初三数学月考测试题
金太阳初三数学试卷月考
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √-9C. πD. 2/32. 已知实数a、b满足a+b=0，则下列各式中正确的是（）A. a²+b²=0B. a²+b²=2C. a²+b²=1D. a²+b²=-23. 如果x=2是方程x²-5x+k=0的一个根，那么k的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 在直角坐标系中，点A（-1，2）关于原点的对称点是（）A. （1，-2）B. （-1，-2）C. （2，-1）D. （-2，1）5. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，且∠BAC=60°，则∠ABC的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 若等比数列{an}的公比q≠1，且首项a1=2，第4项a4=32，则q的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 167. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y=x²B. y=x³C. y=1/xD. y=x8. 在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数是（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°9. 若平行四边形ABCD的对角线相交于点O，则OA、OB、OC、OD的长度关系是（）A. OA=OB，OC=ODB. OA=OC，OB=ODC. OA=OB，OC=OD，且OA=OB=OC=ODD. 无法确定10. 下列不等式中，正确的是（）A. 3x > 2x + 1B. 3x < 2x + 1C. 3x ≥ 2x + 1D. 3x ≤ 2x + 1二、填空题（每题3分，共30分）11. 完全平方公式（a±b）²=_________。
2024北京首都师大附中初三5月月考数学试卷和答案
2024北京首都师大附中初三5月月考数 学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意事项：1．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F摇十七运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发CZ-，简称：长二F，绰号：神箭）主要用于发射神舟飞船和大型目标飞行射．长征二号F（代号：2F器到近地轨道，其近地轨道运载能力是8500千克．将8500用科学记数法表示应为（）A．2⨯D．40.85108.510⨯8510⨯B．28.510⨯C．3m+<，则下列结论正确的是（）3．已知30A．33-<<<-D．33<-<<-m mm m<-<-<C．33m m-<<-<B．33m m4．下列几何体中，主视图是三角形的是（）A．B．C．D．5．如图，两个边长为1的正方形整齐地排列在数轴上形成一个大的长方形，以O点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点p表示的数是（）A B C ．2.2D 6．下列各式中，运算正确的是（ ）A =B =C a b =+D )0,0a b=>>7．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，在边AC 上截取AD AB =，连接BD ，过点A 作AE BD ⊥于点E ．已知3AB =，4BC =，如果F 是边BC 的中点，连接EF ，那么EF 的长是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．58．如图，90ABC BA BC ∠==°，，BM 是ABC ∠内部的射线且45CBM ∠<°，过点A 作AD BM ⊥于点D ，过点C 作CE BM ⊥于点E ，在DA 上取点F ，使得DF DE =，连接EF ．设CE a BE b EF c ===，，，给出下面三个结论：①c b a -)；②a c +上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填写在答题卡相应位置上）9x 的取值范围是 ．10．分式方程32122x x x =---的解x = ．11．在平面直角坐标系xOy 中，若点()11,A y ，()23,B y 在反比例函数0k y k x=>()的图象上，则1y 2y （填“>”“<”或“=”）．12．如图，AB 是O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 与O 相切于点C ．若40P ∠=︒，则A ∠= ︒．13．小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究：将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张），先将第1张牌放到整摞牌的下面，再去掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的下面，再去掉第4张牌……如此循环往复，最终到只留下一张纸牌为止．例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下第1张纸牌．将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第 张纸牌；将m 张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则m = （用含n 的代数式表示，其中n 为自然数）．14．如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD ，点A ，B ，C 在同一直线上， 点1O ，2O 分别为两个正六边形的中心． 则2tan O AC ∠的值为 ．15．10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：cm ）如下表所示：队员1队员2队员3队员4队员5甲队177176175172175乙队170175173174183则两队队员身高的平均数x 甲 x 乙（填><、或=），身高的方差2S 甲 2S 乙（填><、或=）．16．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端18AB =分米，C 为AB 中点，D 为拱门最高点，圆心O 在线段CD 上，27CD =分米，则拱门所在圆半径的长为 分米．三、解答题（本大题共12小题，共80分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：()0124sin 451π--︒-．18．已知221x x +=，求代数式()()2411x x ++-的值．19．解不等式组：37111122x x ->-⎧⎪⎨+>⎪⎩．20．在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(1,3)A 和(1,1)B --，与过点(2,0)-且平行于y 轴的直线交于点C ．(1)求该函数的表达式及点C 的坐标；(2)当2x <-时，对于x 的每一个值，函数(0)y nx n =≠的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值且小于2-，直接写出n 的取值范围．21．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，2BD BC =，E 、F 、G 分别是OC 、OD 、AB 的中点．(1)求证BE AC ⊥；(2)连接AF ，求证：四边形AGEF 是菱形．22．某市统计局为研究我国省会及以上城市发展水平与人均GDP 之间的关系，收集了2023年31个城市的人均GDP 数据（单位：万元）以及城市GDP 排名，进行了相关的数据分析，下面给出了部分信息．a ．城市的人均GDP 的频数分布直方图（数据分成5组：58x <≤，811x <≤，1114x <≤，1417x <≤，1720x <≤）：频数（城市个数）<≤这一组的是：12.313.213.613.8，，，；b．城市的人均GDP（万元）的数值在1114xc．以下是31个城市2023年的人均GD（万元）和城市GDP排名情况散点图：根据以上信息，回答下列问题(1)某城市的人均GDP为13.8万元，该城市GDP排名全国第_____；(2)在31个城市2023年的人均GDP和城市GDP排名情况散点图中，请用“ ”画出城市GDP排名的中位数所表示的点；(3)观察散点图，请你写出一条正确的结论．23．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，温水的温度为30℃，流速为20ml/s，开水的温度为100℃，流速为20ml/s，某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280ml温度为60℃的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以表示为：开水的体积⨯开水降低的温度=温水的体积⨯温水升高的温度．24．如图，矩形AOBC 的顶点B ，A 分别在x 轴，y 轴上，点C 坐标是()5,4，D 为BC 边上一点，将矩形沿AD 折叠，点C 落在x 轴上的点E 处，AD 的延长线与x 轴相交于点.F(1)如图1，求点D 的坐标；(2)如图2，若P 是AF 上一动点，PM AC ⊥交AC 于M ，PN CF ⊥交CF 于N ，设AP t =，FN s =，求s 与t 之间的函数关系式；(3)在（2）的条件下，是否存在点P ，使PMN 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25．对于平面内的点K 和点L ，给出如下定义：若点Q 是点L 绕点K 旋转所得到的点，则称点Q 是点L 关于点K 的旋转点；若旋转角小于90︒，则称点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．如图1，点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．(1)已知点()4,0A ，在点()(((12340,4,2,,2,,Q Q Q Q --中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是______．(2)已知点()5,0B ，点C 在直线2y x b =+上，若点C 是点B 关于点O 的锐角旋转点，求实数b 的取值范围；(3)点D 是x 轴上的动点，()(),0,3,0D t E t -，点(),F m n 是以D 为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足0n ≥．若直线26y x =+上存在点F 关于点E 的锐角旋转点，请直接写出t 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，对于线段MN ，直线l 和图形W 给出如下定义：线段MN 关于直线l 的对称线段为M N ''（,M N ''分别是M ，N 的对应点）．若MN 与MN 均与图形W （包括内部和边界）有公共点，则称线段MN 为图形W 关于直线l 的“对称连接线段”．(1)如图1，已知圆O 的半径是2，112233B C B C B C ，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段112233B C B C B C ，，中，是O 关于直线1y x =-的“对称连接线段”的是 ．(2)如图2，已知点()01P ，，以O 为中心的正方形ABCD 的边长为4，各边与坐标轴平行，若线段OP 是正方形ABCD 关于直线2y kx =+的“对称连接线段”，求k 的取值范围．(3)已知O 的半径为r ，点()10M ，，线段MN 的长度为1．若对于任意过点Q ()02，的直线l ，都存在线段MN 是O 关于l 的“对称连接线段”，直接写出r 的取值范围．27．我国是世界上最早发明历法的国家之一，《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，定四时，如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型，如图2，地面上放置一根长2米的杆AB ，向正北方向画一条射线BC ，在BC 上取点D ，测得 1.5m BD =， 2.5m AD =．(1)判断：这个模型中AB 与BC 是否垂直．答：______（填“是”或“否”）；你的理由是：______．(2)利用这个圭表模型，测定某市冬至正午阳光与日影夹角30︒，夏至正午阳光与日影夹角为60︒，请求出这个模型中该市冬至与夏至的日影的长度差（结果保留根号）．28．某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米.d（米）01234h（米）0.5 1.25 1.5 1.250.5根据上述信息，解决以下问题：(1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；(2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝；(3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．参考答案1．A【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A ．是轴对称图形，故A 正确；B ．不是轴对称图形，故B 错误；C ．不是轴对称图形，故C 错误；D ．不是轴对称图形，故D 错误．故选：A ．2．C【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．【详解】解：38.8550001=⨯．故选C ．3．D【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：∵30m +<，∴3m <-，∴3m ->，∴33m m <-<<-，∴A ，B ，C 不符合题意；D 符合题意；故选：D4．B【分析】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是熟练的掌握简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的视图对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A ．主视图是正方形，故本选项错误；B ．主视图是三角形，故本选项正确；C ．主视图是长方形，故本选项错误；D ．主视图是圆，故本选项错误．故选：B ．5．B【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出OP OA ==，据此可得答案．【详解】解：由勾股定理得OP OA ===∴点Р故选B ．6．D【分析】本题考查了二次根式的加减，二次根式的乘除，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则，根据二次根式的运算法则逐个判断即可．【详解】解：A 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；B 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；C a b ≠+，故C 不正确，不符合题意；D )0,0a b>>，故D 正确，符合题意；故选：D ．7．A【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质及三角形中位线的性质，根据勾股定理求得5AC =，进而可得2CD =，再证得EF 是BCD △的中位线，从而可求解，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．【详解】解：Rt ABC △，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，5AC ∴===，AD AB =，AE BD ⊥，3AB =，3AD ∴=，点E 是BD 的中点，2CD AC AD ∴=-=，又 F 是边BC 的中点，EF ∴是BCD △的中位线，112EF CD ∴==，故选A ．8．B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识．证明()AAS ADB BEC ≌，推出BD EC a ==，BE AD b ==，推出DE DF b a ==-，再利用等腰三角形的性质，可以判定①正确；连接AE ，根据AF EF AE +>，可以判定②错误；BM 是ABC ∠内部的射线且45CBM ∠<°，可得b a >，推出22b a >，推出2222b a b >+>③正确．【详解】解：AD BM ⊥ ，CE BM ⊥，90ADB BEC ∴∠=∠=︒，90ABC ∠=︒ ，90ABD CBE ∴∠+∠=︒，90CBE C ∠+∠=︒，ABD C ∴∠=∠，在ADB 和BEC 中，ADB CABD C AB CB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ADB BEC ∴ ≌，BD EC a ∴==，BE AD b ==，DE DF b a ∴==-，EF c =，)c b a ∴-，故①正确，连接AE，则AE =BE AD = ，DE DF =，AF BD CE a ∴===，AF EF AE +>，a c ∴+>②错误，BM 是ABC ∠内部的射线且45CBM ∠<°，b a ∴>，22b a ∴>，2222b a b ∴>+，∴>③正确．故选：B ．9．6x ≥【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数是解题即可．【详解】由题意可得60x -≥，解得6x ≥，故答案为：6x ≥．10．76/116【分析】本题考查解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可．【详解】解：去分母得：()23221x x =-⨯-，去括号得：2344x x =-+，移项，合并同类项得：67x =，∴76x =，经检验，76x =是原方程的解；故答案为：76．11．>【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．【详解】∵0k >，∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小，又∵点()11,A y ，()23,B y 在反比例函数0k y k x =>()的图象上，且013<<，∴12y y >，故答案为：>．12．25【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，切线的性质，如图，连接OC ，求解904050COP ∠=︒-︒=︒，再根据圆周角定理即可得答案．【详解】解：如图，连接OC ，∵PC 与O 相切于点C ．40P ∠=︒，∴90OCP ∠=︒，904050COP ∠=︒-︒=︒，∴1252A COP ∠=∠=︒，故答案为：2513． 1 2n【分析】题目主要考查规律探索，理解题意，找出相应的规律是解题关键8张纸牌顺序从上到下为，(将1张牌放到牌底，去掉下一张视为一轮)，1，2，3，4，5，6，7，8，按照规则依次即可得出结果；根据题意找出相应规律即可得出结果．【详解】解：8张纸牌顺序从上到下为，(将1张牌放到牌底，去掉下一张视为一轮)，1，2，3，4，5，6，7，8，前四轮去掉了2，4，6，8，还剩下4张纸牌从上至下为1，3，5，7，再经过2轮去掉3，7，还利2张纸牌、从上至下为1，5，再经过1轮，去掉5，最终剩下的是原来的第1张纸牌；由条件中4张纸牌，按上述规则操作后，最后留下的第1张纸牌，将m 张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，∴2n m =；故答案为：1；2n ．14【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接2O C ，过2O 点作2O E BC ⊥，垂足为E ，根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可．【详解】解：如图，连接2O C ，过2O 点作2O E BC ⊥，垂足为E ，设正六边形的边长为a ，则112O A O B O C a ===，在2Rt O CE 中，22,3606230O C a CO E =∠=︒÷÷=︒，∴21122EC O C a BE ===，22O E C ==，∴15222AE a a a =+=，∴22tan O E O AC AE ∠==15． = <【分析】本题主要考查了求平均数和方差，根据方差和平均数的计算方法求解即可．【详解】解：由题意得，177176175172175175cm 5x ++++==甲，170175173171183175cm 5x ++++==乙，∴x x =甲乙；()()()()222221721752175175176175177175 2.85S -+⨯-+-+-==甲，()()()()()22222217017517317517417517517518317518.85S -+-+-+-+-==乙，∴22S S <甲乙，故答案为：=，<．16．15【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接AO ，根据垂径定理求得9AC BC ==分米，设圆的半径为x 分米，则OA OD x ==分米，()27OC x =-米，根据勾股定理即可求得x ，进而可得答案．【详解】解：连接AO ，∵CD 过圆心，C 为AB 的中点，∴CD AB ⊥，∵18AB =分米，C 为AB 的中点，∴9AC BC ==分米，设圆的半径为x 分米，则OA OD x ==分米，∵27CD =分米，∴()27OC x =-分米，在Rt OAC 中，由勾股定理222AC OC OA +=，∴()222927x x +-=，∴15x =，即拱门所在圆的半径是15分米．故答案为：15．17．32【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数及零次幂、负整数指数幂的运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．先计算负整数指数幂、零次幂运算，化简二次根式，代入特殊角的三角函数，然后计算即可得出结果．【详解】解：()0124sin 451π--︒-1412=-112=-+32=．18．6【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式去括号，然后合并同类项，最后利用整体代入法求解即可得到答案．【详解】解：∵221x x +=，∴()()2411x x ++-24421x x x =++-+225x x =++15=+6=．19．2x >【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：37111122x x ->-⎧⎪⎨+>⎪⎩①②解不等式①得：2x >，解不等式②得：1x >，∴不等式组的解集为2x >．20．(1)21y x =+；(2,3)--(2)312n ≤≤【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质，用数形结合思想考虑本题是解答本题的关键．（1）将两点代入函数解析式中即可求得函数解析式，再将2x =-代入解析式即可求出点C 坐标；（2）根据题意将(2,2)--代入(0)y nx n =≠求出n 的最小值，再根据题意将C 代入求出n 的最大值，即为本题答案．【详解】（1）解：∵函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(1,3)A 和(1,1)B --，∴将点(1,3)A 和(1,1)B --代入(0)y kx b k =+≠中，31k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：21k b =⎧⎨=⎩，∴该函数的表达式为：21y x =+，∵与过点(2,0)-且平行于y 轴的直线交于点C ，∴将2x =-代入21y x =+中，得=3y -，∴(2,3)C --；（2）解：∵当2x <-时，对于x 的每一个值，函数(0)y nx n =≠的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值且小于2-，，通过图象可知，当(0)y nx n =≠的函数值小于2-时，即将(2,2)--H 代入(0)y nx n =≠中，1n =，当(0)y nx n =≠的函数值大于函数(0)y kx b k =+≠的值将(2,3)C --代入(0)y nx n =≠中，32n =，∴n 的取值范围为：312n ≤≤．21．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得出12BO OD BD ==，结合体已知条件得出BC BO =，进而根据三线合一即可得证；（2）根据（1）的结论得出12GE AB =，根据中位线的性质得出1122EF CD AB ==，根据菱形的判定定理即可得证．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴12BO OD BD ==，又∵2BD BC =，∴BC BO =，∵E 是OC 的中点，∴BE AC ⊥；（2）证明：如图所示，连接AF ，∵BE AC ⊥，G 是AB 的中点，∴12GE AB =，∵E ，F 分别是OC ，OD 的中点∴EF CD ∥，12EF CD =，又∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB CD =，AB CD ∥，∴12EF AB AG ==，EF AG ∥，GE EF =，∴四边形AGEF 是平行四边形，又∵GE EF =，∴四边形AGEF 是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，综合运用以上知识是解题的关键．22．(1)8；(2)画图见解析；(3)结论见解析．【分析】(1)根据城市的人均GDP 的频数分布直方图和城市的人均GDP (万元)的数值在1114x <≤这一组的数据即可求解；(2)根据收集了2023年31个城市的人均GDP 数据，可得城市GDP 排名的中位数是第16个，即可解答；(3)答案不唯一，根据散点图写出一条正确的结论即可；此题考查了频数分布直方图，中位数，看懂统计图是解题的关键．【详解】（1）解：根据城市的人均GDP 的频数分布直方图得，1417x <≤和1720x <≤两组的城市共有347+=个，由城市的人均GDP (万元)的数值在1114x <≤这一组的数据得，某城市的人均GDP 为13.8万元，该城市GDP 排名全国第8，故答案为：8；（2）解：∵收集了2023年31个城市的人均GDP 数据，∴城市GDP 排名的中位数是第16个，画图如下，（3）解：观察散点图可得，人均GDP (万元)大的和城市GDP 的排名也靠前．23．该学生接温水的时间为8s ，接开水的时间为6s ．【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键．设该学生接温水的时间为s x ，则接温水20ml x ，开水()28020ml x -，由物理常识的公式可得方程，解方程即可．【详解】解：设该学生接温水的时间为s x ，根据题意可得：()()()2060302802010060x x ⨯-=-⨯-，解得8x =，∴208160ml ⨯=，∵280160120ml -=，∴120206s ÷=，答：该学生接温水的时间为8s ，接开水的时间为6s ．24．(1)34,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)8s =+(3)存在，()4,2或4024,1111⎛⎫ ⎪⎝⎭或4820,1111⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）设()5,D a ，则,4BD a CD ED a ===-，再求出,OE BE 的长，在Rt BDE △中，根据勾股定理求出a 的值，即可求解；（2）延长MP 交OF 于N '，则PN OF '⊥，先证明ADC FDB ∽，可得38BF OF ==，，从而得到AF ==，在Rt BCF 中，由勾股定理可得5CF =，可得AC CF =，从而得到CAF AFC ∠=∠，进而得到CAF EFA AFC ∠∠∠==，可证得PFN DAC ∽，可得到11,422PN s PM s ==-，再证明APM FPN ' ∽，即可求解；（3）分三种情况：①当PM PN =时；②当PM MN =时；当MN NP =时，即可求解．【详解】（1）解：在矩形AOBC 中，()5,4C ，5AC ∴=，4OA BC ==，设()5,D a ，则BD a =，4CD ED a ==-，5AE AC == ，在Rt AOE △中，3O E ===，532BE OB OE ∴=-=-=，在Rt BDE △中，由勾股定理得：222DE BD BE =+，222(4)2a a ∴-=+，0a ∴>，32a ∴=，34,2D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；（2）如图2，延长MP 交OF 于N '，则PN OF '⊥，∵AC BF ∥，PAM DFB ∠∠∴=，90ACD FBD ∠∠==︒ ，ADC FDB ∴ ∽，AC CDBF BD ∴=，由（1）知：32BD =，35422CD ∴=-=，又5AC =，55232BF ∴=，38BF OF ∴==，，AF ∴===在Rt BCF中，由勾股定理得：5CF ==，5AC = ，AC CF ∴=，CAF AFC ∴∠=∠，∵AC EF ∥，CAF EFA AFC ∠∠∠∴==，FA ∴平分CFO ∠，,PN CF PN OF '⊥⊥ ，PN PN '∴=，4PM PN PM PN MN ''∴+=+==， 90CAF CFA ACD PNF ∠∠∠∠===︒ ，，PFN DAC ∴ ∽，FNPNAC CD ∴=，51252PNCDNF AC ∴===，又NF s =，11,422PN s PM s ∴==-，PA t PF t == ，，,PAM PFN APM FPN ∠∠∠∠''== ，APM FPN '∴ ∽，PM AP PN PF ∴='，即14212s s-=8s ∴=+；（3）分三种情况：①当PM PN =时，如图3，PAM PFN ∠=∠ ，90AMP PNF ∠=∠= ，PAM ∴ ∽PFN ，1PAPMPF PN ∴==，PA PF ∴=，即t t =，解得：t =∴84FN s ===，2PM PN ∴===，4AM ===，()4,2P ∴；②当PM MN =时，如图4，过M 作MH PN ⊥于H ，PN 与MC 的延长线交于点G ，有1124PH NH PN s ===，4PM PN += ，142PM s ∴=-，GCN MPN BFC ∠∠∠== ，即MPN BFC ∠∠=，90MHP CBF ∠=∠= ，∴ PMH ∽FCB ，53PMFC PH FB ∴==，即1452134ss-=，解得：4811s =，代入8s =+得：t =∵AC OF ∥，∴MAP AFO ∠=∠，tan tan MAP AFO ∠=∠，∴12PMAOAM OF ==，∴::1:2PM AM AP =，∴4011AM =，2011PM =，∴P 的纵坐标为：202441111-=，4024,1111P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；③当MN NP =时，如图5，过点N 作NQ PM ⊥于Q ，NPQ BFC ∠∠∴=，90NQP CBF ∠=∠= ，NQP ∴ ∽CBF V ，PNCFPQ BF ∴=，又12PN s =，1111422224PQ PM s s ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ ，5CF =，1521324s s ∴=-，4011s ∴=，代入8s =+得：t =同理可得：4820,1111P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上，点P 的坐标是()4,2或4024,1111⎛⎫ ⎪⎝⎭或4820,.1111⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数，等腰三角形的性质和判定，锐角三角函数的应用等知识，用分类讨论的数学思想和方程思想解决问题是解本题的关键．25．(1)2Q ，4Q ．(2)5b -≤<(3)32t -≤<【分析】（1）如图中，满足条件的点在半圆上（不包括点A 以及y 轴上的点），点2Q ，4Q 满足条件．（2）如图中，以O 为圆心，3为半径作半圆，交y 轴于(0,3)P ，()03P '-，当直线2y x b =+与半圆有交点（不包括P ，)B 时，满足条件．（3）根据题意，点F 关于点E 的锐角旋转点在半圆E 上，设点P 在半圆S 上，点Q 在半圆T 上（将半圆D 绕点E 旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，求出图3（2），图3（3）中，t 的值，可得结论．【详解】（1）解：如图，(4,0)A ，1(0,4)Q ，14OA OQ ∴==，190AOQ ∠=︒，∴点1Q 不是点A 关于点O的锐角旋转点；2(2,Q ，作2Q F x ⊥轴于点F，24OQ OA ∴====，2tan Q OF ∠== 260Q OF ∴∠=︒，∴点2Q 是点A 关于点O 的锐角旋转点；3(2,Q - ，作3Q G x ⊥轴于点G ，则33tan Q GQ OG OG ∠==360Q OG ∴∠=︒，3324cos cos 60OGOQ OA Q OG ∴====∠︒，318060120AOQ ∠=︒-︒=︒ ，3Q ∴不是点A 关于点O的锐角旋转点；(4Q - ，作4Q H x ⊥轴于点H ，则44tan 1Q HQ OH OH ∠===，445Q OH ∴∠=︒，444cos OH OQ OAQ OH ====∠ ，4Q ∴是点A 关于点O 的锐角旋转点；综上所述，在点1Q ，2Q ，3Q ，4Q 中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是2Q ，4Q ，故答案为：2Q ，4Q ．（2）解：在y 轴上取点()0,5P ，当直线2y x b =+经过点P 时，可得5b =，当直线2y x b =+经过点B 时，则250b ⨯+=，解得：10b =-，∴当105b -<<时，OB 绕点O 逆时针旋转锐角时，点C 一定可以落在某条直线2y x b =+上，过点O 作OG ⊥直线2y x b =+，垂足G 在第四象限时，如图，则OT b =-，12OS b =-，ST ∴===，当5OG =时，b 取得最小值，152b b ⎛⎫⎛⎫⨯=-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，b ∴=-5b ∴-≤<．（3）解：根据题意，点F 关于点E 的锐角旋转点在半圆E 上，设点P 在半圆S 上，点Q 在半圆T 上（将半圆D 绕点E 旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，如图3（2）中，阴影部分与直线26y x =+相切于点G ，tan 2EMG ∠=，3SG =，过点G 作GI x ⊥轴于点I ，过点S 作SJ GI ⊥于点J ，SGJ EMG ∴∠=∠，tan tan 2SGJ EMG ∴∠=∠=，GJ ∴=SJ =3GI GJ JI ∴=+=1322MI GI ∴==，32OE IE MI OM ∴=+-=-，即332E x t =-=，解得32t =+，如图3（3）中，阴影部分与HK 相切于点G ，tan tan 2OMK EMH ∠=∠=，6EH =，则3MH =，EM =33E x t ∴=-=--，解得t =-观察图象可知，32t -≤<．【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形，解直角三角形，勾股定理，点P 是点M 关于点N 的锐角旋转点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于压轴题．26．(1)11B C ，33B C (2)1k ≥或1k ≤-(3)1r ≥+【分析】本题主要考查了轴对称的性质、圆的性质、“对称连接线段”的定义等知识点，掌握“对称连接线段”的定义成为解题的关键．（1）直接根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质进行解答即可；（2）先根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质画出图形，然后点P 的对称点是()12-，和()12，时是临界点即可解答；（3）如图3：连接MQ ，则MQ =“对称连接线段”的定义即可解答．【详解】（1）解：如图1:因为1C 关于1y x =-的对称点是()02-，在O 上，所以11B C 是O 关于直线1y x =-的“对称连接线段”，因为2B 和2C 关于1y x =-的对称点是()21-，和()13，在O 外，所以22B C 不是O 关于直线1y x =-的“对称连接线段”，因为3B 关于1y x =-的对称点是()11，在O 内，所以33B C 是O 关于直线1y x =-的“对称连接线段”．故答案为：1133B C B C ，．（2）解：如图2：设直线2y kx =+交y 轴于A ，根据轴对称的性质，点P 和它的对称点到A 的距离相等，所以点P 的对称点在以A 为圆心，1为半径的圆上运动，当点P 的对称点在圆和正方形重合的部分时，满足条件，过点P 的对称点是()12-，和()12，时是临界，此时k 的值分别是1和1-．∴1k ≥或1k ≤-．（3）解：如图3：连接MQ ，则MQ =∴点M 关于过Q 的直线的对称点在以Q N 在以Q 为圆心，半径是11-的圆上运动，y 轴于点W ，∴1r ≥．27．(1)是；222AB BD AD +=，由勾股定理的逆定理可知AB BC ⊥．(2)．【分析】本题考查的勾股定理的逆定理的应用，解直角三角形的应用，理解题意是解本题的关键．（1）利用勾股定理的逆定理判断即可；（2）先画图，利用三角函数再计算BE ==BF ==【详解】（1）解：是，理由：由测量结果可知得 1.5m BD =， 2.5m AD =，而2m AB =，∴2226.25AB BD AD +==，∴90ABD Ð=°，∴AB BC ⊥．故答案是：是；222AB BD AD +=，由勾股定理的逆定理可知AB BC ⊥．（2）如图，由题意可得：90ABC ∠=︒，2AB =，30AFB ∠=︒，60AEB ∠=︒，∴tan tan 60AB AEB BE ∠=︒=，∴BE ==同理：tan tan 30AB AFB BF ∠=︒=，∴BF ===∴FE BF BE =-==；．28．(1)见详解(2)1.5(3)2.1米【分析】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．。
初三上册数学月考试卷
初三上册数学月考试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列方程中，是一元二次方程的是（）A. x^2+3x + y = 0B. x^2+(1)/(x^2) = 5C. 2x^2+1 = 0D. ax^2+bx + c = 02. 一元二次方程x^2-6x - 5 = 0配方后可变形为（）A. (x - 3)^2=14B. (x - 3)^2=4C. (x + 3)^2=14D. (x + 3)^2=43. 方程x^2-2x = 0的根是（）A. x_1=0,x_2=2B. x_1=0,x_2=- 2C. x = 0D. x = 24. 二次函数y = x^2-2x + 3的顶点坐标是（）A. (1,2)B. (1,3)C. ( - 1,2)D. ( - 1,3)5. 二次函数y = - 2x^2+4x - 5，当x = ______时，y有最______值（）A. 1，大。
B. 1，小。
C. -1，大。
D. -1，小。
6. 已知关于x的一元二次方程x^2-kx - 6 = 0的一个根为x = 3，则另一个根为（）A. x=-2B. x = - 3C. x = 2D. x = 17. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）（此处可插入一个简单二次函数图象，顶点在第二象限，开口向下，与x轴有两个交点）A. a<0,b<0,c>0B. a<0,b<0,c<0C. a<0,b>0,c>0D. a<0,b>0,c<08. 把二次函数y = 3x^2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（）A. y = 3(x - 2)^2+1B. y = 3(x + 2)^2-1C. y = 3(x - 2)^2-1D. y = 3(x + 2)^2+19. 若关于x的一元二次方程(m - 1)x^2+5x + m^2-3m + 2 = 0的常数项为0，则m 的值等于（）A. 1B. 2C. 1或2D. 010. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。
数学初三月考必考题试卷
一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √25D. √-12. 已知等差数列的前三项分别为2，5，8，则该数列的第四项是（）A. 11B. 12C. 13D. 143. 如果一个三角形的内角分别为30°，60°，90°，那么这个三角形是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 不规则三角形4. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则函数的图像是（）A. 开口向上的抛物线B. 开口向下的抛物线C. 直线D. 梯形5. 在直角坐标系中，点A（-2，3），点B（4，-1），则线段AB的长度是（）A. 5B. 6C. 7D. 86. 下列等式中，正确的是（）A. 3^2 = 9B. 5^2 = 20C. 6^2 = 36D. 7^2 = 497. 如果等比数列的第一项为a，公比为r，那么第n项an等于（）A. a r^(n-1)B. a / r^(n-1)C. a r^nD. a / r^n8. 下列各式中，能表示圆的方程是（）A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 - y^2 = 1C. x^2 + y^2 = 4D. x^2 - y^2 = 49. 在直角坐标系中，直线y = 2x + 1与x轴的交点坐标是（）A. (1, 0)B. (0, 1)C. (0, -1)D. (-1, 0)10. 已知函数f(x) = |x - 2|，则函数的零点是（）A. 2B. -2C. 0D. 1二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个正方形的边长为5cm，则它的周长是______cm。
12. 若等差数列的第一项为3，公差为2，则第10项是______。
13. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则AB=______cm。
14. 已知函数f(x) = 2x - 3，当x=2时，f(x)=______。
2023-2024学年上海外国语大学附属中学九年级上学期9月月考数学试卷含详解
.
13．在 Rt△ABC 中, ACB 90 , AB 10 , BC 8 , G 为 V ABC 的重心,过点 G 的直线截 V ABC ,交 AC 边于点 D ,交 BC 边于
点 E ,若 CDE 与V ABC 相似,则 BE 的长为
．
14．如图, ABC 中,点 D,E 分别为 AB, BC 中点, AQ 4QF ,则 DP : PQ : QC
1．
x1
x2
23 3
【分析】由题意易得 3 x 1 0 ,然后问题可求解． 2
【详解】解：
3 2
x
2 1
0
∴ 3 x 1 0. 2
∴
x1
x2
23 3
.
故答案为
x1
x2
23 3
．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
2． 2 5 5
【分析】根据等高三角形的面积之比等于底边之比,得到 SABH : SCAH 4 : 5 ,再利用相似三角形面积之比等于相似比的平
方,即可求出相似比． 【详解】解： 直角三角形 ABC , AH 为斜边 BC 边上的高, C H : B H 4 : 5 .
S ABH : SCAH 4 : 5 . ABH∽CAH .
ABH 和 CAH 的相似比的值为 4 2 5 . 55
故答案为： 2 5 ． 5
【点睛】本题考查了三角形面积,相似三角形的性质,解题关键是掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方．
6． 2 a 3
【分析】先解不等式组,再根据整数解的情况列不等式组求解．
【详解】解：解不等式组得： a 2 x 4 .
∵不等式组只有 4 个整数解.
浙江省宁波市第七中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考(期中)数学试卷(含答案)
宁波七中教育集团2024学年第一学期初三数学第一次月考试卷（2024.11）全卷共6页，满分为120分，考试时间为120分钟．考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色笔迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上．2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列事件中，是必然事件的是（ ）A ．三角形任意两边之和大于第三边B ．过马路时恰好遇到红灯C ．明天太阳从西边出来D ．抛掷一枚硬币，正面朝上2．若，则 （ ）A ．B ．1C ．D ．3．的半径为5cm ，点A 到圆心的距离cm ，则点A 与的位置关系是（ ）A ．点A 在圆上B ．点A 在圆内C．点A 在圆外D ．无法确定4．两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（ ）A ．B ．C ．D 5．将抛物线绕顶点旋转，再向上平移2个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．6．抛物线 （m 为常数）上三点分别为，，，则，，的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．7．如图，如果，那么添加下列任何一个条件：（1）（2） （3） （4） 其中能判定的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412b a =b a b=-121-12-O e 4OA =O e 4:94:92:316:812y x =-180︒22y x =+22y x =-()22y x =-+()22y x =+()21y x m =++()12,y -()21,y ()33,y 1y 2y 3y 123y y y >>231y y y >>312y y y >>321y y y >>12∠=∠AB AC AD AE =AB BCAD DE=B D ∠=∠C AED ∠=∠ABC ADE ∽△△8．如图，的直径CD 垂直弦AB 于E ，且cm ，cm ，则AB 的长为（）（第8题）AB ．cmC ．cmD ．cm9．如图，为等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，，若，，则AD 的长为（ ）（第9题）A ．3.2B ．3C ．2.4D ．1.810．二次函数的图象如图所示，下列结论①，②，③，④．其中正确的是（ ）（第10题）A ．①②B ．①③C ．①④D ．①③④二、填空题（每小题3分，共18分）11．正五边形的内角和的度数是______．12．一个路口的交通信号灯按红、绿、黄三种颜色顺序循环切换，其中红灯、绿灯、黄灯每次持续时间分别为60秒，57秒，3秒，则经过这个路口时刚好是红灯的概率是______．13．抛物线的顶点坐标是______．14．如图，在中，半径OA ，OB 互相垂直，点C 在劣弧AB 上，若，则______．O e 1OE =4DE =ABC △60ADE ∠=︒4BD DC =2.4DE =()20y ax bx c a =++≠24b ac >0abc <20a b c +->0a b c ++<()232y x =+-O e 21ABC ∠=︒BAC ∠=（第14题）15．如图，E 为的边AD 延长线上一点，且D 为AE 的黄金分割点，BE 交DC 于点F ，若，且，则CF 的长为______．（第15题）16．当时，函数的最小值为4，则a 的值______．三、解答题（本大题有8小题，第17～21小题每小题8分，第22～23小题每小题10分．第24小题12分，共72分）17．在一个不透明的口袋里有3个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3．求下列事件的概率．（1）随机地摸出一个小球是奇数；（2）随机地摸出一个小球后放回，再随机地摸出一个小球，两次摸出的小球标号的和为4．18．如图，在网格中，点A ，B ，C ，O 都在格点上，用无刻度直尺作图并保留作图痕迹．（1）以O 为位似中心，在网格中作，且与的位似比为．（2）在线段BC 上作点P ，使．19．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y 轴的交点为，与x 轴的一个交点为．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该图象与x 轴的另一个交点坐标；（3）观察图象，当时，求自变量x的取值范围．ABCDY 1AB =AD DE >1a x a ≤≤+221y x x =-+111A B C △ABC △111A B C △1:22PC PB =1x =-()0,3()1,00y >20．如图，已知在中，点D ，F 在AB 上，点E 在AC 上，，，，．（1）求AC 的长；（2）当时，求证．21．如图，是的外接圆，AB 是直径，D 为上一点，，垂足为E ，连结BD ．（1）求证BD 平分；（2）当时，求证．22．为了测量路灯（OS ）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB ）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC ）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（）为1.8米，求路灯离地面的高度（OS ）．23．根据以下素材，探索完成任务．问题的提出根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用）不高于5800元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案?素材1：图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可ABC △EF CD ∥3AF =5AD =4AE =253AB =DE BC ∥O e ABC △O e O e OD AC ⊥ABC ∠30ODB ∠=︒BC OD =BB 'B C ''建围墙的总长为20m ，开2个门，且门宽均为1m ．素材2：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米．问题的解决任务1确定饲养室的形状设，矩形ABCD 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．任务2探究自变量x 的取值范围．任务3确定设计方案当______m ，______m ，S 的最大值为______．24．如图，点C 是以AB 为直径的上一点，过AC 中点D 作于点E ，延长DE 交于点F ，连结CF交AB 于点G ，连结AF ，BF ．【认识图形】（1）求证：．【探索关系】（2）①求CF 与DF 的数量关系．②设，，求y 关于x 的函数关系．【解决问题】（3）若，，求AE 的长．ABx =AB =BC =2m O e DE AB ⊥O e AFD ACF ∽△△CG x FG =DEy EF=CG =FG =宁波七中教育集团2024学年第一学期初三数学第一次月考答案（2024.11）一、选择题（每小题3分，共30分）题号12345678910答案ABBCADCDBC二、填空题（每小题3分，共18分）11．12．13．14．15．216．或3三．解答题（本大题有8小题，第17～21小题每小题8分，第22、23小题每小题10分，第24小题12分，共72分）17．（1） （2）树状图或列表略18．（1）如图：（2）答案不唯一19．（1） ，（2） ，（3） 20．（1）∵，∴．即，∴．（2）∵，，∴．又，∴，∴．∴．21．（1）∵，∴弧CD ＝弧AD ．540︒12()3,2--24︒2-23P =13P =111A B C △()214y x =-++()3,0-31x -<<EF CD ∥AF AE AD AC =345AC =203AC =532553AD AB ==432053AE AC ==AD AEAB AC=A A ∠=∠ADE ABC ∽△△ADE B ∠=∠DE BC ∥OD AC ⊥∴．即BD 平分．（2）∵，∴，∴，∵AB 是直径，∴，∴．∴．22．∵，∴，即．∵，∴，即．∴．23．（1） ．（2） ，，∴．（3） ，∵不在范围内，且，∴当时，y 随x 的增大而减小．∴当时，．即m ，m ，．24．（1）证明：∵AB 是直径，∴，∵，∴，∴．又∵，∴．①∵，∴．∵，∴，即．∴．②过C 作CH 垂直AB 于H ，则，∴，，∴．CBD ABD ∠=∠ABC ∠OD OB =30ABD ODB ∠=∠=︒260ABC ABD ∠=∠=︒90ACB ∠=︒9030BAC ABC ∠=︒-∠=︒12BC AB OD ==AB SO ∥AB BC SO OC = 1.51SO OC=A B SO ''∥A B B C SO OC ''''= 1.5 1.84.8SO OC =+9SO =()22023322S x x x x =+-=-+122316x <-≤()()200314002135800x x -+-≤47x ≤<2322S x x =-+()2211233x =-=⨯-47x ≤<30-<47x ≤<4x =2max 3422440S =-⨯+⨯=4AB =22310BC x =-=2max 40m S =90AFB ∠=︒DE AB ⊥90AFE EFB B EFB ∠+∠=∠+∠=︒AFB B C ∠=∠=∠DAF FAC ∠=∠AFD ACF ∽△△AFD ACF ∽△△AD AF DFAF AC FC==2AC AD =222AF AD =AF =CF =EF CH ∥12DE AD CH AC ==CG CHFG EF=111222DE CH CG y x EF EF GF ==⋅=⋅=（3）∵，，∴，∴，．∴，．设，则，由，得，∴，∴，∴CG =FG =CF =10DF =23x =13y =1542DE DF ==31542EF DF ==AD a =AF =2222515222a a ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a =AD =10AF =22222517510044AE AF EF =-=-=AE =。
学科网初三数学试卷月考
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. $\sqrt{3}$B. $\pi$C. $\frac{1}{2}$D. $-\sqrt{2}$2. 已知 $a < b$，则下列不等式中正确的是（）A. $a^2 < b^2$B. $a^3 < b^3$C. $a^2 > b^2$D. $a^3 > b^3$3. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，且底边BC上的高AD垂直于BC，若AD=6cm，则BC的长度为（）A. 12cmB. 6cmC. 3cmD. 9cm4. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. $f(x) = x^2$B. $f(x) = -x^2$C. $f(x) = 2x$D. $f(x) = -2x$5. 若 $x^2 - 4x + 3 = 0$，则 $x^2 + 4x + 3 = $（）A. 0B. 4C. 8D. 126. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于直线y=x的对称点为（）A.（2，3）B.（3，2）C.（-2，-3）D.（-3，-2）7. 已知 $a > b$，下列结论正确的是（）A. $a + c > b + c$B. $ac > bc$C. $a - c > b - c$D. $a - c < b - c$8. 在等边三角形ABC中，角A的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9. 下列各式中，不是一元二次方程的是（）A. $x^2 - 5x + 6 = 0$B. $2x^2 - 3x + 1 = 0$C. $x^2 + 2x + 1 = 0$D. $x^2 + 2x - 1 = 0$10. 已知 $a + b = 5$，$ab = 6$，则 $a^2 + b^2 = $（）A. 25B. 30C. 35D. 40二、填空题（每题5分，共50分）11. 若 $a = -3$，$b = 2$，则 $a^2 + b^2 - ab = $ _______12. 已知 $x + y = 7$，$xy = 12$，则 $x^2 + y^2 = $ _______13. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于原点的对称点为 _______14. 若 $a > b$，则下列不等式中正确的是 _______15. 已知 $x^2 - 4x + 3 = 0$，则 $x^2 + 4x + 3 = $ _______16. 在等边三角形ABC中，角A的度数为 _______17. 若 $a + b = 5$，$ab = 6$，则 $a^2 + b^2 = $ _______18. 已知 $a = -3$，$b = 2$，则 $a^2 + b^2 - ab = $ _______19. 已知 $x + y = 7$，$xy = 12$，则 $x^2 + y^2 = $ _______20. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于原点的对称点为 _______三、解答题（每题10分，共30分）21. 解一元二次方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$。
初三数学月考试卷
初三数学月考试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列函数中，是二次函数的是（）A. y = 3 - 3x^2B. y = 2x + 1C. y = x^2 - 1/xD. y = (x - 1)^2 + 2答案：D2.已知关于x的一元二次方程kx^2 - 2x + 1 = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. k > 0B. k < 1C. k > 1D. k < 0且k ≠ -1答案：B（注意：此题需考虑判别式Δ = b^2 - 4ac > 0的条件，并排除k = 0的情况）3.将抛物线y = 3x2 - 2x + 1，则a = _______，b = _______。
A. a = 4, b = 0B. a = -4, b = 6C. a = -2, b = 6D. a = 2, b = 0答案：B（通过平移规律求解）4.已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图象经过点A(-1, 0)，B(3, 0)，C(0, -3)，则该二次函数的解析式为（）A. y = x^2 - 2x - 3B. y = x^2 + 2x - 3C. y = -x^2 + 2x + 3D. y = -x^2 - 2x + 3答案：A（通过待定系数法求解）5.若a是关于x的方程3x2 + 1 = 0的一个根，-a是关于x的方程3x2 - 1 = 0的一个根，则a的值为（）A. 1或-1B. 2或-2C. 1D. -1答案：A（通过代入法求解）二、填空题（每小题4分，共24分）6.已知二次函数y = ax^2 + bx + c的对称轴为直线x = 1，且经过点(2, 3)和(-3, -12)，则此二次函数的解析式为_______。
答案：y = x^2 - 2x（通过对称轴和已知点求解）7.若关于x的一元二次方程kx^2 - 6x + 9 = 0有两个相等的实数根，则k的值为_______。
初三数学月考试卷含答题卡
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √-9C. πD. 0.1010010001……2. 已知a、b是方程x²-5x+6=0的两个根，则a+b的值为（）A. 5B. 6C. 3D. 23. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于x轴的对称点是（）A. （-2，-3）B. （2，3）C. （-2，3）D. （2，-3）4. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y=x²B. y=2xC. y=3/xD. y=√x5. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC上的高AD垂直于BC，若∠BAC=60°，则∠BAD的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 下列命题中，正确的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 矩形的对角线互相垂直C. 菱形的对角线互相垂直D. 正方形的对角线互相平分且相等7. 已知一元二次方程x²-4x+3=0的两个根是a和b，则a²+b²的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 108. 在平面直角坐标系中，点P（-3，2）关于原点的对称点是（）A. （-3，2）B. （3，-2）C. （-3，-2）D. （3，2）9. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. -2C. 0D. 110. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 长方形D. 梯形二、填空题（每题4分，共40分）11. 若x=2是方程2x-5=0的解，则该方程的另一个解为______。
12. 若a、b是方程x²-6x+9=0的两个根，则a+b的值为______。
13. 在直角坐标系中，点M（4，-2）关于y轴的对称点是______。
14. 若函数y=kx+b的图象经过点（1，2），则k+b的值为______。
2023年北京市人大附中初三3月月考数学试卷及答案
2023北京人大附中初三3月月考数 学2023.3一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合愿意的选项只有一个．1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A. 长方体B. 三棱柱C. 圆柱D. 圆锥2. 民以食为天．一米一面，虽看似平常，却代表着稳稳的幸福．2022年，全国粮食总产量13731亿斤，比上年增长0.5%，粮食产量连续8年稳定在1.3万亿所以上，将1373100000000用科学记数法表示应为（ ）A. 130.1373110⨯B. 121.373110⨯C. 131.373110⨯D. 1213.73110⨯3. 如图，已知AB CD ∥，点E 在线段BC 上（不与点B ，点C 重合），连接DE ．若40D ∠=︒，70BED ∠=︒，则B ∠的大小为（ ）A. 10︒B. 20︒C. 30︒D. 40︒4. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论中正确的是（）A. 2a <−B. a b <C. a b >−D. b a <−5. 五边形的外角和等于（） A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°6. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 87. 下图是30名学生A ，B 两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A 课程成绩的方差为21s ，B 课程成绩的方差为22s ，则21s ，22s 的大小关系为（ ）A. 2212s s <B. 2212s s =C. 2212s s >D. 不确定8. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h （cm ）是时间t （min ）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h 的值记录错误，错误的h 的值为（ ）A. 2.4B. 2.8C. 3.4D. 4第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________．10. 因式分解：39a a −=______． 11. 方程233x x=−的解是_______ 12. 一个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0至9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开．粗心的小明忘了中间的数字，他一次就能打开该锁的概率是______． 13. 已知关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根，写出一组符合题意的实数b ，c 的值：b =______，c =______．14. 如图，点O 在线段AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径作半圆O ，BD 与半圆O 相切，切点为C ，连接OC ，AC ．若2OB OA =，则CAB ∠的度数为______．15. 如图，在矩形ABCD 中，ABC ∠的平分线分别交直线AD ，CD 于点E ，F ．若4AB =，6BC =，则EF 的长为______．16. 甲、乙两人分别在A ，B 两条生产线上加工零件，在A 生产线，甲、乙均是每天最少可以加工2个A 零件．当连续生产时，甲第一天能加工10个A 零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少2个；乙第一天能加工8个A 零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少1个．在B 生产线，甲每天加工7个B 零件，乙每天加工8个B 零件．在同一天内，甲和乙不能在同一条生产线上工作，且在一条生产线连续工作不少于3天时可改变生产线，改变生产线后加工时间重新计算．根据题意，得： （1）甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件______个；（2）若一个A 零件、一个B 零件组成一套产品，则14天最多能加工______套产品．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27，28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：()2132cos302π−⎛⎫−+︒+− ⎪⎝⎭18. 解不等式组：()23232x x x x ⎧+>−⎪⎨+<⎪⎩19. 已知m 是方程x 2﹣3x +1＝0的一个根，求（m ﹣3）2+（m +2）（m ﹣2）的值．20. 证明下面是三角形中位线定理添加辅助线的方法，请你完成证明．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 已知：如图，点D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 的中点． 求证：DE BC ∥ 且 12DE BC =． 证明：如图，延长DE 到F ，使EF DE =，连接FC 、DC 、AF ．21. 如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，且BE DF =，连接AE ，CF ．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．（2）连接AC ，AC 平分EAF ∠．若4AB =，8BC =，5AF =，求证：四边形ABCD 是矩形． 22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky k x=≠的图象经过点()1,4． （1）求该函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数ky x=的值都小于函数()0y mx m =≠的值，直接写出m 的取值范围（3）若反比例函数ky x=的图象与函数y x b =+的图象交于点A ，B ．若AB >b 的取值范围． 23. 如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，交BC 于点E ，直线AF 与O 相切于点A ，与BC 的延长线交于点F ，F BAD ∠=∠．（1）求证：BD BE =；（2）若1tan 2F ∠=，5BE =，求AF 的长． 24. 甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a ．甲小区用气量频数分布表如下：2025x ≤<，2530x ≤<）c ．乙小区用气量的数据在1520x ≤<这一组的是： 151516161617171818181819、、、、、、、、、、、d ．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：（1）写出表中m 和n 的值；（2）在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为1p ．在乙小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为2p ．比较1p ，2p 的大小，并说明理由；（3）估计甲乙两小区中用气量不小于20立方米的总户数．25. 为指导菜农生产和销售某种蔬菜，小明进行了如下调查，得到某种蔬菜的售价x （元/千克）与相应需求量p （千克）以及供给量q （千克）的数据，如下表：（1）观察表中的数据，小明发现：供给量q （千克）与售价x （元/千克）之间满足______函数关系（横线上填“一次”、“二次”或“反比例”），它的函数表达式为______；（2）为了研究这种蔬菜的需求量p （千克）与售价x （元/千克）之间的关系，小明在坐标系中，以售价为横坐标、相应需求量为纵坐标描出下列四个点，将其用平滑曲线连线，如图．通过再图观察，小明发现这种蔬菜的需求量p （千克）与售价x （元/千克）之间满足二次函数关系，并进一步确定它的函数表达式满足2p ax c =+的形式，请求出p 关于x 关于的函数表达式．（3）为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为多少？ 26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()14A y −，，232B a y ⎛⎫⎪⎝⎭，，()3C m y ，三个点在抛物线()220y x ax c a =−+>上．（1）当1a =时，求抛物线的对称轴，并直接写出1y 和2y 的大小关系． （2）①若5m =，13y y =，则a 的值为______；②若对于任意25m ≤≤，都满足132y y y >>，求a 的取值范围．27. 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，令30B α∠=<︒，线段BC 的垂直平分线分别交线段AB 、BC 于点D ，E ．（1）如图1，用等式表示DE 和AC 之间的数量关系，并证明． （2）如图2，将射线AC 绕点A 逆时针旋转2α交线段DE 于点F ， ①依题意补全图形； ②用等式表示AF ，EF ，DE 之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，点Q 和直线l ，过点P 作PH l ⊥，垂足为点H ，若点K 与Q 关于点H 对称，则称点K 为点P 关于直线l 和点Q 的垂直对称点． 已知()4,0A ，()0,3B ．（1）①点()3,2关于x 轴和点A 垂直对称点的坐标为______；②点B 因为点A 关于直线l 和点()6,1的垂直对称点，则点A 到直线l 的距离为______． （2）如图1，点(),0C t 关于直线y x =和点()1,0的垂直对称点在直线AB 上，求t 的值．（3）如图2，点P 为线段AB 的四等分点，且AP BP >，点Q 在x 轴下方，且满足1OQ =，点K 为点P 关于x 轴和点Q 的垂直对称点，过点K 作x 轴的垂线，分别交x 轴和线段AB 于点E ，F ，点M 为线段FK 的中点，直接写出EM 的长的取值范围．参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合愿意的选项只有一个．1. 【答案】B 【解析】【分析】根据几何体的展开图为两个三角形和三个矩形，即可得出几何体是三棱柱． 【详解】∵三棱柱的展开图是两个三角形和三个矩形 ∴该几何体是三棱柱 故选：B ．【点睛】题主要考查几何体的展开图，掌握常见的几何体的展开图是解题的关键． 2. 【答案】B 【解析】【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数． 【详解】解：121373100000000 1.373110=⨯． 故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法． 3. 【答案】C 【解析】【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：40D ∠=︒，70BED C D ∠=∠+∠=︒，30C ∴∠=︒， AB CD ∥，30B C ∴∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 4. 【答案】D 【解析】【分析】根据实数a ，b ，a −，b −在数轴上的对应点的位置进行判断即可． 【详解】解：实数a ，b ，a −，b −在数轴上的对应点的位置如图所示．A ．由点在数轴上的位置得到2a >−，故选项错误，不符合题意；B ． 由点在数轴上的位置得到a b >，故选项错误，不符合题意；C ．由点在数轴上的位置得到a b <−，故选项错误，不符合题意；D ．由点在数轴上的位置得到b a <−，故选项正确，符合题意． 故选：D【点睛】此题考查了实数与数轴，实数比较大小，数形结合是解题的关键． 5. 【答案】B 【解析】【分析】根据多边形的外角和等于360°解答． 【详解】解：五边形的外角和是360°． 故选B ．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°． 6. 【答案】C 【解析】【分析】根据轴对称的性质画出该图形的对称轴即可求解． 【详解】解：由题意可知该图的对称轴如图所示：由图可知该图形的对称轴有4条． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 7. 【答案】A 【解析】【分析】根据波动越大，方差越大，即可解答．【详解】由图可知A 课程成绩的波动小于B 课程成绩的波动 ∴2212s s < 故选A ．【点睛】本题考查了统计图及方差等知识点，能够正确的从统计图中获取信息是解答本题的关键． 8. 【答案】C 【解析】【分析】根据水位h （cm ）是时间t （min ）的一次函数可知，每增加一分钟水位上升的值相同，进而可对表格中的值进行判断．【详解】解：∵水位h （cm ）是时间t （min ）的一次函数， ∴每增加一分钟水位上升的值相同，由表格可得：由1 min 到2 min 上升了0.4 cm ，2 min 到5 min 共上升了1.2 cm ，2 min 到3 min 上升了0.6 cm ，故可知错误的数据为3 3.4t h ==，， 故选C ．【点睛】本题考查一次函数的应用．掌握一次函数的性质是解题的关键．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分） 9. 【答案】3x ≥【解析】【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案． 【详解】解：由题意得30x −≥，解得3x ≥， 故答案为：3x ≥．【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键． 10. 【答案】()()33a a a +− 【解析】【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解：()3299(3)(3)a a a a a a a −=−=+− 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 11. 【答案】x=9 【解析】【分析】观察可得最简公分母是x （x -3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘x （x -3），得 3x -9=2x ， 解得x =9．检验：把x =9代入x （x -3）=54≠0． ∴原方程的解为：x =9． 故答案为：x =9． 12. 【答案】110【解析】【分析】根据中间一个数字共有0至9十种情况，其中只有一种能打开，利用概率公式进行求解即可．【详解】因为密码由三个数字组成，个位和百位上的数字已经确定，中间一个数字为0至9这十个数字中的一个，所以一次就能打开该锁的概率是110． 故答案为：110【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率()m P A n=． 13. 【答案】 ①. 3 ②. 1 【解析】【分析】先根据根的判别式求出b 和c 的关系，再取数作答即可． 【详解】解：∵关于x 的方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根， ∴0∆>， 即240b ac −>， 移项得24b ac >， ∵1a =， ∴24b c > 故答案为3、1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解答本题的关键． 14. 【答案】30︒##30度 【解析】【分析】BD 与半圆O 相切，切点为C ，则90OCB ∠=︒，由2OB OA =，OC OA =，得到1cos 2COB ∠=，则60COB ∠=︒，由三角形外角的性质即可得到CAB ∠的度数． 【详解】解：∵BD 与半圆O 相切，切点为C ， ∴90OCB ∠=︒，∵2OB OA =，OC OA =， ∴2OB OC =，OCA CAB ∠=∠， ∴1cos 2OC COB OB ∠==， ∴60COB ∠=︒，∵2OCA CAB CAB COB ∠+∠=∠∠=， ∴1302CAB COB ∠=∠=︒． 故答案为：30︒【点睛】此题考查了切线的性质定理、特殊角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．15. 【答案】【解析】【分析】先求得6CF CB ==，则2DF =，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵矩形ABCD 中，ABC ∠的平分线分别交直线AD ，CD 于点E ，F∴4CD AB ==，90,45ABC C FBC ∠=∠=︒∠=︒，AD BC ∥，则BCF △是等腰直角三角形， ∴90,45FDE C FED ∠=∠=︒∠=︒， ∴EFD △是等腰直角三角形，∴2DE DF CF CD BC CD ==−=−=，EF ==，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，得出EFD △是等腰直角三角形，是解题的关键． 16. 【答案】 ①. 24 ②. 106 【解析】【分析】（1）直接根据题意列式计算即可；（2）由于A 、B 零件要配套，则A 、B 零件的数量都要多；然后发现甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件24个，甲在B 生产线连续工作3天最能加工B 零件21个；乙在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件87621++=个，乙在B 生产线连续工作3天最多能加工B 零件2438=⨯个；则每3天甲、乙轮流生产可使A 、B 零件的数量，最后两天甲产A 零件18件，乙生产B 零件16件符合题意，最后确定最大数量即可．【详解】解：（1）由题意可得：甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件的个数为：()()10102102224+−+−⨯=（个）故答案为24．（2）∵一个A 零件、一个B 零件组成一套产品， ∴ 14天A 、B 两种零件同时产出数量最多∵甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件24个，甲在B 生产线连续工作3天最能加工B 零件21个；乙在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件87621++=个，乙在B 生产线连续工作3天最多能加工B 零件2438=⨯个∴每3天甲、乙轮流生产可使A 、B 零件的数量，最后两天甲产A 零件18件，乙生产B 零件16件 ∴14天最多能加工24+21+24+21+16=106． 故答案为106．【点睛】本题主要考查了列式计算、统筹解决问题等知识点，理解题意、发现生产规律是解答本题的关键．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27，28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】3 【解析】【分析】先利用零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂进行化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解：()2132cos302π−⎛⎫−+︒ ⎪⎝⎭1242=+⨯+14=+−3=．【点睛】本题主要考查了零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂等知识点，灵活运用相关性质和定义是解答本题的关键． 18. 【答案】13x << 【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集．【详解】()23232x x x x ⎧+>−⎪⎨+<⎪⎩①② 解①得1x > 解②得3x <不等式解集为13x <<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 19. 【答案】3. 【解析】【分析】把x ＝m 代入方程得：m 2﹣3m +1＝0，即m 2﹣3m ＝﹣1，再整体代入原式＝m 2﹣6m +9+m 2﹣4＝2（m 2﹣3m ）+5可得．【详解】解：∵m 是方程x 2﹣3x +1＝0的一个根， ∴m 2﹣3m +1＝0，即m 2﹣3m ＝﹣1，∴（m ﹣3）2+（m +2）（m ﹣2）＝m 2﹣6m +9+m 2﹣4＝2（m 2﹣3m ）+5＝3． 【点睛】本题考查的是一元二次方程，已知方程的根则代入满足方程. 20. 【答案】见解析 【解析】【分析】证明AED CEF ≌，推出CF AD BD ==，CF AB ∥，得到四边形BDFC为平行四边形，得到,DF BC DF BC =∥，即可得证．【详解】证明：如图，延长DE 到F ，使EF DE =，连接FC 、DC 、AF ，∵点D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 的中点， ∴,AD BD AE EC ==， 又AED CEF ∠=∠， ∴()SAS AED CEF △≌△， ∴,CF AD BD EFC ADE ==∠=∠， ∴CF AD ∥，∴四边形BDFC 为平行四边形， ∴,DF BC DF BC =∥， ∵12EF DE DF ==， ∴DE BC ∥ 且 12DE BC =． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是证明四边形BDFC 为平行四边形．21. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】对于（1），根据平行四边形的性质可知AD BC ∥，AD BC =，再根据BE DF =，可知AF CE =，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案；对于（2），先求出BE ，再求出AE ，然后根据勾股定理的逆定理证明ABE 是直角三角形，最后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出答案． 【小问1详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AD BC =. ∵BE DF =， ∴AF CE =. ∵AF CE ∥，∴四边形AECF 是平行四边形；∵8BC =，5CE AF ==， ∴3BE BC CE =−=. ∵AC 平分EAF ∠， ∴CAE CAF ∠=∠． ∵AF CE ∥， ∴CAF ACE ∠=∠， ∴CAE ACE ∠=∠， ∴5AE CE ==． 在ABE 中，22222243255AB BE AE +=+===，∴ABE 是直角三角形， ∴90B，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，勾股定理的逆定理等，灵活选择定理是解题的关键． 22. 【答案】（1）4y x= （2）4m ≥ （3）3b >或3b <− 【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据反比例函数的增减性，得出当1x >时，4y <，从而得出当1x >时，使4mx ≥即可，得出4m ≥；（3）联立4y x b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得：112b x y ⎧−+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222b x y ⎧−=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，根据两点间距离公式求出AB =AB >>b 的不等式即可．【小问1详解】 解：把()1,4代入()0ky k x=≠得： 41k=，解得：4k =， ∴函数的解析式为4y x=；解：∵反比例函数4y x=在每个象限内y 随x 的增大而减小， ∴当1x >时，反比例函数4y x=的函数值4y <， ∵当1x >时，对于x 的每一个值，函数ky x=的值都小于函数()0y mx m =≠的值， ∴只要当1x >时，使4mx ≥即可， ∴4m ≥；【小问3详解】解：联立4y x b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：112x b y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，222x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AB ===∵AB >> ∴21625b +>， ∴29b >， ∴3b >或3b <−．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，反比例函数的增减性．23. 【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据题意可证90BAD AEF ∠+∠=︒，而90ADB BAD ∠+∠=︒，从而可证BED ADB ∠=∠，即可得出结论；（2）过A 点作AH BF ⊥，设EH 长为a ，根据勾股定理可解出AF 的长． 【小问1详解】 ∵直线AF 与O 相切于点A∴90EAF ∠=︒∴1809090F AEF ∠+∠=︒−︒=︒ ∵F BAD ∠=∠∴90BAD AEF ∠+∠=︒ ∵AD 是O 的直径，O 是ABC 的外接圆 ∴90ABD∴90ADB BAD ∠+∠=︒ ∴ADB AEF ∠=∠ ∵AEF BED ∠=∠ ∴BED ADB ∠=∠ ∴BD BE = 【小问2详解】过A 点作AH BF ⊥，则90AHF AHE ∠=︒=∠ ∴90F HAF ∠+∠=︒∵90EAF ∠=︒，EAF EAH HAF ∠=∠+∠ ∴EAH F ∠=∠∵1tan 2F ∠=，F BAD ∠=∠ ∴1an 2t BAD ∠=、1tan 2EAH ∠= 设EH 长为a ，则2tan EHAH a EAH==∠∵根据（1）BD BE = ∴5BD = ∴10tan BDAB BAD==∠在Rt ABH △中根据勾股定理有222BH AH AB +=即()()2225210a a ++= 解得3a =或5−（舍去负值） ∴236AH =⨯= ∴12tan AHHF AFC==∠∴AF ===【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质、勾股定理、三角函数等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．24. 【答案】（1）8m =、16.5n = （2）12p p > （3）190（户） 【解析】【分析】（1）用调查总数30减去其他分组的频数即可求得m 值，n 的值利用求中位数的方法求解即可； （2）利用平均数、中位数的意义求解即可；（3）根据甲乙两小区抽取的30户中用气量不小于20立方米的户数所占的比例估算出整体户数． 【小问1详解】30361038m由题可知乙小区用气量的中位数应在1520x ≤<这一组中，分布在510x ≤<，1015x ≤<这两组数据中的共10户，∴乙小区用气量的中位数161716.52n +== 【小问2详解】由题意可知甲小区平均用气量为17.4，中位数为18乙小区平均用气量为17.1，中位数为17 ∴115p >、215p < ∴12p p > 【小问3详解】抽取的甲小区30户中用气量超过20立方米的户数所占的比例为：83113030+= 抽取的乙小区30户中用气量超过20立方米的户数所占的比例为：6243015+= ∴甲乙两小区中用气量不小于20立方米的总户数为1143003001903015⨯+⨯=（户） 【点睛】本题考查平均数、中位数及其意义，由样本估计总体，解题的关键是理解题意，从表格获取信息，掌握求中位数及其意义，由样本估计总体． 25. 【答案】（1）一次函数，1y x =− （2）2195p x =−+ （3）为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为5元． 【解析】【分析】（1）根据供给量q （千克）与售价x （元/千克）之间的数量关系可得到答案； （2）利用待定系数法求出函数表达式即可； （3）根据供给量与需求量相等得到21195x x −=−+，解方程即可得到答案． 【小问1详解】解：观察表中的数据，可发现供给量q （千克）与售价x （元/千克）之间满足一次函数关系，它的函数表达式是1y x =−，故答案为：一次函数，1y x =− 【小问2详解】由表格可知当 2.5x =时，7.75y =，当3x =时，7.2y =，∴227.75 2.57.23a ca c ⎧=⨯+⎨=⨯+⎩解得159a c ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴p 关于x 关于的函数表达式是2195p x =−+． 【小问3详解】当蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等）时，21195x x −=−+， 即25500x x +−=，解得125,10x x ==−（不合题意，舍去），∴为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为5元．【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的综合应用，还考查了待定系数法、解一元二次方程等知识，根据题意得到函数解析式是解题的关键． 26. 【答案】（1）见解析 （2）①12；②1423a <<或10a > 【解析】【分析】（1）由对称轴为直线2bx a=−可求解，将a 、b 坐标代入解析式中即可求解； （2）①将A 、C 两点坐标分别代入解析式，再使13y y =即可求解．②画出图像根据题意列出不等式即可求解，注意分类讨论． 【小问1详解】解：当1a =时，抛物线解析式为22y x x c =−+，232B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将()14A y −，代入得116824y c c =++=+将232B y ⎛⎫⎪⎝⎭，代入得293344y c c =−+=−+∴12y y >抛物线对称轴为212x −=−= 综上所述抛物线对称轴为：直线1x =、12y y >； 【小问2详解】 ①∵5m = ∴()35C y ，代入抛物线中得32510y a c =−+ 将()14A y −，代入得1168y a c =++ ∵13y y =∴1682510a c a c ++=−+ 解得12a =；②抛物线对称轴为22a x a −=−= 当02a <<时，如图所示，∵0a >∴点A 关于抛物线对称轴的对称点横坐标为424a a a −++=+若对于任意25m ≤≤，都满足132y y y >> 则245322a a +>⎧⎪⎨<⎪⎩ 解得1423a <<，满足02a << 故a 的取值范围为1423a << 当25a ≤≤时，因为函数顶点在5x ≤≤内，3y 可以为该函数最小值，故不符合题意舍去当5a >时∵5a >∴点B 关于抛物线对称轴的对称点横坐标为2a ， 若对于任意25m ≤≤，都满足132y y y >> 则52a > 解得10a >．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数图像和性质，数形结合是解答本题的关键． 27. 【答案】（1）12DE AC =，证明见解析 （2）①图见解析；②3AF DE EF =−，证明见解析【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，得出DE BC ⊥，点E 是线段BC 的中点，再根据平行公理，得出AC DE ∥，进而得出DE 是ABC 的中位线，再根据中位线的性质，即可得出答案；（2）①以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，交线段BC 于点M ，交线段BA 于点N ，再以点A 为圆心，以相等长为半径画弧，交线段AC 于点P ，再以点P 为圆心，以MN 的长度为半径画弧，两弧交于一点Q ，再以点Q 为圆心，以MN 的长度为半径画弧，两弧交于一点K ，连接AK ，并延长交DE 于点F ； ②设AC 旋转后点C 的对应点在AF 上为点C '，连接CC '，根据等边对等角和三角形的内角和定理，得出90ACC AC C α''∠=∠=︒−，再根据角之间的数量关系，得出C CB α'∠=，连接CD ，根据线段垂直平分线的性质，得出DC DB =，再根据等边对等角，得出DCB B α∠=∠=，再根据角相等，得出DCB C CB '∠=∠，进而得出点C C D '、、三点共线，再根据题意，得出DE 是ABC 的中位线，再根据中位线的性质，得出1122DE AC AC '==，进而得出2AC DE '=，再根据两直线平行，内错角相等，得出ACC C DF ''∠=∠，进而得出AC C C DF ''∠=∠，再根据对顶角相等，得出AC C DC F ''∠=∠，再根据等量代换，得出DC F C DF ''∠=∠，再根据等角对等边，得出FC FD '=，再根据线段之间的数量关系，结合等量代换，得出3AF DE EF =−．【小问1详解】 解：12DE AC =，证明如下： ∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DE BC ⊥，点E 是线段BC 的中点，又∵90C ∠=︒，∴AC BC ⊥，∴AC DE ∥，∴DE 是ABC 的中位线， ∴12DE AC =； 【小问2详解】解：①如图，即为所求；②3AF DE EF =−，证明如下：设AC 旋转后点C 的对应点在AF 上为点C '，连接CC '，∵2CAC α'∠=，AC AC '=， ∴1802902ACC AC C αα︒−''∠=∠==︒−， 又∵90ACB ∠=︒，∴()9090C CB αα'∠=︒−︒−=，连接CD ，∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DC DB =，∴DCB B α∠=∠=，∴DCB C CB '∠=∠，∴点C C D '、、三点共线，又∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DE BC ⊥，点E 是线段BC 的中点，又∵90C ∠=︒，∴AC BC ⊥，∴AC DE ∥，∴DE 是ABC 的中位线， ∴1122DE AC AC '==，∴2AC DE '=，∵AC DE ∥，∴ACC C DF ''∠=∠，又∵AC A C C C ∠='∠'，∴AC C C DF ''∠=∠，∴AC C DC F ''∠=∠，∴DC F C DF ''∠=∠，∴FC FD '=，∴AF AC C F ''=+2DE DF =+()2DE DE EF =+−3DE EF =−，∴3AF DE EF =−．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形中位线的性质、作图—等角、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、对顶角相等，解本题的关键在正确作出辅助线，并熟练掌握相关的性质定理．28. 【答案】（1）()2,0（2）157（3）11188EM ≤≤ 【解析】【分析】（1）依据垂直对称点的定义，中点坐标公式和勾股定理解决即可；（2）先用待定系数法确定直线AB 的解析式为334y x =−+，依据垂直对称点定义和45C OC '∠=︒，并利用锐角三角函数可得OC '=，设3,34D a a ⎛⎫'−+ ⎪⎝⎭，由中点坐标公式可得33014,22a a C ⎛⎫−++ ⎪+' ⎪ ⎪⎝⎭，再根据点C '在直线y x =上，可建立关于a 的方程，求得87a =，可得1515,1414C ⎛⎫' ⎪⎝⎭，利用勾股定理求得14OC '=，最后代入OC '=，得出1507C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，问题得解； （3）证明APP ABO '∽△△，由相似三角形的性质可得到()1,0P '，设(),Q m n ，依据垂直对称点定义，()2,K m n −−，从而得到3342EF m =+，EK n =−， ∴313824MK m n =++，()133484EM m n =−+，设134k m n =−，根据1OQ =，可建立122341m n k m n −=⎧⎨+=⎩，整理得：221125890n k n k ++−=，再利用根的判别式()()2211842590k k −⨯−≥，可得155k −≤≤，从而问题得以解决．【小问1详解】解：①如图，过点()3,2作x 轴的垂线，则垂足所表示的数为()3,0，∵()4,0A ，∴点()3,2关于x 轴和点A 垂直对称点的坐标为()2,0A '，故答案为：()2,0；②∵()0,3B ，点()6,1， ∴它们的中点的坐标为0631,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()3,2， ∵点B 因为点A 关于直线l 和点()6,1的垂直对称点，∴点A 到直线l=，【小问2详解】∵()4,0A ，()0,3B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，∴403k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：343k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为334y x =−+， ∵点(),0C t 关于直线y x =和点()1,0D 的垂直对称点在直线AB 上，∴CC OC ''⊥，点D 和点D 关于点C '对称，∵45C OC '∠=︒，∴cos 2OC C OC OC ''∠==，∴OC '=， 设3,34D a a ⎛⎫'−+ ⎪⎝⎭， ∴33014,22a a C ⎛⎫−++ ⎪+' ⎪ ⎪⎝⎭， ∵点C '在直线y x =上，∴3301422aa−+++=，解得：87a=，∴115 214a+=，∴1515,1414C⎛⎫' ⎪⎝⎭，∴14 OC'==，∴15147OC'===，∴157C⎛⎫⎪⎝⎭，，∴157t=．∴t的值为157．【小问3详解】过点P作PP x'⊥轴于点P'，∴PP y'∥轴，∴APP ABO'∽△△，∴PP AP APBO AO AB''==∵点P为线段AB的四等分点，且AP BP>，()4,0A，()03B，，∴3344PP AP''==，∴3AP'=，∴()1,0P'，设(),Q m n∵点Q 在x 轴下方，1OQ =，∴221+=m n ，11m −<<，10n −<≤，∵点K 为点P 关于x 轴和点Q 的垂直对称点，过点K 作x 轴的垂线，分别交x 轴和线段AB 于点E ，F ，点M 为线段FK 的中点，∴()2,K m n −−，∴当2x m =−时，()33323442y m m =−−+=+， ∴3342EF m =+，EK n =−， ∴()11333132242824MK FK EF EK m n m n ⎛⎫==−=++=++ ⎪⎝⎭， ∴()313313133482482484EM EK MK n m n m n m n =+=−+++=−+=−+， 设134k m n =−，则122341m n k m n −=⎧⎨+=⎩， 整理得：221125890n k n k ++−=，∵()()2211842590k k −⨯−≥， ∴155k −≤≤，即5345m n −≤−≤， ∴11188EM ≤≤． ∴EM 的长的取值范围是11188EM ≤≤．【点睛】本题以一次函数为背景，考查了中点坐标公式，勾股定理，直角坐标系中点到原点的距离，待定系数法确定一次函数解析式，特殊角三角函数，相似三角形的判定和性质，根的判别式，新概念的理解与应用等知识．正确理解题中的垂直对称点的含义是解题的关键．。
重庆市九龙坡区2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题(含答案)
2025届初三上期第一次月考数学试题一、选择题（每题4分，共40分，请将答案填写在答题卡相应位置。
）1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．将拋物线向下平移1个单位后所得的抛物线的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．3．若关于的一元二次方程有一个根为，则代数式的值为（ ）A ．B ．4C ．10D ．124．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）A ．图象的开口向上B ．图象与轴的交点坐标为C ．图象的顶点坐标是D ．当时，随的增大而减小5．如图，将绕点按逆时针方向旋转36°后得到，若，则的度数是（ ）A ．B ．C ．D ．6．二次函数的与的部分对应值如右表，则当时，的值为（ ）…0123……1510767…A ．15B ．10C ．7D ．67．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月底累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ）2(1)3y x =-+23y x =+2(1)2y x =-+2(2)3y x =-+2(1)4y x =--x 20x mx n +-=2x =2m n -4-22)1y x =-+y ()0,1()2,1-2x >y x AOB △O COD △24AOB ∠=︒AOD ∠36︒24︒12︒60︒()20y ax bx c a =++≠x y 5x =y x 1-yxA ．B ．C ．D ．8．函数与的图象在同一坐标系下可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，交于点．若，则的度数是（ ）（用含的代数式表示）A ．B ．C ．D ．10．抛物线的图象如上图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则的取值范围为．其中正确的个数有（）()40011456x +=()24001400(1)1456x x +++=2400(1)1456x +=()24004001400(1)1456x x ++++=()20y ax bx a =+≠y ax b =+ABC △85ACB ∠=︒ABC △C EDC △B D A AC ED 、F BCD α∠=EFC ∠α3852α︒+31752α︒+31752α︒-3952α︒+()20y ax bx c a =++≠2x =-0abc >304c b -<()242a ab at at b -≥+t ()11,A x y ()22,B x y 125n x x n <<<+12y y =n 72n -<<-A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、填空题（每题4分，共32分，请将答案填写在答题卡相应位置。
北京市四中2024-2025年初三10月月考数学试卷
数学练习班级 __________ 姓名 ___________ 学号 ___________一、选择题（共16分，每小题2分） 1．一元二次方程x 2+2x ＝0的解为（ ）．A ．x ＝ 2B ．x ＝2C ．x 1＝0，x 2＝ 2D ．x 1＝0，x 2＝2 2．抛物线2(1)2y x ＝的顶点坐标是（ ）．A ．( 1，2)B ．(1， 2)C ．(1，2)D ．( 1， 2) 3．若关于x 的方程x 2+6x +c ＝0有两个相等的实数根，则c 的值是（ ）．A ．36B ．9C ． 9D ． 36 4．设A 123(2,),(1,),(2,)y B y C y 是抛物线2(1)y x 上的三点，则123,,y y y 的大小 关系为（ ）．A ．123y y yB ．132y y yC ．321y y yD ．213y y y 5．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，则当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）．A ．x ＜3B ．x ＞ 1C ． 1＜x ＜3D ．x ＜ 1 或 x ＞3（第5题图） （第7题图）6．已知AB ＝10cm ，以AB 为直径作圆，那么在此圆上到AB 的距离等于5cm 的点共有（ ）．A ．无数个B ．1个C ．2个D ．4个 7．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）．A ．a ＞0B ．b ＝2aC ．b 2＜4acD ．8a +c ＜08．若二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1＜x 2，图象上有一点M (x 0，y 0)在x 轴下方，则下列判断正确的是（ ）．A ．a ＞0B ．(x 0 x 1)(x 0 x 2)＜0C ．x 1＜x 0＜x 2D ．a (x 0 x 1)(x 0 x 2)＜0 二、填空题（共16分，每小题2分）9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线245y x x 与y 轴交于点C ，则点C 的坐标为 ．10．如图，已知⊙O 的半径OA ＝5，弦AB 的弦心距OC ＝3，那么AB ＝ ．（第10题图） （第13题图）11．若m 是关于x 的方程x 2 2x 1＝0的解，则代数式6m 3m 2+2的值是 ． 12．若抛物线y ＝x 2 2x +m 与x 轴的一个交点是( 2，0)，则另一个交点的坐标是 ．13．如图，一次函数y 1＝kx +n (k ≠0)与二次函数y 2＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象相交于A ( 1，4)，B (6，2)两点，则关于x 的不等式kx +n ＞ax 2+bx +c 的解集为 ． 14．平面上一点P 到⊙O 上一点的距离最长为6cm ，最短为2cm ，则⊙O 的半径为 ．15．二次函数y ＝ax 2+bx 的图象如图所示，若关于x 的一元二次方程 ax 2+bx m ＝0有实数根，则m 的取值范围是 ．（第15题图） （第16题图）16．如图，一条抛物线与x 轴相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动．若点A 、B 的坐标分别为( 2，3)、(1，3)，点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为 ．三、解答题（共68分，第17题10分，第18、22题5分，第19、20、21、23、24、25题7分，第26题6分） 17．用适当的方法解方程（1）x 2 2x 8＝0； （2）2x (x 3) 5(3 x )＝0．18．如图，已知：在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，E 为垂足，AE ＝4，CE ＝6，求⊙O的半径．19．已知二次函数y ＝ x 2 2x +2．（1）填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）结合函数图象，直接写出方程 x 2 2x +2＝0的近似解（精确到0.1）．20．已知关于x 的方程kx 2+(2k +1)x +2＝0．（1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y ＝kx 2+(2k +1)x +2（k 为正整数）图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，求此抛物线的解析式；（3）已知抛物线y ＝kx 2+(2k +1)x +2恒过定点，求出定点坐标．A21．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为( 3，0)，与y轴交于点C，点D( 2， 3)在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出P A+PD的最小值；（3）若抛物线上有一动点Q，使三角形ABQ的面积为24，求Q点坐标．22．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y（单位：)m与水平距离x（单位：)m近似满足函数关系2．某位同学进行了两次投掷．y a x h k a()(0)（1）第一次投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式：2y a x h k a；()(0)（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系2．记实心球第一次着地点到原点的距离为0.09( 3.8) 2.97y xd，第二次着1地点到原点的距离为d，则1d2d（填“ ”“ ”或“ ” )．223．阅读以下材料：利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题， 如a 2+2a 4＝a 2+2a +12 12 4＝(a +1)2 5. ∵(a +1)2≥0，∴a 2+2a 4＝(a +1)2 5≥ 5， 因此，代数式a 2+2a 4有最小值 5． 根据以上材料，解决下列问题：（1）代数式a 2 2a +2的最小值为 ；（2）试比较a 2+b 2+11与6a 2b 的大小关系，并说明理由； （3）已知：a b ＝2，ab +c 2 4c +5＝0，求代数式a +b +c 的值．24. 在平面直角坐标系xOy 中，()()p q A p y B q y ，，，和2()3t C t y ，是抛物线223y x tx 上三个不同的点.（1）当1p q t y y ，时，求抛物线对称轴，以及p ，q 之间的等量关系； （2）当1p 时，若对于任意的32t q t ，都有p q t y y y ，求t 的取值范围.25. 如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，BE ＝CF ，AE ，BF 交于点G ．（1）在线段AG 上截取MG ＝BG ，连接DM ，∠AGF 的角平分线交DM 于点N ．①依题意补全图形；②用等式表示线段MN 与ND 的数量关系，并证明；（2）在（1）条件下，若正方形ABCD 边长为1，求线段DN 的最小值.26. 【阅读材料】（1）抛物线上的任意一点都具有如下性质：抛物线C 上任意一点A 到抛物线对称轴上一点F 的距离和到垂直于抛物线对称轴的一条直线l 的距离相等.例如：已知抛物线y =x 2，点F (0，14)，直线l :14y ，抛物线上一点Q (a ，a 2).作QP l 于点P , 连结QF .则QP =a 2+14, 214QF a QP .点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.（2）抛物线上两点连成的线段叫做抛物线的弦，过焦点的弦叫做焦点弦.与抛物线对称轴垂直的焦点弦叫做通径. 【解决问题】请你仿照（1）中的方法，解决以下问题： ①已知抛物线213y x ，焦点3(0)4，，请计算出准线的解析式； ②已知抛物线218y x，准线2y ，请计算出焦点坐标； ③综合以上几问的结果，请直接写出抛物线212y x p的焦点坐标与准线解析式（用含p 的式子表示）.。
初三数学第二学期月考测试卷
初三数学第二学期月考测试卷（第Ⅰ卷）一、选择题1、 据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失为1.5亿元，若一年按365天计算，用科学记数法表示我国一年因土地沙漠化造成的经济损失为 （ ） A 、5.475×1011（元） B 、5.475×1010（元） C 、0.5475×1011（元）D 、5.475×108（元）2、 如果a ＜2，那么化简2)2(2+-a 的结果为（ ） A 、4－aB 、aC 、－aD 、4+a 3、 已知：x m =1，x n =2（x ≠0）则x 3m-2n 的值等于（ ） A 、－1B 、－3C 、4D 、41 4、 一家三人（父亲、母亲、女儿）准备参加旅游，甲旅行社告知：“父母买全票，女儿按半价优惠”，乙旅行社告知：“家庭旅游可按团体票计价，即每人按均价的54收费”。
若这两家旅行社每人的原票价相同，那么优惠条件是（ ）A 、甲比乙更优惠B 、乙比甲更优惠C 、甲与乙相同D 、与原票价有关5、 如图：天平右盘中每个砝码的重量都是1g ，则图中显示出某药A 的重量范围是（ ）A 、大于2gB 、小于3gC 、大于2g 且小于3gD 、大于2g 或小于3g6、 圆心都在y 轴上的两圆相交于A ，B 两点，如果A 点坐标为（2，2），那么B点的坐标是（ ） A 、（2，2-）B 、（—2，2-）C 、（—2，2）D 、（2，2）7、 在函数y=22X X +中，自变量x 的取值范围是 （ ） A 、X ≠0B 、X ≥—2C 、X ≥—2且x ≠0D 、X ＞—28、 一游泳池长90米，甲、乙二人分别在游泳池相对两边同时朝另一边游泳，甲的速度是3米/秒，乙的速度是2米/秒，图中的实线和虚线分别表示甲、乙与游泳池一边的距离随游泳时间的变化而变化的图像，若不考虑转向时间，则从开始起到3分钟止他们相遇的次数为 （ ）5次9、 xx 1＜0＜x 2＜x 3，则下列各式中正确的是（ ）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 2＜y 3＜y 1C 、y 3＜y 2＜y 1D 、y 1＜y 3＜ y 210、 一段导线，在0℃时的电阻为2欧，温度每升高1℃，电阻增加0.008欧，那么电阻R 欧表示为温度t ℃的函数关系式为（ ）A 、R=0.008tB 、R=2+0.008tC 、R=2.008tD 、R=2 t+0.008 11、 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）A 、平行四边形B 、菱形C 、正方形D 、等腰梯形 12、 下列命题的真命题有（ ）（1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （2）平分弦的直径垂直弦（3）到定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆 （4）用正五边形可以进行平面镶嵌 A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个13、 轮船航行到C 处时，观测小岛B 的方向是北偏西35°，那么同时从B 观测到轮船的方向是（ ）A 、南偏西35°B 、北偏西35°C 、南偏东35°D 、南偏东55°14、 如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A 、一处B 、两处C 、三处D 、四处15、 如图，正方形ABCD 的边长为1，分别以A 、B 为圆心，1为半径作弧，则图中两块阴影部分的面积差（S 1-S 2）的值为（ ）S2A 、12+πB 、14-πC 、12-πD 、21π-（第Ⅱ卷）二、填空题16、 分解图式：4x 2-y 2-4x +1= 。
金太阳试卷初三数学月考
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（1，2），则k+b的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 下列方程中，x=2是一元二次方程的根的是（）A. x^2+2x+1=0B. x^2+4x+4=0C. x^2-4x+4=0D. x^2-2x+1=03. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，则下列结论正确的是（）A. ∠BAD=∠CADB. ∠BAD=∠BACC. ∠CAD=∠BACD. ∠BAD=∠ABC4. 若一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的对角线长为（）A. √(a^2+b^2)B. √(a^2+b^2+c^2)C. √(a^2+c^2)D. √(b^2+c^2)5. 若sinα=0.6，则cosα的值为（）A. 0.8B. 0.5C. 0.4D. 0.26. 在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于原点对称的点Q的坐标为（）A.（3，-4）B.（-3，-4）C.（-3，4）D.（3，-4）7. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y=x^2B. y=x^3C. y=2x-3D. y=1/x8. 若等差数列{an}的公差为d，则下列等式成立的是（）A. a1+a3=a2B. a1+a2=a3C. a2+a3=a1D. a1+a3=2a29. 下列图形中，是圆的是（）A. 矩形B. 正方形C. 等腰三角形D. 圆10. 若∠A和∠B是等腰三角形ABC的两个底角，则∠A和∠B的大小关系为（）A. ∠A>∠BB. ∠A<∠BC. ∠A=∠BD. 无法确定二、填空题（每题5分，共50分）11. 若一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数为__________。
12. 已知等差数列{an}的第一项a1=3，公差d=2，则第10项an=__________。
13. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则sinC的值为__________。
黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题(含答案)
初三学年上学期质量检测数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A. B. C. D.2.若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（ ）A.2021B.2022C.2023D.20243.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A.且B.C.且D.4.某电影上映第一天票房收入约1亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到4亿元.若增长率为，则下列方程正确的是（ ）A. B. C. D.5.，与为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）A. B. C. D.6已知是关于的方程的一个实数根，该方程的两实数根恰是等腰的两条边长，则的周长为（ ）A.9B.10C.6或10D.8或107.已知二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围为（ ）A. B.且 C. D.且8.若，则代数式的值（ ）A.-1或3 B.1或-3C.-1D.39.若，则二次函数的图象的顶点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论是（ ）2210x x +-=2230x y --=220ax x -+=23210x x --=1x =-x 220230ax bx --=1a b ++x ()22210m x x ---=m 1m ≥2m ≠1m >1m >2m ≠2m ≠x 14x +=()214x +=()2114x ++=()()21114x x ++++=()11,y -()22,y ()33,y 245y x x =--+1y 2y 3y 123y y y <<321y y y <<312y y y <<213y y y <<2x =x ()2440x m x m -++=ABC △ABC △2y 77kx x =--x k 7k 4>-7k 4<-k 0≠7k 4≥-74k >-0k ≠()()22222230a ba b +-+-=22a b +0b <21y x bx =+-()20y ax bx c a =++≠0abc >2a b c ++=12a >1b <A.①②B.②③C.②④D.③④二、填空题（每小题3分，共21分）11.将化成的形式，则的值是______.12.当_____时，关于的方程是一元二次方程；当_____时，此方程是一元一次方程。
初三年级数学月考试卷附答案
初三年级数学月考试卷数 学（时间120分钟 满分100分）一、选择题：（每小题3分，共24分. 每小题四个选项，只有一项是正确的，请把它填写在答题卷上.）1．下列计算错误．．的是 ( )=D.3=．2．在函数3y x=中，自变量x 的取值范围是 （ ） Ａ.2x -≥且0x ≠Ｂ.2x ≤且0x ≠ Ｃ．0x ≠Ｄ.2x -≤3．已知甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差2112S =甲，乙组数据的方差2110S =乙则（ ）Ａ．甲组数据比乙组数据的波动大Ｂ．乙组数据比甲组数据的波动大Ｃ．甲组数据与乙组数据的波动一样大 Ｄ．甲乙两组数据的波动大小不能比较4．用M ，N ，P ，Q 各代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种． 图4-1—图4-4是由M ，N ，P ，Q 中的两种图形组合而成的（组合用“&”表示）．那么，下列组合图形中，表示P&Q 的是 （ ）５. 方程0)()(2=-+-+-a c x c b x b a 的一个解必是 （ ） Ａ.x ＝－１ Ｂ. x ＝１ Ｃ. x ＝a b - Ｄ. x ＝c a - 6．为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座 高2m 的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案.小 兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体 雕像的设计中.如图是小兵同学根据黄金分割数设计的 雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高 度(精确到0.01m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732， 5≈2.236)是 （ ） A 、0.62m B 、0.76m C 、1.24m D 、1.62m准考证号： 学校： 班级： 姓名：M&P N&P N&Q M&Q 图4-1图4-2 图4-3 图4-4 A ． B ． C ． D ．７. 在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将英文26个字母a b c ，，，…，z （不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见表格）．当明码对应的序号x 为奇数时，密码对应的序号12x y +=；当明码对应的序号x 为偶数时，密码对应的序号13xy =+．按上述规定，将明码“love ”译成密码是 （ ） A ．gawq B ．shxc C ．sdri D ．love8. 如图，小明作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积。
数学月考试卷及答案初三
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. -3D. 0.1010010001…2. 已知 a > 0，b < 0，那么下列不等式中正确的是（）A. a > bB. a < bC. -a < -bD. -a > -b3. 若 x^2 - 4x + 3 = 0，则 x 的值为（）A. 1 或 3B. -1 或 3C. 1 或 -3D. -1 或 -34. 下列函数中，是二次函数的是（）A. y = x^2 + 2x + 1B. y = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5C. y = x^2 + 3x + 2D. y = 2x^2 + 3x - 15. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，则∠C 的度数是（）A. 75°B. 105°C. 120°D. 135°6. 若 |x - 2| = 3，则 x 的值为（）A. -1 或 5B. 1 或 5C. -1 或 -5D. 1 或 -57. 下列各式中，是绝对值方程的是（）A. |x| + 2 = 3B. |x - 1| = 2C. |x + 1| = -3D. |x - 2| = 58. 若 a、b、c 是等差数列，且 a + b + c = 12，a + c = 8，则 b 的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 89. 已知 m、n、p 是等比数列，且 m + n + p = 24，m n p = 64，则 p 的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 1610. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = x^2 + 2x + 1B. y = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5C. y = x^2 + 3x + 2D. y = 2/x + 3二、填空题（每题5分，共25分）11. 若 x + y = 5，xy = 6，则 x^2 + y^2 的值为 ________。
初三月考数学试卷带答案
一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √16C. √-4D. √0答案：A2. 下列等式中，正确的是（）A. 2x + 3 = 5x - 1B. 3x - 2 = 2x + 4C. 4x - 5 = 3x - 2D. 2x + 1 = 5x + 3答案：C3. 下列函数中，y是x的一次函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 3x^2 - 2C. y = √xD. y = 4/x答案：A4. 已知函数y = 2x - 3，若x = 2，则y的值为（）A. -1B. 1C. 3D. 5答案：D5. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点是（）A.（2，-3）B.（-2，3）C.（2，-3）D.（-2，-3）答案：A6. 下列各组数中，存在反比例关系的是（）A. x = 2，y = 4B. x = 3，y = 6C. x = 5，y = 10D. x = 4，y = 8答案：D7. 一个长方形的长是10cm，宽是5cm，它的周长是（）A. 20cmB. 25cmC. 30cmD. 35cm答案：C8. 一个等腰三角形的底边长是8cm，腰长是6cm，那么这个三角形的面积是（）A. 24cm²B. 30cm²C. 36cm²D. 42cm²答案：C9. 若a > b > 0，则下列不等式中正确的是（）A. a + b > a - bB. a - b > a + bC. a - b > a - cD. a + b < a - c答案：A10. 已知一元二次方程x² - 5x + 6 = 0，则x的值为（）A. 2或3B. 1或4C. 2或1D. 3或4答案：A二、填空题（每题5分，共25分）11. 若x = 3，则2x - 1的值为______。
答案：512. 下列函数中，y = 3x - 2是一次函数，自变量x的取值范围是______。
2024北京交大附中初三上学期10月月考数学试题及答案
2024北京交大附中初三10月月考数 学一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 下列四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，中心对称图形是（ ）A. B. C. D.2. 抛物线22()1y x =−+的顶点坐标是（ ） A. ()2,1B. ()2,1−C. ()2,1−D. ()2,1−−3. 将抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向上平移5个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. y ＝2（x ＋1）2＋5 B. y ＝2（x ＋1）2－5 C. y ＝2（x －1）2＋5 D. y ＝2（x －1）2－54. 如图，将ABC 绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''．若40,110A B ∠=∠='︒︒，则BCA '∠的度数是（ ）A. 90︒B. 80︒C. 50︒D. 30︒5. 在平面直角坐标系中，把点P （-3,2）绕原点O 顺时针旋转180°，所得到的对应点P 的坐标为（ ） A. （3，-2）B. （2，-3）C. （-3，-2）D. （3,2）6. 用配方法解一元二次方程245x x −=时，此方程可变形为（ ） A. ()221x +=B. ()221x −=C. ()229x +=D. ()229x −=7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x =经过平移得到抛物线2122y x x =−，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为A. 2B. 4C. 8D. 168. 如图，动点P 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），分别以AB AP BP ，，为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y ，线段AP 的长为x ．当点P 从点A 移动到点B 时，y 随x 的变化而变化，则表示y 与x 之间关系的图象大致是（ ）A. B. C. D.二、填空题（共16分，每题2分）9. 请写出一个开口向上且顶点坐标为()0,1的抛物线的解析式_______________．10. 二次函数2y x bx a =++的图像的顶点在x 轴上，写出一组满足条件的实数a 、b 的数值a =________，b =________． 11. 点()13,A y −，()22,By 在抛物线25y xx =−上，则1y ________2y ．（填“>”，“<”或“=”）12. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线1x =−，与x 轴的一个交点为(1,0)，与y 轴的交点为(0,3)，则方程()200ax bx c a ++=≠的解为________．13. 已知关于x 的一元二次方程()221210m x x m −++−=有一个根是0，则m 的值是________．14. 如图，二次函数21(0)y ax bx c a =++>与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点(2,4)A −，(8,2)B ，则使12y y >成立的x 的取值范围是_______________．15. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为_______．16. 二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：（2）抛物线顶点坐标为（1，5）；（3）3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x ＜3时，ax 2+（b ﹣1）x+c ＞0．其中正确的序号为___________________.三、解答题（共868分，第17、18、19题每题4分，第20-26题、每题6分，第27-28题每题77分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：()031−π+−． 18. 解方程：243x x =−19. 已知：如图，ABC 绕某点按一定方向旋转一定角度后得到111A B C ，点A ，B ，C 分别对应点1A ，1B ，1C ．（1）根据点1A 和1B 的位置确定旋转中心是点 ． （2）请在图中画出111A B C ．20. 如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ，连接CD ，BE ．（1）求证：△AEB ≌△ADC ；（2）连接DE ，若∠ADC ＝105°，求∠BED 的度数．21. 已知关于x 的一元二次方程()21220m x x −++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 取满足条件的最大整数时，求方程的根．22. 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：（1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标； （2）求出该函数图象与x 轴的交点坐标，并画出此二次函数的图象．（3）结合图象，当0y >时，x 的取值范围是 ． （4）结合图象，当21x −≤≤时，y 的取值范围是 ． 23. 如图，在ABC 中，D 是AB 上一点，AD DC =，DE 平分∠ADC 交AC 于点E ，DF 平分∠BDC 交BC 于点F ，90DFC ∠=︒．（1）求证：四边形CEDF 是矩形；（2）若30B ∠=︒，2AD =，连接BE ，求BE 的长．24. 2021年12月《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》正式发布，跳绳成为新增的体育中考选考项目．某校体育组为了解八年级学生跳绳的基本情况，从八年级男、女生中各随机抽取了20名学生1分钟跳绳次数，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．学生1分钟跳绳次数频数分布直方图如下（数据分成9组：90100x ≤<，100110x ≤<，…，170180x ≤<）：b ．男生1分钟跳绳次数在140150x ≤<这一组的是：140，141，142，143，144，145，145，147c ．1分钟跳绳次数的平均数、中位数、优秀率如下表：级女生1分钟跳绳次数大于或等于130个，成绩为优秀． 根据以上信息，回答下列问题：（1）将女生1分钟跳绳次数频数分布直方图补充完整； （2）写出表中m ，n 的值；（3）此次测试中，某学生的1分钟跳绳次数为140个，这名学生的成绩排名超过同组一半的学生，判断该生属于______（填“男生”或“女生”）组；（4）如果全年级男生人数为100人，女生人数为120人，请估计该年级跳绳成绩优秀的总人数． 25. 篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，从出手到球进篮筐的过程中，篮球的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()()20y a x h k a =−+<．（1）某球员一次投篮时，记录了篮球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：（2）小明同学在此基础上想要研究自己的投篮情况，已经求得第一次的投篮轨迹近似满足函数关系式：()25 2.4 4.512y x =−−+，请回答下列问题： ①小明同学第一次投篮的出手点高度为__________m ；②已知篮筐中心位置在水平距离4.2m ，竖直高度3m 处．当篮球的竖直高度为3m 时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差0.1m 以内，篮球可以进入篮筐．若小明第二次的投篮轨迹近似满足函数关系式：()25 2.1412y x =−−+，已知两次投篮只有一次投中，则__________投中（填写“第一次”或“第二次”）．26. 已知抛物线22y x ax b =−+经过点()11，．（1）用含a 的式子表示b 及抛物线的顶点坐标；（2）若对于任意12a x a −≤≤+，都有1y ≤，求a 的取值范围．27. 如图，ACB △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，点P 在AC 的延长线上，连接DP ，点B 与点E 关于直线DP 对称，连接AE ．（1）依题意补全图形； （2）求证：AE DP ∥；（3）当=AE CP 时，连接CE ，PE ，用等式表示线段AE ，CE ，PE 之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W 给出如下定义：如果存在以点P 为端点的一条射线与图形W 有且只有2个公共点，那么称点P 是图形W 的“相关点”．已知点(),2A m ，()2,0B m −，()2,0C m +．（1）当0m =时，①在点()11,0P −，()21,1P ，()34,0P ，()43,1P −中，是折线BA AC −的“相关点”的是______； ②点M 是直线24y x =+上一点，如果点M 是折线BA AC −的“相关点”，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）正方形DEFG 的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N 的坐标是()24,0m −．如果正方形的边长是2，正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC −的“相关点”，请直接写出m 的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】D【分析】根据中心对称图形的定义∶把一个图形绕某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解答即可．【详解】解：A ．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； B ．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； C ．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； D ．符合中心对称图形的定义，因此是中心对称图形，故正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称图形的概念是解题关键． 2. 【答案】A【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数()2,(,y a x h k a b c =−+为常数，0)a ≠，顶点坐标是()h k ,，据此求解即可．【详解】解：抛物线22()1y x =−+的顶点坐标是()2,1， 故选：A ． 3. 【答案】C【详解】∵平移不改变抛物线的二次项系数，∴将抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向上平移5个单位， 平移后的抛物线的解析式为y ＝2－1）2＋5， 故选C.【点睛】本题考查了抛物线的平移变换．关键是将抛物线的平移转化为顶点的平移，平移的规律是左加右减，上加下减，根据规律结合顶点式即求平移后抛物线的解析式． 4. 【答案】B【分析】先利用旋转的性质得到50110ACA B B ''∠=︒==︒，∠∠，再利用三角形内角和计算出30ACB ∠=︒，然后计算BCA ACA '∠+∠即可．【详解】解：ABC 绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''，50110ACA B B ''∴∠=︒==︒，∠∠，40A ∠=︒，18030ACB A B ∴∠=︒−︒−=∠∠，305080BCA BCA ACA ''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键：旋转图形对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．5. 【答案】D【详解】根据题意得，点P 关于原点的对称点是点P ′， ∵P 点坐标为（-3，2）， ∴点P ′的坐标（3，-2）． 故选：D ．【点睛】考点：坐标与图形变化-旋转． 6. 【答案】D 【详解】245x x −=24454x x −+=+()229x −=故选：D ． 7. 【答案】B【详解】解：过点C 作CA ⊥y 轴于点A ，根据抛物线的对称性得：OBD 的面积等于CAO 的面积， ∴阴影部分的面积等于矩形ACBO 的面积．∵22112(2)222y x x x =−=−−， ∴顶点坐标为C （2，－2）．∴对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4． 故选B ． 8. 【答案】C【分析】假设1AB =，则1BP x =−，然后根据AB AP BP y S S S =−−半圆半圆半圆求出y 关于x 的函数关系式即可得到答案．【详解】解：假设1AB =，则1BP AB AP x =−=−， ∴AB AP BP y S S S =−−半圆半圆半圆22211222222x x πππ−⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯−⨯−⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2221888x x x πππ−+=−−244x x ππ=−+，故选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，正确求出y 关于x 的函数关系式是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】21y x =+（答案不唯一）【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．已知顶点坐标，可用抛物线的顶点式表示解析式，已知开口向上，只要二次项系数为正数即可． 【详解】解：由题意可设该抛物线解析式为21y ax =+． ∵开口向上， ∴0a >即可．令1a =，则抛物线的解析式为21y x =+． 故答案为：21y x =+（答案不唯一）． 10.【答案】 ①.14（答案不唯一）． ②. 1（答案不唯一）． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，求出顶点坐标是解答本题的关键．先化为顶点式，求出顶点坐标，再利用顶点纵坐标等于0列式求解即可．【详解】解：22224b b y x bx a x a ⎛⎫=++=++− ⎪⎝⎭， ∴该二次函数的顶点坐标为2,24b b a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭．∵该二次函数的顶点在x 轴上，∴204b a −=，∴24a b =． 当1b =时，14a =． 故答案为：14，1（答案不唯一）． 11. 【答案】>【分析】将A ，B 两点代入抛物线，求出对应的y 值即可．【详解】当3x =−时，21524y x x =−=；当2x =时，2256y x x =−=−；∵246>−，∴12y y >．故答案为：>．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握知识点是解题关键．12. 【答案】13x =−，21x =【分析】本题考查二次函数图象的对称性，二次函数与相关一元二次方程的关系．掌握二次函数图象关于其对称轴对称，二次函数图象与x 轴交点的横坐标即为其相关一元二次方程的解是解题关键．根据二次函数图象的对称性可求出另一交点坐标为()3,0−，即得出其相关一元二次方程的的解为13x =−，21x =．【详解】解：∵该二次函数对称轴为直线1x =−，与x 轴的一个交点为()1,0，∴该二次函数与x 轴的另一个交点为()3,0−，∴方程()200ax bx c a ++=≠的解为13x =−，21x =．故答案为：13x =−，21x =．13. 【答案】1−【分析】把x =0代入方程进行计算，结合一元二次方程的二次项系数不为0，即可得到答案．【详解】解：把0x =代入方程，得：210m −=，∴1m =±，∵10m −≠，∴1m ≠，∴1m =−；故答案为：1−.【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及方程的解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，利用方程的解正确求出参数.14. 【答案】2x <−或8x >【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求解．根据抛物线与直线交点坐标，结合图象求解． 【详解】解：抛物线与直线交点坐标为(2,4)A −，(8,2)B ，2x ∴<−或8x >时，抛物线在直线上方，∴使12y y >成立的x 的取值范围是2x <−或8x >．故答案为：2x <−或8x >15. 【答案】y ＝（60﹣x ）（300+20x ）【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，本题得以解决.【详解】由题意可得，()()6030020=−+y x x .故答案为：()()6030020=−+y x x .【点睛】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式. 16. 【答案】（1）、（3）、（4）【分析】根据表格可得到函数的对称轴，再判断出函数的开口方向，与y 轴的交点、顶点坐标，再根据函数的图像与性质即可一一判断.【详解】（1）函数的对称轴为：x ＝12（0＋3）＝32， 对称轴左侧y 随x 的增大而增大，故a ＜0，x ＝0，y ＝3＝c ＞0，故（1）正确，符合题意；（2）函数的对称轴为x ＝32，故（2）错误，不符合题意； （3）ax 2＋（b−1）x ＋c ＝0，则ax 2＋bx ＋c ＝x ，当x ＝3时，ax 2＋bx ＋c ＝3，故（3）正确，符合题意；（4）由（3）知，3是方程ax 2＋（b−1）x ＋c ＝0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为1， 故当−1＜x ＜3时，ax 2＋（b−1）x ＋c ＞0，故（4）正确，符合题意；故答案为：（1）、（3）、（4）．，主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．三、解答题（共868分，第17、18、19题每题4分，第20-26题、每题6分，第27-28题每题77分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【分析】本题考查二次根式的混合运算，涉及零指数幂，化最简二次根式，化简绝对值，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．先计算零指数幂，化最简二次根式，化简绝对值，再进行加减运算即可．【详解】解：()031π−+11=+=18. 【答案】121,3x x ==【分析】先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程【详解】解：243x x =−，2430x x −+=，()()130x x −−=，即10x −=或30x −=，解得121,3x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．19. 【答案】（1）1O（2）见解析【分析】（1）分别作1AA 、1BB 的中垂线m 、n ，两者的交点即为所求；（2）作出点C 绕点1O 顺时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可得；【小问1详解】解：如图，根据点1A 和1B 的位置确定旋转中心是点1O ，【小问2详解】如图所示，111A B C 即为所求．【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．20. 【答案】（1）见解析；（2）45°【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得60BAC ︒∠=，AB AC =，再由旋转的性质，可得60DAE ︒∠=，AE AD =，从而得到EAB DAC ∠=∠，再证EAB ≌()DAC SAS 即可；（2）根据题意可得EAD 为等边三角形．可得60AED ︒∠=，根据三角形全等可得105AEB ADC ︒∠=∠=，然后利用两角之差即可求解．【详解】（1）证明：ABC 是等边三角形，60BAC ︒∴∠=，AB AC =．线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，60DAE ︒∴∠=，AE AD =．BAD EAB BAD DAC ∴∠+∠=∠+∠．EAB DAC ∴∠=∠．在△EAB 和△DAC 中，AE AD EAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EAB ∴≌()DAC SAS ．()2解： 60DAE ︒∠=，AE AD =，EAD ∴为等边三角形．60AED ︒∴∠=， EAB ≌DAC △．105AEB ADC ︒∴∠=∠=．∴∠BED =∠AEB -∠AED =105°-60°=45°，45BED ︒∴∠=．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键．21. 【答案】（1）32m <且1m ≠；（2）11x =，21x =− 【分析】（1）由Δ＞0，得到关于m 的不等式，解之得到m 的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知m ＝0，可得方程2220x x −++=，利用因式分解法求解可得．【详解】．解：（1）关于x 的一元二次方程()21220m x x −++=有两个不相等的实数根， 10m ∴−≠，即1m ≠．又128m ∆=−，0∴∆>，即1280m −>． 解得32m <． m ∴的取值范围是32m <且1m ≠． （2）在32m <且1m ≠的范围内，最大整数m 为0． 此时，方程化为2220x x −++=．∴方程的根为11x =+，21x =【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．22. 【答案】（1）223y x x =+−，顶点坐标(1,4)−−（2）与x 轴的交点坐标分别为()3,0−，()1,0，画图象见解析（3）3x <−或1x >（4）40y −≤≤【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，求二次函数与坐标轴的交点坐标．利用待定系数法求二次函数解析式并正确画出图象是解题关键．（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，再将其改为顶点式即得出顶点坐标；（2）令0y =，求出x 的值，即得出该函数图象与x 轴的交点坐标，再描点连线画出此二次函数的图象即可；（3）求当0y >时，x 的取值范围，即求函数图象在x 轴上方时，x 的取值范围，结合图象可直接得出结果；（4）结合图象可直接得出结果．【小问1详解】解：将 ()2,3−−，()1,4−−，()0,3−代入()20y ax bx c a =++≠， 得：34243a b c a b c c −=−+⎧⎪−=−+⎨⎪−=⎩，解得：123a b c =⎧⎪=⎨⎪=−⎩，∴该二次函数的表达式为()222314y x x x =+−=+−，∴这个二次函数图象的顶点坐标为(1,4)−−；【小问2详解】解：对于223y x x =+−，令0y =，则2230x x +−=，解得：13x =−，21x =，∴该函数图象与x 轴的交点坐标分别为()3,0−，(1,0)．画出此二次函数的图象如下： 【小问3详解】解：由图可知，当0y >时，x 的取值范围是3x <−或1x >；【小问4详解】解：由图可知，当21x −≤≤时，y 的取值范围是40y −≤≤．23. 【答案】（1）见解析 （2【分析】（1）证∠EDF =90°，∠CED =90°，再由∠DFC =90°，即可得出结论；（2）证△ACD 是等边三角形，得∠ACD =60°，AC =AD =2，则AE =CE =1，再由勾股定理得DE ，然后由三角形中位线定理得BC =2DE =【小问1详解】解：证明：∵DE 平分∠ADC ，DF 平分∠BDC ，∴∠ADE =∠CDE =12∠ADC ，∠CDF =12∠BDC ， ∴∠CDE +∠CDF =12（∠ADC +∠BDC ）=12×180°=90°， 即∠EDF =90°，∵AD =DC ，∴∠DCA =∠DAC ，∴∠CED =∠AED =12×180°=90°， 又∵∠DFC =90°，∴四边形CEDF 是矩形；【小问2详解】解：由（1）可知，四边形CEDF 是矩形，∴∠CED =∠ECF =90°，∴∠A =90°-∠B =90°-30°=60°，DE ⊥AC ，∵AD =DC ，∴CE =AE ，△ACD 是等边三角形，∴∠ACD =60°，AC =AD =2，∴AE =CE =1，∴DE =∠DCB =∠ECF -∠ACD =90°-60°=30°，∴∠DCB =∠B ，∴DB =DC =AD ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴BC =2DE =，在Rt △BCE 中，由勾股定理得：BE =，即BE【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析 （2）141.5m =，70%n =（3）“女生” （4）149人【分析】（1）利用抽取女生的总人数和女生跳绳次数频数分布直方图中的数据，求出成绩在130140x ≤<之间的人数即可；（2）利用中位数的定义求m ，利用八年级女生1分钟跳绳次数大于或等于130个的人数除以女生总人数求n ；（3）将这名学生的成绩与男生、女生成绩的中位数比较即可；（4）利用样本估计总体的方法解决．【小问1详解】解：女生成绩在130140x ≤<之间的人数为：20112261115−−−−−−−−=，补全后的频数分布直方图如下图所示：【小问2详解】解：由男生1分钟跳绳次数频数分布直方图和140150x ≤<这一组的数据可知，20名男生中，成绩从低到高排序，第10位和第11位的成绩分别是141，142， 因此男生组的中位数：141142141.52m +==； 女生1分钟跳绳次数大于或等于130个的人数为：5611114++++=， 因此女生组的优秀率：14100%70%20n =⨯=， 故141.5m =，70%n =；【小问3详解】解：这名学生的成绩140小于男生组的中位数141.5，大于女生组的中位数138，因此该生属于“女生”，故答案为：“女生”；【小问4详解】解：由已知和（2）的结论知男生组的优秀率为65%，女生组的优秀率为70%，10065%12070%6584149⨯+⨯=+=（人）， 因此估计该年级跳绳成绩优秀的总人数为149人．【点睛】本题考查统计相关知识，掌握频数分布直方图、中位数的定义和应用，以及利用样本估计总体的方法是解题的关键．25. 【答案】（1）()2.54，，()28 2.5425y x =−−+ （2）①2.1；②第一次 【分析】（1）由表格中的数据可得篮球飞行轨迹的最高点坐标为()2.54，，设此函数满足的函数解析式为：()22.54y a x =−+，将()02，代入函数解析式，求出a 的值即可得到答案； （2）①令0x =，求出y 的值即可得到答案；②分别令3y =，计算出x 的值，进行估算，并进行比较即可得到答案．【小问1详解】解：由表格中的数据可得：篮球飞行轨迹的最高点坐标为()2.54，， 设此函数满足的函数解析式为：()22.54y a x =−+， 将()02，代入函数解析式得：()20 2.542a ⨯−+=， 解得：825a =−， ∴篮球飞行轨迹满足的函数解析式为：()28 2.5425y x =−−+； 【小问2详解】解：①根据题意得：当0x =时，()250 2.4 4.5 2.112y =−⨯−+=， ∴小明同学第一次投篮的出手点高度为2.1m ，故答案为：2.1； ②在()25 2.4 4.512y x =−−+中，令3y =，则()25 2.4 4.5312x −−+=，解得：1 2.45x =−，2 2.45x =+，在()25 2.1412y x =−−+中，令3y =，则()25 2.14312x −−+=，解得：1 2.15x =−，2 2.15x =+，310 2.4 4.35+≈，2.1 3.65+≈，且当篮球的竖直高度为3m 时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差0.1m 以内，篮球可以进入篮筐，篮筐中心位置在水平距离4.2m ，∴第一次投中，故答案为：第一次．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．26. 【答案】（1）2b a =，抛物线的顶点坐标为()22a a a −，；（2）3a ≥或1a ≤−． 【分析】（1）把点()11，代入22y x ax b =−+计算可求得含a 的式子表示b 的代数式，配方成顶点式，即可求解；（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x a =，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，则当2x a =+时，代入计算，解不等式即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线22y x ax b =−+经过点()11，，∴112a b =−+，∴2b a =，∵()22222y x ax b x a a a =−+=−+−， ∴抛物线的顶点坐标为()22a a a −，；【小问2详解】 解：∵()22222y x ax b x a a a =−+=−+−，∴抛物线的对称轴为直线x a =，又∵抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，且12a x a −≤≤+，∴当2x a =+时，()22222421y a a a a a a =+−+−=+−≤最大，即2230a a −−≥，∴()()310a a −+≥， ∴3010a a −≥⎧⎨+≥⎩或3010a a −≤⎧⎨+≤⎩， 解得3a ≥或1a ≤−．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，函数的增减性，在本题的解答中，除了必要的理论依据外，还需要学生具有比较强的解不等式的能力．27. 【答案】（1）补图见解析（2）证明见解析 （3）2222CE AE EP +=，证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．（1）根据题意画图即可；（2）设BE 与DP 交于点M ，分别证明M 、D 为BE 、AB 中点，利用中位线可证；（3）过点C 作CN CE ⊥交BE 于点N ，连接BP ，设AC 与BE 交于点T ，BE 与DP 交于点M ，BC 与DP 交于点Q ，先证CBN CAE △≌△，得CN CE =，推出45CEN ∠=︒，再证CPD EAC △≌△，推出CD EC =，推出BC ==，再证EP BP =，最后在Rt CBP △中，利用222BC CP BP +=求证．【小问1详解】解：补全图形如图：【小问2详解】解：如图，设BE 与DP 交于点M∵点B 与点E 关于直线DP 对称，∴DP BE ⊥，BM EM =，∵AC BC =，CD AB ⊥，∴AD BD =，∴M ，D 分别为,BE AB 的中点∴DM AE ∥，即：AE DP ∥；【小问3详解】解：2222CE AE EP +=，证明如下：如图，过点C 作CN CE ⊥交BE 于点N ，连接BP ，设AC 与BE 交于点T ，BE 与DP 交于点M ，BC 与DP 交于点Q ，∵90ACB ∠=︒，∴90ACN BCN ACN ACE ∠+∠=∠+∠=︒，∴BCN ACE ∠=∠，∵90CBN CTB CAE ATE ∠+∠=∠+∠=︒，CTB ATE ∠=∠，∴CBN CAE ∠=∠，又∵CB CA =，∴()ASA CBN CAE ≌，∴CN CE =，∴45CEN CNE ∠=∠=︒，∴135AEC AEB CEN ∠=∠+∠=︒，∵AC BC =，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，∴45BCD CBD ∠=∠=︒，AD ，∴BC =，135PCD PCB BCD ∠=∠+∠=︒，∴AEC PCD ∠=∠，∵90PCQ BMQ ∠=∠=︒，∴90CPD CQP NBC BQM ∠+∠=∠+∠=︒，∵CQP BQM ∠=∠，∴CPD NBC ∠=∠，∴CPD CAE ∠=∠，又∵CP AE =，∴()ASA CPD EAC ≌，∴CD EC =，∴BC =，∵DP BE ⊥，BMEM =，∴EP BP =，在Rt CBP △中，222BC CP BP +=，即：)222AE EP +=，即：2222CE AE EP +=．28. 【答案】（1）①23,P P ；②223M x −≤<−（2）0m <或8m >【分析】（1）①根据所给坐标画出图像，根据定义进行判断即可求解；②根据题意画出24y x =+，结合定义可知当M 与点B 重合时M x 取得最小值，与直线AC 相交时，M x 取得最大值，进而即可求解；（2）根据题意求得直线AB 的解析式为2y x m =−+，直线AC 的解析式为2y x m =−++，正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC −所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外），当正方形有一点在AB 或AC 上时，根据点N 的坐标以及正方形的性质求得点F 的坐标，分别代入直线,AB AC 的解析式即可求得点F 的坐标，结合函数图像即可求解．【小问1详解】当0m =时，()()()0,2,2,0,2,0A B C −，①如图，在平面直角坐标系中描出点()()()0,2,2,0,2,0A B C −，()11,0P −，()21,1P ，()34,0P ，()43,1P −连接,AB AC ，由图像可知，23,P P 为折线BA AC −的“相关点”；②如图，点M 是直线24y x =+上一点，根据定义可知：点M 为折线BA AC −的“相关点”当M 与点()2,0B −重合时，此时M x 取得最小值，为2−，当M 在直线AC 上时，M x 取得最大值，设直线AC 解析式为y kx b =+()()0,2,2,0A C则202k b b +=⎧⎨=⎩解得12k b =−⎧⎨=⎩∴直线AC 解析式为2y x =−+联立224y x y x =−+⎧⎨=+⎩解得2383x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即M x 的最大值为23− 223M x ∴−≤<− 【小问2详解】点(),2A m ，()2,0B m −，()2,0C m +．设直线AB 的解析式为y cx d =+，AC 解析式为y ex f =+,则()220mc d m c d +=⎧⎨−+=⎩，()220me f m e f +=⎧⎨++=⎩， 解得12c d m =⎧⎨=−+⎩，12e f m =−⎧⎨=+⎩ ∴直线AB 的解析式为2y x m =−+，直线AC 的解析式为2y x m =−++，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC −的“相关点”；∴正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC −所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外）， 当正方形有一点在AB 或AC 上时，如图，当点F 在AB 上时，()24,0N m −，正方形的边长为2，则()23,1F m −−， 代入直线AB 解析式，可得()1232m m −=−−+，解得0m =；当点F 在AC 上时，()24,0N m −，正方形的边长为2，则()25,1F m −−，代入直线AC 解析式，可得()1252m m −=−−++，解得8m =，结合图像可知，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC −的“相关点”，0m <或8m >．【点睛】本题考查了新定义问题，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，坐标与图形，两直线交点问题，理解新定义是解题的关键．。
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初三数学月考测试题
班级 姓名 成绩
一、选择题（每题3分，共30分）
1． 下列式子一定是二次根式的是（ ）
A ．2--x
B ．x
C ．22+x
D ．22-x
2、16的值是( ).
(A) ±4 (B) －4 (C) 4 (D) 以上答案都不对
3、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）
（A ）()()12132+=+x x （B ）02112=-+x
x （C ）02=++c bx ax （D ） 1222-=+x x x
4、关于x 的一元二次方程02
=+k x 有实数根，则（ ）
（A ）k ＜0 （B ）k ＞0 （C ）k ≥0 （D ）k ≤0
5、根式2)3(-的值是 ( )
A ．-3
B ．3或-3
C ．3
D ．9
6、若2434( )x x x -+与4互为相反数，则的值为 A ．-12 B 、2 C 、±2 D 、±12
7是同类二次根式的是（ ）。
A 、
B
C
D 8、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，假如全班有x 名同学，依照题意，列出方程为 ( )
（A ）x(x ＋1)＝1035 （B ）x(x －1)＝1035×2
（C ）x(x －1)＝1035 （D ）2x(x ＋1)＝1035
9、化简)22(28+-得（ ）
A ．—2
B ．22-
C ．2
D ． 224-
10．若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方
程的根是（ ）
（A ）1，0 （B ）-1，0 （C ）1，-1 （D ）无法确定
二、填空题（每空3分，共30分）
11．当x_______时，二次根式－x 有意义．
12．假如在－1是方程x 2+mx －1=0的一个根，那么m 的值为______________。
13．++x x 32 +=x ( 2)；-2x x (2=+ 2)
14．最简二次根式2-x x 的值是____________。
15．比较大小关系：32______2 3
16．若0)1(32=++-n m ，则m +n 的值为 。
17．据某中学对毕业班同学三年来参加市级以上各项活动获奖情形的统计，初一时期有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖．设这两年中获奖人次的平均年增长率为x ，则依题意列方程得
18．已知1322++x x 的值是10，则代数式1642++x x 的值是 。
19．观看下列各式：
32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4× 6 ……
将你猜想到的规律用一个式子来表示：___________
20. 已知a ，b ，c 为三角形的三边，则
222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=_______
三、解答题（共90分）
21．化简：(每题4分，共12分) (1) 48
(2)13 (3)(3－2)(2+3)
22、解方程（4×6=24）
（1）3x 2－7x ＝0 （2） （x －2）（x －5）=－2
（3）9)12(2
=-x （直截了当开平方法） （4）0432=-+x x （用配方法）
23．运算：(每题4分，共24分)
（1） ⑵a a 153⋅-；
（3）b
a c abc 4322
- (4)50×8－6×32
（5）2
231872-+ （6
24．（8分）证明：不论m 取何值，关于x 的方程（x －1）（x －2）＝2m 总有两个不相等的实数根．
25．(10分)选做题（在下列两题中，你任选一题）
(1) 已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=x
y y x x
y y x x x y
(2) 已知关于x 的方程2x －6x ＋2p －2p ＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p 的值．
26、百货大搂服装柜在销售中发觉：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发觉：假如每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？（本题12分）。