线性方程组练习题(免费下载)

《线性代数》第三章练习题

一、思考题

1、设有线性方程组b AX =，其中A 为n 阶方阵，j A 为A 中第j 列元素换为b 所得行列式的值，判断下列命题是否正确？ （1）若0≠A ，则b AX =有唯一解；

（2）若0=A ，且至少有一)1(0n j A j ≤≤≠，则b AX =无解； （3）若0=A ，且),,2,1(0n j A j ==，则b AX =有无穷多解。 2、判断下列命题是否正确？其中A 为n m ⨯矩阵。

（1）非齐次线性方程组b AX =，当n m <时，有无穷多解；当n m =时，有唯一解；当n m >时，无解；

（2）齐次线性方程组0=AX ，当n m <时，必有非零解； （3）非齐次线性方程组b AX =，当m A r =)(时，必相容。

3、设向量组4321,,,αααα线性无关，判断向量组14433221,,,αααααααα++++是否也线性无关。

4、判断下列命题是否正确？

（1）若向量组m ααα,,,21 线性相关，则存在全不为零的数m k k k ,,,21 ，使得

02211=+++m m k k k ααα ；

（2）若向量组m ααα,,,21 线性相关，且有02211=+++m m k k k ααα ，则

m k k k ,,,21 必不全为零；

(3)若当数021====m k k k 时，02211=+++m m k k k ααα ，则向量组m ααα,,,21 线性无关；

（4）若02211=+++m m k k k ααα ，必有021====m k k k ，则向量组m ααα,,,21 线性无关；

（5）向量β不能由m ααα,,,21 表示，则βααα,,,,21m 线性无关；

（6）若向量组m ααα,,,21 线性无关，则其中每一个向量都不能表示成其余向量的线性组合； （7）若向量组m ααα,,,21 线性无关，向量组s βββ,,,21 线性无关，则向量组

m ααα,,,21 ，s βββ,,,21 线性无关。 二、单项选择题

1. 设321,,X X X 是b AX =的三个特解，则下列哪个也是b AX =的解 （ ） （A ）332211X k X k X k ++； （B ）332211X k X k X k ++，1321=++k k k ； （C ）321)(X X X k ++ ； （D ） 32211)(X k X X k +-。

2．设321,,ξξξ是0=AX 的一组基础解系，则下列哪组也是0=AX 的一基础解系（ ） （A ）133221,,,ξξξξξξ+-； （B ）312321,,ξξξξξξ++-； （C ） 13321,ξξξξξ-++ ； （D ） 3121,,ξξξξ- 。

3．设A 是n 阶矩阵，并且0=A ，则A 的列向量中 （ ） （A ）必有一个向量为零向量 ； （B)必有两个向量的对应分量成比例； （C ）必有一个向量是其余向量的线性组合 ； （D ）任一向量是其余向量的线性组合。 4．如果4),,,(21=m r ααα ，则下列正确的是 （ ）

（A ）如果 m ααα,,,21 的一个部分组线性无关 ，则该部分组包含的向量个数一定不超过4；

（B ）4321,,,αααα 是m ααα,,,21 的一个极大线性无关组；

（C ）m ααα,,,21 的一个部分组如果包含向量个数不超过4，则一定线性无关； （D ）m ααα,,,21 的线性相关部分组一定含有多于4个的向量。

5．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2211021,001k k αα，⎪⎪

⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4433513,321k k αα其中4321,,,k k k k 是任意实数，则有 (A) 321,,ααα总线性相关； (B) 4321,,,αααα总线性相关； (C) 321,,ααα总线性无关； (D) 4321,,,αααα总线性无关。 三、解答题

1、求齐次线性方程组的一个基础解系 ⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧=+--+=+--+=-++-=+--+0

755540433330

20254321

54321

5432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

2、设有线性方程组 ⎪⎪

⎩⎪⎪

⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++b

x x x x x x x x x a

x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231

，问 b a ,取何值时有解？当有解时，

求其通解。

3、判断向量组,)2,1,0,3,1(,)5,2,3,1,2(,)1,1,1,3,4(321T

T

T

--=--=--=ααα

T )6,2,2,5,1(4-=α的线性相关性

4、设 T

T T T x )1,6,1(,)8,7,3(,)5,3,2(,),2,7(321-===-=αααβ，问x 为何值时，β可由

321,,ααα线性表示。

5、求向量组T

T T T )0,2,1,1(,)14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321-===-=αααα

T

)6,5,1,2(5=α的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用这个极大无关组表示出来。 6、常数b a ,取何值时，线性方程组⎪⎩

⎪⎨⎧-=+=++=-+2

1023034az y b z y x z y x 有唯一解、无解、有无穷解？并在有无穷解时求通解。

7、设A 是34⨯矩阵，且2)(=A r 。已知321,,X X X 是线性方程组b AX =的三个解向量，

其中T

X X )1,2,1(21=+，T X X )2,1,0(32=+，求此方程组的通解。

四、证明题

1、已知向量组321,,ααα线性无关，证明：向量组13322134,5,2αααααα+++也线性无关。

2、设B A ,分别是 n r r m ⨯⨯, 阶矩阵，且0=AB ，求证： （1）B 的列向量是齐次线性方程组0=AX 的解向量； （2）若r A r =)(，则0=B ；

（3）若0≠B ，则A 的各列向量线性相关。

3、设向量组t ααα,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系，向量β不是方程组

0=AX 的解，即0≠βA ，证明：向量组t αβαβαββ+++,,,,21 线性无关。