(完整版)高考平面向量公式(教师)
平面向量加减法公式
平面向量加减法公式
平面向量的加法和减法是向量运算中的基本操作，下面我会从多个角度来解释这些公式。
首先，让我们回顾一下向量的定义。
在二维平面上，一个向量可以用它的横坐标和纵坐标来表示。
假设有两个向量 a 和 b，它们分别表示为 a = (a1, a2) 和 b = (b1, b2)。
向量的加法公式如下：
a +
b = (a1 + b1, a2 + b2)。
这意味着向量的加法就是将两个向量的对应分量分别相加，得到一个新的向量，它的横坐标是原始向量的横坐标相加，纵坐标是原始向量的纵坐标相加。
向量的减法公式如下：
a b = (a1 b1, a2 b2)。
向量的减法也是类似的操作，将两个向量的对应分量分别相减，得到一个新的向量。
另外，我们还可以用向量的几何方法来理解向量的加法和减法。
假设有两个向量 a 和 b，它们的起点都放在原点 O，那么 a + b
的结果就是以向量 a 的终点为起点，以向量 b 的终点为终点的新
向量。
而 a b 的结果则是从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的新向量。
向量的加法和减法还满足一些性质，比如交换律和结合律。
即
a +
b = b + a，(a + b) +
c = a + (b + c)。
这些性质使得向量
的加法和减法更加灵活和便于计算。
总的来说，向量的加法和减法是向量运算中的基本操作，它们
可以用公式表示，也可以用几何方法理解，同时还满足一些重要的
性质。
这些公式和性质对于理解和应用向量运算非常重要。
数学必修4平面向量公式总结
数学必修4平面向量公式总结平面向量是高中数学必修4新教材中新增加的重要内容之一，是高中学生需要学习的重要知识点。
下面店铺给大家带来数学必修4平面向量公式总结，希望对你有帮助。
数学必修4平面向量公式高中数学必修4平面向量知识点坐标表示法平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。
由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y 轴上的坐标。
来表示平面内的各个方向在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向.在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作a=b.零向量与零向量相等.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.向量的运算1、向量的加法：AB+BC=AC设a=(x,y) b=(x',y')则a+b=(x+x',y+y')向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量加法的性质：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)a+0=0+a=a2、向量的减法AB-AC=CBa-b=(x-x',y-y')若a//b则a=eb则xy`-x`y=0若a垂直b则ab=0则xx`+yy`=0高中数学学习方法抓好基础是关键数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。
平面向量、三角公式知识回顾
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=2013.03.18： 知识回顾——平面向量、三角公式一.平面向量：1. 与的数量积(或内积)：θcos ||||b a b a ⋅=⋅ ||||cos b a ⋅=θ2．平面向量的坐标运算：(1)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则b a ⋅=2121y y x x +. (3)设a =),(y x ，则22y x a +=3.两向量的夹角公式：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且0≠b ，则 222221212121cos y x y x y y x x ba b a +⋅++=⋅=θ4．向量的平行与垂直：//⇔λ= 12210x y x y ⇔-=.)(≠⊥ ⇔0=⋅b a 12120x x y y ⇔+=.二．三角函数、三角变换、解三角形：1．同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。
（2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2ππα） （3）)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a （其中辅助角ϕ与点（a,b ）在同一象限，且ab=ϕtan ） 2.诱导公式：（三角函数符合分配——“一全、二正、三切、四余”） (第一组)——函数名不变，符号看象限()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．（第一象限） ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． （第三象限） ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． （第四象限） ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． （第二象限）(第二组)——函数名改变，符号看象限()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （第一象限） ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． （第二象限） （7）ααπααπsin )23cos(,cos )23sin(=+-=+. （第四象限） （8）ααπααπsin )23cos(,cos )23sin(-=--=- （第三象限）3.三角函数和差角公式：）（变式：βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1)tan(tan tan tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( ⋅±=±±=±=±±=±4．二倍角公式：αααcos sin 22sin = 变式：2)2cos 2(sinsin 1θθθ±=±变式：升幂公式：1+cos α=2cos22α1-cos α=2sin22α降幂公式：cos 2α22cos 1α+= sin 2α22cos 1α-=注：2sin 2cos )2sin 2(cossin 12θθθθθ±=±=±5．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===.变形：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== C B A c b a sin :sin :sin ::= 6. 余弦定理：（1）求边： 2222cos a b c bc A =+-; （2）求角: bc a c b A 2cos 222-+=2222cos b c a ca B =+-; ac b c a B 2cos 222-+=2222cos c a b ab C =+-; abc b a C 2cos 222-+=7. 三角形面积定理：111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ====pr(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)。
平面向量公式总结
平面向量公式总结一、引言在数学中，平面向量是指具有大小和方向的量，常用于描述平面上的运动、力和位移等。
平面向量的运算和性质可以通过一系列公式来表示和总结。
本文将以平面向量公式为主题，总结和介绍一些常见的平面向量公式。
二、向量的表示和运算1. 向量的表示：平面向量通常用有向线段来表示，其中线段的长度表示向量的大小，线段的方向表示向量的方向。
2. 向量的加法：对于两个向量a和b，它们的和向量a+b的大小等于两个向量的大小之和，方向等于从a的起点到b的终点的有向线段。
3. 向量的减法：对于两个向量a和b，它们的差向量a-b的大小等于两个向量的大小之差，方向等于从a的起点到b的起点的有向线段。
4. 向量的数量乘法：对于一个向量a和一个实数k，它们的数量乘积ka的大小等于向量a的大小与实数k的绝对值的乘积，方向与a 相同（当k大于0）或相反（当k小于0）。
三、向量的坐标表示1. 向量的坐标表示：对于平面上的向量a，可以用其在坐标系中的坐标表示为a=(x, y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
2. 向量的加法和减法的坐标表示：设a=(x1, y1)和b=(x2, y2)是两个向量，则它们的和向量a+b的坐标表示为(x1+x2, y1+y2)，它们的差向量a-b的坐标表示为(x1-x2, y1-y2)。
3. 向量的数量乘法的坐标表示：设a=(x, y)是一个向量，k是一个实数，则向量ka的坐标表示为(kx, ky)。
四、向量的模和方向角1. 向量的模：向量a的模表示为|a|，等于向量a的大小。
2. 向量的方向角：向量a的方向角表示为θ，是向量与正x轴的夹角，范围通常取[0, 2π)或[-π, π)。
五、向量的数量积和向量积1. 向量的数量积：对于两个向量a=(x1, y1)和b=(x2, y2)，它们的数量积表示为a·b=x1x2+y1y2，等于向量a和向量b的模的乘积与它们的夹角的余弦值。
高中数学-公式-平面向量
平面向量1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。
〔1〕向量式：a ∥b (b ≠0)⇔a =λb ;〔2〕坐标式：a ∥b (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1=0;2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 〔1〕向量式：a ⊥b (b ≠0)⇔a b =0; 〔2〕坐标式：a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0;3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b θ=x 1x 2+y 1y 2;其几何意义是a b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；4.设A 〔x 1,x 2〕、B(x 2,y 2)，那么S ⊿AOB ＝122121y x y x -； 5.平面向量数量积的坐标表示：〔1〕假设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b =x 1x 2+y 1y 2221221)()(y y x x -+-=; 〔2〕假设a =(x,y),那么a 2=a a =x 2+y 2,22y x a +=;十、向量法 1、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔=a kb〔2〕线面平行：l ∥α⇔a ⊥u 0⇔=a u〔3〕面面平行：////αβ⇔⇔=u v u kv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.2、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线垂直：⊥⇔l m a ⊥b 0⇔=a b〔2〕线面垂直：α⊥⇔l a ∥u ⇔=a ku〔3〕面面垂直：αβ⊥⇔u ⊥v 0⇔=u v3、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕直线、m l 所成的角(0)2πθθ≤≤，cos θ⋅=a ba b〔2〕直线l 与平面α所成的角(0)2πθθ≤≤，sin θ⋅=a ua u〔3〕平面α与平面β所成的二面角的平面角(0)θθπ≤≤，cos θ⋅=u vu v教学过程：二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b 〔b ≠0〕，a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：假设a ∥b 〔a ≠0〕，那么有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。
平面向量公式 有哪些公式
平面向量公式有哪些公式平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。
平面向量用a,b,c 上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
那么平面向量公式都有什么？平面向量公式有哪些公式1平面向量公式设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
平面向量的坐标公式大全
平面向量的坐标公式大全若向量a=x，y，向量b=m，n，则a乘以b=xm+yn，a+b=x+m，y+n。
在直角坐标系内，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。
在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
1、加法向量加法的三角形法则，已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。
2、减法AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连中点、指被减。
-(-a)=a、a+(-a)=(-a)+a=0、a-b=a+(-b)。
3、数乘实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。
当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ= 0时，λa=0。
用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)。
扩展资料：物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。
18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。
同时，向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。
它始于莱布尼兹的位置几何。
现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。
18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。
哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。
随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。
高中数学有关平面向量的公式的知识点总结
高中数学有关平面向量的公式的知识点总结高中数学平面向量的公式主要涉及向量的运算和向量的性质，主要的知识点总结如下：1. 向量的加法和减法：- 向量的加法和减法满足交换律和结合律。
- 向量相加的结果可以表示成三角形法则或平行四边形法则。
2. 数乘：- 向量与实数的乘积称为数乘，数乘可以改变向量的大小和方向，满足分配律和结合律。
3. 内积：- 内积也称点积或数量积，表示两个向量的乘积的数量。
- 内积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ，其中A·B表示向量A与向量B的内积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的长度，θ表示两个向量的夹角。
4. 外积：- 外积也称叉积或矢量积，表示两个向量的乘积的向量。
- 外积的计算公式为：A×B = |A||B|sinθn，其中A×B表示向量A与向量B的外积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的长度，θ表示两个向量的夹角，n表示垂直于两个向量所在平面的单位向量。
5. 模长和单位向量：- 向量的模长表示向量的长度，记作|A|。
- 单位向量是模长为1的向量，可以通过向量除以模长得到。
6. 平行和垂直：- 如果两个向量的夹角为0或180度，则称它们为平行向量。
- 如果向量A与向量B的内积为0，则称它们为垂直向量。
7. 向量投影：- 向量A在向量B上的投影被定义为一个向量，它的方向与向量B相同，长度为A 在B上的投影长度。
8. 向量共线：- 如果两个向量可以表示为一个非零实数乘以另一个向量，则称它们为共线的。
这些是高中数学平面向量的主要知识点和公式，掌握这些知识点可以更好地理解和运用向量的概念和性质。
平面向量的所有公式
平面向量的所有公式平面向量是研究平面上的有大小和方向的量，它有三个基本组成部分：模、方向和位移。
在平面向量的运算中，有加法、减法、数量乘法和点乘法等基本运算法则。
平面向量的计算公式如下：一、向量的模：向量的模即向量的长度，用，AB，表示，A、B为向量的起点和终点。
根据两点之间的距离公式，向量AB的长度为：，AB，= sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)二、向量的方向角：向量的方向角用θ表示，θ的计算公式为：θ = arctan(y/x)三、向量的加法：向量的加法可用平行四边形法则或三角形法则进行运算。
-平行四边形法则：若AB向量与CD向量首位相连，则它们的和向量AC的终点D与向量CD的终点D形成一条与中点O1O2平行的平行线。
-三角形法则：若AB向量与BC向量首位相连，则它们的和向量AC的起点A与向量AB的起点A和向量BC的起点B重合，且终点C与向量BC的终点C重合。
四、向量的减法：向量的减法可用向量加法的逆运算进行。
若向量AB与向量CD首位相连，则它们的差向量AC的终点C与向量CD的起点C重合。
即向量减法A-B=A+(-B)，其中-B是向量B的逆向量。
五、数量乘法：向量与标量的乘法可分为两种情况。
-正数乘法：若k为正数，则k倍数的向量k·A与A方向相同，长度为原向量长度的k倍。
-负数乘法：若k为负数，则k倍数的向量k·A与A方向相反，长度为原向量长度的，k，倍。
六、数量积(点乘法)：数量积是向量积的另一种形式，它用于计算两个向量之间的夹角以及向量在一些方向上的投影。
-数量积的计算：设A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个向量，它们的数量积为：A·B=x1*x2+y1*y2- 夹角的计算：设向量A(x1, y1)和B(x2, y2)的夹角为θ，则夹角的余弦为：cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)- 向量在一些方向上的投影：设向量A的模为，A，θ为A与一些方向的夹角，则A在该方向上的投影为：P = ，A，* cosθ以上是平面向量的一些基本计算公式。
高中数字必修二(平面向量)知识点及定理公式
高中数学必修二（平面向量）知识点及定理公式一、向量的概念：既有大小，又有方向的量。
二、特殊向量1.长度为0的向量叫做零向量，记作0.2.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
三、向量间的关系1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量，记作a//b 。
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作a=b 。
四、向量的加法五、|a|,|b|与|a+b|的关系一般地，||||||b a b a +≤+，当且仅当a,b 方向相同时等号成立。
六、向量加法的运算律1.交换律：a+b=b+a2.结合律：(a+b)+c=a+(b+c)七、向量的减法)()(b a b a aa -+=-=--八、向量的数乘1.||||||a a λλ=：当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同。
当λ<0时，与a 的方向相反。
2.运算律：ba b a a a a aa λλλμλμλλμμλ+=++=+=)()3())(2()()()1(向量a b b a a λ=≠共线的充要条件：与)0(。
B C A a+b a b A B CDa b a+bOb a a-b九、向量的数量积θcos ||||b a b a =•当0=θ时，a 与b 同向，||||b a b a =•当πθ=时，a 与b 反向，||||b a b a -=• 当2πθ=时，a 与b 垂直，0=•b a 特别的：a a a a a a •==•||||2或，||||||b a b a ≤•数量积的运算律：cb ac b a b a b a ab b a •+•=•+•=••=•c ))(3()())(2()1(λλ十、平面向量坐标基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2。
2211e e a λλ+=十一、向量的坐标表示向量a 坐标:),(y x a =一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
高中数学平面向量公式知识点大全
高中数学平面向量公式知识点大全高中数学平面向量公式知识点大全高中数学平面向量公式知识点大全平面向量公式知识点定比分点定比分点公式(向量P1P=λ#8226;向量PP2)设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数λ，使向量P1P=λ#8226;向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ)。
(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件若b≠0，则ab的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
ab的重要条件是 xy#39;-x#39;y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是 a#8226;b=0。
a⊥b的充要条件是 xx#39;+yy#39;=0。
零向量0垂直于任何向量.设a=(x，y)，b=(x#39;，y#39;)。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x#39;，y+y#39;)。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x#39;,y#39;) 则a-b=(x-x#39;,y-y#39;).3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣#8226;∣a∣。
平面向量重要公式
平面向量重要公式在平面向量的学习中，我们经常会用到一些重要的公式，这些公式能够帮助我们简化计算过程，提高计算的准确性和效率。
本文将介绍一些平面向量的重要公式，并提供相应的推导和例子来加深理解。
一、向量的模长公式向量的模长是指向量的长度或大小，对于二维平面中的向量，其模长的计算公式如下：对于向量 $\vec{AB}$，其模长记作 $|\vec{AB}|$，计算公式为：$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$示例：计算向量 $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}$ 的模长。
解：利用向量的模长公式，代入坐标值可得：$|\vec{AB}| = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$所以，向量 $\vec{AB}$ 的模长为 5。
二、向量的单位向量公式单位向量是指模长为1的向量，可以利用向量的模长公式来求得单位向量。
对于非零向量 $\vec{AB}$，其单位向量记作 $\vec{u}$，计算公式如下：$\vec{u} = \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}$示例：求向量 $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ 的单位向量。
解：首先计算向量 $\vec{AB}$ 的模长：$|\vec{AB}| = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$然后，利用单位向量公式计算单位向量 $\vec{u}$：$\vec{u} = \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} = \frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}}{5} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5}\end{pmatrix}$所以，向量 $\vec{AB}$ 的单位向量为 $\begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{pmatrix}$。
【推荐下载】高考数学必背：平面向量公式汇总
[键入文字]
高考数学必背：平面向量公式汇总
编者按：高考前的第一轮复习正在火热进行中，同学们要利用这些复习的时间强化学习，为大家整理了高考数学必背：平面向量公式汇总，在高三数学第一轮复习时，给您最及时的帮助!
定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数λ，使向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。
(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
1。
平面向量公式
设a=（x，y），b=(x'，y’）.1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y'）。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律:交换律:a+b=b+a;结合律:（a+b)+c=a+(b+c）。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=—b，b=-a，a+b=0。
0的反向量为0AB-AC=CB。
即“共同起点，指向被减"a=(x，y) b=(x'，y’）则a-b=(x-x’,y—y’）.4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时,λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时,λa=0，方向任意.当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律:（λa)•b=λ（a•b）=（a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律)：（λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ（a+b）=λa+λb。
数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a，b>≤π定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a•b.若a、b不共线，则a•b=|a｜•｜b|•cos〈a,b〉;若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x’+y•y’。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七辑 平面向量专题
一，基本概念
1，向量的概念：有大小有方向的量称为向量。
2，向量的表示：几何表示为有向线段（如图）；字母表示为a 或者AB 。
3，向量的大小：即是向量的长度（或称模）
4，零向量：长度为0的向量称为零向量，记为，零向量方向是任意的。
5，单位向量：长度为一个单位的向量称为单位向量，一般用、
1=
1=
6，平行向量（也称共线向量）：方向相同或相反的向量称为平行向量，规定零向量与任意向量平行。
若平行于，则表示为∥。
7，相等向量：方向相同，大小相等的向量称为相等向量。
若a 与b 相等，记为a =b
8，相反向量：大小相等，方向相反的向量称为相反向量。
若a 与b 是相反向量，则表示为=-；向量-=
二，几何运算
1，向量加法：
（1）平行四边形法则（起点相同），可理解为力的合成，如图所示：
（2）三角形法则（首尾相接），可理解为：位移的合成，如图所示，
（3）两个向量和仍是一个向量；
（4）向量加法满足交换律、结合律：a b b a +=+，)()(c b a
c b a ++=++ （5）加法几种情况（加法不等式）：
= << = 2，减法：
（1）两向量起点相同，方向是从减数指向被减数，如图=- （2）两向量差依旧是一个向量；
（3）减法本质是加法的逆运算：CB CA AB CB AC AB =+⇔=- 3，加法、减法联系：
（1）加法和减法分别是平行四边行两条对角线，AC AD AB =+，=- （2=，则四边形ABCD 为矩形
B
A
a
C
B A
•
a
b
a b
a
b
b
a +
4，实数与向量的积：
（1）实数λ与向量a 的积依然是个向量，记作a λ，它的长度与方向判断如下：
当0>λ时，a λ与a 方向相同；当0<λ时，a λ与a 方向相反；当0=λ时，0=a λ；当0=a 时，0=a λ
；=λ（2）实数与向量相乘满足：)()(λμμλ= μλμλ+=+)( λλλ+=+)( 5，向量共线：
（1）向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得λ= （2）如图，平面内C B A ,,三点共线的重要条件是存在三个不为零的实数q n m ,,， 使得=++n m q ，且0=++q n m ，反之也成立。
（3）AC AB λ=，则OC OA OB λλ+-=)1(（证明略） 6，向量的数量积
（1
）数量积公式：=
⇔=⋅θθcos cos （2）向量夹角θ：同起点两向量所夹的角，范围是[]
0180,0∈θ
（3）零向量与任一向量的数量积为0，即00=⋅a （4
）数量积与夹角关系：b a ≤⋅≤
00=θ 00900<<θ 090=θ 0018090<<θ 0180=θ
=⋅
0>⋅> 0=⋅
>⋅>0
=⋅（5
=
θcos 称为b 在a
=
θcos a 在b 的方向上的投影
（6）重要结论：直角三角形ABC 中，2
=⋅ （7）向量数量积的运算律：
2a =
e =（向量e 为与a 方向相同的单位向量） ⋅=⋅
)()()(λλλ⋅=⋅=⋅ =⋅+)(⋅+⋅
2222)(+⋅+=+ 2222)(+⋅-=- 2
2)()(-=-⋅+
b
a
b a b
a
b
a b
a
三，坐标运算
1，平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数μλ,，使得21e e a μλ+=，我们把不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
（证明略）
2，坐标定义：如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,j 作为基底。
任作一个向量，
由向量的基本定理可知，有且只有一对实数，使得：y x +=，我们把),(y x 叫做
向量的（直角）坐标，记作),(y x =，其中x 、y 分别为向量的横纵坐标。
这个式子
叫做向量的坐标表示。
3，如图，已知点),(11y x A =，),(22y x B =，由向量的坐标定义可知，
),(11y x =，),(22y x =，),(1212y y x x --=-=由此可知，一个向量
的坐标表示等于此向量的终点坐标减去起点坐标，即，),(1212y y x x --=
4，向量的加减乘坐标运算：已知),(11y x =，),(22y x =
（1）加、减、乘：),(2121y y x x ++=+ ),(2121y y x x --=- 2121y y x x +=⋅ （2）实数与向量乘积的坐标运算：),(11y x a λλλ= （3
2
2222121,y x y x +=+=
（4）b a ,夹角余弦值22
22
21
2
1
2121cos y
x y x y y x x +⋅++=
θ
5，向量间关系的坐标形式，已知),(11y x =，),(22y x = （1）)(,//≠的充要条件是，01221=-y x y x
（2）若,⊥则有0=⋅，即02121=+y y x x
6，柯西不等式的向量形式
设向量),(),,(d c n b a m ==，则有bd ac n m +=⋅，
2222d c b a ++=
，因为n m ⋅，所以有柯西不等
式的向量形式：2222d c b a bd ac ++≤+，化简得：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+
y
x
B
A。