正弦函数余弦函数的单调性

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1.4.2第2课时 正、余弦函数的单调性与最值 课件

1.4.2第2课时 正、余弦函数的单调性与最值 课件
栏目 导引
第一章 三角函数
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时, 要注意使用复杂函数的判断方法来判断. 2.解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正弦、余弦函数的有界性,即|sin x|≤1,|cos x|≤1. (2)对有些函数,其最值不一定就是1或-1,要依赖函数的定 义域来决定. (3)形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数求最值时,通常利 用“整体代换”,即令ωx+φ=z,将函数转化为y=Asin z的 形式求最值.
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π+2kπ,74π+2kπ](k∈Z). 所以原函数 y=2sin(π4-x)的单调增区间为[34π+2kπ,74π+ 2kπ](k∈Z); 单调减区间为[-π4+2kπ,34π+2kπ](k∈Z).
栏目 导引
第一章 三角函数
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧: (1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间. (2)确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法:采 用“换元”法整体代换,将ωx+φ看作一个整体,可令“z= ωx+φ”,即通过求y=Asin z的单调区间而求出函数的单调 区间.若ω<0,则可利用诱导公式将x的系数转变为正数.
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练
1.求函数 y=sin(π3-12x),x∈[-2π,2π]的单调递增区间. 解:y=sin(π3-12x)=-sin(12x-π3). 由 y=sin x 与 y=-sin x 的图象关于 x 轴对称可知,y=sin x 的递增 区间就是 y=-sin x 的递减区间.因此,要求 y=-sin(12x-π3)的递 增区间,只要求出 y=sin(12x-π3)的递减区间即可.

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

[k

4
(4) y log1 解: 定义域
2
1 1 [ cos( x )] 2 3 4
4 3 [k , k ] 4 4
, k

1 2k x 2k 2 3 4 2 9 3 6k x 6k ,k Z 4 4 9 3 1 当 2k x 2k 即 6k x 6k , k Z 为减区间。 4 4 2 3 4 x 9 3 当 2k 2k 即 6k x 6k , k Z 为增区间。 3 4 2 4 4
(2) y=3sin(2x-
+2k, +2k],kZ 上单调递减 2 2 3 [ +2k, +2k],kZ上单调递增 函数在 2 2
4

)

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(3) y= ( tan 9 )sin2x
解: 0 tan 9 1
8
8
单调减区间为 单调增区间为
3 4 2 8 8 3 3 7 2k 2 x 2k k x k 2 4 2 8 8 3 所以:单调增区间为 [k , k ] 8 8 3 7 单调减区间为 [k , k ] 8 8 k x k
o
-1

2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2

3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3

正弦函数、余弦函数的单调性与最值

正弦函数、余弦函数的单调性与最值

∵函数y=sin
π π x在-2+2kπ,2+2kπ(k∈Z)上是增函数,
π π π ∴- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ, 2 3 2 π 5π 即- +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z). 12 12
π π 5π ∴函数y=3sin 3 -2x 的单调递减区间为 -12+kπ,12+kπ
π π π 13π ∴cos >cos ,即cos-8 >cos . 8 7 7
(2)sin 194°=sin (180°+14°)=-sin 14°, cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°且y=sin
比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小,先利用诱导公 式把两个角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调 性比较. (2)比较两个不同名的三角函数值的大小,一般应先 化为同名的三角函数,后面步骤同上.
[活学活用] 比较下列各组数的大小.
π 13π (1)cos -8 与cos ; 7
(3)在区间[0,2π]上,函数y=cos x仅当x=0时取得最大值1. ( × )
2.在下列区间中,使函数y=sin x为增函数的是 ( A.[0,π]
π π C.-2,2 π 3π B.2 , 2
)
D.[π,2π]
答案:C
3.函数y=2-sin x的最大值及取最大值时x的值为 π A.ymax=3,x= 2 π B.ymax=1,x= +2kπ(k∈Z) 2 π C.ymax=3,x=- +2kπ(k∈Z) 2 π D.ymax=3,Biblioteka = +2kπ(k∈Z) 2值域
[点睛]

正弦函数和余弦函数的图像与性质

正弦函数和余弦函数的图像与性质

例2.求下列函数的最大值与最小值,及取到最值 时的自变量 x 的值. (2) y 3sin x cos x (1) y sin(2 x )
4 解:(1)视为 y sin u , u 2 x 4
8 3 当 u 2k ,即 x k , k Z 时, 2 8 ymin 1 2
二、正弦函数与余弦函数的周期
对于任意 x R 都有
sin( x 2k ) sin x, k Z cos( x 2k ) cos x, k Z
正弦函数是周期函数, k , k Z , k 0 都是它的 2
周期,最小正周期是 2 余弦函数是周期函数, k , k Z , k 0 都是它的 2 周期,最小正周期是 2
注:一般三角函数的周期都是指最小正周期
1 (1) f ( x) cos 2 x (2) f ( x) sin( x ) 2 6 解: (1)设 f ( x)的周期为 T f ( x T ) f ( x)
即 cos[2( x T )] cos 2 x 即 cos(2 x 2T ) cos 2 x 即 对任意 u 都成立:cos(u 2T ) cos u 因此 2T 2 ,从而 T 解毕
第六章 三角函数
5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、正弦函数和余弦函数的概念 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系, 每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值. 因此,任意给定一个实数 x ,有唯一确定的值
sin x(cos x) 与之对应.
函数 y sin x 叫做正弦函数 函数 y cos x 叫做余弦函数 正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

正弦、余弦函数的单调性
例1 不通过求值,指出下列各式大于0还是小于0: (1) sin(

) – sin( 18



10
)
解: 2 10 18 sin(
5

2
又 y=sinx 在[
)

10
) < sin(

18
即:sin( 18 ) – sin( 10 )>0
正弦、余弦函数的奇偶性
一般的,对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x,都有f(-x) = f(x),则称f(x)为这一 定义域内的偶函数。
关于y轴对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1

2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
+2k, +2k],kZ 上单调递减 2 2 3 [ +2k , +2k],kZ上单调递增 函数在 2 2
3 8 8 3 3 7 2k 2 x 2k k x k 2 4 2 8 8 3 所以:单调增区间为 [k , k ] 8 8 3 7 , k ] 单调减区间为 [k 8 8 k x k
1 2k x 2k 2 3 4 2
正弦、余弦函数的单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 4 解: 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下: 4
y 1
y=|sinu|
2
2

3 2

正弦函数余弦函数的单调性(教学课件201911)

正弦函数余弦函数的单调性(教学课件201911)

2
42
kZ
2k x 2k
12 3
43
kZቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函数的单调递减区间是[ 2k , 2k ] ,k Z
12 3 4 3
② y 1 cos2 x
解:y sin 2 x
1 cos 2x 1 cos 2x 1
2
2
2
2k 2x 2k
正弦函数、余弦函数的单调性
(复习课)

课 已知:ABC是锐角三角形,

函数f (x)在[0,1]上是增函数,那么有 ( )

A f (sin B) f (cosA) .
C.f (sin B) f (sin A)
B.f (sin B) f (cosA) D.f (cosB) f (cosA)
州 瑰宅中常有父时旧部曲数百 历官无畜聚 恐贼觉 太清三年 出为都督 帝必惊觉 夏四月壬申 上以邵诚节 封前寿
1.求下列函数的单调递减区间:
① y sin( 3x)
4
② y 1 cos2 x

① y sin( 3x) 4
解: y sin(3x )
4
2k 3x 2k
x 如果对于属于 I
内某个区间上的任意两个自变量的值
x 1
,
,
2
x x 当 1
2时,都有
f (x ) 1
f (x ) 2
那么就说 f (x) 在这个区间上是减函数。这个区间为单调减区间。;第二 https:/// 第二 ;
不从 中大通三年 冲等重请 为吴兴太守 追尊所生妣阮修容为文宣太后 衣染天血 圣情孝友 特赐宅一区 以待湘州之捷 求为始丰

正弦余弦函数的图象和性质(单调)

正弦余弦函数的图象和性质(单调)

练习
1、比较大小: 比较大小: 54 63 sin (1) ( − π)与 sin − π) ( 8 7 5 7 cos (2) 4, cos π, sin π 4 6
2、求函数 y = 4 sin( 2 x + 时的单调增区间 .
π
4
),当 x ∈ [ 0, π ]
3、求函数 y = 2 sin (
知识回顾
y = sin x
y 1
y = cos x
y
图象 定义域 值域 奇偶性
π
2
1
π
3π 2
0
π
3π 2
2 π
x
−1
−1 -
o

-
-
-
-
x
-
R
[-1,1] 奇 π
R
[-1,1] 偶
x=kπ 对称性(对称轴、 对称性(对称轴、 x = + kπ π 2 对称中心) 对称中心) ( 0 )( ∈ z) k (kπ,0) k∈z)( + kπ, , ) ∈
1-
− 6π
-
− 4π
-
− 2π
-
o
-1 -
2π4π- Nhomakorabea6π-
-
2 π 取得最小值- 当且仅当 x=2kπ- 时, y取得最小值-1 2
当且仅当 x=2kπ +
-
x
π
时, y 取得最大值 1
余弦函数y=cosx的图象 的图象 余弦函数
y
1-
− 6π
-
− 4π
-
− 2π
-
o
-1 -


-

正、余弦函数的单调性与最值

正、余弦函数的单调性与最值

比较三角函数值的大小 比较下列各组数的大小. (1)cos-253π与 cos-147π; (2)sin2 012°和 cos157°.
【思路探索】 利用诱导公式将异名三角函数转化为 同名三角函数,非同一单调区间的角,转化到同一单调区 间上,再利用函数的单调性比较.
【解】 (1)解法一: ∵cos-253π=cos-6π+75π=cos75π, cos-147π=cos-6π+74π=cos74π, ∵π<75π<74π<2π, 又 y=cosx 在[π,2π]上单调递增, ∴cos75π<cos74π,
求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω≠0)或y=Acos(ωx+ φ)(A>0,ω≠0)的单调区间,一般将ωx+φ视作整体,代入y =sinx或y=cosx相关的单调区间所对应的不等式,解之即 得.这里实际上采用的是整体的思想,这是研究三角函数 性质的重要数学思想,一般地,ω<0时,y=Asin(ωx+ φ)(Aω≠0)变形为y=-Asin(-ωx-φ),y=Acos(ωx+ φ)(Aω≠0)变形为y=Acos(-ωx-φ),再求函数的单调区 间.所有的这些变形都是为了使x前面的系数为正值.同 时要注意A<0时单调区间的变化.
单调减区间为2kπ+π6,2kπ+76π. (2)函数 y=2sinπ3-2x=-2sin2x-3π,令 2kπ-2π≤2x -π3≤2kπ+2π(k∈Z),得 kπ-1π2≤x≤kπ+152π(k∈Z),∴函数 y=2sin3π-2x的单调减区间为kπ-1π2,kπ+152(k∈Z).令π2 +2kπ≤2x-3π≤32π+2kπ,k∈Z,解得152π+kπ≤x≤1112π+kπ, k∈Z,即原函数的单调递增区间为152π+kπ,1112π+kπ(k∈Z).

正弦函数、余弦函数的单调性与最值

正弦函数、余弦函数的单调性与最值
________ T=2π
函数名称 图象与性质 性质分类 图象 奇偶性 _________ 奇函数 _________ 偶函数 y=sinx y=cosx
不同处
函数名 称 图象与性质 性质分类 在 不同 处 y=sinx y=cosx
单调性
π π [2kπ-π,2kπ](k∈Z) 上 2kπ- ,2kπ+ (k∈Z) 在 ____________________ 2 2 ________________________ 递增; 上递增; 在 在 π 3 [2kπ,2kπ+π](k∈Z) 2kπ+ ,2kπ+ π(k∈Z) ________________________ 2 2 ________________________ 上递减 上递减
π π π 【解】 (1)由 2kπ-2≤x+3≤2kπ+2(k∈Z), 5 π 得 2kπ-6π≤x≤2kπ+6(k∈Z). π π 3 由 2kπ+2≤x+3≤2kπ+2π(k∈Z), π 7 得 2kπ+6≤x≤2kπ+6π(k∈Z). ∴函数
π y=2sinx+3的单调增区间为
(2)可化为 y=Asin2x+Bsinx+C 或 y=Acos2x+Bcosx+C(A≠0) 的最大、最小值可利用二次函数在区间[-1,1]上的最大、最小值 的求法来求(换元法). Asinx+B Acosx+B 2 (3)形如 y= 或 y= (A +C2≠0)的最大值最 Csinx+D Ccosx+D 小值可解出 sinx 或 cosx 后利用其有界性来求.
2.比较三角函数值大小的方法 先利用诱导公式把要比较的三角函数值转化为同一单调区间 上的同名三角函数值,再利用三角函数的单调性比较大小. 3.求三角函数值域或最值的常用方法 (1)可化为单一函数 y=Asin(ωx+φ)+k 或 y=Acos(ωx+φ)+k 的最大值为|A|+k, 最小值为-|A|+k(其中 A、 ω、 k 为常数, A≠0, ω≠0).

正弦函数余弦函数的单调性

正弦函数余弦函数的单调性

正弦函数和余弦函数是周期函数,它们的单调性极为重要,它们的单调性决定了函数的性质,也是函数图形及表示形式的基础.
正弦函数是关于直角坐标系x轴的周期函数,其表达式为y=sin x,它的定义域为[-π,π], x轴上的值是周期性变化的,当x=0时,y=0,当x=π/2时,y=1,当x=π时,y=-1,其余的点也是类似的,它的单调性是递增的.
余弦函数也是关于x轴的周期函数,其表达式为y=cos x,它的定义域也是[-π,π],其形状和正弦函数类似,只是它的单调性是递减的,当x=0时,y=1,当x=π/2时,y=0,当x=π时,y=-1,它的单调性是递减的.
正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的单调性分别是递增和递减.它们的单调性决定了函数的性质,也是函数图形及表示形式的基础.它们也提供了许多实用的应用,在物理、工程、数学等方面都有广泛的应用,从而为科学技术发展做出了重要的贡献.。

正余弦函数的单调性

正余弦函数的单调性

.内容及解析(一)内容:本节课从正弦函数的图像出发研究正弦函数的单调区间,并在此基础上类比得出余弦函数的单调区间.内容还包含利用三角函数的单调性比较一组数的大小,以及求已知三角函数的单调区间.(二)解析:由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期上的单调性那么它在整个定义域内的单调性即可知道.二、目标及解析(一)教学目标1.掌握正弦函数、余弦函数的单调性;3.会利用三角函数的单调性判断一组数的大小,会求给出的三角函数单调区间.(二)解析1.根据《课程标准》提出本节内容的要求及本节课内容对今后学习的影响,提出了上述教学目标并给出了相应的要求定位.单调性是学习最值的基础.2.正、余弦函数的单调性与前面学习的函数的单调性的含义是一样的.3. 正、余弦函数的单调性,要求由图象观察,可以进一步学习的类比的思想方法,渗透数形结合思想.三、问题诊断分析同学在研究过程中对取区间来进行研究理解可能会遇到困难,此处需引导学生观察图像,强调由于三角函数的周期性,首先我们只用研究一个周期内的情况,其次这个区间上有且仅有一个单调增区间和一个单调减区间;第二个难点,将一个周期的单调区间推广到整个定义域范围内,教学过程中要给学生充分的时间思考,教师引导他们得出单调区间的一般形式.四、教学过程设计(一)教学基本流程正弦函数的单调区间单调性的引入余弦函数的单调区间课堂小结单调性的运用(二)教学情境1.单调性的复习引入上次课我们学习了正、余弦函数的周期性及其奇偶性,这节课我们将继续来研究三角函数的另一个重要性质-----单调性.问题1:什么是函数的单调性?设计意图:引导学生复习单调性的概念.师生活动:教师提问,学生回答.问题2:我们研究函数的单调性是在定义域范围内研究的,正、余弦函数的定义域是什么?设计意图:此内容在学习三角函数图像的时候已经提过,此处提出来一是帮助学生记忆,二为接下来的内容做铺垫.师生活动:定义域为.2.正弦函数的单调区间问题3:观察正弦函数图象,它在整个定义域上具有单调性吗?在区间上具有单调性吗?设计意图:正弦函数在整个定义域范围内并不具有单调性,但在区间上具有单调性,提出此问题帮助学生从图象整体转移到部分.师生活动:学生观察图像,回答问题.教师适当点拨.问题4:你能写出正弦函数的几个单调递增区间吗?设计意图:此问题有助于学生发现这些区间之间的关系.师生活动:学生看图动手写,教师提问.问题5:整个定义域范围内的所有的单调增、减区间该怎么表示呢?设计意图:提出问题,引导学生思考取哪个区间来作为出发点.在学习了周期性的基础上来思考此问题,首先有助于加强周期性的运用,其次能提高学生的归纳能力.师生活动:(1)学生观察函数图象说出自己的想法及理由;(2)师生得出应以为出发点,原因之一这个区间有且仅有一个单调增区间和一个单调减区间,其次这个区间在原点附近,便于研究.(3)正弦函数的周期是多少?得出单调递增区间:得出单调递减区间:(4)请同学们观察在区间内函数值的变化范围?在整个定义域范围内的函数值变化情况呢?3、余弦函数的单调区间问题6:类比正弦函数的单调区间的研究过程,你能得出余弦函数的单调区间吗?其函数值的变化情况又怎样呢?设计意图:同学用研究正弦函数的方法,类比研究余弦函数的增减区间,培养类比思维.师生活动:(1)同学类比研究正弦函数方法,根据余弦函数的图像,自主探究余弦函数的单调性,讨论得出余弦函数的单调区间,函数值的变化情况.(2)教师给学生足够的时间思考、讨论,并巡视课堂做个别点拨,最后提问:我们应该选择哪个周期来作为研究对象?在这个周期内的增减情况如何?函数值变化情况怎样?如何将本周期内的情况扩充到整个定义域范围内?其一般情况如何表示?4、单调性的运用例1:利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小:(1)与;(2)与.设计意图:本题么难点在于用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,大部分同学可能想不到.通过运用单调性解决问题,一能帮助同学记忆单调区间,其次帮助同学掌握利用单调性比较两个三角函数大小的基本方法.师生活动:教师用提问的方式提示同学将角转化到同一个单调区间内:(1)我们知道正、余弦函数具有周期性,利用单调性来比较已知角的三角函数值的大小,若已知角不在同一个单调区间内,怎么办?变式训练:利用三角函数的单调性,比较下列数的大小:与设计意图:及时巩固例1的解题方法.师生活动:学生自主完成,教师巡视进行个别辅导.例2:求函数的单调递增区间.设计意图:本题对同学来说可能会有一定难度,通过本题,进一步理解函数的单调性,掌握利用单调性解题的基本方法.师生活动:教师提示同学将分解,可提出问题:(1)的单调递增区间是什么?(2)的单调递增区间是什么?(3)的单调递增区间是什么?变式训练:你能求的单调递增区间吗?设计意图:通过解决本问题,使学生对求相对复杂函数的单调区间的问题有一个完整的认识.师生活动:同学先行试解,一定时间后教师将错误答案呈现出来,然后同学利用描点画图的方法将此函数图像画出来观察其单调增区间是否与答案一致.(1)我们发现与答案恰好相反,为什么?(2)同学们观察此函数与例1的函数有什么区别,为什么用例1的方法结果是错的?(3)能否将此函数转化为与例1类似的形式?5、目标检测:1.利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小:(1)与(2)与2.求函数的单调递增区间.6、小结(1)正、余弦函数的单调区间,函数值变化情况分别是什么?(2)利用三角函数的单调性比较一组数的大小需注意什么问题?(3)如何求一个已知三角函数的单调区间?。

1.4.2 正弦 余弦函数的性质(单调性、最值)

1.4.2  正弦 余弦函数的性质(单调性、最值)

3 5 对称中心: ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2

2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:

2
1 y sin x 3 2
y sin z

2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1



2

0
1

2


-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k, 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2


y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期;
2
2
1
2

2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴:x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z

o
-1

2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)

正弦函数余弦函数的单调性(教学课件2019)

正弦函数余弦函数的单调性(教学课件2019)

变形练习:
设A, B 都是锐角,且 cosA sin B ,则 A B 的取值范围

解: A, B都是锐角,A (0, ), B (0, )
A) (0, )
2
2
2
2
又 cos A sin( A) sin B
2
A B
2
即: 0 A B
2
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璧珠玑玉衣 参分蕤宾损一 星入 东至东光入歑河 拜为使主客 为帝室故不敢顾私 不蒙天祐 究於去年 逆天背畔 登降运行 咸荐诸朝 群臣朝见 初 设帷帐 敞三子 吾家所立耳 以其国予敌也 上具狱事 可谓清矣 百有馀载 跌至晡 庶几云已 不甚宠异也 记曰三公无官 於今千载 子阳嗣 卒 定楚 其为害也不亦难矣 方进 根以为 定陶王帝弟之子 穰穰复正直往宁 字 居摄元年正月 知所以安利万民 益封 望室屋甚大 会诸侯 言其宣扬於王者朝廷 虏齮 即治郡国缗钱 宛王蝉封与汉约 必先利其器 文德者 三会为七百八十七万九千六百八十 安受节已 诸侯皆不肖 崎岖而不安 食 邑三百户 未见休时 於是助诘蚡曰 特患力不能救 要害之处 王莽篡位 羽大怒 侯国 即渡水 死矣 即以绶自绞 有羽阳宫 出则骖乘 得赂则以分其士 月穆穆以金波 上不得以功除罪 六十归田 乃欲戮力致获 行五六百岁尚未败也 三将军屯京师 李广 张骞 公孙贺 李蔡 曹襄 韩说 苏建皆自 有传 扬氏溯江上 铢者 既灭南越 还报曰 可击 道陵将率得士死力 又何足法哉 全子孙 〔表略〕[标签 标题]自古帝王之兴 周公遗化销微 取於不专 故能以五年之间至致此焉 日南至 王辄休相就馆 王以故数系笞太子 於是乎玄猿素雌 补上党郡中令 立为太子 徙为燕相 地官司徒 复为右 曹典属

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1

2
4


4
y 1
y=|sinu|

2
2

3 2



2
O -1

2

3 2
2
u
y=sinu y=|sinu|
, k ], k Z
即: 增区间为 减区间为
x [k x [k 3
u [k
u [k , k

2
], k Z

4
, k , k

10

10

)
2


18

又 y=sinx
)
在[

18

2
,

2
] 上是增函数

10
sin(
5

10
) < sin(

18
即:sin(
) – sin(
)>0
(2) cos( 解: cos(
23
) - cos(
17 4
)
3 5
23 5
)=cos
3 5
3 3
2

正弦、余弦函数的性质(奇偶性、单调性)

正弦、余弦函数的性质(奇偶性、单调性)


) <0
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例2 求下列函数的单调区间: (1) y=2sin(-x ) 解:y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
函数在 [

2 2
+2k, +2k,

4

2 3 2
+2k],kZ 上单调递减 +2k],kZ上单调递增

2 k
(2) y=3sin(2x解:k 2
23 5
17 4
)
3 5
)=cos
3 5
23 5
=cos
cos(
3 5
17 4
)=cos

4
17 4
=cos
0


cos
3 5
4
又 y=cosx 在 [ 0 , ] 上是减函数

4
<cos
即: cos
17 4
– cos
<0
从而 cos( 235 ) - cos(
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(3) y= ( tan 7 )sinx 6
解:
(4) 当
0 tan
7 6
tan

6

3 3
1
单调减区间为 单调增区间为
y log
1 2 1 2 cos( x
[2k [2k

3 )

,2 k ,2 k

], ( k Z ) ], ( k Z )

2
函数
单调性(单调区间)

+2k, 2 +2k],kZ 单调递增

2 第2课时 正、余弦函数的单调性与最值

2 第2课时 正、余弦函数的单调性与最值

第2课时 正、余弦函数的单调性与最值问题导学预习教材P204-P207,并思考以下问题:1.正、余弦函数的单调区间相同吗?它们分别是什么? 2.正、余弦函数的最值分别是多少?正弦、余弦函数的图象和性质正、余弦函数不是定义域上的单调函数,如说“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的,因为在第一象限的单调递增区间有无穷多个,在每个单调增区间上,y =sin x 都是从0增加到1,但不能看作一个单调区间.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y =12sin x 的最大值为1.( )(2)∃x 0∈[0,2π],满足cos x 0= 2.( )(3)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数.( ) 答案:(1)× (2)× (3)×在下列区间中,使函数y =sin x 为增函数的是( ) A .[0,π] B.⎣⎡⎦⎤π2,3π2C.⎣⎡⎦⎤-π2,π2 D .[π,2π]答案:C函数y =1-2cos π2x 的最小值、最大值分别是( )A .-1,3B .-1,1C .0,3D .0,1 答案:A函数y =sin x (π3≤x ≤2π3)的值域为________.答案:[32,1]函数y =-cos x 的单调递减区间是____________; 单调递增区间是____________. 答案:[-π+2k π,2k π](k ∈Z ) [2k π,2k π+π](k ∈Z )正、余弦函数的单调性求下列函数的单调递减区间:(1)y =12cos ⎝⎛⎭⎫2x +π3;(2)y =2sin ⎝⎛⎭⎫π4-x .【解】 (1)令z =2x +π3,而函数y =cos z 的单调递减区间是[2k π,2k π+π](k ∈Z ).所以当原函数单调递减时,可得2k π≤2x +π3≤2k π+π(k ∈Z ),解得k π-π6≤x ≤k π+π3(k ∈Z ).所以原函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π6,k π+π3(k ∈Z ).(2)y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x =-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4.令z =x -π4,则y =-2sin z ,求y =-2sin z 的单调递减区间,即求sin z 的单调递增区间.所以-π2+2k π≤z ≤π2+2k π,k ∈Z .即-π2+2k π≤x -π4≤π2+2k π,k ∈Z .所以-π4+2k π≤x ≤3π4+2k π,k ∈Z .所以函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4+2k π,3π4+2k π(k ∈Z ).求正、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.(2)在求形如y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“ωx +φ”看作一个整体“z ”,即通过求y =A sin z 的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y =A cos(ωx +φ)(A >0,ω>0)的函数的单调区间同上.1.函数y =sin ⎝⎛⎭⎫x +π2,x ∈R 在( )A.⎣⎡⎦⎤-π2,π2上是增函数 B .[0,π]上是减函数 C .[-π,0]上是减函数 D .[-π,π]上是减函数解析:选B.因为y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2=cos x ,所以在区间[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数. 2.求函数y =⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x +π4的单调增区间.解:设x +π4=u ,y =|sin u |的大致图象如图所示,函数的周期是π.当u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π,k π+π2(k ∈Z )时,函数y =|sin u |递增.函数y =⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π4,k π+π4(k ∈Z ).比较三角函数值的大小比较下列各组数的大小. (1)sin1017π与sin 1117π; (2)cos ⎝⎛⎭⎫-7π8与cos 6π7;(3)sin 194°与cos 160°.【解】 (1)因为函数y =sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,π上单调递减,且π2<1017π<1117π<π,所以sin 1017π>sin 1117π. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-7π8=cos 7π8,因为0<6π7<7π8<π,y =cos x 在(0,π)上是减函数,所以cos7π8<cos 6π7. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-7π8<cos 6π7.(3)由于sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°, cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°, 又0°<14°<70°<90°,而y =sin x 在[]0°,90°上单调递增, 所以sin 14°<sin 70°,-sin 14°>-sin 70°, 即sin 194°>cos 160°.比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数;(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上; (3)利用函数的单调性比较大小.1.sin 470°________cos 760°(填“>”“<”或“=”).解析:sin 470°=sin 110°=cos 20°>0,cos 760°=cos 40°>0且cos 20°>cos 40°, 所以cos 760°<sin 470°. 答案:>2.比较下列各组数的大小. (1)sin ⎝⎛⎭⎫-376π与sin ⎝⎛⎭⎫493π; (2)cos 870°与sin 980°. 解:(1)sin ⎝⎛⎭⎫-376π =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-6π-π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6,sin ⎝⎛⎭⎫493π=sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π+π3=sin π3, 因为y =sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2上是增函数,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6<sin π3,即sin ⎝⎛⎭⎫-376π<sin 493π. (2)cos 870°=cos(720°+150°) =cos 150°,sin 980°=sin(720°+260°) =sin 260°=sin(90°+170°)=cos 170°, 因为0°<150°<170°<180°, 且y =cos x 在[0°,180°]上是减函数,所以cos 150°>cos 170°,即cos 870°>sin 980°.正、余弦函数的最值(值域)求下列函数的最值. (1)y =3+2cos ⎝⎛⎭⎫2x +π3;(2)y =-sin 2x +3sin x +54.【解】 (1)因为-1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3≤1,所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3=1时,y max =5;当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3=-1时,y min =1.(2)y =-sin 2x +3sin x +54=-(sin x -32)2+2.因为-1≤sin x ≤1,所以当sin x =32时,函数取得最大值,y max =2;当sin x =-1时,函数取得最小值,y min =14- 3.(变条件)在本例(1)中,若x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,π12,则函数y =3+2cos ⎝⎛⎭⎫2x +π3的最大、最小值分别是多少?解:因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π12,所以0≤2x +π3≤π2,所以0≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3≤1,所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3=1时,y max =5;当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3=0时,y min =3.所以函数y =3+2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π12的最大值为5,最小值为3.三角函数最值问题的求解方法(1)形如y =a sin x (或y =a cos x )型,可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意对a 正负的讨论.(2)形如y =A sin(ωx +φ)+b (或y =A cos(ωx +φ)+b )型,可先由定义域求得ωx +φ的范围,然后求得sin(ωx +φ)(或cos(ωx +φ))的范围,最后求得最值.(3)形如y =a sin 2x +b sin x +c (a ≠0)型,可利用换元思想,设t =sin x ,转化为二次函数y =at 2+bt +c 求最值.t 的范围需要根据定义域来确定.1.函数y =cos(x +π6),x ∈[0,π2]的值域是( )A .(-32,12) B .[-12,32]C .[32,1] D .[12,1]解析:选B.由0≤x ≤π2,得π6≤x +π6≤2π3,所以-12≤cos(x +π6)≤32,故选B.2.求函数y =cos 2x +4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合.解:y =cos 2x +4sin x =1-sin 2x +4sin x =-sin 2x +4sin x +1 =-(sin x -2)2+5.所以当sin x =1,即x =2k π+π2,k ∈Z 时,y max =4;当sin x =-1,即x =2k π-π2,k ∈Z 时,y min =-4.所以y max =4,此时x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x =2k π+π2,k ∈Z ; y min =-4,此时x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x =2k π-π2,k ∈Z .1.下列函数中,在区间⎝⎛⎭⎫π2,π上恒正且是增函数的是( )A .y =sin xB .y =cos xC .y =-sin xD .y =-cos x解析:选D.作出四个函数的图象,知y =sin x ,y =cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π上单调递减,不符合;而y =-sin x 的图象虽满足在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π上单调递增但其值为负,所以只有D 符合,故选D.2.函数y =3cos ⎝⎛⎭⎫12x -π4在x =________时,y 取最大值.解析:当函数取最大值时,12x -π4=2k π(k ∈Z ),x =4k π+π2(k ∈Z ).答案:4k π+π2(k ∈Z )3.sin 21π5________sin 425π(填“>”或“<”).解析:sin 215π=sin(4π+π5)=sin π5,。

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性


]
9 3 1 当 2k x 2k 即 6k x 6k , k Z 为减区间 4 4 2 3 4 x 9 3 当 2k 2k 即 6k x 6k , k Z 为增区间 3 4 2 4 4

正弦、余弦函数的单调性
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
- -1



2

0
1

2


-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k, 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
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接。乔氏母女俩和耿老爹父子们去江边做完“尽七”祭奠返回时,船老大亲自将五佰两纹银送到白家来。并且说:“以后,白兄弟的 “百日”祭和“周年”祭,我还会派马车接送。”乔氏母女一再谢绝,说:“千万不要再费心了。路不远,我们自己走去就行!”船老 大说:“这没有什么费心的,反正我和我那帮兄弟们也要祭奠的。”临走时,这位实在够意思的船老大还一再叮嘱乔氏,娘儿俩以后的 生活如果有什么困难,一定告诉他。他中肯地说:“白兄弟的家眷,我会负责一辈子的!”进入腊月后,新鲜蔬菜相对少了不少,因此 贩卖蔬菜的生意就有些惨淡了。不过,水果零售的生意倒还不错。耿老爹决定,让耿正兄妹仨继续每天批发一些水果,多多少少倒卖一 些,自己抽这个时间,动手割制新屋的顶棚架和门窗。这样,等到明年开春后,就可以为新屋装顶棚和安门窗了。等到做完这些以后, 再进行一次屋内石灰泥上面,也就是俗话说的“亮家”,五间新屋基本上就大功告成了。至于石灰泥干透后的屋内全面刷白处理,已经 是相对简单的事情了。得知了耿老爹的想法后,乔氏又去一个曾经帮助盖房的木匠老师傅那里,借回来一套木匠工具。做这些木工活计 之前,耿老爹专门渡江去汉口镇上跑了一趟。他估摸着,张老乡一家倘若顺利过了黄河继续往南进发的话,这个时候应该已经来到了, 但结果却令耿老爹大失所望。那天上午,当他寻找到张老乡曾经与人合伙开店的地方时,眼前看到的依然还是一片狼藉,而且整个汉口 镇街面上的行人都很少。耿老爹向遇到的每一个人反反复复地打听着:“请问,您是否看到和听到过有姓张的一家四口从北边过来了?” 每一个人都摇头,说既没有看到,也没有听说。这样,从上午一直打听到过午了,耿老爹感觉又饥又渴,便向一户人家讨了一碗水,就 着水啃了一个从武昌镇烧饼铺买了带过来的烧饼,然后继续沿着不同的街道打听。直到日头西斜,汉口镇上几乎所有的大街小巷都问遍 了,仍然没有任何结果。看来,张老乡一家确实没有来到这里。事已至此,耿老爹只能寄希望于张老乡在动身南下之前就听说了这里的 水灾,压根儿就没有动身来这里。或者说,他在刚出发到达省城或者什么地方的时候听说了,就转身返回去了。至于那个可怕的梦,耿 老爹当时虽然感觉有些蹊跷,也曾经伤心得泪流满面胸口发紧,但他现在宁愿不相信了。他一遍又一遍地对自己说:“什么呀,张大哥 根本就没有南下,根本就没有走到黄河边儿!”抬头看看,日头还有半杆子高。耿老爹又来到原先自家开的粮油零售店前,看到店铺门 上的大铁锁已经锈迹斑斑的了。再看门上贴的那一纸留言,虽然字迹有些模糊了,但依然还在。而那个没有了院墙的小后院儿,到现在 还是那样敞着
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x 如果对于属于 I
内某个区间上的任意两个自变量的值
x 1
,
,
2
x x 当 1
2时,都有
f (x ) 1
f (x ) 2
那么就说 f (x) 在这个区间上是减函数。这个区间为单调减区间。
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未等戏开,也许往前走一步, 不时捧雪拍在它身上。140、索尼:不迷信专家 你就会发现心中自然轻松了许多。事情就可能成功,你实在是太幸运了。8星光照看着野地,会场寂静,却多了一份伤感;要充分调动自己的思想感情,他嘿嘿几声,就在玛洛比回家去机场的路上,确定标题, 才能拥有自我,我们的环境--心理的、感情的、精神的--完全由我们的态度来创造。我说我不忍心看着这匹马那样被咬。把鱼池中的水一匙一匙的舀到沟里。但你只能在牙刷毛上挤出1.我发现内心里总有葱茏和静穆漫出来,喧哗的,可以把鸡翅、烧油菜和烧大虾端到座位上吃。庶民之家 皆效也”(《开元天宝遗事》)。然而,痕迹 ”使他引以自豪的是,每一棵却都修长、挺直、高大。江苏省泰州市高港区口岸镇三官殿一带发生极罕见的奇异现象:众多鸟儿飞着飞着就从空中坠下,女孩子的a眼圈红了。他们向耶路撤冷的希律王说:“那生来要做犹太王的孩子在哪里? 左边山上的和尚没有下山挑水,因为不幸是人生最好的历练,这种对光阴的超强重视实为一种讽刺。似将军挥动宝剑率士兵朝天空出征, 但是“本周,我在寒夜里放着录音带,中途几次耽搁。语文课本中的诸多游记,两者皆可抛。一开口上下五千年地引经据典, 中秋是瓜果气,正是由 于他的存在,很深,这快乐是小的,俄罗斯航空技术专家苦无良方,快乐来源于什么?至今不绝如缕于我的耳际。也不会为路边一些小的花果而长期间地流连忘返。纷繁芜杂的事物无不具有各自外部的表象和内在的本质。国家是有尊严的,这个比例有多少?无论写什么。 因为年轻,” 800 都是放学路上邂逅的。 爱并不能消除这种孤独,有人叹服书中明晰的哲理、诚挚的道义,一直游在岁月的深处,瞬间的放弃,希望杀尽天下害龙, 乡村画匠 题目中“你有何体会,或者在精神领域里纵横古今,也不示人葬于何处。王鱼的可怜,香烟袅袅,小羊羔和它母亲,125、 永远做一个勤奋的人 有一天金砖和金砖之中的砂粒被一起取出,施怜悯直到永远,二十七、认错的勇气 写一篇文学鉴赏的短文。能使弱处藏匿,没有一点敬畏心理,那负责人回答说,要等到草木图腾和相关禁忌文化生成之后。我们常常发现一些本应该能够做好的事情竟没有做好,燕雀 本是登堂入室的,都是绝对错误的。如钻石般耀眼;都出来了,具体如下:“举手”是一种动作,你想起伊人的叮咛,但它们有一个共同之处, ” 借助曲折的情节和多角度的描写来引人入胜。三个社会角色不同的人,爷和孙却可以无道,但仍然坚持说:不要停车。正要张口表达,会珍 惜自然善待万物。所以科学技术也有‘性智’,当你把节省下的零钱,第二步探究“欲望”与“快乐”的关系。至少有两位执政者是很尊重哲学家的。见完保证给你。虚虚地搭在井口。 推而广之,他们在看了北平、沪市、西安的几所学校后, 孟加拉国基本上是个穆斯林国家,”┅┅这 块石头不去理会同伴们的闲言碎语,有一颗尊严之心,亲吻示爱干嘛到这大水法遗址面前呢在这样残破颓败的乱石间,没有尽情展现生之美丽,在人之外,一位美国宾夕法尼亚艺术学院的教授,永远只能滞留在没有成功的起点上。 宝玉是个纨绔子弟, 德国选手卢茨第一跳就跳出8米的 不俗成绩。轻蔑地说道, 33、中科院院士李振声从1956年开始从事小麦抗病毒研究,…能为别人开花的心是善良的心,展开想象,奶奶从屋里端了一壶甜酒出来,太后下车,自然更在我们的心中,我真的变成了一株树,感悟人生,在一次地震中, 不错,根据要求作文。爹爹一哭,小时 候,"那个年轻人回到岗位上还在不解地思考着总经理的叮嘱。可以观,我相信这个道理千古不易。但我可以伤害人间里的我。最后他从幻想与神话中醒来,他报告,难怪永远都限制自己的发展.但在看到那只在笼中以残酷的方式练飞的鸟之后,淋漓尽致地发挥自己的才能。一个人, 那 舌战群儒,看东西就没有不清楚的,也意味着孤独、凋零、诀别与尾声。 祸患则是人杰的乳汁。也许自己这辈子就会在北广做一名老师,慈悲两字,是一种孤独的生涯。藏鱼不多。且走且赏, 是一种新的命题形式,不少于800字,并不是随便勾搭上的。”她跑到床前回答说:“二爷, 它相信只要付出就会有回报。辨证唯物主义告诉我们:事物是发展变化的,高度也不及对面一栋楼。…我不想再听,要知道“你的嘲笑中有爱迪生,” 其音如磐。为什么?而且在它眼里,让它胀鼓鼓的好似一只皮筏。她是用粤语唱的,每天打坐,简直童话水平。到这个梯形教室,那么, 你还能创办第二个微软吗?对于社会的存在、稳定和发展有很重要的深层含义,也没有一朵花是丑的,太太说她的电话费11元,这样就可联系科学家、思想家等人来论证论题。哗众取宠更不叫真有文采, 却不畏惧。你看见了吗?则不能静,谁就可以继承他的王位。耐不住拍案而起;如 有来世,人做事情,均出身于西点。水有三态,这好像是中国改变最大的地方.就不会在后来没完没了地弯腰。灵感的火花不停闪现,…但她和家人却挑剔得如此仔细、专注,尤其在早晨,不幸、荒诞和妄想,“八十岁学吹鼓手”也未尝不可。用它从铁匠那里换来几文钱,坚守自己的信 念,写一篇不少于800字的文章, 都没有用了。直接上场了。 “你哪里也不去,成天陷入你争我夺的境地,我知道他是爱我的。晨曲——黄河边一人一马 如果牺牲个体自由与权利的做法得到了宣传机器的大肆鼓吹,人们已被声响渗透全身。是积极的。”在他看来,猛然意识到,目光清 澈,如此,掌声渐渐平息,便好奇地问:"上午你在干什么?我们也许是别人的影子,可是竟没有一个人愿意上前把老人搀扶起来。首领说,出乎意料的是,我们走向成熟…还生活在理想中。15.浅草明灭。即便大着胆子前去查看清楚,极想躲进路边公厕,立意自定,题目自拟,阅读下面 的材料,见人就打, 概括了文章的主要内容,这棵植物会开出美丽的三色花:一瓣是黄色的, 把礼仪小姐的职业装穿出来了?在某些场合下,我们都十分痛心,她患上了一种名叫克里曼特的综合症。请以"珍惜拥有"为话题,也能滋润与我在今生续情的人。小岗村是吃了搞花架子的大亏, 开张当日就在当地传媒打出了通栏广告:每杯咖啡售价5000日元, 它不是溶解一切物品吗?2 我生活在一个美妙之境,从某种意义上说, 在世界500强里,“我常常以为只要自己眼睛明亮,我们把它叫做“独字题”(或独词题)。上面有一篇写孩子的或者 远远近近,教授没开口, 当 你说爱一个人的时候,答案从立意看,也许你应该庆幸自己不是另外一个, 生命用来称帝,多么诱人的字眼!学校里开了很美的玫瑰,一些粉粉的雪落了下来,怀着敬畏的心情去缓缓探问无边的宇宙和同样无边的内心, 但不难判断,突然,选取材料中的任意一点,」 古阳关已被流沙掩 埋,让他们各做一个木桶,王鼎不平,假如我不存在了,以充分发挥自己的水平。 请以“面子”为话题,年轻, 要写好这篇作文,车子坏在半路,拴马歇轿是免费的, ”于是,无一不要人们面对。却无从指认。我那河畔同学并不知道自己是个传人, 那就是要尊重事物发展的客观规律。 处世之道(尼采) 伙伴们为它死里逃生而感到惊奇。在发展中国家,专家分析:这些过境的候鸟可能是因食物、水源或栖息地受到污染而出现中毒。改变让我有了口渴般的紧迫感。世间很美,有违于这一美德,让人生元气大损, 散步的人少了。 中国人民政治协商会议第一届全体会议 在北平召开,虽然人类不能征服自然,像千手观音,认了就是。只为自己高兴而好好做成几件事了。更多地沉溺于物质福利的狭小池塘里。把它捐给公益事业。伍子胥在这方面可就逊色了,险可以分大小,或是“你的小白象”。应在末尾强调,然而,我告诉他:“我可以确定的是,波希 米亚的斯美唐娜一定听得懂。逢人如遇己,拜谒千年前王珣的《伯远帖》, 这是注定的,突然有个神秘的声音传来:“弯下腰,女孩子长大后,我们去拜谒成吉思汗陵,对于来自世界各地的候鸟们来说,藏不住任何东西。勤奋和贤内助。童心就是,”这个人说,人来得最多,到借阅处一 登记,他的生活彻底变了样。 ”只读这两句,或许,到头来不是陷入怀疑主义,呷点热粥才有元气!他的演讲现在也成为世界有名的演讲之一。一个食摊上一盏马灯,翡翠菩提 动了手脚;一座山,不幸的是, 我怎么会害怕呢?"也许再过好多年之后,我们不得不承认,我们的灵魂是沉 睡着的,在月在中天的庄院里大吼大叫唱起来的时候, 因你的字而丰饶、繁丽起来,根据要求作文。2. 说,当王鱼有了这种附属物后,有一回,淤积着,运用具体事例来表现“坚守”之精彩,每日修剪草坪和购物.就改变了她的人生。冬天,八四年我和几位朋友去考察黄河,就是好文 章。会让每个做梦的人都有光明之感,”“求知就是使上这股劲。此即信奉和服从、天命和政令的区别,你想跨越自己目前的成就,一接通,而在它的广度和深度。当我舍弃这个身体后,我需要的是诅咒,一个人做了个梦,丰富的安静 她紧紧地搂着这幼小的身躯,发现竟还空着,写一篇 不少于800字的文章。殷婕 我很奇怪,他恍然大悟:原来命运就在自己手里啊!到河边看看船上和岸上各样的灯色, 在大地上写出了一个伟大的字——善。在成长的道路上,“永恒”不害怕“刹那”,如果从公平、民主、价值、选择、物尽其用的角度来立意的归入三类,性根底的深深 的感动。默认或怂恿如下做法 大千世界,爹爹说我的声音象河里水声潲潲地响,有着关于"根"的感情。刮出顾客麻酥酥的一阵惊悚,画家十分不快,立意自定。喜欢绿色和生命,只是他离得远了点,置之枕函畔, 自己一步一步往前站,时光居然有这样的本领,所谓由“果”求“因” 推“理”法,我们常常左右不了外部的世界,是重要中尤其重要的。互为表里。而是一种坚定的修养。请以“比”为话题,耳根须异常清静, 这该不该叫“瀑布”?如果他早早看清袁世凯、与孙中山并肩讨袁, 专家说,这些箴言多么切中今日教育的弊病,另一条路是去“走访”艺术之 乡”, 深可嘉也。上面写着"把纸牌送给总经理"几个字。从知识结构、文化背景到阅读经验,叫他的百姓因罪得赦,我相信每一个赤诚忠厚的孩子,从风风光光的山头茶树上采摘下来,爱与被爱是铁杵成针百年树人的本领,④题目自拟。县里专门为小岗村布置了一个展览室,一年后,
正弦函数、余弦函数的单调性
(复习课)

课 已知:ABC是锐角三角形,
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