2021届全国新高考仿真模拟试题(二)数学(文)
2021年高考数学真题模拟试题专项汇编之立体几何(文)(Word版,含解析)
（8）立体几何（文）——2021年高考数学真题模拟试题专项汇编1.【2021年新高考Ⅰ卷，3】已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( ) A.2B.22C.4D.422.【2021年新高考Ⅱ卷，4】卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度指卫星到地球表面的最短距离）.把地球看成一个球心为O ，半径为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α.该卫星信号覆盖的地球表面面积22π(1cos )S r α=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比为( ) A.26%B.34%C.42%D.50%3.【2021年北京卷，4】某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为( )33+ B.1213+3 4.【2021年浙江卷，4】某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：3cm )是( )A.32B.3C.322D.325.【2021年新高考Ⅱ卷，5】正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为( ) A.5623B.562C.282D.28236.【2021年浙江卷，6】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，,M N 分别是1A D ，1D B 的中点，则( )A.直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB.直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC.直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD.直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B7.【2021年北京卷，8】定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度.其中小雨（10<mm ），中雨（10mm —25mm ），大雨（25mm —50mm ），暴雨（50mm —100mm ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级( )A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨8.【2021年全国乙卷(文)，10】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为( ) A.π2B.π3C.π4D.π69.【2021年全国甲卷(文)，14】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为__________.10.【2021年上海卷，9】已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，点C 为下底底面圆周上的一个动点，点C 绕着下底底面旋转一周，则ABC △面积的取值范围为____________.11.【2021年全国乙卷(文)，16】以图①为正视图，在图②③④③中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）.12.【2021年全国乙卷(文)，18】如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.13.【2021年安徽怀宁模拟，18】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面11,2,ABC AA AC AC AB BC ====，且AB BC ⊥，O 为AC 的中点.（1）求证：平面11A B O ⊥平面1BCA ；（2）若点E 在1BC 上，且//OE 平面1A AB ，求三棱锥1E A BC -的体积.14.【2021年广西桂林模拟(文)，18】如图所示，在三棱锥A BCD -中，侧棱AB ⊥平面BCD ，F 为线段BD 中点，Q 为线段AB 中点，2π3BCD ∠=，3AB =，2BC CD ==.证明：（1）CF ⊥平面ABD ； （2）求点D 到平面QCF 的距离.15.【2021年全国甲卷(文)，19】已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形.2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ⊥，（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点，证明：BF DE ⊥.答案以及解析1.答案：B解析：本题考查圆锥的侧面展开图.设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .由题意可得2ππr l =，所以222l r ==. 2.答案：C解析：由题意可知，6400cos 0.1536000640036000r r α==≈++，所以从同步卫星上可望见的地球的表面积222π(1cos )2π(10.15)S r r α=-≈-，此面积与地球表面积之比约为222π(10.15)100%42%4πr r -⨯≈.3.答案：A解析：画正方体，删点，剩下的4个点就是三棱锥的顶点，如图：1333311(11)2S +=⨯⨯⨯+=表. 4.答案：A解析：本题考查几何体的三视图.该几何体是高为1的四棱柱，其底面为三个全等的直角边为1的等腰直角三角形拼成的梯形，面积为32，故其体积是32. 5.答案：D解析：本题考查棱台的体积.将正四棱台1111A B C D ABCD -补成四棱锥P ABCD -，作PO ⊥底面ABCD 于点O ，交平面1111A B C D 于点1O ，则棱台1111A B C D ABCD -的体积1111P ABCD P A B C D V V V --=-.由题意，11112142PA PO A B PA PO AB ====，易知，4PA =，22AO =22224(22)22PO PA AO --=，所以12PO =，则1322(44)223P ABCD V -=⨯⨯⨯，1111142(22)23P A B C D V -=⨯⨯，所以棱台1111A B C D ABCD -的体积111132242282P ABCD P A B C D V V V --=-==.6.答案：A解析：本题考查空间的线线关系与线面关系.易知1A D ⊥平面1ABD ，故11A D D B ⊥，排除B ，C 项；连接1AD ，可知//MN AB ，所以//MN 平面ABCD ，A 项正确；因为AB 不垂直于平面11BDD B ，//MN AB ，所以直线MN 不垂直于平面11BDD B ，D 项错误.7.答案：B解析：由相似的性质可得，小圆锥的底面半径2002502r ==，故231π5015050π3V =⨯⨯⨯=⋅小圆锥，积水厚度3250π12.5π100V h S ⋅===⋅大小圆锥圆，属于中雨，故选B. 8.答案：D解析：本题考查立体几何中的线面关系及解三角形的应用.如图，记正方体的棱长为a ，则1111112AD C B A C B D a ====，所以1122B P PC a ==，221162BP B P B B a =+=.在1BC P 中，由余弦定理得22211113cos 22PB C B PC PBC PB C B +-∠==⋅，所以1π6PBC ∠=.又因为11//AD BC ，所以1PBC ∠即为直线PB 与1AD 所成的角，所以直线PB 与1AD 所成的角为π6.9.答案：39π解析：本题考查圆锥的体积与侧面积.由题可得圆锥的体积21π12π30π3V r h h ===，可得52h =，故圆锥的母线22132l r h +，所以圆锥的侧面积π39πS rl ==. 10.答案：5]解析：本题主要考查空间几何体.上顶面圆心记为O ，下底面圆心记为O '，连接OC ，过点C 作CM AB ⊥，垂足为点M ，则12ABCSAB CM =⨯⨯，根据题意，AB 为定值2，所以ABCS 的大小随着CM 长短的变化而变化.当点M 与点O 重合时，22125CM OC ==+=，取得最大值，此时12552ABCS =⨯⨯=.当点M 与点B 重合时，CM 取最小值2，此时12222ABCS=⨯⨯=.综上所述，ABCS 的取值范围为[2,5].11.答案：②⑤或③④解析：本题考查几何体的三视图.由高度可知，侧视图只能为②或③.当侧视图为②时，则该三棱锥的直观图如图1，平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC ==，5BA BC =2AC =，此时俯视图为⑤；当侧视图为③时，则该三棱锥的直观图如图2，PA ⊥平面ABC ，1PA =，5AC AB ==2BC =，此时俯视图为④.12.答案：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ， 所以PD AM ⊥.又因为PB AM ⊥，PD PB P ⋂=，PB ，PD ⊂平面PBD ， 所以AM ⊥平面PBD .因为AM ⊂平面PAM ，所以平面PAM ⊥平面PBD .（2）由PD ⊥底面ABCD ，所以PD 即为四棱锥P ABCD -的高，DPB 是直角三角形. 由题可知底面ABCD 是矩形，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.设2AD BC a ==，取CD 的中点为E ，CP 的中点为F ，连接MF ，AF ， EF ，AE ，可得//MF PB ，//EF DP ，那么AM M F ⊥，AM F 为直角三角形，且12EF =，2144AE a =+，21AM a =+，222142AF EF AE a =++因为DPB 是直角三角形，所以根据勾股定理得224BP a =+，则2242a MF +=.由AM F 是直角三角形，可得222AM MF AF +=，解得22a =， 所以底面ABCD 的面积22S a ==，则四棱锥P ABCD -的体积11221333V S h =⋅⋅=⨯⨯-.13.答案：（1）1111,//,AB BC AB A B BC A B ⊥∴⊥，在1A AC 中，112AA AC AC ===，O 是AC 的中点，1AO AC ∴⊥，又平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，1A O ∴⊥平面ABC .BC ⊂平面1,ABC AO BC ∴⊥. 111,A B AO ⊂平面111111,A B O A B AO A =，BC ∴⊥平面11A B O ， 又BC ⊂平面1BCA ，∴平面1BCA ⊥平面11A B O .（2）如图，连接1B C ，设1B C 与1BC 交于点E ，连接1,OE AB ， 易得1//OE AB ，1AB ⊂平面11,ABB A OE ⊄平面11ABB A ，//OE ∴平面11ABB A ，∴满足条件的E 为1BC 的中点.11111 1122E A BCC A BC B A CC V V V ---==三棱锥三棱锥三棱锥21133212346=⨯⨯⨯⨯=， 故三棱锥1E A BC -的体积为36.14.答案：（1）AB ⊥平面BCD ，CF ，BD ⊂平面BCD ，AB CF ∴⊥，AB BD ⊥.2BC CD ==，F 为BD 中点，CF BD ∴⊥.又CF AB ⊥，AB BD B =，AB ，BD ⊂平面ABD ，CF ∴⊥平面ABD .（2）在三棱锥Q DCF -中，设D 到平面QFC 距离为d . Q DCF D QCF V V --=，1133DCFQCFQB Sd S ∴⋅⋅=⋅⋅，DCFQCFQB S d S ⋅∴=.1112π322sin 2223DCFDCBSS ==⨯⨯⨯⨯=，2π44222cos 233BD =+-⨯⨯⨯.AB BD ⊥，3AB =，Q ，F 分别为AB ，BD 的中点.22912212ADAB BD QF ++∴====.QCF 中，π2cos 13CF ==，235422CQ ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21QF =. 25211244cos 55212QCF +-∴∠==⨯⨯，21sin QCF ∴∠=. 152121122QCFS∴=⨯⨯=. 33372221d ∴==.15.答案：（1）如图，取BC 的中点为M ，连接EM .由已知易得//EM AB ，2AB BC ==，1CF =，112EM AB ==，11//AB A B ， 由11BF A B ⊥得EM BF ⊥，又易得EM CF ⊥，BF CF F ⋂=，所以EM ⊥平面BCF ， 故1111121132323F EBC E FBC V V BC CF EM --==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥.（2）连接1A E ，1B M ，由（1）知11//EM A B ， 所以ED 在平面11EMB A 内.在正方形11CC B B 中，由于F ，M 分别是1CC ，BC 的中点，所以1tan 2CF CBF BC ∠==，111tan 2BM BB M BB ∠==， 且这两个角都是锐角，所以1CBF BB M ∠=∠， 所以111190BHB BMB CBF BMB BB M ∠=∠+∠=∠+∠=︒， 所以1BF B M ⊥，又11BF A B ⊥，1111B M A B B ⋂=，所以BF ⊥平面11EMB A ， 又DE ⊂平面11EMB A ，所以BF DE ⊥.。
2021年高考数学试卷含解析(新高考II)
C. 5,6
【答案】B
【解析】∁ UB = 1,5,6 ,A ∩ ∁ UB = 1,6 , 选 B
D. 1,3
(
)
3. 抛物线 y2 ＝ 2pxp > 0 的焦点到直线 y ＝ x + 1 的距离为 2, 则 p =
A. 1
B. 2
C. 2 2
D. 4
【答案】B
(
)
4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果 . 在卫星导航系统中, 地球静止同步卫星的轨
B. ω(2n + 3) = ω(n) + 1 D. ω(2n - 1) = n
【答案】ACD 【解析】令 n = a0 ⋅ 20 + a1 ⋅ 2 +⋯+ak-1 ⋅ 2k-1 + ak ∙ 2k, 则 2n = 0 ∙ 20 + a0 ⋅ 21 + a1 ⋅ 22 +⋯+ak-1 ⋅ 2k + ak ∙ 2k+1,ω(2n) = 0 + a0 + a1 +⋯+ak = ω(n),A 正确 . 下证明 : 若 n 为偶数 n ∈ N * , 则 ω(n + 1) = ω(n) + 1. 证明 : 因为 n 为偶数, 所以 n = 0 ⋅ 20 + a1 ⋅ 2 +⋯+ak-1 ⋅ 2k-1 + ak ∙ 2k, 则 n + 1 = 1 ⋅ 20 + a1 ⋅ 2 +⋯+ak-1 ⋅ 2k-1 + ak ∙ 2k, 所以 ω(n) = 0 + a1 +⋯+ak,ω(n + 1) = 1 + a1 +⋯+ak = ωn + 1. 选项 B, 取 n = 2 可排除 . 或者 ω(2n + 3) = ω2n + 1 + 1 = ω2n + 1 + 1 = ωn + 1 + 1, 不能保 证与 ω(n) + 1 恒等 .B 错误 . 选项 C,ω(8n + 5) = ω(8n + 4 + 1) = ω(8n + 4) + 1 = ω(2n + 1) + 1 = ω(2n) + 2 = ω(n) + 2;ω(4n + 3) = ω(4n + 2) + 1 = ω(2n + 1) + 1 = ω(n) + 2.C 正确 . 选项 D, ∵ 2n - 1 = 20 + 21 + 22 +⋯+2n-1, ∴ ω(2n - 1) = n. 或者, 当 n ≥ 2 时,ω(2n+1 - 1) = ω22n - 1 + 1 = ω22n - 1 + 1 = ω(2n - 1) + 1. 又 ∵ ω(3) = 2,ω(1) = 1, ∴ ω(3) = ω(1) + 1. 即对 ∀ n ∈ N * 有 ω(2n+1 - 1) = ω(2n - 1) + 1, ∴ ω(2n - 1) 为首项为 1, 公差为 1 的等差数列 . ∴ ω(2n - 1) = n.D 正确 . 故选 ACD.
2020-2021学年广东省高三第二次高考模拟数学(文)试题及答案解析
绝密★启用前广东省高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知复数2(1)z i i =-(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则z z +=（A ）4i（B ）4i - （C ）4（D ）4-（2）已知集合2{|{|ln(2)}A x y B x y x x ====-，则A B =I（A ）(2,)+∞ （B ）[1,2) （C ）(0,2)（D ）[1,2]（3）已知向量(0,1),(a b c k ==-=r r r，若（2a b -r r ）与c r 互相垂直，则k的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3（4）已知命题:,cos sin p x R x x ∃∈>，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是（A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题 （C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60o，则该双曲线的离心率为（A（B ）43（C或2 （D ）4 （6）已知函数2,(1)()(1),(1)x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则2(log 9)f 的值为（A ）9 （B ）92 （C ）94（D ）98（7）已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且124111,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =（A ）2(1)4n + （B ）(3)4n n +（C ）(1)2n n + （D ）212n + （8）函数log ||()||a x x f x x =（01a <<）图象的大致形状是（9）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足条件30,230,.x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（A ）2-（B ）1- （C ）1（D ）3（10）圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入3个相同的铁球球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为 （A ）1 cm（B ）2cm （C ）3cm（D ）4cm（11）某组合体的三视图如图2示，则该组合体的表面积为(A)(622)12π++ (B) 8(1)π+ (C)4(21)π+(D)(122)π+（12）已知P 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，切点分别为A 、B ，若四边形PACB 的最小面积为2，则k 的值为 图2 （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为 ___________．(14)执行如图3所示的程序框图，则输出的k 值为 . (15)已知函数2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线l 与直线310x y +-=垂直，记数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，则2016S 的值为 .(16) 已知梯形ABCD 中，AD//BC ，90ABC ∠=o,AD=2，BC=1，P 是腰AB 上的动点，则||PC PD +u u u r u u u r的最小值为 .图3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.bkg0.0.ABCD （17）（本小题满分12分）已知如图4，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=o，且152AB AC ⋅=-u u u r u u u r.(Ⅰ)求△ABC 的面积；(Ⅱ)若5AB =，求AD 的长. 图4（18）（本小题满分12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产 量数据，得到年产量频率分布直方图如图5示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为 图5年产量低于450 kg 时，单位售价为12元/ kg ，当年产量不低于 450 kg 时，单位售价为10元/ kg. （Ⅰ）求图中a 、b 的值；（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率.（19）（本小题满分12分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=o，AB=PC=2，2.（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求点D 到平面APC 的距离.图6（20）（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>与抛物线22:1C x y =+有公共弦AB （A 在B左边），AB=2，2C 的顶点是1C 的一个焦点，过点B 且斜率为k (0)k ≠的直线l 与1C 、2C 分别交于点M 、N （均异于点A 、B ）．（Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）若点A 在以线段MN 为直径的圆外，求k 的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知函数ln(1)()2x f x x -=-（2x >）．(Ⅰ) 判断函数()f x 的单调性；(Ⅱ)若存在实数a ，使得()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，求a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．(22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲OP‘AB D CE图75如图7所示，⊙O 和⊙P 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ．(Ⅰ) 若BC=2，BD=4，求AB 的长； (Ⅱ) 若AC=3，求AE 的长．(23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知椭圆C 的普通方程为：22194x y +=． (Ⅰ) 设2y t =，求椭圆C 以t 为参数的参数方程；(Ⅱ) 设C 与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形AOBP 面积的最大值．（其中O 为坐标原点）(24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知()|2|||(,0)f x x x a a R a =+--∈>， (Ⅰ) 若()f x 的最小值是3-，求a 的值； (Ⅱ)求|()|2f x ≤的解集．数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（7）由142a a a =，得公差d=1，n a n =；故选C.（10）设球的半径为r ，依题意得3243(66)33r r r r ππ⨯=-⇒=. （11）该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为：211112222242422222πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯2484(612πππ=++++=++.(12)PACB S PA AC PA =⋅=四边形=，可知当||CP 最小时，即CP l ⊥ 2=得min ||CP =由点到直线的距离公式得：min ||CP ==0k >，所以2k =.二、填空题：解析：（15）依题意知函数()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线斜率'(1)231k f a a ==-=⇒=-，故1111()(1)1f n n n n n ==-++，AB CDE201611111122320162017S =-+-++-L 12016120172017=-=． （16）如图以PC 、PD 为邻边作平行四边形PCQD ，则PC PD PQ +=u u u r u u u r u u u r 2PE =u u u r，要||PQ uuu r 取最小值，只需||PE u u u r取最小值，因E 为CD 的中点，故当PE AB ⊥时，||PE u u u r取最小值，这时PE 为梯形的 中位线，即min 13||(||||)22PE BC AD =+=u u u r ,故min ||3PQ =u u u r.三、解答题：（17）解：(Ⅰ)∵152AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，∴115cos 22AB AC BAC AB AC ⋅⋅∠=-⋅=-,----2分即15AB AC ⋅=，----------------------------------------------------3分∴315311sin 1522ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠=⨯=.-------5分(Ⅱ)解法1：由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，---------------6分 ∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形，∴60ABE ∠=o,且3BE AC ==-----------8分设AD x =，则2AE x =，在△ABE 中，由余弦定理得：222(2)2cos 2591519x AB BE AB BE ABE =+-⋅∠=+-=,-----------------------10分解得192x =，即AD 的长为192.--------------------------------------12分【解法2：由5AB =得3AC =， 在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=,得7BC =，----------------------------------------------------------------------------------------------7分 由正弦定理得：sin sin BC ABBAC ACD=∠∠，得5sin 2sin 7AB BACACD BC⨯∠∠===----------------------------------------9分∵090ACD <∠<oo∴11cos 14ACD ∠==，--------------10分在△ADC 中，22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得AD =.------------------------------------------------------12分】【解法3：由5AB =得3AC =， 在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=,得7BC =，--------------------------------------------------------------------------------------7分在△ABC 中，2229492511cos 223714AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯,------------9分 在△ADC 中，由22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得AD =.-------------------------------------------------------12分】 （18）解：（Ⅰ）由100(0.00150.004)1a b +++=，得100()0.45a b +=，-------------------------------------------------2分由3001004000.45001006000.15455a b ⨯+⨯+⨯+⨯=，得300500 2.05a b +=，-----------------------------------------------4分解得0.0010a =，0.0035b =；----------------------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）结合直方图知，当年产量为300kg 时，其年销售额为3600元，当年产量为400kg 时，其年销售额为4800元，当年产量为500kg 时，其年销售额为5000元，当年产量为600kg 时，其年销售额为6000元，-------------------------8分 因为年产量为400kg 的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，-----------9分而年产量为500kg 的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，-----------10分故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4=0.75, -----------12分(19)解：(Ⅰ)取AB 得中点O ，连结PO 、CO ，----1分由2，AB=2知△PAB 为等腰直角三角形，∴PO ⊥AB ，PO=1，------------------------------------------------------------------2分又AB=BC=2，60ABC ∠=o 知△ABC 为等边三角形，∴3CO =分又由2PC =得222PO CO PC +=, ∴PO ⊥CO ，-----------4分 ∴PO ⊥平面ABC ，-------------------------------------------5分又∵PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD -----------------------6分 （Ⅱ）设点D 到平面APC 的距离为h ，由(Ⅰ)知△ADC 是边长为2的等边三角形，△PAC 为等腰三角形，由D PAC P ADC V V --=得1133PAC ADC S h S PO ∆∆⋅=⋅---------------------------------------------8分 ∵23234ADC S ∆==，22117()22PAC S PA PC PA ∆=-=,---------------------10分 ∴ADC PAC S PO h S ∆∆⋅=3221772==，即点D 到平面APC 的距离为221.-------12分 （20）解：（Ⅰ）∵抛物线21y x =-的顶点为(0,1)-，即椭圆的下焦点为(0,1)-，∴1c =，----------------------------------------------------------------------------------------1分由AB=2知1B x =，代入抛物线得(1,0)B ，得1b =，----------------------2分∴222a b c =+=2，1C 的方程为2212y x +=；---------------------------4分 （Ⅱ）依题意知直线l 的方程为(1)y k x =-，-------------------------------5分 联立2212y x +=消去y 得：2222(2)220k x k x k +-+-=， 则2222M B k x x k -⋅=+，得2222M k x k -=+，242M k y k -=+，-------------------------7分由{2(1)1y k x x y =-=+，得210x kx k -+-=， 由224(1)(2)0k k k ∆=--=->，得2k ≠，则1N B x x k ⋅=-，得1N x k =-，(2)N y k k =-，----------------------------9分∵点A 在以MN 为直径的圆外，即,AM AN <>u u u u r u u u r [0,)2π∈，----------------------10分∴0AM AN ⋅>u u u u r u u u r ，又(1,0)A -，∴(1,)(1,)M M N N AM AN x y x y ⋅=+⋅+u u u u r u u u r 22224(2)222k k k k k k --=⋅+++222(4)02k k k -=>+， 解得4k <，综上知(,0)(0,2)(2,4)k ∈-∞U U .-----------------------------12分（21）解：(Ⅰ) 解法1：22ln(1)1'()(2)x x x f x x ----=-2(2)(1)ln(1)(1)(2)x x x x x ----=--， -----------2分记()(2)(1)ln(1)g x x x x =----（2x >），'()ln(1)0g x x =--<，----------3分即()g x 在(2,)+∞上单调递减，∴()(2)0g x g <=从而'()0f x <，∴函数()f x 在(2,)+∞上的单调递减.----------------------------5分【解法2：依题意得22ln(1)1'()(2)x x x f x x ----=-， --------------------------------------------2分 记2()ln(1)1x g x x x -=---（2x ≥） 则211'()(1)1g x x x =---22(1)xx -=-，---------------------------------------------------------3分∵2x > ∴'()0g x <，即函数()g x 在(2,)+∞上单调递减，∴()(2)0g x g <=，从而得'()0f x <，∴函数()f x 在(2,)+∞上的单调递减.--------------------------------------------------5分】(Ⅱ) 解法1：()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，等价于ln(1)(2)x a x -<-对(2,)x ∀∈+∞均成立，-------------------------------------6分由ln(1)y x =-得1'1y x =-，由此可得函数ln(1)y x =-的图象在点（2,0）处的切线为y=x-2，-----------------------------------------------------------------------------------------7分（1）当1a <时，在(2,)+∞上，直线(2)y a x =-与函数ln(1)y x =-的图象相交，不合题意；---9分（2）当1a ≥时，在(2,)+∞上，直线(2)y a x =-在函数ln(1)y x =-的图象的上方，符合题意---------------11分综上得：要使()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，[1,)a ∈+∞.------------------------------12分【解法2： ()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，等价于ln(1)(2)x a x -<-对(2,)x ∀∈+∞均成立---------------------------------------5分记()ln(1)(2)h x x a x =---，则1'()1h x a x =--11a ax x +-=-1()1a a x x a-+=---------6分 (2)0h =，令'()0h x =得1a x a +=， 1201a a a +>⇔<<， （1）当0a ≤时，对(2,)x ∀∈+∞，'()0h x >，即函数()h x 在(2,)+∞单调递增，故()(2)0h x h >=，即ln(1)(2)0x a x --->，不符合题意；---------------------------8分（2）当01a <<时，对1(2,)a x a +∀∈，'()0h x >， 此时函数()h x 在1(2,)a a+上为增函数，即ln(1)(2)0x a x --->，不符合题意；-----10分（3）当1a ≥时，对(2,)x ∀∈+∞，有'()0h x <，函数()h x 在(2,)+∞单调递减，因此ln(1)(2)(2)0x a x h ---<=，符合题意；综上得：要使()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，[1,)a ∈+∞．------------------------12分】选做题：（22）解：（Ⅰ）由弦切角定理得BAC BDA ∠=∠，---------1分BAD BCA ∠=∠，----------------------------------------------------2分所以BAC ∆∽BDA ∆，------------------------------------------------------------------3分 得AB BC BD AB =，----------------------------------------------------------------------------4分28AB BC BD =⋅=，AB =---------------------------------5分 （Ⅱ）连接EC ，∵AEC AEB BEC ∠=∠+∠，-----------------------------------------6分ACE ABE BAD ADB ∠=∠=∠+∠-------------------------------------------------7分∵AEB BAD ∠=∠，BAC BDA ∠=∠=BEC ∠,----------------------8分 ∴AEC ACE ∠=∠------------------------------------------------9分 ∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)将2y t =代入椭圆的普通方程得22249(1)9(1)4t x t =-=-，------------1分于是得x =±，-----------------------------------------------------------------------------2分∴椭圆C的参数方程为2.x y t ⎧⎪=⎨=⎪⎩（t为参数）和2.x y t ⎧⎪=-⎨=⎪⎩（t 为参数）---4分(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分 设点P 的坐标为(3cos ,2sin )θθ，(0)2πθ<<---------------------------------------------6分则BPO OPA AOBP S S S ∆∆=+四边形1123cos 32sin 22θθ=⨯⨯+⨯⨯---------------------------8分3sin 3cos )4πθθθ=+=+，(0)2πθ<<----------------9分 当sin()14πθ+=，即4πθ=时，四边形AOBP 面积取得最大值，其值为分（24）解：（Ⅰ）解法1：∵0a >， ∴(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，--------------2分当2x a -≤<时，2()2a f x a --≤<+，∴当x R ∈时，2()2a f x a --≤≤+，---4分∴min ()(2)3f x a =-+=-，∴a=1；--------------------------------------------------5分【解法2：∵||2|||||(2)()|2x x a x x a a +--≤+--=+，----------------------2分∴|()|2f x a ≤+，min ()(2)f x a =-+，---------------------------------------------3分又已知min ()3f x =-，∴a=1；----------------------------------------------------------5分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，（0a >）当2x <-时，()(2)2f x a =-+<-，|()|2f x >，不等式|()|2f x ≤解集为空集----6分当x a ≥时，()22f x a =+>，不等式|()|2f x ≤解集也为空集；----------------7分当2x a -≤<时，|()|2f x ≤，即2222x a -≤+-≤⇒222a a x -<< ∵222a ->-，2a a <，∴当2x a -≤<时，|()|2f x ≤的解为222a a x -<<-----9分 综上得所求不等式的解集为{|2}22a a x x -<<----------------------------10分。
2021年全国新高考2卷数学试题(原卷版)
绝密★启用前 试卷类型： 2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考Ⅱ卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在复平面内，复数213i i--对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2. 若全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3,6A =，{}2,3,4,B =则U A C B =（ ）{}(A)3 {}(B)1,6 {}(C)5,6 {}(D)1,33. 若抛物线22(0)y px p =>焦点到直线1y x =+，则p =（ ）(A)1 (B)2 (D)44. 卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为36000km （轨道高度指卫星到地球表面的最短距离），把地球看成一个球心为O 半径为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步卫星的点的纬度的最大值记为α，该卫星信号覆盖的地球表面面积22(1cos ),S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比为（ ）(A)26% (B)34% (C)42% (D)50%5. 正四棱台的上、下底面边长为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为（ ）(A)20+ 56(D)3 6. 某物理量的测量结果服从正态分布2(10,)N σ则下列结论中不正确的是（ ）()A σ越小，该物理量一次测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大。
()B σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5。
()C σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等。
()D σ越小，该物理量一次测量结果落在()9.9,10.2内的概率与落在()10,10.3内的概率相等。
7. 若581log 2,log 3,,2a b c ===则（ ） ()A c b a << ()B b a c << ()C a c b << ()D a b c <<8. 设函数()f x 的定义域为R ，且()2f x +是偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）1().02A f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()().10B f -= ()().20C f = ()().40D f =二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三下学期模拟(二)测试数学文试题(详解) 含答案
2021年高三下学期模拟（二）测试数学文试题（详解） 含答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则集合A ．B ．C ．D ． 2. 为虚数单位，则复数的虚部为A ．B ．C ．D ．3. 为了了解某学校xx 名高中男生的身体发育 情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况. 根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg 的人数为 A ．240 B ．160 C ．80 D ．604. 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是 A ． B ． C ． D ．5.A. B. C. D.6． 若对任意正数，均有，则实数的取值范围是 A. B. C. D.7．曲线在点处的切线方程是 A. B.C. D.8．已知命题：“对任意， 都有”；命题：“空间两条直线为异面直线的充要条件是它们不同在任何一个平面内”．则A. 命题“”为真命题B. 命题“”为假命题kg ）第3题图C. 命题“”为真命题D. 命题“”为真命题9. 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为的圆（包括圆心），则该零件的体积是A ．B ．C ．D ．10. 线段是圆的一条直径，离心率为的双曲线以为焦点．若是圆与双曲线的一个公共点，则 A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题：第11、12、13题为必做题．11. 按照右图的工序流程，从零件到成品最少 要经过______道加工和检验程序，导致废 品的产生有_____种不同的情形．12. 已知递增的等比数列中, 则 .13. 无限循环小数可以化为有理数，如，请你归纳出 （表示成最简分数．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．14. (坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线（常数）与曲线相切，则 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，是半圆的直径，弦和弦相交于点，且，则 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在中，角为锐角,记角所对的边分别为设向量 且与的夹角为 （1）求的值及角的大小； （2）若，求的面积．第11题图PDC 第15题图第9题图1 cm1 cm2 cm2 cm17．（本小题满分12分）设函数，其中是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “且”发生的概率. (1) 若随机数；(2) 已知随机函数产生的随机数的范围为, 是算法语句和的执行结果．(注: 符号“”表示“乘号”)18．（本小题满分14分）如图，四棱柱的底面是平行四边形，分别在棱上，且． （1）求证：；（2）若平面，四边形是边长为的正方形，且，，求线段的长, 并证明：19．（本小题满分14分）已知二次函数的最小值为且关于的不等式的解集为 ,（1）求函数的解析式； （2）求函数的零点个数.A 1BCDC 1B 1D 1FE20．（本小题满分14分）如图，是抛物线上的两动点（异于原点），且的角平分线垂直于轴，直线与轴，轴分别相交于.(1) 求实数的值，使得；(2）若中心在原点，焦点在轴上的椭圆经过. 求椭圆焦距的最大值及此时的方程.21．（本小题满分14分）定义数列： ，且对任意正整数，有 .（1）求数列的通项公式与前项和；（2）问是否存在正整数，使得？若存在，则求出所有的正整数对 ；若不存在，则加以证明.数学（文科）参考答案及评分标准说明：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．第20题图2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。
2021届全国新高考仿真模拟试题(二)数学(文)(解析版)
∴CD⊥平面
ABD，∴CD
是三棱锥
C
ABD
的高，∴VC
ABD＝13×12×2×2×sin
60°×2＝2 3， 3
故选 A.
8．答案：C
解析：由射线测厚技术原理公式得I20＝I0e－7.6×0.8μ，∴12＝e－6.08μ，－ln 2＝－6.08μ，μ≈0.114，
故选 C.
9．答案：C
解析：从题图(1)可以看出，该品牌汽车在 1 月份所对应的条形图最高，即销售量最多，
商品销售 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 y10
额 y/万元
且已知 错误!i＝380.0
(1)求第 10 年的年收入 x10. (2)若该城市居民年收入 x 与该种商品的销售额 y 之间满足线性回归方程y^＝363x＋^a，
254 (ⅰ)求该种商品第 10 年的销售额 y10； (ⅱ)若该城市居民年收入为 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是多少？(精确到 0.01) 附：①在线性回归方程y^＝b^x＋^a中，b^＝错误!，^a＝－y －b^－x ；
(1)求轨迹Γ的方程； (2)过点 F 作互相垂直的直线 AB 与 CD，其中直线 AB 与轨迹Γ交于点 A，B，直线 CD 与轨迹Γ交于点 C，D，设点 M，N 分别是 AB 和 CD 的中点，求△FMN 的面积的最小值．
-5-
21．(12 分)[2020·安徽省示范高中名校高三联考]函数 f(x)＝aex＋x2－ln x(e 为自然对数的底数，a 为常 数)，曲线 f(x)在 x＝1 处的切线方程为(e＋1)x－y＝0.
于 8 月份，所以该公司 7 月份汽车的总销售量比 8 月份少，所以选项 C 是错误的；从题图(1)
2021年5月28日河南省●天一大联考2021届高三毕业班高考考前模拟(河南版)数学(文)试题及答案
绝密★启用前河南省●天一大联考2021届高三毕业班下学期高考考前模拟卷(河南版)数学(文)试题考试时间：2021年5月28日考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|2x 2－13x>0},B ＝{y|y>2},则(∁R A)∩B ＝ A.(2,132) B.(0,2) C.[0,2] D.(2,132]2.在复平面内,复数z 所对应的向量OZ 如图所示,则35z i =-A.1213434i -+B.1213434i --C.9193434i -+D.9193434i -- 3.“王莽方斗”铸造于王莽始建国元年(公元9年),有短柄,上下边缘刻有篆书铭文,外壁漆画黍、麦、豆、禾和麻纹,如图1所示。
因其少见,故为研究西汉量器的重要物证图2是“王莽方斗”模型的三视图,则该模型的容积为A.213B.162C.178D.1934.若双曲线C 1与双曲线C 2：22146x y -=有共同的渐近线,且C 过点(2,3),则双曲线C 1的方程为 A.22123y x -= B.22123x y -= C.22123x y -= D.22132y x -= 5.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3＝5,42S S ＝4,则a 10＝ A.9 B.11 C.19 D.21 6.2020年2月,受新冠肺炎的影响,医卫市场上出现了“一罩难求”的现象。
在政府部门的牵头下,甲工厂率先转业生产口置。
2021年高考数学(文)3月模拟评估卷(一)(全国3卷)试题
C．若 m / /n, m , n ,则 / /
D．若 m n, m / /, n / / ,则
8．三个数
cos
8
, cos 5
, cos
3 5
的大小关系（
）
A．
cos
8
cos
5
cos
3 5
B． cos 3 5
cos 5
cos
8
C． cos 3 5
cos
8
入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下扇形统计图：
则下面结论中不．正．确．的是（ ） A．新农村建设后,种植收入略有增加 B．新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后,养殖收入不变
D．新农村建设后,种植收入在经济收入中所占比重大幅下降
6．《易经》是中国文化中的精髓,下图是易经八卦图(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦),每一卦由三根线组成
2021 年高考数学（文）3 月模拟评估卷（一）（全国 3 卷）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
满分 150 分.考试时间 120 分钟
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
(一)、必考题：共 60 分
17.(12 分) 设{an}是等比数列,其前 n 项的和为 Sn ,且 a2 2 , S2 3a1 0 .
（1）求 {an } 的通项公式；
（2）若 Sn an 48 ,求 n 的最小值.
18.(12 分) 某花圃为提高某品种花苗质量,开展技术创新活动,在 A,B 实验地分别用甲、乙方法培育该品种花 苗．为观测其生长情况,分别在 A,B 试验地随机抽选各 50 株,对每株进行综合评分,将每株所得的综合评分制 成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为 80 及以上的花苗为优质花苗．
2021年高三高考模拟统一考试(二)数学(文)试题 含答案
2021年高三高考模拟统一考试（二）数学（文）试题含答案数学(文史类)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号，填写在答题卡内的相关空格上．3.第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4.第Ⅱ卷每题的答案填写在答题卡相应题号下的空格内．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，，若，则的值为（）A．0 B．1 C． D．2．复数为虚数单位）的复数在复平面上对应的点的坐标是 ( ）A． B． C． D．3．已知命题p、q，“为真”是“p为假”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4. 函数是（）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数正(主)视图侧(左)视图xyO6π-3π15．如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示， 则这个四棱锥的体积为（ ）A ．1 B.2 C ．3 C ．46．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ） A.B.C ．D ．7．如果执行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ） A ． B ． C. D ．08．已知⊙M 的圆心在抛物线上，且⊙M 与y 轴及抛物线的准线都相切， 则⊙M 的方程是（ ） A ． B ． C.D ．9．函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（ ） A ．向右平移个单位 B ．向左平移个单位 C ．向右平移个单位 D ．向左平移个单位 10.已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11．已知函数，若， 且，则=（ ）A. 2B. 4C.8D. 随值变化12．设是双曲线的两个焦点，是上一点，，的最小内角为，则曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．2D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上） 13. 为了解某市甲、乙、丙三所学校高三数学模拟考试成绩，采取分层抽样方法，从甲校的1260份试卷、乙校的720份试卷、丙校的900份试卷中进行抽样调研．如果从丙校的900份试卷中抽取了45份试卷，那么这次调研共抽查的试卷份数为_________ . 14. 设变量x, y 满足约束条件，则目标函数的最小值为 ______ .身高 (cm)频率/组距1951901851801751701651600.060.040.0160.008O 155身高频率/组距15.已知直线与圆交于、两点，是原点，C 是圆上一点，若 ，则的值为_______ .16.在△ABC 中，角所对的边分别为，，，则△ABC 的面积为.三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）数列的通项公式为，数列是等差数列且 ，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，证明：.18.(本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 的中点，点V 是圆O 所在平面外一点，是AC 的中点，已知，. （Ⅰ）求证：AC ⊥平面VOD ； （Ⅱ）求三棱锥的体积. 19．(本小题满分12分)从某学校的名男生中随机抽取名测量身高， 被测学生身高全部介于cm 和cm 之间，将测量 结果按如下方式分成八组：第一组[,)，第二组 [,)，…，第八组[,]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与 第八组人数相同，第六组的人数为人．（Ⅰ）求第七组的频率并估计该校800名男生中身 高在cm 以上（含cm ）的人数；（Ⅱ）从第六组和第八组的男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件{}，求． 20．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）试判断函数的单调性，并说明理由； （Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围． 21．（本题满分12分）设椭圆C 1：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为为，恰是抛物线C 2：的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且｜MF 2｜=．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
湖南省衡阳市2021届高三数学下学期第二次联考(二模)试题 文
湖南省衡阳市2021届高三数学下学期第二次联考（二模）试题文注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝A.{－1，0，1，2}B.{－1，0，1}C.{0，1，2}D.{－1，1}2.已知复数z满足(i－1)z＝－i(i为虚数单位)，则|z|＝A.2B.－22C.22D.13.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信经济融合、文化包容的命运共同体，自202X 年以来，“一带一路”建设成果显著。
右图是202X－2021年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是A.这五年，出口增速前四年逐年下降B.这五年，202X年出口额最少C.这五年，2021年进口增速最快D.这五年，出口额总和比进口额总和大4.下列命题中的真命题是A. x∈N，x2≥1B.命题“∃a ，b ∈R ，2b aa b+>”的否定 C.“直线l 1与直线l 2垂直”的充要条件是“它们的斜率之积一定等于－1”D.“m>－1”是“方程22121x y m m -=+-表示双曲线”的充分不必要条件 5.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y(单位：kw ·h)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机选取4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：若由表中数据求得线性回归方程为：260y x =-+，则a 的值为 A.64 B.62 C.60 D.586.函数(x)＝2|1|x x e -的大致图象是7.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若2AF AE AE ⋅=，则|AF |＝A.3B.5C.32 D.528.设函数f(x)＝2,(1)1,(1)x a x x x -⎧≤⎪⎨+>⎪⎩，若f(1)是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为A.[0，2]B.(1，2]C.[1，2]D.[1，＋∞)9.设a ＝ln 12，b ＝125--，c ＝13log 2，则A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a10.2021年4月，国内新冠疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光，某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：两个旅游团计划游览该景点，若分别购票，则共需支付门票费1290元，若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差的绝对值为A.20B.30C.35D.4011.已知函数f(x)＝sin2x，将y＝f(x)的图象向左平移6π得到y＝g(x)的图象，则下列关于函数h(x)＝f(x)＋g(x)的结论中错误．．的是A.函数h(x)的最小正周期为πB.函数h(x)的图象关于直线x＝23π对称C.函数h(x)的单调增区间为[kπ－6π，kπ＋3π](k∈Z) D.函数h(x)不是奇函数12.已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线方程为x－2y＝0，A，B是C上关于原点对称的两点，M是C上异于A，B的动点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，若1≤k1≤2，则k2的取值范围为A[18，14] B.[14，12] C.[－14，－18] D.[－12，－14]第II卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2021年全国高考数学模拟试卷(文科)(四)(全国ⅲ卷)含详解
2021年全国高考数学模拟试卷（文科）（四）（全国Ⅲ卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{x ∈Z |0＜x ＜10}，则A ∩B 的子集个数为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．92．（5分）sin （﹣260°）cos35°﹣sin10°sin145°＝（ ） A ．√22B ．−√22C ．12D ．−√323．（5分）已知复数z =2+ai1+i（a ∈R ）在复平面内对应的点在第四象限，则a 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞）B ．（﹣∞，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣2，2）4．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 2+x ，则不等式f （lnx ）＜f （﹣1）的解集为（ ） A ．（0，e ） B ．（﹣∞，1e）C ．（0，1e）D ．（1e，+∞）5．（5分）已知椭圆x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝4，椭圆上一点M 到F 1的距离为2，P 为线段MF 1的中点，若点P 到坐标原点O 的距离为2，则该椭圆的离心率为（ ） A ．23B ．25C ．13D ．126．（5分）2020年是国家启动“三支一扶”计划的第十五年，某地接收“三支一扶”大学生5人，其中男生3人，现从中挑选3人派往该地某村开展驻村帮扶工作，其中既有女生又有男生的概率为（ ） A ．35B ．310C ．910D ．387．（5分）如图所示，四边形A 1B 1C 1D 1，BCC 1B 1，DCC 1D 1均为正方形，且它们所在的平面两两相互垂直，则A 1C 1与B 1C 所成的角的大小是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．（5分）已知正项等差数列{a n }的公差为d ，则“d ＞0”是“对任意的正整数n ，lg a n+1a n＞0”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．（5分）若函数f （x ）＝tan （ωx +π6）（ω＞0）的图象相邻两支截直线y ＝1所得线段长为π2，则下列结论错误的是（ ）A ．函数f （x ）在区间（−π6，π6）上单调递增B ．函数f （x ）的最小正周期为π2C ．函数f （x ）的图象关于点（π4，0）对称D ．函数f （x ）的图象与直线x =π6不相交10．（5分）中国古建筑以木材、砖瓦为主要建筑材料，以木构架为主要的结构方式，由立柱、横梁、顺檩等主要构件建造而成，各个构件之间的结点以榫卯相吻合，构成富有弹性的框架．榫卯是在两个木构件．上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头）；凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（）A ．12B ．18C ．24D ．3611．（5分）已知函数f （x ）的定义域为R ，当x ∈[2，4]时，f （x ）={−x 2+4x ，2≤x ≤3x 2+2x ，3＜x ≤4，g（x ）＝ax +1，若对∀x 1∈[2，4]，∃x 2∈[﹣2，1]，使得g （x 2）≥f （x 1），则正实数a 的取值范围为（ ） A ．（0，2]B ．（0，72]C ．[2，+∞）D ．[72，+∞）12．（5分）已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点A ，B ，与圆x 2+y 2＝a 2+b 2在第一象限交于点P ，且满足|F 1A |：|AB |：|BP |＝3：2：1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．4B ．√19C ．√20D ．√21二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2021届全国二卷文科数学全真模拟卷(一)含答案解析
2021届全国二卷文科数学全真模拟卷(一)含答案解析卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）1. 已知集合A ={A |−1<A <1}，A ={A |A 2−2A ≤0}，则A ∩A =( )A.[0,1)B.[−1,2]C.[−2,1)D.(−1,0]2. 复数A 满足(1+A )A =2A ，则复数A 在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 在矩形AAAA 中，|AA →|=4，|AA →|=2，则|AA →+AA →+AA →|=( ) A.12B.6C.4√5D.2√54. 国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在20∼30岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口． 如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为“成年型”人口；②从2010年至2020年为“老龄型”人口；③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其中正确的是（ ）A.②③B.①③C.②D.①②5. 已知定义域为A 的偶函数A (A )在(0, +∞)上单调递增，且∃A 0∈A ，A (A 0)<0，则下列函数中符合上述条件的是（ ）A.A (A )＝A 2+|A |B.A (A )＝2A −2−AC.A (A )＝log 2|A |D.A (A )=A −436. 平面A ，A 和直线A ，给出条件：①A ⊂A ；②A ⊥A ；③A // A ；④A // A ；⑤A ⊥A ．为使A // A ，应选择下面四个选项中的条件（ ）A.①⑤B.①④C.②⑤D.③⑤7. 函数A (A )=sin 2A +√3cos 2A 的最小正周期为（ ）A.A 4B.A 2C.AD.2A8. 已知椭圆A 的离心率为A ，两焦点分别为A 1，A 2，抛物线A 以A 1为顶点，A 2为焦点，点A 为这两条曲线的一个交点，若A |AA 2→|＝|AA 1→|，则A 的值为（ ）A.√22B.12C.√33D.不能确定9. 曲线A (A )=A A +A 在(1,A (1))的切线方程为( )A.(1+A )A −A =0B.AA −A +1=0C.(1+A )A +A −2(1+A )=0D.A −(1+A )A =010. 设△AAA 的内角A，A，A ，满足2sin 2A sin 2A +sin A sin A =12sin 2A sin 2A ，则cos A =( )A.−√32B.−12C.√32D. 1211. 在平面直角坐标AAA 中，已知圆A 的圆心在直线A =−2A 上，且圆A 与直线A +A −1=0相切于点A (2，−1).(1)求圆A 的方程；(2)过坐标原点A 的直线A 被圆A 截得的弦长为√6，求直线A 的方程.12. 已知函数A (A )={A −A ,A <−1(1−2A )A +3A ,A ≥−1，对任意的A 1，A 2∈A (A 1≠A 2)，总有A (A 1)−A (A 2)A 1−A 2>0成立，则实数A 的取值范围是（ ） A.(0,14] B.(0,12) C.[14,12) D.(12,1)卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）13. 已知实数A，A满足约束条件{A−A≤0,A+A−1≤0,A+1≥0,则A=3A+A的最大值为________．14. 如果两组数A1，A2，…A A和A1，A2，…A A的平均数分别是A和A，那么一组数A1+3A1，A2+3A2，…，A A+3A A的平均数是________．15. 在△AAA中，若A=2√3，A=30∘，则A+Asin A+sin A的值为________．16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，他的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.三、解答题（本题共计 7 小题，共计80分，）17.(12分) 已知公比大于1的等比数列{A A}的前A项和为A A，A1=2，且A6, A4，−A2成等差数列．(1)求A A；(2)设A A=2A+1A A，求数列{A A}的前A项和A A．18. （12分）如图，四棱锥A−AAAA中，底面四边形AAAA是正方形，AA=AA=1，AA⊥平面AAAA，A为棱AA上一点，AA // 平面AAA，过A作AA的垂线，垂足为A．(A)求证：AA⊥平面AAA；(AA)求三棱锥A−AAA的体积．19.(12分) 新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来，疫情防控牵挂着所有人的心，某市积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对此次战“疫”进行了持续、深入的宣传，帮助全体市民深入了解新冠病毒．增强战胜疫情的信心．为了检验大家对新冠病毒及防控知识的了解程度．该市推出了相关知识问卷，随机抽取了年龄在15∼75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间[15,35)和[35,75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19:21.其中“青少年人”中有40人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是2:1.(1)求图中A,A的值；(2)现采用分层抽样在[25,35)和[45,55)中随机抽取8名市民，从8人中任选2人，求2人中至少有1个是“中老年人”的概率是多少(3)根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据此统计结果判断：能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加全面了解防控的相关知识？附：参考公式：A 2=A (AA −AA )2(A +A )(A +A )(A +A )(A +A ),其中A =A +A +A +A ,20.(12分) 已知椭圆A 的中心在坐标原点，离心率等于12，该椭圆的一个长轴端点恰好是抛物线A 2＝16A 的焦点．（1）求椭圆A 的方程；（2）已知直线A ＝2与椭圆A 的两个交点记为A 、A ，其中点A 在第一象限，点A 、A 是椭圆上位于直线AA 两侧的动点．当A 、A 运动时，满足∠AAA ＝∠AAA ，试问直线AA 的斜率是否为定值若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21.(12分) 设定义在A 上的函数A (A )＝A 0A 4+A 1A 3+A 2A 2+A 3A +A 4，(A 0, A 1, A 2, A 3, A 4∈A )，当A ＝−1时，A (A )取极大值23，且函数A ＝A (A )的图象关于原点对称．（1）求A ＝A (A )的表达式；（2）试在函数A ＝A (A )的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在[−√2, √2]上；（3）设A A =2A −12A ，A =√2(1−3A )3A (A , A ∈A +)，求证：|A (A A )−A (A A )|<43．22.(10分) 在直角坐标系AAA 中，以原点A 为极点，A 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，A 的直角坐标分别为(2,2√3)，(2,0)，若直线A 经过点A ，A ，圆A 以点A 为圆心且经过极点A ．(1)求直线A 和圆A 的极坐标方程；(2)若点A 为圆A 上的一动点，求△AAA 面积的最大值．23.(10分) 已知函数A (A )=|A +A |+|A −2|．（1）当A =0时，解不等式A (A )≤3；（2）若关于A 的不等式A (A )≥|A −3|在A 上恒成立，求实数A 的取值范围．文科数学（一）参考答案与试题解析一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【解答】解：∵ A ={A |−1<A <1},A ={A |A 2−2A ≤0}={A |0≤A ≤2},∴ A ∩A =[0,1).故选A .2.【解答】解：由题意得A =2A 1+A =2A (1−A )(1+A )(1−A )=1+A ，所以复数A 在复平面内对应的点在第一象限.故选A .3.【解答】解：由已知矩形AAAA 中，|AA→|=4，|AA →|=2，则|AA →+AA →+AA →|=|AA →+AA →|=2|AA →|=2√AA 2+AA 2=2√20=4√5； 故选A ．4.【解答】：①建国以来直至2000年为“成年型”人口，错误；②从2010年至2020年为“老龄型”人口，正确，③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口，正确，5.【解答】根据题意，依次分析选项：对于A ，A (A )＝A 2+|A |，有A (−A )＝(−A )2+|−A |＝A 2+|A |＝A (A )，函数为偶函数，当A ≥0时，A (A )＝A 2+A ，此时A (A )≥0恒成立，不符合题意；对于A ，A (A )＝2A −2−A ，A (−A )＝2−A −2A ＝−(2A −2−A )＝−A (A )，函数为奇函数，不符合题意； 对于A ，A (A )＝log 2|A |，有A (−A )＝log 2|−A |＝log 2|A |＝A (A )，函数为偶函数，当A >0时，A (A )＝log 2A ，当0<A <1时，A (A )<0，符合题意；对于A ，A (A )=A −43=3，为幂函数，且是偶函数，在(0, +∞)上，A (A )>0恒成立，不符合题意； 6.【解答】解：∵ A ⊂A ，A // A ，∴ A // A ．故①④⇒A // A ．故选A ．7.【解答】解：∵ A (A )=sin 2A +√3cos 2A =2sin (2A +A 3)，∴ 最小正周期A =2A 2=A ．故选A ．8.【解答】作AA 垂直椭圆准线A 于A ，则由椭圆第二定义：|AA 1|:|AA |＝A又AA1→AA 2→=A ，故|AA |＝|AA 2|，由抛物线定义知A 为抛物线准线故A 1到A 的距离等于A 1到A 2的距离，即(−A )−(−A 2A )＝A −(−A )，整理得：A =√3A ，A =A A =√33，9.【解答】解：由题意得A′=A A +1，A =A ′(1)=1+A∵ A (1)=1+A∴ 所求的切线方程为A −(1+A )=(1+A )(A −1)，即(1+A )A −A =0，故选A ．10.【解答】解：因为cos A =−cos (A +A )=−(cos A cos A −sin A sin A )，所以，2sin 2A sin 2A +sin A sin A=2sin A cos A ×sin A cos A ，因为A，A 为三角形内角，所以sin A sin A ≠0,所以2sin A sin A +1=2cos A cos A ，2(cos A cos A −sin A sin A )=1，所以：cos (A +A )=12，cos A =−12.故选A .11.【解答】解：(1)过点(2,−1)且与直线A +A −1=0垂直的直线方程为A −A −3=0，由{A =−2A，A −A −3=0,解得{A =1，A =−2.所以圆心A 的坐标为(1，−2)，所以圆心A 的半径为A =√(2−1)2+[(−1+2)2]=√2，所以圆A 的方程为(A −1)2+(A +2)2=2.(2)因为直线A 被圆A 截得的弦长为√6，所以圆心A 到直线A 的距离为 A =2−(√62)2=√22，若直线A 的斜率不存在，则A 为A =0，此时，圆心A 到A 的距离 为1，则弦长为2，不符合题意. 若直线A 的斜率存在，设直线A 的方程为A =AA，即AA −A =0，由A ==√22，整理得A 2+8A +7=0，解得A =−1或−7，所以直线A 的方程为A +A =0或7A +A =0.12.【解答】∵ 对任意的A 1，A 2∈A (A 1≠A 2)，总有A (A 1)−A (A 2)A 1−A 2>0成立，∴ 函数A (A )={A −A ,A <−1(1−2A )A +3A ,A ≥−1在定义域A 上是增函数， ∴ {0<A <11−2A >0A 1≤−1+2A +3A， 解得，0<A ≤14，二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【解答】解：可行域如图所示，作出直线A =−3A +A ，可知A 要取最大值，即直线经过点A ．解方程组{A +A −1=0,A +1=0,得A (2, −1)， 所以A min =3×2+(−1)=5．故答案为：5.14.【解答】数据A 1，A 2，…A A 和A 1，A 2，…A A 的平均数分别是A 和A ，则A 1+A 2+...+A A ＝AA ，A 1+A 2+...+A A ＝AA ；∴ (A 1+3A 1)+(A 2+3A 2)+...+(A A +3A A )＝(A1+A2+...+A A)+3(A1+A2+...+A A)＝AA+3AA＝A(A+3A)，∴ 数据A1+3A1，A2+3A2，…，A A+3A A的平均数是A+3A．15.【解答】解：由正弦定理得：Asin A =Asin A=Asin A=2A，∴ A=2A sin A，A=2A sin A，∴ A+Asin A+sin A =2A sin A+2A sin Asin A+sin A=2A=Asin A=2√3sin30∘=4√3故答案为：4√3；16.【解答】解：从图中可得该正多面体有9×2+8=26个面；由题意可设该正多面体棱长为A，因为其每个顶点都在正方体的表面上，所以有√2+A=1，解得A=√2−1；故答案为：26，√2−1.三、解答题（本题共计 7 小题，共计80分）17.【解答】解：(1)已知A1=2, 2A4=A6−A2, 2×2(1−A4)1−A=2×A5−2×A⇒A=2，则A A=2A．(2)A A=2A+12A，A A=32+522+723+⋯+2A−12A−1+2A+12A，2A A=3+52+722+⋯+2A−12A−2+2A+12A+1，两式相减，A A=3+22+222+⋯+22A−2+22A−1−2A+12A=3+1(1−12A −1)1−12−2A +12A=5−2A +52A. 18.【解答】(1)证明：连结AA ，交AA 于A ，连结AA ，∵ 底面四边形AAAA 是正方形，∴ A 是AA 中点．∵ AA // 平面AAA ，AA ⊂平面AAA ，平面AAA ∩平面AAA =AA ， ∴ AA // AA ，∴ AA AA =AA AA =12，∴ A 是AA 的中点．∵ AA =AA ，∴ AA ⊥AA ．∵ AA ⊥平面AAAA ，AA ⊂平面AAAA ，∴ AA ⊥AA ，又AA ⊥AA ，AA ⊂平面AAA ，AA ⊂平面AAA ，AA ∩AA =A ， ∴ AA ⊥平面AAA ，∵ AA ⊂平面AAA ，∴ AA ⊥AA ，又AA ⊂平面AAA ，AA ⊂平面AAA ，AA ∩AA =A ， ∴ AA ⊥平面AAA ，∵ AA ⊂平面AAA ，∴ AA ⊥AA ，又AA ⊥AA ，AA ⊂平面AAA ，AA ⊂平面AAA ，AA ∩AA =A ， ∴ AA ⊥平面AAA ．(2)∵ AA =AA =1，底面AAAA 是正方形， ∴ AA =√2，AA =√2，AA =√3， ∴ AA =√22，AA =√22．∵ AA △AAA ≅AA △AAA ，∴ AAAA=AA AA=AAAA，∴ AA =√33，AA =√66．∴ A △AAA =12×AA ×AA =√312．∴ 三棱锥A −AAA 的体积A =13A △AAA ×AA =13×√312×√33=136．19.【解答】(1)由题意得{(A +0.03)×10=1940,(A +0.02)×10=2140,解得{A =0.0325,A =0.0175.(2)由题意得在[25,35)中抽取6人，记为A ,A ,A ,A ,A ,A ， 在[45,55)中抽取2人，记为1，2,则从8人中任取2人的全部基本事件(共28种)列举如下:AA ,AA ,AA ,AA ,AA ,A1,A2AA ,AA ,AA ,AA ,A1,A2,AA ,AA ,AA ,A1,A2,AA AA ,A1,A2,AA ,A1,A2,A1,A2,12记2人中至少有1个是“中老人”的概率是A ，则A =1328. (3)2×2列联表如下：A 2=200(40×35−55×70)295×105×110×90≈12.157>10.828所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加全面了解防控的相关知识. 20.【解答】抛物线焦点为(4, 0)，所以A ＝4，A =AA =12，∴ A ＝2， 又A 2＝A 2+A 2，所以A 2＝12．所以椭圆A 的方程为A 216+A 212=1．由题意，当∠AAA ＝∠AAA 时，知AA 与AA 斜率存在且斜率之和为0． 设直线AA 的斜率为A ，则直线AA 的斜率为−A ，记A (A 1, A 1)，A (A 2, A 2)， 直线A ＝2与椭圆A 的两个交点A (2, 3)、A (2, −3)，设AA 的方程为A −3＝A (A −2)，联立{A −3=A (A −2)A 216+A 212=1，消A 得(3+4A 2)A 2+8(3A −2A 2)A +16A 2−48A −12＝0， 由已知知△>0恒成立，所以2+A 1=8A (2A −3)3+4A 2，同理可得2+A 2=8A (2A +3)3+4A 2． 所以A 1+A 2=16A 2−123+4A 2，A 1−A 2=−48A3+4A 2，所以A AA =A 1−A 2A 1−A 2=A (A 1+A 2)−4AA 1−A 2=12．所以AA 的斜率为定值12． 21.【解答】∵ 函数A ＝A (A )的图象关于原点对称，∴ 函数A ＝A (A )是奇函数， 即A (−A )＝−A (A )恒成立，∴ A 0＝A 2＝A 4＝0，A (A )=A 1A 3+A 3A由题意得{A ′(−1)=3A 1+A 3=0A (−1)=−A 1−A 3=23 ，∴ {A 1=13A 3=−1，∴ A (A )=13A 3−A 经验证A (A )满足题意∴ A (A )=13A 3−A ⋯A ′(A )＝A 2−1，设所求两点为（A 1, A (A 1)），（A 2, A (A 2)），其中(A 1,A 2∈[−√2,√2])，得A ′(A 1)⋅A ′(A 2)=(A 12−1)(A 22−1)=−1 因为A 12−1,A 22−1∈[−1,1]，所以{A 12−1=−1A 22−1=1 或{A 12−1=1A 22−1=−1即A 1，A 2为0,±√2或±√2,0从而所求两点的坐标分别为(0,0),(√2,−√23)或者(0,0),(−√2,√23)；证明：易知A A ∈[12,1)，当A ∈[12,1)时A ′(A )<0，即A (A )在[12,1)上递减， 得A (A A )∈(A (1),A (12)]，即A (A A )∈(−23,−1124]． 又A A ∈(−√2,−23√2]，函数在A ＝−1处取极大值， 又A (−√2)=√23，A (−1)=23，A (−2√23)=38√281， 得A (A A )∈(√23,23]．∴ |A (A A )−A (A A )|=A (A A )−A (A A )<23−(−23)=43⋯ 22.【解答】解：(1)直线A的斜率A AA=2√3−02−0=√3，即A的倾斜角为A3，故直线A的极坐标方程为A=A3；圆A的直角坐标方程为(A−2)2+A2=4，即A2+A2−4A=0，化为极坐标方程得A2=4A cos A(A∈R)，故圆A的极坐标方程为A=4cos A(A∈R).(2)由题得，点A的极坐标为(4,A3)，设A(A,A)(−A2<A≤A2)，则A△AAA=12|AA|⋅|AA|⋅sin∠AAA=|12×4×4cos A×sin(A3−A)|=|8cos A(√3cos A−1sin A)|=|4√3cos2A−4sin A cos A| =|4cos(2A+A6)+2√3|.当cos(2A+A6)=1，即A=−A12时，(A△AAA)AAA=4+2√3.23.【解答】当A=0时，A(A)=|A|+|A−2|．当A≤0时，由−A+2−A≤3，得−12≤A≤0；当0<A<2时，由A+2−A≤3，得0<A<2；当A≥2时，由A+A−2≤3，得2≤A≤52．综上所述，不等式A(A)≤3的解集为[−12,52 ]．由A(A)≥|A−3|，得|A+A|≥|A−3|−|A−2|，令A(A)=|A−3|−|A−2|={1,A≤25−2A,2<A<3−1,A≥3.作出A(A)的图象如图所示，由题意知A(A)的图象恒在函数A=|A+A|的图象的下方．由图象可知，当A=|A+A|经过点(2, 1)时，解得A=−3或A=−1．当A=−1时，A=|A+A|的图象经过(1, 0)点，显然不成立；当A=−3时，A=|A+A|的图象经过(3, 0)点，成立，所以A≤−3，即实数A的取值范围为(−∞, −3]．。
2021届高考数学全国三卷文科全真模拟卷(二)
解： 设等比数列 的公比为 ，
由 ， ，得
解得
∴ ；
∵ ，
∴ ．
则数列 的首项为 ，
由 ，
可知数列 是以 为公差的等差数列．
∴ ．
18.
【答案】
解： ， ，
， .
.
完成 列联表如下：
人次
人次
合计
空气质量好
空气质量不好
合计
则 .
∵ ，
∴有 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
当 时， ， ，
所以 ．
当 时，
(两个等号不同时取得)，
综上所述，当 时， 恒成立，
故 在 上为增函数．
由 知， 在 上单调递增．
又 ，
.
由零点存在定理可知，函数
A. B. C. D.
10.若函数 ，设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为( )
A. B. C. D.
11.已知 ， ， 分别为 的三个内角 ， ， 的对边 ，则 面积的最大值为
A. B. C. D.
12.已知函数 ，则( )
A. 的最小值为
B. 的图像关于直线 对称
C. 的图像关于直线 对称
D. 的图像关于 轴对称
【解析】
所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值．
【解答】
解：如图所示：
不妨设球的半径为： ，球的表面积为： ，圆锥的底面积为： ，圆锥的底面半径为： ；
由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形，
卷II（非选择题）
二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分，）
第34讲 立体几何解答题中的体积求解策略(原卷版)
第34讲 立体几何解答题中的体积求解策略【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，解答题中体积的求法也是重点考查的知识，其求解的策略主要有两种方法：其一针对三棱锥的换顶点的思路，其二是对于多面体求体积可用切割法.方法一 换顶点法万能模板 内 容使用场景 三棱锥体积的求解解题模板第一步 观察三棱锥的4个顶点；第二步 找到易求高的顶点的三棱锥，有时需要等价转化顶点，如平行转化，相似，全等转化；第三步 根据公式求解结果.例1【广西北海市2021届高三第一次模拟考试数学（文）】如图，在三棱锥P -ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PAB △为等边三角形，AC BC ⊥且2AC BC ==，O 、M 分别为棱AB 、PA 的中点.（1）求证：平面MOC ⊥平面PAB ； （2）求三棱锥P ABC -的体积.【变式演练1】【四川省泸州市2020届高三数学临考冲刺模拟试卷（文科）（四模）】如图，在多面体ABCDEF 中，侧面ADEF 是平行四边形，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，顶点E 在底面ABCD 内的射影恰为点C .（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACE；（Ⅰ）若CD CE=，求四面体ABEF的体积.【变式演练2】【河南省名校联考2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试文科数学】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，ADⅠAB，PAⅠ平面ABCD，过AD的平面与PC，PB分别交于点M，N，连接MN.（1）证明：BC//MN；（2）已知PA=AD=AB=2BC，平面ADMNⅠ平面PBC，求P BDMP ABCDVV--的值.方法二切割法万能模板内容使用场景多面体体积的求解解题模板第一步观察几何体特征，多面体切割成其他锥体或者补起来；第二步分别求出组成的几何体的体积；第三步根据公式求解结果.例2、【安徽省皖豫名校联盟体2021届高三（上）第一次联考数学（文科）】如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，//BC AD，90ABD∠=︒，四边形ADMN为矩形，点G，H分别是线段MN，CD的中点，点I在线段AD上．（1）探究：是否存在点I，使得平面//GHI平面ACN？并证明；（2）若142DM BC AB===，线段MN在平面ABCD内的投影与线段AD重合，求多面体BC ADMN -的体积．例3、《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF ，其中////AB DC EF ，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a ，b ，c 、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m 、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n （如图）．已知3a =，2b =，1c =，2m =，1n =，则此“羡除”的体积为（ ）A ．2B ．3C ．32D ．42【来源】安徽省合肥一六八中学2021届高三下学期最后一卷理科数学试题【变式演练3】【云南省昆明市第一中学2021届高三高中新课标第一次摸底测试】如图，在六面体ABCDEF 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，且AB =AD =12CD = 1，四边形ADEF 是正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .（1）证明:平面BCE Ⅰ平面BDE ; （2）求六面体ABCDEF 的体积.【变式演练4】【四川省内江市2020届高三下学期第三次模拟考试】如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，14A D A A ==.（1）证明：面1ACD ⊥面1BB D ； （2）求多面体1111ABC A B C D -的体积.【高考再现】1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数19】如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，90APC ∠=︒．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ； （2）设2DO =，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P ABC -的体积．2.【2020年高考全国Ⅱ卷文数20】如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为111A B C △的中心，若6AO AB ==，AO //平面11EB C F ，且3MPN π∠=，求四棱锥11B EB C F -的体积．。
陕西省西安地区八校联考联盟2021届高三毕业班下学期第二次高考模拟联考数学(文)试题及答案
15.已知椭圆 长轴的一个顶点到直线 的距离不小于2,则椭圆的离心率的取值范围为__________.
16.已知 , , .则 的取值范围为__________.
三、解答题（共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.）
小于m
不小于m
合计
朗读记忆（人数）
默读记忆（人数）
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
20.在直角坐标系 中,已知圆 ,A、B是抛物线 上两点, 的重心恰好为抛物线S的焦点F,且 的面积为 .
（1）求p的值；
（2）求 与抛物线S 公切线的方程.
21.已知函数 （e为自然对数的底数, ）.
2021届高三毕业班下学期第二次高考模拟联考测试
数学(文)试题参考答案
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上.
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
（1）分别计算“朗读记忆”和估算“默读记忆”（估算时,用各组的中点值代替该组的平均值）记忆这篇文的平均时间（单位：min）；
陕西省西安中学2021届高三第二次模拟考试数学(文)试题
绝密★启用前西安中学高2021届高三第二次模考文科数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合,Z 24M x x k k ππ⎧⎫==⋅-∈⎨⎬⎩⎭，,Z 42N x x k k ππ⎧⎫==⋅+∈⎨⎬⎩⎭，则( ) A ．M N = B ．N M ⊆C ．M N ⊆D ．MN =∅2．复数z =−2+i 2049的共轭复数z −=( ) A ．221i+ B ．221i - C ．i --2 D ．i +-23．已知直线,a b 分别在两个不同的平面α,β内，则“a 和b 相交”是“α和β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71. ①y 与x 具有正的线性相关关系； ②回归直线过样本点的中心(x ，y )；③若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ； ④若该大学某女生身高为170 cm ，则其体重必为58.79 kg. 则上述判断不正确的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．45．设0.31ln,,a b c e πππ-===，则( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<6．设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =（k >0）与C 交于P ，PF ⊥x 轴，则k =( ) A ．3B ．1C ．4D ．27．若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是( )A．8πB．4πC．83πD．43π8．如下右图，1x，2x，3x为某次考试三个评阅人对同一题的独立评分，p为最终得分．当x1=6,x2=9，p=6.5时，3x等于()A．11 B．10 C．8 D．79．在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB ＝ 2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2π3 B.5π3 C.4π3D．2π10．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A 点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝()A．150m B．180m C．120m D．160m11．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝2|PF2|，则此双曲线的离心率e的范围为()A．(1＋∞) B．(1,3] C．(2,3] D．(1,2]12．将正整数排成下图所示的数阵，其中第i行有2i−1个数.如果2 021是表中第m行的第n个数, 则()第9题图第10题图第8题图A ．m +n =1009B ．m +n =1010C ．m +n <1009D ．m +n >1010二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a =(2，-1)，b =（-1，m ），c =(-1，2)，若（a + b ）∥c ，则实数m = ． 14．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么落到地面所需要的时间秒数为 ． 15．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，2x ＋y －4≤0，则z ＝log 2(x ＋y +5)的最大值为 ．16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (2－x )，x ≤1，－x 2＋1，x >1，若|f (x )|－ax ＋a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(3cos x ，cos x )，f (x )＝a ·b .（Ⅰ）在答题卡上的坐标系中画出函数f (x )＝a ·b (0≤x ≤7π6)的图像；（Ⅱ）在△ABC 中，BC ＝7，sin B ＝3sin C ，若f (A )＝1，求△ABC 的周长．18．（本小题满分12分）某大型商场举办店庆十周年抽奖答谢活动，凡店庆当日购物满1000元的顾客可从装有4个白球和2个黑球的袋子中任意取出2个球，若取出的都是黑球获奖品A ，若取出的都是白球获奖品B ，若取出的两球异色获奖品C ．（Ⅰ）求某顾客抽奖一次获得奖品B 的概率；（Ⅱ）若店庆当天有1500人次抽奖，估计有多少人次获得奖品C ． 19．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是半圆弧上异于C ，D 的点．（Ⅰ）证明：直线 DM ⊥平面BMC ；（Ⅱ）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．20．（本小题满分12分）已知离心率为√32的椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点恰好是抛物线x 2=4y 的焦点,过点M (4,0)且斜率为k 的直线交椭圆C 于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求k 的取值范围；C。
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2021届全国新高考仿真模拟试题（二）数学（文）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．[2020·安徽省示范高中名校高三联考]设全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －6<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．[1,3)B ．(1,3]C ．(1,3)D ．(－2,1]2．[2020·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试]若复数z 满足2z ＋z －＝3－i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．3 3．[2020·石家庄市高三年级阶段性训练题]已知a ＝0.30.2，b ＝50.3，c ＝log 0.2 5，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a 4．[2020·河北省九校高三联考试题]设{a n }是公差大于零的等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则“a 2>0”是“S n ＋1>S n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．[2020·广州市高三年级调研检测]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥03x －y －3≤0x －2y ＋4≥0，则z ＝x －3y 的最小值为( )A ．－7B ．－6C ．1D ．66．[2020·长沙市四校高三年级模拟考试]执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为6，则输出的z的值为( )A ．108B ．120C ．131D ．1437．[2020·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试]已知四面体ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，△ABD是边长为2的等边三角形，BD ＝DC ，BD ⊥CD ，则四面体ABCD 的体积为( )A.233B.45C.433 D ．2 38．[2020·合肥市高三第一次教学质量检测]射线测厚技术原理公式为I ＝I 0e －ρμt ，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 2≈0.693 1，结果精确到0.001)( )A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.116 9．[2020·安徽省部分重点校高三联考试题]图(1)是某品牌汽车2019年月销售量统计图，图(2)是该品牌汽车月销售量占所属汽车公司当月总销售量的份额统计图，则下列说法错误的是( )A ．该品牌汽车2019年全年销售量中，1月份销售量最多B ．该品牌汽车2019年上半年的销售淡季是5月份，下半年的销售淡季是10月份C ．2019年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销售量比8月份多D ．该品牌汽车2019年下半年月销售量相对于上半年，波动性小，变化较平衡10．[2020·山东九校联考]下列关于函数f (x )＝2cos 2x －cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－1的描述错误的是( ) A ．其图象可由y ＝2sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 C ．f (x )在[0，π]上有2个零点D ．f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，0上的最小值为－ 2 11．[2020·山西省八校高三第一次联考]已知函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x －1)，且当x ∈(－1,1]时，f (x )＝2x －1，则f (2 020)＝( )A ．22 019B ．22 018C ．21 010D ．21 009 12．[2020·合肥市高三调研性检测]设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝(2n ＋1)a n ＋1(n ∈N *)．定义数列{b n }如下：对于正整数m ，b m 是使不等式a n ≥m 成立的所有n 的最小值，则数列{b n }的前60项的和为( )A ．960B ．930C ．900D ．840二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．)13．[2020·南昌市高三年级摸底测试卷]已知sin θ＝15，则cos 2θ＝________.14．[2020·广州市普通高中毕业班综合测试(一)]如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为________，表面积为________．15．[2020·江苏卷]将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________．16．[2020·湖北省部分重点中学高三起点考试]已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，连接F A ，与抛物线C 相交于点M ，延长F A ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |︰|MN |＝1︰2，则实数a 的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(12分)[2020·安徽十四校联考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝a cos C ＋33c sin A ，点M 是BC 的中点．(1)求A 的值；(2)若a ＝3，求中线AM 长度的最大值．18．(12分)[2020·全国卷Ⅱ]如图，已知三棱柱ABC - A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .(1)证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心．若AO ＝AB ＝6，AO ∥平面EB 1C 1F ，且∠MPN ＝π3，求四棱锥B - EB 1C 1F的体积．19．(12分)[2020·武汉市高中毕业生学习质量检测]有人收集了某10年中某城市居民年收入(即该城市所有居民在一年内收入的总和)与某种商品的销售额的相关数据如表：第n 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年收入x /亿元 32.0 31.0 33.0 36.0 37.0 38.0 39.0 43.0 45.0 x 10商品销售额y /万元25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 y 10且已知 i ＝110x i ＝380.0(1)求第10年的年收入x 10.(2)若该城市居民年收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程y ^＝363254x ＋a ^，(ⅰ)求该种商品第10年的销售额y 10；(ⅱ)若该城市居民年收入为40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？(精确到0.01)附：①在线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1n x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －； ②∑i ＝110x 2i －102x ＝254.0，∑i ＝19x i y i ＝12 875.0，∑i ＝19y i ＝340.0.20．(12分)[2020·武汉市部分学校高三在线学习摸底检测]已知F (0,1)为平面上一点，H 为直线l ：y ＝－1上任意一点，过点H 作直线l 的垂线m ，设线段FH 的垂直平分线与直线m 交于点P ，记点P 的轨迹为Γ.(1)求轨迹Γ的方程；(2)过点F 作互相垂直的直线AB 与CD ，其中直线AB 与轨迹Γ交于点A ，B ，直线CD 与轨迹Γ交于点C ，D ，设点M ，N 分别是AB 和CD 的中点，求△FMN 的面积的最小值．21．(12分)[2020·安徽省示范高中名校高三联考]函数f (x )＝a e x ＋x 2－ln x (e 为自然对数的底数，a 为常数)，曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为(e ＋1)x －y ＝0.(1)求实数a 的值；(2)证明：f (x )的最小值大于54＋ln 2.选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．)22．(10分)[2020·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试]已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)，A (2,0)，P 为曲线C 上的一个动点．(1)求动点P 对应的参数从π3变动到2π3时，线段AP 所扫过的图形的面积；(2)若直线AP 与曲线C 的另一个交点为Q ，是否存在点P ，使得P 为线段AQ 的中点？若存在，求出点P 的直角坐标；若不存在，请说明理由．23．(10分)[2020·大同市高三学情调研测试]设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)c 2a ＋b 2c ＋a2b ≥1.仿真模拟专练(二)1．答案：A 2．答案：C 3．答案：C 4．答案：C 5．答案：A 6．答案：C7．答案：A 8．答案：C 9．答案：C 10．答案：B 11．答案：D 12．答案：A13．答案：232514．答案：3π3 3π1×2＝3π. 15．答案：1916．答案：43317．解析：(1)因为b ＝a cos C ＋33c sin A ， 根据正弦定理得sin B ＝sin A cos C ＋33sin C sin A ，所以sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋33sin C sin A ，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋33sin C sin A ，所以cos A sin C ＝33sin C sin A .因为sin C ≠0， 所以t a n A ＝ 3. 又0<A <π，所以A ＝π3.(2)解法一 在△ABC 中，由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝3. 因为bc ≤b 2＋c 22，当且仅当b ＝c 时取等号，所以b 2＋c 2≤6.因为AM 是BC 边上的中线，所以在△ABM 和△ACM 中， 由余弦定理得，c 2＝AM 2＋34－2AM ·32·cos ∠AMB ，①b 2＝AM 2＋34－2AM ·32·cos ∠AMC .②由①②得AM 2＝b 2＋c 22－34≤94，当且仅当b ＝c ＝3时，中线AM 的长度取得最大值32.解法二 在△ABC 中，由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝3.因为bc ≤b 2＋c 22，当且仅当b ＝c 时取等号，所以b 2＋c 2≤6.因为AM 是BC 边上的中线，所以AM →＝AB →＋A C →2，两边平方得|AM →|2＝14(b 2＋c 2＋bc )，所以|AM →|2＝b 2＋c 22－34≤94，当且仅当b ＝c ＝3时，中线AM 的长度取得最大值32.18．解析：(1)因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥CC 1.又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN . 因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N .又B 1C 1⊥MN ，A 1N ∩MN ＝N ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN .又B 1C 1⊂平面EB 1C 1F ， 所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F .(2)AO ∥平面EB 1C 1F ，AO ⊂平面A 1AMN ，平面A 1AMN ∩平面EB 1C 1F ＝PN ，故AO ∥PN .又AP ∥ON ，故四边形APNO 是平行四边形，所以PN ＝AO ＝6，AP ＝ON ＝13AM ＝3，PM ＝23AM ＝23，EF ＝13BC ＝2.因为BC ∥平面EB 1C 1F ，所以四棱锥B - EB 1C 1F 的顶点B 到底面EB 1C 1F 的距离等于点M 到底面EB 1C 1F 的距离．作MT ⊥PN ，垂足为T ，则由(1)知，MT ⊥平面EB 1C 1F ，故MT ＝PM sin ∠MPN ＝3.底面EB 1C 1F 的面积为12×(B 1C 1＋EF )·PN ＝12×(6＋2)×6＝24.所以四棱锥B -EB 1C 1F 的体积为13×24×3＝24.19．解析：(1)因为∑i ＝110x i ＝380.0，所以32＋31＋33＋36＋37＋38＋39＋43＋45＋x 10＝380，解得x 10＝46.(2)(ⅰ)由该城市居民年收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程y ^＝363254x ＋a ^知b ^＝363254，即b^＝∑i ＝110x i y i －10x －y－∑i ＝110x 2i －10x －2＝363254， 即12 875＋46y 10－10×38010×340＋y 1010254＝363254，解得y 10＝51.(ⅱ)求得x －＝38，y －＝39.1，代入y ^＝363254x ＋a ^得39.1＝363254×38＋a ^，解得a ^≈－15.21，所以y ^＝363254x －15.21，当x ＝40时，y ＝363254×40－15.21≈41.96，故若该城市居民年收入为40.0亿元，估计这种商品的销售额是41.96万元． 20．解析：(1)设P (x ，y )，依题意有|PF |＝|PH |，即x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|，化简得x 2＝4y ，因此轨迹Γ的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线AB 和CD 的斜率均存在且不为0.设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则由{y ＝kx ＋1x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0，x 1＋x 2＝4k ，y 1＋y 22＝k ×x 1＋x 22＋1＝2k 2＋1，所以M (2k,2k 2＋1)，同理，点N ⎝⎛⎭⎫－2k ，2k 2＋1，从而直线MN 的斜率为2k 2＋1－⎝⎛⎭⎫2k 2＋12k ＋2k＝k －1k， 直线MN 的方程为y －(2k 2＋1)＝⎝⎛⎭⎫k －1k (x －2k )，即y ＝⎝⎛⎭⎫k －1k x ＋3，过定点Q (0,3)， 从而△FMN 的面积S △FMN ＝12×|FQ |×⎪⎪⎪⎪2k －⎝⎛⎭⎫－2k ＝12×2×⎪⎪⎪⎪2k ＋2k ＝2⎪⎪⎪⎪k ＋1k ≥4，当且仅当k ＝±1时取等号，所以△FMN 的面积的最小值为4.21．解析：(1)对f (x )求导可得f ′(x )＝a e x ＋2x －1x，所以f ′(1)＝a e ＋1.由曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为(e ＋1)x －y ＝0可知a e ＋1＝e ＋1，故a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝e x ＋x 2－ln x ，得f ′(x )＝e x ＋2x －1x，令h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋2＋1x2>0，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．注意到f ′⎝⎛⎭⎫14＝e 14＋12－4<0，f ′⎝⎛⎭⎫12＝e 12＋1－2>0，所以由零点存在性定理可知存在x 0∈⎝⎛⎭⎫14，12，使得f ′(x 0)＝0，即e x 0＋2x 0－1x 0＝0，即e x 0＝1x 0－2x 0.当0<x <x 0时，f (x )单调递减；当x >x 0时，f (x )单调递增．于是f (x )≥f (x 0)＝e x 0＋x 20－ln x 0＝1x 0－2x 0＋x 20－ln x 0＝(x 0－1)2＋1x 0－ln x 0－1， 设g (x )＝(x －1)2＋1x －ln x －1，易知g (x )＝(x －1)2＋1x－ln x －1在⎝⎛⎭⎫14，12上单调递减， 所以f (x )≥f (x 0)>g ⎝⎛⎭⎫12＝54＋ln 2，所以f (x )的最小值大于54＋ln 2. 22．解析：(1)设θ＝π3时对应的点为M ，θ＝2π3时对应的点为N ，O 为坐标原点，线段AP 扫过的图形的面积＝S △AMN ＋S 弓形＝S △OMN ＋S 弓形＝S 扇形OMN ＝12×12×π3＝π6.(2)设P (cos θ，sin θ)，∵P 为线段AQ 的中点，∴Q (2cos θ－2,2sin θ)， ∵Q 在曲线C 上，曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝1， ∴(2cos θ－2)2＋(2sin θ)2＝1，∴8cos θ＝7，cos θ＝78.此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫78，±158.23．解析：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝1，∴3(ab ＋bc ＋ac )≤1，即ab ＋bc ＋ac ≤13.(2)∵a >0，b >0，c >0，∴a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，∴c 2a ＋b 2c ＋a2b＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a2b ＋b2c＋c2a≥a＋b＋c，即a2b ＋b2c＋c2a≥1.。