郑州轻工业学院2013-2014学年第二学期高等数学试题(A)

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考试类别[学生填写]（□正考 □补考 □重修 □补修 □缓考 □其它）

（适用于机电、电气、计算机、物理学院相关专业）

一、单项选择题（每题3分，共15分） 1.

=+⎰dt t dx d x

2

21（ B ）.

(A)41x + (B) 412x x + (C) 212x x + (D) 21x +

2. 二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '，),(00y x f y '存在是

),(y x f 在该点连续的（ D ）

． (A) 充分条件非必要条件 (B) 必要条件非充分条件

(C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件

3. 设简单闭曲线L 所围区域的面积为S ，其中L 的方向取正向，则S =（ D ）.

(A)

⎰-L ydy xdx 21

(B) xdx ydy L -⎰21

(C) ⎰-L

xdy ydx 21

(D)

⎰-L

ydx xdy 21

4. 判定级数∑∞

=1

2

sin n n n α

（ B ）. (A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 无法判断 5. 用柱面坐标计算三重积分

⎰⎰⎰Ω

dv z y x f ),,(时，体积微元dv 的转化关系是( B ). (A)dxdydz dv = (B)dz rdrd dv θ= (C)θϕϕd drd r dv sin 2= (D) dz zdrd dv θ=

二、填空题(每题3分，共15分)

1．

=--→1

1lim

)

1,1(),(xy xy y x 21

． 2. 设函数)2sin()1()arctan(),(y e y xy y y x f x

+-+=，则=')0,1(x f e ．

3．微分方程044=+'-''y y y 的通解为x

e x C C y 221)(+=. 4. 设D 是12

2

=+y x 所围的闭区域，)(u f 连续，则

=++⎰⎰dxdy y x xf D

)](1[2

2π． 5. 由1,0,2

===y x x y 所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为

5

4π． 三、计算题(本题共48分)

（6分）1．x

y

z arctan =，求)0,1(dz .

解：

22y x y x z +-=∂∂，2

2y x x y z +=∂∂ 故

0)

0,1(=∂∂x z

，

1)0,1(=∂∂y z 于是dy dx dz +=

0)0,1( （7分）2．改变积分次序并计算二重积分

⎰

⎰

10

sin x x

dy y

y

dx .

解：

⎰⎰⎰

⎰

=1010

2sin sin y y x x

dx y

y dy

dy y y

dx

⎰-=1

sin )1(ydy y

⎰---=1

1

0cos cos )1(ydy y y

线

订 装

郑州轻工业学院 2013 — 2014 学年 第 二 学期 高等数学A 2 试卷(A 卷)

专业年级及班级 姓名 学号

第2页/共 3 页 1sin 1-=

（7分）3．求微分方程2

1x xy

dx dy +=

的通解．

解：分离变量得

dx x x y dy 2

1+= 两边积分有

C x y ln 1ln ln 2++=（0≠C ）

注意到0=

y 也是该方程的解

故通解为21x C y +=（C 为任意常数） （7

分）4．利用高斯公式计算

⎰⎰++∑

xdxdy ydzdx xdydz ， 其中∑为柱面12

2

=+y x 及平面3,0==z z 所围立体的整个边界曲面的外侧.

解：

⎰⎰++∑

xdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰++=Ω

dv )011(

ππ632=⋅=

（7分）5．判定级数∑∞

=12

3

n n n 的敛散性.

解：13133)1(lim lim 2121<=⋅+=+∞→+∞→n n u u n n n n

n n 或1313)(lim lim 2<==∞→∞→n

n n n n n u 由比值审敛法或根值审敛法知级数∑∞=1

2

3n n n

收敛

（7分）6．求旋转抛物面12

2-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面与法线方程．

解：

4)

4,1,2(=∂∂x z

，

2)4,1,2(=∂∂y z 故法向量为}1,2,4{-

切平面方程为0)4()1(2)2(4=---+-z y x 即0624=--+z y x

法线方程为1

4

2142--=

-=-z y x （7分）7．设2)()(2

2

+-=⎰

dx x f x x x f , 求 )(x f .

解：设

⎰

=20

)(A dx x f ，则2)(2+-=Ax x x f

积分得423

8

)(20

+-=

=⎰

A dx x f A 解得9

20=

A 故29

20

)(2

+-

=x x x f 或两边求导有dx x f x x f ⎰-='20

)(2)( 再求导得2)(=''x f

积分得12)(C x x f +='，再积分有212

)(C x C x x f ++= 代入上式得2]223

8

[212

212

+++-=++C C x x C x C x

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