平面直角坐标系与函数专题复习

8.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离 (1)点P(x,y)到x轴的距离等于|y|; (2)点P(x,y)到y轴的距离等于|x|; (3)点P(x,y)到原点的距离等于 x 2 y 2 .
9.点的平移的坐标特征(a>0,b>0) (1)将点P(x,y)向右或向左平移a个单位,得到对应点P'的坐标是(x ±a,y); (2)将点P(x,y)向上或向下平移b个单位,得到对应点P'的坐标是(x ,y±b); (3)将点P(x,y)先向右或向左平移a个单位,再向上或向下平移b个 单位,得到对应点P'的坐标是(x±a,y±b).
3 3
解析 根据函数图象可得,分段函数的三个部分分别为y =2x(0≤x
120 <5),y=-0.2x+11(5≤x<15),y= (x≥15), x
选项A,直接根据图象可得; 选项B,可计算当y=8时,x=4或x=15,∴15-4=11分钟,∴正确; 选项C,当y=5时,x=2.5或x=24, ∴24-2.5=21.5分钟,∴错误; 选项D,当y=2时,x=1或x=60, ∴60-1=59分钟,∴正确.
平面直角坐标系与函数专题复习
基础知识过关
知识点一 平面直角坐标系及点的坐标特征
知识点二
知识点三
函数及其图象
函数自变量的取值范围
知识点一
平面直角坐标系及点的坐标特征
1.平面直角坐标系:在平面上画两条① 互相垂直、原点重合
的数轴,就组成了平面直角坐标系.两条数轴分别称为横轴、纵轴 或x轴、y轴,坐标平面被两条数轴分成第一象限、第二象限、第
二次根式有意义,分母不等于零,其次要结合现实意义,保证函数 自变量的取值有现实意义,结合往年的泰安中考,这个知识点的考
查常作为解答题中的某一个环节出现.
例5 是
2x 1 (2017黑龙江哈尔滨)函数y = 中,自变量x的取值范围 x2
x≠2
.
解析 由题意知x-2≠0,解得x≠2.
变式5-1
变式3-1 下面图象中所反映的过程是小龙从家跑步去五四广 场,在那里锻炼了一段时间后,又去早餐店吃早餐,然后散步走回 家.其中x表示时间,y表示小龙离家的距离.根据图象提供的信息, 以下四个说法错误的是 ( C ) A.五四广场离小龙家2.5千米 B.小龙在五四广场锻炼了15分钟 C.五四广场离早餐店4千米 D.小龙从早餐店回家的平均速度是3 千米/时
温馨提示
(1)坐标轴上的点不属于任何一个象限;(2)平面直角
坐标系两坐标轴上的单位长度通常取一致的,有时根据要表达的 实际意义,也可取不一致的单位长度,但是同一坐标轴上的单位长 度必须是一致的.
知识点二
1.常量与变量
函数及其图象
变量 ,数值
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做 始终保持不变的量叫做 2.函数的概念 常量 .
象限,则m的取值范围是 ( A.m<-1 C.-1<m<2 Leabharlann Baidu.m>2 D.m>-1
变式1-1 无论m为何值,点A(m,5-2m)不可能在 ( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限
C )
考向2 结合图形变换进行考查 例2 (2017邵阳)如图所示,三架飞机P,Q,R保持编队飞行,某时
刻在坐标系中的坐标分别为(-1,1),(-3,1),(-1,-1),30秒后,飞机
P飞到P‘(4,3)位置,则飞机Q,R的位置Q’,R‘分别为 ( A )
A.(2,3),(4,1) B.(2,3),(2,1) C.(2,2),(4,1)
D.(3,3),(3,1)
变式2-1 如图,在平面直角坐标系中,正三角形OAB的顶点B的坐 标为(2,0),点A在第一象限内,将△OAB沿直线OA的方向平移至△
(1)找起点,结合自变量的取值范围,找到函数图象的起点; (2)找交点,找出函数图象与坐标轴的交点,找出函数图象与其他 函数图象的交点; (3)找转折点,即函数增减性在其两侧变化的点. 2.判断函数的增减性.
3.要注意是否需要分类讨论.
考点三
求函数自变量的取值范围
中考解题指导 对于求函数自变量取值范围的问题,首先要保证
O‘A’B‘的位置,此时点A’的横坐标为3,则点B‘的坐标为
( A ) A.(4,2 3) B.(3,3 3) C.(4,3 3) D.(3,2 3)
作AM⊥x轴于点M.根据等边三角形的性质得出OA=OB=2,∠AOB
1 3 OM= =60°,在Rt△OAM 中,∠OAM=30°,∴OM= OA=1,AM = 3, 2 3 x,将x=3代入,得y=3 则A(1, 3 ),直线OA的解析式为y= 3 ,那么A'
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x在其
取值范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那 么就说x是自变量,y是因变量,此时也称y 是x 的函数.
知识点三
函数自变量的取值范围
全体实数
1.自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义.
(1)当函数解析式为整式时,自变量的取值范围是 ;
考点聚焦
考点一 考点二 考点三 直角坐标系中点的坐标与特征 函数及其图象 求函数自变量的取值范围
考点一
直角坐标系中点的坐标与特征
中考解题指导 考查坐标的变换时常结合平移、对称等的知识
点,找准在变换的过程中纵坐标与横坐标的变化规律,并进行理解 记忆.
考向1 坐标系中点的坐标特征
例1
(2018东营)在平面直角坐标系中,若点P(m-2,m+1)在第二 C )
象限
第一象限 第二 象限
第三象限
第四 象限
坐标
④ (+,+) (-,+) ⑤(-,-)
(+,-)
特征
4.坐标轴上点的坐标特征
坐标轴
x轴
正半轴 负半轴 ⑥
(-,0)
y轴
正半轴 (0,+) 负半轴 ⑦
(0,-)
原点
坐标特
征
(+,0)
(0,0)
5.各象限角平分线上的点的坐标特征 (1)第一、三象限角平分线上的点,横、纵坐标⑧ (2)第二、四象限角平分线上的点,横、纵坐标⑨ . 相同 ;
B.(-3,5)
x2 2.函数y= 的自变量x的取值范围是 ( x
B )
A.x≥-2 C.x≠0
B.x≥-2且x≠0 D.x>0且x≠-2
3.(2018广东)如图,点P是菱形ABCD边上的一动点,它从点A出发 沿A→B→C→D路径匀速运动到点D,设△PAD的面积为y,P点的 运动时间为x,则y关于x的函数图象大致为 ( B )
解析 当P在AB上运动时,过点P作PE⊥DA,交DA的延长线于 点E. 设P的运动速度为v,∠EAP=θ ,则AP=vx,
在Rt△AEP中,
PE=APsin θ =vxsin θ ,
1 1 ∴S△PAD= 2 AD·PE= AD·vxsin θ , 2
1 1 ∴y= AD·vxsin θ = AD·vsin θ 2 2
例3
(2018聊城)春季是传染病多发的季节,积极预防传染病是
学校高度重视的一项工作,为此,某校对学生宿舍采取喷洒药物的 方式进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中,先经过5 min的集中 药物喷洒,再封闭宿舍10 min,然后打开门窗进行通风,室内空气中 含药量y(mg/m )与药物在空气中的持续时间x(min)之间的函数关 系:在打开门窗通风前分别满足两个一次函数,在通风后又成反比 例函数,如图所示.下面四个选项中错误的是 ( C )
x.
∵AD、sin θ 、v都是定值,∴y是x的正比例函数.由此排除C、D. 当P在BC上运动时,
1 设AD与BC之间的距离为h,则S△PAD= AD·h, 2
∴此时△PAD的面积不变.由此排除A.故选B.
4.(2018枣庄)在平面直角坐标系中,将点A(-1,-2)向右平移3个单 位长度得到点B,则点B关于x轴的对称点B‘的坐标为 ( A.(-3,-2) B.(2,2) C.(-2,2) D.(2,-2) B )
3
A.经过5 min集中喷洒药物,室内空气中的含药量最高达到
10 mg/m
3
3
B.室内空气中的含药量不低于8 mg/m 的持续时间达到了11 min C.当室内空气中的含药量不低于5 mg/m 且持续时间不低于35分
3
钟时,才能有效杀灭某种传染病毒.此次消毒完全有效 D.当室内空气中的含药量低于2 mg/m 时,对人体才是安全的,所 以从室内空气中的含药量达到2 mg/m 开始,需经过59 min后,学 生才能进入室内
三象限、第四象限.重合的原点O叫做直角坐标系的原点,两条数
轴又称坐标轴.
2.点的坐标:(1)平面内的点可以用②
一对有序数对
(即点
的坐标)来表示.例如点A在平面内可以表示为A(a,b),其中a表示点 的横坐标,b表示点的纵坐标; (2)平面内的点和点的坐标是③ 一一对应 的.
3.各象限内点的坐标特征
x 函数y= 中自变量x的取值范围是 ( x3
C )
A.x>-3且x≠0 C.x>-3
B.x≠0
D.x≠-3且x≠0
解析 根据题意得x+3>0,解得x>-3,故选C.
随堂巩固训练
一、选择题 1.(2018四川成都)在平面直角坐标系中,点P(-3,-5)关于原点对称 的点的坐标是 ( A.(3,-5) C ) C.(3,5) D.(-5,-3)
(3,3 3 ),所以△A'O'B'是由△AOB向右平移2个单位,向上平移2
个单位后得到的,由B(2,0)得B'(4,2 3 ).
考点二
函数及其图象
中考解题指导 函数图象的考查一般会涉及两个方面,一是直接
对函数图象进行分析和应用,二是根据题目中的条件信息,确定函 数的图象.
考向1 函数图象的应用
(2)当函数解析式为分式时,自变量的取值范围是
等于0的实数 ;
使分母不
(3)当函数解析式为偶次方根形式时,自变量的取值范围是 使被开方数大于或等于0的实数 ;
(4)在一个函数解析式中,同时有几种代数式,函数自变量的取值 范围应是各种代数式中自变量取值范围的 公共部分 .
2.函数自变量的取值范围,在结合实际问题时必须使实际问题有 意义(例如负数取舍或者整数问题).
解析 由题图可知点A变化前的坐标为(6,3),将纵坐标保持不变,
1 横坐标变为原来的 ,则点A的对应点A'的坐标是(2,3). 3
解析 由题图可知小龙家距五四广场2.5千米,小龙在广场锻炼了 15分钟,五四广场距早餐店1千米,小龙从早餐店回家的速度是3千 米/时,故选C. 考向2 确定函数的图象
例4 小明的父亲从家走了20分钟到一个离家900米的书店,在书 店看了10分钟书后,用15分钟返回家,下列图中表示小明的父亲离 家的距离与时间的函数图象的是( B )
互为相反数
6.对称点的坐标特征 (1)关于x轴对称的两点,⑩ 为相反数; (2)关于y轴对称的两点, 互为相反数; (3)关于原点对称的两点,横、纵坐标都互为相反数. 纵坐标 相同, 横坐标 横坐标 相同, 纵坐标 互
7.和坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 (1)平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同; (2)平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.
解析 因为在书店里花了10分钟看书,所以在该段时间内,函数图 象应是一段平行于x轴的线段,B选项中的图象表示小明的父亲看 书用了10分钟,而A选项中的图象表示小明的父亲看书用了20分 钟,故选B.
变式4-1 小张的爷爷每天坚持体育锻炼,星期天,爷爷从家里跑 步到公园,打了一会太极拳,然后沿原路慢步走到家,下面能反映 当天爷爷离家的距离y(米)与时间t(分钟)之间关系的大致图象是 ( B )
3 2 5.(2018德州)给出下列函数:①y=-3x+2;②y= ;③y=2x ;④y=3x, x
其中符合条件“当x>1时,函数值y随自变量x的增大而增大”的是 ( B ) A.①③ B.③④ C.②④ D.②③
二、填空题
1 6.如图,将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保 3
持不变,横坐标变为原来的 ,那么点A的对应点A'的坐标 是 (2,3) .
解析 根据题中信息可知,相同的路程,跑步比慢步走的速度快; 在一定时间内没有移动距离,则速度为零.故小张的爷爷跑步到公 园的速度最快,即单位时间内通过的路程最大,打太极拳的过程中 没有移动距离,因此通过的路程为零,还要注意出去和回来时的方 向不同,故B符合要求.
方法技巧 关键点.
函数图象的判断步骤: 1.根据题意,在坐标轴中找出