知识讲解 对数及对数运算 基础

对数及对数运算

【学习目标】

1．理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；

2．了解常用对数与自然对数的意义；

3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；

4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．

【要点梳理】

要点一、对数概念

1．对数的概念

如果??01b aNaa???，且，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:log a N=b．其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

要点诠释：

对数式log a N=b中各字母的取值范围是：a>0 且a?1， N>0， b?R．

2．对数??log0a Na??，且a1具有下列性质：

（1）0和负数没有对数，即0N?；

（2）1的对数为0，即log10a?；

（3）底的对数等于1，即log1a a?．

3．两种特殊的对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，NNlglog10简记作．以e（e是一个无理数，2.7182e????）为底的对数叫做自然对数，logln e NN简记作．

4．对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转

化．它们的关系可由下图表示．

由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．

要点二、对数的运算法则

已知??loglog010aa MNaaMN???，且，、

（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；

??logloglog aaa MNMN??

推广：????121212loglogloglog0akaaakk NNNNNNNNN????

?、、、

（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；

logloglog aaa MMNN??

（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；

loglog aa MM???

要点诠释：

（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log2（-3）（-5）=log2（-3）+log2（-5）是不成立的，因为虽然log2（-3）（-5）是存在的，但log2．

（-3）与log2（-5）是不存在的．

（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：

log a（M?N）=log a M?log a N，

log a（M·N）=log a M·log a N，

log a NMNM aa loglog?．

要点三、对数公式

1．对数恒等式：

log log a bNa aNaNNb???????

2．换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有: （1）)(loglogRnMM naa n??

令 log a M=b，则有a b=M，（a b）n=M n，即nbn Ma?)(，即na Mb n log?，

即:naa MM n loglog?．

（2）)1,0(logloglog???ccaMM cca，令log a M=b，则有a b=M，则有)1,0(loglog???ccMa cbc

即Mab cc loglog??，即aMb cc loglog?，

即)1,0(logloglog???ccaMM cca

当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论:

)1,0,1,0(log1log?????bbaaab ba

．

【典型例题】

类型一、对数的概念

例1．求下列各式中x的取值范围：

（1）2log(5)x?；（2）(1)log(2)x x??；（3）2(1)log(1)x x??．

【答案】（1）5x?；（2）1,2xx??且；（3）1x??且0,1xx??

【解析】（1）由题意50x??，5x??，即为所求．

（2）由题意20,10,11,xxx?????????且

即2,1,2,xxx???????且1,2xx???且．

（3）由题意2(1)0,10,11,xxx?????????且

解得1x??且0,1xx??．

【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．

举一反三：

【变式1】函数21log(2)x yx???的定义域为【答案】

1|12xxx????????且

类型二、指数式与对数式互化及其应用

例2．将下列指数式与对数式互化：

（1）2log164?；（2）13log273??；（3）3log3x?；（4）35125?；（5）1122??；（6）2193????????．

【解析】运用对数的定义进行互化．

??33x?；（4）5log1253?；（5）（1）4216?；（2）31273????????；（3）

21log12??；（6）13log92??．

【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段．

举一反三：

【变式1】求下列各式中x的值：

（1）161log2x??（2）log86x?（3）lg1000=x （4）2-2lnex?