言，它只是必要条件不是充分条件。
从本章开始我们学习用数学分析的方法来研究非自由质点系的力学问题，称为分析力学。
1788年，法国科学家拉格朗日发表的《分析力学》一书，给出了解决非自由质点系的新方法，即利用广义坐标描述非自由质点系的运动，使描述系统运动量大大减少，同时从能量角度出发将质点系的动能、势能与功用广义坐标联系起来，给出了动力学普遍方程和拉格朗日方程。
虚位移原理是静力学的最一般原理，它给出了任意质点系平衡的必要和充分条件，减少了不必要的平衡方程，从系统主动力作功的角度出发研究质点系的平衡问题。
14.1 约束·自由度·广义坐标质点或质点系的运动受到它周围物体的限制作用，这种限制作用称为约束，表示约束的数学方程称为约束方程。
按约束方程的形式对约束进行以下分类。
1.几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。
例如图14-1所示的单摆，其约束方程为222l =y +x又如图14-2所示的曲柄连杆机构，其约束方程为⎪⎩⎪⎨⎧--0+22222=y l =)y (y +)x (x r =y x BB A 2B A A A图14-2xy图14-3上述例子中的约束方程均表示几何约束。
如果约束方程中含有坐标对时间的导数，或者说，约束限制质点或质点系运动的条件，称为运动约束。
例如图14-3所示在平直轨道上作纯滚动的圆轮，轮心C 的速度为ωr =v c运动约束方程为0=ωr v c -设c x 和φ分别为轮心C 点的坐标和圆轮的转角，则上式可改写为0C =r φx- 2.定常约束与非定常约束约束方程中不显含时间的约束称为定常约束，上面各例中的约束均为定常约束。
约束、自由度与广义坐标
n≥4 s 3n 6 每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为： n≥4
3.自由刚体的广义坐标 刚体的定点运动的描述方法1—欧拉坐标 z3 z2 z1 z0
q
O
绕z0轴转过y角— —进动角 y3
y j
x0
y
j q
y0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y2
y1
绕x1轴转过q角— —章动角
绕z2轴转过j角— —自转角
x1 x2
x3
xA , y A ,j xB , y B ,q
A B j
xA OAcos b
y A OAsin b
C
q r
D
y
xB OAcosb AB cosj
yB OAsin b ABsin j
xC rq
yC=yD-r
式中： yD OAsin b AB sin j r (1 cosq ) c2
2.自由刚体的自由度 最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体 (形如四面体)，则自由刚体的自由度为：
k 3 4(质点数) （刚杆数） 6 6
设节点数为n,约束数为s。则写成
k 3n s 6
n=4 此后每增加一个质点就增加3根刚杆。 则一般地：
k 3n s
x y z l0 vt
2 2 2
2
v（匀速）
A
f r ( x1, y1, z1 xn , yn , zn ; t ) 0
（3）完整约束与非完整约束 约束方程中不包含坐标对时间的导数（即质点系中各 质点速度的投影）的约束，称为完整约束。 〈1〉位移约束----全部几何约束 〈2〉运动约束可积分----如纯滚动的圆轮;
3-1-2平面体系的自由度及约束
A
(b)
体系运动的一种条件。显然，体系由于加入约束而
使自由度减少。以后我们把能减少一个自由度的装
置称为一个约束。
(1) 一根链杆相当于一个约束
国家共享型教学资源库
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如果用一根链杆将刚片与基础
相联结，则刚片在链杆方向的运动
将被限制。但此时刚片仍可进行两
y
I
种独立的运动，即链杆 AC 绕C 点的
共线的链杆将点 A 与基础相联结［图 (a) ］，则点 A
减少两个自由度，即被固定。
A
(a)
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如果用三根不共线的链杆将点 A与基础相联结 ［图(b)］，实际上仍只减少两个自由度。 如果在一个体系中增加一个约束，
而体系的自由度并不因此而减少，则
此约束称为多余约束。图(b)三根链杆 中有一根是多余约束。 多余约束对体系的自由度没有影 响。
国家共享型教学资源库
y
IHale Waihona Puke A x江苏建筑职业技术学院
(3)一个固定端支座相当于三个约束 如果在点 A 处再加一个阻止刚片转动的约束， 则点 A 处成为一个固定端支座，刚片的自由度等于 零。可见一个固定端支座相当于三个约束。
y
I
A o
国家共享型教学资源库
x
江苏建筑职业技术学院
(4) 一个单铰相当于两个约束 如果用一个铰 A将刚片Ⅰ与刚 片Ⅱ相联结，设刚片Ⅰ的位置可 以由点 A的坐标x、y和倾角1确定， 由于点A是两刚片的共同点，则刚 片Ⅱ的位置只需用倾角 2 就可以 确定。
y
x y o 国家共享型教学资源库 x
江苏建筑职业技术学院
自由度和约束之间的关系
自由度和约束之间的关系
自由度指的是一个物体或一个系统在运动中能够独立变动的自由程度，它决定了一个物体或系统中能够自由变化的参数数目。
在物理学中，自由度往往被用来描述运动物体的状态，例如在三维空间中，一个点有三个自由度，一个刚体有六个自由度，其中三个为平移自由度，另外三个为旋转自由度。
与此同时，约束则指在一个物体或系统中存在的一些限制条件，这些条件可以把物体或系统的自由度减少，从而影响它的运动状态。
约束可以来自于各种因素，例如几何形状、物理特性、外界套件等，不同类型的约束会对物体或系统的运动方式产生不同的影响。
因此，自由度和约束之间存在密切的关系。
在一个系统中，自由度的数目与约束的数目之间存在着某种平衡关系，它们相互制约和影响。
例如，对一个固定的刚体来说，其六个自由度会被固定在某些方向上，形成约束，从而限制了运动状态的变化。
总之，自由度和约束之间的关系在物理学、工程学以及其他相关领域中都有着重要的应用价值，了解其中的关系能够深入探究物体或系统的运动特性，为其他领域的研究提供理论基础。
结构力学自由度计算
的独立坐标数目。
2、刚片：体系几何形状和尺寸不会改变， 可视为刚体的物体。
3、点、刚片、结构的自由度： 1）、一个点在平面上有两个自由度 2）、一个刚片在平面上有三个自由度
A (x, y)
A (x, y)
二、约束
1、约束定义——凡能减少自由度的装置。
1) 一根链杆相当于一个约束，在体系的适当 位置增加一个链杆可使减少体系一个自由度。
y
y
x
y
o
o
x
x
２）、一个单铰相当于两个约束。在体系的适当 位置增加一个单铰可使体系减少两个自由度。
y
y
x
y
o
o
x
x
３）、联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰， 相当于(n-1)×2个约
x
４）、刚性联结或固定端约束相当于三链杆，即三 个约束。在体系的适当位置增加一个固定端可使体 系减少３个自由度。
II
I
C 刚片2 E
A
B
D
刚片1
特殊情况： 1、三根链杆交于一点
实饺：几何可变
O
刚片2
B
D
F
A
C
E
刚片1
虚饺：几何瞬变
2、三根链杆相互平行
3. 三刚片规则
三个刚片之间用三个铰两两相连,且三个铰不在 一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。
瞬变体系——体系本来是几何可变，经过微小位 移后又成为几何不变的体系
E2
K
Q
P
O
1
1
1
N 1
1M 1L
把一端共铰而不共线的两根链杆装置（或两
根不共线链杆用铰连接成整体的装置）称为二 元体.
自由度与约束的概念(包括虚铰)(建筑力学)
实际自由度=0=计算自由度
实际自由度=0>计算自由度=-1
几何不变体系与几何可变体系的自由度
2.几何不变体系的自由度
实际自由度=0
计算自由度
=0 <0
总自由度= 约束总数 总自由度<约束总数,说明约束有剩余
几何不变体系计算自由度=-1<0
3.几何可变体系的自由度
实际自由度>0
计算自由度
>0 =0
1.链杆与刚片 二者可以互相转化，但不能重复计算，也不 能少计算。 2.巧用刚性连接 使用刚性连接，可以将多个刚片合成为一个刚 片，或者将刚片并入地基，减少体系刚片数目，从 而使计算简化。
刚片法的计算原理及其计算公式
原理：总结点自由度减去所有链杆数目。
适用条件：体系中所有结点为铰结点。
计算公式：
W 2jbr
自由度
自由度：指体系相对于地基运动时，确定其位置和形状所需 的独立坐标（或参变量）的最少数目。
1.点的自由度：如图在平面上，确 定一个点的位置最少需要两个独立的坐 标（或参变量），因此一个点的自由度 是2。
自由度
2.刚片的自由度 （1）刚片：不考虑材料变形的同一 个物体均可看作一个刚片。 （2）如图，在平面上确定一个刚片 的位置至少需要三个独立坐标（或参变 量），因此一个刚片的自由度是3。 （3）地基：可以看作特殊的刚片，其自由度是0。
（2）复铰：连接两个以上刚片的铰
相当于2×（n-1）个约束（n是刚片数）
单铰
虚铰
复铰
约束
3.刚性连接 包括： （1）刚结点 （2）固定端支座 相当于3个约束
刚结点 固定端支座
几何不变体系与几何可变体系的自由度
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第14章 虚位移原理在静力学中，我们利用力系的平衡条件研究了刚体在力的作用下的平衡问题，但对有许多约束的刚体系而言，求解某些未知力需要取几次研究对象，建立足够多的平衡方程，才能求出所要求的未知力。
这样做是非常繁杂，同时平衡方程的确立只是对刚体而言是必要和充分的条件；而对任意的非自由质点系而言，它只是必要条件不是充分条件。
从本章开始我们学习用数学分析的方法来研究非自由质点系的力学问题，称为分析力学。
1788年，法国科学家拉格朗日发表的《分析力学》一书，给出了解决非自由质点系的新方法，即利用广义坐标描述非自由质点系的运动，使描述系统运动量大大减少，同时从能量角度出发将质点系的动能、势能与功用广义坐标联系起来，给出了动力学普遍方程和拉格朗日方程。
虚位移原理是静力学的最一般原理，它给出了任意质点系平衡的必要和充分条件，减少了不必要的平衡方程，从系统主动力作功的角度出发研究质点系的平衡问题。
14.1 约束·自由度·广义坐标14.1.1约束质点或质点系的运动受到它周围物体的限制作用，这种限制作用称为约束，表示约束的数学方程称为约束方程。
按约束方程的形式对约束进行以下分类。
1.几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。
例如图14-1所示的单摆，其约束方程为222l =y +x 又如图14-2所示的曲柄连杆机构，其约束方程为⎪⎩⎪⎨⎧--0+22222=y l =)y (y +)x (x r =y x BB A 2B A A A图14-2xy图14-3上述例子中的约束方程均表示几何约束。
如果约束方程中含有坐标对时间的导数，或者说，约束限制质点或质点系运动的条件，称为运动约束。
例如图14-3所示在平直轨道上作纯滚动的圆轮，轮心C 的速度为ωr =v c 运动约束方程为0=ωr v c -设c x 和φ分别为轮心C 点的坐标和圆轮的转角，则上式可改写为0C =r φx- 2.定常约束与非定常约束约束方程中不显含时间的约束称为定常约束，上面各例中的约束均为定常约束。
约束方程中显含时间的约束称为非定常约束，例如将单摆的绳穿在小环上，如图14-4所示，设初始摆长为0l ，以不变的速度拉动摆绳，单摆的约束方程为2022)vt l (=y +x -约束方程中有时间变量t ，属于非定常约束。
x图14-43.完整约束与非完整约束约束方程中含有坐标对时间的导数，而且方程不能积分成有限形式，称为非完整约束。
反之，约束方程中不含有坐标对时间的导数；或约束方程中含有坐标对时间的导数，但能积分成有限形式，称为完整约束。
上述例子中在平直轨道上作纯滚动的圆轮，其运动约束方程为完整约束。
4.双侧约束与单侧约束如果约束不仅限制物体沿某一方向的位移，同时也限制物体沿相反方向的位移，这种约束称为双侧约束。
例如，图14-1所示的单摆是用直杆制成的，摆杆不仅限制小球拉伸方向的位移，而且也限制小球沿压缩方向的位移，此约束为双侧约束。
若将摆杆换成绳索，绳索不能限制小球沿压缩方向的位移，这样的约束为单侧约束。
即约束仅限制物体沿某一方向的位移，不能限制物体沿相反方向的位移，这种约束称为单侧约束。
本章非自由质点系的约束只限于几何、定常的双侧约束，约束方程的一般形式为0111=)z ,y ,x ,,z ,y ,x (f n n n j )s ,,,j ( 21= (14-1) 式中n 为质点系中质点的数目，s 为约束方程的数目。
14.1.2自由度确定具有完整约束的质点系位置所需独立坐标的数目称为质点系的自由度数，简称自由度，用k 表示。
例如，在空间运动的质点，其独立坐标为)z ,y ,x (,自由度为3=k ；在平面运动的质点，其独立坐标为)y ,x (,自由度为2=k ；作平面运动的刚体，其独立坐标为),y ,x (A A ϕ，自由度为k=3。
一般情况，设由n 个质点组成的质点系，受有s 个几何约束，此完整系统的自由度数为空间运动的自由度数： s n k -=3； 平面运动的自由度数： s n k -=2。
14.1.3广义坐标确定质点系位置的独立参量称质点系的广义坐标，常用j q )s ,,,j ( 21=表示。
广义坐标的形式是多种的，可以是笛卡尔直角坐标x ,y ,z 、弧坐标s 、转角ϕ。
一般情况，设具有理想、双则约束的质点系，由n 个质点组成，受有s 个几何约束，系统的自由度为s n k -=3，若以k q ,,q ,q 21表示质点系的广义坐标，质点系第i 个质点的直角坐标形式的广义坐标为⎪⎩⎪⎨⎧===)t ,q ,,q ,q (z z )t ,q ,,q ,q (y y )t ,q ,,q ,q (x x k i ik i i k i i 212121 )n ,,,i ( 21= (14-2) 矢量形式为)t ,q ,,q ,q (k i i 21r r = )n ,,,i ( 21= (14-3)14.2 虚位移原理14.2.1虚位移和虚功1.虚位移在某给定瞬时，质点或质点系为约束所允许的无限小的位移称为质点或质点系的虚位移。
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。
用变分符号r δ表示，以区别真实位移r d 。
例如图14-1所示的单摆，沿圆弧的切线有虚位移r δ。
虚位移与实际位移是两个截然不同的概念。
虚位移只与约束条件有关，与时间、作用力和运动的初始条件无关。
实位移是质点或质点系在一定时间内发生的真实位移，除了与约束条件有关以外，还与作用在它们上的主动力和运动的初始条件有关。
虚位移是任意的无限小的位移，在定常约束下，虚位移可以有沿不同方向的虚位移。
2.虚功力在虚位移上作的功称为虚功，用W δ表示，即r F δδ•=W (14-4) 虚功与实际位移中的元功在本教材中的符号相同，但它们之间有着本质的区别。
因为虚位移是假想的，不是真实位移，因此其虚功就不是真实的功，是假想的，它与实际位移无关；而实际位移中的元功是真实位移的功，它与物体运动的路径有关。
这一点上学习时应当注意。
3.理想约束如果约束力在质点系的任意虚位移中所作的虚功之和等于零，这样的约束称为理想约束。
若用Ni F 表示质点系中第i 个质点所受的约束力，i δr 表示质点系中第i 个质点的虚位移，则理想约束为1=∙∑=si i NiF=W r δδ (14-5)将第12章的式（12-11）中i r d 变换为i δr 即可。
如光滑接触面、铰链、不可伸长刚杆（二力杆）等均为理想约束。
将第12章的理想约束推广到某些非定常约束，也能成为理想约束。
例如变长度摆，如图14-5所示，绳的约束力在实位移上作的功0≠•r F T d ，但虚位移上的虚功0=r F T δ•，因而也是理想约束。
图14-514.2.2虚位移原理虚位移原理：具有理想、双侧、定常约束的质点系其平衡必要与充分条件是：作用在质点系上的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。
即1==W ni i F ∑=∙r F i δδ (14-6)式(14-6)的解析式为01=++∑=ni i zi i yi i xi)z F y F x F(δδδ (14-7)虚位移原理由拉格朗日于1764年提出的，又称为虚功原理，它是研究一般质点系平衡的普遍定理，也称静力学普遍定理。
虚位移原理的必要性证明：当质点系平衡时，质点系中的每个质点受到主动力i F 和约束力Ni F 而处于平衡，则有0=F F Ni i + )n ,,,i ( 21= 将上式两端同乘以i δr ，并连加得011=F F i i ∑∑==ni N ni +由于质点系受有理想约束，即1=r F i ∑=∙ni i N δ 则有 01==W ni i F ∑=∙r F i δδ虚位移原理的充分性证明：假设质点系受到力系作用时，不处于平衡状态，则作用在质点系上的某一个主动力iF和约束力Ni F 其在相应的虚位移上所作的虚功必有0≠∙+i i )(r F F Ni δ由于质点系受有理想约束，即图14-6121=r F i ∑=∙ni i N δ则对于质点系有01≠∙∑=ni i F =W r F i δδ这与式(14-6)矛盾，质点系必处于平衡。
例题14-1如图14-6所示的机构中，当曲柄OC 绕轴O 转动时，滑块A 沿曲柄滑动，从而带动杆AB 在铅直的滑槽内移动，不计各杆的自重与各处的摩擦。
试求平衡时力1F 和2F 的关系。
解：作用在该机构上的主动力为力1F 和2F ，约束是理想约束，且为1个自由度体系。
有如下的两种解法：（1）几何法如图14-6所示，A 、C 两点的虚位移为A r δ，C r δ，则由虚位移原理式(14-6)得012=-C A F F r r δδ（1） 由图中的几何关系得ϕδδcos A e r r =alcos a cos l cos a OAAA e C ϕδϕϕδδδ2r r r r ===（2）式（2）代入式（1），得212=-a lcos F F A A ϕδδr r212=-A )a lcos F F (r δϕ由于虚位移为A r δ是任意独立的，则212=-a lcos F F ϕ有关系为ϕ221cosa l F F =（2）解析法由于体系具有1个自由度，广义坐标为曲柄OC 绕轴O 转动时的转角ϕ，则滑块A 在图示坐标系中的坐标为ϕtan l y =滑块A 的虚位移为ϕδϕδδ2cos l y A ==rC点的虚位移为ϕδϕδδa )a (C ==r将点A 、C 的虚位移代入式（1）得0122=-ϕδϕδϕa F cos l F 0122=-ϕδϕ)a F coslF (由于广义虚位移ϕδ是任意独立的，则有122=-a F cosl F ϕ即ϕ221cosa lF F =例题14-2如图14-7所示的平面机构中。
已知各杆与弹簧的原长为l ，重量均略去不计。
滑块A 重为P ，弹簧刚度系数为k ，铅直滑道是光滑的。
试求平衡时重力P 与θ之间的关系。
xD图14-7解：去掉弹簧的约束，以弹力F 、F '代替，体系的约束为理想约束，在主动力重力P 和弹力F 、F '的作用下处于平衡。
此体系具有1个自由度，广义坐标为θ，则由虚位移原理式(14-6)得0='+--D B A x F x F y P δδδ （1） 主动力作用点的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-===θθθcos l x cos l x sin l y DB A 2 则各作用点的虚位移为上式取变分，得⎝⎛=-==δθθδθδθδθδθδsin l x sin l x cos l y D B A 2 （2）弹簧的弹力F 、F '为)l cos l (k F F -='=θ2 （3）将式（2）和式（3）代入式（1），得0222=-+-+-δθθθθδθθθδθsin l )l cos l (k sin l )l cos l (k cos l P整理得0]2[=-+-δθθθ)tan sin (kl P由于广义虚位移θδ是任意独立的，则有2=-+-)tan sin (kl P θθ即得平衡时重力P 与θ之间的关系为)tan sin (kl P θθ-=2例题14-3一多跨静定梁受力如图14-8a 所示，试求支座B 的约束力。