数学物理方法习题及解答

2. 试解方程：()0,04

4

>=+a a z

44424400000

,0,1,2,3

,,,,i k i

i

z a a e z ae

k ae z i i πππ

π

ωωωωω+=-=====--若令则

1．计算：

（1）

i

i

i i 524321-+

-+ （2）

y =

（3）

求复数2

12⎛⎫

+ ⎪ ⎪⎝⎭

的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ

(1) 原式=

()()()12342531081052

916

2525255

i i i i i i +⋅+-⋅+-++=+=-+--

（2） 3

32(

)10205

2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式

(3)

2

223

221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223

i i i e r π

πππππ

θπ⎛⎫==+=+==- ⎪⎝⎭⎝⎭=-===+=±±L

原式所以：，

3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数.

(1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++-

3.

()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u

e x y y y e y x u

e x y y y y y v

e y y x y e y y x v

e y y y x y y

u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+∂=-+∂∂=---∂∂=++∂∂=-+∂∂∂∂∂==-∂∂∂∂=+∂'=

∂证明：所以：。

由于在平面上可微

所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v

i e x y y y e y i e y y x y e y x x

∂+=-++++∂

由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-=

解：

()()()()()()()222222222212,2,21

2,2,,,2112,

2211

1,0,1,1,,

221112.

222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ϕϕϕϕ∂∂==+∴=++∂∂∂∂∂''=+=-=-+∴=-=-+∂∂∂⎛⎫=-+++-+ ⎪⎝⎭

=-+==+==⎛

⎫=-++-++ ⎪⎝

⎭而即所以由知带入上式，则则解析函数

2. ()21,3,,.i

i i i i i e ++试求

()(

)

(

(

(()()()2(2)Ln 144

(2)4

ln32Ln32ln32ln1222Ln 21cos sin ,0,1,2,

3cos(ln 3)sin(ln 3),0,1,2,i i k k i i

i i k i i k i i k i k i k i i i i i e

e

e

e

i k e e e e i k i e e

e

ππ

πππ

πππππππ⎛⎫

⎛⎫+ ⎪

⎪-+++⎝⎭⎝

⎭-++-+-⎛⎫

⎛⎫++-+ ⎪

⎪⎝⎭⎝

⎭+====+=±±====+=±±===L L 解：()222,0,1,2,

cos1sin1.k i i k e e e e i π⎛⎫ ⎪⎝⎭

+=±±=⋅=+L

3. 计算 2,:122

c dz

c z z z =++⎰

(

)2

22

2220110,1,1,11,220,0

22

z z z z i z i z c z z z c z z ++=++=+==-+=≤++≠=++解：时，而在内，故在内解析，故原式 1.计算

221(1),21

c z z dz c z z -+=-⎰： ()

22

21

(2),21c

z z dz c z z -+=-⎰

：

（1）21

2(21)=4 z i z z i ππ==-+解：原式 （2）21

1

2(21)=2(41)

6z z i z z i z i πππ=='

=-+-=解：原式

. 计算2sin()

114,(1):1,(2):1,(3): 2.122

c z dz c z c z c z z π

+=-==-⎰其中

1

sin (1)sin 442.11c z z z z i i z z πππ=-⎡⎤-⎢⎥===⎢⎥+-⎢⎥

⎣⎦⎰解：(1)原式

1

sin (1)sin 442.112c z z z z i i z z πππ=⎡⎤+⎢⎥===⎢⎥-+⎢⎥

⎣⎦⎰(2)原式 12(3):2,1,11,.c z z z c c ===-以分别以为中心，为半径，做圆

1

222sin

sin

44.1122

c c z z

dz dz i i i z z π

π

=+=+=--⎰

⎰原式 3、将下列函数按()1-z 的幂级数展开，并指明收敛范围。