高三理科数学寒假作业(2)+答案
吉林省高三数学寒假作业2
（函数与导数）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
） 1.)()()(0000limx f xx f x x f x '=∆-∆+→∆，其中x ∆（ ）（A ）恒取正值或恒取负值 （B ）有时可以取0（C ）恒取正值 （D ）可以取正值和负值，但不能取02.设函数()y f x =在(0，+∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数(),()(),()K f x f x K f x K f x K≤⎧=⎨>⎩，取函数ln 1()xx f x e +=，恒有()()K f x f x =，则 A ．K 的最大值为1e B ．K 的最小值为1eC ．K 的最大值为2D ．K 的最小值为23.双曲线221y x m-=的离心率大于2的充分必要条件是 （ ）A ．12m > B ．1m ≥ C ．1m > D ．2m >4.函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象如图所示，则2212x x +等于（ ）（A ）89（B ）109（C ）169（D ）2895.“使lg 1m <”成立的一个充分不必要条件是（ ）A. 0m >B. {}1,2m ∈C. 010m <<D. 1m <6.已知a ，b ，c ，d 为实数，且c>d ，则“a>b ”是“a+c>b +d”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7.已知复数z =则“3πθ=”是“z 是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件8.对12,(0,)2x x π∀∈，若21x x >，且1111sin x y x +=，2221sin x y x +=，则( ) （A ）y 1＝y 2 （B ）y 1>y 2（C ）y 1<y 2 （D ）y 1，y 2的大小关系不能确定9.已知复数i i z 1)3(tan --=θ,则“3πθ=”是“z 是纯虚数”的（ ）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件10.设函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()14xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又函数()sin g x x x π=，则函数()()()h x f x g x =-在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点的个数为( )个。
2023年高三数学寒假作业02(Word含答案解析)
2023年高三数学寒假作业二(时间:45分钟分值:80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把正确选项填在答题卡的相应位置)1.已知集合A={x|-5<x<1},B={x|x2≤4},则A∪B=()A.[-2,1)B.(-5,1)C.(-5,2]D.(-5,2)2.已知复数z满足(1-i)(3+z)=1+i(i为虚数单位),则z的共轭复数为()A.3-iB.3+iC.-3-iD.-3+i3.中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=W log21+S,它N表示:在受噪音干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功叫作信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数里率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中SN从1000提升到面的1可以忽略不计.按照香农公式,若带宽W增大到原来的1.1倍,信噪比SN16 000,则C大约增加了(附:lg 2≈0.3) ()A.21%B.32%C.43%D.54%4.“m=-1”是“直线x+my-2m+2=0与直线mx+y-m+1=0平行”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件=32,则S9=()5.已知{a n}是等比数列,S n是其前n项积,若S7S2A.1024B.512C.256D.1286.在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛,经过评判,这200名参赛者的得分都在[40,90]之间,其得分的频率分布直方图如图X3-1,则下列结论错误的是()图X3-1A.可求得a=0.005B.这200名参赛者得分的中位数为65C.得分在[60,80)内的频率为0.5D.得分在[40,60)内的共有80人7.将函数f (x )=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图像向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )=cos 2x+π6的图像,则函数f (x )在0,π2上的取值范围为 ( )A .(-12,12)B .[-1,-12)C .[-1,12)D .[-1,1]8.已知函数f (x )={e 2-x ,x ≤1,lg (x +2),x >1,则不等式f (x )<1的解集为( )A .(1,7)B .(0,8)C .(1,8)D .(-∞,8)9.已知正三角形ABC 的边长为2,点M 满足CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +32CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( )A .53 B .169 C .229D .11310.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁,扇面形状较为美观.如图X3-2①,从半径为R 的圆面中剪下扇形AOB ,使剪下扇形AOB 后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为√5-12,再从扇形AOB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面,使扇环形ABDC 的面积与扇形AOB 的面积的比值为√5-12.则一个按照上述方法制作的扇环形装饰品(如图X3-2②)的面积与其所在圆的面积的比值为 ( )图X3-2A .√5-12B .√5-14C .3-√52D .√5-211.已知M 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点,则下列说法中错误的是 ( ) A .过点M 有且只有一条直线与直线AB ,B 1C 1都相交 B .过点M 有且只有一条直线与直线AB ,B 1C 1都垂直 C .过点M 有且只有一个平面与直线AB ,B 1C 1都相交 D .过点M 有且只有一个平面与直线AB ,B 1C 1都平行12.已知函数f (x )=e x -a sin x 在区间0,π3上有极值,则实数a 的取值范围是 ( )A .(0,1)B .(1,e)C .(1,2e)D .1,2e π3二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.某圆台下底面半径为2,上底面半径为1,母线长为2,则该圆台的表面积为 . 14.利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ,则事件“4a-1<0”发生的概率为 . 15.已知抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点为圆x 2+(y-1)2=2的圆心,又经过抛物线C 的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C 于A ,B 两点,则|AB|= .16.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于2π3时,费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为2π3.已知点P 为△ABC 的费马点,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A=2sin C-π6cos B ,且b 2=(a-c )2+6,则PA ·PB+PB ·PC+PA ·PC 的值为 .答案1.C [解析] ∵A={x|-5<x<1},B={x|-2≤x ≤2},∴A ∪B=(-5,2].故选C .2.C [解析] 因为(1-i)(3+z )=1+i,所以3+z=1+i1-i =(1+i )2(1-i )(1+i )=2i2=i,所以z=-3+i,所以z 的共轭复数为-3-i .故选C . 3.D [解析] 由题意知1.1Wlog 216 000Wlog 21000-1=1.1×lg16 000lg1000-1=1.1×3+4lg23-1≈0.54,所以C 大约增加了54%.故选D .4.A [解析] 若直线x+my-2m+2=0与直线mx+y-m+1=0平行,则m 2-1=0,即m=±1.当m=1时,两条直线都为x+y=0,即重合,舍去;当m=-1时,两条直线分别为x-y+4=0,x-y-2=0,符合题意.故“m=-1”是“直线x+my-2m+2=0与直线mx+y-m+1=0平行”的充要条件.故选A .5.B [解析] S7S 2=a 3a 4a 5a 6a 7=a 55=32,则a 5=2,则S 9=a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9=a 59=512,故选B .6.B [解析] 由频率之和为1,可得a×10=1-(0.035+0.030+0.020+0.010)×10=0.05,故a=0.005,故选项A 中结论正确;得分在[40,60)内的频率为(0.005+0.035)×10=0.4,得分在[60,70)内的频率为0.030×10=0.3,所以这200名参赛者得分的中位数为60+0.5-0.40.3×10≈63.3,故选项B 中结论错误;得分在[60,80)内的频率为(0.030+0.020)×10=0.5,故选项C 中结论正确;得分在[40,60)内的人数为(0.005+0.035)×10×200=80,故选项D 中结论正确.故选B .7.C [解析] 将函数f (x )=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图像向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )=cos 2x+π6的图像,所以cos 2x-π4+φ=cos 2x-π2+φ=cos 2x+π6,因为0<φ<π,所以-π2+φ∈-π2,π2,所以-π2+φ=π6,即φ=2π3,所以f (x )=cos 2x+2π3.当x ∈0,π2时,2x+2π3∈2π3,5π3,故cos 2x+2π3∈-1,12,故选C .8.C [解析] 当x ≤1时,令e 2-x <1,得2-x<0,解得x>2,所以无解;当x>1时,令lg(x+2)<1,得0<x+2<10,解得-2<x<8,所以1<x<8.综上,不等式f (x )<1的解集为(1,8),故选C . 9.C [解析] ∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +32CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -32CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB⃗⃗⃗⃗⃗ -CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13CA⃗⃗⃗⃗⃗ +32CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -32CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·-13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-29CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+16CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA⃗⃗⃗⃗⃗ +34CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-29×4+16×2×2×12+34×4=229.故选C . 10.D [解析] 设扇形AOB 的圆心角为α,OC 的长为r ,R=OA=20,由题意可得2πR -αR 2πR =√5-12,得α=(3-√5)π.由12αR 2-12αr 212αR 2=√5-12,得r=10(√5-1),故扇形装饰品的面积S=12R 2α-12r 2α=12α(R 2-r 2)=12×(3-√5)π×[202-(10√5-10)2]=400(√5-2)π,则扇环形装饰品的面积与其所在圆的面积的比值为400(√5-2)ππ×202=√5-2.11.C [解析] 直线AB 与B 1C 1是两条互相垂直的异面直线,点M 不在这两条异面直线中的任何一条上.如图所示,取C 1C 的中点N ,连接MN ,则MN ∥AB ,且MN=AB ,连接BN 并延长,交B 1C 1的延长线于点H ,连接HM 并延长,交BA 的延长线于点O ,由图可知过点M 有且只有一条直线HO 与直线AB ,B 1C 1都相交,故A 中说法正确;过点M 有且只有一条直线与直线AB ,B 1C 1都垂直,此直线就是直线DD 1,故B 中说法正确;凡是过OH 的平面均和AB ,B 1C 1都相交,即过点M 有无数个平面与直线AB ,B 1C 1都相交,故C 中说法错误;过点M 有且只有一个平面与直线AB ,B 1C 1都平行,此平面就是过点M 与正方体的上、下底面都平行的平面,故D 中说法正确.故选C .12.D [解析] f'(x )=e x-a cos x ,由题意知e x-a cos x=0在0,π3上有解,即a=e xcosx 在0,π3上有解.记g (x )=e x cosx,g'(x )=e x (cosx+sinx )cos 2x,当x ∈0,π3时,g'(x )>0,g (x )单调递增,g (0)=1,gπ3=e π3cosπ3=2e π3,所以1<a<2e π3.故选D .13.11π [解析] 由题意知,该圆台的表面积S=π×22+π×12+π×(2+1)×2=11π.14.14[解析] 4a-1<0,即a<14,又a 为计算机产生的0~1之间的均匀随机数,所以a ∈(0,1),所以所求概率P=14.15.16 [解析] 由圆x 2+(y-1)2=2的圆心为(0,1),可得p2=1,解得p=2,所以抛物线C :x 2=4y.因为直线AB 的倾斜角为60°,所以直线AB 的斜率k=√3,故直线AB 的方程为y=√3x+1.联立{x 2=4y ,y =√3x +1,可得x 2-4√3x-4=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则有x 1+x 2=4√3,x 1x 2=-4,则|AB|=√1+3×√(4√3)2-4×(-4)=16.16.6 [解析] ∵cos A=2sin C-π6cos B ,∴cos A=2√32sin C-12cos C cos B ,即cos A=√3sin C cosB-cos C cos B ,又A+B+C=π,∴cos A=-cos(B+C )=-cos B cos C+sin B sin C ,∴-cos B cos C+sin B sin C=√3sin C cos B-cos C cos B ,即sin B sin C=√3sin C cos B.∵sin C ≠0,∴tan B=sinBcosB =√3,又B ∈(0,π),∴B=π3.由余弦定理知,cos B=a 2+c 2-b 22ac=12,∵b 2=(a-c )2+6,∴ac=6,∴S △ABC =12PA ·PB sin 2π3+12PB ·PC sin 2π3+12PA ·PC sin 2π3=12ac sin B=12×6×sin π3=3√32,∴PA ·PB+PB ·PC+PA ·PC=6.。
高三数学寒假作业答案参考
2019-2019学年高三数学寒假作业答案参考高三年级数学寒假作业是不是在这欢乐的日子里为你带来了一丝苦闷呢?查字典数学网为你提供2019-2019学年高三数学寒假作业答案参考，相信这个新年你会异常开心!一、选择题1~5 CADAC 6~9 CDCB二、填空题10.311.②③④12.13.1三、计算题14.(1)设，由，，可得，同向不等式相加：得。
(2)由(1)可得，故。
又抛物线的对称轴为，由，。
即。
15.(1) (2)2019.(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an=3+(n﹣1)d，依题意，b2S2=64，b3S3=960，解得，或(舍去)故(2)Sn=3+5++(2n+1)=n(n+2)m2019，所以所求m的最小正整数是2019.16.考点：椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的关系.专题：综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：(Ⅰ)椭圆离心率为，线l：x=﹣将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3，可确定几何量，从而可得椭圆C的方程;(Ⅱ)分类讨论，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量知识，即可求得结论.解答：解：(Ⅰ)设F2(c，0)，则= ，所以c=1.因为离心率e= ，所以a= ，所以b=1所以椭圆C的方程为. (6分)(Ⅱ)当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x=﹣，此时P( ，0)、Q( ，0)，.当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(﹣，m) (m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).由得(x1+x2)+2(y1+y2) =0，则﹣1+4mk=0，k= .此时，直线PQ斜率为k1=﹣4m，PQ的直线方程为，即y=﹣4mx﹣m.联立消去y，整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2﹣2=0.所以，.于是=(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=x1x2﹣(x1+x2)+1+(4mx1+m)(4mx2+m) 令t=1+32m2，1又1我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
江苏省苏州市高三数学寒假作业 立体几何2 Word版含答案
FEDCBA立体几何2姓名____________学号___________一、填空题1．将半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为123,,r r r ，则123r r r ++＝．2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为cm 3．3．底面边长为2，侧棱与高之比为3的正四棱锥的侧面 积为．4，面积为的扇形，则圆锥的体积是．5．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．6．已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC ，DC 的中点， 沿AE ，EF ，AF 折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，则 这个四面体的体积为．7．在正三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB AA ==，点,M N 在 棱11,CC BB 上，且1CM B N =，则四棱锥A BCMN -的体积 为．8．设甲．乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V 的值是．二．解答题9．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，底面1111A B C D 是正方形，E 是棱1AA 上任意一点，F 是CD 的中点．(1) 证明：BD 1EC ⊥； (2) 若AF ∥平面C 1DE ，求1AEA A的值．10．如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB ⊥BC ，E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面ABC ；(2) 求证：平面AEF ⊥平面11AA B B ．立体几何21．解：52．解：∵长方体底面ABCD 是正方形，∴△ABD中BD ，BDcm （它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高）．∴四棱锥11A BB D D -的体积为123⨯． FBCE A1A 1B 1COG D 1C 1B 1A 1FEDCB A3，侧面积为1422⨯⨯=4．解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，解得l =2，r，∴圆锥高h =1，则体积V =π． 5．解：112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=，121:24V V = 6．解：以AE ，EF ，AF 为折痕，使得D C B ,,三点合于点P ，在折叠过程中，始终有DF AD BE AB ⊥⊥,，即PE AP ⊥，PF AP ⊥，∴PEF AP 面⊥，∴这个四面体的体积为31211213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-AP S V PEF PEF A ． 7．解:1CM B N =,111112BCMN MC B N BCC B S S S ∴==111111113233A BCMN A BCCB A BCB B ABC ABC V V V V S BB ----∆∴====⋅==．8．解：设甲．乙两个圆柱的底面和高分别为1r ．1h ，2r ．2h ，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==，∴1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==．9．证明：(1) 连接AC ，11//,,,AE CC E A C C ⇒共面． 长方体1111ABCD A B C D -中，底面1111A B C D 是正方形， ∴,,AC BD EA BD ACEA A ⊥⊥=．∴BD ⊥面1EACC ，∴1BD EC ⊥．(2) 取11C D 的中点G ，连接FG 交1C D 于点O ， 易知FG ∥DD 1，FG = DD 1，且点O 为FG 的中点， ∴1,,,A A G F 四点共面， ∴平面11C DEAAGF OE =平面． ∵AF ∥平面C 1DE ，AF ∥OE ． 又点O 为FG 的中点，∴1AE A A =12． 10．证明：(1) 连结1A C ．∵直三棱柱111A B C ABC -中，11AA C C 是矩形，FBCE A1A 1B 1C∴点F 在1A C 上，且为1A C 的中点．在△1A BC 中，E ，F 分别是1A B ，1A C 的中点， ∴EF ∥BC ．又∵BC ⊂平面ABC ， EF ⊄平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC ．(2) ∵直三棱柱111A B C ABC -中，1B B ⊥平面ABC ， ∴1B B ⊥BC ． ∵EF ∥BC ，AB ⊥BC ， ∴AB ⊥EF ，1B B ⊥ EF ． ∵1B BAB B =，∴EF ⊥平面11ABB A ． ∵EF ⊂平面AEF ， ∴平面AEF ⊥平面11ABB A ．。
2018-2019学年上学期寒假作业 数学必修二 答案与解析
一、选择题1．【答案】D【解析】设球的半径为R，则24π36πR=，可得3R=．∴该球的体积为34π36π3R=．故选D．2．【答案】D【解析】因为水平放置的ABC△的直观图中，45x O y'''∠=︒，A B A C=''''，且A B x'''∥，A C y'''∥，所以AB AC⊥，AB AC≠，所以ABC△是直角三角形，故选D．3．【答案】B【解析】设圆柱底面圆半径为r，则()222212r=+，32r∴=，从而圆柱的体积为233π1π24⎛⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，故选B．4．【答案】A【解析】画出直观图如下图所示，计算各面的面积为122122ABCS=⨯⨯=△，12112ABD BCDS S==⨯⨯=△△，162322ACDS=⨯⨯=△，故最大面积为62，所以选A．5．【答案】B【解析】由三视图可知，该四棱锥是底面边长为1的正方形，一条长为1的侧棱与底面垂答案与解析寒假训练01 空间几何体经典集训直，将该棱锥补成棱长为1的正方体，则棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体外接球的直径就是正方体的体对角线，即23R =，3R =，故选B ． 6．【答案】B【解析】易知该几何体是一个多面体，由上下两个全等的正四棱锥组成， 其中正四棱锥底面边长为2，棱锥的高为1，据此可知，多面体的体积： ()21422133V ⎡⎤=⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦．本题选择B 选项． 7．【答案】B【解析】将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周， 所形成几何体是底面半径为1r =，母线长为2l =的圆锥， ∴该几何体的侧面积ππ122πS rl ==⨯⨯=．故选B ． 8．【答案】A【解析】观察三视图，可知三棱锥A BCD -的直观图如图所示，11142223323A BCD BCD V S AB -==⨯⨯⨯⨯=△．故选A ．9．【答案】D【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥， 其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的正三棱柱的外接球相同， 如图所示：由底面边长为43由棱柱高为4，可得球心距为222428233⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故外接球的表面积228112π4π4π33S r ==⨯=，故选D ． 10．【答案】A 【解析】如图，∵D 到平面1MC N 的距离为定值125，1MC N △的一边长2MN =， ∴要使三棱锥1D MNC -的体积最小，则1C 到直线MN 的距离最小，此时MN 在AC 上，1C 到直线MN 的距离为5，则三棱锥1D MNC -的体积最小值为1112254325V =⨯⨯⨯⨯=．故选A ． 11．【答案】B 【解析】该几何体中图中粗线部分，体积为114222323V =⨯⨯⨯⨯=，故选B ．12．【答案】C【解析】正方体的棱长为a ，体积3V a =，32266S a V ==正等边圆柱(轴截面是正方形)的高为2h ，体积23π22πV h h h =⋅⋅=，3226π32πS h V ==柱， 球的半径为R ，体积34π3V R =，3224π36πS R V ==球S S S <<正球柱， 本题选择C 选项．二、填空题13．【答案】13【解析】在四面体ABCD 中，过A 作AH ⊥平面BCD 于点H ，连接BH 交DC 于点M ， 则H 为底面正三角形BCD 的重心，22233AH AB BH - 1163222BCD S BM DC =⨯⨯=△，1323133A BCD V -==，故答案为13． 14．【答案】2394336【解析】正三棱柱的高为6，4AB =，∴四棱锥1C A ABD -的表面1A DC 为等腰三角形，15A D CD ==，1213AC =D 到1A C 251323-= 11213232392A DC S ∴=⨯△1111C A ABD BDC A C A AC ABC A D D A B S S S S S S -=++++△△△△四边形()111144323964423222623=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+2394336=，故答案为2394336． 15．【答案】90，138 【解析】由三视图可得该几何体为如图所示：则该几何体的体积1463433902V =⨯⨯+⨯⨯⨯=，表面积()221246436333432343341382S =⨯+⨯+⨯-⨯+⨯⨯⨯++⨯=，故答案为90，138． 16．【答案】50πS =【解析】由于CB ，1BB ，BA 两两相互垂直，所以阳马111C ABB A -的外接球的直径为1A C ，即222253450R ++24π50πR =．三、解答题17．【答案】2113S R +=几何体表，35π6V R =几何体． 【解析】过C 作1CO AB ⊥于点1O ，由已知得90BCA ∠=︒， ∵30BAC ∠=︒，2AB R =，∴3AC R ，BC R =，13CO =． ∴24πS R =球，12333π2πAO S R R ==圆锥侧， 123π3BO S R R =⨯=圆锥侧， ∴112222331134ππ2AO BO S S S S R R R R =+++=+=几何体表球圆锥侧圆锥侧． 又∵34π3V R =球，12211111ππ34AO V AO CO R AO ⋅⋅⋅=⋅=圆锥，12211111ππ·34BO V BO CO R BO =⋅⋅⋅=圆锥，∴()1135π6AO BO V V V V R +==-几何体球圆锥圆锥．18．【答案】（1）见解析；（2）表面积为7232． 【解析】（1）直观图如图所示．（2）由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱，且该几何体的体积是以1A A，11A D，11A B为棱的长方体的体积的34，在直角梯形11AA B B中，作11BE A B⊥于E，则四边形1AA EB是正方形，11AA BE==，在1BEBRt△中，1BE=，11EB=，所以12BB=，所以几何体的表面积11111111112ABCD AA D DA B C D BB C CAA B BS S S S S S+++=+正方形正方形矩形矩形梯形()()11212121121722=+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+=+．几何体的体积3312142V=⨯⨯⨯=．所以该几何体的表面积为72+，体积为32．一、选择题1．【答案】C【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a b∥，又a与α无公共点，故选C．2．【答案】C【解析】根据公理2的推论，直线和直线外一点确定一个平面，再结合，线面平行的性质定理，可知C选项正确．寒假训练02 点、线、面的位置关系经典集训3．【答案】B【解析】A ，平行于同一直线的两个平面平行或相交，故错误 B ，垂直于同一直线的两个平面平行，故正确C ，平行于同一平面的两条直线平行，相交或异面直线，故错误D ，垂直于同一直线的两条直线平行，相交或异面直线，故错误 故选B ． 4．【答案】A 【解析】如图，平面αβ⊥，l αβ=，l α⊂，且l 不垂直于平面β，故A 不正确，故选A ．5．【答案】B【解析】根据圆柱的结构特征，可知母线垂直于圆柱的两个底面，已知另一底面的垂线上的点不在底面圆周上，故这条垂线与圆柱的母线所在直线平行，故选B ． 6．【答案】D【解析】如图，三个平面两两相交有1条交线的情况，也有3条交线的情况，故选D ．7．【答案】C【解析】60EPF ∠=︒就是两个平面α和β的法向量的夹角，它与二面角的平面角相等或 互补，故二面角的平面角的大小为60︒或120︒．故选C ． 8．【答案】A【解析】∵E 、F 分别是SN 和SP 的中点，∴EF PN ∥．同理可证HG PN ∥，∴EF HG ∥． 9．【答案】C 【解析】①正确； ②错误，如图1所示，1l m ∥，而m α⊂，1l α⊂； ③正确，如图2所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线11AC 与直线BD 异面，11A C ⊂平面1111A B C D ，且BD ∥平面1111A B C D ，故③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确，故选C ． 10．【答案】C【解析】∵平面11ABB A ∥平面11DCC D ，平面1D B平面11ABB A BE =，平面1D B平面111DCC D D F =，∴1BE D F ∥，同理可得：1D E BF ∥，∴四边形1D EBF 是平行四边形，故选C ． 11．【答案】B【解析】取1C C 的中点为E 点，11C D 的中点为G 点，连接AG ，AE ，EG ，EG 平行于1C D ，1C D 平行于1A B ，故EG 平行于1A B ，则三角形AEG 中，角AEG 或其补角为所求，设正方形边长为2，根据三角形的三边关系得到222AC CE AE +=， 故3AE =，222AG AD DG =+，故3AG =，2GE = 由余弦定理得到角AEG 的余弦值为2cos 232AEG ∠==⨯⨯．故答案为B ． 12．【答案】B【解析】由题意可知，PA ⊥底面ABC ，所以PCA ∠为直线PC 与平面ABC 所成角，PA AC =，所以三角形PCA 为等腰直角三角形，所以45PCA ∠=︒，故选B ．二、填空题 13．【答案】0或1【解析】若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在唯一的平面与已知平面平行．故答案为0或1． 14．【答案】90︒【解析】如图，由题意知3AB AC BD CD ====2BC AD ==． 取BC 的中点E ，连接DE 、AE ，则AE BC ⊥，DE BC ⊥，所以DEA ∠为所求二面角的平面角．易得2AE DE = 又2AD =，所以90DEA ∠=︒． 15．【答案】60︒【解析】如图所示，取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，易得AE ⊥平面11BB C C ，则AD 与平面11BB C C 所成的角为ADE ∠，设正三棱柱棱长为2，则3AE 1DE =，所以tan 3AEADE DE∠==，所以60ADE ∠=︒． 16．6【解析】取11B C 的中点为H 点，连接1A H ，HD ，在三角形1A HD 中，求线线角即可，13DE A E =12AA =HE ，根据三角形三边关系得到5HD =11A H =，16A D 1A HD 66三、解答题17．【答案】证明见解析． 【解析】∵EFGH P =，∴P EF ∈且P GH ∈．又∵EF ⊂平面ABD ，GH ⊂平面CBD ，∴P ∈平面ABD ，且P ∈平面CBD ， 又P ∈平面ABD平面CBD ，平面ABD平面CBD BD =，由公理3可得P BD ∈．∴点P 在直线BD 上．18．【答案】（1）画图见解析．（2）证明见解析． 【解析】（1）（2）证明：设1MB a =，1NB b =，1PB c =，则222MN a b=+，222NP b c=+，222MP c a=+，则MNP△中，22222cos022MP MN NP aMMP MN MP MN+-∠==>⋅⋅，同理可得cos0N∠>，cos0P∠>，则M∠、N∠、P∠均为锐角，即MNP△是锐角三角形．一、选择题1．【答案】C【解析】由题意，已知互不重合的直线a，b和互不重合的平面α，β，在A中，由于bαβ=，aα∥，aβ∥，过直线a与平面α，β都相交的平面γ，记dαγ=，cβγ=，则a d∥且a c∥，所以d c∥，又d b∥，所以a b∥，故A是正确的；在B中，若αβ⊥，aα⊥，bβ⊥，则由面面垂直和线面垂直的性质得a b⊥，所以是正确；寒假训练03 平行、垂直关系的证明经典集训在C 中，若αβ⊥，αγ⊥，a βλ=，则由线面垂直的判定定理得a α⊥，所以是正确；在D 中，若αβ∥，a α∥，则a β∥或a β⊂，所以是不正确的，故选C ． 2．【答案】B【解析】A ，如果m n ∥，αβ∥，根据线面角的定义可知m ，n 与α所成的角和m ，n 与β所成的角均相等，故A 正确；B ，如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，α、β可平行也可以相交，不能得出αβ⊥， 故B 错误；C ，如果αβ∥，m α⊂，那么m 与β无公共点，则m β∥，故C 正确；D ，如果n α∥，则存在直线l α⊂，使n l ∥，由m α⊥，可得m l ⊥，那么m n ⊥， 故D 正确，故选B ． 3．【答案】B【解析】B 中，可证AB DE ∥，BC DF ∥，故可以证明AB ∥平面DEF ， BC ∥平面DEF ．又ABBC B =，所以平面ABC ∥平面DEF ．故选B ．4．【答案】B【解析】以A 为原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则()0,0,0A ，()1,1,0C ，()1,0,0B ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，11,,122E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,122CE ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,1,0AC =，()1,1,0BD =-，()10,1,1A D =-，()10,0,1AA =，110022CE BD ∴=-+=⋅，则CE BD ⊥，即CE BD ⊥，故选B ． 5．【答案】B【解析】∵11SG G E ⊥，33SG G F ⊥，∴SG GE ⊥，SG GF ⊥，∴SG ⊥平面EFG ， 故①正确；同理可得GF ⊥平面EGS ，又∵SE 平面EGS ，根据线面垂直的性质定理，得GF SE ⊥，故③正确，故选B ． 6．【答案】B【解析】∵PA PB =，AD DB =，∴PD AB ⊥． 又∵平面ABC ⊥平面PAB ，平面ABC 平面PAB AB =，∴PD ⊥平面ABC ，故选B ．7．【答案】B【解析】①90BAD ∠=︒，AD AB =，45ADB ABD ∴∠=∠=︒， AD BC ∥，45BCD ∠=︒，BD DC ∴⊥，平面A BD '⊥平面BCD ，且平面A BD '平面BCD BD =，CD ∴⊥平面A BD '，AD⊂'平面A BD '，CD A D ∴⊥'，故A D BC '⊥不成立，故①错误； ②棱锥A BCD '-的体积为11222232⋅=，故②错误；③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确； ④由①知CD ⊥平面A BD '，又AB⊂'平面A BD '，CD A B ∴⊥'， 又A B A D '⊥'，且A D '、CD ⊂平面A DC '，A DCD D '=，AB∴'⊥平面A DC '，又AB '⊂平面A BC '， ∴平面A BC '⊥平面A DC '，故④正确．故选B ．8．【答案】D【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，BD ⊥平面11A ACC ， 而CE ⊂平面11A ACC ，故BD CE ⊥，故A 正确．又11A C ∥平面ABCD ，因此EF ∥平面ABCD ，故B 正确．当EF 变化时，三角形CEF 的面积不变，点B 到平面CEF 的距离就是B 到平面11A CCC 的距离，它是一个定值，故三棱锥E FBC -的体积为定值（此时可看成三棱锥B CEF -的体积），故C 正确．在正方体中，点B 到EF 6C 到EF 的距离为1，D 是错误的． 综上，故选D ． 9．【答案】A【解析】∵PA ⊥矩形ABCD ，∴PA BD ⊥， 若PD BD ⊥，则BD ⊥平面PAD ，又BA ⊥平面PAD ，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，不成立， 故PD BD ⊥不正确，故A 不正确；∵PA ⊥矩形ABCD ，∴PA CD ⊥，AD CD ⊥，∴CD ⊥平面PAD ，∴PD CD ⊥，故B 正确；∵PA ⊥矩形ABCD ，∴由三垂线定理得PB BC ⊥，故C 正确；∵PA ⊥矩形ABCD ，∴由直线与平面垂直的性质得PA BD ⊥，故D 正确．故选A ． 10．【答案】D【解析】①错误．所得四棱锥中，设AS 中点为I ，则E 、I 两点重合， ∵FI GH ∥，即EF GH ∥，即EF 与GH 不是异面直线；②正确．∵FI GH ∥，PB 与BQ 重合，且GH 与BQ 所成角为60︒， 说明EF 与PB 所成角为60︒；③正确．∵FI GH BC ∥∥，BC ⊂平面PBC ，FI ⊄平面PBC ， ∴FI ∥平面PBC ，∴FE ∥平面PBC ；④正确．∵FI ∥平面ABCD ，IH ∥平面ABCD ，FIHI I =点，∴平面FIHG ∥平面ABCD ，即平面EFGH ∥平面ABCD ，故选D ． 11．【答案】B【解析】根据题意得到立体图如图所示：A ．NC 与DE 是异面直线，故不相交；B ．CM 与ED 平行，由立体图知是正确的；C ．AF 与CN 位于两个平行平面内，故不正确；D ．AF 与CM 是相交的． 故答案为B ． 12．【答案】C【解析】因为PA O ⊥☉所在的平面，BC O ⊂☉所在的平面，所以PA BC ⊥， 而BC AC ⊥，ACPA A =，所以BC ⊥平面PAC ，故①正确；又因为AF ⊂平面PAC ，所以AF BC ⊥，而AF PC ⊥，PC BC C =，所以AF ⊥平面PCB ，故②正确；而PB ⊂平面PCB ，所以AF PB ⊥，而AE PB ⊥，AE AF A =，所以PB ⊥平面AEF ，而EF ⊂平面AEF ，所以EF PB ⊥，故③正确；因为AF ⊥平面PCB ，假设AE ⊥平面PBC ，所以AF AE ∥，显然不成立，故④不正确；故选C ．二、填空题 13．【答案】（1）【解析】（1）根据线面垂直的性质可知若m α⊥，m β⊥，则αβ∥成立； （2）若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥或α与β相交；故（2）不成立；（3）根据面面平行的可知，当m 与n 相交时，αβ∥，若两直线不相交时，结论不成立； （4）若m β∥，βγ∥，则m γ∥或m γ⊂，故（4）不成立． 故正确的是（1），故答案为（1）． 14．15【解析】将直三棱柱111ABC A B C -沿棱1AA 展开成平面连接1BC ，与1AA 的交点即为满足1BF FC +最小时的点F ，由于2AB =，1AC =，13AA =，再结合棱柱的性质，可得122AF FA ==， 由图形及棱柱的性质，可得22BF =12FC =123BC =，16cos 2232FC B ∠==⨯⨯．∴110sin FC B ∠=1BFC △的面积为110152232=15．15．【答案】②③④【解析】①如果m ，n 不一定相交，不能得出αβ∥，故错误；②如果n α∥，则存在直线l α⊂，使n l ∥，由m α⊥，可得m l ⊥，那么m n ⊥．故正确； ③如果αβ∥，m α⊂，那么m 与β无公共点，则m β∥．故正确；④如果m n ∥，αβ∥，那么m ，n 与α所成的角和m ，n 与β所成的角均相等．故正确； 故答案是②③④．16．【答案】②③【解析】①当P 位于1BD 与平面MNAC 的交点处时，MN 在平面APC 内， ②因为1AB 垂直于BC 和1BD ，所以成立，③1AB 和11AC 成60︒角，过P 点与两直线成60︒的直线有三条 故答案为②③．三、解答题17．【答案】（1）详见解析；（2）13．【解析】（1）证明：取PD 的中点G ，连FG ，AG ，∵F 为PC 的中点，∴FG CD ∥，12FG CD =且，又AE CD ∥，12AE CD =且，∴AEFG 四边形为平行四边形，∴EF AG ∥，EF PAD ⊄又平面，AG PAD ⊂平面，∴EF PAD ∥平面．（2）∵PD ABCD ⊥底面，F 为PC 的中点，∴点112F BCE d PD ==到平面的距离为．又1112122BCE S BE BC =⋅⋅=⨯⨯=△，∴11111333B EFC F BCE BCE V V S d --===⨯⨯=⋅△，即三棱锥B EFC -的体积为13．18．【答案】（1）93（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）∵ABC △为正三角形，D 为AC 中点，∴BD AC ⊥， 由6AB =可知，3CD =，33BD =1932BCD S CD BD ⋅⋅==△ 又∵1A A ⊥底面ABC ，且16A A AB ==，∴1C C ⊥底面ABC ，且16C C =， ∴111933C BCD BCD V S C C -⋅⋅==△（2）∵1A A⊥底面ABC，∴1A A BD⊥．又BD AC⊥，∴BD⊥平面11ACC A．又BD⊂平面1BC D，∴平面1BC D⊥平面11ACC A．（3）连接1B C交1BC于O，连接OD，在1B AC△中，D为AC中点，O为1B C中点，所以1OD AB∥，又OD⊂平面1BC D，∴直线1AB∥平面1BC D．一、选择题1．【答案】B【解析】因为()1,3A，()1,33B-，根据斜率公式可得333311k-==---，设直线的倾斜角为(),0180αα︒≤<︒，所以tan3α=-，解得120α=︒，故选B．2．【答案】B【解析】直线的斜率显然存在，因此由题意有3172m mm m-=≠，解得7m=．故选B．3．【答案】D【解析】因为直线的方程为340x y k-+=，令0x=，可得4ky=，令0y=，寒假训练04 直线与方程经典集训可得3k x =-，故直线在两坐标轴上的截距之和为243k k-=，解得24k =-．故选D ．4．【答案】D【解析】∵直线()12230a x y --+=与直线320x y a ++=垂直， ∴()31220a --=，∴16a =，故选D ． 5．【答案】C【解析】设所求直线为l ，由条件可知直线l 平行于直线AB 或过线段AB 的中点， ①AB 的斜率为35424+=--，当直线l AB ∥时，l 的方程是()241y x -=--， 即460x y +-=；②当直线l 经过线段AB 的中点()3,1-时，l 的斜率为213132+=--， l 的方程是()3212y x -=--，即3270x y +-=， 故所求直线的方程为3270x y +-=或460x y +-=，故选C ． 6．【答案】D【解析】直线()2610kx y k k +-+=∈R 的方程可化为()123y k x +=--， 当3x =，1y =-时方程恒成立，∴直线过定点()3,1-，故选D ． 7．【答案】A【解析】逐一考查所给的函数图像：对于选项A ，y ax =过坐标原点，则0a <，直线y x a =+在y 轴的截距应该小于零， 题中图像符合题意；对于选项C ，y ax =过坐标原点，则0a >，直线y x a =+在y 轴的截距应该大于零， 题中图像不合题意；y ax =过坐标原点，直线y x a =+的倾斜角为锐角，题中BD 选项中图像不合题意；本题选择A 选项． 8．【答案】D【解析】设直线的倾斜角为θ，则[)0,πθ∈，由斜率的定义可得：1tan 3θ-≤≤据此求解三角不等式可得倾斜角的变化范围是3π0π,,π34⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，本题选择D 选项． 9．【答案】B【解析】由斜率公式可得211132AB k -==--， 由中点坐标公式可得AB 的中点坐标为1321,22M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即32,2M ⎛⎫⎪⎝⎭， 据此可得线段AB 的垂直平分线的方程是()3222y x -=-， 整理可得425x y -=，本题选择B 选项． 10．【答案】A【解析】因为12l l ∥，所以12P P 的中点P 轨迹为直线：15502x y +--=，即100x y --=， 因此P 522=，故选A ．11．【答案】B【解析】设C 坐标(),x y ，所以重心坐标为24,33x y ++⎛⎫⎪⎝⎭，因此2+42033x y +-+=，40x y ∴-+=，从而顶点C 的坐标可以为()4,0-，故选B ．12．【答案】D 【解析】设AC 与直线2l 交于点D ．作2AE l ⊥于E ，BG AC ⊥于G ，2CF l ⊥于F ． 设AD x =，则可得3AC x =，于是2xDG =，3333x BG x == 由题意得BDG CDF Rt Rt △∽△，∴BG DGCF DF=，即33222x xDF =，解得33DF =，∴33DE =．在ADE Rt △中，可得22222812733AD AE DE =+=+=， ∴2822127AD ==，∴正ABC △的边长2213AC AD ==，故选D ．二、填空题 13．【答案】3x =【解析】因为直线l 倾斜角为π2，直线l 的斜率不存在， 又因为直线过点)3,2A，∴直线方程为3x =3x14．【答案】330x y -+=【解析】设与直线1:390l x y -+=，23:30l x y --=等距离的直线l 的方程为30x y c -+=，则93c c -=--，解得3c =，∴直线l 的方程为330x y -+=．15．【答案】22y x =±【解析】设直线方程为1x y a a -=，两坐标轴围成三角形的面积为2142a =， 解得22a =±22y x =± 16．【答案】([),31,⎤-∞-+∞⎦【解析】如图可得12112PA K --==--，1313PB K --+== 所以直线l 斜率的取值范围是([),31,⎤-∞-+∞⎦．三、解答题 17．【答案】（1）45；（2）()3,2． 【解析】（1）由84346a -=≠-，得6a =， 两条直线的方程分别为3460x y +-=，6840x y +-=，即3420x y +-=， ()()22624534---=+． （2）由220m -=，得1m =，由280210x y x y +-=-+=⎧⎨⎩，得32x y =⎧⎨⎩=， 所以交点坐标为()3,2． 18．【答案】29650x y +-=．【解析】设点B 的坐标为()11410,y y -，则AB 的中点坐标为11471,22y y --⎛⎫⎪⎝⎭． ∵AB 的中点在直线610590x y +-=上，∴1147161059022y y --⨯+⨯-=． 解得15y =，∴()10,5B ．设点A 关于直线4100x y -+=的对称点为(),A x y '''， 则有3141002211134x y y x +--⨯+=+⨯=-''⎧⎪⎪⎨'-'⎪⎪⎩，解得17x y ''==⎧⎨⎩，即()1,7A '．又BC 边所在的直线经过点A '，B ， ∴BC 边所在直线的方程为7157101y x --=--， 整理得29650x y +-=．一、选择题 1．【答案】A【解析】由题意结合圆的方程可知圆心坐标为6,22a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，结合直线方程可得()3102a ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，解得4a =，本题选择A 选项．2．【答案】A【解析】由中点坐标公式可得，圆心为线段AB 的中点()1,2C ， 半径为221186522r AB ==+=，故所求的圆的方程为()()221+225x y --=，故选A ． 3．【答案】D【解析】根据题意，0x >，再两边同时平方221x y +=，由此确定图形为半圆，故选D ． 4．【答案】A【解析】二元二次方程表示圆的充要条件是22D 40164200E F k +->⇒+->， 所以(),1k ∈-∞．故选A ． 5．【答案】C【解析】圆()0,0M ，1M r =，圆()2,0N ，3N r =， 2N M MN r r ==-，所以内切． 故选C ． 6．【答案】A【解析】∵点()2,2P -在圆()()22:16O x a y a -+-=的内部，∴()()222216a a +-<--，∴24a <，∴22a -<<．故选A ． 7．【答案】D【解析】由圆的方程得：圆心()2,3，半径2r =，寒假训练05 圆与方程经典集训圆心到直线3y kx =+的距离221k d k =+23MN ≥22224224231k r d k ∴-=-≥+22244433k k k +-≥+，即213k ≤，解得33k ≤≤，k ∴的取值范围是33⎡⎢⎣⎦，故选D ． 8．【答案】D【解析】由圆22106250x y x y +--+=，整理得()()22539x y -+-=，∴圆心坐标()5,3，圆的半径3r =，圆心到直线距离2235+432534d r ⨯⨯-=>+，直线与圆相离，∴圆上的点M 到直线3420x y +-=的最短距离min 532d d r =-=-=．故选D ．9．【答案】C【解析】圆()224x a y -+=，得到圆心坐标为(),0a ，半径2r =，∴圆心到直线2x =的距离221a d a -==-，又直线被圆截得的弦长为23()2222322a ∴+-=⎝⎭， 整理得2430a a -+=，解得1a =或3a =，则a 的值为1或3．故选C ． 10．【答案】A【解析】根据圆的垂径定理可得AB 的垂直平分线3y =-过圆心， 而圆心过2x =，则圆心坐标为()2,3-，又由()()2220345r AC =-+-+=所以所求圆的标准方程为()()22235x y -++=，故选A ．11．【答案】C【解析】∵圆22:4210C x y x y +--+=，即()()22214x y -+-=， 表示以()2,1C 为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线:10l x ay +-=经过圆C 的圆心()2,1， 故有210a +-=，∴1a =-，点()4,1A --． ∵()()224211210AC =--+--=2CB R ==，∴切线的长4046AB -．故选C ． 12．【答案】C【解析】圆C 的方程为2240x y x +-=，故圆心为()2,0C ，半径2R =．设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形PACB 为正方形，故有222PC R ==， ∴圆心到直线()1y k x =+的距离小于或等于22PC =22021k k k -+≤+解得28k ≤，则实数k 的取值范围是22,2⎡-⎣．本题选择C 选项．二、填空题 13．【答案】0,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当直线斜率不存在时，不成立舍去；当直线斜率存在时，设过点()3,1P -的直线为(13y k x +=，即310kx y k --=，由题意圆心到直线的距离小于等于123111k k-≤+，平方得03k ≤≤则倾斜角0tan 3α≤≤0π3α≤≤，故填0,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 14．【答案】()()22235x y -++=【解析】设圆的方程为()()222x a y b r -+-=，根据题意可得270a b --=，()2224a b r ++=，()2222a b r ++=，联立求解可得2a =，3b =-，5r =所以圆C 的方程为()()22235x y -++=．15．【答案】34110x y -+=或3x =【解析】因为圆C 的方程可以化为()()22231x y -+-=，所以其圆心为()2,3C ，半径为1，设切线的斜率为k ，则切线的方程为()53y k x -=-，即350kx y k --+=， 2233511k k k --+=+，解得34k =，所以切线的方程是34110x y -+=， 而点()3,5在圆外，所以过点()3,5做圆的切线应有两条，故另一条切线方程是3x =， 故答案为3x =或34110x y -+=． 16．【答案】53,124⎛⎤⎥⎝⎦【解析】化简曲线214y x =-()()22141x y y +-=≥，∴曲线表示以()0,1C 为圆心、半径2r =的圆的上半圆，直线240kx y k --+=可化为()42y k x -=-，∴直线经过定点()2,4A 且斜率为k ， 又半圆214y x =-240kx y k --+=有两个相异的交点，∴设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为()2,1B -，当直线的斜率k 大于AD 的斜率且小于或等于AB 的斜率时， 直线与半圆有两个相异的交点，212421k k --+=+，解得512k =，即512AD k =，又直线AB 的斜率413224AB k -==+，∴直线的斜率k 的范围为53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 故答案为53,124⎛⎤⎥⎝⎦．三、解答题17．【答案】（1）()()22321x y ++-=；（2）43k =-或34-．【解析】（1）注意到：()1,1AB =--，()1,1AC =-，0AB AC =⋅，于是AB AC ⊥， 所以ABC △是直角三角形，于是外接圆圆心为斜边BC 的中点()3,2-，半径12BC r ==，所以ABC △的外接圆E 的方程为()()22321x y ++-=．（2）点()2,3--关于y 轴对称的点()2,3-，则反射光线经过点()2,3-，由图象易得：反射光线斜率存在，故设反射光线所在直线方程为()32y k x +=-， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离25511k d k --==+，解得43k =-或34-．18．【答案】（1）3460x y +-=，2x =；（2）()2224x y -+=；（3）见解析． 【解析】（1）圆C 的圆心为()3,2-，半径3r =，当l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为()02y k x -=-． 232211k k k +-=+，解得34k =-．所以直线l 的方程为()324y x =--，即3460x y +-=． 当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件． （2）由于5CP 2252MN d r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以5d CP ==P 为MN 的中点．故以MN 为直径的圆Q 的方程为()2224x y -+=．（3）直线10ax y -+=即1y ax =+，代入圆C 的方程，消去y ，整理得()()2216190ax a x ++-+=．由于直线10ax y -+=交圆C 于A ，B 两点，故()()223613610Δa a =--+>，解得0a <．则实数a 的取值范围是(),0-∞．若存在实数a ，使得过点P 的直线2l 垂直平分弦AB ，则圆心()3,2C -必在2l 上． 所以2l 的斜率2PC k =-， 而1AB PCk a k ==-，所以12a =． 由于()1,02∉-∞，故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ．。
首发天津市高三寒假作业2数学 含答案
【KS5U 首发】天津市2013-2014学年高三寒假作业（2）数学 Word 版含答案.doc第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分一、选择题（题型注释）1.已知幂函数y=f （x ）的图象过（4，2）点，则=（ ）A ．B ．C ．D ．2.已知向量(1,)a x =，(8,4)b =，且a b ⊥，则x =（ ） A. 12B.2C. 2-D. 2± 3.B4.执行右图程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（ ）A.120B.720C.1440D.50405.如右图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x 代替，则这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为（ ）A ．102B ． 103C ．106D ．1076.已知抛物线x y M 4:2=，圆222)1(:r y x N =+-（其中r 为常数，r >0）过点)0,1(的直线l 交圆N 于D C ,两点，交抛物线M 于B A ,两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是 （ ）A ．(0,1]r ∈ B. (1,2]r ∈ C. 3(,4)2r ∈ D. 3[,)2r ∈+∞7.若集合12{|,01}A y y x x ==<≤，1{|2,01}B y y x x==-<≤，则A B 等于( ) (A)(],1-∞ (B)(]0,1 (C)φ (D){1}8.函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称， ,x y 满足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON ⋅的取值范围为 （ ） A ．[)+∞,12 B ．[]3,0C ．[]12,3D ．[]12,00 1 2 7 8 0 7 x 9 3 1运动员第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9.命题“存在x ∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是__________.10.函数)1lg()(-=x x f 的定义域是______________.11.在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ，则=b .12.在nx )3(-的展开式中，若第3项的系数为27，则=n .13.若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim .14.设1e 、2e 是平面内两个不平行的向量，若21e e +=与21e e m -=平行，则实数=m .三、解答题（题型注释）15.(本小题满分12分) 某市对该市小微企业资金短缺情况统计如下表：(I)试估计该市小微企业资金缺额的平均值；(II)某银行为更好的支持小微企业健康发展，从其第一批注资的A 行业3家小微企业和B 行业的2家小微企业中随机选取3家小微企业，进行跟踪调研．求选取的3家小微企业中A 行业的小微企业至少有2家的概率．16.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12=2AA AC AB ==，且11BC A C ⊥． （Ⅰ)求证：平面1ABC ⊥平面11A ACC ；（Ⅱ)设D 是11A C 的中点，判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ，使DE ‖平面1ABC ；若存在，求三棱锥1E ABC -的体积．17.（本小题满分10分）已知关于x 的不等式2|21||1|log x x a +--≤（其中0a >）。
数学寒假作业答案(理科)
理科参考答案综合练习一(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13．理 1-； 文 0. 14．8π 15．3816．0.1110,(0),1011(),().1610t t t y t -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ (3分) ；0.6 （2分）三.解答题: (本大题共6小题,共70分.)17．解：（Ⅰ）∵f(x)=sin2x+cos2x,∴f(4π)=sin 2π+cos 2π=1………5分（Ⅱ）∵f(2α)=sin α+cos α=51,∴1+sin2α=251, sin2α=2524-,……7分∴cos2α=257±∵α∈（0，43π）∴2α∈（π，23π） ∴cos2α<0.故cos2α=257-……10分 18．（Ⅰ）解：.6.08.075.0,68.085.08.0=⨯==⨯=乙甲P P …………6分（理）（Ⅱ）解：随机变量ξ、η的分别列是,2.432.05.268.05=⨯+⨯=ξE .1.24.05.16.05.2=⨯+⨯=ηE …………12分（文）(1-0.68) 0.6=0.192 …………12分19解：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角，又二面角B AO C --是直二面角，CO BO ∴⊥，又AO BO O = ，CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD ，∴平面COD ⊥平面AOB ．…4分（II ）解法一：作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴==又12DE AO ==∴在Rt CDE △中，tan CE CDE DE ===∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为．……8分解法二：建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(00A ，，(200)C ，，，D ，(00OA ∴= ，，(CD =- ，cos OA CDOACD OA CD∴<>=，==．∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为8分（III ）（理）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角， 且2tan OC CDO OD OD==．当OD 最小时，CDO ∠最大，这时，OD AB ⊥，垂足为D ，OA OB OD AB == ，tan 3CDO =，CD ∴与平面A O B 所成角的最大值为arctan3．……12分 （文）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且CDO ∴∠＝45o。
高三理科数学寒假作业(2)+答案
高三理科数学寒假作业（2）一、选择题（每小题5分，共50分）1．若集合{|2,}xM y y x R ==∈，{|1,1}P y y x x ==-≥, 则M P =I （ ）A.{}|1y y >B.{}|1y y ≥C.{}|0y y >D.{}|0y y ≥ 2．已知命题p ，q ，则“非p 是真命题”是“p 或q 是假命题”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3．在5件产品中有4件正品、1件次品.从中任取2件，记其中含正品的个数为随机变量ξ，则ξ的数学期望E ξ的值为 （ ）A.65 B.75 C.85 D.954．已知实数x ，y 满足40230y x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则4z x y =-的最大值为 （ ）A.3B.6C.9-D.95．设1()1xf x x+=-.记1()()f x f x =，若1()(())n n f x f f x +=，则2011()f x = （ ） A.x B.1x - C. 11x x +- D. 11x x -+6．设1F 、2F 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F ，2F 且与x轴垂直的直线分别交双曲线C 于M ，N ，P ，Q ，若四边形MNPQ 为菱形，则双曲线C的离心率为 （ ）15+ 13+ C.15 D.13+7.如图，空间一点P 到三条两两垂直的射线OA ，OB ，的射影分别为'A ，'B ，'C ，且'3PA ='PB =2，'5PC =， 则OP 与平面AOB 所成角的余弦值为 （ ）A.22B.63C.306D.668. 如图，在四边形ABCD 中，221,3,63AB AD AC CAB BAD ππ==∠=∠=且，设,AC AB AD λμλμ=++=u u u r u u u r u u u r则 （ ） A ．4 B ．4- C ．2- D ．69.若有231021001210(21)(21)(21)(1)(1)(1)x x x a a x a x a x ++++++=+++++++L L ，则2a 的值为 （ ） A. 25 B.50 C. 100 D. 200POC'A'B'A C B10. 若设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数。
高三数学理数寒假作业二
(第题图)6廉江市实验学校高补理科数学寒假作业（二）第 Ⅰ 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．集合{}|ln(12)A x y x ==-，{}2|B x x x =≤，全集U A B = ，则()U C A B =( )A ．(-∞，0) B．1[2,1]C ．(-∞，0) [12,1] D ．1(2-,0] 2．设复数112z i =+，234z i =+，其中i 为虚数单位，则201612z z =( ) A ．22015B ．12016C ．125D ．153．圆222813xy x y +--+=0的圆心到直线1ax y +-=0的距离为1，则a =( )A ．−43B ．−34C D ．24．函数()πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 6f x x (0ω>)的图象与x 轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为2π的 等差数列，若要得到函数()ω=sin g x x 的图象，只要将()f x 的图象( )个单位A ．向左平移6πB ．向右平移6π C ．向左平移12π D ．向右平移π5．函数2ln x xy x =的图象大致是( )A BC D6执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =( ) A ．7B ．12C ．17D ．347．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6∶00~7∶00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6∶30~7∶30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是( )A ．18B ．58C ．12D ．788．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1a >0”是“3S >2S ”的( )9．A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9．将二项式6x ⎛⎝展开式中各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是( )A ．27B ．135C ．835D ．72410．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且当(,0)x ∈-∞时，()'()f x xf x +0<成立，若(第题图)14正视图0.10.1(2)(2),(ln 2)(ln 2)a f b f =⋅=⋅，2211(log )(log ),88c f =⋅则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >>11．设,αβ∈(0，2π)，且1tan tan cos αββ-=，则( )A ．32παβ+=B ．22παβ+=C ．32παβ-=D ．22παβ-=12．在平面内，定点A ，,B ,C D 满足•=•=•=﹣2动点P ，M 满足AP =1，PM =MC 的最大值是( )A ．434B ．494C D 第 Ⅱ 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．命题“若1x ≥，则2x －4x +2≥﹣1”的否命题为__________． 14．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．15．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，A B C ，，三地位于同一水平面上，种仪器在C 地进行弹射实验，观测点A B ，两地相距100米，BAC ∠=60o，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒(已知声音的传播速度为340米/秒)，在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为30o，则这种仪器的垂直弹射高度HC =.16．设变量x ，y 满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，且z =2(1)a +x －32(1)a +y 的最小值是-20，则实数a =.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．(本小题满分12分) 数列{}n a 的前n 项和n S 满足n S =2n a －1a ，且1a ，2a +1，3a 成等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n b =11n n n a S S ++，求数列{}n b 的前n 项和n T .HCA B(第题图)15题图)18．(本小题满分12分) 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCDPA ⊥底面ABCD , AC =PA =2, E 是PC 上的一点, PE =(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A PB C --为90o ，求直线PD 与平面PBC 所成角 的大小.19．(本小题满分12分) 为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值.(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零点中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判(P 表示相应事件的频率)；①P (X μσμσ-<≤+)0.6826≥；②P (22X μσμσ-<≤+)0.9544≥； ③P (33X μσμσ-<≤+)0.9974≥.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级. (2)将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品.(i)从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望E (Y )； (ii)从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望E (Z ).20．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：2x +2y －12x －14y +60=0及其上一点A (2，4) (1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上， 求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ， 求直线l 的方程； (3)设点T (t ,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．M21．(本小题满分12分)已知2()x f x e ax =-，曲线y =()f x 在(1，()1f )处的切线方程为1y bx =+．(1)求a 、b 的值；(2)求()f x 在[0，1]上的最大值；(3)证明：当x >0时，(1)ln 10x e e x x x +---≥．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,0,2πρθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y +2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．23．(本题10分)选修4－5：不等式选讲已知0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =-++的最小值为2． (Ⅰ)求a b +的值；(Ⅱ)证明：2a +a >2与2b +b >2不可能同时成立．。
南昌二中高三数学寒假作业参考解析
南昌二中高三数学寒假作业参考解析南昌二中2021届高三数学寒假作业参考答案【】复习的重点一是要把握所有的知识点，二确实是要大量的做题，查字典数学网的编辑就为各位考生带来了南昌二中2021届高三数学寒假作业参考答案【解析】试题分析：由题知，，，，.，又故选B.考点：1、函数的零点;2、指数运算;3、函数的最值.10.D【解析】因为. ，由题意可得. .因此.由于两个函数的对称轴分别为或.因此图象的走向为选项D所示.【考点】1.立几中的线面关系.2.函数的图象近似判定.3.函数关系式的建立.11.12.2413.14.①②③④【解析】关于四面体，如下图：当光线垂直于底面时，主视图为，其面积为，③正确;当光线平行于底面，沿方向时，主视图为以为底，正四面体的高为高的三角形，则其面积为，②正确;当光线平行于底面，沿方向时，主视图为图中△，则其面积为，①正确;将正四面体放入正方体中，如上右图，光线垂直于正方体正对我们的面时，主视图是正方形，其面积为，同时现在主视图面积最大，故④正确，⑤不正确.【考点】1.几何体的三视图;2.几何图形的面积.15.①②(2)因为[-1,1]，因此关于任意恒成立，即5-2 ，而5-2 最小值为3，因此3 ，解得，实数a的取值范畴是。
考点：本题要紧考查简单曲线的极坐标方程，绝对值不等式的性质，三角函数的图象和性质。
16.(1) ;(2) 的取值范畴为【解析】试题分析：(1) 为单调递增的等比数列，说明，又依照，，列出关于的方程组，解出，最后依照等比数列的性质，求出(2)由题意是首项为2，公差为的等差数列，写出的表达式，代入，整理得，按照当且仅当，，列出不等式组，求出的取值范畴.试题解析：(1)因为为等比数列，因此因此因此为方程的两根;又因为为递增的等比数列，因此从而，因此;(2)由题意可知：，，由已知可得：，因此，当且仅当，且时，上式成立，设，则，因此因此的取值范畴为.考点：等比数列的性质，等差数列的前n项和公式，整系数二次函数的性质.17.(1) ;(2)当时，取得最大值3.【解析】试题分析：本题要紧考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用、倍角公式、两角和与差的正弦公式、三角函数最值等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力和运算能力.第一问，利用余弦定理直截了当求，在三角形内解角C的大小;第二问，在三角形BCD中利用余弦定理先得到的表达式也确实是，再在三角形ABC中利用正弦定理得到a的表达式，代入到中，利用倍角公式、两角和的正弦公式化简，由题意，，求函数的最大值.试题解析：⑴在中，4分⑵由正弦定理知6分10分由于，故仅当时，取得最大值3. 12分考点：1.余弦定理;2.正弦定理;3.倍角公式;4.两角和的正弦公式;5.三角函数最值.18.(1)三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率为;(2)选择巷道为抢险路线为好，该巷道平均堵塞点少.【解析】试题分析：(1) 巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率;“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
高三数学寒假作业 第二天 理 试题
舒城中学2021届高三数学寒假作业 第二天 理制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分；在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．〕 1．复数21iZ i-=+的一共轭复数对应的点在复平面内位于〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．()()()11,2f x x f a f a x =+-=-=，则〔 〕 A ．4-B ． 2-C ．1-D ． 3-3．执行如下图程序框图，假设输出的值是S 20-， 那么条件框内应填写上〔 〕A ．3?i >B ．4?i <C ．4?i >D ．5?i <4. 某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔 〕A ．10B ．20C ．40D ．605．在等差数列{}n a 中，912132a a =+，那么数列{}n a 的前11项和11S =〔 〕 A ．21B ．48C ．66D ．1326．成书于公元五世纪的?张邱建算经?是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，说明古人很早就注意到了数列并且有很深的研究，从下面这首古民谣中可知一二：南山一棵竹， 竹尾风割断， 剩下三十节，一节一个圈. 头节高五寸①，头圈一尺三逐节多三分③，逐圈少分三④. 一蚁往上爬，遇圈那么绕圈. 爬到竹子顶，行程是多远？此民谣提出的问题之答案是〔 〕〔注：①五寸即0.5尺. ②一尺三即1.3尺. ③三分即0.03尺.④分三即一分三厘，等于0.013 尺.〕A ． 72.705尺B ．61.395尺C ． 61.905尺D ．73.995尺 7．在ABC ∆中，2,3,60AB BC ABC ==∠=，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，假设 AO AB BC λμ=+，那么λμ+=〔 〕 A ．1B ．12C ．43D ．238．有一个7人小组，从中选取4人发言，要求其中甲和乙至少有一人参加，假设甲和乙同时参加，那么他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有〔 〕A ．720种B ．600种C ．360种D ．300种9．实数x ，y 满足2x ay x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩〔1a <〕，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，那么a 的值是〔 〕 A ．211B ．12C ． 14D ．11210.A 、B 是椭圆()222210x y a b a b+=>>长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k ≠，，那么12k k +的最小值为〔 〕A ．1 BCD11．向量,,,a b c 满足2,()(2)0,a b a b a c b c ===--=那么b c-的最小值为〔 〕 ABCD ．12．函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，假设()f x ax ≥恒成立，那么实数a 的取值范围是 〔 〕A ．20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]0 1，D ．30 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分．〕13. 假设x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，那么1y x -的最大值为 ．14. 在ABC △中， 3 5AB AC ==，，假设O 为ABC △外接圆的圆心〔即满足OA OB OC ==〕，那么AO BC ⋅的值是 ． 15.数列{}n a 的各项均为正数，11142 n n n n a a a a a ++=-=+，，假设数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，那么n = ．()()lg 1f x x =+，实数,a b 满足：()1,2b a b f a f b +⎛⎫<=- ⎪+⎝⎭且，那么()8211f a b ++取最小值时，a b +的值是__________．三、解答题：〔解容许写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤．〕 17. 〔本小题满分是12分〕在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，， 4 6 2b c C B ===，，. 〔Ⅰ〕求cos B 的值； 〔Ⅱ〕求ABC △的面积.18.〔本小题满分是12分〕数列{}n a 的前n 项和为1125,2,,,n n n n S S S a a a a +=++已知成等比数列. 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕假设数列{}n b满足1na n nb a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. 〔本小题满分是12分〕如下图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平面11BB C C . 〔Ⅰ〕求证：11B C AC ⊥；〔Ⅱ〕设点E 、F 分别是1B C ，1AA 的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由；〔Ⅲ〕求二面角1B AC C --的余弦值.20. 〔本小题满分是12分〕设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且12220F F F Q +=. 〔Ⅰ〕求椭圆C 的离心率；〔Ⅱ〕假设过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线330x y --=相切，求椭圆C 的方程； 〔Ⅲ〕过2F 的直线l 与〔2〕中椭圆交于不同的两点M 、N ，那么1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？假设存在，求出这个最大值及此时的直线方程；假设不存在，请说明理由.21. 〔本小题满分是12分〕 0t >，设函数()()3231312t f x x x tx +=-++.〔Ⅰ〕存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值，求t 的取值范围； 〔Ⅱ〕()2x f x xe m ≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分. 22. 〔本小题满分是10分〕选修4-4：坐标系与参数方程圆锥曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕和定点(0 A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.〔Ⅰ〕求直线2AF 的直角坐标方程；〔Ⅱ〕经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求12MF NF -的值.23. 〔本小题满分是10分〕选修4-5：不等式选讲 设()34f x x x =-+-. 〔Ⅰ〕解不等式()2f x ≤；〔Ⅱ〕假设存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试务实数a 的取值范围.第二天一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分；在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．〕1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AADBCBDBCACB二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分．〕 13.2； 14. 8；15. 120；16.21-. 三、解答题：〔解容许写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤．〕 17. 〔本小题满分是12分〕18.〔本小题满分是12分〕【解】〔Ⅰ〕 21++=+n n n a S S 211+=-=∴++n n n n a S S a∴数列}{n a 是公差为2的等差数列； 又521,,a a a 成等比数列，∴21112111)2()8()()4(+=+⋅⇒+=+⋅a a a d a d a a 11=∴a ，)(12*N n n a n ∈-=∴〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得：n nn n n b 2)12(2)12(2⋅-=⋅-=nn nn n n n b b b b b T 2)12(2)32(25232113211321⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=+++++=∴-- 14322)12(2)32(2523212+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=∴n n n n n T错位相减得：1322)12()222(22+⋅--++++=-n n n n T112)12(21)21(422+-⋅----⨯+=n n n 1122)32(62)12(822+++⋅---=⋅---+=n n n n n62)32(1+⋅-=∴+n n n T19. 〔本小题满分是12分〕20. 〔本小题满分是12分〕21. 〔本小题满分是12分〕【解】(1)求函数()f x 的导数得()()()()2'331331f x x t x t x x t =-++=--，分别讨论01,1,12,2t t t t <<=<<≥时函数()f x 在区间[]0 2，的最大值点是否符合题意即可；〔2〕()32313122x t x x tx xe m +-++≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立， 即()()3223131313122x x t t m xe x x tx x e x x t ++⎛⎫≤-+-+=-+-+ ⎪⎝⎭对任意[0 )x ∈+∞，恒成立，令()()23132x t g x e x x t +=-+-，[0 )x ∈+∞，，根据题意，可以知道m 的最大值为1，那么 ()()231302x t g x e x x t +=-+-≥恒成立，由于()0130g t =-≥，那么103t <≤， 当103t <≤时，()()31'22x t g x e x +=-+，那么()''2x g x e =-，假设()''20x g x e =-=，那么()'g x 在()0 ln 2，上递减，在()ln 2 +∞，上递增，那么()()()max 3'ln 2212ln 202g x g t ==++->，∴()g x 在[0 )+∞，上是递增的函数.∴()()0130g x g t≥=-≥，满足条件，∴t的取值范围是1 (0 ]3，.22. 〔本小题满分是10分〕23.〔本小题满分是10分〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。
高三数学寒假作业2理(2021学年)
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高三理科数学寒假过关测试二（考试时间:１２0分钟 满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
１.若集合}{1-==x y x A ,且B B A = ,则集合B 可能是（ ) Ａ．{}1,0-ﻩB ．{}1,2C.{}1x x ≥-D ．R２。
函数x x x x f 221ln )(2-+=的极值点的个数为( ) A ．0ﻩＢ．1ﻩC ．2D ．33。
已知函数xx xx ee e e xf --+-=)(满足41)(-=a f ，则=-)(a f ( ) A ．41ﻩＢ．43ﻩ C.1ﻩ D.04．已知具有性质:)()1(x f xf =的函数)(x f 称为满足“倒正”变换的函数。
下列函数①x x y 1-=,②x x y 1+=，③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=>=10,11,01,x xx x x y ④x y ln -=，其中满足“倒正"变换的函数是（ ) A.①③B.①④ C ．②③ D.②④５.函数x x y cos -=的部分图象是( )A B C Ｄ６。
给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=,其中在区间(0，1）上单调递减的函数个数为( ） A.1B.2C ．3ﻩＤ．47。
高三数学寒假作业(理科二)
高三理科数学寒假作业（二）一、选择题1. 设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B 等于（ ） A. ∅ B. ()3,4 C.()2,1- D. ()4.+∞ 2. 已知函数()cos 2f x x π=+（x ∈R ），则下列叙述不正确．．．的是（ ） A ．()f x 的最大值与最小值之和等于π B ．()f x 是偶函数C ．()f x 在[]4,7上是增函数D ．()f x 的图像关于点,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 3. 已知ABC ∆中，5tan 12A =-， 则cos A 等于（ ） A. 1213 B.513 C.513- D. 1213-4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于（ ）A ．1B 53C.- 2 D 3 5. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为（ ）A.10 B. 15 C. 10 D. 356. 已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ）A.21y x =- B.y x = C.32y x =- D.23y x =-+7. 设函数()4sin f x x x =-，则在下列区间中函数()f x 存在零点的是（ ） A ．[]4,3-- B ．[]3,2-- C ． []2,1--D ．[]1,28. 如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（正视图、侧视图、俯视图）中有且仅有两个相同的是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①④9. 如果直线l ，m 与平面α，β，γ满足，l βγ=，//l α，m α⊂和m γ⊥，那么必有（ ） A.αγ⊥且//m β B.αγ⊥且l m ⊥ C.//m β且l m ⊥ D.//αβ且αγ⊥ 10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。
高三理科数学寒假作业+答案
高三理科数学寒假作业一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集I 是实数集R ， 3{|2}{|0}1x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x <B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤D ．{}22x x -≤≤2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A ．2x y =B ． (lg y x =C ． 22xxy -=+ D ． 1lg1yx =+ 3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为A ．（1，0）B ．（1，5）C ．（1，－3）D ．（－1，2）4．在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.422142x x dx -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎰ A ．16 B ．18 C ．20 D ．22 6. 已知函数),6cos()6sin()(ππ++=x x x f 则下列判断正确的是A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12π=xB ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6π=xC ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12π=xD ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6π=x7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为正视图侧视图A．2π+ B．42π+ C．6π+ D．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为AB ．5C．D ．10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 已知数列{}n x 满足3n nx x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为 134010.已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ()1,211. 对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所示，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭___1___．12．在ABC ∆中，已知41AB AC ==，，ABCS AB AC ∆=⋅则的值为 ±2 ．13. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．14. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=， 204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=，则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 ．三、解答题：本大题共6个小题，共70分. 15．（本小题满分12分）（第13题图）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）∵2()sin cos f x x x x =)12sin cos cos 212x x x =⋅++1sin 222x x =+ ……………3分sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤∴sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………9分 ∴0sin 213x π⎛⎫≤+≤+= ⎪⎝⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，最小值为0．……………12分 16．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值． 解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点， ∴ BC AD BC AD 21//=且. …… 2分 PCADBR∴ ∠090=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥ ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,∴ BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵ ⊂PB 平面PAB ,∴ PB BC ⊥. …… 6分 （Ⅱ）法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ． ∵ 1==AD RA ,∴ RC AF ⊥.又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥, 而⊂RC 平面ABCD ,∴ RC PA ⊥. ………………… 8分 ∵ ,A PAAF = ∴ ⊥RC 平面PAF .∴ ∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ………………10分 在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ∴ 332622cos ===∠PF AF AFP . ………………11分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ………………12分 （Ⅱ）法二：FR ADBCP （第18题图）建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）.∴DC =（－1，1，0），=（1，0，1）, ……8分设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩……10分 令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n.显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．∴ cos<n ，33131=⨯=． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是33. ………………12分 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *∈． （Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *∈得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *∈≥两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+即 n n b b 21=+(,2)n N n *∈≥ …………………………………… 4分 又1165111122=+=++=-=a S S S a∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列∴ n n n b 23261⋅=⋅=- ………………………………… 8分（Ⅱ）法一由（Ⅰ）知321n n a =⋅- ……………………………… 9分 ∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232nn =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅- ……………………………10分()221321n n -=⨯--1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分（Ⅱ）法二由已知125n n S S n +=++()n N *∈ ① 设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分 即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q = ∴ 11612232n n n S n -+++=⋅=⋅∴ 1326n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分 18．（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米∵ AM DCAN DN=，∴()32x AM x+=， ……………………2分 ∴ ()232AMPNx S AN AM x +=⋅=由32>AMPN S 得 ()23232x x+> ，又0x >，得 2320120x x -+>，解得：2063x x <<> 或 即DN 长的取值范围是2(0)(6)3∞ ，，+ ……………………7分（II ）矩形花坛AMPN 的面积为()22323121212312x x x y x x x x +++===++1224≥= ……………………10分 当且仅当1232x x ,x==即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24． 故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 19．（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞(第20题图)∴ 2121()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分令()0f x '=，即2210x x x---=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分（Ⅱ）显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞∴ 222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+== ………7分① 当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．………10分③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， ∴1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩得12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x > ∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210aaa a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤- 综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 20．（本小题满分14分）已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则31a c a c +=⎧⎨-=⎩ 解得 21a c =⎧⎨=⎩ ∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分 （Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-= 由题意：△()()()22284344120km km=-+->整理得：22340k m +-> ① ……7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834km x x k +=-+， 212241234m x x k-=+………………… 8分 由已知，AM AN ⊥ ， 且椭圆的右顶点为A (2,0)∴()()1212220x x y y --+=………………… 10分即 ()()()2212121240k x x km x x m ++-+++=也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 整理得： 2271640m mk k ++= 解得： 2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 12分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7， 故，直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7．……………………… 14分。
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高三理科数学寒假作业（2）一、选择题（每小题5分，共50分）1．若集合{|2,}xM y y x R ==∈，{|1,1}P y y x x ==-≥, 则M P =I （ ）A.{}|1y y >B.{}|1y y ≥C.{}|0y y >D.{}|0y y ≥ 2．已知命题p ，q ，则“非p 是真命题”是“p 或q 是假命题”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3．在5件产品中有4件正品、1件次品.从中任取2件，记其中含正品的个数为随机变量ξ，则ξ的数学期望E ξ的值为 （ ）A.65 B.75 C.85 D.954．已知实数x ，y 满足40230y x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则4z x y =-的最大值为 （ ）A.3B.6C.9-D.95．设1()1xf x x+=-.记1()()f x f x =，若1()(())n n f x f f x +=，则2011()f x = （ ） A.x B.1x - C. 11x x +- D. 11x x -+6．设1F 、2F 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F ，2F 且与x轴垂直的直线分别交双曲线C 于M ，N ，P ，Q ，若四边形MNPQ 为菱形，则双曲线C的离心率为 （ ）15+ 13+ C.15 D.13+7.如图，空间一点P 到三条两两垂直的射线OA ，OB ，的射影分别为'A ，'B ，'C ，且'3PA ='PB =2，'5PC =， 则OP 与平面AOB 所成角的余弦值为 （ ）A.22B.63C.306D.668. 如图，在四边形ABCD 中，221,3,63AB AD AC CAB BAD ππ==∠=∠=且，设,AC AB AD λμλμ=++=u u u r u u u r u u u r则 （ ） A ．4 B ．4- C ．2- D ．69.若有231021001210(21)(21)(21)(1)(1)(1)x x x a a x a x a x ++++++=+++++++L L ，则2a 的值为 （ ） A. 25 B.50 C. 100 D. 200POC'A'B'A C B10. 若设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数。
如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()||f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是 （ ） A. 22<<-a B. 10<<a C. 22≤≤-a D. 11≤≤-a 二、填空题（每小题4分，共28分） 11.已知i 为虚数单位，复数z 满足1234iz i-=+，则z = 。
12.函数2()(sin cos )f x x x =-的最小正周期为 ；13.已知数列n a a a a n n n +==+11,1,}{中，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是 。
14. 一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为 ．15. 由直线1y x =-上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 。
16．形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由数字0，1，2，3，4，5，6,7,8,9可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为 。
17．洛萨⋅科拉茨（Lothar Collatz,1910.7.6—1990.9.26）是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n ）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即31n +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．对科拉茨（Lothar Collatz ）猜想，目前谁也不能证明，更不能否定．现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 的所有可能的取值为 ．三、解答题（18、19、20，每题14分，21、22，每题15分，共72分）18. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2222()sin()()sin a b A B a b C +-=-。
（Ⅰ）若3a =，4b =，求CA CB +u u u r u u u r的值．（Ⅱ）若60C ∠=︒,ABC ∆面积为3。
求AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的值。
19. 已知数列{}n a 满足：13a =，132n n na a a +-=，*n N ∈． （Ⅰ）证明数列12n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1(2)n n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：2n S <．20. 如图，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在平面相交于CD ，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在平面，垂足E 是圆O 上异于C 、D 的点，3AE =，圆O 的直径为9。
（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求二面角D BC E --的平面角的正切值。
第20题图21. 设椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为A ，线段OA的中点为B （O 为坐标原点），如图．若抛物线C 2：21y x =-与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点．（Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）设4(0,)5M -，N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求MPQ ∆面积的最大值．22. 已知函数tx ex f x2)(2-=，2122)(22+-+-=t te x x g x 。
（Ⅰ）求)(x f 在区间),0[+∞的最小值； （Ⅱ）求证：若1=t ，则不等式)(x g ≥21对于任意的),0[+∞∈x 恒成立； （Ⅲ）求证：若R t ∈，则不等式)(x f ≥)(x g 对于任意的R x ∈恒成立。
答案：二、填空题(每题4分，共28分)11、125i-+ 12、 π 13、10?n < 14、 4π 15、1 16、 3402 17、 {2,3,16,20.21,128}三、解答题18.解：由已知有：2222222222()()22a c b b c a a b a b a b c ac bc ⎛⎫+-+-+⋅-⋅=-⋅ ⎪⎝⎭∴有：()()2222222()2a b a b a b c c-+⋅=-⋅即：()22222()0a b a b c -+-= (Ⅰ)若3,4,a b ==则a b≠222a b c ∴+=ABC ∴∆为直角三角形，090,5,C c ∠==而||5CA CB +=u u u r u u u u r(Ⅱ)若 060,C ∠=则2220,a b c +-≠.a b ∴=ABC ∴∆为等边三角形，没边长为x 2x =2x ∴2226AB BC BC CA CA AB ∴⋅+⋅+⋅=---=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r19.证明：（Ⅰ）∵1132112(1)32222n n n n n n n na a a a a a a a ++----==----，又111202a a -=≠-， ∴12n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭等比数列，且公比为2，∴122nn n a a -=-，解得12121n n n a +-=-； （Ⅱ）121121211(2)(2)212121n n n n n n n n b a a ++++--=-=-=---， ∴当2n ≥时，111111212212n n n n n b ---==<-+-123211111222n n n S b b b b -=++++<++++L L 1111221112n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+-11222n -⎛⎫=-< ⎪⎝⎭20.(Ⅰ)证明：∵AE 垂直于圆O 所在平面，CD 在圆O 所在平面上， ∴AE ⊥CD 。
在正方形ABCD 中，CD AD ⊥，∵AD AE A =I ，∴CD ⊥平面ADE ．∵CD ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ADE 。
（Ⅱ）解法1：∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴CD DE ⊥。
∴CE 为圆O 的直径，即9CE =． 设正方形ABCD 的边长为a ，在Rt △CDE 中，222281DE CE CD a =-=-， 在Rt △ADE 中，22229DE AD AE a =-=-，由22819a a -=-，解得，35a =。
∴226DE AD AE =-=。
过点E 作EF AD ⊥于点F ，作AB FG //交BC 于点G ，连结GE ，由于AB ⊥平面ADE ，EF ⊂平面ADE ，∴EF AB ⊥。
∵AD AB A =I ， ∴EF ⊥平面ABCD 。
∵BC ⊂平面ABCD ， ∴BC EF ⊥。
∵BC FG ⊥，EF FG F =I ，∴BC ⊥平面EFG 。
∵EG ⊂平面EFG ，∴BC EG ⊥。
∴FGE ∠是二面角D BC E --的平面角。
在Rt △ADE 中，35AD =，3AE =，6DE =， ∵AD EF AE DE ⋅=⋅，∴65535AE DE EF AD ⋅===。
在Rt △EFG 中，35FG AB ==，∴2tan 5EF EGF FG ∠==。
故二面角D BC E --的平面角的正切值为25。
解法2：∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴CD DE ⊥。
∴CE 为圆O 的直径，即9CE =。
设正方形ABCD 的边长为a ，在Rt △CDE 中，222281DE CE CD a =-=-， 在Rt △ADE 中，22229DE AD AE a =-=-，GF由22819a a -=-，解得，35a =。