勾股定理竞赛试卷含解答.pdf
九年级数学物理竞赛试卷【含答案】
九年级数学物理竞赛试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个选项是勾股定理的表达式？A. a² + b² = c²B. a² b² = c²C. a² + b² + c² = 0D. a² b² c² = 02. 下列哪个选项是牛顿第一定律的表达式？A. F = maB. F = mvC. F = mgD. F = m²3. 下列哪个选项是欧姆定律的表达式？A. V = IRB. V = VRC. V = IR²D. V = I/R4. 下列哪个选项是光的反射定律的表达式？A.入射角 = 反射角B.入射角 + 反射角= 180°C.入射角反射角= 180°D.入射角= 0°5. 下列哪个选项是阿基米德原理的表达式？A. F = mgB. F = maC. F = GD. F = Buoyancy二、判断题（每题1分，共5分）1. 勾股定理只适用于直角三角形。
（）2. 牛顿第一定律也被称为惯性定律。
（）3. 欧姆定律描述的是电压、电流和电阻之间的关系。
（）4. 光的反射定律说明反射光线、入射光线和法线在同一平面内。
（）5. 阿基米德原理描述的是物体在液体中受到的浮力等于其排开的液体重量。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 勾股定理的表达式是：______ = c²。
2. 牛顿第一定律的表达式是：______ = 0。
3. 欧姆定律的表达式是：______ = IR。
4. 光的反射定律的表达式是：______ = 反射角。
5. 阿基米德原理的表达式是：______ = Buoyancy。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要说明勾股定理的应用场景。
2. 请简要说明牛顿第一定律的意义。
勾股定理练习题及标准答案(共6套)
勾股定理课时练（1）1.在直角三角形 ABC 中，斜边 AB=1 ，则 AB 2BC 2AC 2的值是（）A.2B.4C.6D.82.如图 18－2－ 4 所示 ,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥ BC，斜腰 DC 的长为10 cm，∠ D=120°，则该零件另一腰 AB 的长是 ______ cm（结果不取近似值） .3.直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为 _______．4.一根旗杆于离地面12 m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16 m，旗杆在断裂之前高多少m ？5. 如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米 .3m“路”4m第5题图第2题图6. 飞机在空中水平飞行, 某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000 米处 , 过了 20 秒, 飞机距离这个男孩头顶 5000 米, 求飞机每小时飞行多少千米 ?7.如图所示，无盖玻璃容器，高 18 cm，底面周长为 60 cm，在外侧距下底 1 cm的点 C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口 1 cm的 F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度 .8.一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm， AB=4cm，BD=12cm。
求 CD的长 .9.如图，在四边形 ABCD中，∠ A=60°，∠ B=∠ D=90°， BC=2，CD=3，求 AB 的长 .10. 如图，一个牧童在小河的南4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋B 第的西7 8km题图北 7km处，第 8题图. 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家11 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m, 长 13m，宽2m 的楼道上铺地毯 , 已知地毯平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼第9题图道至少需要多少元钱 ?12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻13m5m 找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为 15 千米．早晨 8：00甲先出发，他以 6 千米 / 时的第 11题速度向东行走， 1 小时后乙出发，他以 5 千米 / 时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还第一课时答案：1.A ，提示：根据勾股定理得BC2AC21，所以 AB2BC 2AC 2=1+1=2 ；2.4 ，提示：由勾股定理可得斜边的长为 5 m ，而 3+4-5=2 m ，所以他们少走了4 步.3.60 ，提示：设斜边的高为 x ，根据勾股定理求斜边为12252169 13 ，再利13用面积法得，15 12 1 13 x, x60 ； 2 2134. 解：依题意， AB=16 m ， AC=12 m ，在直角三角形 ABC 中 ,由勾股定理 ,BC 2 AB 2AC 2162 122202,所以 BC=20 m ,20+12=32( m ), 故旗杆在断裂之前有 32 m 高.5.86. 解: 如图 , 由题意得 ,AC=4000 米 , ∠C=90° ,AB=5000 米 , 由勾股定理得BC=50002 400023000 ( 米 ),3所以飞机飞行的速度为540( 千米 / 小时 )2036007. 解：将曲线沿 AB 展开，如图所示，过点 C 作 CE ⊥ AB 于 E.在Rt CEF , CEF 90 ， EF=18-1-1=16 （ cm ），1CE= 30(cm) ，2. 60CE2EF230 2 16 234( )由勾股定理，得 CF=8. 解：在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理，得22222在直角三角形 CBD 中，根据勾股定理，得 2222CD=BC+BD=25+12 =169，所以 CD=13.9. 解：延长 BC 、AD 交于点 E. （如图所示）∵∠ B=90°，∠ A=60°，∴∠ E=30°又∵ CD=3，∴ CE=6，∴ BE=8， 设 AB=x ，则 AE=2x ，由勾股定理。
勾股定理综合难题 附答案(超好 打印版)
C B ADEF 练习题之答禄夫天创作时间：二O 二一年七月二十九日1 如图,圆柱的高为10 cm,底面半径为2 cm.,在下底面的A 点处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处,需要爬行的最短路程是几多?2 如图,长方体的高为3 cm,底面是边长为 2 cm 的正方形. 现有一小虫从极点A 动身,沿长方体正面达到极点C 处,小虫走的路程最短为几多厘米?谜底AB=53、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点,那么它所行的最短路线的长是_____________. 4、如图,小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸,已知该纸片宽AB为8cm,•长BC•为10cm ．当小红折叠时,极点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想,此时EC 有多长？•5．如图,将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠,使C 点与A 点重合,则EB 的长是（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．56．已知：如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AB的垂直平分线交BC 于D,垂足为B C A B ’C ’ B ′A ′ C ′ DE,D=4cm ．求AC 的长．7、如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使其落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 的长为8、如图,在矩形ABCD 中,,6=AB 将矩形ABCD 折叠,使点B 与点D 重合,C 落在C '处,若21：：=BE AE ,则折 痕EF 的长为 .9、如图,已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点,现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折,使DC 落在对角线DB 上,则EB∶CE ＝_________．10、如图,AD 是△ABC 的中线,∠ADC＝45o ,把△ADC 沿AD 半数,点C 落在C´的位置,若BC ＝2,则BC´＝_________．11．如图1,有一块直角三角形纸片,两直角边AC ＝6cm,BC ＝8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 即是（ ）A.2cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm 12、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AEE 题5图F BC ′ B A CD A CD A C BE 图1D CD重合,你能求出CD 的长吗？13、如图,在△ABC 中,∠B= 90,AB=BC=6,把△ABC 进行折叠,使点A 与点D 重合,BD:DC=1:2,折痕为EF,点E 在AB 上,点F 在AC 上,求EC 的长.14．已知,如图长方形ABCD 中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF,则△ABE 的面积为（ ）A 、6cm 2B 、8cm 2C 、10cm 2D 、12cm 215．如图,使点D 与点B 重合,已知AB ＝3,AD ＝9,求16、如图,每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD 的面积.17、如图,已知：在ABC ∆中,︒=∠90ACB ,分别以此直角三角形的三边为直径画半圆,试说明图中阴影部份的面积与直角三角形的面积相等．18．如图8,有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够年夜的直角三角板 PHF 的直角极点P 落在AD 边上(不与A 、D 重合),在AD 上适当移动三角板极点P ：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能,请你求出这时 AP 的长；若不能,请说明理由．②再次移动三角板位置,使三角板极点P 在AD 上移动,直角边PH 始终通过点B,另一直角边PF 与DC 的延长线交于点Q,与BC 交于点E,能否使CE ＝2cm ？若能,图8 A D B C E F F 第11题请你求出这时AP 的长；若不能,请你说明理由．21．①能.设AP ＝x 米,由于BP 2＝16+x 2,CP 2＝16+(10－x)2,而在Rt△PBC 中,有BP 2+ CP 2＝BC 2,即16+x 2+16+(10－x)2＝100,所以x 2－10x+16＝0,即(x －5)2＝9,所以x －5＝±3,所以x ＝8,x ＝2,即AP ＝8或2,②能.仿照①可求得AP ＝4.19.如图△ABC 中,BC BM AC AN BC AC ACB ====︒=∠,,5,12,90则MN= 420、※直角三角形的面积为S ,斜边上的中线长为d ,则这个三角形周长为（ ）（A 2d （B d（C ）2d （D ）d 解:设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d =,12S ab =. 由勾股定理,得222a b c +=. 所以()222222444a b a ab b c S d S +=++=+=+.所以a b +=所以a b c ++=2d .故选（C ）21※．在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个分歧的点122006,,P P P ,记()21,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅=,则122006m m m ++=_____.22※．如图所示,在Rt ABC ∆中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒,且3BD =,4CE =,求DE 的长..23、如图,在△ABC 中,AB=AC=6,P 为BC 上任意一点,请用学过的知识试求PC ·PB+PA 2的值.24、※如图在Rt △ABC 中,3,4,90==︒=∠BC AC C ,在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形.如图所示： 要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图分歧的拼接方法,在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图,确定后再用0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）25．如图,A 、B 两个村庄在河CD 的同侧,A 、B 两村到河的距离分别为AC=1km,BD=3km,CD=3km,现在河边CD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水,铺设水管的费用为20000元/千米,请你在CD 选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用F.26．已知：如图,△ABC 中,∠C = 90°,点O 为△ABC 的三条角是 cm27．（8分）如图,在△ABC 中,AB=AC,P 为BC 上任意一点,请说明：AB 2－AP 2=PB ×PC. 28、如图,已知：︒=∠90C ,CM AM =,AB MP ⊥于P ．求证：222BC AP BP +=．A B PC C O A BD E F 第26题图 第28题29．（本题满分6分）如图,一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马,而他正位于他的小屋B 的西8km北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是几多？ 30. （本题满分6分）如图所示,一个上方是一个半圆,下方是长方形的仿古通道,装满家具后,高4米,宽2.8米,请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.31．在一棵树的10米高B 处有两只猴子,树20米处的水池的A 处；另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高几多米?32．在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,一阵风吹来,红莲移到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,求这里的水深是几多米?33．长为 4 m 的梯子搭在墙上与空中成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了______m ．34．已知：如图,△ABC 中,∠C ＝90°,D 为AB 的中点,E 、F 分别在AC 、BC 上,且DE ⊥DF ．求证：AE 2＋BF 2＝EF 2． 35．已知：如图,在正方形ABCD 中,F 为DC 的中点,E 为CB 的四等小河分点且CE ＝CB 41,求证：AF ⊥FE ．36．已知△ABC 中,a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338,试判定△ABC的形状,并说明你的理由．37．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边,且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4,试判断三角形的形状．38．如图,长方体的底面边长分别为1cm 和3cm,高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过四个正面环绕纠缠一圈达到点B,那么所用细线最短需要多长?如果从点A 开始经过四个正面环绕纠缠n 圈达到点B,那么所用细线最短需要多长?39、a 、b 为任意正数,且a>b,求证：边长为2ab 、 a 2－b 2、a 2+b 2的三角形是直角三角形40. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) （A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形（C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形.41.（12分）如图,某沿海开放城市A 接到台风警报,在该市正南方向100km 的B 处有一台风中心,沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移动,已知城市A 到BC 的距离AD=60km,那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？A BCD 第24题图42.（14分）△ABC 中,BC a =,AC b =,AB c =,若∠C=90°,如图（1）,根据勾股定理,则222c b a =+,若△ABC 不是直角三角形,如图（2）和图（3）,请你类比勾股定理,试猜想22b a +与2c 的关系,并证明你的结论.. 解：若△ABC 是锐角三角形,则有a 2+b 2>c 2若△ABC 是钝角三角形,∠C 为钝角,则有a 2+b 2<c 2当△ABC 是锐角三角形时,证明：过点A 作AD⊥CB,垂足为D.设CD 为x,则有DB=a －x 根据勾股定理得 b 2－x 2＝c 2―(a―x) 2即 b 2－x 2＝c 2―a 2＋2ax―x 2∴a 2＋b 2＝c 2＋2ax∵a>0,x>0∴2ax>0∴a 2+b 2>c 2 当△ABC 是钝角三角形时,43．（10分）如图,A 市气象站测得台风中心在A 市正西方向300千米的B 处,以107 千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动,距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域．（1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A 市受这次台风影响,那么受台风影响的时间有多长？44、将一根24cm 的筷子,置于底面直径为15cm,高8cm 的圆柱形水杯中,如图所示,设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h 的取值范围是（ ）．A ．h ≤17cmB ．h ≥8cmC ．15cm ≤h ≤16cmD．7cm≤h≤16cm45如图,已知：,,于P. 求证：.46【变式2】已知：如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求：四边形ABCD的面积.47【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,经常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决．49、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5．求线段EF的长.50 如图,在等腰△ABC中,∠ACB=90°,D、E为斜边AB上的点,且∠DCE=45°.求证：DE2=AD2+BE2.51 如图,在△A BC中,AB=13,BC=14,A C=15,则BC边上的高 A D= .52 如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠,点D落在点E处,则重叠部份△AFC的面积是.53 在△ABC中,AB=15 ,AC=20,BC边上的高A D=12,试求BC边的长.54 在△ A BC中,D是BC所在直线上一点,若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17,求△ABC的面积.55. 若△ABC三边a、b、c 满足 a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c,△ABC是直角三角形吗？为什么？56. 在△ABC中,BC=1997,AC=1998,AB2=1997+1998,则△ABC是否为直角三角形？为什么？注意BC、AC、AB的年夜小关系.AB＜BC＜AC.AB2+BC2=1997+19972+1998=1997×（1+1997）+1998=1997×1998+1998=19982= AC2.57. 一只蚂蚁在一块长方形的一个极点A处,一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的极点C1处,如图,已知长方形长6cm,宽5 cm,高3 cm.蜘蛛因急于捉到苍蝇,沿着长方形的概况向上爬,它要从A点爬到C1点,有很多路线,它们有长有短,蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去,所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？58.木箱的长、宽、高分别为40dm 、30dm 和50dm,有一70dm 的木棒,能放进去吗？请说明理由.59. 已知△ABC 的三边a 、b 、c,且a+b=17,ab=60,c=13, △ABC 是否是直角三角形？你能说明理由吗？60. 如图,E 是正方形ABCD 的边CD 的中点,延长AB 到F,使BF=41AB,那么FE 与FA 相等吗？为什么？61. 如图,∠A=60°, ∠B=∠D=90°.若BC=4,CD=6,求AB 的长.62．如图,∠xoy=60°,M 是∠xoy 内的一点,它到ox 的距离MA 为2.它到oy 的距离为11.求OM 的长.带谜底版的用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中,所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中,所以.方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形.在（3）—1中,甲的面积=（年夜正方形面积）—（4个直角三角形面积）, 在（3）—2中,乙和丙的面积和=（年夜正方形面积）—（4个直角三角形面积）, 所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即：.方法四：如图（4）所示,将两个直角三角形拼成直角梯形.C B ADEF ,所以.练习题1 如图,圆柱的高为10 cm,底面半径为2 cm.,在下底面的A 点处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处,需要爬行的最短路程是几多?2 如图,长方体的高为3 cm,底面是边长为 2 cm 的正方形. 现有一小虫从极点A 动身,沿长方体正面达到极点C 处,小虫走的路程最短为几多厘米?谜底AB=53、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点,那么它所行的最短路线的长是_____________. 4、如图,小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸,已知该纸片宽AB为8cm,•长BC•为10cm ．当小红折叠时,极点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想,此时EC 有多长？•5．如图,将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠,使C 点与A 点重合,则EB 的长是（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．56．已知：如图,在△ABC 中,∠C=90°,B C A B ’C ’ B ′A ′ C ′ D∠B=30°,AB的垂直平分线交BC 于D,垂足为E,D=4cm ．求AC 的长．7、如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使其落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 的长为8、如图,在矩形ABCD 中,,6=AB 将矩形ABCD 折叠,使点B 与点D 重合,C 落在C '处,若21：：=BE AE ,则折 痕EF 的长为 .9、如图,已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点,现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折,使DC 落在对角线DB 上,则EB∶CE ＝_________．10、如图,AD 是△ABC 的中线,∠ADC＝45o ,把△ADC 沿AD 半数,点C 落在C´的位置,若BC ＝2,则BC´＝_________．11．如图1,有一块直角三角形纸片,两直角边AC ＝6cm,BC ＝8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 即是（ ）A.2cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm 12、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角E 题5图F BC ′ B A CD A CD A C BE 图1D边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？13、如图,在△ABC 中,∠B= 90,AB=BC=6,把△ABC 进行折叠,使点A 与点D 重合,BD:DC=1:2,折痕为EF, 点E 在AB 上,点F 在AC 上,求EC 的长.14．已知,如图长方形ABCD 中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF,则△ABE 的面积为（ ）A 、6cm 2B 、8cm 2C 、10cm 2D 、12cm 215．如图,使点D 与点B 重合,已知AB ＝3,AD ＝9,求16、如图,每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD 的面积.17、如图,已知：在ABC ∆中,︒=∠90ACB ,分别以此直角三角形的三边为直径画半圆,试说明图中阴影部份的面积与直角三角形的面积相等．18．如图8,有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够年夜的直角三角板 PHF 的直角极点P 落在AD 边上(不与A 、D 重合),在AD 上适当移动三角板极点P ：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能,请你求出这时 AP 的长；若不能,请说明理由．②再次移动三角板位置,使三角板极点P 在AD 上移动,直角边PH 始终通过点B,另一直角边PF 与DC 的延长图8 A D B C E F F 第11题线交于点Q,与BC 交于点E,能否使CE ＝2cm ？若能,请你求出这时AP 的长；若不能,请你说明理由．21．①能.设AP ＝x 米,由于BP 2＝16+x 2,CP 2＝16+(10－x)2,而在Rt△PBC 中,有BP 2+ CP 2＝BC 2,即16+x 2+16+(10－x)2＝100,所以x 2－10x+16＝0,即(x －5)2＝9,所以x －5＝±3,所以x ＝8,x ＝2,即AP ＝8或2,②能.仿照①可求得AP ＝4.19.如图△ABC 中,BC BM AC AN BC AC ACB ====︒=∠,,5,12,90则MN= 420、※直角三角形的面积为S ,斜边上的中线长为d ,则这个三角形周长为（ ）（A 2d （B d（C ）2d （D ）d 解:设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d =,12S ab =. 由勾股定理,得222a b c +=. 所以()222222444a b a ab b c S d S +=++=+=+.所以a b +=所以a b c ++=2d .故选（C ） 21※．在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个分歧的点122006,,P P P ,记()21,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅=,则122006m m m ++=_____.解:如图,作AD BC ⊥于D ,因为1AB AC ==,则BD CD =.由勾股定理,得222222,AB AD BD AP AD PD =+=+.所以所以2221AP BP PC AB +⋅==. 因此2122006120062006m m m ++=⨯=.22※．如图所示,在Rt ABC ∆中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒,且3BD =,4CE =,求DE 的长.解:如右图：因为ABC ∆为等腰直角三角形,所以45ABD C ∠=∠=︒. 所以把AEC ∆绕点A 旋转到AFB ∆,则AFB AEC ∆≅∆.所以4,,45BF EC AF AE ABF C ===∠=∠=︒.连结DF . 所以DBF ∆为直角三角形.由勾股定理,得222222435DF BF BD =+=+=.所以5DF =.因为45,DAE ∠=︒所以45DAF DAB EAC ∠=∠+∠=︒.所以()ADE ADF SAS ∆≅∆. 所以5DE DF ==.23、如图,在△ABC 中,AB=AC=6,P 为BC 上任意一点,请用学过的知识试求PC ·PB+PA 2的值.24、※如图在Rt △ABC 中,3,4,90==︒=∠BC AC C ,在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形.如图所示： 要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图分歧的拼接方法,在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图,确定后再用0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）A B PC解：要在Rt △ABC 的外部接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形,关键是腰与底边简直定.要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长,这需要用到勾股定理知识.下图中的四种拼接方法供参考.25．如图,A 、B 两个村庄在河CD 的同侧,A 、B 两村到河的距离分别为AC=1km,BD=3km,CD=3km,现在河边CD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水,铺设水管的费用为20000元/千米,请你在CD 选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用F.26．已知：如图,△ABC 中,∠C = 90°,点O 为△ABC 的三条角是 cm27．（8分）如图,在△ABC 中,AB=AC,P 为BC 上任意一点,请说明：AB 2－AP 2=PB ×PC. 28、如图,已知：︒=∠90C ,CM AM =,AB MP ⊥于P ．求证： 222BC AP BP +=．29．（本题满分6分）如图,一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马,而他正位于他的小屋B 的西8km北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完C O A BD E F 第26题图 第28题小河成这件事情所走的最短路程是几多？30. （本题满分6分）如图所示,一个上方是一个半圆,下方是长方形的仿古通道,装满家具后,高4米,宽2.8米,请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.31．在一棵树的10米高B 处有两只猴子,树20米处的水池的A 处；另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高几多米?32．在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,一阵风吹来,红莲移到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,求这里的水深是几多米?33．长为 4 m 的梯子搭在墙上与空中成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了______m ．34．已知：如图,△ABC 中,∠C ＝90°,D 为AB 的中点,E 、F 分别在AC 、BC 上,且DE ⊥DF ．求证：AE 2＋BF 2＝EF 2．35．已知：如图,在正方形ABCD 中,F 为DC 的中点,E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41,求证：AF ⊥FE ．36．已知△ABC 中,a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338,试判定△ABC的形状,并说明你的理由．37．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边,且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4,试判断三角形的形状．38．如图,长方体的底面边长分别为1cm 和3cm,高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过四个正面环绕纠缠一圈达到点B,那么所用细线最短需要多长?如果从点A 开始经过四个正面环绕纠缠n 圈达到点B,那么所用细线最短需要多长?39、a 、b 为任意正数,且a>b,求证：边长为2ab 、 a 2－b 2、a 2+b 2的三角形是直角三角形40. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) （A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形（C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形.41.（12分）如图,某沿海开放城市A 接到台风警报,在该市正南方向100km 的B 处有一台风中心,沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移 动,已知城市A 到BC 的距离AD=60km,那么台风中心经过多长时 间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？42.（14分）△ABC 中,BC a =,AC b =,AB c =,若∠C=90°,如图（1）,根据勾股定理,则222c b a =+,若△ABC 不是直角三角形,如图（2）和图（3）,请你类比勾股定理,试猜想22b a +与2c 的关系,并证明你的结论.. 解：若△ABC 是锐角三角形,则有a 2+b 2>c 2若△ABC 是钝角三角形,∠C 为钝角,则有a 2+b 2<c 2A BCD 第24题图当△ABC是锐角三角形时,证明：过点A作AD⊥CB,垂足为D.设CD为x,则有DB=a－x根据勾股定理得 b2－x2＝c2―(a―x) 2即 b2－x2＝c2―a2＋2ax―x 2∴a2＋b2＝c2＋2ax∵a>0,x>0∴2ax>0∴a2+b2>c2 当△ABC是钝角三角形时, 43．（10分）如图,A市气象站测得台风中心在A市正西方向300千米的B处,以107千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动,距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域．（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A市受这次台风影响,那么受台风影响的时间有多长？44、将一根24cm的筷子,置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水杯中,如图所示,设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm45如图,已知：,,于P. 求证：.思路点拨: 图中已有两个直角三角形,可是还没有以BP为边的直角三角形. 因此,我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样,实际上就获得了4个直角三角形. 那么根据勾股定理,可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结BM,根据勾股定理,在中,. 而在中,则根据勾股定理有. ∴又∵（已知）,∴.在中,根据勾股定理有, ∴.46【变式2】已知：如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求：四边形ABCD的面积.分析：如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单.解析：延长AD、BC交于 E. ∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°.∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==.∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE==.∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=47【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【谜底】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥ＡＢ, 与空中交于H．解：OC＝1米(年夜门宽度一半), OD＝0.8米（卡车宽度一半）在Rt△OCD中,由勾股定理得：CD＝＝＝０.６米, CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门．48、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN＝30°,点A 处有一所中学,AP＝160m.假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响？请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为几多秒？思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响,年夜于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度.（2）要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程.因此必需找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校.解析：作AB⊥MN,垂足为 B.在 RtΔABP中,∵∠ABP＝90°,∠APB＝30°, AP＝160,∴ AB＝AP＝80. （在直角三角形中,30°所对的直角边即是斜边的一半）∵点A到直线MN的距离小于100m,∴这所中学会受到噪声的影响.如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC＝100(m), 由勾股定理得： BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60.同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD ＝100(m),BD＝60(m),∴CD＝120(m).拖拉机行驶的速度为: 18km/h＝5m/st＝120m÷5m/s＝24s.答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24秒. （一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,经常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决．49、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5．求线段EF的长.思路点拨：现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,无妨先连接AD．解：连接AD．因为∠BAC=90°,AB=AC．又因为AD为△ABC的中线,所以AD=DC=DB．AD⊥BC．且∠BAD=∠C=45°．因为∠EDA+∠ADF=90°．又因为∠CDF+∠ADF=90°．所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFD（ASA）．所以AE=FC=5．同理：AF=BE=12．在Rt△AEF中,根据勾股定理得：,所以EF=13.总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题,我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.50 如图,在等腰△ABC 中,∠ACB=90°,D 、E 为斜边AB 上的点,且∠DCE=45°.求证：DE 2=AD 2+BE 2.分析：利用全等三角形的旋转变换,进行边角的全等变换,将边转移到一个三角形中,并构造直角三角形.51 如图,在△A BC 中,AB=13,BC=14,A C=15,则BC 边上的高 AD= .谜底12.52 如图,长方形ABCD 中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC 折叠,点D 落在点E 处,则重叠部份△AFC 的面积是.设EF=x,那么AF=CF=8-x,AE^2+EF^2=AF^2,所以4^2+x^2=(8-x)^2,解得x=3,S=4*8/2-3*4/2=10谜底：1053 在△ABC 中,AB=15 ,AC=20,BC 边上的高A D=12,试求BC 边的长.谜底25或754 在△ A BC 中,D 是BC 所在直线上一点,若DAB=l0,BD=6,AD=8,AC=17,求△ABC的面积.谜底84或3655. 若△ABC三边a、b、c 满足 a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c,△ABC是直角三角形吗？为什么？56. 在△ABC中,BC=1997,AC=1998,AB2=1997+1998,则△ABC是否为直角三角形？为什么？注意BC、AC、AB的年夜小关系.AB＜BC＜AC.AB2+BC2=1997+19972+1998=1997×（1+1997）+1998=1997×1998+1998=19982= AC2.57. 一只蚂蚁在一块长方形的一个极点A处,一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的极点C1处,如图,已知长方形长6cm,宽5 cm,高3 cm.蜘蛛因急于捉到苍蝇,沿着长方形的概况向上爬,它要从A点爬到C1点,有很多路线,它们有长有短,蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去,所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？58.木箱的长、宽、高分别为40dm、30dm和50dm,有一70dm的木棒,能放进去吗？请说明理由.59. 已知△ABC的三边a、b、c,且a+b=17,ab=60,c=13, △ABC是否是直角三角形？你能说明理由吗？谜底：是直角三角形.（平方差公式的灵活运用）ab b a b a 2)(222-+=+=2216960217c ==⨯-.60. 如图,E 是正方形ABCD 的边CD 的中点,延长AB 到F,使BF=41AB,那么FE 与FA 相等吗？为什么？61. 如图,∠A=60°, ∠B=∠D=90°.若BC=4,CD=6,求AB 的长.62．如图,∠xoy=60°,M 是∠xoy 内的一点,它到ox 的距离MA 为2.它到oy 的距离为11.求OM 的长.过点Ｄ作ＦＥ⊥ＢＣ,交ＢＣ的延长线于点Ｅ,交ＢＣ的平行线ＡＦ于Ｆ点.ＡＢ＝ＥＦ,ＤＥ＝33,ＣＥ＝３（在直角三角形中,３０°角所对的边＝斜边的一半）, ∴ＡＦ＝ＢＥ＝７.在Ｒt △ＡＤＦ中,ＦＤ＝337373==AF∴ＡB=DE+FD=331633733=+谜底. 延长ＡＭ交oy 于Ｍ′,ＭＭ′＝２２ ∴ＡＭ′＝２４ＯＢ＝ＯＭ′－Ｍ′Ｂ ＝35311316=-∴在Ｒt △ＯＭＢ中,ＯＭ＝1422=+BM OB。
(完整版)勾股定理练习题(附答案)
勾股定理评估试卷(1)、选择题(每小题3分，共30 分)1.直角三角形一直角边长为12,另两条边长均为自然数，则其周长为().(A) 30(B) 28 (C) 56 (D) 不能确定2.直角三角形的斜边比一直角边长 2 cm,另一直角边长为 6 cm.则它的斜边长(A) 4 cm (B) 8 cm (C) 10 cm (D) 12 cm3.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是(4.5.6.7.8. (A) 25(B) 14(C) 7 (D) 7或25等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为()(A) 13 (B) 8 (C) 25 (D)64五根小木棒,正确的是(其长度分别为15，20，24,25,现将他们摆成两个直角三角形，其中(A)7242520^5(C)将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是(A) 钝角三角形(B) 锐角三角形(C) 直角三角形如图小方格都是边长为1的正方形(A) 25(B) 12.5 (C) 9三角形的三边长为(a b)2(A)等边三角形(C) 直角三角形(D)锐角三角形(D)等腰三角形.ABCD的面积是(D) 8.52ab ,则这个三角形是(B)钝角三角形(9. △ ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知/ C=90°, AC=30米,AB=50米,如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金((A) 50 a 元(B) 600 a 元(C) 1200 a 元(D)1500 a 元10•如图，AB丄CD于B,A ABD和厶BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17 BE=5,那么AC 的长为(C ,D 的面积之和为cm 2.11.如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯 12.在直角三角形 ABC 中，斜边 AB =2,则AB 2 AC 2 BC 2 = _____________13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 __________________ .14. 如图，在△ ABC 中，/ C=90 , BC=3, AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 _____________12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 _______________ 米. 16. 如图，△ ABC 中，/ C=90°, AB 垂直平分线交 BC 于D若 BC=8 , AD=5，贝H AC 等于 ______________ . 17. 如图，四边形 ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ,且AE =3, BE =4,阴影部分的面积是 _________ .18. 如图，所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角 三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ,B ,(A ) 12(C ) 5 (D ) 13(B ) 7B 3米C 3 B（第10题）、填空题（每小题 3分，24 分）(第 11 题)(第14题)，地毯的长度至少需15.如图，校园内有两棵树，相距 A B三、解答题（每小题 8分，共40分）19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望•一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺•每棵树的树顶上都停着一只鸟•忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时 到达目标•问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？21. 如图，A B 两个小集镇在河流 CD 的同侧，分别到河的距离为 AC=10千米，BD=30千米,且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M 使铺设水管的费用最节省，并求出总费用 是多少？BA"IT—C - - - -------------- -D --- 第21题图22. 如图所示的一块地，/ ADC=90 , AD=12m CD=9m AB=39m BC=36m 求这块地的面积。
数学数学勾股定理试题含答案
一、选择题1．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ）①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ∆= ③272CF=- ④ AC=AF A ．①②③ B ．①②③④ C ．②③④ D ．①③④2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（ ）A ．47B ．62C ．79D ．984．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…按照此规律继续下去，则S 2016的值为（ ）A．（22）2013B．（22）2014C．（12）2013D．（12）20145．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，D为BC边上的一点，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm6．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30,40,60B．7,12,13C．6,8,10D．3,4,67．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．245B．5 C．6 D．88．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，2，5，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）A．②B．①②C．①③D．②③9．如图，点A和点B在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A和点B为圆心，线段AB的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C．再以原点O为圆心，OC为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M，则点M对应的数为（）A ．3．5B ．23C ．13D ．36210．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．3或4二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA 2018A 2019，则点A 2019的坐标为________．12．如图，RT ABC ，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．13．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为__________．14．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．15．如图，长方形ABCD 中，∠A =∠ABC =∠BCD =∠D =90°，AB =CD =6，AD =BC =10，点E 为射线AD 上的一个动点，若△ABE 与△A ′BE 关于直线BE 对称，当△A ′BC 为直角三角形时，AE 的长为______．16．如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm 、30cm 、60cm ，一只蚂蚁从点A 处沿着纸箱的表面爬到点B 处.蚂蚁爬行的最短路程为_______cm.17．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2．18．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ∆使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．20．如图的实线部分是由Rt ABC ∆经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ∆沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中90ACB ∠=︒，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.三、解答题△中，∠ACB = ∠DCE=90°．21．如图，在两个等腰直角ABC和CDE（1）观察猜想：如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是，位置关系是；△绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？（2）探究证明：把CDE说明理由；△绕点C在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A、E、（3）拓展延伸：把CDED三点在直线上时，请直接写出 AD的长．22．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm 的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．24．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值.②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积.25．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.26．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)27．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.28．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .（1）直接写出BC =__________，AC =__________；（2）求证：ABD ∆是等边三角形；（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；（4）P 是直线AC 上的一点，且13CP AC =，连接PE ，直接写出PE 的长. 29．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，且满足DE ⊥EF ，垂足为点E ，连接DF ．（1）求∠EDF= （填度数）；（2）延长DE 交AB 于点G ，连接FG ，如图2，猜想AG ，GF ，FC 三者的数量关系，并给出证明；（3）①若AB=6，G 是AB 的中点，求△BFG 的面积；②设AG=a ，CF=b ，△BFG 的面积记为S ，试确定S 与a ，b 的关系，并说明理由．30．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形．（2）如图1，求AF 的长．（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等腰三角形的性质得到1802ACD CDA ∠=︒-∠，根据AF CD ⊥得到90FAB CDA ∠=︒-∠，可以证得①是正确的，利用勾股定理求出AG 的长，算出三角形ACD 的面积证明②是正确的，再根据角度之间的关系证明AFC ACF ∠=∠，得到④是正确的，最后利用勾股定理求出CF 的长，得到③是正确的．【详解】解：如图，过点C 作CH AB ⊥于点H ，∵AC CD =，∴CAD CDA ∠=∠，1802ACD CDA ∠=︒-∠，∵AF CD ⊥，∴90AGD ∠=︒，∴90FAB CDA ∠=︒-∠，∴2ACD FAB ∠=∠，故①正确；∵3CG =，1DG =，∴314CD CG DG =+=+=，∴4AC CD ==，在Rt ACG 中，221697AG AC CG =--=， ∴1272ACD S AG CD =⋅= ∵90CHB ∠=︒，45B ∠=︒，∴45HCB ∠=︒，∵AC CD =，CH AD ⊥， ∴12ACH HCD ACD ∠=∠=∠， ∵45AFC B FAB FAB ∠=∠+∠=︒+∠，45ACF ACH HCB ACH ∠=∠+∠=∠+︒，12ACH ACD FAB ∠=∠=∠， ∴AFC ACF ∠=∠，∴4AC AF ==，故④正确； ∴47GF AF AG =-=-在Rt CGF 中，()2222347272CF CG GF =+=+-=，故③正确．故选：B ．【点睛】本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，勾股定理和三角形的外角和定理．2．C解析：C【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知2()a b + =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。
2022-2023学年度北师大版八年级数学上册第一章勾股定理定向测试试题(含答案解析版)
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理定向测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（）A．12B．25C．47D．372、在△ABC中，AB=10，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A．10 B．8 C．6或10 D．8或103、若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4、如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是()A．48 B．60C．76 D．805、我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．水深、葭长各几何？”．其大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为 10 尺 (丈、尺是长度单位，1 丈＝10 尺) 的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？若设这跟芦苇的长度为x尺，根据题意，所列方程正确的是( )A．102＋(x－1)2＝x2B．102＋(x－1)2 ＝ (x＋1)2C．52＋(x－1)2＝x2D．52＋(x－1)2 ＝ (x＋1)26、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A－∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果a2=b2－c2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰2，那么△ABC是直角三角形D．如果a2︰b2︰c2=9︰16︰25，那么△ABC是直角三角形7、若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能．．用来证明勾股定理的是（）A ．B ．C ．D ．8、如图所示，将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm ，则h 的取值范围是（ ）A ．0＜h ≤11B ．11≤h ≤12C ．h ≥12D ．0＜h ≤129、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m ，当它把绳子的下端拉开4 m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）A ．7 mB ．7.5 mC ．8 mD ．9 m10、如图，长方形ABCD 中，5AB =，25AD =，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则BE 的长为（ ）A ．12B ．8C ．10D ．13第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在Rt △ABC 中，∠C =90°，且AC ∶BC =1∶7，AB =100米，则AC =_________米．2、在一棵树的5米高B 处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A 处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_______米.3、如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A 、B ，C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为__________．4、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．E 为线段BD 上一点，连结CE ，将边BC 沿CE 折叠，使点B 的对称点B '落在CD 的延长线上．若5AB =，4BC =，则ACE 的面积为__________．5、已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＋b ＝14cm ，c ＝10cm ，则Rt △ABC 的面积等于_________cm 2．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，再做一个边长为c 的正方形，把它们按如图的方式拼成正方形，请用这个图证明勾股定理．2、如图，在笔直的铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，10km DA =，15km CB =，DA AB ⊥于A ，CB AB ⊥于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，求E 应建在距A 多远处？3、某海上有一小岛，为了测量小岛两端A ，B 的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知B 是CD 的中点，E 是BA 延长线上的一点，且∠CED ＝90°，测得AE ＝16.6海里，DE ＝60海里，CE ＝80海里．(1)求小岛两端A ，B 的距离．(2)过点C 作CF ⊥AB 交AB 的延长线于点F ，求BF BC值． 4、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：∠MBN＝30°，点A为射线BM上一点，且AB＝4，点C为射线BN上动点，连接AC，以AC为边在AC右侧作等边三角形ACD，连接BD．当AC⊥BN时，求BD的长．小明发现：以AB为边在左侧作等边三角形ABE，连接CE，能得到一对全等的三角形，再利用∠EBC＝90°，从而将问题解决（如图1）．请回答：(1)在图1中，小明得到的全等三角形是△≌△；BD的长为．(2)动点C在射线BN上运动，当运动到AC=BD的长；(3)动点C在射线BN上运动，求△ABD周长最小值．5、如图，在△ABC和△DEB中，AC∥BE，∠C＝90°，AB＝DE，点D为BC的中点，12AC BC=．（1）求证：△ABC≌△DEB．（2）连结AE，若BC＝4，直接写出AE的长．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．【详解】解：如图，1C，2C，3C，4C均可与点A和B组成直角三角形．47P=，故选：C．【考点】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）mn =．2、C【解析】【详解】分两种情况：在图①中，由勾股定理，得BD8=;===;CD2∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.在图②中，由勾股定理，得=;BD8===;CD2∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.故选C.3、B【解析】【详解】分析：x可为斜边也可为直角边，因此解本题时要对x的取值进行讨论．解答：解：当x为斜边时，x2=22+42=20，所以当4为斜边时，x2=16-4=12，故选B．点评：本题考查了勾股定理的应用，注意要分两种情况讨论．4、C【解析】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴AB10∴S阴影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=102-168 2⨯⨯=100-24=76.故选：C.5、C【解析】【分析】设这跟芦苇的长度为x尺，根据勾股定理，即可求解．【详解】解：设这跟芦苇的长度为x尺，根据题意得：52＋(x－1)2＝x2故选：C【考点】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．6、B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形定义即可．解：A、∵∠A-∠B=∠C，∴∠A＝∠B＋∠C，∵∠A＋∠B＋∠C=180°，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，此选项正确；B、如果a2=b2-c2，∴a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形且∠B=90°，此选项不正确；C、如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，设∠A=x，则∠B=3x，∠C=2x，则x+3x+2x=180°，解得：x=30°，则3x=90°，∴△ABC是直角三角形，此选项正确；D、如果a2：b2：c2=9：16：25，则a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，此选项正确；故选：B．【考点】本题考查了三角形内角和，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．7、A【解析】【分析】a b c的关系，即可证明勾股定理，分别分析即可得出答案由题意根据图形的面积得出,,【详解】解：A 、不能利用图形面积证明勾股定理；B 、根据面积得到()2222142c ab a b a b =⨯+-=+； C 、根据面积得到()22142a b ab c +=⨯+，整理得222+=a b c ； D 、根据面积得到22111()2222a b c ab +=+⨯，整理得222+=a b c . 故选：A.【考点】本题考查勾股定理的证明，熟练掌握利用图形的面积得出,,a b c 的关系，即可证明勾股定理.8、B【解析】【分析】根据题意画出图形，先找出h 的值为最大和最小时筷子的位置，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：当筷子与杯底垂直时h 最大，h 最大＝24﹣12＝12cm ．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小，如图所示：此时，AB 13cm ，∴h＝24﹣13＝11cm．∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故选：B．【考点】本题考查了勾股定理的实际应用问题，解答此题的关键是根据题意画出图形找出何时h有最大及最小值，同时注意勾股定理的灵活运用，有一定难度．9、B【解析】【分析】根据题意，画出图形，设旗杆AB=x米，则AC=（x+1）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理的方程（x+1）2=x2+42，解方程求得x的值即可.【详解】如图所示：设旗杆AB=x米，则AC=（x+1）米，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+1）2=x2+42，解得：x=7.5．故选B．【考点】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的基本思路是是画出示意图，利用勾股定理列方程求解．10、D【解析】【分析】设BE 为x ，则AE 为25-x ，在Rt ABE △由勾股定理有222BE AB AE =+，即可求得BE =13．【详解】设BE 为x ，则DE 为x ，AE 为25-x∵四边形ABCD 为长方形∴∠EAB =90°∴在Rt ABE △中由勾股定理有222BE AB AE =+即2225(25)x x =+-化简得50650x =解得13x =故选：D ．【考点】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解．二、填空题1、【解析】【分析】首先根据BC ，AC 的比设出BC ，AC ，然后利用勾股定理列式计算求得a ，即可求解．【详解】解：∵AC ∶BC =1∶7，∴设AC =a ，则BC =7a ，∵∠C =90°，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴1002=a 2+(7a )2，解得：a ，∴AC故答案为：【考点】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键．2、7.5【解析】【分析】由题意知AD ＋DB ＝BC ＋CA ，设BD ＝x ，则AD ＝15－x ，且在直角△ACD 中222CD CA AD ＋＝，代入勾股定理公式中即可求x 的值，树高CD ＝(5＋x )米即可．【详解】解：由题意知AD ＋DB ＝BC ＋CA ，且CA ＝10米，BC ＝5米，设BD ＝x ，则AD ＝15－x ，∵在Rt△ACD 中，由勾股定理可得：CD 2＋CA 2＝AD 2，即()()22215510x x -＝＋＋， 解得x ＝2.5米，故树高为CD ＝5＋x ＝7.5（米），答：树高为7.5米．故答案为：7.5．【考点】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量关系，并根据勾股定理222CD CA AD＋＝列方程求解是解题的关键．3【解析】【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．【详解】】解：由勾股定理得：AC=∵S△ABC=3×4-12×1×2-12×3×2-12×2×4=4，∴12AC•BD=4，∴12=4，∴BD【考点】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．4、18 5【解析】【分析】在△ABC中由等面积求出125CD=，165DB=进而得到''1213555DB CB CD=-=-=，设BE=x，进而DE=DB-BE =165x -，最后在'Rt B DE ∆中使用勾股定理求出x 即可求解． 【详解】解：在Rt ABC 中由勾股定理可知：3AC =， ∵1122AC BC AB CD ⨯=⨯， ∴125AC BC CD AB ⨯==， ∴''128455DB CB CD =-=-=，在Rt ACD △中由勾股定理可知：95AD =， ∴916555DB AB AD =-=-=， 设BE=x ，由折叠可知：BE=B’E ，且DE=DB-BE =165x -， 在'Rt DEB 中由勾股定理可知：2'2'2DE B D B E +=，代入数据： ∴222168()()55x x -+=，解得2x =， ∴523AE AB BE =-=-=， ∴11121832255ACE S AE CD ∆=⨯=⨯⨯=， 故答案为：185． 【考点】本题考查了勾股定理求线段长、折叠的性质等，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练使用勾股定理求线段长．5、24【分析】利用勾股定理，可得：a 2+b 2＝c 2＝100，即（a +b ）2﹣2ab ＝100，可得ab ＝48，即可得出面积．【详解】解：∵∠C ＝90°，∴a 2+b 2＝c 2＝100，∴（a +b ）2﹣2ab ＝100，∴196﹣2ab ＝100，∴ab ＝48，∴S △ABC ＝12ab ＝24cm 2； 故答案为：24．【考点】本题考查勾股定理、完全平方公式的变形求值、三角形面积计算的运用，熟知勾股定理是解题的关键．三、解答题1、见详解．【解析】【分析】利用4个直角三角形全等，根据=4+AEH ABCD EFGH S S S 正方形正方形列式，整理即可．证明：如图，AE BF CG DH a ====，AH DG CF BE b ====，HE EF FG GH c ====，∵=4+AEH ABCD EFGH S S S ∆正方形正方形，即()22142a b ab c +=⋅⋅+ ∴22222a ab b ab c ++=+，∴222+=a b c ．【考点】本题考查了勾股定理的验证，运用拼图的方式，即利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解决本题的关键．2、E 应建在距A 点15km 处【解析】【分析】设AE x =，则25BE x =-，根据勾股定理求得2DE 和2CE ，再根据DE CE =列式计算即可；【详解】设AE x =，则25BE x =-，由勾股定理得：在Rt ADE △中，2222210DE AD AE x =+=+，在Rt BCE 中，()222221525CE BC BE x =+=+-， 由题意可知：DE CE =，所以：()2222101525x x +=+-，解得：15x km =．所以，E 应建在距A 点15km 处．【考点】本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键．3、 (1)33.4海里 (2)725 【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出CD ，再根据斜边的中线等于斜边的一半求出BE ，则AB 可求；（2）设BF ＝x 海里．利用勾股定理先表示出CF 2，在Rt △CFE 中，∠CFE ＝90°，利用勾股定理有CF 2＋EF 2＝CE 2，即222500-(50)6400x x ＋＋＝，解方程即可得解．(1)在△DCE 中，∠CED ＝90°，DE ＝60海里，CE ＝80海里，由勾股定理可得100CD =（海里），∵B 是CD 的中点， ∴1502BE CD ==（海里），∴AB ＝BE －AE ＝50－16.6＝33.4（海里）答：小岛两端A 、B 的距离是33.4海里；(2)设BF ＝x 海里．在Rt △CFB 中，∠CFB ＝90°，∴CF 2＝CB 2－BF 2＝502－x 2＝2500－x 2，在Rt △CFE 中，∠CFE ＝90°，∴CF 2＋EF 2＝CE 2，即222500-(50)6400x x ＋＋＝，解得x ＝14， ∴725BF BC 答：BF BC 值为725． 【考点】本题主要考查了勾股定理的实际应用的知识，在直角三角形中灵活利用勾股定理是解答本题的关键．4、 (1)ABD ，ACE ，(2)BD(3)4．【解析】【分析】（1）根据SAS 可证△ABD ≌△ACE ，得出BD ＝CE ，利用勾股定理求出CE 即可得出BD 的长度；（2）作AH ⊥BC 于点H ，以AB 为边在左侧作等边△ABE ，连接CE ，求出BH ，HC 即BC 的长度，再利用勾股定理即可求出CE 的长度，由（1）知BD ＝CE ，据此得解；（3）作AH ⊥BC 于点H ，以AB 为边在左侧作等边△ABE ，延长EB 至F ，使BF ＝EB ，连接AF 交BN 于C '，连接EC '，此时BD ＋AC '有最小值即为AF ，此时△ABD 周长＝AF ＋AB 最小，求出AF 即可．(1)解：∵△ACD 和△ABE 是等边三角形，∴∠EAB ＝∠DAC ＝60°，AD ＝AC ，∴∠EAB ＋∠BAC ＝∠DAC ＋∠BAC ，即∠EAC ＝∠BAD ，在△ABD 和△AEC 中，AB AE BAD EAC AD AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ，∵AB ＝4，∠MBN ＝30°，∴AC ＝2，∴BC=∴BD ＝CE=故答案为：ABD，ACE ，(2)解：如下图，作AH ⊥BC 于点H ，以AB 为边在左侧作等边△ABE ，连接CE ，∵AB＝4，∠MAN＝30°，∴AH＝2，BH＝∵AC，∴HC=，∴BC＝BH＋HC＝∴CE=由（1）可知BD＝CE，∴此时BD(3)解：如图，以AB为边在左侧作等边△ABE，延长EB至F，使BF＝EB，连接AF交BN于C'，连接EC'，∵EC'＝FC'＝BD，∴此时BD＋AC'有最小值即为AF，∴此时△ABD周长＝AD＋BD+AB＝AF＋AB最小，作AG⊥BE于G，∴AG∥BN，∴∠BAG＝30°，∴BG＝12AB＝2，AG＝∴GF＝BG＋BF＝2＋4＝6，由勾股定理得AF∴此时△ABD周长为：4．【考点】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．5、（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据平行可得∠DBE＝90°，再由HL定理证明直角三角形全等即可；（2）构造Rt AHE，利用矩形性质和勾股定理即可求出AE长．【详解】（1）∵AC∥BE，∴∠C＋∠DBE＝180°．∴∠DBE＝180°－∠C＝180°－90°＝90°．∴△ABC和△DEB都是直角三角形．∵点D为BC的中点，12AC BC=，∴AC＝DB．∵AB ＝DE ，∴Rt △ABC ≌Rt △DEB （HL ）．（2）AE =过程如下：连接AE 、过A 点作AH ⊥BE ，∵∠C ＝90°，∠DBE ＝90°．∴AC BH ∥，AH BC ∥，∴AH =BC =4， 122BH AC BC ===，∴2EH EB EH =-=，在Rt AHE 中，AE =【考点】本题主要考查了直角三角形全等的判定和勾股定理解三角形，解题关键是构造直角三角形，利用用平行线间的距离处处相等得线段AH =BC ，从而利用勾股定理求AE ．。
勾股定理测试题及答案
勾股定理测试题及答案一、选择题（每题 5 分，共 30 分）1、直角三角形的两直角边分别为 5 厘米、12 厘米，则斜边长是（）A 13 厘米B 14 厘米C 15 厘米D 16 厘米答案：A解析：根据勾股定理 a²＋ b²＝ c²（其中 a、b 为直角边，c 为斜边），可得斜边 c ＝√（5²＋ 12²) ＝√（25 ＋ 144) ＝√169 ＝ 13 厘米。
2、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A 3，4，6B 5，12，13C 5，11，12D 2，3，4答案：B解析：选项 A，3²＋ 4²＝ 9 ＋ 16 ＝ 25，6²＝ 36，25 ≠ 36，所以不能组成直角三角形；选项 B，5²＋ 12²＝ 25 ＋ 144 ＝ 169，13²＝169，所以能组成直角三角形；选项 C，5²＋ 11²＝ 25 ＋ 121 ＝ 146，12²＝ 144，146 ≠ 144，所以不能组成直角三角形；选项 D，2²＋ 3²＝4 ＋ 9 ＝ 13，4²＝ 16，13 ≠ 16，所以不能组成直角三角形。
3、一个直角三角形，两直角边长分别为 3 和 4，下列说法正确的是（）A 斜边长为 25B 三角形的周长为 12C 斜边长为 5D 三角形的面积为 6答案：C解析：根据勾股定理，斜边长为√（3²＋ 4²) ＝√25 ＝ 5，选项 A 错误，选项 C 正确；三角形的周长为 3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ 12，选项 B 错误；三角形的面积为 1/2 × 3 × 4 ＝ 6，选项 D 正确。
4、若直角三角形的三边长分别为 2，4，x，则 x 的值可能有（）A 1 个B 2 个C 3 个D 无数个答案：B解析：当 x 为斜边时，x ＝√（2²＋ 4²) ＝√20 ＝2√5；当 4 为斜边时，x ＝√（4² 2²) ＝√12 ＝2√3。
(完整版)勾股定理练习题及答案(共6套)
勾股定理课时练（1）8. 一个部件的形状以下图，已知AC=3cm， AB=4cm，BD=12cm。
求 CD的长 .1. 在直角三角形 ABC 中，斜边 AB=1 ，则 AB 2 BC 2 AC 2的值是（）2.如图 18－2－ 4 所示 ,有一个形状为直角梯形的部件ABCD ，AD ∥ BC，斜腰 DC 的长为10 cm，∠ D=120°，则该部件另一腰 AB 的长是 ______ cm（结果不取近似值） . 第 8 题图3. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为 _______．9. 如图，在四边形 ABCD中，∠ A=60°，∠ B=∠ D=90°， BC=2，CD=3，求 AB 的长 .4.一根旗杆于离地面12 m处断裂，如同装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16 m，旗杆在断裂以前高多少m ？第 9 题图10. 如图，一个牧童在小河的南4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处，5. 如图，以以下图，今年的冰雪灾祸中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部4 他想把他的马牵到小河畔去饮水，而后回家. 他要达成这件事情所走的最短行程是多少？米处，那么这棵树折断以前的高度是米 .“路”3m4m第 5 题图第 2 题图11 如图，某会展中心在会展时期准备将高5m, 长 13m，宽 2m 的楼道上铺地毯 , 已知地毯平方米 18 6. 飞机在空中水平飞翔, 某一时辰恰巧飞到一个男孩子头顶正上方4000 米处 , 过了 20 秒, 飞机距离元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道起码需要多少元钱?这个男孩头顶 5000 米, 求飞机每小时飞翔多少千米 ?13m 5m第 11 题12. 甲、乙两位探险者到荒漠进行探险，没有了水，需要找寻水源．为了不致于走散，他们用两部7. 以下图，无盖玻璃容器，高18 cm，底面周长为 60 cm，在外侧距下底 1 cm的点 C 处有一对话机联系，已知对话机的有效距离为15 千米．清晨 8：00 甲先出发，他以 6 千米 / 时的速度向蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距张口 1 cm的 F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，东行走， 1 小时后乙出发，他以 5 千米 / 时的速度向北前进，上午10： 00，甲、乙二人相距多远？所走的最短路线的长度 . 还可以保持联系吗？第 7 题图第一课时答案：1.A ，提示：依据勾股定理得BC 2 AC 2 1，所以AB 2BC 2 AC 2 =1+1=2 ；2.4 ，提示：由勾股定理可得斜边的长为 5 m，而 3+4-5=2 m ，所以他们少走了 4 步.3. 60 ，提示：设斜边的高为x ，依据勾股定理求斜边为122 52 169 13 ，再利13用面积法得，15 12 1 13 x, x 60 ；2 2 134.解：依题意， AB=16 m， AC=12 m，在直角三角形 ABC 中 ,由勾股定理 ,BC 2AB 2AC 216 212 220 2,所以 BC=20 m ,20+12=32( m ),故旗杆在断裂以前有32 m高.6. 解: 如图 , 由题意得 ,AC=4000 米 , ∠C=90° ,AB=5000 米 , 由勾股定理得BC=50002400023000(米),3所以飞机飞翔的速度为540 (千米/小时)2036007.解：将曲线沿 AB睁开，以下图，过点 C 作 CE⊥ AB于 E.在R t CEF , CEF90 ，EF=18-1-1=16（ cm ），1CE=30(cm) ，2. 60CE 2 EF 2 30 2 16 2 34( ) 由勾股定理，得CF=8.解：在直角三角形ABC中，依据勾股定理，得在直角三角形 CBD中，依据勾股定理，得2 2 2 2CD=BC+BD=25+12 =169，所以 CD=13.9.解：延伸 BC、AD交于点 E. （以下图）∵∠ B=90°，∠ A=60°，∴∠ E=30°又∵ CD=3，∴ CE=6，∴ BE=8，设 AB=x，则 AE=2x，由勾股定理。
部编数学八年级下册专题11勾股定理中的蕴含数学思想的典型试卷(解析版)含答案
专题11 勾股定理中的蕴含数学思想的典型试题（解析版）第一部分典例剖析类型一方程思想（1）单勾股列方程1．（2022秋•泰兴市期末）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的宽度AB．（两岸可近似看作平行）思路引领：根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的距离．解：设AB＝x米，则BC＝（x+10）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：m2+702＝（m+10）2，解得m＝240，答：河宽240米．总结提升：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．2．（2021春•全南县期中）小明将一副三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知CD＝3，求AC的长．思路引领：根据勾股定理求出BC，设AB＝x，根据直角三角形的性质得到AC＝2x，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．解：由题意得，∠ADB＝∠ABC＝90°，∠DCB＝45°，∠ACB＝30°，则DB＝DC＝3，由勾股定理得，BC==设AB＝x，则AC＝2x，由勾股定理得，AC2＝AB2+BC2，即（2x）2＝x2+（2，解得，x=则AC＝2x＝总结提升：本题考查的是直角三角形的性质，勾股定理，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．3．（2022秋•运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？思路引领：由题意可知，若设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，这样在Rt△BOC 中，利用勾股定理就可建立一个关于“x”的方程，解方程即可求得结果．解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA，设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，∵∠AOB＝90°，∴由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，又∵OC＝（18﹣x）cm，OB＝6cm，∴62+（18﹣x）2＝x2，解方程得出x＝10（cm）．答：机器人行走的路程BC是10cm．总结提升：本题考查了勾股定理，解题的关键是，抓住“机器人与小球同时出发，速度相等”这两个条件，得到BC＝AC，从而将已知量和未知量集中到Rt△BOC中，就可利用勾股定理建立方程来求解．二、双勾股方程4．（2018秋•仪征市期中）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图1，△ABC中，CD为BA边上高，边BA的“线高差”等于BA﹣CD，记为h（BA）．（1）如图2，若△ABC中AB＝AC，AD⊥BC垂足为D，AD＝6，BD＝4，则h（BC）＝ ；（2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则h（AC）＝ ；（3）如图3，△ABC中，AB＝21，AC＝20，BC＝13，求h（AB）的值．思路引领：（1）求出BC的长即可解决问题；（2）如图4中，求出高BH即可解决问题；（3）如图3中，作CD⊥AB于D，求出CD即可解决问题．解：（1）如图2中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝8，∴h（BC）＝BC﹣AD＝8﹣6＝2．故答案为2．（2）如图4中，作BH⊥AC于H．∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=10，∵12•AC•BH=12•AB•BC，∴BH=24 5，∴h（AC）＝AC＝BH＝10―245=265．故答案为26 5．（3）如图3中，作CD⊥AB于D．设BD＝x，则AD＝21﹣x．∵CD2＝AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，∴202﹣（21﹣x）2＝132﹣x2，解得x＝5，∴CD12，∴h（AB）＝AB﹣CD＝21﹣12＝9．总结提升：本题属于三角形综合题，考查了勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．5．（2020秋•金台区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，（1）求∠ECF的度数；（2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．思路引领：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE=12∠ACD，∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB'，再根据∠ACB＝90°，即可得出∠ECF＝45°；（2）在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC设AE＝x，则AB＝x+5，根据勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2，即x2+42＝（x+5）2﹣41，求得x=165，得出AE的长和AB的长，再由三角形面积公式即可得出S△ABC．解：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE=12∠ACD，∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB'，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCB'＝90°，∴∠ECD+∠FCD=12×90°＝45°，即∠ECF＝45°；（2）由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1，∴∠EFC＝45°＝∠ECF，∴CE＝EF＝4，∴BE＝4+1＝5，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC=设AE＝x，则AB＝x+5，∵Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2，即x2+42＝（x+5）2﹣41，解得：x=16 5，∴AE=165，AB＝AE+BE=165+5=415∴S△ABC =12AB×CE=12×415×4=825．总结提升：本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．6．如图①，现有一张三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D 重合．（1）填空：△ADC是 三角形；（2）若AB＝15，AC＝13，BC＝14，求BC边上的高AE的长；（3）如图②，若∠DAC＝90°，试猜想：BC、BD、AE之间的数量关系，并加以证明．思路引领：（1）根据折叠得到AD＝AC，所以△ADC是等腰三角形；（2）设CE＝x，利用勾股定理得到方程132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2解得：x＝5，在Rt△AEC中，由勾股定理即可解答；（3）猜想BC、BD、AE之间的数量关系为：BC﹣BD＝2AE．由△ADC是等腰三角形，又∠DAC＝90°，得到△ADC是等腰直角三角形又AE是CD边上的高，所以△AED与△AEC都是等腰直角三角形，即可得到CD＝2AE．由BC﹣BD＝CD，即可解答．解：（1）∵三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D重合．∴AD＝AC，∴△ADC是等腰三角形；故答案为：等腰．（2）设CE＝x，则BE＝14﹣x，在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE2＝AC2﹣CE2，∴AE2＝132﹣x2在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2＝AB2﹣BE2，∴AE2＝152﹣（14﹣x）2∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2解得：x＝5，在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE12．（3）猜想BC、BD、AE之间的数量关系为：BC﹣BD＝2AE．证明如下：由（1）得：△ADC是等腰三角形，又∠DAC＝90°，∴△ADC是等腰直角三角形又AE是CD边上的高，∴DE＝CE，∠DAE=∠EAC=12∠DAC=12×90°=45°，∴△AED与△AEC都是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝EC，即CD＝2AE．∵BC﹣BD＝CD∴BC﹣BD＝2AE．总结提升：本题考查了等腰三角形的性质定理与判定定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解决本题的根据是判定△ADC是等腰三角形和勾股定理的应用．类型二数形结合思想7．（2022•锡山区一模）如图，数轴上点A，B分别对应2，4，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C；以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ）A．B．C．5D．思路引领：直接利用勾股定理得出OC的长，进而得出答案．解：由题意可得：OB＝4，BC＝2，则OC故点M对应的数是：故选：B．总结提升：此题主要考查了勾股定理，根据题意得出CO的长是解题关键．8．（2022春•+形，根据“三角形三边关系”A．分类讨论思想B．方程思想C．类比思想D．数形结合思想思路引领：“三角形三边关系”，可得+“三角形三边关系”故选：D．总结提升：本题主要考查了勾股定理以及三角形三边关系的运用，解题时注意三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．9．（2019秋•海州区校级月考）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．（1①，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x 轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），即OP＝|x|，OQ＝|y|，在△OPM中，PM＝OQ＝|y|，则MO解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离OM．N1 （填写坐标）与点O（0，0）之间的距离N1O；②点N2（5，﹣1）与点O（0，0）之间的距离ON2为 ．（2②，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（1）可知，A′O=A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB＝A′O，所以AB=A（x，y）与点B（1，5）之间的距离．（32）的方法，在图③中画出图形，那么C （填写坐标）与点D（x，y）之间的距离．（4）拓展应用：A（x，y）与点E（1，﹣4）的距离与点A（x，y）与点F （填写坐标）的距离之和．的最小值为 （直接写出结果）思路引领：（1）①构造直角三角形利用勾股定理即可得出答案；②由两点间的距离即可得出答案；（3）设点D′的坐标为（x+2，y﹣3），由两点间的距离和平移的性质即可得出结论；（4）①由（3）即可得出答案；②根据三角形的三边关系即可求出答案．解：（1）N1（﹣2，3）或（3，﹣2）与点O（0，0）之间的距离N1O，故答案为：（﹣2，3）或（3，﹣2）；②点N2（5，﹣1）与点O（0，0）之间的距离ON2（3）设点D′的坐标为（x+2，y﹣3），如图③所示：由探究（2）可知，D′O=将线段D′O先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到线段CD，此时，D的坐标为（x，y），点C的坐标为（﹣2，3），∵CD＝D'O，∴CDC（﹣2，3）到点D（x，y）之间的距离；故答案为：（﹣2，3）；（4）①由（2+点A（x，y）与点E（1，﹣4）的距离与点A（x，y）与点F（﹣2，﹣3）的距离之和，故答案为：（﹣2，﹣3）；②当A（x，y）位于直线EF外时，此时点A、E、F三点组成△AEF，∴由三角形三边关系可知：EF＜AF+AE，当点A位置线段EF之间时，此时EF＝AF+AE，EF的距离，∴EF==总结提升：本题是三角形综合题，主要考查学生的阅读理解能力以及两点间距离公式的运用，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考核学生综合能力，属于中等题型．类型三分类讨论思想10．（2019春•自贡期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，连接AC，点P是在四边形ABCD边上的一点；若点P到AC P有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个思路引领：根据已知条件得到∠BAC＝∠ACB＝45°，∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，根据点P到AC解：∵AB＝BC＝AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，∵点P到AC∴AP＝CP=∴在AB和BC边上存在这样的P点，∵AD＝2，∴D到AC∴当点P与点D重合时，P到AC∴这样的点P有3个，故选：D．总结提升：本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．11．（如皋市期末）已知∠MAN＝30°，点B在射线AN上，点C在射线AM上，且AB＝12．（1）若△ABC是直角三角形，求AC的长；（2）若BC＝8，求AC的长；（3）要使满足条件的△ABC唯一确定，直接写出BC的长度x的取值范围．思路引领：（1）分两种情形求解即可；（2）如图，作BH ⊥AM 于H ，则BH =12AB ＝6，AH ＝（3）当BC ≥12或BC ＝6时，△ABC 唯一确定．解：（1）如图，①当∠ACB ＝90°，AC ＝②当∠ABC ′＝90°时，AC ′＝（2）如图，作BH ⊥AM 于H ，则BH =12AB ＝6，AH ＝∵BC ＝8，∴CH =∴AC ＝AH +CH ＝AC ′＝（3）当BC ≥12或BC ＝6时，△ABC 唯一确定．总结提升：本题考查解直角三角形、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．（2022秋•南关区校级期末）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝16cm ，BC ＝12cm ，P 、Q 是△ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 出发，沿A →B 方向运动，速度为每秒2cm ；点Q 从点B 出发，沿B →C →A 方向运动，速度为每秒4cm ；两点同时开始运动，设运动时间为t 秒．（1）①Rt △ABC 斜边AC 上的高为 ；②当t＝3时，PQ的长为 ；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△BPQ是等腰三角形？（3）当点Q在边AC上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值．思路引领：（1）①利用勾股定理可求解AC的长，利用面积法进而可求解Rt△ABC斜边AC上的高；②可求得AP和BQ，则可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的长；（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ＝BC、CQ＝BC和CQ＝BQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．解：（1）①在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=20(cm)，∴Rt△ABC斜边AC上的高为12×1620=9.6(cm)；②当t＝3时，则AP＝6cm，BQ＝4t＝12cm，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝16﹣6＝10（cm），在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ==cm)，即PQ的长为，故答案为：①9.6cm；②；（2）由题意可知AP＝2tcm，BQ＝4tcm，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝16﹣2t（cm），当△BPQ为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣2t＝4t，解得t=8 3，∴出发83秒后△BPQ能形成等腰三角形；（3）在△ABC中，AC＝20cm，当点Q在AC上时，AQ＝BC+AC﹣4t＝32﹣4t（cm），CQ＝4t﹣12（cm），∵△BCQ为等腰三角形，∴有BQ＝BC、CQ＝BC和CQ＝BQ三种情况，①当BQ＝BC＝12时，如图，过B作BE⊥AC于E，则CE=12CQ=2t―6，由（1）知BE＝9.6cm，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2＝BE2+CE2，即122＝9.62+（2t﹣6）2，解得t＝6.6或t＝﹣0.6＜0（舍去）；②当CQ＝BC＝12时，则4t﹣12＝12，解得t＝6；③当CQ＝BQ时，则∠C＝∠QBC，∴∠C+∠A＝∠CBQ+∠QBA，∴∠A＝∠QBA，∴QB＝QA，∴CQ=12AC=10，即4t﹣12＝10，解得t＝5.5；综上可知当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ为等腰三角形．总结提升：本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．熟练掌握这些知识点是解题的关键．类型四转化思想13．（2022秋•卧龙区校级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．思路引领：根据垂直的定义和勾股定理解答即可．解：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案为：20．总结提升：本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．14．（2019•柯桥区模拟）如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE=13AB，AF=13AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（ ）A．S1+S3＝2S2 B．S1+S3＝4S2C．S1＝S3＝S2 D．S2=13（S1+S3）思路引领：根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S3＝4S2．解：∵在Rt△ABC中，AE=13AB，AF=13AC，∴AE=12BE，AF=12CF，EF2＝AE2+AF2，∴EF2=14BE2+14CF2．∴12π•14EF2=18π•（14BE2+14CF2），即S2=14（S1+S3）．∴S1+S3＝4S2．故选：B．总结提升：考查了勾股定理，注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．第二部分专题提升训练1．（2020春•长春期末）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点B在EF上，S1＝140，S2＝124，EB的长为 ．思路引领：设△ABE的面积为S，则S正方形ABCD ＝S+140，S正方形AEFG＝S+124，再根据正方形的面积公式得到S正方形ABCD ＝AB2，S正方形AEFG＝AE2，所以AB2﹣AE2＝16，然后利用勾股定理计算BE的长．解：设△ABE的面积为S，∵S正方形ABCD ＝S+S1＝S+140，S正方形AEFG＝S+S2＝S+124，而S正方形ABCD ＝AB2，S正方形AEFG＝AE2，∴AB2﹣AE2＝140﹣124＝16，在Rt△ABE中，BE2＝AB2﹣AE2＝16，∴BE＝4．故答案为4．总结提升：本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．2．（2021春•东昌府区期末）如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′D＝6，则BN的长是 ．思路引领：由正方形的性质得出BC＝CD＝9，则B'C＝3，由折叠的性质得出BN＝B'N，设BN＝x，由勾股定理列出方程可得出答案．解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝9，∵B'D＝6，∴B'C＝3，∵将四边形ABCD沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，∴BN＝B'N，设BN＝x，∵B'N2＝B'C2+CN2，∴x2＝32+（9﹣x）2，∴x＝5．故答案为5．总结提升：本题考查翻折变换，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．3．（2022秋•绥中县校级期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝25cm，D是腰AB上一点，连接CD，且CD＝24cm，BD＝7cm．（1）求证：△BDC是直角三角形；（2）求AB的长．思路引领：（1）由BC ＝25cm ，CD ＝24cm ，BD ＝7cm ，知道BC 2＝BD 2+CD 2，根据勾股定理的逆定理可得△BDC 为直角三角形；（2）设AB ＝xcm ，根据勾股定理得到关于x 的方程，解方程可求出AB 的长．（1）证明：∵BC ＝25cm ，CD ＝24cm ，BD ＝7cm ，∴BC 2＝132＝169，BD 2+CD 2＝52+122＝25+144＝169，即BC 2＝BD 2+CD 2，∴△BDC 为直角三角形；（2）解：设AB ＝xcm ，∵△ABC 是等腰三角形，∴AB ＝AC ＝xcm ．∵△BDC 为直角三角形，∴△ADC 为直角三角形，∴AD 2+CD 2＝AC 2，即x 2＝（x ﹣7）2+242，解得：x =62514，故AB 的长为：62514cm ．总结提升：此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是掌握勾股定理的逆定理解答．4．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点．（1）求证：DF ＝GF ；（2）求DF 的长度．思路引领：（1）利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF＝GF；（2）设FD＝x，表示出CF、BF，利用勾股定理构建方程即可．（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴AE＝EG，AB＝BG，∴ED＝EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠EGF＝90°，在Rt△EDF和Rt△EGF中，ED＝EG，EF＝EF，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF＝FG，（2）解：设DF＝x，则CF＝3﹣x，BF＝3+x，在Rt△BFC中，∵BF2＝BC2+CF2∴（2+（3﹣x）2＝（3+x）2，解得：x＝2∴DF＝2．总结提升：此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．5．（2022•岳池县模拟）在劳技课上，老师请同学们在一张长为9cm，宽为8cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边长上）．请你帮助同学们画出图形并计算出剪下的等腰三角形的面积．（求出所有可能的情况）思路引领：（1）在BA、BC上分别截取BE＝BF＝5cm；（2）在AB上截取BE＝5cm，以E为圆心，5cm长为半径作弧，交AD于F；（3）在BC上截取BE＝5cm，以E为圆心5cm为半径作弧，交CD于F．解：如图1所示：S=12EB•BF=12×5×5＝12.5（cm2），如图2所示：BE＝5cm，则AE＝3cm，∵EF＝5cm，∴AF=4（cm），S=12BE•AF=12×5×4＝10（cm2），如图3所示：BE＝5cm，则CE＝4cm，∵EF＝5cm，∴CF=3（cm），S=12BE•CF=12×5×3＝7.5（cm2）．总结提升：此题主要考查了应用与设计作图，本题需仔细分析题意，结合图形即可解决问题．6．设计师要用四条线段CA，AB，BD，DC首尾相接组成如图所示的两个直角三角形图案，∠C与∠D为直角，已知其中三条线段的长度分别为1cm，9cm，5cm，第四条长为xcm，试求出所有符合条件的x的值．思路引领：显然AB是四条线段中最长的线段，分AB＝x或AB＝9两种情况来讨论．解：显然AB是四条线段中最长的线段，分AB＝x或AB＝9两种情况来讨论．把AB平移至ED（如图所示）．①若AB＝x，当CD＝9时，则x当CD＝5时，则x当CD＝1时，则x②若AB＝9，当CD＝5时，由（x+1）2+52＝92，得x=1；当CD＝1时，由（x+5）2+12＝92，得x=―5；当CD＝x时，由x2+（1+5）2＝92，得x=（以上每种情况2分）…（12分）总结提升：本题考查勾股定理的知识，解题关键是分AB＝x或AB＝9两种情况进行讨论，注意不要漏解．7．（2022秋•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求BC的长．（2）斜边AB上的高是 ．（3）若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 ．（4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值．思路引领：（1）由勾股定理可求得BC的值，（2）再设斜边AB上的高为h，由面积法可求得答案；（3）如图，当点P'在∠BAC的角平分线上时可先利用三角形全等，求出AD＝AC＝8，分别表示各线段，在直角三角形中，利用勾股定理求出t的值．（4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，②当点P在线段AC上时，又分三种情况：BC＝BP；PC＝BC；PC＝PB，分别求得点P运动的路程，再除以速度即可得出答案．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，由勾股定理得：BC＝6；（2）设斜边AB上的高为h，∵12AB⋅ℎ=12AC⋅BC，∴10h＝6×8，∴h＝4.8．∴斜边AB上的高为4.8；故答案为：4.8；（3）当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P'作P'D⊥AB，如图：∵AP'平分∠BAC，P'C⊥AC，P'D⊥AB，∴P'D＝P'C＝2t﹣8，∵BC＝6，∴BP'＝6﹣（2t﹣8）＝14﹣2t，在Rt△ACP'和Rt△ADP'中，AP′=AP′P′D=P′C，∴Rt△ACP'≌Rt△ADP'（HL），∴AD＝AC＝8，又∵AB＝10，∴BD＝2，在Rt△BDP'中，由勾股定理得：22+（2t﹣8）2＝（14﹣2t）2，解得：t=16 3．故答案为：16 3．（4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，∴此时CP＝BC＝6，∴AP＝AC﹣CP＝8﹣6＝2，∴2t＝2，∴t＝1；②当点P在线段AB上时，若BC＝BP，则点P运动的长度为：AC+BC+BP＝8+6+6＝20，∴2t＝20，∴t＝10；若PC＝BC，如图2，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AB•CH＝AC•BC，∴10CH＝8×6，∴CH=24 5，在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH=2=3.6，∴BP＝7.2，∴点P运动的长度为：AC+BC+BP＝8+6+7.2＝21.2，∴2t＝21.2，∴t＝10.6；若PC＝PB，如图3所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，则BQ＝CQ＝0.5×BC＝3，∠PQB＝90°，∴∠ACB＝∠PQB＝90°，∴PQ∥AC，∴PQ为△ABC的中位线，∴PQ＝0.5×AC＝0.5×8＝4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP=5，点P运动的长度为：AC+BC+BP＝8+6+5＝19，∴2t＝19，∴t＝9.5．综上，t的值为1或9.5或10或10.6．总结提升：本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键。
勾股定理测试题及答案
勾股定理测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 勾股定理适用于哪种三角形？A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形答案：B2. 如果直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A3. 一个直角三角形的斜边长度为13，一条直角边为5，另一条直角边的长度是多少？A. 12B. 10C. 8D. 6答案：A4. 勾股定理的公式是什么？A. a + b = cB. a * b = cC. a^2 + b^2 = c^2D. a^2 - b^2 = c^2答案：C5. 如果一个三角形的三边长分别为7、24和25，那么这个三角形是直角三角形吗？A. 是B. 不是答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 直角三角形中，如果一条直角边长为x，另一条直角边长为y，斜边长为z，根据勾股定理，我们有________。
答案：x^2 + y^2 = z^27. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么斜边的长度是________。
答案：108. 在一个直角三角形中，如果斜边的长度是20，一条直角边长为15，另一条直角边的长度是________。
答案：5√3 或25√3/39. 勾股定理的发现归功于古希腊数学家________。
答案：毕达哥拉斯10. 勾股定理在数学中也被称为________定理。
答案：毕达哥拉斯定理三、解答题（每题5分，共20分）11. 一个直角三角形的斜边长度为17，一条直角边长为8，求另一条直角边的长度。
答案：根据勾股定理，另一条直角边的长度为√(17^2 - 8^2) =√(289 - 64) = √225 = 15。
12. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为9和12，求斜边的长度。
答案：根据勾股定理，斜边的长度为√(9^2 + 12^2) = √(81 + 144) = √225 = 15。
13. 一个直角三角形的斜边长度为25，一条直角边长为15，求另一条直角边的长度。
勾股定理综合难题 附答案(超好 打印版)
CBA D E FCA BE D练习题1 如图，圆柱的高为10 cm ，底面半径为2 cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少?2 如图，长方体的高为3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5ACB3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•5．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3B ．4C ．5D ．56．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，D=4cm ． 求AC 的长．7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8， 现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且 与AE 重合，则CD 的长为8、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折 痕EF 的长为 。
9、如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________．BCAFE DCBAB ’C ’B ′A ′C ′DCBA D10、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C´的位置，若BC ＝2，则BC´＝_________．11．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm12、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？13、如图，在△ABC 中，∠B=90，AB=BC=6，把△ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ， 点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。
勾股定理练习题及答案(共6套)
勾股定理课时练（1）1. 在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB 222AC BC ++的值是（ ） A.2 B.4 C.6 D.82.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是______ cm （结果不取近似值）.3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．4.一根旗杆于离地面12m 处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m ，旗杆在断裂之前高多少m ？5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm 的F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm ，AB=4cm ，BD=12cm9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB 的长. 10. 如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m ,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？勾股定理的逆定理（2）一、 选择题1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A.9，12，15 B.43,1,45C.0.2，0.3，0.4D.40，41，92.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三个内角比为1∶2∶1 B.三边之比为1∶2∶5C.三边之比为3∶2∶5 D. 三个内角比为1∶2∶33.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ） A.2 B.102 C.10224或 D.以上都不对4. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）724252071520242572520247202415(A)(B)(C)(D)A B C D二、填空题5. △ABC 的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 .6.三边为9、12、15的三角形，其面积为 .7.已知三角形ABC 的三边长为c b a ,,满足18,10==+ab b a ，8=c，则此三角形为 三角形.8.在三角形ABC 中，AB=12cm ，AC=5cm ，BC=13cm ，则BC 边上的高为AD= cm . 三、解答题9. 如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD 的面积.10. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.11. 如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C 处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ，求树高AB .12.如图，为修通铁路凿通隧道AC ，量出∠A=40°∠B ＝50°，AB ＝5公里，BC ＝4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AB 凿通？勾股定理的逆定理 （3）一、基础·巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶52.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）.图18 图18－2－5 图18－2－63.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________.4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF=41AD ，试判断△EFC 的形状.5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图18－2－76.已知△ABC 的三边分别为k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形.二、综合·应用7.已知a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边长，△A 1B 1C 1的三边长分别是2a 、2b 、2c ，那么△A 1B 1C 1是直角三角形吗？为什么？8.已知：如图18－2－8，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD·BD.求证：△ABC 是直角三角形.图18－2－89.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为A （3，1），B （2，4），△OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论. 图18－2－910.已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形ABCD 的面积.CAD图18－2－10勾股定理的应用（4）1.三个半圆的面积分别为S 1=4.5π，S 2=8π，S 3=12.5π，把三个半圆拼成如图所示的图形，则△ABC 一定是直角三角形吗？说明理由。
勾股定理练习题及答案
勾股定理练习题及答案一、选择题1、直角三角形的两直角边分别为 5 厘米、12 厘米，则斜边长是（）A 13 厘米B 14 厘米C 15 厘米D 16 厘米答案：A解析：根据勾股定理，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
所以斜边的平方＝ 5²＋ 12²＝ 25 ＋ 144 ＝ 169，斜边长为 13 厘米。
2、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A 3，4，6B 5，12，13C 5，11，12D 2，3，4答案：B解析：对于选项 A，3²＋ 4²＝ 9 ＋ 16 ＝ 25，6²＝ 36，因为25 ≠ 36，所以不能组成直角三角形；对于选项 B，5²＋ 12²＝ 25 ＋ 144 ＝169，13²＝ 169，因为 169 ＝ 169，所以能组成直角三角形；对于选项C，5²＋ 11²＝ 25 ＋ 121 ＝ 146，12²＝ 144，因为146 ≠ 144，所以不能组成直角三角形；对于选项 D，2²＋ 3²＝ 4 ＋ 9 ＝ 13，4²＝ 16，因为13 ≠ 16，所以不能组成直角三角形。
3、一个直角三角形的三边长分别为 2，3，x，则 x 的值为（）A √13B √5C √13 或√5D 无法确定答案：C解析：当 x 为斜边时，x ＝√（2²＋ 3²) ＝√13；当 3 为斜边时，x ＝√（3² 2²) ＝√5。
所以 x 的值为√13 或√5 。
4、已知直角三角形的两条边长分别是 5 和 12，则第三边的长为（）A 13B √119C 13 或√119D 不能确定答案：C解析：当 12 为斜边时，第三边的长为√（12² 5²) ＝√119；当 5 和12 为直角边时，第三边的长为√（5²＋ 12²) ＝ 13。
勾股定理竞赛试卷(含解答)
八年级数学《勾股定理》竞赛试卷（时间：120分钟，总分：120分）一、选择题（每小题5分，共25分）1、△ABC 周长是24，M 是AB 的中点MC=MA=5，则△ABC 的面积是（ ）A ．12;B ．16;C ．24;D ．302、如图，在正方形ABCD 中，N 是CD 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC ，则AM ：AB=（ ）A ．31; B ．33; C ．21; D ．63第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图3、如图，已知O 是矩形ABCD 内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD 的长为（ ） A.2; B.22; C.23; D.34、如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA=PB=10，并且P 点到CD 边的距离也等于10，那么，正方形ABCD 的面积是（ ）A ．200;B ．225;C ．256;D ．150+1025、如图，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，若在AB 、AC 上各取一点N 、M ，使得BM+MN 的值最小，这个最小值为（ ）A ．12;B ．102;C ．16;D ．20二、填空题（每小题5分，共25分） 第（5）题图6、如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有10个不同的点1021,,P P P ，记C P B P AP M i i i i ⋅+=2（i = 1，2，……，10），那么， 1021M M M +++ =_________。
第（6）题图7、 如图，设∠MPN=20°，A 为OM 上一点，OA=43，D 为ON 上一点，OD=83，C 为AM 上任一点，B 是OD 上任意一点，那么折线ABCD 的长最小为__________。
第（7）题图 第（8）题图8、如图，四边形ABCD 是直角梯形，且AB=BC=2AB ，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形ABCD 的面积=__________。
2022-2023学年度北师大版八年级数学上册第一章勾股定理专题攻克练习题(含答案详解)
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理专题攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、一个直角三角形的两条直角边边长分别为6和8，则斜边上的高为（ ）A ．4.5B ．4.6C ．4.8D ．52、如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2－MB 2等于（ ）A ．29B ．32C ．36D ．453、如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）.A ．54 B ．52 C ．53 D ．654、如图，在Rt △ACB 和Rt △DCE 中，AC ＝BC ＝2，CD ＝CE ，∠CBD ＝15°，连接AE ，BD 交于点F ，则BF 的长为（ ）A ．B C ．D 5、如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两直角边分别是a 、b ，且2()15a b +=，大正方形的面积是9，则小正方形的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66、已知点P 是AOB ∠平分线上的一点，且5OP =，作PM OB ⊥于点M ，点N 是射线OA 上的一个动点，若4OM =，则PN 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57、如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，则BAC ∠与DAC ∠的大小关系为（ ）A ．BAC DAC ∠>∠B ．BAC DAC ∠<∠ C ．BAC DAC ∠=∠D ．无法确定8、如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ）A ．0.7米B ．1.5米C ．2.2米D ．2.4米9、在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（ ）A ．如果a 2=b 2−c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠A =90°B ．如果∠A :∠B :∠C =1:2:3，那么△ABC 是直角三角形C ．如果222::9:16:25a b c =，那么△ABC 是直角三角形D ．如果A B C ∠-∠=∠，那么△ABC 是直角三角形10、如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，两直角边6cm AC =，8cm BC =，现将AC 沿AD 折叠，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，则CD 长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、一根直立于水中的芦节（BD ）高出水面（AC ）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D 恰好到达水面的C 处，且C 到BD 的距离AC ＝6米，水的深度（AB ）为________米2、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，BC ，AC 边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当10AB =，6BC =时，阴影部分的面积为________．3、如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm 的F 处有一苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为__________cm（容器壁厚度忽略不计）．4、如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．5、如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想，由它可以推导出很多重要的公式．（1）如图1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．①用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为 ，第二次列式为 ，因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积，所以可以得出等式 ；②在①中，如果7a b +=，10ab =，请直接用①题中的等式，求阴影部分的面积；（2）如图3，两个边长分别为a ，b ，c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究a ，b ，c 之间的数量关系．2、一架云梯长25m ，如图所示斜靠在一而墙上，梯子底端C 离墙7m ．（1）这个梯子的顶端A 距地面有多高?（2）如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?3、细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．OA 22=212+=，1S =OA 32=12+23=，2S =OA 42=12+24=，3S =（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律：OA n2=______；S n=______．（2）求出OA10的长．（3（4）求出S12+S22+S32+…+S102的值．4、如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即8BC ，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？5、在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边的高．【详解】解：设斜边长为c，高为h．由勾股定理可得：c2=62+82，则 c=10 ，直角三角形面积S=12×6×8=12×c×h，可得h=4.8 ，故选：C．【考点】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求直角三角形的边长和利用面积法求直角三角形的高是解决此类题的关键．2、D【解析】【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）＝AC2−AB2＝45．故选：D．【考点】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．3、D【解析】【分析】先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF=AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．【详解】解：如图，连接AP，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴∠EAF=90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF=AP，∴EF，AP的交点就是M点．∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵12AP•BC=12AB•AC，∴AP•BC=AB•AC，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴5AP=3×4，∴AP=125，∴AM=65．故选：D．【考点】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解题的关键是求出AP 的最小值．4、B【解析】【分析】由已知证得ACE BCD ≅，进而确定ABF 三个内角的大小，求得12BF AB =，进而可得到答案． 【详解】解：∵90,90ACB DCE ∠=︒∠=︒∴ACB BCE DCE BCE ∠+∠=∠+∠∴ACE BCD ∠=∠又∵,AC BC CD CE ==∴ACE BCD ≅∴15CAE CBD ∠=∠=︒∵在等腰直角三角形中45ABC BAC ∠=∠=︒∴60,30ABF ABC CBD BAF BAC CAE ∠=∠+∠=︒∠=∠-∠=︒∴18090AFB ABF BAF ∠=︒-∠-∠=︒ ∴12BF AB =∵AB =∴BF =故选：B ．【考点】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理；熟练掌握相关知识是解题的关键．5、A【解析】【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积−4个直角三角形的面积，利用已知(a+b)2=15，大正方形的面积为9，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．【详解】解：∵(a+b)2=15，∴a2+2ab+b2=15，∵大正方形的面积为：a2+b2=9，∴2ab=15−9=6，即ab=3，∴直角三角形的面积为：13 22 ab=，∴小正方形的面积为：394=32-⨯，故选：A．【考点】此题主要考查了完全平方公式及勾股定理的应用，熟练应用完全平方公式及勾股定理是解题关键．6、B【解析】【分析】根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：当PN ⊥OA 时，PN 的值最小，∵OC 平分∠AOB ，PM ⊥OB ，∴PM =PN ，∵5OP =，4OM =，PM OB ⊥，∴由勾股定理可知：PM =3，∴PN 的最小值为3．故选B ．【考点】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质及勾股定理，熟记性质是解题的关键．7、C【解析】【分析】根据每个小网格都为正方形，设每个网格为1，由勾股定理可以求出AD 、AC 、 CD 的长，再由勾股定理的逆定理得到△ACD 为等腰直角三角形，同理可得△ABC 为等腰直角三角形，即∠BAC = ∠DAC ．【详解】解：如图，设正方形每个网格的边长都为1，连接CD 、BC ，则222222222=+==+==+=，，，AD CD AC2152153110225510+=+=，AD CD222∴+=，AD CD ACAD CD=，∴为等腰直角三角形，ACD∴∠=︒，45CAD同理：222222222=+==+==+=，，，BC AC AB31103110422022101020+=+=，BC AC222BC AC AB∴+=，=，BC AC∴为等腰直角三角形，ACB∴∠=︒，45BAC∴∠=∠．BAC DAC故选：C．【考点】本题考查勾股定理的性质、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定，解本题的关键要掌握勾股定理及逆定理的基本知识．8、C【解析】【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选：C．【考点】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.9、A【解析】【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【详解】解：A、如果a2=b2-c2，即b2=a2+c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，选项错误，符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；C、如果a2：b2：c2=9：16：25，满足a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；D、如果∠A-∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；故选：A．【考点】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．10、A【解析】【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．【详解】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°，∴AB10=（cm），由折叠的性质得：AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，∴BE＝10cm−6cm＝4cm，∠BED＝90°，设CD＝x，则BD＝BC−CD＝8−x，在Rt△DEB中，BE2＋DE2＝BD2，即42＋x2＝（8−x）2，解得：x＝3，∴CD ＝3cm ，故选：A ．【考点】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠性质并表示出Rt △DEB 的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．二、填空题1、8【解析】【分析】先设水深x 米，则AB =x ，则有BD =AD +AB =x +2，由题条件有BD =BC =x +2，又根据芦节直立水面可知BD ⊥AC ，则在直角△ABC 中，利用勾股定理即可求出x ．【详解】解：设水深x 米，则AB =x ，则有：BD =AD +AB =x +2，即有：BD =BC =x +2，根据芦节直立水面，可知BD ⊥AC ，且AC =6，则在直角△ABC 中：222AB AC BC +=，即：2226(2)x x +=+，解得x =8，即水深8米，故答案为8．【考点】本题考查了勾股定理的应用，从现实图形中抽象出勾股定理这一模型是解答本题的关键．2、24【解析】【分析】根据勾股定理得到AC 2=AB 2-BC 2，先求解AC ，再根据阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上以AC ，BC 为直径的半圆面积，再减去以AB 为直径的半圆面积即可．【详解】解：由勾股定理得，AC 2=AB 2-BC 2=64，8,AC ∴=则阴影部分的面积22211111112222222AC BC AC BC AB 222116828AC BC AB24=，故答案为24．【考点】本题考查的是勾股定理、半圆面积计算，掌握勾股定理和半圆面积公式是解题的关键．3、34【解析】【分析】首先展开圆柱的侧面，即是矩形，接下来根据两点之间线段最短，可知CF 的长即为所求；然后结合已知条件求出DF 与CD 的长，再利用勾股定理进行计算即可.【详解】如图为圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段CF 是蜘蛛由C 到F 的最短路程.根据题意，可知DF=18-1-1=16（cm ），CD 160302=⨯=（cm ），∴34CF =（cm ），即蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm.故答案为34.【考点】此题是有关最短路径的问题，关键在于把立体图形展开成平面图形，找出最短路径；4、53【解析】【分析】设CF x =，在Rt CFD '△中利用勾股定理求出x 即可解决问题．【详解】解：∵D '是BC 的中点，8BC =，6CD =， ∴142D C BC '==， 由折叠的性质知：DF D F ='，设CF x =，则6D F DF CD CF x '==-=-，在Rt CFD '△中，根据勾股定理得：222D F CF CD '=+'，即：()22264x x -=+，解得53x =， ∴53CF =． 故答案为：53【考点】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型．5、2.5m【解析】【详解】设木棒的长为xm ，根据勾股定理可得：x 2=22+1.52，解得x=2.5．故木棒的长为2.5m ．故答案为2.5m ．三、解答题1、（1）①2()a b -，2()4a b ab +-，22()()4a b a b ab -=+-；或2()4a b ab +-，2()a b -，22()4()a b ab a b +-=-；②9；（2）222+=a b c 【解析】【分析】（1）①第一次求解阴影部分的边长，再计算面积，第二次利用大的正方形的面积减去四个长方形的面积，从而可建立等式；②直接利用公式22()()4a b a b ab -=+-，再整体代入求值即可；（2）第一次利用梯形的面积公式计算，第二次利用图形的面积和计算，从而得到公式，再整理即可得到答案.【详解】解：（1）因为小正方形的边长为：,a b -所以第一次计算的面积为：2()a b -，第二次计算的面积为：2()4a b ab +-，所以：22()()4a b a b ab -=+-；或2()4a b ab +-，2()a b -，22()4()a b ab a b +-=-②∵7a b +=，10ab =∴22()()4a b a b ab -=+-274109=-⨯=（3）第一次利用梯形的面积公式图形面积为：()21,2a b + 第二次利用图形的面积和计算为：2112,22ab c ⨯+ ∴ 22111()2222a b ab c +=⨯+ 整理得：22222a ab b ab c ++=+∴ 222+=a b c【考点】本题考查的是利用几何图形的面积推导代数公式，掌握等面积法推导两个完全平方公式之间的关系，推导勾股定理是解题的关键.2、（1）这个梯子的顶端A 距地面有24m 高；（2）梯子的底部在水平方向滑动了8m ．【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）先求出BD ，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：（1）由题意可知：90B ∠=︒，25m AC DE ==；7m BC =，在Rt ABC 中，由勾股定理得：222AB BC AC +=，∴AB=24=，因此，这个梯子的顶端A 距地面有24m 高．（2）由图可知：AD =4m ，24420BD AB AD =-=-=，在Rt DBE 中，由勾股定理得：222BE BD DE +=，∴BE ==15=，∴1578CE BE BC =-=-=．答：梯子的底部在水平方向滑动了8m ．【考点】此题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意在直角三角形中，利用勾股定理进行求解．3、（1）OAn2＝n；Sn（2）OA10；（3）说明他是第20个三角形；（4）554．【解析】【分析】（1）利用已知可得OA n2，注意观察数据的变化，（2）结合（1）中规律即可求出OA102的值即可求出，（3（4）根据题意列出式子即可求出．【详解】（1）结合已知数据，可得：OAn2＝n；Sn（2）∵OAn2＝n，∴OA10；（3Sn∴说明他是第20个三角形，（4）S12+S22+S32+…+S102，＝12310 4444+++⋯+，＝123104+++⋯+，＝51054⨯+， ＝554．故答案为（1）OAn 2＝n ；Sn （2）OA 10；（3）说明他是第20个三角形；（4）554． 【考点】本题考查规律型：图形的变化类，勾股定理的应用.4、这棵树在离地面6米处被折断【解析】【分析】设AC x =，利用勾股定理列方程求解即可.【详解】解：设AC x =，∵在Rt ABC △中，222AC BC AB +=，∴()222816x x +=-，∴6x =．答：这棵树在离地面6米处被折断【考点】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．5、（1）是，理由见解析；（2）2.5米．【解析】【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得Rt△CHB 是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；（2）设AC ＝AB ＝x ，则AH ＝x －1.8，在Rt△ACH 中，根据勾股定理列方程求得x 即可．【详解】（1）∵2221.8 2.43+=，即222+=BH CH BC ，∴Rt△CHB 是直角三角形，即CH⊥BH，∴CH 是从村庄C 到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；（2）设AC ＝AB ＝x ，则AH ＝x －1.8，∵在Rt△ACH，∴222CH AH AC +=，即 2222.4 1.8)x x -=+(，解得x ＝2.5，∴原来的路线AC 的长为2.5米．【考点】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答本题的关键．。
勾股定理课本习题数学试卷(打印)
勾股定理课本习题数学试卷一、选择题（共6小题；共30分）1. 如图，一棵高为的大树被台风刮断．若树在离地面处折断，则树顶端落在离树底部处．A. B. C. D.2. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，3. 如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为A. B. C. D. 无法计算4. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮用到达点，乙客轮用到达点．若，两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是A. 北偏西B. 南偏西C. 南偏东D. 南偏西5. 如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是A. B. C. D.6. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，那么的值为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）7. 命题“在同一个三角形中，等边对等角”的逆命题是，它是（填“真命题”或“假命题”）．8. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为，，那么这个直角三角形斜边上的高为．9. 三角形的两边长分别为和，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是．10. 如图，一根长的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则的取值范围是．三、解答题（共48小题；共624分）11. 设直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为．（1）已知，，求；（2）已知，，求；（3）已知，，求．12. 一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处．木杆折断之前有多高?13. 如图，一个圆锥的高，底面半径．的长是多少?14. 已知长方形零件尺寸（单位：）如图，求两孔中心的距离（结果保留小数点后一位）．15. 如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条长为的钢缆．求地面钢缆固定点到电线杆底部的距离（结果保留小数点后一位）．16. 在数轴上作出表示的点．17. 在中，，．（1）如果，求，；（2）如果，求，．18. 在中，，，，求：（1）的面积；（2）斜边；（3）高．19. 已知一个三角形工件尺寸（单位：）如图，计算高的长（结果取整数）．20. 有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?21. 如图，在中，，，．求斜边的长．22. 有个边长为的正方形，排列形式如图．请把它们分割后拼接成一个大正方形．23. 如图，分别以等腰的边，，为直径画半圆．求证：所得两个月形图案和的面积之和（图中阴影部分）等于的面积．24. 如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上．求证：．（提示：连接．）25. 设直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长．（1）已知，，求；（2）已知，，求；（3）已知，，求．26. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形，，，的边长分别是，，，，求最大正方形的面积．27. 如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．求，两点间的距离（结果取整数）．28. 如图，在平面直角坐标系中有两点和．求这两点之间的距离．29. 在数轴上作出表示的点．30. 如图，等边三角形的边长是．求：（1）高的长；（2）这个三角形的面积．31. 判断由线段，，组成的三角形是不是直角三角形：（1），，；（2），，；（3），，；（4），，．32. 下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗?（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）如果两个角是直角，那么它们相等；（3）全等三角形的对应边相等；（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等．33. 小明向东走后，沿另一方向又走了，再沿第三个方向走回到原地，小明向东走后是向哪个方向走的?34. 在中，，，边上的中线．求．35. 如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．36. 如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．求证．37. 我们知道，，是一组勾股数，那么，，（是正整数）也是一组勾股数吗?一般地，如果，，的一组勾股数，那么，，（是正整数）也是一组勾股数吗?38. 如果三条线段长，，满足，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形?为什么?39. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗?（1）两条直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；（3）全等三角形的对应角相等；（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．40. ，，三地的两两距离如图所示，地在地的正东方向，地在地的什么方向?41. 两人从同一地点同时出发，一人以的速度向北直行，一人以的速度向东直行．后他们相距多远（结果取整数）?42. 如图，过圆锥的顶点和底面圆的圆心的平面截圆锥得截面，其中，是圆锥底面圆的直径．已知，，求截面的面积．43. 如图，车床齿轮箱壳要钻两个圆孔，两孔中心的距离是，两孔中心的水平距离是．计算两孔中心的垂直距离（结果保留小数点后一位）．44. 如图，要修一个育苗棚，棚的横截面是直角三角形，棚宽，高，长．求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少平方米（结果保留小数点后一位）．45. 一个三角形三边的比为，这个三角形是直角三角形吗?46. 下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗?（1）两条直线平行，同位角相等；（2）如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；（3）等边三角形是锐角三角形；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．47. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，求斜边的长．48. 如图，在中，，高，求．49. 如图，每个小正方形的边长都为．（1）求四边形的面积与周长；（2）是直角吗?50. 一根竹子高丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端尺处，折断处离地面的高度是多少?（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，丈尺．）51. 古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于的整数，，，，那么，，为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗?52. 如图，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点的最短路程是多少厘米（结果保留小数点后一位）?53. 一根的木棒，要放在长、宽、高分别是，，的长方体木箱中，能放进去吗?（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线．）54. 设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为，及．求证：．55. 在中，．（1）已知，，求；（2）已知，，求，．56. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是．（1）分别求出线段，的长度；（2）在图中画线段，使得的长为，以，，三条线段能否构成直角三角形，并说命理由．57. 图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为和，斜边长为．图（2）是以为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个直角梯形．（1）画出拼成的这个图形的示意图；（2）利用（1）画出的图形证明勾股定理．58. 在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点．（1）如图，如果点和顶点重合，求的长；（2）如图，如果点落在直角边的中点上，求的长．答案第一部分1. C2. A3. C4. B5. B【解析】在中，，，根据勾股定理得：，在中，，，，为直角三角形，．则四边形6. C第二部分7. 在同一个三角形中，等角对等边，真命题8.9. 或10.第三部分11. （1）；（2）；（3）．12. ．13. ．14. ．15. ．16. 略．17. （1），；（2），．18. （1）；（2）；（3）．19. ．20. 尺；尺．21. ．22. 分割方法和拼接方法分别如图（1）和图（2）所示．，23.半圆，半圆．半圆，根据勾股定理得，．半圆半圆半圆，阴影半圆半圆半圆．即阴影24. 证法1：如图（1），连接．和都为等腰直角三角形，，，．．．，．又，．在中，，得，即．【解析】证法2：如图（2），作，，由条件可知，．在中，根据勾股定理得．．在等腰和等腰中，根据勾股定理得，．又，，，．而，．25. （1）；（2）；（3）．26.27. ．28.29. 略．30. （1）．（2）．31. （1）是．（2）是．（3）是．（4）不是．32. （1）两直线平行，同旁内角互补，成立．（2）如果两个角相等，那么这两个角是直角．不成立．（3）三条边对应相等的三角形全等．成立．（4）如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等．不成立．33. 向北或向南．34. ．35. ．36. 设，则，，．，．同理，，．．根据勾股定理的逆定理，为直角三角形．．37. 因为，所以，，（是正整数）为勾股数．如果，，为勾股数，即，那么．因此，，，（是正整数）也是勾股数．38. 是．由，可得，根据勾股定理的逆定理可判定是直角三角形．39. （1）内错角相等，两直线平行，成立．（2）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，不成立．（3）对应角相等的两个三角形全等，不成立．（4）角平分线上的点到角的两边的距离相等，成立．40. 正北方向．41. ．42.43. ．44. ．45. 设这个三角形三边为，，，其中．由于，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．46. （1）同位角相等，两直线平行．成立．（2）如果两个实数的积是正数，那么这两个实数是正数．不成立．（3）锐角三角形是等边三角形．不成立．（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．成立．47. ．48. ．49. （1），（2）由，，可得．根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，因此是直角．50. 尺．51.，，为勾股数．用，，等大于的整数代入，，，得，，；，，；，，；等等．52.53. 能．54. 由直角三角形的面积公式，得，等式两边平方得，等式两边再同除以，得，即．55. （1）．（2），56. （1）（2）图略．因为，，，所以能构成直角三角形．57. （1）如图所示．（2），梯形化简得．58. （1）设，则，在中，根据勾股定理得，解得，即．（2）设，则，在中，根据勾股定理得，解得，即．。
完整版)勾股定理测试题(含答案)
完整版)勾股定理测试题(含答案)18.2勾股定理的逆定理达标训练一、基础巩固1.下列条件满足不是直角三角形的三角形是（）A。
三内角之比为1∶2∶3B。
三边长的平方之比为1∶2∶3C。
三边长之比为3∶4∶5D。
三内角之比为3∶4∶52.如图18-2-4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）。
图18-2-43.如图18-2-5，以直角三角形ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________。
图18-2-54.如图18-2-6，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB 中点，F为AD上的一点，且AF=√10，则BE的长为_________。
图18-2-65.一个零件的形状如图18-2-7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，BD=5，DC=12，BC=13，这个零件符合要求吗？试判断△XXX的形状。
图18-2-76.已知△ABC的三边分别为k2-1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形。
二、综合应用7.已知a、b、c是直角三角形ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？8.已知：如图18-2-8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。
求证：△ABC是直角三角形。
图18-2-89.如图18-2-9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论。
图18-2-910.已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△XXX的形状。
解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，(A)∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是直角三角形。
2022年最新人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专项攻克试题(含答案解析)
人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专项攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（）A．10﹣B． 5 C D．20﹣2、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，BD是△ABC的中线，过点C作CP⊥BD于点P，图中阴影部分的面积为（）A．43B．95C．2710D．1853、如图，在数轴上，点O对应数字O，点A对应数字2，过点A作AB垂直于数轴，且AB=4，连接OB，绕点O顺时针旋转OB，使点B落在数轴上的点C处，则点C所表示的数介于（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间4、如图，在长方形ABCD中，分别按图中方式放入同样大小的直角三角形纸片．如果按图①方式摆放，刚好放下4个；如果按图②方式摆放，刚好放下3个．若BC＝4a，则按图③方式摆放时，剩余部分CF的长为（）A．23aB．32aC．53aD．35a5、如图，以Rt△ABC（AC⊥BC）的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1﹑S2﹑S3，若S1＋S2＋S3＝12，则S1的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．76、如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中90ABC ∠=︒，13cm AC =，5cm AB =，则阴影部分的面积是（ ）2cmA ．169B ．25C ．49D ．647、如图，黑色部分长方形的面积为（ ）A ．24B ．30C ．40D ．488、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）cm ．A．15 B．20 C．18 D．309、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为3，则S1+S2+S3的值是（）A．20 B．27 C．25 D．4910、如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的边长为（）A．64 B．16 C．8 D．4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知跷跷板长为3.9米，小明和小红坐在两端玩跷跷板，在这个过程中，跷跷板的两端端点在水平方向的距离的最小值为3.6米，此时较高端点距离地面的高度等于 _____米．2、如图，一圆柱高8cm，底面半径为6πcm，一只蚂蚁从点A沿侧面爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是_____cm．3、如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为 _____．4、如图，在ABC中，90ACB∠=︒，13AB=，12BC=，D为BC边上一点，将ABD△沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上的点E处，则DE的长为________．5、如图，在ABC中，90ACB∠=︒，CD AB⊥于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上．若10AB=，8BC=，则ACE的面积为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知点A、B都在格点上（网格线的交点叫做格点），且它们的坐标分别是A（2，-4）、B（3，-1）．（1）点B关于y轴的对称点的坐标是；（2）若点C的坐标是(0，-2)，将△ABC先沿y轴向上平移4个单位长度后，再沿y轴翻折得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，B1点的坐标是；（3）111A B C△的面积为___；（4）在现有的网格中，到点B1距离为10的格点的坐标是2、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸l的距离分别为AC=1km，BD=3km，且CD=3km．（1）牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短请在图中画出饮水的位置（保留作图痕迹），并说明理由．（2）求出（1）中的最短路程．3、如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．求：（1）AB的长；（2）△CDF的面积．4、如图，在10×10的网格中建立如图的平面直角坐标系，线段AB两个端点的坐标分别是A（1，4），B（3，1）（1）画出线段AB关于y轴对称的线段CD，则点A的对应点C的坐标是；（2）将线段AB先向左平移4个单位，再向下平移5个单位，画出平移后的对应线段EF，观察线段EF 与DC是否关于某直线对称？若是，则对称轴是；E点坐标是；（3）△ABP是以AB为直角边的格点等腰直角三角形（A，B，P三点都是小正方形的顶点），则点P的坐标是5、如图，在边长为1的正方形网格中，等边三角形ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，0），B （4，0），C（m，n）且mn＞0，求：（1）写出边BC的长；（2）在如图所示的网格平面内建立适当的直角坐标系；（3）写出点C的坐标．---------参考答案-----------一、单选题1、A【分析】过点A作AF⊥BC于点F，由题意易得2==，再根据点D，E是边BC的两个黄金分割点，可得BF CF2BE CD ===，根据勾股定理可得AF =28DE DF ==，然后根据三角形的面积计算公式进行求解．【详解】解：过点A 作AF ⊥BC 于点F ，如图所示：∵3AB AC ==，4BC =，∴2BF CF ==，∴在Rt △AFB 中，AF∵点D ，E 是边BC 的两个黄金分割点，∴2BE CD ===，∵4EF BE BF =-=，4DF CD CF =-=，∴DF =EF ，∴28DE DF ==，∴()1181022ADE S DE AF ==-△故选：A【点睛】本题主要考查二次根式的运算、勾股定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握二次根式的运算、勾股定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．2、C【分析】根据勾股定理求出AC=BD=1922BCD ABCS S∆∆==，从而求出PC的长，再运用勾股定理求出BP的长，得DP的长，进一步可求出图中阴影部分的面积．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，∴AC又1163922ABCS AB BC∆==⨯⨯=∵BD是△ABC的中线，∴BD1922 BCD ABCS S∆∆==∴19 22 BD PC=∴PC=在Rt△PBC中，PC=，BC＝3，∴BP==∴PD BD BP=-==∴11272210DCP S DP PC ∆==⨯故选：C【点睛】本题考查了勾股定理以及中线与三角形面积的关系，求出PC =3、C【分析】 因为△OAB 是一个直角三角形，且有OC =OB ，所以可求得OB 的长度即得C 点所表示的数，可判断其大小．【详解】解：∵AB ⊥OA∴在直角三角形OAB 中有 OA 2+AB 2=OB 2∴.OB＜5又∵OC =OB∴点C 所表示的数介于4和5之间故选：C ． 【点睛】此题考查勾股定理，无理数的估算，重点就是由垂直而组成的直角三角形的性质，从而解得答案．4、A【分析】由题意得出图①中，BE =a ，图②中，BE =43a ，由勾股定理求出小直角三角形的斜边长为53a ，进而得出【详解】解：∵BC=4a，∴图①中，BE=a，图②中，BE=43 a，5 3a=，∴图③中纸盒底部剩余部分CF的长为4a-2×53a=23a；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．5、C【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．【详解】解：∵由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，∴S3+S2=S1，∵S1+S2+S3=12，∴2S1=12，∴S1=6，故选：C．【点睛】题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．【分析】先利用勾股定理求出12BC =，再利用大正方形的面积减去四个全等直角三角形的面积即可得．【详解】解：90ABC ∠=︒，13cm AC =，5cm AB =，12(cm)BC ∴， 则阴影部分的面积是211313451249(cm )2⨯-⨯⨯⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题关键．7、B【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，再利用长方形面积公式进行求解即可．【详解】解：在直角三角形中，两直角边为6和8，10=，∴长方形面积为：10330⨯=，故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，长方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理．8、A【分析】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，则BC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求得BC 的长．【详解】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，如图所示：则DB=AD=4cm，由题意及辅助线作法知，M与N分别为GH与DF的中点，且四边形CMHE为长方形，∴CE=MH=9cm，EH=CM=4cm，∴DE=DH－EH=12－4=8cm，∴BE=DE+DB=8+4=12cm，在Rt△BEC中，由勾股定理得：15===，BC cm即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15cm，故选;：A．【点睛】本题考查了勾股定理，两点间线段最短，关键是把空间问题转化为平面问题解决，这是数学上一种重要的转化思想．9、B【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，得出CG＝KG，CF＝DG ＝KF，再根据S1＝（CG+DG）2，S2＝GF2，S3＝（KF﹣NF）2，S1+S2+S3＝3GF2，即可求解．【详解】解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：CG2+CF2=GF2，∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，∴CG=KG=FN，CF=DG=KF，∴S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CG•DG=CG2+CF2+2CG•DG=GF2+2CG•DG，S2=GF2，S3=（KF-NF）2，=KF2+NF2-2KF•NF=KF2+KG2-2DG•CG=FG2-2CG•DG，∵正方形EFGH的边长为3，∴GF2=9，∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+FG2-2CG•DG=3GF2=27，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质等知识，根据已知得出S1+S2+S3=3GF2=27是解题的关键．10、C【分析】根据勾股定理求出正方形A的面积，根据算术平方根的定义计算即可．【详解】解：由勾股定理得，正方形A的面积＝289－225＝64，8，∴字母A故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．二、填空题1、1.5##【分析】设较高端点距离地面的高度为h米，此时，跷跷板长即为直角三角形的斜边长，两端端点在水平方向的距离的最小值即为一条直角边长，利用勾股定理即可求出结果．【详解】解：设较高端点距离地面的高度为h米，根据勾股定理得：h2＝3.92﹣3.62＝2.25，∴h＝1.5（米），故答案为：1.5．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决问题的关键．2、10【分析】将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】解：∵一圆柱高8cm，底面半径为6πcm，∴底面周长为：2×π×6π＝12cm，则半圆弧长为6cm，展开得：BC＝8cm，AC＝6cm，由勾股定理得：10AB（cm）．故答案为：10cm．【点睛】本题考查了勾股定理的实际运用—求最短距离，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度．3、10【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS ，利用勾股定理即可得出AS 的长．【详解】解：如图所示，∵AB ＝12×16＝8，BS ＝12BC ＝6，∴AS 10．故答案为：10．【点睛】本题考查的是平面展开一最短路径问题,根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．4、263 【分析】根据勾股定理求出5AC =，再根据折叠的性质得到13AE AB ==，BD DE =，再根据勾股定理计算即可；【详解】∵90ACB ∠=︒，13AB =，12BC =，∴5AC ，∵将ABD △沿AD 折叠，若点B 恰好落在线段AC 的延长线上的点E 处，∴13AE AB ==，BD DE =，∴8CE =，∵222CD E DE C =+，∴()22212DE DE CE =-+， ∴263DE =； 故答案是263． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质和勾股定理，准确计算是解题的关键．5、725【分析】由勾股定理求得AC 的长，由面积关系可求得CD 的长，再由勾股定理可求得BD 的长；由折叠的性质可得8B C BC '==，EB C EBC SS '=，由此面积关系可求得DE 与BE 的关系，从而可求得BE 及AE 的长，进而可求得结果．【详解】∵90ACB ∠=︒，10AB =，8BC =∴由勾股定理得：6AC == ∵1122AB CD AC BC ⨯=⨯ ∴245AC BC CD AB ⨯==在Rt △BCD 中，由勾股定理得：325BD == 由折叠的性质可得8B C BC '==，EB C EBC SS '= ∴1122B C DE BE CD '⨯=⨯ ∴2485DE BE =∴35DE BE = ∵325BE DE BD +==即33255BE BE +=解得：BE =4∴AE =AB −BE =10−4=6 ∴11247262255ACE S AE CD =⨯=⨯⨯= 故答案为：725 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形面积的计算，利用EB C EBC SS '=得出DE 与BE 的关系是关键．三、解答题 1、（1）(3,1)--；（2）(-3，3) 图见解析；（3）4；（4）(5，-3)或 (3，-5)【分析】（1）直接根据轴对称的性质写出点B 关于y 轴的对称点的坐标即可；（2）根据题中方式平移并翻折，画出图形，写出坐标即可；（3）直接用111A B C △所在矩形的面积减去周围三角形的面积即可得到答案；（4）利用勾股定理可得点B 1距离为10的格点的坐标．【详解】解：（1）点B 关于y 轴的对称点的坐标是(3,1)--，故答案为：(3,1)--；（2）如图△A 1B 1C 1即为所作，B 1点的坐标是()3,3-，故答案为：()3,3-；（3）111113*********A B C S =⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=△， 故答案为：4；（4）符合题意的点可以为：(5,3)-，(3,5)-，故答案为：(5，-3)或 (3，-5)．【点睛】本题考查了轴对称变换以及平移变换、勾股定理，正确得出对应点位置是解本题的关键．2、（1）见解析；（2）5km A B '=【分析】（1）作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '交CD 于点E ，点E 即为所求；（2）过A '作A F BD '⊥的延长线于F ，根据勾股定理求解即可．【详解】解：（1）作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '交CD 于点E ，点E 即为所求，如下图， 理由：由题意可得，CD 垂直平分AA '∴AE A E '=，∴AE BE A E BE '+=+，根据两点之间，线段最短，可得A B E '、、共线时AE BE +最短；（2）由作图可得最短路程为A B '的距离，过A '作A F BD '⊥的延长线于F ，则1km DF ACAC ='==，3km A F CD '==，134km BF =+=，根据勾股定理可得，5km A B '==．【点睛】本题考查了线路最短的问题，涉及了轴对称变换的性质和勾股定理，确定动点为何位置并综合运用勾股定理的知识是解题的关键．3、（1）9；（2）54【分析】（1）由折叠的性质可知，EF =AE =5，然后再直角△BEF 中利用勾股定理求出BE 的长即可得到答案；（2）由四边形ABCD 是长方形，得到AD =BC ，CD =AB =9，∠C =90°，由折叠的性质可得AD =DF ，则BC =AD =DF ，设CF =x ，则BC =DF =x +3，由222DF CF CD =+，得到()22239x x +=+，解方程即可得到答案．【详解】解：（1）由折叠的性质可知，EF =AE =5，∵四边形ABCD 是长方形，∴∠B =90°，∴4BE =，∴AB =AE +BE =9；（2）∵四边形ABCD 是长方形，∴AD =BC ，CD =AB =9，∠C =90°，由折叠的性质可得AD =DF ，∴BC =AD =DF ，设CF =x ，则BC =DF =x +3，∵222DF CF CD =+，∴()22239x x +=+，解得12x =，∴CF =12， ∴1542CDF S CF CD =⋅=△【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．4、（1）画图见解析，()1,4C -；（2）x 轴，3,1E ；（3）120,1,2,2.P P【分析】（1）先确定,A B 关于y 轴对称的对应点,,C D 再连接CD 即可；（2）先确定,A B 平移后的对应点,,E F 再连接,EF 由图形位置可得,CD EF 关于x 轴对称，再写出E 的坐标即可；（3）先求解13,AB作1126,13,AP BP 再证明190,ABP 1△ABP 是等腰直角三角形，同理：作2=13,AP AB 证明290BAP ，所以2△ABP 是等腰直角三角形，从而可得答案.【详解】解：（1）如图，线段CD 即为所求作的线段，1,4,C（2）如图，线段EF 为平移后的线段，线段CD 与线段EF 关于x 轴对称，所以对称轴是x 轴，则3,1,E（3）如图，12,ABP ABP 即为所求作的三角形，由勾股定理可得：222222112313,1526,2313,AB AP BP 222111,,AB BP AB PB P A190,ABP1ABP 是等腰直角三角形，同理：22,90,AP AB BAP 所以2△ABP 是等腰直角三角形.此时：120,1,2,2.P P【点睛】 本题考查的是轴对称的性质，平移的性质，轴对称的作图，平移的作图，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的判定，数形结合的运用是解本题的关键.5、（1）BC ＝6；（2）见解析；（3）C （1，【分析】（1）根据(2,0)A ，(4,0)B ，可得AB 的长，再根据等边三角形的性质可得答案；（2）将点(2,0)A -向右平移2个单位即可得出原点，从而建立坐标系；（3）过点C 作CD AB ⊥于D ，利用勾股定理求出CD 的长即可．【详解】解：（1）(2,0)A -，(4,0)B ，6AB ∴=，ABC ∆是等边三角形，6BC AB ∴==；（2）如图所示：（3）如图，过点C 作CD AB ⊥于D ，ABC ∆是等边三角形，CD AB ⊥，3AD BD ∴==，1OD ∴=，∴=CD(1∴，．C【点睛】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．。
(完整版)《勾股定理》练习题及答案
《勾股定理》练习题及答案测试1 勾股定理(一)学习要求掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．课堂学习检测一、填空题1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______．2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C 所走的路程为______．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．二、选择题6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )．(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )．2(A)4 (B)6 (C)8 (D)108．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )．(A)150cm2 (B)200cm2 (C)225cm2 (D)无法计算三、解答题9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c； (4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．综合、运用、诊断一、选择题10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．(A)1个(B)2个 (C)3 (D)4个二、填空题11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．三、解答题13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．拓展、探究、思考14．如图，△ABC中，∠C＝90°．(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究S1＋S2与S3的关系；图①(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究S1＋S2与S3的关系；(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S 1＋S 2与S 3的关系．测试2 勾股定理(二)学习要求掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．课堂学习检测一、填空题1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，此时甲、乙两人相距______km ． 3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m 路，却踩伤了花草．4．如图，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m ． 二、选择题5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高( )． (A)5m(B)7m(C)8m(D)10m6．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为( )． (A)212 (B)310 (C)56(D)58三、解答题7．在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处；另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?综合、运用、诊断一、填空题9．如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC为______米．10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______(取3)二、解答题：11．长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．12．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?9 10 11 12拓展、探究、思考13．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD ＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．测试3 勾股定理(三)学习要求熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．课堂学习检测一、填空题1．在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB＝______，AB边上的高CE＝______．2．在△ABC中，若AB＝AC＝20，BC＝24，则BC边上的高AD＝______，AC边上的高BE＝______．3．在△ABC中，若AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝10，则AC＝______，AB边上的高CD＝______．4．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为______．5．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝______，AB ＝______，BC 边上的高AE ＝______． 二、选择题6．已知直角三角形的周长为62+，斜边为2，则该三角形的面积是( )．(A)41 (B)43 (C)21 (D)17．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )． (A)7 (B)7或41(C)24(D)24或7三、解答题8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点，AD ＝5，BE ＝102求AB 的长．9．在数轴上画出表示10-及13的点．综合、运用、诊断10．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝20，AB ＝10，延长AB 到D ，使CD ＋DB ＝AC ＋AB ，求BD 的长．11．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长．12．如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长．13．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．拓展、探究、思考14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少?15．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，S n(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝______，第n个正方形的面积S n＝______．测试4 勾股定理的逆定理学习要求掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．课堂学习检测一、填空题1．如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)4．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为____________； ②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为____________； ③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为____________．5．若△ABC 中，(b －a )(b ＋a )＝c 2，则∠B ＝____________；6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是______三角形． 7．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以a －2、a 、a ＋2为边的三角形的面积为______．8．△ABC 的两边a ，b 分别为5，12，另一边c 为奇数，且a ＋b ＋c 是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______． 二、选择题9．下列线段不能组成直角三角形的是( )． (A)a ＝6，b ＝8，c ＝10 (B)3,2,1===c b a (C)43,1,45===c b a (D)6,3,2===c b a10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．(A)1∶1∶2(B)1∶3∶4 (C)9∶25∶26(D)25∶144∶16911．已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．(A)一定是等边三角形 (B)一定是等腰三角形 (C)一定是直角三角形(D)形状无法确定综合、运用、诊断一、解答题12．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．13．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．14．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．15．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?拓展、探究、思考16．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．17．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．18．观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．参考答案 第十八章 勾股定理 测试1 勾股定理(一)1．a 2＋b 2，勾股定理． 2．(1)13； (2)9； (3)2，3； (4)1，2．3．52． 4．52，5． 5．132cm ． 6．A ． 7．B ． 8．C ． 9．(1)a ＝45cm ．b ＝60cm ； (2)540； (3)a ＝30，c ＝34； (4)63； (5)12．10．B ． 11．.5 12．4． 13．.310 14．(1)S 1＋S 2＝S 3；(2)S 1＋S 2＝S 3；(3)S 1＋S 2＝S 3．测试2 勾股定理(二)1．13或.119 2．5． 3．2． 4．10． 5．C ． 6．A ． 7．15米． 8．23米． 9．⋅3310 10．25． 11．.2232- 12．7米，420元． 13．10万元．提示：作A 点关于CD 的对称点A ′，连结A ′B ，与CD 交点为O ．测试3 勾股定理(三)1．;343415,34 2．16，19.2． 3．52，5． 4．.432a 5．6，36，33． 6．C ． 7．D8．.132 提示：设BD ＝DC ＝m ，CE ＝EA ＝k ，则k 2＋4m 2＝40，4k 2＋m 2＝25．AB ＝.1324422=+k m9．,3213,31102222+=+=图略．10．BD ＝5．提示：设BD ＝x ，则CD ＝30－x ．在Rt △ACD 中根据勾股定理列出(30－x )2＝(x ＋10)2＋202，解得x ＝5．11．BE ＝5．提示：设BE ＝x ，则DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．在Rt △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2，∴32＋(9－x )2＝x 2．解得x ＝5．12．EC ＝3cm ．提示：设EC ＝x ，则DE ＝EF ＝8－x ，AF ＝AD ＝10，BF ＝622=-AB AF ，CF ＝4．在Rt △CEF中(8－x )2＝x 2＋42，解得x ＝3．13．提示：延长FD 到M 使DM ＝DF ，连结AM ，EM ．14．提示：过A ，C 分别作l 3的垂线，垂足分别为M ，N ，则易得△AMB ≌△BNC ，则.172,34=∴=AC AB 15．128，2n －1．测试4 勾股定理的逆定理1．直角，逆定理． 2．互逆命题，逆命题． 3．(1)(2)(3)． 4．①锐角；②直角；③钝角． 5．90°． 6．直角．7．24．提示：7＜a ＜9，∴a ＝8． 8．13，直角三角形．提示：7＜c ＜17． 9．D ． 10．C ． 11．C ． 12．CD ＝9． 13．.51+14．提示：连结AE ，设正方形的边长为4a ，计算得出AF ，EF ，AE 的长，由AF 2＋EF 2＝AE 2得结论． 15．南偏东30°．16．直角三角形．提示：原式变为(a －5)2＋(b －12)2＋(c －13)2＝0．17．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可变形为(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0． 18．352＋122＝372，[(n ＋1)2－1]2＋[2(n ＋1)]2＝[(n ＋1)2＋1]2．(n ≥1且n 为整数)。
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八年级数学《勾股定理》竞赛试卷（时间：120分钟，总分：120分）一、选择题（每小题5分，共25分）1、△ABC 周长是24，M 是AB 的中点MC=MA=5，则△ABC 的面积是（）A ．12;B ．16;C ．24;D ．30 2、如图，在正方形ABCD 中，N 是CD 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC ，则AM ：AB=（）A ．31; B ．33; C ．21; D ．63第（1）题图第（2）题图第（3）题图3、如图，已知O 是矩形ABCD 内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD 的长为（）A.2; B.22; C.23; D.34、如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA=PB=10，并且P 点到CD 边的距离也等于10，那么，正方形ABCD 的面积是（）A ．200;B ．225;C ．256;D ．150+1025、如图，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，若在AB 、AC 上各取一点N 、M ，使得BM+MN 的值最小，这个最小值为（）A ．12;B ．102;C ．16;D ．20二、填空题（每小题5分，共25分）第（5）题图6、如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有10个不同的点1021,,P P P ，记C P B P AP M i i i i2（i = 1，2，……，10），那么，1021M M M =_________。
第（6）题图7、如图，设∠MPN=20°，A 为OM 上一点，OA=43，D 为ON 上一点，OD=83，C 为AM 上任一点，B 是OD 上任意一点，那么折线ABCD 的长最小为__________。
第（7）题图第（8）题图8、如图，四边形ABCD 是直角梯形，且AB=BC=2AB ，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形ABCD 的面积=__________。
9、若x + y = 12，那么9422y x 的最小值=___________。
10、已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为____________。
三、解答题（共70分）11、（本题10分）如图△ABC 三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC 内的点P 向△ABC 三边分别作垂线PD ，PE ，PF ，且BD+CE+AF=27，求BD+BF 的长度。
12、（本题15分）如图，在△ABC 中，AB=2，AC=3，∠A=∠BCD=45°，求BC 的长及△BDC 的面积。
13、（本题15分）设a,b,c,d 都是正数。
求证：ad d b a c b cdd c a 222222222214、（本题15分）如图，四边形ABCD 中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6，BC=5-3，CD=6，求AD 。
15、（本题15分）如图，正方形ABCD 内一点E ，E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为62，求此正方形的边长。
答案一、选择题1．C2．A3．B4．C5．C解答：1．∵MA=MB=MC=5，∴∠ACB=90°知周长是24，则AC+BC=14，AC 2+BC 2=102，∴2AC ·BC=(AC+BC)2-(AC2+BC 2) = 142-102=4×24 ∴2421BC AC S ABC 2．如图，延长MN 交BC 的延长线于T ，设MB 的中点为O ，连TO ，则△BAM ∽△TOB∴AM ：MB=OB ：BT∴MB 2=2AM ·BT （1）令DN=1，CT=MD=k ，则AM=2 – k所以BM=222)2(4k AM AB BT= 2 + k 代入（1），得4 + (2– k )2= 2 (2 – k ) (2 + k ) 所以 k = 34所以AM ：AB=32：2 = 313．如图，过O 作EF ⊥AD 于E ，交BC 于F ；过O 作GH ⊥DC 于G ，交AB 于H设CF=x ，FB = y, AH = s, HB = x,所以OG=x, DG = s所以OF 2=OB 2- BF2=OC 2-CF 2即42- x 2= 32- y 2所以x 2- y2= 16 – 9 =7 （1）同理有OH 2=12- s2= 32- t 2所以t 2- s2= 32- 12= 8 （2）又因为OH 2+HB 2=OB2即y 2+ t 2= 9 （1）-（2）得(x2+s 2) – (y 2+ t 2) = – 122222所以OD 2=x 2+ s 2= (y 2+ t 2) – 1 = 9 – 1 = 8所以OD=224．如图，过P 作EF ⊥AB 于E ，交CD 于F ，则PF ⊥CD所以PF=PA=PB=10，E 为AB 中点设PE = x ，则AB=AD=10 + x所以AE=21AB=21(10 + x)在Rt △PAE 中，PA 2=PE 2+AE 2所以102= x 2+ [21(10 + x )]2所以x = 6所以正方形ABCD 面积=AB 2=(10 + 6)2 = 2565．如图，作B 关于AC 的对称点B '，连 A B '，则N 点关于AC 的对称点N '在A B '上，这时，B 到M 到N 的最小值等于B →M →N '的最小值，等于B 到A B '的距离BH '，连B 与A B '和DC 的交点P ，则ABP S =21×20×10=100，由对称知识，∠PAC=∠BAC=∠PCA所以PA=PC ，令PA=x ，则PC=x ，PD=20 – x ，在Rt △ADP 中，PA 2=PD 2+AD 2所以 x 2 = (20 – x )2 + 102所以 x = 12.5因为ABP S =21PA ·BH '所以BH '=165.1221002PA S ABP 二、填空题1．40；2．12；3．223415；4．13；5．6，8，10或5，12，13解答：1．如图，作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 和Rt △AP i D 中，AB 2=AD 2+BD 2222DP AD AP i i 所以22222)(D P AD BD ADAP AB i i BP C P D P BD D P BD DP BD i i i i i ))((22所以422AB B P C P AP i i i所以4i M 所以401021M M M 1．如图，作A 关于ON 的对称点A '，D 关于OM 的对称点D '，连结A 'B ，CD '，则A 'B=AB ，C 'D=CD ，从而AB+BC+CD=A 'B+BC+CD '≥A 'D'因为∠A 'ON=∠MON=∠MOD '=20°，所以∠A 'OD '=60°又因为OA '=OA=43，OD '=OD=83，所以OD '=2OA'即△OD 'A '为直角三角形，且∠OA 'D '=90°所以A 'D '=12)34()38(222'2'OA OD 所以，折线ABCD 的长的最小值是12 3．如图，作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥BC 于N ，设AB = m, PM = x, PN = y ，则)3(9)()2(1)()1(4222222y x my m x y x 由（2）、（3）分别得，12222y my m x（3）92222x mx m y （4）将（1）代入（4）得;2303222mm y my m 将（1）代入（5）得;2505222m m x mx m 把x,y 的表达式分别代入（1）得0171024m m 因为m 2>0 所以m 2=5+22所以 AB=22521,225,225AD BC m所以223415)(21AB BC ADS ABCD 4．如图，AB=12，AC=2，BD=3，且AB ⊥AC ，AB ⊥BD ，P 在AB 上且PA=x ，PB=y ，连PC ，PD ，在Rt △CAP 和Rt △DBP 中9,4222222y PB BD PD x PA AC PC如图，P 点在0P 位置时，PC+PD 的值最小，为线段CD 的长度，而CD=1312)32(22所以9422y x 的最小值为13。
5．设三边长为a,b,c ，其中c 是斜边，则有)3(2)1(222ab c b a c b a（2）代入（1）得222)2(b a abb a 即0)844(4b a ab ab因为ab ≠0 所以ab – 4a – 4b + 8 = 0所以484b a (a,b 为正整数)所以b – 4 = 1，2，4，8，所以b = 5，6，8，12；a = 12，8，6，5；c = 13，10，10，13，所以，三边长为6，8，10或5，12，13三、解答题1．如图,连结PA,PB ，PC ，设BD=x ，CE=y ，AF=z ，则DC=17-x ，EA=18 – y ，FB = 19 – z在Rt △PBD 和Rt △PFB 中，有2222)19(PF z PD x同理有：22222222)18()17(PEy PF z PD x PE y将以上三式相加，得222222)19()18()17(z y x z y x 即17x + 18y + 19z = 487又因为x + y + z = 27，所以x = z – 1,所以BD + BF = x + (19– z ) = z – 1 + 19 – z = 18 2．如图，作CE ⊥AB 于E ，则CE=AE=2622AC 所以BE=AB-AE=2 - 26426又222BECE BC 所以BC=1662722BE CE 再过D 作DF ⊥BC ，交CB 延长线于F ，并设DF=CF=x ，则BF= x – BC = x + 1 -6又Rt △DFB ∽Rt △CEB ，所以DF ：BF=CE ：BE ，即x ：(x + 1 - 6) = 264:26所以x = 2623所以4692623)16(2121DF BC S BCD 2．如图，构造一个边长为(a + b)、(c + d)的矩形ABCD ，在Rt △ABE 中，BE=22AB AE所以BE=cdd c a d c a 2)(22222在Rt △BCF 中，BF=ab d b a d b aCF BC 2)(2222222在R t △DEF 中，EF=2222c b DF DE 在△BEF 中，BE+EF>BF即abd b a c b cd d c a 22222222223．如图，过A 作AE ∥BC 交CD 于E ，则∠1=45°，∠2=60°，过B 作BF ⊥AE 于F ，作CG ⊥AE 于G ，则Rt △ABF 为等腰直角三角形，BCFG 为矩形，又因为AB=6，BC=5-3，所以BF=AF=22AB=3，所以CG=BF=3，所以CE=32CG=2，EG=31CG=1所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6DE=CD-EC=6-2=4过D 作DM ⊥AE 延长线于M∠MED=180°-∠AED=180°-∠BCD=180°-120°=60°所以EM=21DE=2，DM=23DE=23在Rt △AMD 中，AD=192)32()26(2222DM AM 5．如图，以A 为中心，将△ABE 旋转60°到△AMN ，连NB ，MB ，则AE+EB+EC=AN+MN+EC因为AE=AN ，∠NAE=60°所以AE=NE所以AE+EB+EC=MN+NE+EC当AE+EB+EC 取最小值时，折线MNEC 成为线段，且MC=62，∠MBC=150°在Rt △PMC 中，设BC=x ，PM=x PB x 23,2所以222)23()2()62(x x x 所以x = 2, BC=2。