直角三角形的射影定理教案

第一讲 相似三角形的判定及有关性质

3.4 直角三角形的射影定理

备课组：高二数学组 主备人：柴海斌 持案人： 授课班级： 授课时间：

教学目标

知识与技能：掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题.

方法与过程： 通过问题设计，层层跟进，引导学生探索和发现射影定理。 情感与价值观：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。 教学重难点

重点：直角三角形的射影定理的证明及应用；

教学过程

二、教学引入

点和线段的正射影简称为射影

（让学生复习并挖掘下图中的基本性质.）

已知：如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D.

(1)图中有几条线段? (答：6条，分别记为AB=c,AC=b,BC=a,CD=h,AD=m,BD=n.)

(2)图中有几个锐角?数量有何关系?

(3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?

由图中ΔACD ∽ΔCBD ∽ΔABC ，可分别写出三组比例式：

CD AD BD CD CB AC == (ΔACD ∽ΔCDB);AC

CD BC BD AB CB == (ΔCBD ∽ΔABC); CA

DA BC CD AB AC == (ΔACD ∽ΔABC). (4)观察第(3)题的结果，有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例 中项的表达式?

只有三个比例中项的表达式，CD AD BD CD =，BC BD AB CB =，CA

DA AB AC = (5)由上可得到哪些等积式?

CD 2=AD ·BD ，BC 2=BD ·BA ，AC 2=AD ·AB

（二）直角三角形的射影定理

直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。

请同学们自己写出已知条件并证明。

已知：在RT △ABC 中，∠ABC=90。 ，CD ⊥AB 于D 。

求证：CD 2=AD*BD BC 2=BD*AB AC 2=AD*AB

证明：在RT △ABC 中，因为∠ABC=90。 CD ⊥AB

∠B+∠DCB=90º , ∠ACD+∠DCB=90º

A B A B

所以∠B=∠ACD ，故 △CBD ∽△ACD

所以 BD AD CD BD

CD CD AD •=∴=2 在RT △ACB 与RT △BDC 中，B ∠Θ为公共角，

BCD ∆∴∽AB BD BC AC

BC BC BD BCA *,,2==∴∆即 同理，由BC D ∆∽A BC ∆，AB AD AC *2=

用勾股定理能证明射影定理吗？写出你的想法.

证明：

()

()AB

BD CB AB

AD AC mc m h m mc m c m mn h m c n DB AD CD mn

h n m h n h m h n a h m b c b a •=•==+-=-•==-=•==+=+++∴+=+==+22222

222222222

22222222,,,同理：得又即：得Θ

二、当堂训练

1、如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D 。，，82==DB AD 求的长。和BC AC CD , 解：ACB ∠Θ是半圆上的圆周角，

ο90=∠∴ACB ,即ΔABC 是直角三角形。 又射影定理可得

.5480108;5220102;

4,1682222==⨯=•===⨯=•===⨯=•=BC AB BD BC AC AD AB AC CD BD AD CD ，解得，解得解得

2、如图，ΔABC 中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且BD AD CD •=2。

求证：ΔABC 是直角三角形。

证明： 在ΔCDA 和ΔBDC 中， BCD CAD BDC

CDA DB

CD CD AD DB

AD CD BDC CDA AB

CD D AB C ∠=∠∴∆∆∴=∴•==∠=∠∴⊥∴ω::90,

2ΘΘο

又上的射影为在点

A

A B

为直角三角形。中在ABC ACB ACD BCD ACD BCD ACD CAD ACD ∆∴=∠=∠+∠∴=∠+∠∴=∠+∠∆ο

ο

ο

Θ909090

三、课堂小结与反思

四、课后检测

1．如图1—4—1中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AD=3，BD=2，则AC ：BC 的值是(C )

A ．3：2

B ．9：4

C ．3：2

D ．2：3

2．在Rt △ACB 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ：AD=1：4，则

tan ∠BCD 的值是(C )

A. 41

B. 31

C. 2

1 D.

2 3．下列命题中，正确的有(B )

①两个直角三角形是相似三角形；

②等边三角形都是相似三角形；

③锐角三角形都是相似三角形；

④两个等腰直角三角形是相似三角形．

A ．1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个

4．已知直角△ABC 中，斜边AB=5cm ，BC=2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE=( C )

A ．1.24 cm

B ．1.26 cm

C ．1.28cm

D ．1.3 cm

5．如图1—4—2，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E 。试说明：

(1)AB ·AC=AD ·BC ；

(2)AD 3=BC ·BE ·CF 。

解：(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，

∴S △ABC =21AB ·AC=2

1BC ·AD ∴AB ·AC=BC ·AD 。

(2)在Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理得BD 2=BE ·AB ．

同理CD 2=CF ·AC ，

∴BD 2·CD 2=BE ·AB ·CF ·AC ． *

又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC 图1—4—2