线性方程组练习题(免费下载)
解线性方程组专项练习及测试(含专练60道)
解线性方程组专项练习及测试(含专练60
道)
解线性方程组专项练及测试（含专练60道）
简介
本文档旨在提供一套解线性方程组的专项练及测试，包含60
道题目。
通过这些练和测试，你将能够加深对线性方程组的理解，
熟练掌握解决线性方程组的方法和技巧。
练题目
以下是60道解线性方程组的练题目，请你根据题目要求解答。
1. 题目1
2. 题目2
3. ...
...
60. 题目60
说明
首先，根据题目给出的线性方程组，你可以使用多种方法求解，包括代入法、减法法、矩阵法等。
请根据实际情况选择合适的方法
进行求解。
其次，每道题目都有唯一的解或无穷多解。
请根据题目给出的
信息判断线性方程组的解的情况，并给出解的形式。
最后，当你完成所有题目时，请仔细检查答案，并核对解的正
确性。
如果有任何疑问或不明确的地方，请不要犹豫，随时向老师
或同学寻求帮助。
重要提示
请注意，本文档中的题目仅供练和测试使用，不作为正式考试
的题目。
完成这些题目将有助于你巩固知识点和提高解决线性方程
组问题的能力。
祝你考试顺利，取得好成绩！
参考答案
以下是练题目的参考答案，供你参考。
1. 答案1
2. 答案2
3. ...
...
60. 答案60。
(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案
第四章 线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。
矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。
线性方程组题目及答案
线性方程组题目及答案第一、填空题10章线性方程组1.线性方程组AX=b的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为−11d+1⎤⎦⎥则当d=2时，方程组AX=b有解，且有无穷多解。
2.当λ=1时，齐次方程组x1−x2=0x1+λx2=0有唯一解。
3.若线性方程组AX=b(b≠0)有唯一解，则AX=b的秩为n。
二、单项选择题1.线性方程组x1+x2=1x3+x4=0的解的情况是（B）只有解。
2.线性方程组AX=b只有解，则AX=b(b≠0)的解的情况是（B）可能无解。
3.当秩(A)=秩(AB)=n时，线性方程组AX=b(b≠0)有唯一解，其中n是未知量的个数。
答案为（C）秩(A)=秩(AB)=n。
三、解答题1.求解线性方程组x1−x2+3x3−x4=02x1−x2−x3+4x4=04x3+5x4=1解：因为系数矩阵A=[1 -1 3 -1.2 -1 -1 4.-4 0 5 0] 的秩为3，而增广矩阵1 -1 3 -1 0.2 -1 -1 4 0.-4 0 5 0 1] 化为阶梯形矩阵1 -1 3 -1 0.0 1 -7 6 0.0 0 1 -4 1] 所以，一般解为：x1=3x3-15x4-4x2x2=x4-3x3x3,x4是自由未知量)2.求解线性方程组x1+x2-2x3-x4=12x1+x2-2x3-3x4=2x1+3x2+ax3=b解：因为增广矩阵1 1 -2 -1 1.2 1 -2 -3 2.1 3 a b]化为阶梯形矩阵1 1 -2 -1 1.0 -1 2 -1 0.0 0 2a-3b 2b-a-3.0 0 0 0 0]当2a-3b≠0时，方程组无解。
当2a-3b=0时，方程组有解，且有无穷多解，此时一般解为：x1=1-3x3+x4x2=x3+x4x3自由，x4=（b-a）/6.3.就a,b的取值，讨论线性方程组x1+2x2+3x3=1x1+3x2+6x3=22x1+3x2+ax3=b解的情况。
解：因为系数矩阵A=[1 2 3.1 3 6.2 3 a]的秩为2，而增广矩阵1 2 3 1.1 3 6 2.2 3 a b]化为阶梯形矩阵1 2 3 1.0 1 3 1.0 0 a-6 b-4a]当a≠6时，方程组有唯一解。
线性方程组题库
知识能力层次一、 填空（每题2分）１．设方程组⎩⎨⎧-=-=+22112122x x kx x kx x 有非零解，则=k 1± 。
2．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0960654032321321321x x x x x x x x x λ有非零解，则=λ 12 。
3．方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则=a 2- 。
4．非齐次线性方程组b AX =（A 为m n ⨯矩阵）有惟一解的的充分必要条件是________()()n b ,A r A r==____。
5．设A 是n 阶方阵,21,αα是齐次线性方程组O AX =的两个不同的解向量, 则 =A 0 。
6．设A 为三阶方阵，秩()2=A r，321,,ααα是线性方程组()0≠=b b AX的解，已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+010131321ααα,，则线性方程组b AX =的通解为=α()为任意常数C ,C ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111010 。
7．三元线性方程组b AX =的系数矩阵的秩()2=A r ，已知该方程组的两个解分别为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111β，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1112β，则b AX =的全部解可表为k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭121012 。
8．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1686493436227521a A ，欲使线性齐次方程组O AX =的基础解系有两个解向量，则a =38。
9．当=a -3 时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+233321321321321x ax x ax x x x x x 无解。
10．方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-321011032x x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛00的基础解系所含向量个数是___ _1______。
11．若5元线性方程组b AX =的基础解系中含有2个线性无关的解向量， 则()=A r3 。
《线性代数》线性方程组部分练习题
______ ，一个极大无关组是 ______ 。
7 已知向量组α1 = (1, 2, −1,1),α2 = (2, 0,t, 0),α3 = (0, −4,5, −2) 的秩为 2，则 t＝ ____ .
讨论 λ 取何值时，方程组无解，有唯一解
和有无穷多解；在方程组有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示全部解。
四．证明题
设α1,α2 ,α3 是线性无关，试证明：
（1） β1 = α1 + α2 − 2α3, β2 = α1 − α2 − α3, β3 = α1 + α2 线性无关；
（2） β1 = 2α1 + α2 + 3α3, β2 = α1 + α3, β3 = α2 + α3 线性相关。
⎡1 2 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤
8
已知方程组
⎢ ⎢
2
3
a
+
2⎥⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
=
⎢⎢3⎥⎥
无解，则
a＝_____来自。⎢⎣1 a −2 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦
二，选择题
1.向量组α1 = (1,1, 2) ,α2 = (0,1, −1),α3 = (2,3,5),α4 = (2, 2, 4) 的极大无关组为（ ）
（）
（A）R (Α) −n； （B） R (Α) + n （C） n − R (Α) ; (D) n + R (Α)
4.设
⎧ ⎪ ⎨
χ1 χ1
线性方程基础练习题
线性方程基础练习题1. 求解下列线性方程组：(a) 2x + y = 53x - 4y = 2(b) x - 3y = 1-2x + 5y = -42. 求解下列线性方程：(a) 4x - 3 = 5(b) -2(y + 1) = 6 - y3. 某商店出售价格为x元的鞋子和y元的鞋垫，小明购买了2双x元的鞋子和3双y元的鞋垫，共花费了35元。
已知鞋垫的价格是鞋子价格的一半，求鞋子和鞋垫的价格。
4. 小明和小华一起去商场购物，小明购买了1个手机和2个耳机，共花费了2000元；小华购买了3个手机和4个耳机，共花费了4000元。
已知手机的价格是耳机价格的2倍，求手机和耳机的价格。
5. 某公司的固定成本为5000元，每制造一个产品的成本为120元，售价为160元。
设x为产品的数量，求：(a) 制造3个产品的总成本和售价之差。
(b) 公司需要销售多少个产品才能达到盈亏平衡。
6. 某物业公司有2个员工，按照工作小时支付工资。
员工A每小时获得10元，员工B每小时获得8元。
设员工A工作x小时，员工B工作y小时，已知总共支付了160元，求：(a) 员工A工作了几个小时？(b) 员工B工作了几个小时？7. 某书店购进苹果和香蕉，苹果售价为3元/个，香蕉售价为2元/个。
已知苹果的进价为2元/个，香蕉的进价为1元/个。
书店共购进了30个水果，共花费了70元。
设购进了x个苹果，求：(a) 购进了多少个香蕉？(b) 书店按照进价计算，则购进了多少个苹果、香蕉？8. 解方程组：(a) 3x - 4y = 25x + 2y = 10(b) 3x - 2y = 8-4x + 3y = -12(c) 2x + 5y = 124x - 2y = 109. 解方程：(a) 2(3x - 1) + 3(2x + 4) = 20(b) 4(2x - 3) - 3(3x + 4) = 5(c) -2(5 - x) + 3(4 + 2x) = 17。
高等代数线性方程组练习题
第三章 线性方程组练习题一、 填空题1. 如果一个线性方程组的系数矩阵的秩为r ，则增广矩阵的秩取值可能为__________.2. 非齐次线性方程组1212222n n x x x ax x x b+++=⎧⎨+++=⎩有解的充要条件是__________.3. 齐次线性方程组12340x x x x +++=的基础解系是____________________.4. 若矩阵A 中有一个r 级子式不为零，则()R A __________.5. 已知向量组123(1,4,3),(2,,1),(2,3,1)k ααα==-=-线性相关，则参数k =__________.6. 齐次线性方程组111122121122221122000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （*）只有零解的充要条件有______________________________________________________ _（至少写两个）.7.非齐次线性方程组AZ b =（A 为m n ⨯矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
8. 1n +个n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
9.设向量组321,,ααα线性无关，则常数,l m 满足____________时，向量组312312,,αααααα---m l 线性无关。
10.设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且()1r A n =-则0Ax = 的通解为________。
11.若向量组321,,ααα线性无关，则向量组312312,,αααααα+++____________。
12.已知四元非齐次线性方程组,()3Ax b r A ==，321,,ηηη是它的三个解向量，其中T T )3,1,0,1(,)2,0,2,1(3221=+=+ηηηη，则齐次线性方程组0Ax =的通解为____________-________________________。
(精心整理)线性方程组练习题
(精心整理)线性方程组练习题一、单一线性方程组1. 求解下列线性方程组：（1）$$x-2y=3$$（2）$$2x+3y=4$$2. 求解下列线性方程组：（1）$$2x-3y+4z=1$$（2）$$3x-4y+5z=2$$（3）$$-x+y-2z=-3$$3. 求解下列线性方程组：（1）$$x-y+z=1$$（2）$$2x-3y-4z=-1$$（3）$$3x-4y+z=3$$二、多元线性方程组1. 求解下列多元线性方程组：（1）$$2x+y=3$$$$x-y=1$$2. 求解下列多元线性方程组：（1）$$x+2y+3z=4$$$$2x+y-3z=0$$$$3x-2y+5z=6$$3. 求解下列多元线性方程组：（1）$$x+y+z=1$$$$2x+y+3z=4$$$$x+3y+2z=3$$三、应用题1. 某商场一天销售了商品A、B两种，A、B两种商品单价分别为x元和y元，已知销售了x件A商品和y件B商品，总价为500元，且已知销售了10件A商品和5件B商品，总价为185元，求解方程组，并给出A商品和B商品的单价。
2. 某超市投放了两种品牌的巧克力A、B，其中A品牌单价为x元，B品牌单价为y元，已知某顾客购买了x份A品牌巧克力和y份B品牌巧克力，所付的总价为15元，且已知该顾客购买了两份A品牌巧克力和一份B品牌巧克力，所付的总价为6元，求解方程组，并给出A品牌和B品牌巧克力的单价。
四、挑战题1. 求解下列多元线性方程组：（1）$$2x-3y+4z=1$$$$x-2y+3z=0$$$$4x-3y+2z=-3$$2. 求解下列多元线性方程组：（1）$$2x+3y-z=1$$$$3x+4y-2z=2$$$$4x+5y-3z=4$$$$x-2y+z=3$$以上是一些关于线性方程组的练习题，希望能对你的学习有所帮助。
线性代数练习题集--线性方程组
线性代数练习题集--线性方程组线性代数练习题第四章线性方程组系姓名第一节解线性方程组的消元法一．选择题：1．设A 是m ⨯n 矩阵，Ax =b 有解，则 [ C ] （A ）当Ax =b 有唯一解时，m =n （B ）当Ax =b 有无穷多解时，R (A )3．设A 是m ⨯n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充要条件是R (A ) [ D ] （A ）小于m （B ）小于n （C ）等于m （D ）等于n 二．填空题：1⎫⎛12⎛1⎫⎛x 1⎫⎪⎪⎪设A = 23a +2⎪，b = 3⎪，x = x 2⎪1a -2⎪ 0⎪ x ⎪⎝⎭⎝⎭⎝3⎭（1）齐次线性方程组Ax =0只有零解，则a ≠3或a ≠-1 （2）非齐次线性方程组Ax =b 无解，则a 三．计算题：⎧2x +y -z +w =1⎪1．求解非齐次线性方程组⎨4x +2y -z +w =2⎪2x +y -z -w =1⎩⎛21-111⎫r 2-2r 1⎛21-111⎫⎛21001⎫⎪r 3-r 1 ⎪r +r 2 ⎪42-112−−−→001-10−−−→001-10 ⎪⎪⎪ 21-1-11⎪ 000-20⎪ 000-20⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎧1-y⎪x =2=1⎧2x +y ⎧y =1-2x⎪⎪⎪z -w =0∴z =0或. ⎨⎨⎨z =0⎪⎪w =0-2w =0⎪w =0⎩⎩⎪⎩⎧λx 1+x 2+x 3=1⎪3．λ取何值时，非齐次线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=λ ⑴ 有唯一解⑵ 无解⑶ 有无穷多解⎪x +x +λx =λ223⎩1λ111λ111=λ3-3λ+2=(λ-1) 2(λ+2)λ11⎫⎛111⎪11⎪→ 00000011⎪⎭⎝111⎫⎛2⎪-21-2⎪→ 101-24⎪⎭⎝1⎫⎪0⎪，有无穷多解；0⎪⎭111⎫⎪-21-2⎪，方程组无解。
003⎪⎭当λ≠1,-2时，方程有唯一解⎛11当λ=1时 1111⎝⎛-2当λ=-2时 11⎝线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系姓名第四节线性方程组的解一．选择题：T T1．设A 是5⨯4矩阵，A =(α1, α2, α3, α4) ，已知η1=(0, 2, 0, 4) ，η2=(3, 2, 5, 4) 是Ax =0的基础解系，则 [ D ] （A ）α1, α3线性无关（B ）α2, α4线性无关（C ）α1不能被α3, α4线性表示（D ）α4能被α2, α3线性表示η1, η2是其两个特解，2．设A 是5⨯4矩阵，若Ax =b 有解，导出组Ax =0的基础解系是α1, α2，则不正确的结论是 [ B ] （A ）Ax =b 的通解是k 1α1+k 2α2+η1 （B ）Ax =b的通解是k 1α1+k 2α2+(η1+η2) （C ）Ax =b 的通解是k 1(α1+α2) +k2α2+(η1+η2) /2（D ）Ax =b 的通解是k 1(α1+α2) +k 2(α2-α1) +2η1-η23．设α1, α2, α3是四元非齐次线性方程组Ax =b 的三个解向量，且R (A ) =3，α1=(1, 2, 3, 4) T ，α2+α3=(0, 1, 2, 3) T ，C 表示任意常数，则线性方程组Ax =b 的解是 [ C ]（A ）(1, 2, 3, 4) T +C (1, 1, 1, 1) T （B ）(1, 2, 3, 4) T +C (0, 1, 2, 3) T （C ）(1, 2, 3, 4) T +C (2, 3, 4, 5) T （D ）(1, 2, 3, 4) T +C (3, 4, 5, 6)T⎧λx 1+x 2+λ2x 3=0⎪4．齐次线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=0 的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵B ≠0使得⎪x +x +λx =023⎩1AB =0，则 [ C ]（A ）λ=-2且B =0，（B ）λ=-2且B ≠0 （C ）λ=1且B =0 （D ）λ=1且B ≠0 二．填空题：1⎫⎛12⎛1⎫⎛x 1⎫⎪⎪⎪1．设A = 23a +2⎪，b = 2⎪，x = x 2⎪1a -2⎪ 3⎪ x ⎪⎝⎭⎝⎭⎝3⎭（1）齐次线性方程组Ax =0只有零解，则a （2）非齐次线性齐次组Ax =b 无解，则a = 三．计算题：1．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1, η2, η3是它的三个解向量，且η1=(2, 3, 4, 5) T ，η2+η3=(1,2,3,4)T ，求该方程的通解解：设方程为Ax =b , 则A η1=A η2=A η3=b那么A (2η1-η2-η3) =2b -b -b =0故2η1-η2-η3是Ax =0的解.又n -R (A ) =4-3=1, 故Ax =0的基础解系只有一个向量⎛3⎫⎛2⎫⎪⎪4⎪ 3⎪所以Ax =b 的通解为k (2η1-η2-η3) +η1=k +. 5⎪ 4⎪⎪⎪⎝6⎭⎝5⎭⎧x 1-5x 2+2x 3-3x 4=11⎪2．求非齐次线性方程组⎨5x 1+3x 2+6x 3-x 4=-1的一个解及对应齐次方程组的基础解系。
数学练习题线性方程组
数学练习题线性方程组数学练习题：线性方程组1. 求解下列线性方程组：(1) 2x + 3y = 84x - 5y = 7(2) 3x + 7y - 2z = 105x - 4y + 3z = -22x + 9y - 5z = 21(3) 4x - 2y + z = 10x + 5y - z = -32x + 3y + 7z = 152. 解题过程分析：(1) 对于第一个线性方程组，我们可以使用消元法进行求解。
首先，通过倍乘第一个方程的两边，使得第一个方程的系数与第二个方程的系数相等，即得到新的方程组：4x + 6y = 164x - 5y = 7接着，两个方程相减，消去 x 的项：(4x + 6y) - (4x - 5y) = 16 - 711y = 9得到 y 的值为 9/11。
将 y 的值代入其中一个方程，求解得到 x 的值：2x + 3 * (9/11) = 82x = 8 - 27/112x = 34/11 - 27/112x = 7/11x = 7/22因此，该线性方程组的解为 x = 7/22，y = 9/11。
(2) 对于第二个线性方程组，我们同样可以使用消元法。
根据系数的特点，我们可以先通过倍乘第一个方程的两边，使得第一个方程的系数与第三个方程的系数相等，得到新的方程组：6x + 14y - 4z = 205x - 4y + 3z = -22x + 9y - 5z = 21接下来，我们将第三个方程的两倍加到第一个方程上，消去 x 的项：(6x + 14y - 4z) + 2 * (2x + 9y - 5z) = 20 + 2 * 216x + 14y - 4z + 4x + 18y - 10z = 20 + 4210x + 32y - 14z = 62然后，我们将第三个方程乘以 3，并与第二个方程相加，消去 z 的项：3 * (2x + 9y - 5z) + (5x - 4y + 3z) = 3 * 21 + (-2)6x + 27y - 15z + 5x - 4y + 3z = 63 - 211x + 23y - 12z = 61现在，我们得到一个新的方程组：10x + 32y - 14z = 6211x + 23y - 12z = 61进一步进行消元，我们将第一个方程乘以 11，并将第二个方程乘以 10，使得 x 的系数相等：11 * (10x + 32y - 14z) = 11 * 6210 * (11x + 23y - 12z) = 10 * 61110x + 352y - 154z = 682110x + 230y - 120z = 610然后，两个方程相减，消去 x 的项：(110x + 352y - 154z) - (110x + 230y - 120z) = 682 - 610122y - 34z = 72得到 y 的值为 72/122，即 36/61。
线性代数练习题集--线性方程组
线性代数练习题 第四章 线性方程组系 专业 班 姓名 学号 第一节 解线性方程组的消元法一．选择题：1．设A 是n m ⨯矩阵，b Ax =有解，则 [ C ] （A ）当b Ax =有唯一解时，n m = （B ）当b Ax =有无穷多解时，<)(A R m （C ）当b Ax =有唯一解时，=)(A R n （D ）当b Ax =有无穷多解时，0=Ax 只有零解 2．设A 是n m ⨯矩阵，如果n m <，则 [ C ] （A ）b Ax =必有无穷多解 （B ）b Ax =必有唯一解 （C ）0=Ax 必有非零解 （D ）0=Ax 必有唯一解3．设A 是n m ⨯矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是)(A R [ D ] （A ）小于m （B ）小于n （C ）等于m （D ）等于n 二．填空题：设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21232121a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=031b ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x x（1）齐次线性方程组0=Ax 只有零解，则 31a a ≠≠-或 （2）非齐次线性方程组b Ax =无解，则a = 1=- 三．计算题：1． 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+1222412w z y x w z y x w z y x213122211112111121001421120011000110211110002000020121122000.2000r r r r r r y x x y y x z w z z w w w --+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎧=⎪+==-⎧⎧⎪⎪⎪-=∴==⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎩⎩⎪⎩或3．λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ⑴ 有唯一解 ⑵ 无解 ⑶ 有无穷多解32111132(1)(2)11111111111000111000111111212212124003λλλλλλλλλλ=-+=-+≠⎛⎫⎛⎫⎪⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭当1,-2时，方程有唯一解11当=1时10，有无穷多解；10-22当=-2时11，方程组无解。
线性方程组练习题
线性方程组练习题§1 向量的线性关系1．判断下列向量组是否线性无关：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-840，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-311； （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01014，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1521，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1202，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7024。
2．讨论下面向量组的线性相关性：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12211，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-15120，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-141b a 。
3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3211a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t 311a 。
（1）问当t 为何值时，321,,a a a 线性相关？（2）问当t 为何值时，321,,a a a 线性无关？（3）当321,,a a a 线性相关时，问3a 是否可以由1a ，2a 线性表示？若能，写出具体表达式。
4．设有向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11111t a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22222t a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33333t a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t 44444a 。
问：（1）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性相关？（2）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性无关？5．设321,,a a a 线性无关，问当参数l ，m 满足何种关系时，12a a -l ，23a a -m ，31a a -也线性无关？6．设m a a a ,,,21 线性无关，作211a a b +=，322a a b +=，…，m m m a a b +=--11，1a a b +=m m 。
判别m b b b ,,,21 的线性相关性。
7．设21,a a 线性无关，b a b a ++21,线性相关，问b 能否由21,a a 线性表示？8．设321,,a a a 线性相关，432,,a a a 线性无关。
问：（1）1a 能否由32,a a 线性表示；（2）4a 能否由321,,a a a 线性表示。
数学课程线性方程组练习题及答案
数学课程线性方程组练习题及答案1. 练习题1.1 求解下列线性方程组：（1）3x + 2y = 72x - y = 4（2）2x + y - z = 6x - 3y + 2z = 43x - 2y - z = 1（3）x - 2y + z = 32x + y - 2z = -53x - y + 3z = 72. 答案（1）解：首先，我们可以通过消元法来求解该线性方程组。
将第二个方程的两边乘以2，得到2(2x - y) = 2(4)，化简得4x - 2y = 8。
将这个结果与第一个方程相加，得到(3x + 2y) + (4x - 2y) = 7 + 8，化简得7x = 15，所以 x = 15/7。
接下来，将求得的 x 值代入任意一个方程（如第一个方程）中，可以得到：3(15/7) + 2y = 7，化简得2y = 7 - 45/7，化简得2y = -14/7，所以 y = -7/7。
因此，该线性方程组的解为 x = 15/7，y = -1。
（2）解：同样使用消元法求解该线性方程组。
将第二个方程的两边乘以2，得到2(x - 3y + 2z) = 2(4)，化简得2x - 6y + 4z = 8。
将第三个方程的两边乘以3，得到3(3x - 2y - z) = 3(1)，化简得9x - 6y - 3z = 3。
现在我们有以下三个方程：2x + y - z = 62x - 6y + 4z = 89x - 6y - 3z = 3将第一个方程中的 z 用第二个方程中的 z 的代数式表示，得到 z = 2x + y - 6。
将这个结果代入第三个方程中，可以得到：9x - 6y - 3(2x + y - 6) = 3，化简得3x - 3y = 15，所以 x - y = 5。
我们可以再次将 x - y = 5 代入第一个方程，得到：2x + y - (2x + 5) = 6，化简得 y = 11。
将求得的 y 值代入 x - y = 5，可以解得 x = 16。
线性方程组单元测试
线性方程组单元测试一、选择题1. 给定线性方程组：2x + 3y = 84x - 5y = -7则该线性方程组的解为：A. (x,y) = (1,2)B. (x,y) = (2,1)C. (x,y) = (-1,3)D. (x,y) = (3,-1)2. 给定线性方程组：x + y = 32x + y = 4则该线性方程组的解为：A. (x,y) = (2,1)B. (x,y) = (1,2)C. (x,y) = (3,0)D. (x,y) = (-1,4)3x - 4y = 52x - 7y = 8则该线性方程组的解为：A. (x,y) = (-1,2)B. (x,y) = (3,-1)C. (x,y) = (2,3)D. (x,y) = (1,4)二、填空题1. 给定线性方程组：2x - 5y = 93x + 2y = 4则该线性方程组的解为：(x,y) = (__,__) 2. 给定线性方程组：4x + 3y = 106x - y = -7则该线性方程组的解为：(x,y) = (__,__)三、解答题3x - 2y = 75x + 4y = 2(1) 求出该线性方程组的解。
(2) 请说明该线性方程组的解的唯一性，并解释其几何意义。
2. 给定线性方程组（参数a）：ax - y = 32x + ay = 6(1) 当a=1时，求出该线性方程组的解。
(2) 当a=-2时，求出该线性方程组的解。
四、应用题1. 甲、乙、丙三位商人共有苹果和橙子50个，甲给乙的苹果和橙子总数是乙给甲的苹果和橙子总数的2倍，而丙给乙的苹果和橙子总数是乙给丙的苹果和橙子总数的3倍。
试求甲、乙、丙三位商人各自拥有多少个苹果和橙子。
2. 一批奖金共有4000元，甲、乙、丙三人按照各自的工作成绩比例分配，已知甲的成绩占总成绩的4/15，乙的成绩占总成绩的1/3，丙的成绩占总成绩的1/5，分配后甲得到的奖金是1300元，求乙和丙分别得到多少奖金。
线性方程组练习题
线性方程组练习题线性方程组是高中数学中的重要概念，掌握解线性方程组的方法对于学习和应用数学都具有重要意义。
下面，我将为大家提供一些线性方程组的练习题，帮助大家巩固和加深对线性方程组的理解和应用。
练习题一：解下列线性方程组：1. 2x + y = 44x - 3y = 72. 3x + 2y = 5x - y = -13. 5x + 3y = 93x - 2y = 4练习题二：求出下列线性方程组的解的个数，并判断是否有解：1. 3x + 5y = 76x + 10y = 142. 2x - 3y = 44x - 6y = 83. x + 2y = 32x + 4y = 6练习题三：判断下列线性方程组是否有无穷多解：1. 2x - 3y = 44x - 6y = 82. 3x + 2y = 66x + 4y = 123. 5x - 6y = 1010x - 12y = 20练习题四：求解以下线性方程组形成的矛盾方程组：1. 2x + 3y = 54x + 6y = 122. 3x - 4y = 96x - 8y = 183. 4x + 7y = 118x + 14y = 22练习题五：解下列线性方程组，并判断是否有解：1. 2x + y = 44x + 2y = 92. 3x + 2y = 5x - 2y = 13. 2x + 3y = 74x + 6y = 14在解这些线性方程组时，我们可以使用消元法、代入法或等量代换法等不同的方法。
根据具体的题目，选择合适的解题方法，并注意进行化简和整理，尽量将方程组化为简单的形式，以便于求解。
线性方程组的解的个数分为无解、唯一解和无穷多解三种情况。
通过判断线性方程组的系数矩阵经过行变换后的简化形式，我们可以确定解的个数。
对于无解的线性方程组，系数矩阵经过行变换后存在形如[0 0 a]的行，其中a为非零数。
对于唯一解的线性方程组，系数矩阵经过行变换后为一个单位矩阵。
线性代数--线性方程组题库
。
17、设向量组 A：α1,α2,α3 ；向量组 B：α1,α2,α3,α4 ；向量组 C：α1,α2,α3,α5 。
= 若 r(α1,α2,α3 ) r= (α1,α2,α3,α4 ) 3 ， r(α1,α2,α3,α5 ) = 4 ，
则 r(α1,α2,α3,α5 − α4 ) = 。
1 2 1
17、向量组α1,α2 ,,αs 的秩为 r ，则（ ）。
（A）
α1,
α
2
,
,
α
s
中
r
个向量的部分组皆线性无关；
（B）α1,α2 ,,αs 中 r −1个向量的部分组皆线性无关；
（C）α1,α2 ,,αs 中 r −1个向量的部分组皆线性相关；
（D）
α1,
α
2
,
,
α
s
中任何
r
个向量的线性无关部分组与
-1-
题库
第三部分 线性方程组
14 、 设 四 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵 的 秩 为 3 ， 已 知 η1,η2 ,η3 是 它 的 三 个 解 向 量 ， 且
= η1 (2, 3, 4, 5)= T ,η2 +η3 (1, 2, 3, 4)T ，则该方程组的通解为
。
15、设齐次线性方程组为 x1 + x2 + + xn = ο ，则它的基础解系中所含解向量的个数为
。
16、设四元非齐次线性方程组 Ax = b 的系数矩阵的秩为 2，已知它的三个解向量为η1,η2 ,η3 ，且
η1 = (4, 3, 2,1)T ,η2 = (1, 3, 5,1)T ,η3 = (−2, 6, 3, 2)T ，则该方程组的通解为
线性方程组练习题
线性方程组 练习题一、选择题.1.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）.A.1或2B. －1或－2C.1或－2D.－1或2.2. 设A 是s n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是( ).A.A 的行向量组线性无关B.A 的列向量组线性无关C.A 的行向量组线性相关D.A 的列向量组线性相关3.设12m α,α,,α均为n 维向量，则下列结论中正确的是（ ）.AA.若对任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有11220m m k k k +++≠ααα，则12m α,α,,α线性无关 .B.若12m α,α,,α线性相关，则对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有11220m m k k k +++=ααα . C.若11220m m k k k +++=ααα，则12m α,α,,α线性相关 .D.若向量组12m α,α,,α()3≥m 中任意两个向量都不成比例，则12m α,α,,α线性无关.4.向量[]11,1,1T α=-，[]22,,0T k α=，[]3,2,1Tk α=，k 为（ ）时，向量组1α，2α，3α线性相关.DA.3k ≠且2k ≠-B. 2k ≠-C.3k ≠D.3k =或2k =-5. 向量组s ααα 21,（2≥s ）线性无关的充分必要条件是（ ）.(D ) A.s ααα 21,均不为零向量 B. s ααα 21,中任意两个不成比例 C.s ααα 21,中任意1-s 个向量线性无关D.s ααα 21,中任意一个向量均不能用其余1-s 个向量线性表示6.齐次线性方程组355⨯⨯1=A x 0解的情况是（ ）.A.无解B.仅有零解C.必有非零解D.可能有非零解，也可能没有非零解．7.设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩()3R n =-A ，且123,,ξξξ为此方程组的三个线性无关的解，则此方程组的基础解系是（ ）. A. 12312,2,32+- -ξξξξξ B. 122331,,+-+ ξξξξξξ C.122132-2,-2,32+-+ ξξξξξξ D. 12231324,2+,++ - ξξξξξξ8.要使T 1(1,0,2)=ξ，T 2(0,1,1)=-ξ都是线性方程组=Ax 0的解，只要A 为（ ）.A. (211)-；B. 201011⎛⎫ ⎪⎝⎭；C. 102011-⎛⎫ ⎪-⎝⎭；D. 011422011-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭． 9.已知12,ββ是=Ax b 的两个不同的解，12,αα是相应的齐次方程组=Ax 0的基础解系，12,k k 为任意常数，则=Ax b 的通解是（ ）. A. 12()k k 12112-+++2ββααα B. 12()k k 12112++-+2ββαααC.12()k k 12112-+-+2ββαββD. 12()k k 12112++-+2ββαββ10.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*≠A 0 若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax =b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax =0的基础解系是（ ）. A.不存在 B.仅含一个非零解向量 C.含有两个线性无关的解向量； D.含有三个线性无关的解向量11.设有齐次线性方程组Ax =0和Bx =0，其中A ，B 均为m n ⨯矩阵，现有4个命题：① 若Ax =0的解均是Bx =0的解，则()()R R ≥A B ② 若()()R R ≥A B ，则Ax =0的解均是Bx =0的解 ③ 若Ax =0与Bx =0同解，则()()R R =A B ④ 若()()R R =A B ，则Ax =0与Bx =0同解 以上命题正确的是（ ）.A. ①，②B. ①，③C.②，④D.③，④12.设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()=AB x 0（ ）. A.当n m >时仅有零解 B. 当n m >时必有非零解 C.当m n >时仅有零解 D.当m n >时必有非零解13.设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量． 若秩T0⎛⎫= ⎪⎝⎭αAα秩()A ，则线性方程组（ ）.A.=αAx 必有无穷多解B.=αAx 必有惟一解C.T0y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭αAαx 0仅有零解 D.T0y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αAαx0必有非零解14.已知34⨯矩阵A 的列向量组线性无关，则=)(T A r （ ）. A.1 B.2 C.3 D.415.设321,,ααα为齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则下列可作为该方程组基础解系的是（ ）.A.2121,,αααα+B. 133221,,αααααα+++C.2121,,αααα-D. 133221,,αααααα---16.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 417.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（ ）. A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs+βs ）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs -βs ）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =018..设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ）. A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为019.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）.A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b 的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b 的一个解20.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ）.A.秩(A)<nB.秩(A)=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解21.设n 维向量12,αα线性相关，则必定（ ）.A. 12,αα中有一零向量B. 矩阵12=(,)A αα的秩r A =1C. 12,αα的对应元素成比例D.1α不可由2α线性表示22.设A 为m n ⨯阶矩阵，非齐次线性方程组AX=b 对应的导出组AX=0，如果m n <，则（ ）.A.AX=b 必有无穷解B.AX=b 必有惟一解C.AX=0必有非零解D.AX=0必有惟一解23.n 元线性方程组AX=0有非零解的充要条件为（ ）.A.()R A n =B. 0A ≠C.0A =D.以上都不对24.线性方程组AX B =有解的充要条件是（ ）.A.()r A >0B. ()()r A r A =C. ()()r A r AB ≠D.()r A n =25.n 元线性方程组AX=b 有解的充要条件为（ ）. A.()(,)R A R A b = B. ()(,)R A R A b n == C.()(,)R A R A b n =< D.()(,)R A R A b n =≤26.向量组T T )0,1,0(,)0,0,1(21==αα，下列向量中可以由21,αα线性表出的是（ ）.A ．T )3,2,1(B ．T )3,2,0(C ．T )3,0,1(D ．T )0,2,1(27.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则（ ）.A ．)()(A RB R ≤ B ．)()(A R B R <C ．)()(A R B R =D ．)()(A R B R ≥28.设A 为n m ⨯矩阵，则有（ ）. A ．若n m <，则b Ax =有无穷多解B ．若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量C ．若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解D ．若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解29.设1α、2α是对应非齐次方程组Ax =b 的解，β是对应齐次方程组的解，则b Ax =一定有一个解是（ ）.A.1α+2αB.1α-2αC.β+1α+2αD.121233+-ααβ30.21γγ，是n 元非齐次方程组b Ax =的两个不同的解，且1)(-=n A r ,则 0=Ax 的通解为（ ）.A. )(1R k k ∈γB. )(2R k k ∈γC. )()(21R k k ∈+γγD. )()(21R k k ∈-γγ二、填空题.1. 设向量α=(1, 2, 0, 4)T , β=(3，1，-1，7)T ，向量γ满足2α-γ=β, 则γ=____________.2.已知向量α=(1, 2, 4, 0)T , β=(-3，2，6，2)T ，向量γ满足3α+2γ=β, 则γ= .3.向量组α=(1, -2, 3)T , β=(2，-4，a)T 线性相关，则=a .4.向量组()12341,0,1,(2,1,0),(0,1,1),(1,1,1)TT T T αααα====则向量线性 .5.当______=t 时，向量组)2,1,3(),3,2,1(),,3,2(-t 线性相关.6.设向量组T T T a )1,1,2(,),2,1(,)3,1,1(321-==-=ααα线性相关，则=a .7.设向量组T )0,0,1(1=α,T )0,1,0(2=α,则向量组21,αα的秩是 .8.矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----100110111的秩等于__________.9.若R )(1234,,,4αααα=，则向量组123,,ααα是线性________.10.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=a A 00011002011的秩)(A r =2，则=a ______.11.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=a a A 10012002011的秩)(A r =2，则=a ______.12.若齐次线性方程组1212 3 060x x x x λ-=⎧⎨-+=⎩有非零解，则λ= .13.当_________时候，n 元线性方程组0=Ax 有非零解，这里A 是n 阶方阵.14.设21ξξ，是非齐次线性方程组b Ax =的解向量，则21ξξ-是方程组______的解向量.15.方程组⎩⎨⎧=-=-003221x x x x 的基础解系是 .16.设齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则=a .17.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则a= .18.设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解，则它的通解为 .19. 设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .20.设齐次线性方程组01443=⨯⨯X A ，其系数矩阵的秩)(A r =2,则方程组的基础解系包含______个线性无关的解向量.21.有三维列向两组1α＝()100T，()2110αT＝，()3111αT＝，()123βT＝，且有112233βχαχαχα++＝，123χχχ＝_____ ，＝_____，＝_____22.若n 个 n 维列向量线性无关，则由此n 个向量构成的矩阵必是______ 矩阵.23.若向量组)()()()(12341,1,3,2,4,5,1,1,0,2,2,6,αααα===-=则此向量组的秩是______，一个极大无关组是______.24.已知向量组()()()1231,2,1,1,2,0,,0,0,4,5,2t ααα=-==--的秩为2，则t ＝____.25.当方程的个数等于未知数的个数时，=Ax b 有惟一解的充分必要条件是 ．26.线性方程组121232343414,,,x x a x x a x x a x x a +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩有解的充分必要条件是 ．27.设n 阶方阵A 的各行元素之和均为零，且()1R n =-A ，则线性方程组=Ax 0的通解为 ．28.设A 为n 阶方阵，||0=A ，且kj a 的代数余子式0kj A ≠（其中，1k n ≤≤；1,2,,j n =），则=Ax 0的通解 ．29.设11222221231111211111,,11n nn n n n n x a a a x a a a x a a a x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A x b ，其中，(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠=，则非齐次线性方程组T =A x b 的解是=x ．30.设方程123111111112a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多个解，则a = ．三、判断题.1.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. （ ）2. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关.（ ） 3.若=0时，，则向量组线性无关.（ ）4．若向量组与均线性无关，则，线性无关.（ ）5.方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷解.（ ）6.同秩的两个向量组未必等价. （ ）7.向量组中某向量能被其余向量表示，则去掉它不影响它的秩. （ ）8.向量组中某向量不能被其余向量表示，则去掉它后向量组的秩必改变. （ ）9.3个未知量，5个方程组成的方程组中，必有一个方程能被其余的方程线性表示. （ ）10.不同秩的两个向量组必不等价. （ ） 11.向量组的向量各加一个分量，其秩不变. （ ） 12.方程组中自由未知量是唯一确定的.（ ） 13.向量组12121,,,,,,s s a a a a a a -与等价，则向量组12,,,s a a a 线性相关.（ ） 14.设12,ηη是齐次线性方程组AX=0的基础解系，则1212,3ηηηη--+也是AX=0的基础解.（ ）15．用列初等变换可以求解线性方程组，也可以用行初等变换求解线性方程组.（ ）.16．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组AX =0的基础解系中解向量的个数为2，则R(A)=2.（ ）17.若n 维向量12,αα线性相关，则必定12,αα的对应元素成比例.（ ） 18.设A 是m n ⨯矩阵，如果A 的m 个行向量线性无关，则()r m A =.（ ） 19.设A 是m n ⨯矩阵，如果A 的m 个行向量线性无关，则()r m <A .（ ） 20.设21,αα是齐次线性方程组0=AX 的解，那么12αα+也是该方程组0=AX 的解.（ ）21.设21,αα是非齐次线性方程组=AX b 的解，那么12αα+也是该方程组=AX b 的解.（ ）22.对于任意的矩阵A ，一定有T r r =（）（）A A .（ ）23.向量组123,,ααα中，任意两个向量均线性无关，则123,,ααα线性无关.（ ）24.设A 是m n ⨯矩阵，如果A 的n 个列向量线性无关，则()r A n =.（ ） 25，设12,αα是n 维向量，且112212312,2,35βααβααβαα=-=+=+，则123,,βββ 必线性相关.（ ）26.设0Ax =是Ax b =的导出组，其中A 是m n ⨯矩阵，若()r A m =， 则Ax b =有解.（ ）请举例说明下面（27-30题）各命题是错误的.27.若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a 线性表示.28.若有不全为0的数m λλλ,,,21 使01111=+++++m m m m b b a a λλλλ成立,则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关.29.若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式01111=+++++m m m m b b a a λλλλ才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.30.若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数,m λλλ,,,21 使0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ 同时成立.四、解答题.1.求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073131213123； (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812.2.把下列矩阵化为行最简形矩阵.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.3.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211.4.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=82423a ; (2))3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=Ta .5.求解下列齐次线性方程组.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x(3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x6．求解下列非齐次线性方程组.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+;12,2224,12w z y x w z y x w z y x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+;2534,4323,12w z y x w z y x w z y x7．λ取何值时,非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?8．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212,2,22λλx x x x x x x x x ,当λ取何值时有解？并求出它的解．9.设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解 时求解．10.讨论b a ,取何值时，非齐次线性方程组123123123213322--=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩x x x x x x x x ax b（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解.11．求下列齐次线性方程组的基础解系.(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x(3)02)1(121=++-+-n n x x x n nx .12．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=82593122A ,求一个24⨯矩阵B ,使0=AB ,且2)(=B R .13．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为:T T )0,1,2,3(,)3,2,1,0(11==ξξ.14．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它 的三个解向量．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ηη，求该方程组的通解．15．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+;32235,122,54321432121x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-.6242,1635,11325432143214321x x x x x x x x x x x x五、证明题.1．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.2．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.3．设*η是非齐次线性方程组b Ax=的一个解,r n -ξξ,,1 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明: (1)r n -*ξξη,,,1 线性无关；(2) r n -***++ξηξηη,,,1 线性无关.4. 设s ηη,,1 是非齐次线性方程组b Ax =的s 个解，s k k ,,1 为实数，满足121=+++s k k k .试证明s s k k k x ηηη+++= 2211也是它的解.5.设非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵的秩为r ，11,,+-r n ηη 是它的1+-r n 个线性无关的解(由题24知它确有1+-r n 个线性无关的解)．试证它的任一解可表示为112211+-+-+++=r n r n k k k x ηηη （其中111=+++-r n k k ）.。
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《线性代数》第三章练习题
一、思考题
1、设有线性方程组b AX =，其中A 为n 阶方阵，j A 为A 中第j 列元素换为b 所得行列式的值，判断下列命题是否正确？ （1）若0≠A ，则b AX =有唯一解；
（2）若0=A ，且至少有一)1(0n j A j ≤≤≠，则b AX =无解； （3）若0=A ，且),,2,1(0n j A j ==，则b AX =有无穷多解。
2、判断下列命题是否正确？其中A 为n m ⨯矩阵。
（1）非齐次线性方程组b AX =，当n m <时，有无穷多解；当n m =时，有唯一解；当n m >时，无解；
（2）齐次线性方程组0=AX ，当n m <时，必有非零解； （3）非齐次线性方程组b AX =，当m A r =)(时，必相容。
3、设向量组4321,,,αααα线性无关，判断向量组14433221,,,αααααααα++++是否也线性无关。
4、判断下列命题是否正确？
（1）若向量组m ααα,,,21 线性相关，则存在全不为零的数m k k k ,,,21 ，使得
02211=+++m m k k k ααα ；
（2）若向量组m ααα,,,21 线性相关，且有02211=+++m m k k k ααα ，则
m k k k ,,,21 必不全为零；
(3)若当数021====m k k k 时，02211=+++m m k k k ααα ，则向量组m ααα,,,21 线性无关；
（4）若02211=+++m m k k k ααα ，必有021====m k k k ，则向量组m ααα,,,21 线性无关；
（5）向量β不能由m ααα,,,21 表示，则βααα,,,,21m 线性无关；
（6）若向量组m ααα,,,21 线性无关，则其中每一个向量都不能表示成其余向量的线性组合； （7）若向量组m ααα,,,21 线性无关，向量组s βββ,,,21 线性无关，则向量组
m ααα,,,21 ，s βββ,,,21 线性无关。
二、单项选择题
1. 设321,,X X X 是b AX =的三个特解，则下列哪个也是b AX =的解 （ ） （A ）332211X k X k X k ++； （B ）332211X k X k X k ++，1321=++k k k ； （C ）321)(X X X k ++ ； （D ） 32211)(X k X X k +-。
2．设321,,ξξξ是0=AX 的一组基础解系，则下列哪组也是0=AX 的一基础解系（ ） （A ）133221,,,ξξξξξξ+-； （B ）312321,,ξξξξξξ++-； （C ） 13321,ξξξξξ-++ ； （D ） 3121,,ξξξξ- 。
3．设A 是n 阶矩阵，并且0=A ，则A 的列向量中 （ ） （A ）必有一个向量为零向量 ； （B)必有两个向量的对应分量成比例； （C ）必有一个向量是其余向量的线性组合 ； （D ）任一向量是其余向量的线性组合。
4．如果4),,,(21=m r ααα ，则下列正确的是 （ ）
（A ）如果 m ααα,,,21 的一个部分组线性无关 ，则该部分组包含的向量个数一定不超过4；
（B ）4321,,,αααα 是m ααα,,,21 的一个极大线性无关组；
（C ）m ααα,,,21 的一个部分组如果包含向量个数不超过4，则一定线性无关； （D ）m ααα,,,21 的线性相关部分组一定含有多于4个的向量。
5．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2211021,001k k αα，⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4433513,321k k αα其中4321,,,k k k k 是任意实数，则有 (A) 321,,ααα总线性相关； (B) 4321,,,αααα总线性相关； (C) 321,,ααα总线性无关； (D) 4321,,,αααα总线性无关。
三、解答题
1、求齐次线性方程组的一个基础解系 ⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧=+--+=+--+=-++-=+--+0
755540433330
20254321
54321
5432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
2、设有线性方程组 ⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++b
x x x x x x x x x a
x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231
，问 b a ,取何值时有解？当有解时，
求其通解。
3、判断向量组,)2,1,0,3,1(,)5,2,3,1,2(,)1,1,1,3,4(321T
T
T
--=--=--=ααα
T )6,2,2,5,1(4-=α的线性相关性
4、设 T
T T T x )1,6,1(,)8,7,3(,)5,3,2(,),2,7(321-===-=αααβ，问x 为何值时，β可由
321,,ααα线性表示。
5、求向量组T
T T T )0,2,1,1(,)14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321-===-=αααα
T
)6,5,1,2(5=α的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用这个极大无关组表示出来。
6、常数b a ,取何值时，线性方程组⎪⎩
⎪⎨⎧-=+=++=-+2
1023034az y b z y x z y x 有唯一解、无解、有无穷解？并在有无穷解时求通解。
7、设A 是34⨯矩阵，且2)(=A r 。
已知321,,X X X 是线性方程组b AX =的三个解向量，
其中T
X X )1,2,1(21=+，T X X )2,1,0(32=+，求此方程组的通解。
四、证明题
1、已知向量组321,,ααα线性无关，证明：向量组13322134,5,2αααααα+++也线性无关。
2、设B A ,分别是 n r r m ⨯⨯, 阶矩阵，且0=AB ，求证： （1）B 的列向量是齐次线性方程组0=AX 的解向量； （2）若r A r =)(，则0=B ；
（3）若0≠B ，则A 的各列向量线性相关。
3、设向量组t ααα,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系，向量β不是方程组
0=AX 的解，即0≠βA ，证明：向量组t αβαβαββ+++,,,,21 线性无关。