频率特性的基本概念

N (s)R(s)

N (s)

Rm
(s p1)(s p2 )...(s pn ) (s p1)(s p2 )...(s pn ) (s j)(s j)
k1 k2 ... kn kc1 kc2
s p1 s p2
s pn s j s j
是频率的函数。
频率响应: 线性系统对正弦输入信号的稳态响应。
一个稳定的线性定常系统，在正弦信号的作用下，稳 态时输出仍是一个与输入同频率的正弦信号，且稳态输出 的幅值与相位是输入正弦信号频率的函数。
Rm sin t
A()Rm sin(t ())
线性定常系统 G(s)
r（t） Css（t）
j)
kc2

C(s)(s

j)
|s j

G(s)
Rm(s j) (s j)(s j)
s j

RmG( j)
2j
而 G( j) G(s) |s j | G( j) | e jG( j) A()e j()
G( j) G(s) |s j | G( j) | e jG( j) A()e j()
2、频率特性的复数表示方法
系统的频率特性为正弦输入信号作用下稳态输出与输入的复数 比，表示为：
G( j) A()e j()
A() G( j) : 输出信号的幅值与输入信号的幅值之比，称为幅频特性； () G( j) : 输出信号的相位与输入信号的相位之差，称为相频特性；
第五章
频率特性法
1、问题的提出
对于一阶、二阶系统,控制系统的时域分析法可以 快速、直接地求出输出的时域表达式、绘制出响应曲 线，从而利用时域指标直接评价系统的性能。因此， 时域法具有直观、准确的优点。
然而，工程实际中有大量的高阶系统，要通过时 域法求解高阶系统在外输入信号作用下的输出表达式 是相当困难的。此外，在需要改善系统性能时，采用 时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。
的传递函数为G(s)。
G(s) C(s)
N (s)
R(s) (s p1)(s p2 )...(s pn )
式中， p j , j 1, 2,..., n 为极点。
若：r(t)
Rm
sin t, 则R(s)

Rm s2 2

(s
Rm j)(s
j)
则： C(s)
t

线性系统及频率响应示意图
频率响应的特点
（1）频率响应是和输入正弦信号同频率的正弦量；
（2）频率响应的振幅与输入信号振幅的关系是A(ω)； （3）频率响应与输入信号的相位差是φ(ω)。
5.1.2 频率特性
1、频率特性的定义
线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输 入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化时，系统 稳态输出与输入信号的幅值比A(ω)与相位差φ(ω)随 输入频率变化而呈现的变化规律为系统的频率特性。
2、问题的解决
在工程实践中, 往往并不需要准确地计算系统 响应的全部过程，而是希望避开繁复的计算，简单、 直观地分析出系统结构、参数对系统性能的影响。 因此，主要采用两种简便的工程分析方法来分析系 统性能，这就是根轨迹法与频率特性法，本章将详 细介绍控制系统的频率特性法。
控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性（元件或 系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）来分析系统性能的方 法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性等， 是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控制理论的核心内 容。
C(s) k1 k2 ... kn kc1 kc2
s p1 s p2
s pn s j s j
拉氏反变换为：
c(t) k1e p1t k2e p2t ... kne pnt kc1e jt kc2e jt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 t ，即稳态时：
4、本章主要研究内容
5.1 频率特性的基本概念 5.2 幅相频率特性及其绘制 5.3 对数频率特性及其绘制 5.4 奈奎斯特稳定判据 5.5 控制系统的相对稳定性
5.1
频率特性的基本概念
考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应 来分析系统的动态性能和稳态性能。
有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并 不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率 由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。 因此，这种响应也叫频率响应。
式中：Rm 、Cm分别为输入输出信号的幅值。
上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，它的稳态响应是
一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入不同之处仅在于幅值和相位。其
幅值放大了 A() | G( j) |倍，相位移动了() G( j) 。 A()和 () 都
e p1t 0，e p2t 0，，e pnt 0
cs (t ) kc1e jt kc2e jt 式中，kc1, kc2 分别为：
kc1
C(s)(s

j) |s j
G(s)
Rm(s j) (s j)(s j)
s j


RmG( 2j
频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样间接地表示 了系统的特性。频率响应法是分析和设计系统的一个既方便又 有效的工具。
Tuesday, December 10,
6
2019
5.1.1 频率响应的定义
系统的频率特性定义为系统在正弦作用下稳态响应的振幅、 相位与所加正弦作用的频率之间的依赖关系。
对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和c(t)，系统
kc1


Rm 2j
A()e j ()，kc2

Rm 2j
A()e j ()
cs (t)
kc1e jt
kc2e jt

A( ) Rm
e e j (t ( ))
j (t ( ))
2j
A()Rm sin(t ()) Cm sin(t ())