相似性理论

➢ 质量之比称为质量相似常数。
质量密度相似常数
Sm
mm mp
S
m p
对于具有分布质量部分，用质量密度ρ表示。
S
Sm SV
Sm S3
l
3.荷载相似
➢ 要求模型与原型在各对应点所受的荷载方向一致， 大小成比例。
集中荷载相似常数
Sp
Pm Pp
Am m AP P
S
S2 l
线荷载相似常数
S
S
S l
面荷载相似常数
d 2 yp
dt
2 p
Sc
Sy St
cp
dy p dt p
SkSy
kp yp
Sp
pp
Sm
Sy St2
mp
d 2 yp
dt
2 p
Sc
Sy St
cp
Sq S
弯矩或扭矩相似常数
SM S Sl3
4.物理相似
要求模型与原型的各相应点的应力和应变、刚度 和变形间的关系相似。
S
m p
Em m EP P
SE S
S
m p
Gm m GP P
SG S
S
m p
S , SE , S , S , SG , S , S — 正应力、弹性模量、正应变、 剪应力、剪切模量、剪应变和泊松比的相似常数。
➢ 确定相似准数有两种方法:
方程分析法－已知描述物理过程的方程。
量纲分析法－已知系统中相关的物理量而无法建立 方程。
方程分析法
利用描述现象的基本微分方程组和全部单值条件来导 出相似准数。
具体步骤：
➢写出现象的基本微分方程组和全部单值条件； ➢写出相似常数的表达式； ➢将相似常数表达式代入微分方程组进行相似转换， 从而得到相似准数； ➢用相同的办法，从单值条件方程中得到相似准数。 当单值条件化为数值而无方程时，从单值条件得不出 相似准数。
第二章 结构相似理论
2.1 概述
力学分析
理论计算 实验研究
原型试验 模型试验
模型试验是将发生在原型中的力学过程,在物理相 似条件下，经缩小(或放大)后在模型上重演。对模 型中的力学参数进行测量、记录、分析，并根据 相似关系换算到原型中去，达到研究原型力学过 程的目的。
模型试验的优点： ➢ 经济性好－模型尺寸小 ➢ 针对性强－突出主要因素，略去次要因素 ➢ 数据准确－室内试验 模型试验的应用： ➢ 代替大型结构试验或作为大型结构试验的辅助试验。 ➢ 作为结构分析计算的辅助手段。 ➢ 验证和发展结构计算理论。
已知条件
单值条件： ➢几何相似 ➢物理参数相似 ➢边界条件相似 ➢初始条件相似
物理量 的相似
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
物理过程 的相似
以牛顿第二定律为例来说明第一相似定理性质
对于原型：
Fp M pap
(1)
对于模型
Fm M m am
(2)
如果模型与原型相似，则各对应物理量成比例：
Fm SF Fp
mm Smmm
am Saap (3)
力相似常数
质量相似常数
加速度相似常数
将(3)代入(2)，与(1)相比有：
相似指标
SF SmSa
Fp
mpap
SF 1 SmSa
(4)
相似条件
若两个物理系统现象相似，则它们的相似指标为1
将(3)代入(4) Fp Fm F
mp a p mmam ma
无量纲值
对于相似的系统相似准数相等
F 常量
Sm
mm mp
, Sc
cm cp
, Sk
km kp
,Sy
ym yp
, St
tm tp
,Sp
pm pp
模型系统各物理量为
mm Smmp , cm Sccp , km Sk k p , ym S p yp , tm Sttp , pm S p pp
将上式代入模型系统，得：
Sm
Sy St2
mp
模型试验的理论基础——结构相似理论
2.2 模型的相似
2.2.1基本概念
物理量和 物理现象 的相似
1. 物理量相似
比几何相似概念更广泛。
2. 物理现象相似
是指除了几何相似之外，在进行物理过程的系统中， 在相应的地点（位置）和对应的时刻，模型与原型的 各相应物理量之间的比例应保持常数。
在两个系统中，所有向量在对应点和 对应时刻方向相同、大小成比例，所 有标量也在对应点和对应时刻成比例
ma
相似准数
小结:
➢ 相似常数:在两相似现象中，两个相应的物理量为常数。 对于与此两现象彼此相似的第三个现象中,可以具有不 同的数值。
➢ 相似指标:由彼此相似现象中各相似常数组成的无量纲 量,彼此相似的现象都满足相似指标等于1的条件。
➢ 相似准数:在所有相似的现象中是一个不变量，无量纲 量,所有相似的系统相似准数应相等。
2.2.2 物理量的相似
1.几何相似
➢ 要求模型与原型结构之间所对应部分的尺寸成比例。 ➢ 几何尺寸之比称为几何相似常数。
Sl
lm lp
bm bp
hm hp
Sl 几何相似常数 l、b、h 结构的长、宽、高三个方向的线性尺寸 m、p 分别代表模型和原型
对一矩形截面，模型和原型结构的面积相似常数、 截面抵抗矩相似常数和惯性矩相似常数分别为
5.时间相似
对于结构的动力问题，在随时间变化的过程中，要 求模型与原型在对应时刻进行比较，要求相对应 的时间成比例。
St
tm tp
时间相似常数
6.边界条件相似
要求模型与原型在与外界接触的区域内的各种条件 （支承条件、约束条件和边界上的受力情况等） 保持相似。
与原型结构构 造相同的条件
7.初始条件相似
SA
Am Ap
hm bm hp bp
Sl2
SW
Wm Wp
1 6
bm
h2 m
1 6
bp
h2 p
Sl3
SI
Im Ip
1 12
bm
h3 m
1 12
bp
h3 p
Sl4
根据变形体系的位移、长度和应变之间的关系，
位移相似常数为
Sx
xm xp
m lm p lp
S
Sl
2.质量相似
➢ 要求模型与原型结构对应部分质量成比例。
例1：单自由度系统有阻尼受迫振 动相似准数的导出。振动微分方 程如下：
d 2 y dy
m
dt 2
c dt
ky
p
解：对于原型系统振动微分方程
mp
d 2 yp
dt
2 p
cp
dy p dt p
kpyp
pp
对于模型系统振动微分方程
mm
d 2 ym dtm2
cm
dym dtm
km ym
pm
各物理量的相似常数为
要求模型与原型在初始时刻的运动参数相似。包括 初始几何位置、质点的位移、速度和加速度。 模 型上的速度、加速度和原型的速度和加速度在对 应的位置和对应的时刻保持一定的比例，并且运 动方向一致。
2.3.结构相似定理
2.3.1.第一相似定理——牛顿（1786）
彼此相似的现象，单值条件相同，其相似准数相同。