知识讲解 对数及对数运算 基础
对数与对数运算（讲解与基础训练）
对数与对数运算（讲解与基础训练）对数与对数运算⼀、知识点总结1、定义：⼀般地，如果)1,0(≠>=a a N a x 且，那么数x 叫做以N x N a a log =的对数，记作为底,叫做真数。
叫做对数的底数，其中N a注意：（1）（负数与零没有对数）；且01,0>≠>N a a（2）b a a b a a a ===log ,01log ;1log （3）对数恒等式：N a Na=log2、对数的运算性质如果那么：且,0,0,1,0>>≠>N M a a;log log )(log )1(N M N M a a a +=?N M NM a a a log log log )2(-=(3))(log log R n M P M a P a ∈= 3、⾃然对数与常⽤对数）为底的对数（⾃然对数：以⽆理数71828.2)1(≈e e ，写作：x ln(2)常⽤对数：为底的对数以10，写作：x lg 4、换底公式：)0;1,0;1,0(log log log >≠>≠>=b c c a a abb c c a 且且⼆、例题解析例1、将下列指数式转化为对数式，对数式转化为指数式：3616)4(105)3(;913)2(;644)1(223====--；m3log )8(;18log )7(;481log )6(;416log )5(5432====N M例2、求下列各式中x 的值。
1)12(log )4(;32log )3(;91log )2(;64log )1(8274-=--===x x x x412)7(;0)lg(ln )6(;1)(lg log )5(3log 3===x x x例3、（1）（2007，海⼝中学期中测试）求的取值范围。
中的x x x )23(log )21(+- （2）的值。
求实数已知x x x x ,1)3(log 2 )3(=++ （3）的值。
对数与对数运算法则
对数与对数运算法则对数是数学中一个重要的概念，在很多领域中都有广泛的应用，比如数学、物理、工程等。
它能够简化大数值的运算和计算复杂问题，也有助于解决各种类型的方程和不等式。
本文将探讨对数的含义，以及对数运算的法则。
1.对数的含义：对数最基本的定义是，对于一个正数a，如果b是一个正数且满足a 的b次方等于另一个正数x，那么b就是以a为底x的对数，记为log_a(x)。
其中a被称为对数的底数，x被称为真数，b被称为对数。
用数学语言描述对数，可以写作a^b=x，等价于log_a(x)=b。
2.对数运算的法则：对数运算有一系列的基本法则，可以简化对数的运算和推导。
2.1对数的互换性：如果a>0且a≠1，且m、n是正数，那么log_a(m×n)=log_a(m)+log_a(n)。
这条法则允许我们将乘法变成加法。
2.2对数的逆运算性：如果a>0且a≠1，那么对于正数m和任意正数b，有：a^(log_a(m))=m。
换句话说，当对数与指数运算发生时，可以互相抵消。
2.3对数的对换性：如果a>0且a≠1，且m、n是正数，那么log_a(m/n)=log_a(m)-log_a(n)。
这条法则允许我们将除法变成减法。
2.4对数的幂次性：如果a>0且a≠1，那么对任意正数m和正数b，有：log_a(m^b)=b×log_a(m)。
换句话说，可以通过幂次运算将对数与指数运算进行交换。
2.5对数的换底公式：对于任意正数a、b和c，有：log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)。
这条法则允许我们将对数底数的换成任意值，并以其他常见的底数来计算。
3.对数运算的应用：3.1科学计数法：对数可以简化大数值的表示。
通过对数运算，我们可以将一个很大或很小的数字表示为以10为底的对数形式。
例如，1,000,000可以写成log_10(1,000,000)=63.2方程的求解：对数可以帮助解决一些涉及指数和幂函数的方程。
对数的知识点归纳总结
对数的知识点归纳总结一、对数的基本概念1. 对数的定义对数是指数函数的逆运算。
给定正实数a（a≠1）和正实数x，如果等式a^y=x成立，那么数y就是以a为底，x的对数，记作y=log_a(x)。
其中，a被称为对数的底，x被称为真数，y被称为对数。
对数的值可以是实数，也可以是复数。
2. 基本性质（1）对数的底为正实数且不等于1。
（2）对数的真数为正实数。
（3）对数的值可以是实数，也可以是复数。
（4）对数函数为单调增函数。
二、对数的性质1. 对数的运算性质（1）对数的乘法性质：log_a(m) + log_a(n) = log_a(mn)（2）对数的除法性质：log_a(m) - log_a(n) = log_a(m/n)（3）对数的幂运算性质：log_a(m^n) = n*log_a(m)（4）对数的换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)2. 对数的性质（1）log_a(a) = 1（2）log_a(1) = 0（3）log_a(m) = -log_a(1/m)（4）log_a(a^x)=x（5）a^log_a(x) = x3. 对数的常用对数和自然对数常用对数是以10为底的对数，记作log(x)，常用于科学计算。
自然对数是以自然数e为底的对数，记作ln(x)，在微积分和概率论中有着广泛的应用。
三、对数的应用1. 对数在科学计算中的应用对数在科学计算中有着广泛的应用，特别是在大数据处理和模型拟合中。
通过对数据取对数，可以将呈指数增长或减小的数据转化为线性增长或减小的数据，方便进行线性回归分析或模型拟合。
2. 对数在工程学中的应用对数在工程学中有着重要的应用，特别是在电路设计、信号处理和控制系统中。
对数可用于描述电压、信号和控制变量的倍增和倍减关系，方便工程师进行设计和分析。
3. 对数在经济学中的应用对数在经济学中有着广泛的应用，特别是在复利计算和经济增长模型中。
对数可用于描述资金的复利增长和经济指标的增长趋势，方便经济学家进行分析和预测。
知识讲解_对数及对数运算_基础
(2)
log a
M
logc M logc a
(c 0, c 1) ，
令
logaM=b，
则 有 ab=M，
则有
logc ab logc M (c 0, c 1)
即 b logc
a
log c
M
，
即b
logc M logc a
，即 log a
M
logc M logc a
(c
(1)0 和负数没有对数，即 N 0 ； (2)1 的对数为 0，即 loga 1 0 ； (3)底的对数等于 1，即 loga a 1.
3．两种特殊的对数
通常将以 10 为底的对数叫做常用对数， log10 N作作作 为底的对数叫做自然对数， loge N简记作 ln N .
4．对数式与指数式的关系
质．
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．
（3）解决这类问题要注意隐含条件“ loga a 1”的灵活运用．
举一反三：
【变式
1】求值：(1)
(log 4
3
log8
3)(log3
2
log 9
27
32
；(3)
91 2
log3
2
log 3 2
2 )
5 6
log 2
3
3 2
log 3
2
5 4
；
(2) log8
loga
M N
loga M
loga
N
(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
对数知识点总结讲解
对数知识点总结讲解一、对数的定义1. 对数的含义对数是一种数学工具，用来描述一个数与另一个数的幂之间的关系。
例如，如果一个数a 的x次方等于另一个数b，那么x就是以a为底，b为真数的对数，记作loga(b)。
2. 对数的性质对数具有以下几个基本性质：（1）对数的底数不能是0或1；（2）对数的真数不能是负数；（3）以a为底，b为真数的对数等于以10为底，b/a的对数的值乘以以10为底，a的对数的值。
3. 对数的公式表示对数的公式表示为：loga(b) = x，其中a为对数的底数，b为对数的真数，x为对数的值。
对数的值x可以是正数、负数、零。
二、对数的性质1. 对数的运算规则（1）乘法法则：loga(bc) = loga(b) + loga(c)（2）除法法则：loga(b/c) = loga(b) - loga(c)（3）幂法则：loga(b^c) = c*loga(b)（4）换底公式：loga(b) = logc(b)/logc(a)2. 对数的性质（1）loga(1) = 0；（2）loga(a) = 1；（3）a^loga(b) = b；（4）loga(a^x) = x。
三、对数的常用公式1. 对数的常用公式1（1）loga(b) = 1/logb(a)（2）loga(b) = ln(b)/ln(a)（3）loga(b) = logc(b)/logc(a)2. 对数的常用公式2（1）loga(b) + loga(c) = loga(bc)（2）loga(b) - loga(c) = loga(b/c)（3）loga(b^c) = c*loga(b)3. 对数的常用公式3（1）换底公式：loga(b) = logc(b)/logc(a)（2）对数的乘方化简：a^loga(b) = b（3）对数的乘方化简：loga(a^x) = x四、对数的应用1. 对数在数学中的应用（1）对数在指数函数的求导中的应用；（2）对数在对数函数的积分中的应用；（3）对数在数学建模中的应用。
对数及其运算基础知识及例题
对数及其运算基础知识及例题1、定义：对数是指用一个数b（b>0且不等于1）作为底数，将一个正数a表示成幂b的指数的形式，即a=b^x（x为实数），则x称为以b为底a的对数，记作logb a。
2、性质：①logb 1=0（b>0且不等于1）②logb b=1（b>0且不等于1）③logb (mn)=logb m+logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）④logb (m/n)=logb m-logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）⑤logb m^k=klogb m（m>0，b>0且不等于1，k为任意实数）3、对数的运算性质：①logb (mn)=logb m+logb n②logb (m/n)=logb m-logb n③logb m^k=klogb m④logb (a^k)=klogb a⑤logb a=logc a/logc b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）4、换底公式：XXX b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）5、对数的其他运算性质：①logb a=logb c，则a=c②logb a=logc a/logc b=logd a/logd b6、常用对数和自然对数：常用对数：以10为底数的对数，记作XXX。
自然对数：以自然常数e（e≈2.）为底数的对数，记作ln。
典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x的取值范围：1）log2(x-5)≥0；（2）log(x-1)-log(x+2)0.改写为：1）x≥5；2）x>1且x<2；3）x>1且x1且x>1.类型二、指数式与对数式互化及其应用例2.将下列指数式与对数式互化：1)log2 16=4；(2)log1/27=-3；(3)log3 1/2= -1/log2 3；(4)53=125；(5)2^-1=1/2；(6)(1/3)^x=9.改写为：1)2^4=16；2)1/27=3^-3；3)3^-1/2=2/log2 3；4)5^3=125；5)2^-1=1/2；6)x=log(1/3)9/log(1/3)2.类型三、利用对数恒等式化简求值1+log5 77=log5 500.类型四、积、商、幂的对数例4.用loga x,loga y,loga z表示下列各式：1)loga (xy/z)=loga x+loga y-loga z；2)loga (xy)=loga x+loga y；3)loga (x^2/y^3z)=2loga x-3loga y-loga z；4)loga (x^2y^3/z)=2loga x+3loga y-loga z。
对数的概念及运算法则-PPT
你发现了什 么?
对数恒等式： loga an n 作为公式用
18
探 求下列各式的值：
究
活
动 (1) 2log2 3 3
感 悟
(2) 7log7 0.6 0.6
数
学 (3) 0.4log0.4 89 89
你发现了什 么?
对数恒等式： aloga N N
19
练习 3.求下列各式的值
（1） log5 25 2 （2） log25 25 1 （3） lg10 1 （4） lg 0.01 2 （5） lg1000 3 （6） lg 0.001 3
log a
M N
log a M
log a N
(2)
logaMn nlogaM(n R) (3)
例题讲解 例1 求下列各式的值：
（1） log2 6 1
（2） lg 5 lg 2 lg(5 2) lg10 1
（3）
log5
3
log5
1 3
（4） log3 5 log3 15
26
102 100
log10 100 2
1
42 2
log 4
2
1 2
102 0.01
log10 0.01 2
练习： a x N loga N x
把下列指数式改写成对数式
（1）54 625 log5 625 4
（2） 26 1 64
（3） 3a 27
log2
1 64
6
log3 27 a
对数的概念及运算法则
知识探究（一）：对数的概念
思考1:若24＝M，则M＝？16 思考2:若若22x－＝2＝16N，，则则xN＝＝？？414
若2x＝ 1 4
对数计算知识点归纳总结
对数计算知识点归纳总结一、基本概念1. 对数的定义对数的定义可以从指数函数的逆函数出发。
设a>0且a≠1，a的x次幂函数y=a^x是严格增函数和满射的，对数函数y=log_a x是a^y=x的逆函数。
其中，a称为底数，x称为真数，y称为对数。
如果底数未标明，则默认情况下一般为10，即log=lg。
2. 底数、真数和对数在对数的定义中，底数指的是指数函数的底数，真数指的是指数函数的结果值，对数指的是幂函数的幂指数。
例如，在对数表达式log28中，2是底数，8是真数，3是对数。
3. 对数的符号与数值对数的数值是实数，在常见对数中，对数的值是无理数。
在实际应用中，对数的值往往是无限循环小数。
4. 对数的常见类型对数按照底数的不同可以分为常用对数（底数为10）和自然对数（底数为e）等不同类型。
常用对数在实际应用中使用率较高，自然对数在微积分等领域具有特殊的作用。
二、性质1. 对数函数的图像对数函数的图像是一条渐进线（一条直线和坐标轴所组成的图像），且对数函数是严格递增的。
对数函数的图像有着特殊的凹陷形状。
2. 对数函数的定义域和值域对数函数的定义域是真数的取值范围，是所有正实数的集合。
对数函数的值域是对数的取值范围，是所有实数的集合。
3. 对数函数的性质（1）对数函数是严格递增函数；（2）对数函数的图像是一条渐进线；（3）对数函数的定义域是正实数的集合；（4）对数函数的值域是实数的集合。
4. 对数与指数的关系对数和指数是互为逆运算的关系，即a^log_a x = x，log_a(a^x)=x。
对数和指数的关系在数学推导和实际问题中有着重要的应用。
三、运算规则1. 对数的运算性质对数具有一系列的运算规则，包括等式变形、对数运算、对数化简等。
对数的运算规则可以帮助简化复杂的计算和推导过程。
2. 对数乘除法规则（1）log a mn = log a m + log a n（对数乘法规则）；（2）log a (m/n) = log a m - log a n（对数除法规则）。
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。
对数与对数函数的基础知识梳理
课堂互动讲练
(2)原式＝(llgg23＋llgg29)·(llgg34＋llgg38) ＝(llgg23＋2llgg23)·(2llgg32＋3llgg32) ＝32llgg23·56llgg32＝54； (3)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2 ＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3； 分母＝(lg6＋2)－lg 130600×110 ＝lg6＋2－lg1060＝4； ∴原式＝34.
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自我挑战
(3)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)， 要使f(x)>0，须f(1)≥0，∴a－b≥1.12分
规律方法总结
1．比较两个对数的大小的基本 方法是构造相应的对数函数，若底 数不相同时，可运用换底公式化为 同底数的对数，还要注意与0比较或 与1比较．
规律方法总结
2．把原函数做变量代换化归为二次 函数，然后用配方法求指定区间上的最 值是求对数函数的常见题型．在给定条 件下，求字母的取值范围也是常见题型， 尤其是与对数函数结合在一起的高考试 题更是屡见不鲜．
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跟踪训练
(2)法一：∵loga2＝m，∴am＝2. ∵loga3＝n，∴an＝3. 故a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12. 法二：∵loga2＝m，loga3＝n， ∴a2m＋n＝a2loga2＋loga3= aloga12＝12.
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考点二
对数函数的图象
要正确识别函数图象，一是熟 悉各种基本函数的图象，二是把握图 象的性质，根据图象的性质去判断， 如过定点、定义域、值域、单调性、 奇偶性．
函数值分布
1，则 y<0 ； ②当0＜a＜1时：若x＞1，
则 y<0 ；若x＝1，则 y＝0 ；
对数的基本性质和运算公式
对数的基本性质和运算公式对数是数学中非常重要和常用的概念，它在许多领域都有广泛的应用。
对数的基本性质和运算公式包括对数的定义、对数的性质、对数的运算规则以及一些常用的对数公式等。
本文将详细介绍这些基本性质和运算公式。
一、对数的定义：对数是指数运算的逆运算。
设a为一个正实数，b为一个正实数且不等于1，若满足b^x = a，其中x为实数，则称x为以b为底a的对数，记作x = log_b a。
其中，a称为真数，b称为底数，x称为对数。
在对数的定义中，底数和真数的位置可以互换，即x = log_b a等价于 a = b^x。
二、对数的性质：1.对数的定义保证了对数的唯一性，即对于给定的底数和真数，对数是唯一的。
2.对于不同的底数，同一个真数的对数是不同的。
3.当底数为1时，对数不存在，因为1的任何次幂都等于14. 当真数为1时，对数等于0，即log_b 1 = 0。
5.当底数为0时，对数不存在，因为0无法作为一个数的底数。
6.当0<b<1时，对数是负数；当b>1时，对数是正数；当b=1时，对数等于0。
三、对数的运算规则：1.对数的乘法法则：log_b (a * c) = log_b a + log_b c2.对数的除法法则：log_b (a / c) = log_b a - log_b c3.对数的幂法法则：log_b (a^p) = p * log_b a，其中p是任意实数。
这些运算规则可以用来简化对数运算或者将对数转化成乘法和除法的形式。
四、常用的对数公式：1.自然对数和常用对数之间的换底公式：log_b a = log_c a / log_c b，其中b和c是底数。
2.e为底的自然对数：自然对数是以e (自然常数)为底的对数，记作ln(x)。
3.常用对数：常用对数是以10为底的对数，记作log(x)。
4.对数性质的推广：log_b a^n = n * log_b alog_b √(a) = 1/2 * log_b a这些对数公式在计算和解决问题时都有常用的作用。
对数与对数运算知识点
对数与对数运算1.对数：如果a x=N(a>0,且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x=log a N，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质:(1)1的对数等于0 ;(2)底数的对数等于1;(3)零和负数没有对数3.以10为底的对数叫做常用对数,log 10N 记作lg N.4.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，logeN 记作ln N5.对数的运算性质：如果a>0，且a ≠1，M>0;N>0，那么：（1）log a (MN)=log a M +log a N ；log a (N1N2…Nk )=log a N1+log a N2+…log a N3；（2）log a (M ／N)=log a M -log a N ；（3）log a M n =nlog a M6.对数换底公式：log aN=abN bloglog ；7.对数运算中的三个常用结论：N aNa =log ,log aa =1,log a 1=08.两个常用的推论：a ，b ＞0且均不为1,m,n,为正整数（1）logab ×log b a=1；log ab ×log bc ×log c a=1；（2） b a b a m n nm log log =；ba b anm n m log log =；9.指数和对数的关系：a x =N ⇔log a N=x比较指数式、根式、对数式：几个对数运算公式的证明证明下列公式：（1）对数的运算性质:log a (M ／N)=log a M -log a N（2）对数的运算性质:log a M n =nlog a M（3）对数的换底公式：log ab=ab c c log log（4）对数运算中的常用结论：N a Na log（5）a ，b ＞0且均不为1,log a b×log b a=1 （6）a ，b ＞0且均不为1,m 为正整数,mmb alog =log a b（7）a ，b ＞0且均不为1,m,n 为正整数, n mb a log =m n log a b证明：（1）设a x =M ，a y=N ，则N M =y x aa =a x-y ．∴x-y=log a NM，∵x=log a M ，y=log a N，∴x-y= log a M - log a N ，∴log a N M = log a M - log a N（2）设a x=M ，则x=log a M，∴nx=nlog a M．∵（a x ）n=M n ，∴a xn =M n，∴xn=log a M n ，∴log a M n = nlog a M（3）设log a b =x ，则a x =b ．∴log c a x =log c b x ，∴xlog c a =log c b ，∴x=log c b÷log ca ，∴logab =ab c c log log（4）设log a N =x ，则a x=N ．∵log a a x=x ，∴xaa alog =a x，∴xaa a log =N（5）∵log a b =ab lg lg ，log b a =ba lg lg ，∴log ab ×log b a=a b lg lg ×ba lg lg =1（6）设mabm log =x ，则（a m）x=b m，∴a mx=b m，∴ mxa alog =log a b m ，∴mxlog a a=mlog ab，∴x=log ab ，∴mmb a log =log a b（7）设n a b mlog =x ，则（am）x=b n ，∴mxa alog =log a b n ，∴mxlog a a=nlogab，∴x=mnlog ab ，∴nmb alog =mn log a b。
对数与对数运算知识点总结与例题讲解
对数与对数运算知识点总结与例题讲解本节知识点 （1）对数的概念.（2）对数式与指数式的互化. （3）对数的性质. （4）对数的运算性质. （5）对数的换底公式. 知识点一 对数的概念一般地,如果N a x=（0>a 且1≠a ）,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作N x a log =.其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.例如,因为41621=,所以21就是以16为底4的对数,记作214log 16=. 对对数概念的理解:（1）底数a 必须满足0>a 且1≠a ; （2）真数N 大于0（负数和0没有对数）. 规定底数0>a 且1≠a 的原因:当0<a 时,N 取某些值时,x 的值不存在.例如,()29log 3=-,但()27log 3-却不存在.当0=a 时:①若0≠N ,则x 的值不存在;②若0=N ,则x 的值是任意正数.（注意:0的负指数幂和0次幂都没有意义） 当1=a 时:①若1≠N ,则x 的值不存在; ②若1=N ,则x 的值是任意实数.所以在对数的定义里,规定底数0>a 且1≠a . 常用对数与自然对数将以10为底的对数叫做常用对数,记作N lg ;将以无理数e （ 71828.2≈e ）为底的对数叫做自然对数,记作N ln .根据对数概念,可以求参数的取值范围 例1. 求下列各式中x 的取值范围.（1）()3log 5.0-x ; （2）()()x x --2log 1.分析:对数的概念,对底数和真数都作出了规定,要使对数式有意义,必须满足: （1）底数0>a 且1≠a ; （2）真数0>N .解:（1）由题意可知:03>-x ,解之得:3>x .∴x 的取值范围是()+∞,3;（2）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧>-≠->-021101x x x ,解之得:21<<x .∴x 的取值范围是()2,1.例2. 求下列对数式中x 的取值范围.（1）()x -5log 2; （2）()3log 2x -.解:（1）由题意可知:05>-x ,解之得:5<x .∴x 的取值范围是()5,∞-;（2）由题意可知:⎩⎨⎧≠->-1202x x ,解之得:2<x 且1≠x .∴x 的取值范围是()()2,11, ∞-.例3. 使()1log +x a （0>a 且1≠a ）有意义的x 的取值范围是【 】（A ）[)+∞-,1 （B ）()+∞-,1 （C ）[)+∞,0 （D ）()+∞,0解:由题意可知:01>+x ,解之得:1->x .∴x 的取值范围是()+∞-,1.选择【 B 】.例4. 求()()x x --4log 3中x 的取值范围. 解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧>-≠->-041303x x x ,解之得:43<<x . ∴x 的取值范围是()4,3.例5. 使()2log 212+--x x有意义的x 的取值范围是【 】（A ）[)2,2- （B ）[]2,2- （C ）()2,2- （D ）(]2,2-解:由题意可知:⎩⎨⎧>+>-0202x x ,解之得:22<<-x .∴x 的取值范围是()2,2-.选择【 C 】.知识点二 指数式与对数式的互化在N a x=与N x a log =中,N x a ,,是同一个代表符号,只是名称不同.例如,将指数式6426=化为对数式为64log 62=.指数式与对数式的比较知识点三 对数的性质 （1）负数和0没有对数.（2）1的对数等于0,即01log =a （0>a 且1≠a ）. （3）底数的对数等于1,即1log =a a （0>a 且1≠a ）. （4）对数恒等式N aNa =log （0>a 且1≠a ）.（5）x a xa =log （0>a 且1≠a ）.对数的性质不仅可以简化运算,更重要的是利用对数的性质可以将任意一个实数转化为对数.例如, ===---2323log ln 2e .例6. 将下列指数式改写成对数式:（1）1624=; （2）32125=-. 解:（1）∵1624=,∴416log 2=;（2）∵32125=-,∴5321log 2-=. 例7. 将下列对数式改写成指数式:（1）3125log 5=; （2）416log 21-=.解:（1）∵3125log 5=,∴12553=;（2）∵416log 21-=,∴16214=⎪⎭⎫⎝⎛-.点评 指数运算与对数运算互为逆运算,在解题过程中,互相转化是解决相关问题的重要途径,但一定要记清N x a ,,在两种形式中的准确位置:指数式N a x=,对数式N x a log =.需要说明的是,并不是所有的指数式都可以化为对数式,如()1624=-,就不能化为416log 2=-;112=,就不能化为21log 1=.例8. 计算下列各式的值:（1）25log 5; （2）32log 21; （3）10log 33; （4）1ln ; （5）5.2log 5.2.解:（1）25log 25log 255==;（对数的性质:x a xa =log ）（2）521log 32log 52121-=⎪⎭⎫⎝⎛=-;（3）10310log 3=;（对数恒等式:N a N a =log ） （4）01ln =;（对数的性质:1的对数等于0） （5）15.2log 5.2=.（对数的性质:底数的对数等于1）例9. 计算:（1）27log 9; （2）81log 43; （3）()()32log 32-+.分析:利用指数式与对数式的互化进行计算.解:（1）设x =27log 9,则有279=x ,3233=x ,32=x ,23=x . ∴2327log 9=; （2）设x =81log 43,则有()8134=x,44133=x ,441=x ,16=x .∴1681log 43=;（3）设()()x =-+32log 32,则有()()1323213232-+=+=-=+x,1-=x .∴()()132log 32-=-+.例10. 求下列各式中的x :（1）2327log =x ; （2）x x 354⨯=. 解:（1）∵2327log =x ,∴2723=x ,()93327232332====x ;（2）∵xx354⨯=,∴534=⎪⎭⎫⎝⎛x,5log 34=x .例11. 若24=a ,a x =lg ,则=x __________. 解:∵24=a ,∴222=a ,12=a ,21=a . ∵a x =lg ,∴10101021===ax .例12. 已知函数()()a x x f +=22log ,若()13=f ,则=a __________.解:∵()13=f ,∴()19log 2=+a ,∴29=+a ,解之得:7-=a .点评 本题考查对数的性质:底数的对数等于1,即1log =a a （0>a ,且1≠a ）例13. 设m a =2log ,n a =3log ,则nm a +2的值为__________.解:∵m a =2log ,n a =3log ,∴3,2==nm a a .∴()1232222=⨯=⋅=+n m n m a a a .例14. 求下列各式的值:（1）4log 55; （2）24log 33-; （3）5log 422+.解:（1）454log 5=;（对数恒等式:N a N a =log ）（2）9433324log 24log 33==-; （3）805162225log 45log 422=⨯=⋅=+.知识点四 对数的运算性质如果0>a ,且1≠a ,0,0>>N M ,则有: （1）()N M MN a a a log log log +=; （2）N M NMa a alog log log -=; （3）M n M a na log log =.其中,对数的运算性质（1）可推广:()n a a a n a M M M M M M log log log log 2121 ++=. 常用推论: （1）M M Ma a a log log 1log 1-==-; （2）M pnMM a pn a pn alog log log ==. 例15. 证明对数的运算性质:()N M MN a a a log log log +=（0>a 且0,0,1>>≠N M a ）分析:利用指数幂的运算性质,可以证明对数的运算性质.证明:设q N p M a a ==log ,log ,则qp a N a M ==,∴()()q p a a a MN q p a q p a a +==⋅=+log log log ,q p N M a a +=+log log . ∴()N M MN a a a log log log +=.例16. 证明对数的运算性质:N M NMa a alog log log -=（0>a 且0,0,1>>≠N M a ） 证明:设q N p M a a ==log ,log ,则qp a N a M ==,∴q p a aa N M q p a q pa a -===-log log log ,q p N M a a -=-log log∴N M NMa a alog log log -=. 例17. 证明对数的运算性质:M n M a n a log log =（0>a 且0,0,1>>≠N M a ）证明:设x M a =log ,则xa M =∴()nx a a M nx a nx a n a ===log log log ,nx M n a =log∴M n M a n a log log =.对数的运算性质的应用 例18. 化简求值:（1）51lg 5lg 32lg 4-+;（2）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+;（3）3log 333558log 932log 2log 2-+-; （4）348log 348log 22-++.解:（1）原式()410lg 52lg 5152lg 51lg 5lg 2lg 4443434==⨯=⨯=-+=; （2）原式=()()2312lg 23lg 12lg 23lg 2312lg 23lg 232lg 33lg 231023lg10lg 32lg 3lg 2213213=-+-+=-+-+=⨯-+; （3）原式13233log 389324log 38log 932log 4log 233333-=-=-=-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-+-=; （4）原式()()22log 4log 16log348348log 22222====-+=.例19. 计算:=+25log53ln e__________.解:原式()7435log345=+=+=.例20. 设b a ==15log ,3log 22,则=75log 2__________. 解:∵b a ==15log ,3log 22∴()b a =+=+=⨯5log 5log 3log 53log 2222,∴a b -=5log 2. ∴()a b a b b -=-+=+=⨯=25log 15log 515log 75log 2222.例21. 计算:5log 3lg 33log 45log 1223211023⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++.解:原式=5log 3lg 3log 45log 23232102233-++⨯-⨯52951274815233165351log 32-=++-=++⨯-⨯=. 例22. 计算:()20lg 5lg 2lg 2lg 2-⋅+. 解:原式()()210lg 5lg 22lg ⨯-+=g()12lg 12lg 2lg 12lg -=--=+-=.例23. 计算:（1）;42log 2112log 487log 222-+ （2）()222lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++.解:（1）原式42log 144log 487log 222-+= 2log =212log 21log 421444872122-===⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⨯-; （2）原式()()2322lg 210lg 5lg 2lg 325lg +⨯⋅++=()()22lg 2lg 15lg 2lg 25lg 2++++=()()2lg 5lg 22lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2++=++++=12+= 3=.例24. 计算:()()2922531log 31log 35+-+.解:原式()()()()3231139253531log 13log 31log 213log 2925925=++-=+=+=+-+-.点评 本题为易错题,易错误得到()()31log 231log 2522555--=,实际上,此时真数031<-,对数式无意义,应为()()()13log 213log 31log 25225225555---==.例25. 若()()0137log 22=+--x x x ,则x 的值为__________. 解:∵()()0137log 22=+--x x x∴⎪⎩⎪⎨⎧≠->-=+-120211372x x x x ,解之得:4=x . ∴x 的值为4.例26. 若()312xf x=+,则()=4f __________. 解:由412=+x 得到32=x,∴3log 2=x .∴()3log 31342==x f . 例27. 已知b a lg ,lg 是方程01422=+-x x 的两个根,则2lg ⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 的值是【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解:∵01422=+-x x ,∴02122=+-x x . ∵b a lg ,lg 是该方程的两个根 ∴21lg lg ,2lg lg =⋅=+b a b a . ∴()()22142lg lg 4lg lg lg lg lg 2222=⨯-=⋅-+=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a b a b a .选择【 B 】.例28. 计算:=++⎪⎭⎫⎝⎛-54log 45log 81163343__________. 解:原式8271log 325445log 32333434=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=--.例29. 解下列方程:（1）()()()1log 11log 4log 222++=-++x x x ; （2）()()5lg 11622lg -=-+x x x .解:（1）()()()1log 2log 14log 222++=-+x x x()()22log 43log 222+=-+x x x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>->++=-+01010422432x x x x x x ,解之得:2=x .∴该方程的解为2=x ;（2）()()x x x x x 2lg 2lg 5lg 10lg 1622lg ==-=-+ ∴x x x 21622=-+,解之得:8=x ,符合题意. ∴该方程的解为8=x .例30. 若12lg 2lg =-a ,则=a 【 】（A ）4 （B ）10 （C ）20 （D ）40解:∵12lg 2lg =-a ,∴14lg4lg lg ,12lg lg 2==-=-aa a . ∴104=a,解之得:40=a . 选择【 D 】.例31. 方程()1321log 3+=⋅+x x的解=x __________.解:()1333log321log +=⋅+x x,∴x x x 3333211⋅==⋅++.∴13=x ,解之得:0=x ,即该方程的解为0=x .点评 根据对数的性质,可将任意一个实数转化为对数,如上面的133log 1+=+x x .例32. 计算:3log 15.222ln 01.0lg 25.6log +-++e .解:原式3log 21225.2222ln 10lg 5.2log ⋅-++=-e211322122-=⨯-+-=.例33.（1）计算:()()()223log 8.94lg 25lg 27log 1203-+-+++-;（2）已知()y x y x 2lg 2lg lg -=+,求x y 22loglog-的值.解:（1）原式()()()21223312log 1425lg 3log -++⨯+=-21223+++=213=; （2）∵()y x y x 2lg 2lg lg -=+,∴()22lg lg y x xy -=∴()xy y x =-22,04522=+-y xy x .∵0>x ,∴04512=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y x y ,∴41=x y 或1=x y .∵02,0,0>->>y x y x ,∴210<<x y ,∴41=x y . ∴()42log 4log 41log logloglog4222222-=-=-===-x y x y .点评 这里第（2）问在得出结果时用到了对数的运算性质的推论:MM Ma a al o g l o g 1l o g 1-==-. 例34. 化简下列各式:（1）51lg 5lg 32lg 4-+;（2）2.1lg 1000lg 8lg 27lg -+.解:（1）原式()452lg 5152lg 51lg 5lg 2lg 43434=⨯=⨯=-+=; （2）原式()()1023lg10lg 2lg 3lg 22133213⨯-+=()2312lg 23lg 12lg 23lg 2312lg 3lg 232lg 33lg 232=-+-+=-+-+=.例35. 化简下列各式:（1）()5353lg 281log 22723log 322-+++⨯-; （2）()246246log2--+.解:（1）原式()()2323235353lg 2log 33-+++⨯-=-()1919910lg 3332=++=+-⨯-=;（2）原式()21246246log22⨯--+= ()()3216212log218log 21246246log62222=⨯=⨯=⨯=⨯--+=.解法二: 原式()()⎪⎭⎫⎝⎛--+=2222222log ()()32log22log2222log3222===+-+=.例36. 若03241=--+x x,则x 的值为__________.解:032222=-⋅-x x,()()01232=+-x x∴32=x （012<-=x ,舍去） ∴3log 2=x .例37. 计算:4ln 3327log 25lg 4lg e ---.解:原式()844421243log 254lg 3-=--=--=-⨯-=. 例38.（1）已知68log =x ,求x 的值;（2）已知()x x 323log 110log +=-,求x 的值.解:（1）∵68log =x ,∴86=x .∵0>x ,且1≠x ∴()22282161361====x ;解法二:∵68log =x ,∴62log 32log 3==x x ,∴22log =x .∴()22log 22log 2==x x,12log =x ,∴2=x .（2）()x x 323log 110log +=-,()x x 3323log 3log 10log +=- ∴()x x 3log 10log 323=-∴⎪⎩⎪⎨⎧=->>-x x x x 310001022,解之得:5=x . 即x 的值为5.点评 解对数方程时,若方程可化为两个同底对数相等,则它们的真数相等. 例39. 若13log 5=a ,则aa 93+的值为__________.解:∵13log 5=a ,∴13log 5=a,∴53=a.∴()3055359322=+=+=+a a a .点评 本题考查对数的性质:底数的对数等于1,即1log =a a （0>a 且1≠a ）.例40. 若a y x =-lg lg ,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛332lg 2lg y x __________.（用含a 的式子表示） 解:∵a y x =-lg lg ,∴a yx=lg. ∴a y x y x y x y x 3lg 3lg 22lg 2lg 2lg 33333==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛.例41. 若213log 4=x ,则x x 93log 2+等于【 】 （A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）10解:∵213log 4=x ,∴213log 4=x,∴244321===x .∴()52132log 93log 2222=+=+=+x x x .选择【 B 】.例42. 若3log 4=a ,则=+-a a 22__________.解:∵3log 4=a ,∴34=a,即()322=a,∴32=a .∴33431321222=+=+=+-aa a a . 例43. 方程()()223log 59log 1212+-=---x x 的解为__________.解:()()4log 23log 59log 21212+-=---x x∴()()234log 59log 1212-=---x x ,8345911-⋅=---x x . ∴02731232=+⋅-x x ,()()09333=--x x . ∴33=x 或93=x ,解之得:1=x 或2=x . 经检验,1=x 不符合题意,舍去. ∴2=x ,即该方程的解为2=x .例44. 已知方程03l o g 6l o g 222=++x x 的两个实数根分别为βα,,则=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛βα4141【 】 （A ）361（B ）36 （C ）6- （D ）6 解:由题意可知:6log 2-=+βα.∴()366222414126log 6log 26log 22222=====⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--βα. 选择【 B 】.例44. 已知3log 2=x ,则=----xxxx 2244__________. 分析:本题考查指数式与对数式的互化. 解:∵3log 2=x ,∴32=x.∴310924980313313224422==--=----xxx x . 例45. 若12log 3=x ,则=--x x 24__________.解:∵12log 3=x ,∴12log 3=x,∴32=x.∴()3263193132122422=-=-=-=--xx x x . 例46. 方程()3lg 2lg 24lg +=+xx的解是__________. 解:()()xx23lg 24lg ⋅=+,∴x x2324⋅=+.∴()()02212=--x x ,∴12=x 或22=x ,解之得:0=x 或1=x . 经检验,0=x 或1=x 都是原方程的解.例47. 计算:()()3log 22222lg 22lg 5lg +-.解:原式()()34lg 2lg 5lg 32lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2+-=+-+=313425lg =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=. 例48. 计算:323log 1271021001lg22-+⎪⎭⎫⎝⎛+-. 解:原式32323log 3410lg 222--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=()()()169222342222223log 23log 2++⨯=⎪⎭⎫⎝⎛+--⨯=- 16329169292=++⨯=. 例49. 计算:()4log 2130217731log 3412++--⎪⎭⎫⎝⎛π. 解:原式4log 13773log 149++-=-2321123=+--=.例50. 若2,2>>b a ,且()2log 1log 212log log 212222b b a a b a ++=++,则 ()()=-+-2log 2log 22b a 【 】（A ）0 （B ）21（C ）1 （D ）2 解法一:2log 1log 2log log 2222bb a ab a ++=++ ∴()()b a b ab a +=+2log 2log 22,∴()()b a b ab a +=+22.∴()b a ab +=2.∴()()()()22log 2log 2log 222--=-+-b a b a()[]22log 4log 42log 2222===++-=b a ab .选择【 D 】.解法二:()02log 2log 1log 21log 212222=-++-+b a b a b a ∴()02log log 21222=++ab b a ,()()02log 2log log 222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+=++ab b a ab b a ∴()12=⋅+abb a ,∴()b a ab +=2. ∴()()()()22log 2log 2log 222--=-+-b a b a()[]22log 4log 42log 2222===++-=b a ab .知识点五 对数的换底公式对数的运算,只有在同底数时才能直接计算,而实际问题中往往会遇到不同底数的对数运算,必须使用换底公式. 换底公式:abb c c a log log log =（0>a 且1≠a ,0>c 且1≠c ,0>b ）.说明:（1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义;（2）换底公式的意义在于改变对数式的底数,把本题底数的对数运算转化为同底数的对数运算,这样便可以利用对数的运算性质进行化简、求值和证明;（3）在使用换底公式时,把不同底数换成什么样的底数由题目所给条件决定.通常换成以10为底数的常用对数. 换底公式的证明分析：换底公式的证明,要用到对数式与指数式的互化证明:设x b a =log ,则b a x=.在等式b a x =的两边同时取以c 为底的对数得:b ac x c log log =,即b a x c c log log =.∵1≠a ,∴0log ≠a c ∴a b x c c log log =,即abb c c a log log log =. 其中,0>a 且1≠a ,0>c 且1≠c ,0>b .对数换底公式的几个常用推论:（1）b aba nb n a b b ac c c c n c n c na n log log log log log log log log ====; （2）b mn a b m n a m b n a b b a c c c c m c n c na mlog log log log log log log log =⋅===;（3）aa b b b b b a log 1log log log ==;（4）1log log =⋅a b b a ;1log log 1log log =⋅=⋅a aa b b b b a ,或1log log log log log log =⋅=⋅b a a b a b c c c c b a . （5）1log log log =⋅⋅a c b c b a . 例51. 计算:（1）8log 4log 9log 1632⋅⋅;（2）()()4log 4log 3log 3log 9342++.解:（1）原式=343222lg 42lg 33lg 2lg 22lg 3lg 216lg 8lg 3lg 4lg 2lg 9lg =⨯⨯=⋅⋅=⋅⋅; 解法二:原式()2log 432log 3log 42log 2log 23log 223232324⋅⋅=⋅⋅=34314=⨯⨯=;（2）原式⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3lg 22lg 23lg 2lg 22lg 23lg 2lg 3lg 9lg 4lg 3lg 4lg 4lg 3lg 2lg 3lg293233lg 2lg 32lg 23lg 3=⨯=⋅=. 解法二:原式()()2323222log 2log 3log 3log 22++=()2log 33log 232log 2log 23log 213log 323322⋅=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=291292log 3log 2932=⨯=⋅=. 注意 在（2）的解法二中,用到了对数换底公式的推论:b mnb a n a m log log =,1log log =⋅a b b a . 例52. 计算:（1）()=+3lg 2lg 3log 3log 84__________; （2）()()=++++8log 4log 2log 5log 25log 125log 125255842__________.解:（1）原式653lg 2lg 2lg 63lg 53lg 2lg 2lg 33lg 2lg 23lg 3lg 2lg 8lg 3lg 4lg 3lg =⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=; 解法二:原式()2log 3log 313log 213lg 2lg 3log 3log 3222232⎪⎭⎫⎝⎛+=+= 652log 3log 6532=⋅=; （2）原式⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=125lg 8lg 25lg 4lg 5lg 2lg 8lg 5lg 4lg 25lg 2lg 125lg135lg 2lg 32lg 35lg 135lg 32lg 35lg 22lg 25lg 2lg 2lg 35lg 2lg 25lg 22lg 5lg 3=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=.解法二:原式()()3525522222log 2log 2log 5log 5log 5log 33232++++=()132log 35log 3132log 2log 2log 5log 315log 5log 352555222=⋅=++⋅⎪⎭⎫⎝⎛++=例53.（1）设3643==yx,求yx 12+的值; （2）已知73,3log 2==b a ,求56log 12.解:（1）∵3643==yx∴36log ,36log 43==y x . ∴4log 9log 4log 3log 236log 136log 12123636363643+=+=+⋅=+y x 136log 36==;点评 这里用到了对数换底公式的推论:ab b a log 1log =.（2）∵73,3log 2==b a ∴b b a ===3lg 7lg ,7log ,2lg 3lg 3 ∴2lg 3lg 7lg ,2lg 3lg ba b a ===. ∴()()232lg 22lg 32lg 22lg 2lg 32lg 2lg 23lg 2lg 37lg 4lg 3lg 8lg 7lg 12lg 56lg 56log 12++=++=++=++=++==a ab a ab a ab .例54. 已知c b a ,,都是不等于1的正数,且zyxc b a ==,0111=++zy x ,求abc 的值. 分析:使用连等设参数法.可以利用指数幂与根式的互化以及指数幂的运算性质解决问题,还可以利用对数的定义以及对数的换底公式解决问题.解法一:设t c b a zyx===,则0>t ,zyxt c t b t a 111,,===.∴zy x zyxtt t t abc 111111++=⋅⋅=.∵0111=++zy x ∴10==t abc .解法二:设t c b a zyx===,则0>t .∵c b a ,,都是不等于1的正数 ∴t z t y t x c b a log ,log ,log ===. ∵0111=++zy x ∴0log 1log 1log 1=++tt t c b a ,∴()0log log log log ==++abc c b a t t t t ∴1=abc .例55. 计算3216log 的结果是【 】（A ）34 （B ）43 （C ）34- （D ）43- 解:342log 3116log 3116log 16log 42231232====. 选择【 A 】.点评: 这里用到了对数的性质:（1）M n M a na log log =;（2）1log =a a .例56. 求下列对数式的值:（1）e 1ln 1ln +;（2）51lg 5lg 32lg 4-+;（3）2log 3774lg 25lg 27log +++.解:（1）原式1ln 01-=+=-e;（2）原式()410lg 452lg 5152lg 51lg 5lg 2lg 443434==⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⨯=-+=; （3）原式()()21122232425lg 3log 2133=++=+⨯+=. 例57. =⨯+-+8log 3log 43lg 9lg 215lg 232__________.解:原式3lg 8lg 2lg 3lg 43lg3lg 25lg ⨯+-+= 272322lg 2lg 23100lg 2lg 8lg 43325lg =+=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⨯=. 例58. 对数综合运算求值:（1）2.1lg 1000lg 8lg 27lg -+;（2）()[]4log 18log 2log 3log 166626÷⋅+-.解:（1）原式()()12lg 23lg 232lg 33lg 231023lg10lg 2lg 3lg 22133213-+-+=⨯-+=()2312lg 23lg 12lg 23lg 23=-+-+=; （2）原式()()[]4log 6log 3log 2log 3log 6log 6666266÷++-=()[]()[]()12log 22log 22log 22log 2log 4log 2log 3log 2log 2log 4log 2log 3log 2log 2log 6666666666666626=÷=÷+=÷++=÷+⋅+=例59. 求下列式子的值:（1）()()a a lg lg 2lg lg 2100+; （2）8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 2+++.解:（1）原式()()()[]()2lg lg 2lg lg 22lg lg 2lg 10lg 22=++=+=a a a a ; （2）原式()112lg 12lg 26.010lg 12lg 2lg 6.0lg 10lg 3lg 4lg ==⨯⨯=+++=.例60. 给出下列各式:①()010lg lg =;②()0ln lg =e ;③若x lg 10=,则10=x ;④由21log 25=x ,得5±=x . 其中正确的是__________.（把正确的序号都填上）答案 ①②解:()01lg 10lg lg ==,故①正确;()01lg ln lg ==e ,故②正确;若x lg 10=,则1010=x ,故③错误; 由21log 25=x ,得52521==x ,故④错误.例61. 计算3log 9153223log 327log ++的结果是__________. 解:原式58315233log 3log 33log 33log 3523135331=+--=+-=++=--. 例62. 计算=⨯+⨯-4log 3log 81log 2273223log 324__________. 解:原式()3lg 2lg 22lg 3lg 2log 23323log 213232⨯+⨯-=- ()31123922921213log 2-=+-=+-=.例63. 已知b a ==6log ,5log 52,则用b a ,表示=6lg __________. 解:∵b a ==6log ,5log 52∴b a ==5lg 6lg ,2lg 5lg ,a =-5lg 15lg ,∴aa+=15lg ∴aabb +==15lg 6lg . 例64.（1）已知a =2log 14,用a 表示7log2;（2）已知b a ==5log ,7log 1414,用b a ,表示28log 35.解:（1）∵a =2log 14,∴a12log 114log 142==∴()⎪⎭⎫⎝⎛-=-===1122log 14log 27log 27log7log2222221a ;（2）∵b a ==5log ,7log 1414∴()5log 7log 14log 7log 14log 57log 14714log 35log 28log 28log 14141414141414141435++-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==b a a +-=2. 例65. 解关于x 的方程:（1）()()13log 1log 515=--+x x ;（2）()010lg lg 32=-+x x .解:（1）()()13log 1log 155=--+-x x ,()()5log 3log 1log 555=-++x x()()5log 31log 55=-+x x∴()()⎪⎩⎪⎨⎧>->+=-+0301531x x x x ,解之得:4=x . ∴该方程的解为4=x ;（2）()010lg 3lg 2=-+x x ,()()05lg 2lg =+-x x∴2lg =x 或5lg -=x ,解之得:210=x 或510-=x . 经检验,210=x 和510-=x 都是原方程的解.例66. 方程()()12log 3log 2log 222=-+-x x 的解是__________. 解:()()12log 32log 22=--x x∴()()⎪⎩⎪⎨⎧>->-=--03021232x x x x ,解之得:1-=x . ∴该方程的解为1-=x .例67. 已知1>>b a ,若310log log =+a b b a ,a bb a =3,则=b __________. 解:设t b a =log ,则t b a a b 1log 1log ==,3101=+t t ,解之得:31,321==t t . ∵1>>b a ,∴a b a a a log log 1log <<,即10<<t ,∴31=t .∴31log =b a ,31a b =.∵abb a =3,∴a ba a 313=,∴b a 331=,b a 9=∴()b b b b 9,9331==,解之得:3=b .例68. 解方程:()()14log 1log 42=+-+x x .解:()()4log 4log 1log 44222=+-+x x ,()()4log 4log 1log 4424=+-+x x∴()4log 41log 424=++x x .()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+>+=++04014412x x x x ,解之得:5=x . ∴该方程的解为5=x .例69. 已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥⎪⎭⎫⎝⎛=4,14,21x x f x x f x,则()=+3log 22f 【 】（A ）31 （B ）61 （C ）121 （D ）241解:∵4log 3log 2log 222<<,∴23log 12<<∴()()()3log 32222213log 313log 23log 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=++=+f f f()24131812812211223log 3log 13=⨯=⨯=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=--. 选择【 D 】.例70. 已知函数()131+=x x f ,则()=⎪⎭⎫ ⎝⎛+91log 3log 42f f __________. 解:∵()131+=x x f∴()()()1333131131131+++=+++=-+--x x x x x x x f x f 1313131=+++=xxx . ∴()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+31log 3log 31log 3log 91log 3log 22222422f f f f f f ()()13log 3log 22=-+=f f .例71. 若cba964==,则=+-cb a 121__________. 解:设t cb a ===964,则tc t b t a 964log ,log ,log ===.∴9log 6log 24log log 1log 12log 1121964t t t tt t c b a +-=+⋅-=+- 01log 964log 2==⎪⎭⎫⎝⎛⨯=t t .解法二:设t cba===964,则cbat t t 1119,6,4===.∵2694=⨯,∴2111⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅b ca t t t ,bc a t t 211=+∴b c a 211=+,∴0121=+-cb a . 例72. 已知函数()()11ln 22+-+=ax x a x f （0>a ）,则()=⎪⎭⎫⎝⎛+a f a f 1ln ln ______. 解:∵()()11ln 22+-+=ax x a x f∴()()()()11ln 11ln 2222+++++-+=-+ax x a ax x a x f x f()()[]221ln 211ln2222=+=+++-+=ax xa ax xa∴()()()2ln ln 1ln ln =-+=⎪⎭⎫⎝⎛+a f a f a f a f .例73. 已知b a ,是方程343log 3log 273-=+x x 的两个根,则=+b a __________. 解:343log 3log 333-=+x x ,343log 313log 133-=+x x . 设x t 3log 3=,则34311-=+t t ,解之得:3,121-=-=t t .∴1333log 13log -=-=x 或3333log 33log -=-=x ,解之得:91=x 或811=x . 经检验,91=x 和811=x 都是原方程的解.∴811081191=+=+b a .例74. 已知二次函数()()a x x a x f lg 42lg 2++=的最小值为3,则()⋅+2log 5log 2a a50log a 的值为__________.解:∵二次函数()()a x x a x f lg 42lg 2++=的最小值为3∴0lg >a ,()3lg 44lg 162=-aa ,解之得:1lg =a ,∴10=a . ∴()⋅+2log 5log 2a a ()50lg 2lg 5lg 50log 2⋅+=a()()()12lg 5lg 2lg 2lg 5lg 5lg 15lg 2lg 5lg 2=+=++=++=.例75. 已知n m a a ==2log ,3log .（1）求n m a 2+的值;（2）若10<<x ,a x x =+-1,且12log 3+=+n m ,求22--x x 的值.解:（1）∵n m a a ==2log ,3log ,∴2,3==n ma a∴()12232222=⨯=⋅=⋅=+n m n m n m a a a a a ;（2）∵12log 3+=+n m∴3log 2log 2log 3log 33+=+a a ,6log 6log 3=a ,∴3=a . ∴31=+-x x ,()()543422121=-=-+=---x x x x∵10<<x ,∴xx 1<,∴51-=--x x . ∴()()531122-=-+=----x x x x x x .例76. 已知z y x ,,为正数,zyx643==,py x =2.（1）求p 的值; （2）求证:yx z 2111=-解:（1）设t zy x ===643,则t z t y t x 643log ,log ,log ===.∵py x =2,∴t p t 43log log 2=,∴4log 23log 4log 24log 13log 12log log 2343==⋅==t t t t t t p2log 43=;证明:（2）由（1）可知:2log 3log 6log log 1log 11136t t t t t x z =-=-=-,2log 4log 21log 121214===⋅=t t t y ∴yx z 2111=-. 例77. 实数b a ,满足1052==ba,则下列关系正确的是【 】（A ）111=+b a （B ）212=+b a （C ）221=+b a （D ）2121=+b a解:∵1052==ba ,∴10log ,10log 52==b a .∴15lg 2lg 10log 110log 11152=+=+=+b a ,故（A ）正确; 22lg 120lg 5lg 4lg 5lg 2lg 212≠+==+=+=+b a ,故（B ）错误; 5lg 150lg 25lg 2lg 5lg 22lg 21+==+=+=+b a ,故（C ）、（D ）错误. 选择【 A 】.例78. 已知函数xx f 311)(+=,则()=⎪⎭⎫⎝⎛+31lg 3lg f f 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）9分析:因为()()()()()3lg 3lg 3lg 3lg 31lg 3lg 1-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-f f f f f f ,所以根据函数()x f 的解析式计算出()()x f x f -+即可.解:∵xx f 311)(+=∴()()1333133311+=+=+=---x xxx x x x f ∴()()1133311=+++=-+x xxx f x f ∴()()()()()13lg 3lg 3lg 3lg 31lg 3lg 1=-+=+=⎪⎭⎫⎝⎛+-f f f f f f .选择【 A 】.例79. 设()x f 为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,()b e x f x+=（b 为常数）,则()2ln -f 等于【 】（A ）21-（B ）1 （C ）1- （D ）3- 解:∵()x f 为定义在R 上的奇函数∴()00=f ,∴01=+b ,解之得:1-=b . ∴当x ≥0时,()1-=x e x f .当0<x 时,0>-x ,此时()()x f e x f x -=-=--1 ∴当0<x 时,()x e x f --=1. ∵01ln 21ln2ln =<=- ∴()12112ln 2ln -=-=-=-e f . 选择【 C 】.方法二:()()()()11212ln 2ln 2ln -=--=--=-=-e f f .例80. 计算:9log 2log 5lg 341lg 2lg 43⋅-+-. 解:原式22333log 2log 5412lg 2⋅-⎪⎭⎫⎝⎛⨯÷= 2133log 2log 10lg 233=-=⋅-=.。
对数概念及其运算资料讲解
对数概念及其运算对数概念及其运算知识点1 对数1.对数的定义如果()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
在对数函数b N a =log 中，a 的取值范围是()1,0≠>a a 且，N 的取值范围是0>N ，b 的取值范围是R b ∈。
【注意】根据对数的定义可知（1）零和负数没有对数，真数为正数，即0>N（2）在对数中必须强调底数0>a 且1≠a2.常用对数（1）定义：以10为底的对数叫做常用对数，N 10log 记做N lg 。
（2）常用对数的性质10的整数指数幂的对数就是幂的指数，即()是整数n n n =10lg3.自然对数（1）定义：以Λ71828.2=e 为底的对数叫做自然对数，N e log 通常记为InN 。
（2）自然对数与常用对数之间的关系：依据对数换底公式，可以得到自然对数与常用对数之间的关系：4343.0lg lg lg N e N InN ==，即N InN lg 303.2=。
4.指数式与对数式的互化（1）符号N a log 既是一个数值，也是一个算式，即已知底数和在某一个指数下的幂，求其指数的算式。
对数式b N a =log 的a 、N 、b 在指数式N a b =中分别是底数、指数和幂。
（2）充分利用指数式和对数式的互换，讲述四条规则：①在b N a =log 中，必须0>N ，这是由于在实数范围内，正数任何次幂都是正数，因而N a b =中的N 总是正数，须强调零和负数没有对数。
②因为10=a ，所以01log =a 。
③因为,1a a =所以1log =a a 。
④因为N a b =，所以b N a =log ，所以N a N g l a =0。
【例1】下列说法错误的是（）(A)负数和零没有对数 （B ）任何一个指数式都可以化为对数式（C ）以10为底的对数叫做常用对数 （D ）以e 为底的对数叫做自然对数【例2】（1）把下列指数式写成对数式① ;2713=x②;6441=⎪⎭⎫ ⎝⎛x ③;16121=⎪⎭⎫ ⎝⎛x ④51521=- （2）把下列对数式写成指数式：①;29log 3= ②;3001.0lg -= ③5321log 2-=。
知识讲解_对数及对数运算_基础
对数及对数运算要点一、对数概念 1.对数的概念如果()01ba N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R.2.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =.3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作.以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作.4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 要点二、对数的运算法则已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 (1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；()log log log a a a MN M N =+推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++> 、、、 (2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；log log log aa a MM N N=- (3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；log log a a M M αα=要点三、对数公式 1．对数恒等式：log log a b Na a Na N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有: (1) )(log log R n MM na a n ∈=令 log a M=b ， 则有a b=M ， (a b )n=M n，即nb n M a =)(， 即n a M b n log =，即:na a M M n log log =.(2) )1,0(log log log ≠>=c c aM M c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c bc即M a b c c log log =⋅， 即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a 结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a .【典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x 的取值范围：（1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2(1)log (1)x x +-． 举一反三：【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为 ．类型二、指数式与对数式互化及其应用 例2.将下列指数式与对数式互化： (1)2log 164=；(2)13log 273=-；(3)3x =；(4)35125=；(5)1122-=；(6)2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭.举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值： (1)161log 2x =- (2)log 86x = (3)lg1000=x (4)2-2ln e x =【变式2】计算：222log 4;log 8;log 32并比较．类型三、利用对数恒等式化简求值 例3．求值： 71log 57+举一反三：【变式1】求log log log a b c b c Na ⋅⋅的值(a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0)类型四、积、商、幂的对数例4. z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式35(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a xy x y z举一反三：【变式1】求值(1)1log 864log 325log 21025-+ (2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2类型五、换底公式的运用例5.已知18log 9,185ba ==，求36log 45．举一反三：【变式1】求值：(1))2log 2)(log 3log 3(log 9384++；(2)32log 9log 278⋅；(3)31log 529-.类型六、对数运算法则的应用 例6.求值 (1) 91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅(2) 7lg142lg lg 7lg183-+-(3))36log 43log 32(log log 42122++(4)()248125255log 125log 25log 5(log 8log 4log 2)++++举一反三：【变式1】计算下列各式的值 （1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++ ；（2）33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)++．【变式2】求值：107lg 2lg )21(7⋅。
对数运算知识点归纳总结
对数运算知识点归纳总结一、对数的基本概念1.1 对数的定义对数的定义是：设a为正实数，且a≠1，a的正实数b的对数，记作logab，是指满足a的x次方等于b的数x。
即logab = x 当且仅当a^x = b。
在这里，a被称为“底数”，b被称为“真数”，x被称为“对数”，其中a^x = b称为“指数形式”。
1.2 对数的性质（1）对数的底数a必须是正实数且不等于1；（2）真数b必须是正实数；（3）当a>1时，对数是正数；当0<a<1时，对数是负数；（4）当真数b=1时，对数是0；（5）对数是无理数。
1.3 对数与指数的关系对数与指数是两个相关联的概念。
在a^x = b中，a称为底数，x称为指数，b称为真数。
而对数是指数形式的逆运算。
即a^x = b 等价于 logab = x。
对数函数和指数函数之间存在对称性，对数函数的图像是指数函数图像在y=x线上的镜像。
1.4 对数的表示方法对数的表示方法有两种，一种是常用对数，底数为10，常用符号为lg；另一种是自然对数，底数为e（自然对数的底数是一个无理数，e≈2.718281828459），常用符号为ln。
二、对数的运算规则2.1 对数运算的基本性质(1) log(a*b) = loga + logb(2) log(a/b) = loga - logb(3) loga^n = n*loga(4) log_a(a^x) = x2.2 对数运算的常用性质(1) loga1 = 0(2) logaa = 1(3) log1a = 0(4) loga(a^x*b^y) = x*loga + y*logb(5) loga(a/x) = loga(a) - loga(x)(6) loga(a^n) = n*loga(a)2.3 对数运算的推导法则对数运算的推导法则是指通过对数运算的基本性质和常用性质，对数式子进行化简和简化的方法。
这些法则包括换底公式、对数的乘方和除法法则等。
对数与对数知识点
对数与对数知识点在数学的广阔天地中，对数是一个十分重要的概念。
它就像一把神奇的钥匙，能够帮助我们解决许多复杂的数学问题。
接下来，让我们一起深入探索对数的世界。
一、什么是对数简单来说，对数就是一种表示数的方法。
假设我们有一个等式 a^b ＝ N（其中 a 是底数，b 是指数，N 是幂），那么 b 就叫做以 a 为底 N 的对数，记作logₐN。
例如，2³＝ 8，那么 3 就是以 2 为底 8 的对数，记作 log₂8 ＝ 3。
对数的出现，其实是为了简化计算。
在没有对数的概念之前，计算一些复杂的乘除幂运算可能会非常繁琐，而对数的引入大大降低了计算的难度。
二、对数的性质1、对数的零和负数无意义因为对数是指数的逆运算，而任何数的任何次幂都不可能为零或负数，所以对数中的真数（也就是幂的值）必须大于零。
2、logₐa ＝ 1因为 a^1 ＝ a，所以logₐa ＝ 1。
3、logₐ1 ＝ 0因为 a^0 ＝ 1，所以logₐ1 ＝ 0。
4、logₐ(M × N) ＝logₐM ＋logₐN这一性质可以通过指数运算的规律推导出来。
假设logₐM ＝ p，logₐN ＝ q，那么 a^p ＝ M，a^q ＝ N，所以 M × N ＝ a^p × a^q ＝ a^（p ＋ q)，从而得出logₐ(M × N) ＝ p ＋ q ＝logₐM ＋logₐN。
5、logₐ(M ／ N) ＝logₐM logₐN同样可以通过指数运算来推导。
6、logₐM^n ＝n logₐM假设logₐM ＝ p，那么 M ＝ a^p，所以 M^n ＝（a^p)＾n ＝ a^（pn)，从而得出logₐM^n ＝ pn ＝n logₐM。
三、常用对数和自然对数在实际应用中，有两种常见的对数：常用对数和自然对数。
常用对数是以 10 为底的对数，记作 lg N。
例如，lg 100 ＝ 2。
自然对数是以无理数 e（约等于 271828）为底的对数，记作 ln N。
关于对数的知识点总结
关于对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的基本概念对数是对数运算的基本概念，它表示一个数以另一个数为底的幂运算结果。
例如，如果a^b=c，那么b就是以a为底c的对数，记作log_{a}c=b。
其中，a称为对数的底，c称为真数，b称为对数。
对数的基本概念可以用数学公式来表示：a^b=c ，即 log_{a}c=b2. 对数的特点对数有一些特点，包括：（1）对数的底数不能为0或1；（2）对数运算是指数运算的逆运算；（3）对数运算中真数必须为正数；（4）对数运算在同一底数下是互为逆运算的。
3. 对数的表示对数的表示有两种常见的方式，一种是常用对数，即以10为底的对数，另一种是自然对数，即以e为底的对数。
常用对数和自然对数具有不同的性质和应用，需要根据具体情况进行选择和应用。
4. 对数的应用对数在数学和科学领域中有广泛的应用，包括：（1）在科学计算和工程领域中，对数常用于解决复杂的数学问题和模型计算；（2）在统计学中，对数常用于处理数据，特别是处理非负数据和处理数据间的比率；（3）在物理学中，对数常用于描述和分析自然现象中的指数变化规律；（4）在金融学中，对数常用于计算利息和投资收益率。
二、对数的性质对数具有一些特殊的性质，包括：1. 对数运算的性质（1）对数运算是指数运算的逆运算；（2）对数运算中，底数必须大于0且不等于1；（3）对数运算中，真数必须为正数。
2. 对数的常见性质（1）对数的乘法性质：log_{a}xy=log_{a}x+log_{a}y；（2）对数的除法性质：log_{a}(x/y)=log_{a}x-log_{a}y；（3）对数的幂的性质：log_{a}x^m=mlog_{a}x；（4）对数的换底公式：log_{a}x=\frac{log_{b}x}{log_{b}a}。
3. 对数的常用性质（1）对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集；（2）对数函数在底数大于1时，为增函数，在底数介于0和1之间时，为减函数；（3）对数函数的图像呈现出一种特殊的曲线形状，可以通过图像来直观地理解对数的性质。
对数知识点笔记总结
对数知识点笔记总结一、对数的定义对数是指数的逆运算。
设 a 是正数且不等于 1，a 的 x 次幂等于 b，则称 x 是以 a 为底，b的对数，记作logₐ b=x。
其中，a 称为对数的底数，b 称为真数，x 称为对数。
对数的定义实际上是以 a 为底，求得的 x 是 b 的幂次方，即 a 的 x 次幂等于 b。
二、对数的性质1. 对数的底数必须大于 0，且不等于 1。
2. 对数的真数必须大于 0。
3. 对数的底数 a 与真数 b 之间的关系：b 是 a 的 x 次幂，等价于 x 是以 a 为底，b 的对数。
4. 对数的底数与幂指数可以互相交换：logₐb=logₐc×logₐb。
5. 对数的乘积等于对数的和：logₐb+logₐc=logₐbc。
6. 对数的商等于对数的差：logₐb-logₐc=logₐ(b/c)。
7. 对数的幂等于幂的倍数：x×logₐb=logₐ(b^x)。
三、常用对数和自然对数1. 常用对数：以 10 为底的对数。
通常用 lg 表示常用对数。
lg 表示以 10 为底，b 的对数。
即lg b=log₁₀b。
2. 自然对数：以 e 为底的对数，e 是一个常数，约等于 2.71828。
通常用 ln 表示自然对数。
ln 表示以 e 为底，b 的对数。
即ln b=logₑb。
四、对数的性质1. 常用对数和自然对数之间的换底公式：logₐb=lnb/lna。
五、对数函数1. 对数函数的定义：函数y= logₐx 称为对数函数。
2. 对数函数的图像：对数函数的图像是一条无限长的曲线。
对数函数的图像在 x 轴的右侧，y 轴的左侧，并且逐渐向下趋近于 x 轴，但永远不会与 x 轴相交，即对数函数的图像不存在零点和负数点。
六、对数方程和对数不等式1. 对数方程：含有对数的方程。
求解对数方程的步骤：1）将对数方程中的对数转化为指数形式；2）解出指数方程；3）检验解得的值是否满足原方程。
对数的运算知识点总结
对数的运算知识点总结对数的概念是建立在幂指数的基础之上的。
在代数运算中，指数表示一个数与底数的乘积。
举个例子，2的3次方表示为2^3=2×2×2=8。
对数则表示幂指数的逆运算，即给定一个底数和一个数，对数就是指明这个底数的多少次幂等于这个数。
如果a的x次幂等于b，那么记作loga(b)=x。
其中，a是底数，b是真数，x是指数。
对数的运算法则和性质有很多，接下来我们将对它们进行详细的总结和解析。
一、对数的定义和性质1. 对数的定义对数的定义是对数学中幂指数运算的逆运算。
如果a的x次幂等于b，那么记作loga(b)=x。
其中，a是底数，b是真数，x是指数。
在这个定义中，底数为a，真数为b，指数为x，x 就是对数。
对数的定义可以简单理解为求底数为a的真数b的x次幂是多少。
对数的定义也可以形式化为loga(b)=x ⇔ ax=b，即底数为a的对数b等于x等价于a的x次幂等于b。
2. 对数的性质对数有一些基本的性质，这些性质在对数的运算中有着重要的作用。
对数的性质主要有以下几点：（1）对数的底数不能为1，对数的真数不能为负数。
（2）底数为10的对数叫做常用对数，底数为自然常数e（e=2.7182）的对数叫做自然对数。
（3）对数运算的唯一性：如果loga(b)=loga(c)，那么b=c。
（4）对数运算的除法性质：loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
（5）对数运算的乘法性质：loga(b×c)=loga(b)+loga(c)。
（6）对数运算的幂指数性质：loga(b^r)=r×loga(b)。
（7）对数运算的变底公式：loga(b)=logc(b)/logc(a)。
以上是对数的定义和性质的简要总结，接下来我们将对对数的运算方法和应用进行更详细的探讨。
二、对数的运算方法对数的运算方法主要包括对数的加法、减法、乘法、除法、幂指数等运算。
掌握这些运算方法对于解决一些复杂的对数问题有着重要的作用。
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对数及对数运算【学习目标】1．理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；2．了解常用对数与自然对数的意义；3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．【要点梳理】要点一、对数概念1．对数的概念如果??01b aNaa???，且，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:log a N=b．其中a叫做对数的底数，N叫做真数．要点诠释：对数式log a N=b中各字母的取值范围是：a>0 且a?1， N>0， b?R．2．对数??log0a Na??，且a1具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N?；（2）1的对数为0，即log10a?；（3）底的对数等于1，即log1a a?．3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，NNlglog10简记作．以e（e是一个无理数，2.7182e????）为底的对数叫做自然对数，logln e NN简记作．4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．要点二、对数的运算法则已知??loglog010aa MNaaMN???，且，、（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；??logloglog aaa MNMN??推广：????121212loglogloglog0akaaakk NNNNNNNNN?????、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；logloglog aaa MMNN??（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；loglog aa MM???要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log2（-3）（-5）=log2（-3）+log2（-5）是不成立的，因为虽然log2（-3）（-5）是存在的，但log2．（-3）与log2（-5）是不存在的．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a（M?N）=log a M?log a N，log a（M·N）=log a M·log a N，log a NMNM aa loglog?．要点三、对数公式1．对数恒等式：log log a bNa aNaNNb???????2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有: （1）)(loglogRnMM naa n??令 log a M=b，则有a b=M，（a b）n=M n，即nbn Ma?)(，即na Mb n log?，即:naa MM n loglog?．（2）)1,0(logloglog???ccaMM cca，令log a M=b，则有a b=M，则有)1,0(loglog???ccMa cbc即Mab cc loglog??，即aMb cc loglog?，即)1,0(logloglog???ccaMM cca当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log1log?????bbaaab ba．【典型例题】类型一、对数的概念例1．求下列各式中x的取值范围：（1）2log(5)x?；（2）(1)log(2)x x??；（3）2(1)log(1)x x??．【答案】（1）5x?；（2）1,2xx??且；（3）1x??且0,1xx??【解析】（1）由题意50x??，5x??，即为所求．（2）由题意20,10,11,xxx?????????且即2,1,2,xxx???????且1,2xx???且．（3）由题意2(1)0,10,11,xxx?????????且解得1x??且0,1xx??．【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．举一反三：【变式1】函数21log(2)x yx???的定义域为【答案】1|12xxx????????且类型二、指数式与对数式互化及其应用例2．将下列指数式与对数式互化：（1）2log164?；（2）13log273??；（3）3log3x?；（4）35125?；（5）1122??；（6）2193????????．【解析】运用对数的定义进行互化．??33x?；（4）5log1253?；（5）（1）4216?；（2）31273????????；（3）21log12??；（6）13log92??．【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段．举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：（1）161log2x??（2）log86x?（3）lg1000=x （4）2-2lnex?【答案】（1）14；（2）2；（3）3；（4）-4．【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x．（1）1112()212221(16)(4)444x??????????；（2）111166366628()(8)(2)22xxx??????，所以；（3）10x=1000=103，于是x=3；（4）由22222lnln 42x xexeeex????????，得，即所以．【高清课堂：对数及对数运算369068例1】【变式2】计算：222log4;log8;log32并比较．【解析】222log4log22;??322log8log23;??522log32log25??．类型三、利用对数恒等式化简求值例3．不用计算器计算：log27lg25lg47(9.8)?????7log203【答案】132【解析】原式323log3lg(254)21?????23lg1032???3132322????【总结升华】对数恒等式log a N aN?中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数．举一反三：【变式1】求logloglog abc bcN a??的值（a，b，c∈R+，且不等于1，N>0）【答案】N【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算．logloglogloglogloglogloglog()()cabcabbcc NbcNbccNN aabcN??????????．类型四、积、商、幂的对数【高清课堂：对数及对数运算369068 例3】例4．zyx aaa log,log,log用表示下列各式2353(1)log;(2)log();(3)log;(4)log aaaa xyxyxxyzyzz【解析】（1）loglogloglog aaaa xyxyzz???；（2）3535log()loglog3log5log aaaaa xyxyxy????；（3）1logloglog()logloglog2aaaaaa xxyzxyzyz?????；（4）23log a xyz=2311log()log2logloglog23aaaaa xyzxyz????．【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．举一反三：【变式1】求值（1）1log864log325log21025??（2）lg2·lg50+（lg5）2（3）lg25+lg2·lg50+（lg2）2【答案】（1）22；（2）1；（3）2．【解析】（1）1log864log325log21025??.220184082log35log26225?????????（2）原式=lg2（1+lg5）+（lg5）2=lg2+lg2lg5+（lg5）2=lg2+lg5（lg2+lg5）=lg2+lg5=1 （3）原式=2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2=2lg5+lg2+lg2lg5+（lg2）2=1+lg5+lg2（lg5+lg2）=1+lg5+lg2=2．类型五、换底公式的运用例5．已知18log9,185b a??，求36log45．【答案】2aba??【解析】解法一：18log9,185b a??，18log5b??，于是181818183618181818log45log(95)log9log5log4518log36log(182)1lo g221log9ababa?????????????．解法二：18log9,185b a??，18log5b??，于是1818181836218181818log45log(95)log9log5log45.18log362log18log9 2log9aba?????????解法三：18log9,185b a??，lg9lg18,lg5lg18ab???，362lg45lg(95)lg9lg5lg18lg18log4518lg362lg18lg92lg18lg1 82lg9ababaa?????????????．解法四：18log9a?，189.a??又185,4559181818bbaab???????．令36log45x?，则364518xab???，即218181836()18,()18,339x x abxab??????21818log.9xab???21818log18log92ababxa???????．【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“log1a a?”的灵活运用．举一反三：【变式1】求值：（1）)2log2)(log3log3(log9384??；（2）32log9log278?；（3）31log529?．【答案】（1）54；（2）109；（3）325【解析】（1）)2log2)(log3log3(log9384??452log233log65)22log2)(log33log23log()9log2log2)(log8 log3log4log3log(3233223332222??????????；（2）32log9log278?9103lg32lg52lg33lg227lg32lg8lg9lg?????；（3）法一：31log529?33331log2(log5)1log25252333325??????法二：31log529?99112log252log25939925????．类型六、对数运算法则的应用例6．（2016春陕西期中）计算（1）34331654()loglog8145???（2）7lg142lglg7lg183???（3）)36log43log32(loglog42122??（4）353log21log235???【思路点拨】根据对数和批数的运算性质计算即可．【答案】（1）278；（2）0；（3）3；（4）44．【解析】（1）334()4433316542542727()loglog()log0814534588???????????（2）原式=2lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(32)??????=lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20???????（3）原式=38log)6log43log5(log)6log43log5(log2222222221????????（4）35353log21log2log2log2313533552725244????????????．举一反三：【变式1】计算下列各式的值（1）??222lg5lg8lg5lg20lg23???；（2）33(lg2)3lg2lg5(lg5)??．【答案】（1）3；（2）1．【解析】（1）原式=??22lg52lg2lg5(2lg2lg5)lg2????=22lg10(lg5lg2)??=2+1=3；（2）原式=????22lg2lg5lg2lg2lg5(lg5)???????+3lg2 lg5=??22lg22lg2lg5(lg5)??=??2lg2lg51??．【变式2】已知1,(1,0)()44,(0,1)xx xfxx?????????，则4(log3)f?【思路点拨】判断出40log31??，根据分段函数的式子求解，再利用对数运算求解．【答案】3【解析】∵1,(1,0)()44,(0,1)xx xfxx?????????，40log31??∴4log34(log3)43f??，故答案为：3。