材料力学——第13章(能量法)
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3
2
A
V FP l 2 M e l A M e 2 EI EI
线弹性杆件或结构的应变能对于作用在杆件或 结构上的任一独立广义外力的偏导数等于该力相 应的广义位移。即
V i F Pi
证明如下： 第一种加载顺序
卡式第 二定理
设第一组荷载 F , F , F ,F , ， 作用在受支座约束无任何刚性位 移的线弹性结构上，这些荷载相 应的位移分别为 , , , ,
FP
解：
M 2 (s ) M ( s ) F R sin P V ds 2E I l 2 2 M ( ) ( FP R sin )2 Rd Rd 2E I 2E I 0 l 2 FP R 3 1 8 EI W FP BV 2
由V W，得：
4、组合变形杆
V FN ( x ) FN ( x ) M ( x ) M ( x ) T ( x ) T ( x ) i dx dx dx FPi l EA FPi EI FPi FPi l l GI P
2
★应变能和外力功是外力或者位移的二次函数，上
式不能视为叠加原理。
V
l
l
M 2( x ) dx 2E I
2
l
[ M 1 ( x ) M 2 ( x )] 2 dx 2E I
2
M1 ( x ) M2 ( x ) M 1 ( x )M 2 ( x ) dx dx dx 2E I 2E I EI l l
注意事项： ①V—整体结构在外荷载作用下的弹性应变能 ②Fpi—看成为变量，应变能表示为Fpi的函数 ③△i—为Fpi作用点方向的位移 ④当没有与△i对应的Fpi时，先加一沿△i方向的 Fpi，求偏导后，再令其为零
二、桁架、直梁、平面曲杆和组合变形杆件 的卡式第二定理表达式 2 m FNi l i 1、桁架 V i 1 2 EA i
FPi ij FQj ji
i 1 j 1
m
n
功互等定理
注意：式中力和位移为广义力和广义位移
二、位移互等定理
F
i 1
m
Pi
ij FQj ji
j 1
n
若力系FPi 和力系FQj 中各 自只有一个力则
FPi ij FQj ji
当 FPi FQj
2
FP2 l 3 FP M e l 2 M 2 e l 6 EI 2 EI 2 EI
★用内力功来计算应变能。
两种计算结果完全一致
【例13-2 】试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理 求自由端B的挠度。（EI为常数）
FP
解：
FP
M ( x ) FP x
2 3 l 2 M 2( x ) V dx ( FP x ) dx FP l 2E I l 6 EI 2E I 0 1 W FP B 2 与查挠度表或积分 FP l 3 由V W，得 B 法计算结果完全一 3 EI
FP2 2 1 EA 2
⑶计算A、C两点的相对位移
AC
V W
FP2 1 2 1 FP AC 2 EA 2
AC
FP l (2 2 ) ( 2 EA
)
§13-2 互等定理 一、功的互等定理
对于线弹性体，第一组力系在第二组力系引起的 位移上所做的功等于第二组力系在第一组力系引起 的位移上所做的功。
第13章 能量法及其应用
§13-1 应变能的计算 §13-2 互等定理 §13-3 卡式第二定理
§13-4 求解位移的单位荷载法（莫尔积分法）
§13-5 计算莫尔积分的图形互乘法 §13-6 能量法求解超静定问题简介
利用功能原理解决工程结构位移或杆件 变形等有关问题的方法,称为能量法
§13-1 应变能的计算
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在 体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称变形能(应变 能）。 物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上 等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即 F
P
1 V W FP 2
FP
单位： J，N.m l
FP
l l
FP
一、基本变形情况下杆件的应变能
1、轴向拉伸和压缩
1F l 1 V W FP l 2 EA 2 2 FN l 2 EA
2 F (x) 1 N V dx 2 l EA
2 P
FP l l EA
FP FP
l l
FP
2、扭转
T T
T
1 1 T l T l V W T T 2 2 G I p 2G I p 2 1 T (x) V dx 2 l 2G I p
§13-3 卡式第二定理 一、卡式定理的概念及证明
如图所示
FP l 3 M e l 2 A 3 EI 2 EI
2 P 3
FP l 2 M e l A 2 EI EI
2 2 2 F M l F l M el P e V 6 EI 2 EI 2 EI
V Mel FP l FP 3 EI 2 EI
二、克拉比隆定理
线弹性体 没有刚性位移 时刻保持平衡
线弹性体的应变能等于各广义 力与其相应的广义位移乘积之半 的总和。
V
i
1 1 1 F P i F p1 1 F p 2 2 2 2 2
三、组合变形 截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位 移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其 相应的位移做功。
FP
BV
FP R 3
4 EI
R
【例13-5 】试求图示正方形杆系结构的应变能，并求 A、C两点的相对位移。已知各杆的拉压刚度EA相同。 解： ⑴求各杆轴力
FNAB FNBC FNCD FNAD 2 FP 2
FNBD FP
⑵求整个结构应变能
2 F 2 Ni l i 2l F 2 NAB l FNAD V 4 2 EA 2 EA i 1 2 EA 5
致
【例13-3 】试求图示梁的变形能，并利用功能原理 求C截面的挠度。 （EI为常数）
FP
解：
V
l
FP b FP a x1 x2 M (x) a b dx l l d x dx 2 2E I 1 2E I 2E I 0 0
2
1 1 V W FP A M e A 2 2
FP2 l 3 FP M e l 2 M 2 e l 6 EI 2 EI 2 EI
方法二：按内力功计算
M ( x ) ( M e FP x )
V
l
[ ( M e F P x )] dx 2E I
V
l
FN ( x ) T (x) M (x) dx dx dx 2E A 2E I l 2G I p l
2 2
2
★对于以弯曲变形为主的杆件，因轴力和剪力远小
于弯矩的影响，所以计算时，通常不计轴力和剪力的 影响。
V
l
FN ( x ) T 2( x ) M 2( x ) dx dx dx 2E A 2E I l 2G I p l
FP 1 , FP 2 , FP 3 , FPi ,
1 ，功为 F Pi i 2
，弹性体应变能为
1 F Pi i V F Pi i 2
两次加载的应变能相等
V 1 V F Pi F Pi i V F Pi i F Pi 2 V 略去高阶微量后 i 卡式第 二定理 F Pi
若P1 P2 ，则得
位移互等定理:
12 21
考虑两种加载顺序： 一种是先加力系FPi ,后加力系FQi ，即P 一种是先加力系FQi ,后加力系FPi ，即Q Q； P；
( V )P Q ( V )Q P
n m 1 1 ( V )P Q FPi ii FQj jj FPi ij i 1 2 j 1 2 i 1 n m n 1 1 ( V )Q P FQj jj FPi ii FQj ji j 1 2 i 1 2 j 1 m
2
3、弯曲
l
M ( x )dx EI
1 ml m l M l 1 V W m m 2 E I 2E I 2E I 2 2 1 M (x) dx 横力弯曲： V 2 l EI
★对于一般实心截面的细长梁，它的剪切应变能远
纯弯曲：
2
2
小于其弯曲应变能，通常忽略不计。
m V FNi l i FNi i FPi i 1 EAi FPi
2、直梁 V
l
M 2( x ) dx EI
V M ( x ) M ( x ) i dx FPi l EI FPi
3、平面曲杆
V
S
M 2( s ) ds 2E I
V M ( s ) M ( s ) i ds FPi l EI FPi
★一般情况下，同一种力引起的应变能不能简单叠
加。组合变形应变能叠加是由于横截面内力仅在自身 产生的变形上做功，其应变能与其他内力引起的变形 无关。
【例13-1 】如图所示求梁的应变能
解：方法一：按外力功计算 根据变形表可查，
FP l 3 M e l 2 A 3 EI 2 EI
FP l 2 M e l A 2 EI EI
则
ij ji
位移互等定理
注意：式中力和位移为广义力和广义位移
【例13-6 】图示简支梁，力Fp作用在梁的中点C处， B截面的转角 F l ， 求在B截面作用 力偶矩Me时， 16 EI C点的挠度 C。
2 P B
解：根据功的互等定理，有
FP c M e B
M e FP l 2 M e l 2 C 16 EIFP 16 EI
P1 P2 P3 Pi 1 2 3 i
V f ( F P 1 , F P 2 , F P 3 , F P i , )
设上述诸力中任一力Fpi有增量Fpi(第二组力）， 其余各力增量为零，则应变能为
V V V V F Pi F Pi
第二种加载顺序 先作用 F Pi ， 位移 i 再作用
7 2 1 F l FP l 2 11 F 8 8 P l V 3 2 2 ( 2d ) (d ) 16Ed 2 2 E 2 E 4 4
所以
7 11 V 1 : V 2 : V 3 2 : : 8 16 7 11 1: : 16 32
结论：在荷载相同的情况下，杆件体积越大，杆内积 蓄的应变能越小
2
2
FP b a FP a b FP a 2 b 2 2 2 2 EI l 3 2 EI l 3 6 EI l
3 3
2
2
2
2
2
1 W FP C 2
由V W，得： 与查挠度表 FP a 2 b 2 或积分法计 算结果完全 C 3 EI l 一致
FP
【例13-4 】试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并 利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI 为常量。
[例13-1] 如图所示的三根圆截面拉杆，其支承、材料、 荷载、长度均相同，但直径的变化不同，试求三杆的 应变能比值。
解：对于1杆，有
F l 2F l V 1 2 2 EA1 Ed
2 N 2 P
对于2杆，有
2 P
对于3杆，有
2 P
3 2 1 F l FP l 2 7 F 4 4 P l V 2 2 2 ( 2d ) (d ) 8Ed 2 2 E 2 E 4 4
功的互等定理
iwk.baidu.comj
载荷作用点 位移发生点
先作用P1，后作用 P2，外力所作的功：
1 1 V P111 P2 22 P112 2 2
先作用 P2，后作用 P1，外力所作的功：
1 1 V P2 22 P111 P2 21 2 2
功的互等定理:
P1 12 P2 21
2
A
V FP l 2 M e l A M e 2 EI EI
线弹性杆件或结构的应变能对于作用在杆件或 结构上的任一独立广义外力的偏导数等于该力相 应的广义位移。即
V i F Pi
证明如下： 第一种加载顺序
卡式第 二定理
设第一组荷载 F , F , F ,F , ， 作用在受支座约束无任何刚性位 移的线弹性结构上，这些荷载相 应的位移分别为 , , , ,
FP
解：
M 2 (s ) M ( s ) F R sin P V ds 2E I l 2 2 M ( ) ( FP R sin )2 Rd Rd 2E I 2E I 0 l 2 FP R 3 1 8 EI W FP BV 2
由V W，得：
4、组合变形杆
V FN ( x ) FN ( x ) M ( x ) M ( x ) T ( x ) T ( x ) i dx dx dx FPi l EA FPi EI FPi FPi l l GI P
2
★应变能和外力功是外力或者位移的二次函数，上
式不能视为叠加原理。
V
l
l
M 2( x ) dx 2E I
2
l
[ M 1 ( x ) M 2 ( x )] 2 dx 2E I
2
M1 ( x ) M2 ( x ) M 1 ( x )M 2 ( x ) dx dx dx 2E I 2E I EI l l
注意事项： ①V—整体结构在外荷载作用下的弹性应变能 ②Fpi—看成为变量，应变能表示为Fpi的函数 ③△i—为Fpi作用点方向的位移 ④当没有与△i对应的Fpi时，先加一沿△i方向的 Fpi，求偏导后，再令其为零
二、桁架、直梁、平面曲杆和组合变形杆件 的卡式第二定理表达式 2 m FNi l i 1、桁架 V i 1 2 EA i
FPi ij FQj ji
i 1 j 1
m
n
功互等定理
注意：式中力和位移为广义力和广义位移
二、位移互等定理
F
i 1
m
Pi
ij FQj ji
j 1
n
若力系FPi 和力系FQj 中各 自只有一个力则
FPi ij FQj ji
当 FPi FQj
2
FP2 l 3 FP M e l 2 M 2 e l 6 EI 2 EI 2 EI
★用内力功来计算应变能。
两种计算结果完全一致
【例13-2 】试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理 求自由端B的挠度。（EI为常数）
FP
解：
FP
M ( x ) FP x
2 3 l 2 M 2( x ) V dx ( FP x ) dx FP l 2E I l 6 EI 2E I 0 1 W FP B 2 与查挠度表或积分 FP l 3 由V W，得 B 法计算结果完全一 3 EI
FP2 2 1 EA 2
⑶计算A、C两点的相对位移
AC
V W
FP2 1 2 1 FP AC 2 EA 2
AC
FP l (2 2 ) ( 2 EA
)
§13-2 互等定理 一、功的互等定理
对于线弹性体，第一组力系在第二组力系引起的 位移上所做的功等于第二组力系在第一组力系引起 的位移上所做的功。
第13章 能量法及其应用
§13-1 应变能的计算 §13-2 互等定理 §13-3 卡式第二定理
§13-4 求解位移的单位荷载法（莫尔积分法）
§13-5 计算莫尔积分的图形互乘法 §13-6 能量法求解超静定问题简介
利用功能原理解决工程结构位移或杆件 变形等有关问题的方法,称为能量法
§13-1 应变能的计算
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在 体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称变形能(应变 能）。 物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上 等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即 F
P
1 V W FP 2
FP
单位： J，N.m l
FP
l l
FP
一、基本变形情况下杆件的应变能
1、轴向拉伸和压缩
1F l 1 V W FP l 2 EA 2 2 FN l 2 EA
2 F (x) 1 N V dx 2 l EA
2 P
FP l l EA
FP FP
l l
FP
2、扭转
T T
T
1 1 T l T l V W T T 2 2 G I p 2G I p 2 1 T (x) V dx 2 l 2G I p
§13-3 卡式第二定理 一、卡式定理的概念及证明
如图所示
FP l 3 M e l 2 A 3 EI 2 EI
2 P 3
FP l 2 M e l A 2 EI EI
2 2 2 F M l F l M el P e V 6 EI 2 EI 2 EI
V Mel FP l FP 3 EI 2 EI
二、克拉比隆定理
线弹性体 没有刚性位移 时刻保持平衡
线弹性体的应变能等于各广义 力与其相应的广义位移乘积之半 的总和。
V
i
1 1 1 F P i F p1 1 F p 2 2 2 2 2
三、组合变形 截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位 移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其 相应的位移做功。
FP
BV
FP R 3
4 EI
R
【例13-5 】试求图示正方形杆系结构的应变能，并求 A、C两点的相对位移。已知各杆的拉压刚度EA相同。 解： ⑴求各杆轴力
FNAB FNBC FNCD FNAD 2 FP 2
FNBD FP
⑵求整个结构应变能
2 F 2 Ni l i 2l F 2 NAB l FNAD V 4 2 EA 2 EA i 1 2 EA 5
致
【例13-3 】试求图示梁的变形能，并利用功能原理 求C截面的挠度。 （EI为常数）
FP
解：
V
l
FP b FP a x1 x2 M (x) a b dx l l d x dx 2 2E I 1 2E I 2E I 0 0
2
1 1 V W FP A M e A 2 2
FP2 l 3 FP M e l 2 M 2 e l 6 EI 2 EI 2 EI
方法二：按内力功计算
M ( x ) ( M e FP x )
V
l
[ ( M e F P x )] dx 2E I
V
l
FN ( x ) T (x) M (x) dx dx dx 2E A 2E I l 2G I p l
2 2
2
★对于以弯曲变形为主的杆件，因轴力和剪力远小
于弯矩的影响，所以计算时，通常不计轴力和剪力的 影响。
V
l
FN ( x ) T 2( x ) M 2( x ) dx dx dx 2E A 2E I l 2G I p l
FP 1 , FP 2 , FP 3 , FPi ,
1 ，功为 F Pi i 2
，弹性体应变能为
1 F Pi i V F Pi i 2
两次加载的应变能相等
V 1 V F Pi F Pi i V F Pi i F Pi 2 V 略去高阶微量后 i 卡式第 二定理 F Pi
若P1 P2 ，则得
位移互等定理:
12 21
考虑两种加载顺序： 一种是先加力系FPi ,后加力系FQi ，即P 一种是先加力系FQi ,后加力系FPi ，即Q Q； P；
( V )P Q ( V )Q P
n m 1 1 ( V )P Q FPi ii FQj jj FPi ij i 1 2 j 1 2 i 1 n m n 1 1 ( V )Q P FQj jj FPi ii FQj ji j 1 2 i 1 2 j 1 m
2
3、弯曲
l
M ( x )dx EI
1 ml m l M l 1 V W m m 2 E I 2E I 2E I 2 2 1 M (x) dx 横力弯曲： V 2 l EI
★对于一般实心截面的细长梁，它的剪切应变能远
纯弯曲：
2
2
小于其弯曲应变能，通常忽略不计。
m V FNi l i FNi i FPi i 1 EAi FPi
2、直梁 V
l
M 2( x ) dx EI
V M ( x ) M ( x ) i dx FPi l EI FPi
3、平面曲杆
V
S
M 2( s ) ds 2E I
V M ( s ) M ( s ) i ds FPi l EI FPi
★一般情况下，同一种力引起的应变能不能简单叠
加。组合变形应变能叠加是由于横截面内力仅在自身 产生的变形上做功，其应变能与其他内力引起的变形 无关。
【例13-1 】如图所示求梁的应变能
解：方法一：按外力功计算 根据变形表可查，
FP l 3 M e l 2 A 3 EI 2 EI
FP l 2 M e l A 2 EI EI
则
ij ji
位移互等定理
注意：式中力和位移为广义力和广义位移
【例13-6 】图示简支梁，力Fp作用在梁的中点C处， B截面的转角 F l ， 求在B截面作用 力偶矩Me时， 16 EI C点的挠度 C。
2 P B
解：根据功的互等定理，有
FP c M e B
M e FP l 2 M e l 2 C 16 EIFP 16 EI
P1 P2 P3 Pi 1 2 3 i
V f ( F P 1 , F P 2 , F P 3 , F P i , )
设上述诸力中任一力Fpi有增量Fpi(第二组力）， 其余各力增量为零，则应变能为
V V V V F Pi F Pi
第二种加载顺序 先作用 F Pi ， 位移 i 再作用
7 2 1 F l FP l 2 11 F 8 8 P l V 3 2 2 ( 2d ) (d ) 16Ed 2 2 E 2 E 4 4
所以
7 11 V 1 : V 2 : V 3 2 : : 8 16 7 11 1: : 16 32
结论：在荷载相同的情况下，杆件体积越大，杆内积 蓄的应变能越小
2
2
FP b a FP a b FP a 2 b 2 2 2 2 EI l 3 2 EI l 3 6 EI l
3 3
2
2
2
2
2
1 W FP C 2
由V W，得： 与查挠度表 FP a 2 b 2 或积分法计 算结果完全 C 3 EI l 一致
FP
【例13-4 】试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并 利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI 为常量。
[例13-1] 如图所示的三根圆截面拉杆，其支承、材料、 荷载、长度均相同，但直径的变化不同，试求三杆的 应变能比值。
解：对于1杆，有
F l 2F l V 1 2 2 EA1 Ed
2 N 2 P
对于2杆，有
2 P
对于3杆，有
2 P
3 2 1 F l FP l 2 7 F 4 4 P l V 2 2 2 ( 2d ) (d ) 8Ed 2 2 E 2 E 4 4
功的互等定理
iwk.baidu.comj
载荷作用点 位移发生点
先作用P1，后作用 P2，外力所作的功：
1 1 V P111 P2 22 P112 2 2
先作用 P2，后作用 P1，外力所作的功：
1 1 V P2 22 P111 P2 21 2 2
功的互等定理:
P1 12 P2 21