圆的标准方程 优秀教案

O

(,)P x y

(,)C a b

圆的标准方程

【教学目标】

（1）认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；

（2）掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径； （3）能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程。

【教学重难点】

圆的标准方程及其运用。 圆的标准方程的推导和运用。

【教学过程】

一、问题情境

1．情境：

河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥，其圆拱所在的曲线是圆，我们能否表示出该圆弧所在圆的方程呢？ 2．问题：

在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系？如果没有坐标系，我们应该怎样建立坐标系？如何找到表示方程的等式？ 二、学生活动

回忆初中有关圆的定义，怎样用方程将圆表示出来？ 三、建构数学

1．由引例赵州桥圆弧所在圆的方程的求解过程推导一般圆的标准方程：

一般地，设点(,)P x y 是以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆上的

任意一点，则||CP r =r 即

222()()x a y b r -+-=（1） ；

反过来，若点Q 的坐标00(,)x y 是方程(1)的解，则222

00()()x a y b r -+-=，

r =，这说明点00(,)Q x y 到点C (,)a b 的距离为r 即点Q 在以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆上；

2．方程222()()(0)x a y b r r -+-=>叫做以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程； 3．当圆心在原点(0,0)时，圆的方程则为222(0)x y r r +=>；

特别地，圆心在原点且半径为１的圆通常称为单位圆；其方程为221x y += 四、数学运用

1．例题：

例1．分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径： （2）22(2)(3)7x y -+-=； （2）22(5)(4)18x y +++= （3）22(1)3x y ++= （4）22144x y += （5）22(4)4x y -+= 解：（如下表）

例2．（1）写出圆心为(2,3)A -，半径长为5的圆的方程，并判断点(5,7)M -，(1)N -

是否在这个圆上；

（2）求圆心是(2,3)C ，且经过原点的圆的方程。 解：（1）∵圆心为(2,3)A -，半径长为5 ∴该圆的标准方程为22(2)(3)25x y -++=

把点(5,7)M -代入方程的左边2222(52)(73)3425-+-+=+=＝右边即点(5,7)M -的坐标适合方程，∴点(5,7)M -是这个圆上的点；

把点(1)N -

的坐标代入方程的左边22(2)(13)1325+-+=+≠

即点(1)N -坐标不适合圆的方程，∴点N 不在这个圆上； （2）法一：∵圆C 的经过坐标原点，

∴圆C

的半径为r ===因此所求的圆的方程为22(2)((3))13x y -+--=即22(2)(3)13x y -++=； 法二：∵圆心为(2,3)C -

∴设圆的方程为222(2)(1)x y r -++=

∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即222(02)(01)r -++=即213r = ∴所求圆的标准方程为：22(2)(3)13x y -++=

例3．（1）求以点(1,2)A 为圆心，并且和x 轴相切的的圆的标准方程； （2）已知两点(4,9)P ，(6,3)Q ，求以线段PQ 为直径的圆的方程。 解：（1）∵圆与x 轴相切∴该圆的半径即为圆心(1,2)A 到x 轴的距离2； 因此圆的标准方程为22(1)(2)4x y -+-=；

（2）∵PQ 为直径∴PQ 的中点M 为该圆的圆心即(5,6)M

又∵||PQ ===

||

2

PQ r =

=∴圆的标准方程为22(5)(6)10x y -+-=

例4．已知隧道的截面是半径为4m 的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为3m ，高为3.5m 的货车能不能驶入这个隧道？ 解：以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：2216(0)x y y +=≥ 将3x =

代入得3 3.5y ==< 即离中心线3m 处，隧道的高度低于货车的高度 因此，该货车不能驶入这个隧道；

思考：假设货车的最大的宽度为am ，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？

略解：将x a =

代入得y =

m 五、回顾小结：

1．圆的标准方程及其表示的圆心和半径； 2．建系思想和方程思想。