应用多元统计分析-第三章 多元正态分布

均值向量和协方差阵的估计
• 总体参数协方差阵Σ的极大似然估计 是
1 1 n ˆ m S (X (i) X)(X (i) X) n n i 1
ˆ 1 S n 1
方均 差值 阵向 的量 检和 验协
均值向量和协方差阵的检验
• 在一元统计中，对正态总体均值和方差检 验时常用的分布有：Z分布，t分布，F分布， X2分布。 • 那么对于多元正态总体的均值向量和协方 差阵的检验也会用到相应的分布： • X2分布 → Wishart（维希特）分布(p17) • t分布 → Hotelling T2分布(p23) • F分布 → Wilks分布(p27)
均值向量的检验
• 一元检验的回顾 • 设从总体 N(, 2中抽了一个样本，要检验假 ) 设
H 0 : 0 H 1 : 0
• 当 2已知时，用Z统计量和Z分布检验。 • 当 2 未知时，用t统计量和t分布检验。
均值向量的检验
• 多元均值检验 • 假设： H 0 :μ μ 0
第三章
多元正态分布
的多 基元 本分 概布 念
随机向量
• 我们所讨论的是多个变量的总体，所研究 的数据是同时观测p个指标（即变量），又 进行了n次观测得到的，常用向量表示：
X ( X 1，X 2， ，X P )
样品 变量
X1
X2
…
XP
1 2 n
x11 x21 xn1
x21 x22 xn2
… … …
xP1 xP2 xPn
随机向量
• 样本资料矩阵可用矩阵语言表达：
x11 x12 x1 p x x22 x2p 21 (X ，X ， ，X ) X 1 2 p xn1 xn2 xnp X(1) X (2) X(n)
•随机向量的密度函数
F(x) f( 1,, p) t1,,dtp t t d
x1 xp
一元正态分布
f x) ( 1 e 2
2 (x ) 2 2
， 〉 0
•均值是： 2 •方差是： •标准差是：
记为： N（， ）
2
多元正态分布
•多元正态分布的密度函数为
1 1 f x1, ,x p ) ( exp (x ) 1 x ) ( 1/ 2 p /2 2 （ ） 2
•均值向量是： •协方差阵是：
记为：X N p(,)
多元正态分布
多元正态分布
多元正态分布
分布函数与密度函数
• 随机变量的分布函数：
F ( x) P( X x)
•随机向量的分布函数
F ( x) F ( x1，x2， ，xP ) P( X 1 x1， X p x p )
分布函数与密度函数
• 随机变量的密度函数：
F ( x) f (t )dt
x
均值向量和协方差阵的估计
• 则总体参数均值μ的估计量是：
Xi1 X1 X X n 1 i2 2 ˆ X Xi n i1 Xip XP
即均值向量μ的估计量，就是样本均值向量
协方差阵的检验
• 又分为: • 两总体的协差阵相等的检验： • 多总体的协差阵相等的检验：
0
1 r
• 该检验可由SPSS软件的Multivariate中的 Box’s M 检验来完成。
Hale Waihona Puke Baidu
H 1 :μ μ 0
• 需要用T2统计量和T2分布来检验。只 不过已知协差阵 和未知协差阵 的T2统计量计算方法不同。
均值向量的检验
• 均值向量的检验又可分为： – 一个样本与已知总体均值向量的检验 – 两总体均值向量的检验 – 多总体均值向量的检验 • 以上的检验过程都可由SPSS软件中的 Multivariate来完成。
• 定理1
设X ~ N(μ，Σ)，则 E(X)=μ， D(X)=Σ
• 定理2
正态分布的条件分布仍为正态分
布
均值向量和协方差阵的估计
• 在实际问题中，通常可以假定被研究对象 是多元正态分布，但分布中的参数μ和Σ 是未知的，一般的做法是通过样本来估计。 • 设样本资料为：
x11 x12 x1 p x x22 x2p 21 (X ，X ， ，X ) X 1 2 p xn1 xn2 xnp X(1) X (2) X(n)