三角函数公式和积化和差公式汇总
三角函数积化和差积公式
三角函数积化和差积公式
1三角函数积化和差积公式
三角函数积化和差积公式是三角函数学习中的基本知识，所谓“三角函数积化和差积公式”就是在解决同一学科的相关函数问题时，把更复杂的函数分解为比较简单的函数进行计算。
1.1三角函数积化公式
三角函数积化公式是把一个复杂的函数分解为几个简单的函数，然后将其按照同一学科函数相乘得到结果。
典型的求积法如下：（1）н（x）=Σ[f（x1）*g（x2）*h（xn）]
（2）随着n的增大，可以把复杂函数分解为若干个一元函数的乘积：n（x）=(f1（x）)*(f2（x）)*（fn（x）)
1.2三角函数差积公式
三角函数差积公式与积化公式的思想相反，它是将一个复杂的函数分解为几个一元函数的差积，典型的求差积法如下：
（1）n（x）=f（x）-g（x）-h（x）
（2）随着n的增大，可以把复杂函数分解为若干个一元函数的差：n（x）=(f1（x）)-(f2（x）)-（fn（x）)
2结论
通过分析可以看出，三角函数积化和差积公式是一种比较实用的方法，可以把复杂函数分解为若干个较简单的函数，从而方便计算。
另外也可以在学习三角函数时发现一些性质和规律，从而加深对三角函数的理解和学习。
三角函数公式和积化和差公式汇总
三角函数公式和积化和差公式汇总三角函数公式的积化和差是解决三角函数的重要方法，可以将不同角度的三角函数表示为同一角度的三角函数的和或差。
下面是一些常用的三角函数公式：两角和公式：sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-XXX)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+XXX)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式：tan2A = 2tanA/(1-tan2A)Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式：sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana·tan(π/3+a)·XXX(π/3-a)半角公式：sin(A/2) = √[(1-cosA)/2]cos(A/2) = √[(1+cosA)/2]tan(A/2) = √[(1-cosA)/(1+cosA)]cot(A/2) = √[(1+cosA)/(1-cosA)]和差化积：sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)sina-sinb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)cosa+cosb = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cosa-cosb = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) tana+tanb= (sin(a+b))/(cosacosb)积化和差：sinasinb = -(1/2)[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = (1/2)[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = (1/2)[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = (1/2)[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式：sin(-a) = -sinacos(-a) = cosasin(π/2-a) = cosacos(π/2-a) = sinasin(π/2+a) = cosacos(π/2+a) = -sina三角函数公式的积化和差、和差化积以及诱导公式都是解决三角函数问题的重要方法，掌握这些公式可以更加方便地计算三角函数的值。
三角函数的积化和差公式有哪些
三角函数的积化和差公式为三角函数的一个重要公式，下面总结了三角函数的积化和差公式，供大家参考。
积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(αβ)sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(αβ)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(αβ)cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(αβ)-cos(α-β)]sinαsinβ=2sin[(αβ)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(αβ)/2]sin[(α-β)/2]cosαcosβ=2cos[(αβ)/2]cos[(α-β)/2]积化和差的记忆口诀积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。
解释：（1）积化和差最后的结果是和或者差；（2）若两项相乘，后者为cos项，则积化和差的结果为两项相加；若不是，则结果为两项相减；（3）若两项相乘，一项为sin，另一项为cos，则积化和差的结果中都是sin 项；（4）若两项相乘，两项均为sin，则积化和差的结果前面取负号。
两角和与差的三角函数公式sin(α+β)＝sinαcosβ＋cosαsinβsin(α-β)＝sinαcosβ－cosαsinβcos(α+β)＝cosαcosβ－sinαsinβcos(α-β)＝cosαcosβ＋sinαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)三角函数万能公式sinα=2tan(α/2)/[1tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]。
三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)
记忆口诀（正弦余弦） 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 生动的口诀： 帅 + 帅 = 帅哥 帅 - 帅 = 哥帅 咕 + 咕 = 咕咕 哥 - 哥 = 负嫂嫂
积化和差公式
sin sin
cos cos （注意：此时差的余弦在和的余弦前面） cos cos （注意：此时公式前有负号）
2
或写作： sin sin
2 cos cos cos cos 2 sin sin sin cos 2 sin sin cos sin 2
正切和差化积 tan α ±tan β =
sin( ) cos cos
sin( ) sin sin
cot α ±cot β =
tan α +cot β =
cos( ) cos sin cos( ) cos sin
tan α -cot β =
其他的 3 个式子也是相同的证明方法。
结果除以 2 这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。 sin 和 cos 的值域都是 [-1,1] ，其和差 的值域应该是 [-2,2] ，而积的值域确是 [-1,1] ，因此除以 2 是必须的。 也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数 2 ，如： cos( α -β )-cos( α + β ) =1/2[(cos α · cos β +sin α · sin β )-(cos α ·cos β -sin α · sin β )] =2sin α ·sin β 故最后需要除以 2 。 使用同名三角函数的和差 无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。这一点主 要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不 会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。 使用哪种三角函数的和差
三角函数的积化和差与和化积与差化积公式
三角函数的积化和差与和化积与差化积公式三角函数是数学中重要的概念之一，它有着广泛的应用。
在三角函数的研究中，积化和差与和化积与差化积公式是常用的工具。
本文将介绍这两个公式的概念和具体应用，并通过例子详细说明。
一、积化和差公式积化和差公式是将两个三角函数的乘积转化为和或差的形式。
对于任意两个三角函数，我们有如下的公式：sin(A)sin(B) = (1/2)[cos(A-B) - cos(A+B)]cos(A)cos(B) = (1/2)[cos(A-B) + cos(A+B)]sin(A)cos(B) = (1/2)[sin(A-B) + sin(A+B)]在这些公式中，A和B代表角度。
通过这些公式，我们可以将乘积的形式转化为和或差的形式，便于进行计算和简化表达式。
下面通过一个例子来说明。
例子：计算 sin(60°)sin(30°)根据积化和差公式，我们有：sin(60°)sin(30°) = (1/2)[cos(60°-30°) - cos(60°+30°)]= (1/2)[cos(30°) - cos(90°)]= (1/2)[√3/2 - 0]= √3/4因此，sin(60°)sin(30°)的值为√3/4。
这个例子展示了如何使用积化和差公式将乘积转化为和或差的形式，并进一步进行计算。
二、和化积与差化积公式相反地，和化积与差化积公式是将两个三角函数的和或差转化为乘积的形式。
对于任意两个三角函数，我们有如下的公式：sin(A)+sin(B) = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]sin(A)-sin(B) = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]cos(A)+cos(B) = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]cos(A)-cos(B) = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]通过这些公式，我们可以将和或差的形式转化为乘积的形式，便于进行计算和简化表达式。
三角函数和差化积 积化和差
三角函数和差化积积化和差
三角函数的积化和差以及差化和积是一组重要的三角函数公式，用于将两个三角函数的乘积或差表示为一个较简单的表达式。
1.三角函数的积化和差：
o余弦函数的积化和差：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
o正弦函数的积化和差：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
o余切函数的积化和差：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)
2.三角函数的差化和积：
o余弦函数的差化和积：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B
o正弦函数的差化和积：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B
o余切函数的差化和积：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)
通过这些公式，可以将两个三角函数的乘积或差转化为加法或减法的形式，使计算和简化三角函数表达式更加方便。
这些公式的证明和推导可以通过三角函数的定义和三角恒等式进行推导得到。
掌握这些公式对于解决涉及三角函数的数学问题、物理问题和工程问题等具有重要意义。
三角函数积化和差
三角函数积化和差三角函数积化和差，是指将两个三角函数的乘积表达为两个三角函数和一个常数的和或差的形式。
这种方法常用于简化复杂的三角函数表达式，以及求解三角方程等应用中。
下面将详细介绍三角函数积化和差的相关知识。
一、三角函数积化和差的基本公式1. 余弦角的积化和差公式设α、β为任意实数，则有：cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβcos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ根据这两个公式，我们可以将cos(α + β)和cos(α - β)表示为两个三角函数和一个常数的和或差。
2. 正弦角的积化和差公式设α、β为任意实数，则有：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβsin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ根据这两个公式，我们可以将sin(α + β)和sin(α - β)表示为两个三角函数和一个常数的和或差。
二、应用举例1. 化简复杂的三角函数表达式通过应用积化和差的公式，我们可以将复杂的三角函数表达式简化为较为简单的形式。
例如，可以将sin(2x)表达为2sinxcosx的形式，或将cos(2x)表达为cos^2x - sin^2x的形式。
2. 解三角方程对于一些三角方程，我们可以通过应用积化和差的公式将其转化为较为简单的形式，从而更容易求解。
例如，对于方程sin2x = 0，我们可以将其转化为sinx*cosx = 0，进一步得到sinx = 0或cosx = 0。
然后再求解这两个简单的方程即可得到原方程的解。
三、如何应用三角函数积化和差公式在应用三角函数积化和差公式时，我们需要注意以下几点：1. 熟记积化和差公式的表达形式；2. 根据题目要求，灵活地选择合适的公式进行转化；3. 注意加减号的运用，特别是在转化过程中有负号的情况。
四、总结三角函数积化和差是一种将两个三角函数的乘积表达式转化为两个三角函数和一个常数的和或差的方法。
和差化积积化和差万能公式(干货分享)
和差化积积化和差万能公式正、余弦和差化积公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式sin α+ｓinβ=2sｉn[（α+β）/2］·ｃoｓ[(α-β)／２]siｎα－ｓｉn β=2ｃos[（α+β)/2]·sin[（α-β）／2］cｏｓα+coｓβ=２cｏs［（α+β)／2］·coｓ［（α—β)/2] cｏs α—coｓβ=-2ｓin［(α+β)/2］·sin[（α—β)／2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程s in α＋ｓiｎβ=２sin［（α＋β）/２］·coｓ[(α-β)／2］的证明过程因为ｓin（α+β）=sin αｃos β+cos αｓｉn β,sin（α－β)=sｉｎαcｏs β－cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加,得sin(α+β)+sｉn（α—β）＝2ｓin αｃoｓβ,设α＋β=θ,α-β＝φ那么α=(θ+φ)／2, β=（θ-φ）／2把α，β的值代入,即得sｉn θ+sin φ＝2sｉn[(θ+φ)/2］cｏs[（θ-φ)/2］编辑本段正切的和差化积tanα±tａnβ＝ｓin（α±β)/（ｃosα·coｓβ)(附证明)cotα±coｔβ=siｎ(β±α）/（sinα·sinβ）ｔanα+coｔβ=cos（α-β）/（cosα·sinβ）ｔanα－cｏtβ=－cos（α＋β）/（cosα·ｓｉｎβ）证明：左边=tanα±tanβ=ｓinα/cｏｓα±sinβ／cｏsβ＝（ｓinα·coｓβ±cosα·sｉnβ）/(cｏsα·cｏsβ)＝s in(α±β）/（cosα·cosβ)=右边∴等式成立编辑本段注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
瞬间记住三角函数和差化积积化和差公式
积化和差
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
和差化积
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
对于积化和差公式来说，首要的原则是，等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos，其次，右边中间的和与差取决于左边第二项，若是cos，则是+，若是sin，则是-，最后记得sin*sin时要添上一个负号。
对于和差化积公式来说，第一，若等号左边全是sin，则右边异名，若等号左边全是cos，则等号右边同名，第二，等号左边中间的正负号决定了右边第二项，若是正，则是cos，若是负，则是sin，然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子，最后记得cos-cos要添一个负号。
三角函数的和差化积与积化和差公式
三角函数的和差化积与积化和差公式一、三角函数的和差化积公式：1.正弦函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB该公式表示正弦函数的和与差的正弦值可以表示为两个角的正弦和与差的乘积。
这个公式常用于求解三角方程、证明三角恒等式等。
2.余弦函数的和差化积公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB该公式表示余弦函数的和与差的余弦值可以表示为两个角的余弦积与差的乘积。
3.正切函数的和差化积公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)该公式表示正切函数的和与差的正切值可以表示为两个角的正切和与差的商。
二、三角函数的积化和差公式：1.正弦函数的积化和差公式：sinAcosB = (sin(A + B) + sin(A - B)) / 2该公式表示正弦函数的两个角的积可以表示为这两个角的和与差的正弦和的一半。
2.余弦函数的积化和差公式：cosAcosB = (cos(A + B) + cos(A - B)) / 2该公式表示余弦函数的两个角的积可以表示为这两个角的和与差的余弦和的一半。
3.正切函数的积化和差公式：tanA + tanB = (sin(A + B))/(cosAcosB)该公式表示正切函数的两个角的和可以表示为这两个角的正弦和的商除以这两个角的余弦积。
以上就是三角函数的和差化积与积化和差公式的基本介绍。
这两个公式在解决三角函数的数值计算、化简三角表达式、证明三角恒等式等问题中起到重要的作用。
在初中阶段学习三角函数时，重点掌握这些公式的应用，对于进一步理解和应用三角函数具有重要意义。
附：示例题目和解答1. 化简sin(α + β)cos(α - β)= (sinαcosβ + cosαsinβ)(cosαcosβ + sinαsinβ)= sinαcosαcos²β + sin²αsinβcosβ + sinαcosαcos²β - sin²αsinβcosβ= 2sinαcosαcos²β - 2sin²αsinβcosβ= 2sinαcosα(cos²β - sin²β)= sin2αcos2β2. 化简cos²(θ + φ) - sin²(θ - φ)= (cos(θ + φ) + sin(θ + φ))(cos(θ - φ) - sin(θ - φ)) = (cosθcosφ - sinθsinφ)(cosθcosφ + sinθsinφ)= cos²θcos²φ - sin²θsin²φ= cos²θ(1 - sin²φ) - sin²θsin²φ= cos²θ - cos²θsin²φ - sin²θsin²φ= cos²θ - (cos²θ + sin²θ)sin²φ= cos²θ - sin²φ以上为两个公式的介绍以及示例题目的解答。
三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)
三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)
和差化积和积化和差公式
或写作： （注意：此时公式前有负号）
正弦、余弦的和差化积
【注意右式前的负号】正切和差 Nhomakorabea积tanα±tanβ=
cotα±cotβ=
tanα+cotβ=
tanα-cotβ=
记忆口诀（正弦余弦）
正加正，正在前，余加余，余并肩
正减正，余在前，余减余，负正弦
生动的口诀：
帅+帅=帅哥
帅-帅=哥帅
咕+咕=咕咕
哥-哥=负嫂嫂
积化和差
（注意：此时差的余弦在和的余弦前面）
三角函数和差化积与积化和差公式,倍角公式
三角函数和差化积与积化和差公式,倍角公式和差化积sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)积化和差sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]三倍角sin3a=3sina-4sina^3cos3a=4cosa^3-3cosasin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.号外:tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαtan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]其他一些公式·三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosαtan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)·半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA ^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tan A^4+7*tanA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tan A^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA ^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cos A^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+ 45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)。
三角函数的和差化积与积化和差的计算与应用
三角函数的和差化积与积化和差的计算与应用三角函数是数学中重要的概念，它的和差化积与积化和差是三角函数运算中常用的技巧。
本文将介绍这两种运算的计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、和差化积的计算方法1. 和差化积的基本公式和差化积指的是将两个三角函数的和或差转换为一个三角函数的乘积。
具体而言，和差化积的基本公式如下：sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinBcos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)其中，A和B是任意角度。
这些公式可以通过三角函数的定义和三角恒等式推导得到。
2. 和差化积的具体应用和差化积在解决三角函数的复杂表达式时非常有用。
通过将一个复杂的表达式转化为乘积形式，可以简化计算，并且得到更为简洁的结果。
举例说明，假设我们需要计算sin75°的值。
根据和差化积的公式，sin75°可以表示为sin(45°+30°)。
将45°和30°代入公式，可以得到sin75°的计算式为：sin75° = sin(45°+30°) = sin45° cos30° + cos45° sin30°之后，再结合已知的三角函数值，进行计算即可得到sin75°的数值。
二、积化和差的计算方法1. 积化和差的基本公式积化和差指的是将两个三角函数的乘积转换为一个三角函数的和或差。
具体而言，积化和差的基本公式如下：sinA sinB = 1/2 [cos(A-B) - cos(A+B)]cosA cosB = 1/2 [cos(A-B) + cos(A+B)]sinA cosB = 1/2 [sin(A+B) + sin(A-B)]2. 积化和差的具体应用积化和差运算常用于解决三角函数乘积的展开式。
三角函数所有公式(打印版)
三角公式（打印版）二倍角公式：αααcos sin 22sin = ααααα2222sin211cos2sincos2cos -=-=-=ααα2tan1tan 22tan -=αααααα2tan 1cot 21cottan 2tan12cot 22=-=-=半角公式：2cos 12sinαα-±=2cos 12cosαα+±=αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=2tan1cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cotαααααααα=-=+=-+±=万能公式：2tan 12tan2sin 2ααα+=2tan12tan1cos 22ααα+-=2tan 12tan2tan 2ααα-=2tan22tan1cot 2ααα-=两角和与差的公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-βαβαβαβαβαcot cot 1cot cot tan tan tan tan 1)cot(+-=+-=+βαβαβαβαβαcot cot 1cot cot tan tan tan tan 1)cot(-+=-+=-和差化积公式：2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+ 2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2cos2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ 2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-积化和差公式：)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=补充公式：)sin(cos sin 22ψαβα++=+bab a ， ab =ψtan 其中若4πβα=+，则2)tan 1)(tan 1(=++βα⎩⎨⎧+-=--+=+)tan tan 1)(tan(tan tan )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβαβαβαβα ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2sin 2cos 12cos 2cos 122αααα＋升幂公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-22cos 1sin 22cos 1cos 22αααα＝＋＝降幂公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=-22)2cos 2(sin sin 1)2cos 2(sin sin 1θθθθθθ ⎩⎨⎧=+-=-θθθθθθ2csc 2cot tan 2cot 2cot tanA,B,C 为三角形三个顶角，a,b,c 为相应角所对的边，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径正弦定例及其变形：R Cc Bb Aa 2sin sin sin ===变形：A R a s i n 2= B R b sin 2=C R c s i n 2=余弦定例及其变形：A bc c b a cos 2222-+= B ac cabcos 2222-+=C ab baccos 2222-+=变形：bcacbA 2cos 222-+=acbcaB 2cos 222-+=abcbaC 2cos 222-+=三角形及其面积的计算：Rabc B ac A bc C ab S 4sin 21sin 21sin 21====))()((c l b l a l l S ---= )(2半周长＝其中cb a l ++（海伦公式）r c b a S ∙++=)(21 高底∙=21S。
三角函数的和差化积公式
例4 设函数f (x)在[0,π ]上连续,
∫ ∫ 且 π f (x)dx = 0, π f (x) cos xdx = 0,
0
0
试证在(0,π )内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,
使f (ξ1) = f (ξ2 ) = 0
例5 设函数f (x)是一个连续函数,
∫ 证明存在ξ ∈ (0,1)使得 1 f (x)x2dx = 1 f (ξ )成立.
0
3
例6 设函数f (x)在[-L, L]上连续,在x = 0可导,且f ′(0) ≠ 0,
求证对∀x ∈ (0, L)存在0 < θ < 1,使
∫ ∫ x f (t)dt +
−x f (t)dt = x[ f (θ x) +
1
f (x)dx
ξ
例10 设f (x)在区间[−a, a](a > 0)上具有二阶连续导数, f (0) = 0,
∫ 证明在[−a, a]上至少存在一点ξ ,使a3 f ′′(ξ ) = 3 a f (x)dx −a
∫ 例11 设函数f (x)连续,ϕ(x)= 1f(xt)dt,lim f (x) = A( A为常数),
三角函数的和差化积公式
(1) sinα + sin β = 2sin α + β cos α − β
2
2
sinα − sin β = 2 cos α + β sin α − β
2
2
(2) cosα + cos β = 2 cos α + β cos α − β
2
2
cosα − cos β = 2sin α + β sin α − β
三角函数和差化积公式有哪些
和差化积公式是初中三角函数的重要公式之一，接下来给大家分享三角函数和差化积公式及推导过程，供参考。
和差化积公式sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)三角函数和差化积口诀（1）正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦。
（2）差化积需同名，变量置换要记清;假若函数不同名，互余角度换名称。
和差化积公式推导过程首先，我们知道sin(A+B)=sinA*cosB+cosA*sinB，sin(A-B)=sinA*cosB-cosA*sinB我们把两式相加就得到sin(A+B)+sin(A-B)=2sinA*cosB所以，sinA*cosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2同理，若把两式相减，就得到cosA*sinB=(sin(A+B)-sin(A-B))/2同样的，我们还知道cos(A+B)=cosA*cosB-sinA*sinB，cos(A-B)=cosA*cosB+sinA*sinB所以，把两式相加，我们就可以得到cos(A+B)+cos(A-B)=2cosA*cosB所以我们就得到，cosA*cosB=(cos(A+B)+cos(A-B))/2同理，两式相减我们就得到sinA*sinB=-(cos(A+B)-cos(A-B))/2这样，我们就得到了积化和差的四个公式：sinA*cosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2cosA*sinB=(sin(A+B)-sin(A-B))/2cosA*cosB=(cos(A+B)+cos(A-B))/2sinA*sinB=-(cos(A+B)-cos(A-B))/2有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的A+B设为A，A-B设为B，那么A=(A+B)/2，B=(A-B)/2把A，B分别用A，B表示就可以得到和差化积的四个公式：sinA+sinB=2sin((A+B)/2)*cos((A-B)/2)sinA-sinB=2cos((A+B)/2)*sin((A-B)/2)cosA+cosB=2cos((A+B)/2)*cos((A-B)/2)cosA-cosB=-2sin((A+B)/2)*sin((A-B)/2)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角函数公式积化和差公式汇总三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式 tan2A =Atan 12tanA 2-Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a) 半角公式sin(2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A +tan(2A )=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin +和差化积sina+sinb=2sin 2b a +cos 2ba - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosasin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sinasin(2π+a) = cosacos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sinacos(π+a) = -cosa tgA=tanA =aacos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2aa +cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+-tana=2)2(tan 12tan2aa -其它公式 a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] a•sin(a)-b•cos(a) =)b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=ba ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a )21-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2其他非重点三角函数csc(a) =a sin 1sec(a) =acos 1双曲函数sinh(a)=2e -e -aacosh(a)=2e e -aa +tg h(a)=)cosh()sinh(a a公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin （π＋α）= -sinαcos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -tanα cot （-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα cot （π-α）= -co tα 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π-α）= -sinα cos （2π-α）= cosα tan （2π-α）= -tanα cot （2π-α）= -cotα 公式六：2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π+α）= cosαcos （2π+α）= -sinαtan （2π+α）= -cotαcot （2π+α）= -tanαsin （2π-α）= cosαcos （2π-α）= sinαtan （2π-α）= cotαcot （2π-α）= tanαsin （23π+α）= -cosαcos （23π+α）= sinαtan （23π+α）= -cotαcot （23π+α）= -tanαsin （23π-α）= -cosαcos （23π-α）= -sinαtan （23π-α）= cotαcot （23π-α）= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin)cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部） 2009-07-08 16:13 公式表达式乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h-----------------------三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ————————————————————————一、诱导公式口诀：（分子）奇变偶不变，符号看象限。