傅里叶变换及其性质word版本

第2章 连续时间傅里叶变换
与周期信号的傅里叶级数相类似，F(ω)、φ(ω)与R(ω)、 X(ω)相互之间存在下列关系：
第2章 连续时间傅里叶变换
2.1 引 言
LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过 对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系统的特性。
第2章 连续时间傅里叶变换
2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数
2.2.1 指数形式的傅里叶级数
满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的
傅里叶级数:
f (t) Fnejnt n
可积， 即要求
f (t)dt
第2章 连续时间傅里叶变换
2.4.2
由非周期信号的傅里叶变换可知:
f(t)21 F(j)ejtd
频谱函数F(jω)一般是复函数，可记为
F(j)F()ej()
习惯上将F(ω)~ω的关系曲线称为非周期信号的幅度频谱 (F(ω) 并不是幅度!)，而将φ(ω)~ω曲线称为相位频谱，它们都是ω的 连续函数。
若信号的复振幅 为FnnΩ的实函数，其复振幅Fn与变量(nΩ)
的关系也可以用一个图绘出。
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取样函数定义为
Sa(x) sinx x
这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。
据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
Fn
E
T
San
第2章 连续时间傅里叶变换
第2章 连续时间傅里叶变换
2.1 引言 2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数 2.3 周期信号的频谱 2.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换 2.5 傅里叶变换的性质 2.6 周期信号的傅里叶变换 2.7 连续信号的抽样定理 2.8 连续系统的频域分析
第2章 连续时间傅里叶变换
FnT 1Tf(t)ejntd,tnz
第2章 连续时间傅里叶变换
f
(t)
E
0
当t
2
当 T t , t T
2
22 2
f (t)
E
－T
－T2 －τ2o
τ 2
T 2
T
图 2.2-1 周期矩形脉冲信号
2T t
第2章 连续时间傅里叶变换
2.2.2
f
(t)
E
0
当t
2
当 T t , t T
2
第2章 连续时间傅里叶变换
Sa(x) 1
－3－2 － o
2 3
x
图 2.2-3 Sa(x)函数的波形
第2章 连续时间傅里叶变换
Fn
E
T
2 4
o 3
图 2.3-4 周期矩形脉冲信号的频谱
第2章 连续时间傅里叶变换
由图 2.3-4 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点：
第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线 代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。
＝2 T
2
(b)
图 2.2-6 不同T
(a) T=5τ; (b) T=10 τ
4
4
第2章 连续时间傅里叶变换 周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期
Байду номын сангаас
矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传
输过程中，要求一个传输系统能将这无穷多个正弦分量不失
真地传输显然是不可能的。实际工作中，应要求传输系统能
第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含有非 Ω的谐波分量。
第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ 的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。 当nΩ→∞时，|Fn|→0。
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f(t) E
P 1 T
T 2 T 2
f 2(t)dt
f (t) Fnejnt
n
第2章 连续时间傅里叶变换 因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理(式(2.1-16))，有
第2章 连续时间傅里叶变换
2.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换
2.4.1 傅里叶变换
第2章 连续时间傅里叶变换
对于非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷 小量dω，而离散频率nΩ变成连续频率ω。在这种极限情况下，
将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基
本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之
内， 因而，常常将ω=0~ 2 这段频率范围称为矩形脉冲信
号的频带宽度。记为
B
2(rad/s)或
Bf
1(Hz)
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2.3.3 周期信号的功率
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而 周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在1Ω电阻上 消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信号 f(t)， 无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为
第2章 连续时间傅里叶变换
f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出:
F( j) f (t)ejtdt
式中：
f (t)cos tdt j f (t)sintdt
R() jX()
R()
f (t)costdt
X ()
f
(t)sintdt
F (j) F ()e j( ) R () j( X )
F个n趋连于续无函穷数小，量通，常但记为F(jωF)n，T即可2望Fn趋 于 有 限 值 ， 且 为 一
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f(t)lim F nej n t 1F (j )ej td
T n
2
非周期信号的傅里叶变换可简记为
一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对
2
22 2
f (t)
E
－T
－T2 －τ2o
τ 2
T 2
T
图 2.2-2 周期矩形脉冲信号
2T t
第2章 连续时间傅里叶变换 为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。
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2.2.3 周期信号的频谱
周期信号的复振幅 F n 一般为nΩ的复函数，因而描述其
特点的频谱图一般要画两个，一个称为振幅频谱，另一个称 为相位频谱。振幅频谱以ω为横坐标，以振幅为纵坐标画出谱 线图；相位频谱以ω为横坐标，以相位为纵坐标得到谱线图。
－τ 2 o
τ 2
Fn
E 5
＝2T
2
T
t
o
4
(a)
f(t) E
Fn
E 10
o
T
t
o
2
τ
τ
(b)
图 2.3-5 不同τ
(a) τ=T/5; (b) τ=T/10
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f(t) E
－τ2 o
τ 2
T
2T
t
Fn E 5
o
＝2T
2
(a)
f(t) E
－τ2o
τ 2
T
t
Fn
E 10
o