高中数学对数函数及其性质
高中数学对数的知识点总结
高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。
设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。
其中a称为底数，b称为真数。
即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。
例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。
2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。
（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。
即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。
⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。
⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。
3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。
4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。
在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。
例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。
二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。
分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。
（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。
2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。
对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。
3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。
对数函数的基本概念与性质
对数函数的基本概念与性质对数函数是高中数学中的重要概念，它在数学分析、微积分、概率统计等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍对数函数的基本概念和性质，并探讨其在数学和实际问题中的应用。
一、对数函数的定义与性质对数函数是指以某个正数（通常为底数）为底，另一个正数为指数的指数函数。
常见的对数函数有自然对数函数（以自然数e为底）和常用对数函数（以10为底）。
以下是对数函数的基本定义和性质：1. 自然对数函数：自然对数函数以常数e（约等于2.71828）为底，表示为ln(x)。
其定义域为正实数集(0, +∞)，值域为实数集(-∞, +∞)。
自然对数函数的性质包括：ln(1)=0，ln(e)=1，ln(xy)=ln(x)+ln(y)，ln(x/y)=ln(x)-ln(y)，其中x，y为正实数。
2. 常用对数函数：常用对数函数以10为底，表示为log(x)。
其定义域为正实数集(0, +∞)，值域为实数集(-∞, +∞)。
常用对数函数的性质包括：log(1)=0，log(10)=1，log(xy)=log(x)+log(y)，log(x/y)=log(x)-log(y)，其中x，y为正实数。
3. 对数函数的性质：对数函数具有以下常见性质：- 对于任意正数x，log(x)和ln(x)在x>1时都是递增的，在0<x<1时都是递减的。
- 对数函数的图像呈现出逐渐变缓的特点，即曲线在x趋近于0或无穷大时逐渐接近坐标轴。
- 对数函数的图像在x=1处有一个特殊点，即经过点(1, 0)。
- 对于同一个底数，对数函数之间存在换底公式，如log(x) =ln(x)/ln(10)和ln(x) = log(x)/log(e)。
二、对数函数的应用领域对数函数在数学和实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见应用领域的示例：1. 指数增长与对数函数：对数函数与指数增长可以互为逆运算。
例如，在财务分析中，对数函数可以用来研究指数增长的趋势，计算复利的增长率，并进行投资决策。
人教版高中数学《对数函数的图象和性质》教学课件
a＞1
0＜a＜1
图y
y
象 0 (1,0)
x
0 (1,0) x
定义域 : ( 0,+∞)
性
值域 : R
过定点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
质 y loga x与y log 1 x的图象关于x轴对称 底大图右
a
典例精讲
例3 比较下列各组中，两个值的大小：
3
y log 1 x
2
性质： ① y loga x与y log 1 x的图象关于x轴对称
a
② 在第一象限底大图右
探索发现
y
2
认真观察函数
1 11
y=log2x
42
0 1 23 4
x
-1
的图象填写下表 -2
图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸
定义域 : ( 0,+∞)
值域: R
自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是：增函数
典例精讲
例2 求下列函数的定义域：
（1） y loga x2 (a 0,且a 1)
解: ∵x2 ﹥0 即x ≠ 0 ∴函数y= logax2 的定义域是{x| x ≠ 0}
（2）y log a (4 x)
解:∵ 4-x﹥0即x﹤4 ∴函数y=loga (4-x) 的定义域是{x|x﹤4}
y
探索发现
2
认真观察函数
1 11
42
y lo g 1 x
0 123 4
x
-1
2
的图象填写下表
-2
图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象 逐渐下降
对数函数及其性质(第一课时)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
）
（1）A已．知cab0.3a0.4 ，A．b cB．lobga34ab，cc lBo．g0.a3 4C，b．则b（c a c ）C． b Da．bc c a D．b c a
A． c b a B． a b c
C．b a c
D．b c a
例题讲练
（2）设 a log3 ， b log2 3 ， c log3 2 ，则（
x lxogaloyg（a ya （ 0a且 a0 且 1a），1x），也是x 也以是y以为自y 为变自量变的量函的数函（数其（中其y 中 0y， 0x ， Rx ），R ）， 根据根我据们我的们认的知认习知惯习，惯我，们我把们x 把 lxogaloyg中a 字y 中母字x 母， xy，对调y 对，调， 写成写y成 lyogaloxg（a 其x （中其x 中 0x， 0y， Ry ）．R ）．
例题讲练
【练习习 55】】
（（11））已已知知ff((xx))的的定定义义域域为为[0[,10],1，] ，则函则数函数f [lof g[l1o(g31(3x)] 的x)定] 的义定域义为域___为____________．_____．
22
例题讲练
（2）已知函数 y f [lg(x 1)] 的定义域为 (0,99] ，则函数 y f [log2 (x 2)] 的定义域为__________．
§4.4 对数函数及其性质 (第一课时)
人教版高中数学必修一
课堂引入：
通过前面的学习我们知道，某细胞经过 x 次分裂后，变成的细胞个数 y 2x ,
得由到一由y 个y2指x 数2x函x数x．lo由gglo22gyyy2y2对x 于对任于x意任的意lo细的g2胞细y个胞，数个对数y于，任y 我，意们我的都们细可都胞以可个通以数过通y对过，数对我运数们算运都算可 得到以得唯通到一唯过的一对的数x 与运x 之与算对之得应对到，应唯所，一以所的细以x胞细与分胞之裂分对次裂应数次,所数x以也x细可也胞以可分看以裂出看次以出数细以x胞细也个胞可数个以数y看为y成自为以变自细变胞个 量的数量函的y数函为．数自．变量的函数． 同样同地样，地根，据根指据数指与数对与数对的数关的系关，系由，y由 ayx（aax （ 0a且 a0 且 1a）可1）以可得以到得：到：
高考数学中的对数函数性质及其应用
高考数学中的对数函数性质及其应用对数函数是高中数学中非常重要的一个概念。
在高考中，对数函数也是非常重要的考点之一。
本文将从对数函数的定义、性质、公式以及应用来进行简单的讲解，帮助同学们更好地掌握这一重要概念。
一、对数函数的定义与性质对数函数可以这样定义：设a>0，且且a≠1，则称y=loga x是以a为底，x为真数的对数函数。
其中a被称为底数，x为真数，y 为对数值。
对数函数最基本的性质是：若a>1，则loga 1=0；若0<a<1，则loga 1=0；若a=1，则无解。
对于对数函数的底数a和真数x均不能为负数或零。
对数函数还有一个很重要的性质是对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
这个性质说明了，对数函数的定义需要满足a>0，x>0，根据定义，y=loga x，那么y也一定为实数，因此对数函数的值域为实数集。
二、对数函数的公式运用对数函数公式，能够快速简便地完成数值计算，增强数学思维，提高解题能力。
主要有以下四个公式：1、loga (mn) = loga m + loga n2、loga (m/n) = loga m - loga n3、loga m^p = p*loga m4、loga a^n = n公式1和2用于将对数函数中的乘、除法转换成加、减法。
公式3用于将对数函数中的指数运算转换成乘法。
公式4是对数函数的基本公式，即对数函数中以a为底，a的幂次方的值等于幂次数。
三、对数函数的应用1、复利计算：实际生活中，人们常常要面临各种复利计算问题。
在复利计算中，常常需要用到对数函数。
例如求N年后本金为P的投资，在年利率为r的情况下，总收益为多少。
用对数函数可以快速算出结果，公式为：A=P*(1+r)的N次方。
2、化简大数：在高精度计算和密码学领域中，经常需要对大数进行化简计算。
对于x^y的结果，如果y过大，那么我们需要通过对数函数将其化简。
即对x取对数，乘以y，再通过反函数将结果还原。
高中数学必修1课件：2.2.2《对数函数及其性质》 (共22张PPT)
值域: R
自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是： 增函数
列
x … 1/4 1/2 1 2 4 …
表 y log 2 x … -2 -1 0 1 2 …
y log 1 x … 2
2
1 0 -1 -2 …
y
描
2
点
1 11
这两个函数 的图象有什
42
0 1 23 4
x 么关系呢？
连 线
-1
-2
关于x轴对称
2.2 对数函数
2.2.2 对数函数及其性质 Nhomakorabea复习回顾
1 指数函数的概念；
复 习
2 指数函数的图像与性质：
3 对数的概念和基本运算法则
对数函数的概念
一般地,函数y =
(a＞0,且a≠1)
叫做对数函数.其中 x是自变量.
注意：
1.对数函数对底数的限制条件：a＞0,且a≠1
2.函数的定义域是（0,+∞）.
a＞1
0＜a＜1
图y
y
象 0 (1,0)
x
0 (1,0) x
定义域 : ( 0,+∞)
性
值域 : R
过定点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是增函数
质 当x>1时，y>0
当x=1时，y=0 当0<x<1时，y<0
在(0,+∞)上是减函数
当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y>0
作y=log2x的图象
列
x
1/4 1/2 1 2
表 y=log2x -2 -1 0 1
高中对数函数知识点
高中对数函数知识点在高中数学中，对数函数是一个重要的知识点。
对数函数是指以某个确定的正数为底，来定义一个新的函数。
在这篇文章中，我将介绍对数函数的定义、性质以及应用。
一、对数函数的定义对数函数的定义是：设a是一个正数且a≠1，对任意的正数x，y，如果aᵡ＝y，则称x是以a为底的y的对数，记为logₐy。
其中，a称为对数的底数，x称为对数的真数，y称为对数的被求值。
二、对数函数的性质1. logₐ1 = 0：任何数以自己为底的对数都等于0，即logₐ1 = 0。
2. logₐa = 1：任何数以自己为底的对数都等于1，即logₐa = 1。
3. 对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集。
三、对数函数的图像对数函数的图像是一个曲线，具有特殊的形状。
当底数a大于1时，对数函数是递增的；当底数a介于0和1之间时，对数函数是递减的。
对数函数的增长速度比指数函数慢，但比线性函数快。
四、对数函数的应用对数函数在实际生活中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 对数函数在计算复利和连续复利时具有重要作用，可以方便地计算投资或借贷的利息。
2. 在测量地震的强度时，使用了里氏震级的对数表示，这样可以更好地反映地震的强度差异。
3. 对数函数还在科学和工程中起着重要的作用，如在放射性衰变的研究、声学和天文学中的应用等。
五、常用的对数函数在数学中，常用的对数函数是以10为底的常用对数（以log表示）和以e为底的自然对数（以ln表示）。
常用对数在计算学科和实际生活中广泛使用，自然对数则在微积分和指数函数的研究中经常被使用。
六、对数函数的性质1. 对数函数的底数为正实数且不等于1。
2. 对数函数的图像是一条连续的曲线，且在定义域上处处大于0。
3. 对数函数的反函数是指数函数。
总结：对数函数是高中数学中的重要概念，它的定义、性质和应用在学习中起到关键的作用。
通过学习对数函数的知识，我们能够更好地理解数学的相关概念，并在实际生活中应用它们。
高中数学-对数函数及其性质
(1)在函数的定义中，a>0且a≠1.
数 学 必
(2)在解析式y＝logax中，logax的系数必须为1，真数必须为x，底数a必须是
修 ①
大于0且不等于1的常数．
·
人
教
A
版
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〔跟踪练习 1〕
指出下列函数中，哪些是对数函数？
①y＝5x；
②y＝－log3x； ③y＝log0.5 x； ④y＝log3 x；
学
必
修
①
·
人
教
A
版
返回导航
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
忽略对数函数的定义域致错
求函数 y＝ log1 x－1的定义域.
2
[错解] 要使函数有意义，应有log1 x－1≥0，∴log1 x≥1，
2
2
∵y＝log1
2
x
为减函数，∴x≤12，
数
∴函数的定义域为(－∞，12]．
学
必 修
[错因分析] 解决有关对数式的问题时，一定要牢记真数大于 0，底数大于 0
(3)要使函数有意义，需使 log0.5(x－1)>0，
即log1
2
(x－1)>0，所以
log2x－1 1>0，∴xx－ －1 11>>10
，即 1<x<2.
故函数的定义域为{x|1<x<2}．
数 学 必 修 ①
· 人 教 A 版
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
『规律方法』 定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域， 常规为：①分母不能为零，②0的零次幂与负指数次幂无意义，③偶次方根的被 开方式(数)非负，④求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义 域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零； 二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性．
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结对数函数是高中数学中的重要内容，它在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
对数函数的概念和性质需要我们认真学习和掌握，下面就对数函数的知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
一、对数函数的定义。
对数函数是指以某个正数为底数，另一个数为真数，求得幂等于这个真数的指数的运算。
通常用“log”表示对数函数，其中底数和真数分别写在log的下标和上标位置。
对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集。
二、对数函数的性质。
1.对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集。
2.对数函数的图像是一条曲线，呈现出特定的形状，具有单调递增性质。
3.对数函数的反函数是指数函数，两者互为反函数关系。
4.对数函数的性质包括对数的乘法公式、对数的除法公式、对数的换底公式等，这些公式在计算中有着重要的应用。
5.对数函数在数学和实际问题中有着广泛的应用，如在化学中的PH值计算、声音强度的测量等。
三、对数函数的应用。
1.对数函数在化学中的应用。
对数函数在化学中有着广泛的应用，其中最典型的就是PH值的计算。
PH值是用来表示溶液酸碱度的指标，它的计算就涉及到对数函数的运用。
PH值的计算公式为PH=-log[H+]，其中H+表示氢离子的浓度。
通过对数函数的运用，我们可以快速准确地计算出溶液的PH值，这在化学实验和工业生产中都有着重要的意义。
2.对数函数在声学中的应用。
在声学中，声音的强度可以用分贝来表示，而分贝的计算就需要对数函数的运用。
分贝的计算公式为L=10log(I/I0)，其中I表示声音的强度，I0表示参考声音的强度。
通过对数函数的计算，我们可以得到声音的分贝值，从而对声音的强度有一个直观的认识。
这对于保护听力和环境噪音的控制都有着重要的意义。
四、对数函数的解题技巧。
1.熟练掌握对数函数的基本性质和常用公式，能够灵活运用对数函数的乘法公式、除法公式、换底公式等，是解题的关键。
2.在解题过程中，要善于化简对数式，尤其是利用对数函数的性质进行化简，可以简化计算步骤，提高解题效率。
【新教材】高中数学课件4.3.3对数函数的图象与性质
变式训练5画出下列函数的图象,并根据图象写出函数的定义域与值域以
及单调区间:
(1)y=log3(x-2);(2)y=log5|x|.
解 (1)函数y=log3(x-2)的图象如图1.其定义域为(2,+∞),值域为R,在区间
(2,+∞)上单调递增.
(3)真数为x,而不是x的函数.
2.根据指数式与对数式的关系知,y=logax可化为ay=x,由指数函数的性质可
知在对数函数中,有a>0且a≠1,x>0,y∈R.
x
微拓展
若函数y=f(x)图象上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数图象上;反之亦然.
知识点二:对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象与性质
(2)(中间量法)因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32.
(3)(分类讨论法)当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有
logaπ>loga3.141;
当0<a<1时,函数y=logax在定义域内是减函数,则有logaπ<loga3.141.
反思感悟 比较两个对数式大小的常用方法
(1)当底数相同、真数不相同时,直接利用对数函数的单调性进行比较.
(2)当底数不同、真数相同时,可根据图象与底数的关系所反映出的规律比
较,常数形结合.
(3)当底数和真数都不相同时,可考虑引进第三个数(常用“0”或“1”)分别与
之比较,然后通过第三个数的传递进行比较.
例4(2020四川宜宾高一检测)已知函数f(x)=log2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结对数函数是高中数学中的重要知识点之一，它广泛应用于数学、物理、经济学等领域。
本文将对对数函数的定义、性质和应用进行详细总结，帮助读者全面了解对数函数。
一、对数函数的定义1. 对数函数的定义：对于任意正实数a（a≠1）和正实数x，称y=logₐx为以a为底x的对数，其中x被称为真数，a被称为底数，y被称为对数。
记作y=logaₐx。
2. 以10为底的对数函数：y=log₁₀x，通常将其简写为y=logx。
3. 自然对数函数：以e≈2.71828为底的对数函数，记作y=loge x或y=lnx。
二、对数函数的基本性质1. 对数函数与指数函数的互为反函数性质：对数函数y=logₐx与指数函数y=aˣ满足关系方程aˣ=x，x>0，a>0且a≠1。
2. 对数函数的定义域和值域：对数函数y=logₐx的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,+∞)。
3. 对数函数的对称关系：对于任意正实数x和定义域内的正实数a，有对称关系logₐx=y↔aʸ＝x。
4. 对数函数的性质：（1）等式性质：logₐx=logₐy→x=y；logₐx=logb x/lobb a；logₐ1=0；l ogₐa=1。
（2）倒数性质：loga(1/x)=-logₐx。
（3）指数性质：logₐxⁿ=nlogₐx。
（4）乘法性质：logₐ(xy)=logₐx+logₐy。
（5）除法性质：logₐ(x/y)=logₐx-logₐy。
三、对数函数的图像与性质1. 对数函数y=logₐx的图像特点：（1）定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
（2）过点(1,0)。
（3）随着x的增大，y增大，但增长速度逐渐减小。
（4）曲线在x轴的右侧均为上升曲线。
（5）曲线在x=1处有一垂直渐近线。
2. 自然对数函数y=lnx的图像特点：（1）定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
（2）过点(1,0)。
（3）随着x的增大，y增大，但增长速度逐渐减小。
对数函数总结
对数函数总结对数函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学和科学的各个领域中都有广泛的应用。
本文将对对数函数的定义、性质、常见的对数函数及其应用进行全面总结。
一、定义和性质：1.定义：对数函数是指将正实数x作为输入，输出其对应的幂指数。
对于a>0且a≠1，b>0，则以a为底的对数函数定义为y=loga(x)，表示a的多少次幂等于x。
特殊情况下的对数函数：当a=10时，对数函数称为常用对数函数，简写为y=log(x)；当a=e时，对数函数称为自然对数函数，简写为y=ln(x)。
2.性质：（1）对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集；（2）对数函数是一种递增的函数，即对于任意x1>x2，恒有loga(x1)>loga(x2)；（3）对于任意x>0，恒有loga(a^x)=x；（4）对于任意x>0，恒有a^(loga(x))=x。
二、常见的对数函数及其图像和性质：1.常用对数函数（以10为底）：常用对数函数是以10为底的对数函数，表示为y=log(x)。
主要特点：（1）定义域：x>0；（2）值域：实数集；（3）图像：对数函数的图像在x轴的正半轴上递增，且过点(1,0)；（4）性质：log(1)=0，log(10)=1，log(a*b)=log(a)+log(b)。
2.自然对数函数（以e为底）：自然对数函数是以e为底的对数函数，表示为y=ln(x)。
主要特点：（1）定义域：x>0；（2）值域：实数集；（3）图像：自然对数函数的图像在x轴的正半轴上递增，过点(1,0)；（4）性质：ln(1)=0，ln(e)=1，ln(a*b)=ln(a)+ln(b)。
三、对数函数的应用：1.解方程和不等式：对数函数在代数中常用于解决涉及指数和幂的方程和不等式。
通过对数函数的性质，可以将指数方程或幂方程转化为对数方程，从而更容易求解。
2.指数增长和衰减：对数函数经常用于描述指数增长和衰减的情况。
高中数学对数和对数函数知识点与例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：a b=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a（MN）=log a M+log a N.②log aMN=log a M－log a N.③logaM n=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN= l oglogaaNb（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=log a x（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。
但是，根据对数定义:log a a=1；如果a=1或=0那么log a a就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象yyy =l ogxa>(1)a1O1xOxy =l o g a x (<a <1) 0底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题题型1（对数的计算） 1．求下列各式的值． （1）35 log ＋25log2－1 21 50log － 514 log ；（2）log5 2 1 25 ×lo g 3 1 8 ×lo g 5 1 9. 练习题1．计算：lg 1 2 －lg5 8 ＋lg12.5－log 89·log 278；3.log535＋21log2－log51502 －log514；3.log2125×log318×log519.1loglog4log3 4.399222．5.lg5lg2lg41(6).log24lglog27lg2log33222 7.2lg2lg3111lg0.36lg823例2．已知实数x、y、z满足3x＝4y＝6z＞1.(1)求证：2x＋1y＝2z；(2)试比较3x、4y、6z的大小．练习题．已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数fxlog22xx1aax的定义域为集合A，关于x的不等式22 的解集为B，若AB，求实数a的取值范围．2．设函数2ylog(ax2x2)定义域为A．2（1）若AR，求实数a的取值范围；（2）若2log(ax2x2)2在x[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．2练习题1．已知函数2 fxlgax2x1（1）若fx的定义域是R,求实数a的取值范围及fx的值域；（2）若fx的值域是R，求实数a的取值范围及fx的定义域2求函数y=2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及性） 例题1．已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x －1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(1 log24)的值． 2 4.已知f （x ）=l o g 1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域.3 5.已知y =l o g a （3－a x ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的围.4．已知函数f(x)lg(2x)lg(2x).（Ⅰ）求函数yf(x)的定义域；（Ⅱ）判断函数yf(x)的奇偶性；（Ⅲ）若f(m2)f(m)，求m的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0，a≠1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围2．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，1f(x)logx.2 （1）求函数f(x)的解析式；（2）解不等式2f(x1)2；3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，1f(x)log(x1)．2 （Ⅰ）求f(0)，f(1)；（Ⅱ）求函数f(x)的表达式；（Ⅲ）若f(a1)1，求a的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f（x）=|log2x|的图象是yy111x-11xOOAByy111x1xOOCD6.求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.f(x)＝|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b.(1)求方程f(x)＝1的解；(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2fa b2，求证：a·b＝1，a b2 ＞1.练习题：1．已知a0且a1，函数f(x)log(x1)a，1g(x)log a，记F(x)2f(x)g(x)1x（1）求函数F(x)的定义域及其零点；（2）若关于x的方程2 F2．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log44xa?237.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于题型五：函数方程1方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.5.已知函数f（x）= 1()2x,x4,则f（2+log23）的值为f(x1),x4,4．已知函数f(x)log a(axx)(a0,a1为常数）. （Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）若a2，x1,9,求函数f(x)的值域；（Ⅲ）若函数f(x)ya的图像恒在直线y2x1的上方，求实数a的取值范围.1xxyloglog(2x8).5．已知函数22242（Ⅰ）令tlog2x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值.8.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。
对数函数性质
对数函数性质对数函数是高中数学中的一个重要知识点，在许多数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。
在学习对数函数时，我们需要掌握对数函数的性质，在这里，我将为大家详细介绍对数函数的性质，希望能对大家的学习有所帮助。
一、对数函数定义及性质对数函数的公式为：y=loga x ，其中x、y、a都是实数，a>0，且a≠1。
1.定义域和值域（1）定义域：对数函数的定义域为正实数集R+（2）值域：对数函数的值域为实数集R2.奇偶性（1）当a>1时，对数函数是增函数，是奇函数。
（2）当0<a<1时，对数函数是减函数，是偶函数。
（3）对于任意的a，对数函数均不具有周期性。
3.单调性（1）当a>1时，对数函数是单调递增的；（2）当0<a<1时，对数函数是单调递减的；（3）对于任意的a，对数函数均单调。
4.对称轴当a>1时，对数函数的对称轴是y=x；当0<a<1时，对数函数的对称轴是y=-x。
5.渐近线当a>1时，对数函数的x轴渐近线是x轴；当0<a<1时，对数函数的y 轴渐近线是x轴。
二、对数函数在求解实际问题中的应用对数函数是一种用于描述关系紧密的现象的数学工具，它广泛应用于数学、物理、化学、生物等领域。
下面分别介绍对数函数在不同领域的应用。
1.经济学中的应用对数函数在经济学中有广泛的应用，例如在计算经济增长率和物价指数时常常用到对数函数。
（1）经济增长率的计算对数函数可以用来表示数据的增长趋势。
在经济学中，经济增长率是一个重要指标。
假设某国的国内生产总值（GDP）在2010年为100亿美元，在2011年增加到120亿美元，那么这个国家的GDP增长率为：所以，GDP的增长率为20%。
可以使用以下公式来计算增长率：增长率 = log10(120) - log10(100) = 0.0792。
因此，增长率为7.92%。
（2）物价指数的计算物价指数是描述物价水平的一个指标。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质教材梳理素材新人教A版必修1(new)
2。
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2 对数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、对数函数及其性质1.对数函数一般地，函数y=log a x （a>0，a ≠1）叫对数函数，其中x 是自变量,函数的定义域是（0,+∞）。
因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞）,指数函数与对数函数的定义域和值域是互换的。
只有形如y=log a x （a>0，a ≠1，x>0)的函数才叫对数函数。
像y=log a (x+1）,y=2log a x ，y=log a x+3等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数。
对数函数同指数函数一样都是基本初等函数，它来自于实践.2.对数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=log 2x 及y=log 1/2x 图象列出x ，y 的对应值表，用描点法画出图象：描点即可完成y=log 2x,y=x 21log 的图象，如下图.0 1 2 4 8 x—1—2 y=log 1/2x-3s由表及图可以发现:我们可以通过函数y=log 2x 的图象得到函数y=log 0。
5x 的图象．利用换底公式可以得到：y=log 0。
5x=-log 2x ，点（x,y)与点(x,-y ）关于x 轴对称，所以y=log 2x 的图象上任意一点(x ，y ）关于x 轴对称点(x ，-y ）在y=log 0。
5x 的图象上，反之亦然．根据这种对称性就可以利用函数y=log 2x 的图象画出函数y=log 0.5x 的图象．方法点拨 注意此处空半格①作对数函数图象,其关键是作出三个特殊点（a 1,-1),（1，0)，(a ，1）．一般情况下，作对数函数图象有这三点就足够了.不妨叫做“三点作图法。
"②函数y=log a x 与y=x a 1log 的图象关于x 轴对称。
（2）对数函数y=log a x 在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示: a ＞1 0＜a ＜1图 象定义域（0，+∞） 值 域R 性 质 （1)过点（1,0），即x=1时，y=0要点提示（1）对数函数的图象恒在y轴右方.（2)对数函数的单调性取决于它的底数。
高中数学对数函数及其性质课件
用什么方法研究？ 方法：从图象到性质;
研究哪些性质？ 内容:定义域,值域,单调性等.
探究1：在同一坐标系中画出以下对数函数的图象
(1) y log2 x
(2) y log1 x
2
列
x
…
1 4
1 2
1 2 4…
表 y=log2x … -2 -1 0 1 2 …
y log1 x … 2
2
变式2：将以下数按由小到大的顺序排列
log6 7 ，log7 6 log2 0.8；
解： log2 0.8 log2 1 0， log6 7 log6 6 1， log7 6 log7 7 1，
log7 6 log7 1 0 ；
0 log7 6 1
log2 0.8 log7 6 log6 7
5730 1
t
2
2
对数函数定义是什么？
t log 1 p y loga x 5730 2
1.对数函数定义：
一般地，我们把函数y loga x 〔a＞0且a≠1〕
叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定
义域是〔0，+∞〕．
思考：
判断以下函数是否为对数函数？ 注意： 一个函数为
① y＝log5x ；
1
0 -1 -2 …
描
y
点2
y log2 x
1 11
连 线
42
0 1 23 4
x
-1
-2
y log1 x
2y log1 x 两个函数图象有何
特征及性质？ 2
定义域 (0,) ,
y
值域R,过点（1，0),
2
1
y log2 x
y log2 x 单 调 递 增 ，
高中数学对数函数知识点
高中数学对数函数知识点对数函数是高中数学中的重要内容，以下是关于对数函数的主要知识点：一、对数的定义与性质：1. 对数的定义：设a为正实数，且a≠1，b为正实数，若满足a^x=b，则称x为以a为底b的对数，记作x=logab。
其中，a称为底数，b称为真数。
2.对数的性质：- loga1=0，其中a为任意正实数，且a≠1；- logaa=1，其中a为任意正实数，且a≠1；- loga(m*n)=logam+logan，其中a为任意正实数，且a≠1；- loga(m/n)=logam-logan，其中a为任意正实数，且a≠1；- logam^n=n*logam，其中a为任意正实数，且a≠1；- logab=logcb/logca，其中a、b、c为任意正实数，且a≠1、b>0、c>0；二、对数函数的图像与性质：1. 对数函数：设a为正实数，且a≠1，函数y=logax (x>0) 称为以a为底的对数函数。
其中，a称为底数。
2. 对数函数y=logax的图像特点：-定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)；-x轴为渐进线，即y趋近于负无穷大；-当x=1时，y=0，是对数函数的特殊点；-当x>1时，y>0，y随着x的增大而增大，呈现增函数的特点；-当0<x<1时，y<0，y随着x的减小而减小，呈现减函数的特点；-当x=a时，y=1，是对数函数的特殊点。
三、对数方程与对数不等式：1.对数方程：对数方程是指含有对数的方程。
解对数方程的一般步骤为：-用对数的定义化简方程；-化简后的方程，得到一个以指数形式表示的方程；-解指数方程；-检验解是否符合原方程的定义域。
2.对数不等式：对数不等式是指含有对数的不等式。
解对数不等式的一般步骤为：-用对数的定义化简不等式；-不等式中含有对数，要确定其定义域；-将不等式拆分成多个小不等式；-解每个小不等式的解集；-根据定义域的限制，得到最终的解集。
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对数函数及其性质【要点梳理】要点一、对数函数的概念1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ．2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释：（1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。
（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。
类型一、对数函数的概念例1.下列函数中，哪些是对数函数？（1）log 0,1)a y a a =>≠； （2）2log 2;y x =+ （3）28log (1)y x =+；（4）log 6(0,1)x y x x =>≠； （5）6log y x =．【答案】（5） 【解析】（1）中真数不是自变量x ，不是对数函数． （2）中对数式后加2，所以不是对数函数．（3）中真数为1x +，不是x ，系数不为1，故不是对数函数． （4）中底数是自变量x ，而非常数，所以不是对数函数．（5）中底数是6，真数为x ，符合对数函数的定义，故是对数函数． 【总结】已知所给函数中有些形似对数函数，解答本题需根据对数函数的定义寻找满足的条件．定义域：（0，+∞）类型二、对数函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.例2. 求下列函数的定义域：(1)2log a y x =； (2)log (4-)(01)a y x a a =>≠且. 【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）{|4}x x <．【解析】由对数函数的定义知：20x >，40x ->，解出不等式就可求出定义域.(1)因为20x >，即0x ≠，所以函数2log {|0}a y x x x =≠的定义域为； (2)因为40x ->，即4x <，所以函数log (4-){|4}a y x x x =<的定义域为. 【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于log ()a y f x =的定义域时，应首先保证()0f x >．举一反三：【变式1】求函数y =的定义域.【答案】(1，23) (23，2] 【解析】因为121210log (1)0log (1)1x x x ⎧⎪->⎪⎪-≥⎨⎪⎪-≠⎪⎩， 所以101132x x x ⎧⎪>⎪<-≤⎨⎪⎪≠⎩，所以函数的定义域为(1，23) (23，2].【变式2】函数y ＝12log (3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝______.解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a3，∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 2要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降． 如图要点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2．底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见下图)类型三、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.例3. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)33log 3.6,log 8.9；(2)0.20.2log 1.9,log 3.5； (3)2log 5与7log 5；(4) 3log 5与6log 4．(5)log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）．【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。
【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略．【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数3log y x =的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，33log 3.6log 8.9<；解法2：由函数3log y x =在R +上是单调增函数，且 3.6<8.9，所以33log 3.6log 8.9<；(2)与第(1)小题类似，0.2log y x =在R +上是单调减函数，且1.9<3.5，所以0.20.2log 1.9log 3.5>；(3)函数2log y x =和7log y x =的图象如图所示．当1x >时，2log y x =的图象在7log y x =的图象上方，这里5x =，27log 5log 5∴>．(4) 3366log 5log 31log 6log 4,>==> 36log 5log 4∴>(5) 注：底数是常数，但要分类讨论a 的范围，再由函数单调性判断大小.当1a >时，log a y x =在(0，+∞)上是增函数，且 4.2<4.8，所以，log 4.2log 4.8a a <当01a <<时，y=log a x 在(0，+∞)上是减函数，且 4.2<4.8，所以，log 4.2log 4.8a a >【总结】比较两个对数值的大小的基本方法是：（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小． 举一反三： 【变式1】(2013·新课标全国Ⅱ卷)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c解析 (1)a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a ＞b ＞c . (2)(2014·郑州模拟)若x ∈(1e -，1)，a ＝ln x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12^ln x ，c ＝e ln x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c解析 (2)依题意得a ＝ln x ∈(－1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x ∈(1,2)，c ＝x ∈(e －1,1)，因此b ＞c ＞a .（3）如果12log x ＜12log y ＜0，那么( )．A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析 ∵12log x ＜12log y ＜log 121，又y ＝12log x 是(0，＋∞)上的减函数，∴x＞y ＞1. 答案 D类型四、对数函数图像综合应用例4．（2014年安徽亳州月考）已知函数22()log (3)f x x ax a =-+在区间[2，+∞）上递增，则实数a 的取值范围是（）A ． （－∞，4）B ． （－4，4]C ． （－∞，－4）∪[2，+∞）D ．[－4，2）【思路点拨】由题意知函数22()log (3)f x x ax a =-+是由2log y t =和2()3t x x ax a =-+复合而来，由复合函数单调性结论，只要t （x ）在区间[2，+∞）上单调递增且f （x ）＞0即可．【答案】B【解析】令2()3t x x ax a =-+，由题意知：t （x ）在区间[2，+∞）上单调递增且t （x ）＞022(2)4230a t a a ⎧≤⎪⎨⎪=-+>⎩又a ∈R +解得：－4＜a ≤4 则实数a 的取值范围是（－4，4] 故选B ．【总结升华】本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，换元法是解决本类问题的根本．举一反三：【变式1】函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是( )．A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D.(3，＋∞)解析：由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a ＞1，又u ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3＞0，即a ＞3.【变式2】求函数()22log 4y x =+的值域和单调区间． 【答案】[)2,+∞；减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞．【解析】设24t x =+，则244t x =+≥，∵ y=2log t 为增函数，2222log log (4)log 42t x ∴=+≥=()22log 4y x ∴=+的值域为[)2,+∞．再由：22log (4)y x =+的定义域为R24t x ∴=+在()0,+∞上是递增而在(),0-∞上递减，而2log y t =为增函数∴ 函数y=22log (4)x +的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞. 【变式3】已知f (x )＝log 4(4x －1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域．解 (1)由4x －1＞0解得x ＞0， 因此 f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0＜x 1＜x 2，则0＜4x 1－1＜4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)＜log 4(4x 2－1)，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x )在(0，＋∞)上递增． (3)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]．类型五、函数的奇偶性例5. 判断下列函数的奇偶性.(1)2-()ln;2xf x x=+ 【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。