36定积分求面积共23页

a
a
3
第二个问题：用定积分解决问题的关键 ——在找出整体量的微元：dF(x).
微元法解决问题的步骤
1. 写出实际问题整体改变量的微元表达式：
d F ( x ) f( x ) d( x 通 f( x ) 常 F ( x ))
2. 用定积分求出整体改变量：
b
b
F (b )F (a)ad(F x)af(x)d.x
图形的面积。
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解 (当你不会作封闭曲线的图形时，如何通过
分析求出面积？)
分析
使用公式：Ad
A 1 r2()d 2
解这个问题的难点在确定积分限。注意到
4si2n 20,又是周期函数 , 对于 X2,
变化过程中， 每两个零点曲线封闭一次.
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故有 0 2 或 2 2 3 ，
进而得 0 或3，
2
122si4nt(1si2nt)dt
1231531
3
0
42 642 2 8
例4 用微元法推导由极坐标给出的曲线C：
rr()()所围的面积,并求心脏
线 r a (1 c o )(s a , 0 )所围图形的面积.
用微元法先推导—
d 百度文库
极坐标系下求面积
d
的表达式
dA
r( )
r r()
o
r
dA1(弧 长 )(半 径 ) 1[r()d]r()
dA f(y ) g (y )d
dA
A
d
dA
c
cdf(y)g(y)dy
求面积前需要做的准备工作有:
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(1) 最好能作出草图,弄清边界曲线的方程; (2) 根据所选方法确定积分变量及总量微元; (3) 确定积分区间,为此常需要求出边界曲线
交点的坐标. (如图)
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例 2 再求由
y 1x和 2
4
二、定积分的几何应用
1. 平面图形的面积（Area） 用微元法求面积
dA f(x ) g (x )d
b
A a d A abf(x)g(x)dx
5
例 1 求由 y 1x和
2 y2 8x 8
所围图形的
面积.(如图)
dA 1
4
dA 2
思考:求面积前需要做那些准备工作?
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解 从图中可以明显看出所求面积分为两部 分: R1和R2,两块面积的微元分别为：
2
2
由于周期性的变化,你会发现封闭图形将重
复出现在第一、三象限,且图形关于原点对
称，又 关y于 x(即)对 称 ， 因
4
19
sin2( ) sin(2)co2s,
4
2
因此0 只 至 要 上在 积 ,就分 得 1面 到 积
4
4
全
面
积 A44
12d
02
2 4 0
4si
n2d
4co2s
4 0
4
见图
2
子区间局部量的总和(可和)，具体地讲：
b
f(x)dxF(b)F(a)
a
n
记作 n
[xk1,xk]F(x) kF(x)
k1
k1
因 k F ( x ) F ( x ) x k o ( x k )
f(x )d x d F (x ) 设F(x)可微
亦即bf(x)d xbd(F x)
它的参数方程为：
y
xco3st ysin3t
-1
(0t 2)
-0.5
dx 0.5
-0.5
1
2
2
直角坐标方程 (x3 y3 1)
-1
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解 由对称性只需求出(1/4 )面积即可。
dA ydxsin3td(co3ts)
A 4
1 0
ydx
4
0
s
in3tdco3st
2
40si3n t3co2ts(sitn )dt
2
2
A
1
dA
r2()d
2
解 心脏线的对称 性是明显的，因
此
2
1
y2(1cos)
1
2
3
4
-1
-2
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A21 r2()d a2(1cos)2d
20
0
a2 (2co2s)2d 令t /2
0
2
4a22/2co4tsdt 8a2 313a2
0
42 2 2
例5 求双纽线：2 4sin2 所围封闭
20
2 4sin2 1.5
1 0.5
-1.5 -1 -0.5 -0.5 -1 -1.5
作业
0.5 1 1.5 P.216-习题3.4 (A)-N.1( 单数除去 (7) )
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Thank you
y2 8x
所围图形的 面积.(如图)
2 (8, 0) 4
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解 d A f(y ) g (y )dx [(8y2)2y]dy
A 2[8y22y]dy 4
那 种
8y1y3y2 2
方 法
3
4
好
1684326416 36 ？
3
3
12
1
例3
求星形线所围面积，
x y
cos 3 sin3
t t
0.5
d1 A f(x ) g (x )dx [12x( 8x)]dx d2 A f(x ) g (x )dx [ 8x(8x)d] x
7
4 1
A [ x
8x]dx
8
2
8xdx
8 2
4
14x232(8x)2348
2
2 (8 3
3
x)2
8 4
41616128 4 0 8 36
3
3 3
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用微元法求面积
用定积分解决实际问题，应先明确 两个问题：
第一，定积分能解决哪类问题？(共性) 第二，用定积分解决这类问题方法的关
键是什么？
1
一、微元法
第一个问题：用定积分所解决问题的共性： 1. 都是求在[a,b]非均匀分布的一个整体量，
如：面积、体积、曲线弧长；作功、引 力、总成本、总利润等等；
2. 这个在[a,b]上分布的整体量等于其所有