分数指数幂与指数函数(答案)
高一数学指数与指数函数试题答案及解析
高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.设函数（x）＝，则满足的的取值范围是（）．A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞）D．[0，＋∞）【答案】D．【解析】当时，，，解得，因此，当时，，解得，因此，综上【考点】分段函数的应用．2.设函数则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，由，可得，即；当时，由，可得，即，综上.故选C【考点】函数的求值.3.已知定义在R上的函数满足，当时，，且.（1）求的值；（2）当时，关于的方程有解，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】（1）由可知，代入表达式可求得的值.又，可求出的值；（2）由（1）可知方程为，对x进行讨论去绝对值符号，可得，据结合指数函数，二次函数的性质可求得的取值范围.试题解析：解：（1）由已知，可得又由可知 . 5分（2）方程即为在有解.当时，，令,则在单增，当时，，令,则，,综上： . 14分【考点】本题主要考查指数函数，二次函数求值域和分类讨论的数学思想方法.4.函数的图象必经过定点___________．【答案】【解析】∵指数函数过定点，∴函数过定点．【考点】函数图象．5.已知，，且，则与的大小关系_______.【答案】【解析】由，又由，所以，所以由可得，所以，，所以即.【考点】1.分数指数幂的运算；2.对数的运算；3.指数函数的单调性.6.函数在上的最大值比最小值大，则 .【答案】【解析】因为，根据指数函数的性质可知在单调递增，所以最大值为，最小值为，依题意有即，而，所以.【考点】指数函数的图像与性质.7.设，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】把看成函数当时的函数值,因为,所以；把看成函数当时的函数值,因为,所以；把看成函数当时的函数值,因为 ,所以 .综上, ,故选B【考点】1、指数函数的性质；2、对数函数的性质.8.若，则__________．【答案】【解析】【考点】指数函数的运算法则9.已知，则的大小关系是．【答案】【解析】因为指数函数在R上单调递减，所以。
高中数学《指数函数》针对练习及答案
第二章函数2.4.2 指数函数（针对练习）针对练习针对练习一指数与指数幂的运算1．用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0)．(1)a222．计算或化简下列各式：（1）(a－2)·(－4a－1)÷(12a－4)(a>0)；（2）213-233+0.0028-⎛⎫- ⎪⎝⎭－2)－1＋0. 3．计算：(1)1111242 114310.7562)164300---⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111133420,0)a ba b a b->>⎛⎫⎪⎝⎭4．计算：(1)10132114(2)924---⎛⎫⎛⎫-⨯-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)2932)-⨯5．(1)()2163278()[2]8---；(2)()())1213321()0040.1a b a b ---＞，＞.针对练习二 指数函数的概念6．在①4x y =；①4y x =；①4x y =-；①()4xy =-；①()121,12xy a a a ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭中，y 是关于x 的指数函数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．下列函数是指数函数的是（ ）A ．y ＝()2x πB ．y ＝(－9)xC ．y ＝2x －1D ．y ＝2×5x8．下列函数中为指数函数的是（ ） A ．23x y =⋅ B ．3x y =-C ．3x y -=D ．1x y =9．函数()244xy a a a =-+是指数函数，则有（ ）A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a ＞0且a ≠110．若函数()x f x a =（a >0，且a ≠1）的图象经过(12,)3，则(1)f -=（ ） A．1 B ．2C D ．3针对练习三 指数函数的图像11．函数2x y -=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数①x y a =；①x y b =；①x y c =；①x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：5413，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．5413，12 B 54，12，13C ．12，1354D ．13，12，5413．若0a >且1a ≠，则函数()11x f x a -=+的图象一定过点（ ）A ．()0,2B ．()0,1-C ．()1,2D ．()1,1-14．已知函数f （x ）= ax +1的图象恒过定点P ，则P 点的坐标为（ ） A ．(0，1) B ．(0，2) C ．(1，2)D ．()1,1a +15．对任意实数01a <<，函数()11x f x a -=+的图象必过定点（ ）A ．()0,2B ．()1,2C ．()0,1D ．()1,1针对练习四 指数函数的定义域16．函数y ） A ．(,3]-∞ B ．[3,)+∞ C ．(,2]-∞ D ．[2,)+∞17．函数()22f x x -的定义域为（ ） A ．[0,2) B ．(2,)+∞C ．()(),22,-∞+∞D ．[0,2)(2,)⋃+∞18．设函数f （x ），则函数f （x 4）的定义域为（ ） A ．(],4∞- B ．1,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．(]0,4D ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦19．已知函数()y f x =的定义域为()0,1，则函数()()21xF x f =-的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．()(),00,1-∞⋃C ．()0,∞+D ．[)0,120．函数y (－∞，0]，则a 的取值范围为( ) A ．a ＞0 B ．a ＜1 C ．0＜a ＜1 D ．a ≠1针对练习五 指数函数的值域21．函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,222．若23x ，则函数1()421x x f x +=-+的最小值为（ ） A ．4 B ．0 C ．5 D ．923．函数2121x x y -=+的值域是（ ）A ．()(),11,-∞--+∞B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()(),11,-∞+∞24．已知函数()()1123,12,1x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．[)0,225．函数2x y a =-（0a >且1a ≠，11x -≤≤）的值域是5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数=a （ ）A ．3B ．13C ．3或13D ．23或32针对练习六 指数函数的单调性26．函数2435x x y -+-=的单调递减区间是（ ） A ．[2,)+∞ B ．(,2]-∞ C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞27．函数223112x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为（ ） A ．(1,)+∞ B ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝C ．(),1-∞D ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭28．若函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，则a 的取值范围（ ）A ．4a ≤-B ．2a ≤-C ．2a ≥-D ．4a ≥-29．若函数()(),1,513,13x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,2C ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭30．已知函数()()4211xa x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩，，是R 上的单调函数，那么实数a 的取值范围为（ ）A ．()01，B ．()13，C ．423⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．312⎛⎤ ⎥⎝⎦，针对练习七 比较大小与解不等式31．已知412a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，124b =，122c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．a c b << D ．b a c <<32．已知1313422,3,4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a <b <c B ．c <a <b C ．a <c <b D ．c <b <a33．若2141122a a+-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞C ．(3,)+∞D ．(3),-∞34．若x 满足不等式221139x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数2x y =的值域是（ ）A ．1,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[2,)+∞35．若1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列正确的是（ ）A ．33a b <B ．ac bc >C ．11a b<D ．b c a c -<-针对练习八 指数函数的应用36．专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：0.22(340)1()1t f t e --=+，当()0.1f t =时，标志着疫情将要局部爆发，则此时t 约为（参考数据： 1.13e ≈）（ ）A ．10B ．20C ．30D ．4037．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在α型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型(e )rt I t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R 、T 近似满足01R rT =+，有学者基于已有数据估计出0 3.22R =，10T =.据此，在α型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至(0)I 的4倍，至少需要（ ）（参考数据：ln 20.69≈） A ．6天 B ．7天 C ．8天 D ．9天38．某灭活疫苗的有效保存时间T （单位：小时h ）与储藏的温度t （单位：①）满足的函数关系为e ht b T +=（k ，b 为常数，其中e 2.71828=⋅⋅⋅，是一个和π类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0①时的有效保存时间是1080h ，在10①时的有效保存时间是120h ，则该疫苗在15①时的有效保存时间为（ ） A ．15h B ．30h C ．40h D ．60h39．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ︒）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718=为自然对数的底数，,k b 为常数）．若该食品在0C ︒的保鲜时间是192小时，在33C ︒的保鲜时间是24小时，则该食品在22C ︒的保鲜时间是（ ） A ．20 小时 B ．24小时 C ．36小时 D ．48小时40．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：()100e ktθθθθ-=-+，其中为时间（单位：min ），0θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20C 的情况下，一桶咖啡由100C 降低到60C 需要20min .则k 的值为（ ） A ．ln 220B ．ln 320C ．ln 210-D ．ln 310-第二章 函数2.4.2 指数函数（针对练习）针对练习针对练习一 指数与指数幂的运算1．用分数指数幂的形式表示下列各式(a >0，b >0)．(1)a2 2．【答案】(1)52a ； (2)136a ； (3)7362a b ； (4)76a . 【解析】 【分析】由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质化简求值即可. (1)原式＝11522222a a a a +⋅==. (2)原式＝22313333262a a a a +⋅==． (3)原式＝1221711333233332622222()()a ab a a b a b a b +⋅===.(4)原式＝55722666a a a a --⋅==． 2．计算或化简下列各式： （1）(a －2)·(－4a －1)÷(12a －4)(a >0)；（2）213-233+0.0028-⎛⎫- ⎪⎝⎭－2)－1＋0.【答案】（1）－13a ；（2）－1679.【解析】 【分析】直接根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】(1)原式21434114(12)33a a a a ----+=-÷=-=-(2)原式213227118500--⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213323()5002)12-⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦＝49＋20＋1＝－ 1679. 3．计算：(1)1111242114310.7562)164300---⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111133420,0)a b a b a b ->>⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】(1)-16 (2)(0,0)a a b b>> 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂的运算规则化简计算即可； （2）根据分数指数幂的运算规则化简得出结果. (1)原式=111222411010233-⎫⎫⎛⎫⨯⨯++⨯+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(12410223⎫=⨯-⨯+⎝⎭220216=-+=-(2)原式543311233(0,0)a baa b bab a b-==>> 4．计算：(1)1132114(2)924---⎛⎫⎛⎫-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)2932)-⨯【答案】(1)196(2)【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可求解.（2）利用根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算性质即可求解. (1)原式1111924()1218236=-⨯-+=++-=. (2)原式24119555636333222221[(8)](10)10(2)1010102---=⨯÷=⨯÷=⨯721102=⨯=== 5．(1)()21603278()[2]8---；(2)()())1213321()0040.1a b a b ---＞，＞.【答案】(1)8π+；(2)85. 【解析】 【分析】(1)(2)均根据指数幂的运算性质即可计算； 【详解】(1)原式233(2)=-1＋|3﹣π|162(2)+=4﹣1＋π﹣3＋23＝π＋8.(2)原式3332223322248510a b a b--⋅==.针对练习二 指数函数的概念6．在①4x y =；①4y x =；①4x y =-；①()4xy =-；①()121,12xy a a a ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭中，y 是关于x 的指数函数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】直接根据指数函数的定义依次判断即可. 【详解】根据指数函数的定义，知①①中的函数是指数函数， ①中底数不是常数，指数不是自变量，所以不是指数函数； ①中4x 的系数是1-，所以不是指数函数； ①中底数40-<，所以不是指数函数． 故选：B ．7．下列函数是指数函数的是（ ）A ．y ＝()2x πB ．y ＝(－9)xC ．y ＝2x －1D ．y ＝2×5x【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数定义判断． 【详解】B 中底数90-<，C 中指数是1x -，不是x ，D 中5x 前面系数不是1，根据指数函数定义，只有A 中函数是指数函数， 故选：A.8．下列函数中为指数函数的是（ ）A ．23x y =⋅B ．3x y =-C ．3x y -=D ．1x y =【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】根据指数函数的定义知，()0,1xy a a a =>≠，可得函数23x y =⋅不是指数函数；函数3x y =-不是指数函数；函数3x y -=是指数函数；函数1x y =不是指数函数. 故选：C.9．函数()244xy a a a =-+是指数函数，则有（ ）A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a ＞0且a ≠1【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列不等式，由此求得正确选项. 【详解】由已知得244101a a a a ⎧-+=⎪>⎨⎪≠⎩，即2301a a a a ⎧+=⎪⎨⎪≠⎩，解得3a =．故选：C10．若函数()x f x a =（a >0，且a ≠1）的图象经过(12,)3，则(1)f -=（ ） A ．1 B ．2 CD ．3【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数所过的点求解析式，进而求(1)f -的值. 【详解】由题意，21(2)3f a ==，又a >0，则a =①()x f x =，故1(1)f --== 故选：C针对练习三 指数函数的图像11．函数2x y -=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式可得函数2x y -=是以12为底数的指数函数，再根据指数函数的图像即可得出答案. 【详解】解：由122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭，得函数2x y -=是以12为底数的指数函数，且函数为减函数，故D 选项符合题意. 故选：D.12．函数①x y a =；①x y b =；①x y c =；①x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：5413，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．5413，12 B 54，12，13C ．12，1354D ．13，12，54【答案】C 【解析】 【分析】由直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b 即可求解. 【详解】解：直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，511423>>， 所以a ，b ，c ，d 的值分别是12，1354， 故选：C.13．若0a >且1a ≠，则函数()11x f x a -=+的图象一定过点（ ）A ．()0,2B ．()0,1-C ．()1,2D ．()1,1-【答案】C 【解析】 【分析】令10x -=求出定点的横坐标，即得解. 【详解】解：令10,1-=∴=x x .当1x =时，()1111=2f a -=+，所以函数()f x 的图象过点()1,2. 故选：C.14．已知函数f （x ）= ax +1的图象恒过定点P ，则P 点的坐标为（ ） A ．(0，1) B ．(0，2) C ．(1，2)D ．()1,1a +【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数过定点的性质进行求解. 【详解】()x f x a =的图象恒过定点()0,1，所以()1x f x a =+的图象恒过定点()0,2故选：B15．对任意实数01a <<，函数()11x f x a -=+的图象必过定点（ ）A ．()0,2B ．()1,2C ．()0,1D ．()1,1【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的知识确定正确选项. 【详解】当10x -=，即1x =时，()12f =， 所以()f x 过定点()1,2. 故选：B针对练习四 指数函数的定义域16．函数y ） A ．(,3]-∞ B ．[3,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域定义求解即可. 【详解】要使得函数y 则390x -≥，39x ≥，233x ≥，解得2x ≥.故函数y [2,)+∞. 故选：D.17．函数()22f x x -的定义域为（ ） A ．[0,2) B ．(2,)+∞C ．()(),22,-∞+∞D ．[0,2)(2,)⋃+∞【答案】D 【解析】求出使函数式有意义的自变量的范围即得、 【详解】由21020x x ⎧-≥⎨-≠⎩得02x x ≥⎧⎨≠⎩，即[0,2)(2,)x ∈⋃+∞.故选：D.18．设函数f （x ），则函数f （x 4）的定义域为（ ） A ．(],4∞- B ．1,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．(]0,4D ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】求得4x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0，结合指数函数的性质求解即可． 【详解】因为()f x =所以4x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭因为44440,44,1,44x x x x -≥≤≤≤，所以4xf ⎛⎫⎪⎝⎭的定义域为(],4-∞，故选A ．【点睛】本题主要考查函数的定义域以及指数函数的单调性的应用，是基础题．定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.19．已知函数()y f x =的定义域为()0,1，则函数()()21xF x f =-的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．()(),00,1-∞⋃C ．()0,∞+D ．[)0,1【答案】B 【解析】 【分析】抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x 的取值范围；二是同一对应法则下，取值范围一致. 【详解】()y f x =的定义域为()0,1，1021x-∴<<，即121121x x ⎧-<-<⎨≠⎩，10x x <⎧∴⎨≠⎩，解得：1x <且0x ≠， ()()21x F x f ∴=-的定义域为()(),00,1-∞⋃.故选：B .20．函数y (－∞，0]，则a 的取值范围为( ) A ．a ＞0 B ．a ＜1 C ．0＜a ＜1 D ．a ≠1【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得10x a -≥，对a 讨论，分1,01a a ><<,运用指数函数的单调性，列不等式即可得到a 的范围. 【详解】要使函数0y a >且1)a ≠有意义, 则10x a -≥, 即01x a a ≥=, 当1a >时，0x ≥；当01a <<时，0x ≤，因为y =的定义域为(],0-∞ 所以可得01a <<符合题意，a ∴的取值范围为01a <<，故选C.【点睛】本题考查函数的定义域以及指数函数的单调性，注意运用偶次根式被开方式非负，意在考查分类讨论思想与运算能力，属于中档题.针对练习五 指数函数的值域21．函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,2【答案】D 【解析】 【分析】令22t x x =-，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭，转求二次函数与指数函数的值域即可.【详解】令22t x x =-，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭，①()222111t x x x =-=--≥-，①(],2120ty ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝，①函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,2，故选：D22．若23x ，则函数1()421x x f x +=-+的最小值为（ ） A ．4 B ．0C ．5D ．9【答案】A 【解析】 【分析】设23x t =，则2()21=-+f t t t 利用函数()f t 单调性可得答案. 【详解】设23x t =，则()22()211=-+=-f t t t t （3t ）， 对称轴为1t =，所以()f t 在[)3,+∞上单调递增，所以2min ()(3)32314f t f ==-⨯+=.故选：A.23．函数2121x x y -=+的值域是（ ）A ．()(),11,-∞--+∞B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()(),11,-∞+∞【答案】C 【解析】 【分析】将函数化为121xyy+=-，利用20x >列出关于y 的不等式，解出不等式即可. 【详解】设2121x x y -=+，由原式得121xy y +=-，20x >, 101yy+∴>-， ①11y -<<，即函数()f x 的值域为(1,1)-. 故选：C24．已知函数()()1123,12,1x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．[)0,2【答案】A 【解析】 【分析】先求出12x y -=在[)1,+∞上的取值范围，再利用分段函数的值域进行求解．【详解】因为12x y -=在[)1,+∞上单调递增， 所以当1≥x 时，1022=1x y -=≥， 若函数()f x 的值域为R ，则1201231a a a ->⎧⎨-+≥⎩， 解得102a ≤<． 故选：A.25．函数2x y a =-（0a >且1a ≠，11x -≤≤）的值域是5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数=a （ ）A ．3B ．13C ．3或13D ．23或32【答案】C 【解析】当0a >且1a ≠时，函数为指数型函数，需要分情况进行讨论解决．当1a >时，函数2x y a =-是增函数；当01a <<时，函数2x y a =-是减函数，由此结合条件建立关于a的方程组，解之即可求得答案． 【详解】当1a >时，2xy a =-在[]1,1-上为增函数， 211523a a-=⎧⎪∴⎨-=-⎪⎩，解得3a =；当01a <<时，2xy a =-在[]1,1-上为减函数，523121a a⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解得13a =．综上可知：3a =或13． 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了指数函数的单调性和值域，解题的关键是利用函数的单调性求解函数值域，但含有参数时往往需要讨论.针对练习六 指数函数的单调性26．函数2435x x y -+-=的单调递减区间是（ ） A ．[2,)+∞ B ．(,2]-∞ C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性“同增异减”来解题. 【详解】设243x x μ=-+-，在(,2]-∞单调递增，在[2,)+∞单调递减，5y μ=在(,)-∞+∞单调递增，根据“同增异减”可得，函数2435x x y -+-=的单调递减区间是[2,)+∞. 故选：A.27．函数223112x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为（ ） A ．(1,)+∞ B ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(),1-∞D ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数单调性法则“同增异减”求解即可. 【详解】解：因为函数2231y x x =-+在区间3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内是单调递减函数，所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得223112x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：D28．若函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，则a 的取值范围（ ）A ．4a ≤-B ．2a ≤-C ．2a ≥-D ．4a ≥-【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数单调性来求得a 的取值范围. 【详解】依题意函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，15xy =在R 上递减， 2y x ax =+的开口向上，对称轴为2ax =-，根据复合函数单调性同增异减可知，122a a -≤⇒≥-. 故选：C29．若函数()(),1,513,13x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,2C ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的性质，以及函数()f x 在R 上单调递减，结合指数函数的性质，可知011305133a a a a⎧⎪<<⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，求解不等式，即可得到结果. 【详解】①函数()f x 在R 上单调递减，①011305133a a a a⎧⎪<<⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得1233a <≤，实数a 的取值范围是12,33⎛⎤⎥⎝⎦. 故选：A.30．已知函数()()4211xa x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩，，是R 上的单调函数，那么实数a 的取值范围为（ ）A ．()01，B ．()13，C ．423⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．312⎛⎤ ⎥⎝⎦，【答案】C 【解析】 【分析】根据()f x 的单调性列不等式组，由此求得a 的取值范围. 【详解】 函数()()4211xa x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩，，，若()f x 在R 上为单调递增函数，则()14201421a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯≤⎩，解得423a ≤<；若()f x 在R 上为单调递减函数，则()142001421a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-⨯≥⎩，无解． 综上所述，实数a 的取值范围为423⎡⎫⎪⎢⎣⎭，． 故选：C针对练习七 比较大小与解不等式31．已知412a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，124b =，122c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．a c b << D ．b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性判断指数式的大小关系. 【详解】由题设，42a -=，2b =，122c =，又2x y =在定义域上递增， ①a c b <<. 故选：C.32．已知1313422,3,4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a <b <c B ．c <a <b C ．a <c <b D ．c <b <a【答案】B 【解析】 【分析】结合指数函数、幂函数的单调性确定正确选项. 【详解】4x y =在R 上递增，14y x =在()0,∞+上递增.123111334442422893c a b ==<==<==.故选：B33．若2141122a a+-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞C ．(3,)+∞D ．(3),-∞【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； 【详解】解：因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，所以2141122a a+-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭等价于214a a +<-，解得1a <，即原不等式的解集为(,1)-∞ 故选：A34．若x 满足不等式221139x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数2x y =的值域是（ ）A ．1,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数的单调性得到自变量的范围，进而得到指数函数的值域. 【详解】 由221139x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭可得2212(2)1339x x x -+--⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为3x y =在R 上单调递增， 所以2124x x +-+即x 2+2x -3≤0， 解得：31x -≤≤ ， 所以31222x y -=，即函数2x y =的值域是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选:B .35．若1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列正确的是（ ）A ．33a b <B ．ac bc >C ．11a b<D ．b c a c -<-【答案】D 【解析】 【分析】先根据题干条件和函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性得到a b >，A 选项可以利用函数的单调性进行判断，BC 选项可以举出反例，D 选项用不等式的基本性质进行判断. 【详解】因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，若1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a b >，对于选项A ：若a b >，因为()3f x x =单调递增，所以33a b >，故A 错误；对于选项B ：当a b >时，若0c ，则ac bc =，故B 错误；对于选项C ：由a b >，不妨令1a =，2b =-，则此时11ab>，故C 错误； 对于选项D ：由不等式性质，可知D 正确. 故选：D.针对练习八 指数函数的应用36．专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：0.22(340)1()1t f t e--=+，当()0.1f t =时，标志着疫情将要局部爆发，则此时t 约为（参考数据： 1.13e ≈）（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40【答案】A 【解析】 【分析】根据()0.1f t =列式，并根据给出参考数据，结合指数函数的性质解相应的指数方程，即可得答案. 【详解】解：因为()0.1f t =，0.22(340)1()1t f t e--=+，所以0.22(340)10.11t e--=+，即0.22(340)011t e --=+，所以0.22(340)9t e --=，由于 1.13e ≈，故()21.12.29e e =≈， 所以0.22(23).240t e e --≈，所以()0.22340 2.2t --≈，解得10t ≈. 故选：A.37．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在α型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型(e )rt I t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R 、T 近似满足01R rT =+，有学者基于已有数据估计出0 3.22R =，10T =.据此，在α型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至(0)I 的4倍，至少需要（ ）（参考数据：ln 20.69≈） A ．6天 B ．7天 C ．8天 D ．9天【答案】B 【解析】 【分析】根据题意将给出的数据代入公式即可计算出结果 【详解】因为0 3.22R =，10T =，01R rT =+，所以可以得到01 3.2210.22210R r T --===0.2220(0)1I e ⨯==，由题意可知0.2224t e >，ln 42ln 220.696.20.2220.2220.222t ⨯>=≈≈ 所以至少需要7天，累计感染病例数增加至(0)I 的4倍 故选：B38．某灭活疫苗的有效保存时间T （单位：小时h ）与储藏的温度t （单位：①）满足的函数关系为e ht b T +=（k ，b 为常数，其中e 2.71828=⋅⋅⋅，是一个和π类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0①时的有效保存时间是1080h ，在10①时的有效保存时间是120h ，则该疫苗在15①时的有效保存时间为（ ） A ．15h B ．30h C ．40h D ．60h【答案】C 【解析】 【分析】根据已知的函数模型以及已知数据，待定系数即可求得结果. 【详解】由题意知1080e b =，1010120e e e k b k b +==⋅，所以()21051201ee 10809kk===， 所以51e 3k =，所以151e 27k =，所以15151ee e 10804027k bk b +=⋅=⨯=. 故选：C ．39．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ︒）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718=为自然对数的底数，,k b 为常数）．若该食品在0C ︒的保鲜时间是192小时，在33C ︒的保鲜时间是24小时，则该食品在22C ︒的保鲜时间是（ ） A ．20 小时 B ．24小时 C ．36小时 D ．48小时【答案】D 【解析】 【分析】根据题意建立方程组，进而解出11e ,e b k ，然后将22代入即可求得答案. 【详解】由题意，331133e 1922411e e 19282e24b k k k b+⎧=⇒==⇒=⎨=⎩，所以该食品在22C ︒的保鲜时间是2222e e e 1192484k b k b +=⋅=⨯=.故选：D.40．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：()100e ktθθθθ-=-+，其中为时间（单位：min ），0θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20C 的情况下，一桶咖啡由100C 降低到60C 需要20min .则k 的值为（ ） A ．ln 220B ．ln 320C ．ln 210-D ．ln 310-【答案】A 【解析】 【分析】把020θ=，1100θ=，60θ=，20t =代入()100e ktθθθθ-=-+可求得实数k 的值.【详解】由题意，把020θ=，1100θ=，60θ=，20t =代入()100e ktθθθθ-=-+中得2080e 2060k -+=，可得201e2k-=， 所以，20ln 2k -=-，因此，ln 220k =. 故选：A.。
高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)
课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算（ 1）根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根． 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a．③根式的性质： (na )n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a |a (a 0) ．a (a 0)（ 2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是：a n 0, m,n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于0．②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是：a n)n n (0, m, n N , 且 n1) ．0 的负分数指aa数幂没存心义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域（0,+ ∞）过定点 图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)y ＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＞ 0)变化状况a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近 y 轴； 图象影响在第二象限内，a 越大图象越低，越凑近x 轴．在第二象限内，a 越小图象越低，越凑近x 轴．三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析： A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析： 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= ［ f(x) ］ nD.f ［ (xy) n ］ =［ f(x) ］ n ［ f(y) ］ n (n ∈ N * )分析： 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f ［(xy)n］ =a (xy)n , 而［ f(x) ］ n ·［f(y) ］ n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析： a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析： 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析： 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. ［ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析： 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ］ ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______［ -5,1 ］ ___________.3分析： f(x) 在［ -1,1 ］上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析： (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩［ 2,+ ∞］=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈［ -3,2］的最大值和最小值 .解： 设 2-x=t, 由 x ∈［ -3,2 ］得 t ∈［ 1,8 ］ , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解： ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. ［ 1,2］B.［ 2,3］C.(-∞ ,2]D.［ 2,+∞ )分析： 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈［ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为［ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. ［ -1,+∞ )B. ［ -1,63)C.［ 0,+∞ )D.(0,63 ］分析： 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= ［ f(x)-1 ］2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈［ 1,9 ］.2.1 指数函数练习1．以下各式中建立的一项A ． ( n)71n 7 m 7B ．12 ( 3)433m3C ． 4 x 3y 3( x y) 4D ．393321111 1 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D ． 9a 2 A ． 6aB ． aC ． 9a3．设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ，则以下等式中不正确的选项是f (x) A ． f(x+y)=f(x) ·f(y)B ． f （ x y ）f ( y)C ． f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D ． f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4．函数 y (x5) 0 ( x 2)2A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}（）（）（）(n N )（ ）5．若指数函数 y a x 在 [－ 1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数 a 等于 （）A ．15 B ．1 5 C ．15D ．5 122 226．当 a0 时，函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是（）7．函数 f ( x)2 |x| 的值域是（）A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R8．函数 f ( x)2 x 1, x 0，知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x（）A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x2}D ． { x | x 1或 x1}9．函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2（）A ．[ 1,1]B ． ( , 1]C ．[2,)D ．[ 1,2]2exe x210．已知 f ( x)（）2 ，则以下正确的选项是A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．已知函数 f (x)的定义域是（1， 2），则函数 f (2 x ) 的定义域是.12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)=a x －2－ 3 必过定点.三、解答题：13．求函数 y1的定义域 .x5 x 1114．若 a ＞0， b ＞ 0，且 a+b=c ，求证： (1) 当r ＞1时， a r +b r ＜ c r ； (2) 当r ＜ 1时， a r +b r ＞ c r .a x 1 15．已知函数 f ( x)(a ＞1) .a x1（ 1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明 f (x)在 (－∞， +∞ )上是增函数 .xa16．函数 f(x) ＝ a (a>0 ，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2，求 a 的值．参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11． (0,1)；12． (2，－ 2) ；三、 13． 解：要使函数存心义一定：x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 ： x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114． 解：ba，c rcccc.r ＞1 ，a rb ra b 1，r r r当因此+b＜ c ；时c c c crrrrr当 r ＜ 1 时， aba b1， 因此 a +b ＞c .ccc c15． 解 ：(1)是奇函数 .(2) 设x ＜x ，则 f (x 1 )ax11 ax21 。
幂函数、指数函数与对数函数(解析版))
幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如y =a x (a >0,a ≠1)的函数叫作指数函数，其定义域为R ，值域为(0,+∞)．当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图像恒过定点(0,1)．二、分数指数幂a 1n=na ,a m n=n a m ,a -n=1an ,a -mn =1na m三、对数函数及其性质对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为R ，图像过定点(1,0)．它是指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当0<a <1时，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数．四、对数的运算性质(M >0,N >0)(1)a log M a =M (这是定义)；(2)log a (MN )=log M a +log a N ；(3)log a MN=log a M -log a N ；(4)log a M n =n log a M ；(5)log a b =log c blog c a (a ,b ,c >0,a ,c ≠1)(换底公式)．由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)log a mb n =n m log a b ；2)log a b =1log b a．典型例题剖析1已知x 1是方程x +lg x =10的根，x 2是方程x +10x =10的根，求x 1+x 2的值．【解法1】由题意得lg x 1=10-x 110x 2=10-x 2，表明x 1是函数y =lg x 与y =10-x 的交点的横坐标，x 2是函数y =10x 与y =10-x 的交点的横坐标．因为y =lg x 与y =10x 互为反函数，其图像关于y =x 对称，由y =10-x y =x 得，x =5y =5 ，所以x 1+x 22=5，所以x 1+x 2=10．【解法2】构造函数f (x )=x +lg x ，由x 1+lg x 1=10知f x 1 =10，x 2+10x 2=10即10x 2+lg10x 2=10，则f 10x 2 =10，于是f x 1 =f 10x 2 ，又f (x )为(0,+∞)上的增函数，故x 1=10x 2，x 1+x 2=10x 2+x 2=10．【解法3】由题意得x 1=1010-x 110-x 2=10x 2，两式相减有x 1+x 2-10=1010-x 1-10x 2．若x 1+x 2-10>0，则1010-x 1-10x 2>0，得10-x 1>x 2，矛盾；若x 1+x 2-10<0，则1010-x 1-10x 2<0，得10-x 1<x 2，矛盾；而当x 1+x 2=10时，满足题意．【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反证法的技巧．2已知a >0，b >0，log9a =log 12b =log 16(a +b )，求ba的值．【解法1】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．由于9k ×16k =12k 2故(a +b )a =b 2，解得：b a =1+52(负根舍去)．【解法2】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．b a =12k 9k =43 k ，而9k +12k =16k，故1+12k 9k =16k 9k ，即43 k 2-43 k -1=0，故b a =43 k =1+52(负根舍去)．【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理．3已知函数f (x )=1x +1+log 13x 2-x，试解不等式f x x -12 >12．【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合．初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键．【解】易证函数y =f (x )在其定义域(0,2)内是单调减函数．并且f (1)=12，所以原不等式即为f x x -12 >f (1)等价于x x -12 <10<x x -12 <2⇒ x 12<x <1+174或1-174<x <0 ．【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法．4设方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实根，求k 的取值范围．【分析】本题要注意函数的定义域．【解法1】当且仅当kx >0①x +1>0②x 2+(2-k )x +1=0③时原方程仅有一个实根，对方程③使用求根公式，得x 1,x 2=12k -2±k 2-4k ④Δ=k 2-4k ≥0⇒k <0或k ≥4．当k <0时，由方程③，得x 1+x 2=k -2<0,x 1x 2=1>0,所以x 1，x 2同为负根．又由方程程④知x 1+1>0,x 2+1<0,所以原方程有一个解x 1．当k =4时，原方程有一个解x =k2-1=1．当k >4时，由方程③，得x 1+x 2=k -2>0,x 1x 2=1>0. 所以x 1，x 2同为正根，且x 1≠x 2，不合题意，舍去．综上所述可得k <0或k =4为所求．【解法2】由题意，方程kx =(x +1)2，也即方程k =x +1x+2在满足关于x 的不等式kx >0x +1>0 的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：(1)当k >0时，k =x +1x +2在x >0范围内有唯一实数根，则有k =4；(2)当k <0时，k =x +1x+2在-1<x <0范围内有唯一实数根，则有k <0．综上可得k <0或k =4为所求．【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题．5解不等式：log 12(x +3x )>log 64x ．【分析】若考虑到去根号，可设x =y 6(y >0)，原不等式变为log 12y 3+ y 2 >log 6446=log 2y ，即2log 12y +log 2(y +1)>log 2y ，陷入困境．原不等式即6log 12(x +3x )>log 2x ⇒2log 12x +log 121+x166>log 2x ，设t =log 2x ，则log 12x =1log x12=12log x 2+log x 3，同样陷入困境．下面用整体代换y =log 64x ．【解】设y =log 64x ，则x =64y，代人原不等式，有log 128y +4y >y ，8y +4y >12y，23 y +13 y >1，由指数函数的单调性知y =log 64x <1，则0<x <64．故原不等式的解集为(0,64)．6已知1<a ≤b ≤c 证明：log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c ．【证法1】注意到log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c=ln b ln a +ln c ln b +ln a ln c -ln a ln b+ln b ln c +ln c ln a =ln 2b ln c +ln 2c ln a +ln 2a ln b -ln 2b ln a +ln 2c ln b +ln 2a ln c ln a lnb ln c=-(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )ln a ln b ln c．【证法2】设log b a =x ，log c b =y ，则log a c =1xy ，于是原不等式等价于x +y +1xy ≤1x +1y+xy ，即x 2y +xy 2+1≤y +x +x 2y 2，即xy (x +y )-(x +y )+1-x 2y 2 ≤0，也即(x +y -1-xy )(xy -1)≤0也即(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，由1<a ≤b ≤c 知x ≥1,y ≥1，所以(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，得证．因为1<a ≤b ≤c ，所以ln a ln b ln c >0，(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )≥0所以log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c ≤0即log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c °【评注】若令x =ln a ，y =ln b ，z =ln c 则原不等式等价于：设0<x ≤y ≤z ，求证：x 2y +y 2z +z 2x ≤xy 2+yz 2+zx 2．7设函数f (x )=|lg (x +1)|，实数a ，b (a <b )满足f (a )=f -b +1b +2，f (10a +6b +21)=4lg2，求a 、b 的值．【分析】利用已知条件构建关于a 、b 的二元方程组进行求解．【解】因为f (a )=f -b +1b +2 ，所以|lg (a +1)|=lg -b +1b +2+1 =lg 1b +2=|lg (b +2)|所以，a +1=b +2或(a +1)(b +2)=1，又因为a <b ，所以a +1≠b +2，所以(a +1)(b +2)=1又由于0<a +1<b +1<b +2，于是0<a +1<1<b +2，所以(10a +6b +21)+1=10(a +1)+6(b +2)=6(b +2)+10b +2>1，从而f (10a +6b +21)=lg 6(b +2)+10b +2=lg 6(b +2)+10b +2，又f (10a +6b +21)=4lg2，所以lg 6(b +2)+10b +2 =4lg2，故6(b +2)+10b +2=16．解得b =-13或b =-1(舍去)．把b =-13代故(a +1)(b +2)=1，解得a =-25．所以，a =-25,b =-13．同步训练一、选择题1已知a 、b 是方程log 3x 3+log 27(3x )=-43的两个根，则a +b =()．A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C ．【解析】原方程变形为log 33log 3(3x )+log 3(3x )log 327=-43，即11+log 3x +1+log 3x 3=-43．令1+log 3x =t ，则1t +t 3=-43，解得t 1=-1,t 2=-3．所以1+log 3x =-1或1+log 3x =-3，方程的两根分别为19和181，所以a +b =1081．故选C ．2已知函数f (x )=1a x -1+12x 2+bx +6(a ,b 为常数，a >1)，且f lglog 81000 =8，则f (lglg2)的值是()．A.8 B.4 C.-4 D.-8【答案】B ．【解析】由已知可得f lglog 81000 =f lg33lg2=f (-lglg2)=8，又1a -x -1+12=a x 1-a x +12=-1+11-a x +12=-1a x -1-12，令F (x )=f (x )-6，则有F (-x )=-F (x )．从而有f (-lglg2)=F (-lglg2)+6=-F (lglg2)+6=8，即知F (lglg2)=-2，f (lglg2)=F (lglg2)+6=4．3如果f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364，则使f (x )<0的x 的取值范围为()．A.0<x <1 B.1<x <83C.x >1D.x >83【答案】B ．【解析】显然x >0，且x ≠1．f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364=1-log x 2+log x 3-log x 4=log x 38x ．要使f (x )<0．当x >1时，38x <1，即1<x <83；当0<x <1时，38x >1，此时无解．由此可得，使得f (x )<0的x 的取值范围为1<x <83．应选B ．4若f (x )=lg x 2-2ax +a 的值域为R ，则a 的取值范围是()．A.0<a <1 B.0≤a ≤1 C.a <0或a >1 D.a ≤0或a ≥1【答案】D ．【解析】由题目条件可知，(0,+∞)⊆y |y =x 2-2ax +a ，故Δ=(-2a )2-4a ≥0，解得a ≤0或a ≥1．选D ．二、填空题5设f (x )=log 3x -4-x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．【答案】[3,4]．【解析】定义域(0,4]．在定义域内f (x )单调递增，且f (3)=0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3,4]．6设0<a <1，0<θ<π4，x =(sin θ)log asin θ，y =(cos θ)log atan θ，则x 与y 的大小关系为．【答案】x <y ．【解析】根据条件知，0<sin θ<cos θ<1，0<sin θ<tan θ<1，因为0<a <1，所以f (x )=log a x 为减函数，所以log a sin θ>log a tan θ>0，于是x =(sin θ)log a sin θ<(sin θ)log a tan θ<(cos θ)log a tan θ=y .7设f (x )=12x +5+lg 1-x 1+x ，则不等式f x x -12<15的解集为．【答案】1-174,0 ∪12,1+174．【解析】原不等式即为f x x -12<f (0)．因为f (x )的定义域为(-1,1)，且f (x )为减函数．所以-1<x x -12 <1x x -12 >0.解得x ∈1-174,0∪12,1+174．8设f (x )=11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x ，则f (x )+f 1x =．【答案】3．【解析】f (x )+f 1x =11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x +11+2-lg x +11+4-lg x +11+8-lg x =3．三、解答题9已知函数f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)的反函数是y =f -1(x )，而且函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称．(1)求函数y =g (x )的解析式；(2)若函数F (x )=f -1(x )-g (-x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，求a 的取值范围．【解析】(1)由f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)，得f -1(x )=log a (x -3a )．又函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称，则g (a +x )=-f -1(a -x )，于是，g (x )=-f -1(2a -x )=-log a (-x -a )，(x <-a )．(2)由(1)的结论，有F (x )=f -1(x )-g (-x )=log a (x -3a )+log a (x -a )．要使F (x )有意义，必须满足x -3a >0,x -a >0. 又a >0，故x >3a ．由题设F (x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，所以a +2>3a ，即a <1．于是，0<a <1．10设f (x )=log a (x -2a )+log a (x -3a )，其中a >0且a ≠1．若在区间[a +3,a +4]上f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．【解析】f (x )=log a x 2-5ax +6a 2=log a x -5a 2 2-a 24．由x -2a >0x -3a >0, 得x >3a ，由题意知a +3>3a ，故a <32，从而(a +3)-5a 2=-32(2-a )>0，故函数g (x )=x -5a 2 2-a 24在区间[a +3,a +4]上单调递增．若0<a <1，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递减，所以f (x )在区间[a +3，a +4]上的最大值为f (a +3)=log a 2a 2-9a +9 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式loglog a 2a 2-9a +9 ≤1恒成立，从而2a 2-9a +9≥a ，解得a ≥5+72或a ≤5-72．结合0<a <1，得0<a <1．若1<a <32，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递增，所以f (x )在区间[a +3,a +4]，上的最大值为f (a +4)=log a 2a 2-12a +16 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式log a 2a 2-12a +16 ≤1恒成立，从而2a 2-12a +16≤a ，即2a 2-13a +16≤0，解得13-414≤a ≤13+414．易知13-414>32，所以不符合．综上所述，a 的取值范围为(0,1)．11解方程组x x +y=y 12y x +y =x 3，(其中x ,y ∈R * ．【解析】两边取对数，则原方程组可化为(x +y )lg x =12lg y ①(x +y )lg y =3lg x ②把式①代入式②，得(x +y )2lg x =36lg x ，所以(x +y )2-36 lg x =0．由lg x =0，得x =1；代入式①，得y =1．由(x +y )2-36=0x ,y ∈R * 得x +y =6．代入式①得lg x =2lg y ，即x =y 2，所以y 2+y -6=0．又y >0，所以y =2,x =4．所以方程组的解为x 1=1y 1=1 ，x 2=4y 2=2 ．12已知f (x )=lg (x +1)-12log 3x ．(1)解方程f (x )=0；(2)求集合M =n f n 2-214n -1998 ≥0,n ∈Z 的子集个数．【解析】(1)任取0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =lg x 1+1 -lg x 2+1 -12log 3x 1-log 3x 2=lgx 1+1x 2+1-12log 3x 1x 2=lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2，因为x 1+1x 2+1>x 1x 2，所以lg x 1+1x 2+1>lg x 1x 2．故f x 1 -f x 2 =lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2>lg x 1x 2-lg x1x 2lg9，因为0<lg9<1，lg x 1x 2<0，所以f x 1 -f x 2 >lg x 1x 2-lg x1x 2=0，f (x )为(0,+∞)上的减函数，注意到f (9)=0，当x >9时，f (x )<f (9)=0；当<x <9时，f (x )>f (9)=0，所以f (x )=0有且仅有一个根x =9．(2)由f n 2-214n -1998 ≥0⇒f n 2-214n -1998 ≥f (9)所以n 2-214n -1998≤9n 2-214n -1998>0 ⇔n 2-214n -2007≤0n 2-214n -1998>0⇔(n -223)(n +9)≤0(n -107)2>1998+1072=13447>1152⇔-9≤n ≤223n >222或n <-8 ⇔⇔-9≤n ≤223n ≥223或n ≤-9 ，所以n =223或n =-9,M ={-9,223},M 的子集的个数是4．13已知a >0，a ≠1，试求使得方程log a (x -ak )=log a x 2-a 2 有解的k 的取值范围．【解析】由对数性质知，原方程的解x 应满足(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0x 2-a 2>0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立，则式(3)必成立，故只需要解(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0.由式(1)可得2kx =a 1+k 2(4)当k =0时，式(4)无解；当k ≠0时，式(4)的解是x =a 1+k 2 2k ，代人式(2)，得1+k 22k>k ．若k <0，则k 2>1，所以k <-1；若k >0，则k 2<1，所以0<k <1．综上所述，当k ∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解．14已知0.301029<lg2<0.301030，0.477120<lg3<0.477121，求20001979的首位数字．【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2)．所以6532.736391<lg20001979<6532.73837．故20001979为6533位数，由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3，得0.698970<lg5<0.6989710.778149<lg6<0.778151⇒lg5<0.736391<0.73837<lg6,说明20001979的首位数字是5．15已知3a +13b =17a ，5a +7b =11b ，试判断实数a 与b 的大小关系，并证明之．【解析】令a =1，则13b =14,5+7b =11b ，可见b >1．猜想a <b ．下面用反证法证明：若a ≥b ，则13a ≥13b ,5a ≥5b ，所以17a =3a +13b ≤3a +13a ,11b =5a +7b ≥5b +7b ，即317 a +1317 a ≥1,511 b +711 b ≤1，而函数f (x )=317 x +1317 x和g (x )=511 x +711 x在R 上均为减函数，且f (1)=317+1317=1617<1≤f (a ),g (1)=511+711=1211>1≥g (b )．所以a <1,b >1．这与a ≥b 矛盾，故a <b ．16解不等式log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <1+log 2x 4+1 ．【解析】原不等式等价于log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <log 22x 4+2 ．由于y =log 2x 为单调递增函数，于是x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2x 4+2，两端同时除以x 6，并整理得2x2+1x 6>x 6+3x 4+3x 2+1+2x 4+2=x 2+1 3+2x 2+1 构造函数g (t )=t 3+2t ，则上述不等式转化为g1x2>g x 2+1 .显然g (t )=t 3+2t 在R 上为增函数．于是以上不等式等价于1x2>x 2+1，即x 2 2+x 2-1<0，解得x 2<5-12．故原不等式的解集为-5-12,5-12．。
指数以及指数函数的整理讲义经典-（含答案）
指数以及指数函数的整理讲义经典-（含答案）指数与指数函数⼀、指数（⼀）n 次⽅根：1的3次⽅根是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．以上都不对 2、若4a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≥2且a ≠4C ．a ≠2D ．a ≠4（⼆）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,??<-≥==0,0,a a a a a a n n1．下列各式正确的是( )＝－3 ＝a ＝2 D ．a 0＝12、.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( )A ．0B ．2(a －b )C ．0或2(a －b )D ．a －b 3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成⽴的条件是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x <0，y >0D ．x <0，y <0 4、求下列式⼦(1)．334433)32()23()8(---+-(2)223223--+132811621258---????；；；243的结果为 A 、5B 、5C 、－5D 、－53、把下列根式写成分数指数幂的形式：（1）32ab （2）()42a -（3）3432x x x（四）、实数指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）sr r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( )A ．a m a n ＝a mnB ．(a m )n ＝am ＋nC ．a m b n ＝(ab )m ＋nD ．(b a )m＝a －m b m2、若0,x >则13111424（2x +3）(2x -3)-4x ＝ .3．计算－13－(－78)0＋[(－2)3]－43＋16－＋|－|12＝________.题型⼀： 1、求值：（1-；（22、已知*N n ∈，化简()()()()=+++++++++----11111233221n n Λ_____。
高中数学分数指数幂专题含答案
高中数学分数指数幂专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知m >0，则√m 12√m 52√m 化为( )A.m 54 B.m 32C.mD.12. 用分数指数幂表示√a 12√a 12√a(a >0)其结果是（ ）A.aB.a 12C.a 14D.a 163. 化简(√√a 963)4⋅(√√a 936)4的结果等于( ) A.a 16 B.a 8 C.a 4 D.a 24. √a ⋅√a ⋅√a 3的分数指数幂表示为（ ）A.a 32 B.a 3C.a 34D.都不对5. 将√223化成分数指数幂为（ ） A.232 B.2−12C.213D.2236. 下列等式成立的是( ) A.(−2)−2=4 B.2a −3=12a 3(a >0) C.(−2)0=−1D.(a −14)4=1a (a >0)7. 若a =(12)34，b =(34)12，c =log 23，则a ，b ，c 大小关系是（ ） A.B.C.D.8. 已知a =(−2)13，b =416，c =(12)−14，d =8113，则a ，b ，c ，d 之间的大小关系为( )A.d <c <b <aB.a <d <c <bC.d <a <c <bD.a <c <d <b9. 已知x 12−x −12=√5，则x +1x 的值为( ) A.7 B.3√5 C.±3√5 D.2710. 下列各式正确的是( ) A.a −35=√a53B.√x 23=x 32C.a 12⋅a 14⋅a −18=a 12×14×(−18) D.2x −13(12x 13−2x −23)=1−4x11. (112)0−(1−0.5−2)÷(278)23的值为( ) A.−13B.13C.43D.7312. 已知a =243，b =425，c =2513，则（ ） A.b <a <c B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b13. 若√a 2−4a +46=√2−a 3，则实数a 的取值范围是（ ） A.a ∈R B.a =2C.a >2D.a ≤214. 计算：________.15. 若，且满足，则的最小值为________.16. 已知：y =√x−2+√2−x2+3，则x y =________．17. 式子a2⋅√a（其中a>0）用分数指数幂表示为________．18. 方程21−x=132的解为________.19. 已知x+x−1=3,则x2+x−2=________；x12+x−12=________.20. 计算813+(12)−2+(27−1+16−2)0=________．21. 化为分数指数幂的形式：3√b√ab3=________．22. 方程3x+1=19的解是________．23. 已知a+b=5，ab=3，则代数式a3b−2a2b2+ab3的值为________．24. 化简或求值（1）；（2）．25. 计算：0.16−12+(−59)+[(−2)3]43+16−0.75+|−0.001|13．26. 计算：(1+2−18)(1+2−14)(1+2−12)27. 用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）；（1）√a6b5；（2）√m 23；（3）√(m −n)3(m >n)；（4）√a ⋅√a 3；（5）√a √a √a ． 28. (1)计算：(278)−23−(499)0.5+(0.008)−23×225；(2)已知集合A ={x|2x−3≥1}，B ={x|a +1≤x <2a −1}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 29. 解答.(1)求值：√(−27)23+√(2−π)2+√(4−π)44；(2)计算：2x −13(12x 13+x −23)x ；(3)计算：(x 12+2y 14)(x 12−2y 14)÷y −12.30. 化简求值： （1）0.125−13−(98)0+[(−2)2]32+(√2×√33)6；（2）(5116)0.5+√(−10)2−2√3×√276−4π0÷(34)−131. 已知x 12+x −12=3，求x 32+x−32−3x 2+x −2−2的值.参考答案与试题解析高中数学分数指数幂专题含答案一、选择题（本题共计 13 小题，每题 3 分，共计39分）1.【答案】C【考点】分数指数幂【解析】此题暂无解析【解答】解：m>0，√m12√m52√m=√m12√m52⋅m12=√m12√m3=√m12⋅m32=√m2=m．故选C．2.【答案】B【考点】分数指数幂【解析】利用分数指数幂与根式的互化公式直接求解．【解答】解：∵a>0，∴√a12√a12√a=√a 12√a12a12=√a 12√a=√a 12a12=√a=a12．故选B．3.【答案】C【考点】分数指数幂【解析】本题主要考查根式的化简及分数指数幂的运算. 【解答】解：因为(√√a 963)4=(((a 9)16)13)4=a 9×16×13×4=a 2， (√√a 936)4=a 9×13×16×4=a 2，所以((√√a 963)4⋅(√√a 936)4=a 2⋅a 2=a 4. 故选C . 4. 【答案】 C【考点】 分数指数幂 【解析】从内到外依次将根号写成分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质化简． 【解答】解：√a ⋅√a ⋅√a 3=√a ⋅√a 323=√a ⋅a 12=√a 32=a 34．故选C ． 5.【答案】 D【考点】 分数指数幂 【解析】直接化根式为分数指数幂得答案． 【解答】 解：√223=223．故选：D ． 6.【答案】 D【考点】 分数指数幂 【解析】本题考查负数指数幂、分数指数幂的运算，属于基础题. 利用运算性质，逐项验证，即可求出结果. 【解答】解：A ，(−2)−2=14，故A 错误； B ，2a −3=2a 3(a >0)，故B 错误；C ，(−2)0=1，故C 错误；D ，(a −14)4=a −1=1a (a >0)，故D 正确.故选D . 7. 【答案】 A【考点】对数值大小的比较 分数指数幂【解析】根据题干，首先对a 1分别进行四次方，判断出a 1b 的大小，再和1进行比较得出． 【解答】根据题干条件知道，a =(12)2,a =18 b =(34)12b 4=916>a 4=0<a <b <b <1而c =log 23>1 故a <b <c故答案为：A ． 8. 【答案】 B【考点】指数函数的单调性与特殊点 分数指数幂 【解析】 无【解答】解：因为a =(−2)13<0， b =416=213，c =214，d =2313， 因为313<14<13，而函数y =2x 在R 上单调递增， 所以0<d <c <b ， 所以a <d <c <b ． 故选B ． 9.【答案】 A【考点】有理数指数幂的化简求值 分数指数幂 【解析】把x 12+x−12=3两边平方化简即可得出．【解答】解：∵x 12−x−12=√5，∴(x12−x−12)2=x+1x−2=5，∴x+1x=7．故选A.10.【答案】D【考点】分数指数幂【解析】此题暂无解析【解答】解：A，a−35=1a35=√a35，故此选项错误；B，√x23=x23，故此选项错误；C，a12⋅a14⋅a−18=a12+14−18=a58，故此选项错误；D，2x−13(12x13−2x−23)=1−4x−1=1−4x，故此选项正确.故选D.11.【答案】D【考点】分数指数幂【解析】此题暂无解析【解答】解：原式=1−(1−10.52)÷(32)2=1−(1−10.25)÷(32)2=1−(1−4)×4 9=1−(−3)×4 9=1+43=73．故选D．12.A【考点】 分数指数幂指数式、对数式的综合比较 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 13. 【答案】 D【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 有理数指数幂 分数指数幂【解析】由偶次根式的性质求a 的范围． 【解答】√a 2−4a +44=√a −2)23≥0 √2−a 3≥0即2−a ≥0,a ≤2故答案为：D ． 二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 14.【答案】加加2√2−3【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 顺序结构的应用 分数指数幂【解析】根据指数的运算公式和根式转化指数形式，即可得到答案 【解答】 2−12(−4)0√21√2−1−√(1−√5)0⋅823=1√21√2+√2+1−1×23=2√2+1−4=2√2−3 故答案为：2√2−3．I =…睛】本题考查指数式的运算，熟悉根式的性质、指数运算性质是解题的关键，考查计算能力． 15. 【答案】加加3+2√2【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 基本不等式 分数指数幂r 加加(2a +b )⋅(1a +1b )=2+2a b +b a +1=3+2a b +b a ≥3+2√b b ⋅bb =3+2√2【解答】由题则(2a +b )⋅(1a +1b )=2+2a b+b a +1=3+2a b+b a ≥3+2√2a b ⋅ba =3+2√2当且仅当2a b=ba．即a =1+√22,b =√2+1时，等号成立2a +b 的最小值为3+2√216. 【答案】 8【考点】 分数指数幂 【解析】 由函数y =√x−2+√2−x2+3的定义域求得x =2，进一步得到y =3，则答案可求．【解答】解：由{x −2≥02−x ≥0，解得x =2，∴ y =3，则x y =23=8． 故答案为：8． 17. 【答案】a 52【考点】 分数指数幂 【解析】根据根式与分数指数幂之间的关系进行化简即可． 【解答】 解∵ ∵ a >0∴ 根据根式与分数指数幂之间的关系可得a 2⋅√a =a 2⋅a 12=a 5故答案为：a 2518.【答案】 6【考点】 分数指数幂 【解析】分数化为以2为底的指数，指数相等即可解出x ． 【解答】21−x =132=2−5 1−x =−5 ，解得x =6故答案为：6 19. 【答案】7,√5【考点】有理数指数幂的化简求值根式与分数指数幂的互化及其化简运算分数指数幂【解析】此题暂无解析【解答】解：因为x+x−1=3，所以(x+x−1)2=9，即x2+x−2+2=9，所以x2+x−2=7；∵(x12+x−12)2=x+2+x−1=5，∴x12+x−12=√5.故答案为：7；√5.20.【答案】7【考点】分数指数幂【解析】直接利用分数指数幂的运算法则求解即可．【解答】解：813+(12)−2+(27−1+16−2)0=2+4+1=7．故答案为：7．21.【答案】a 52b−1【考点】分数指数幂【解析】根据分数指数幂的定义√a mn=a m n进行化简．【解答】解：3√b√ab3=a3b12a12b32=a52b−1，故答案为：a 52b−1．22.【答案】x=−3【考点】 分数指数幂 【解析】由题意，将方程变为3x+1=19=3−2，再由同底数幂相等得到方程x +1=−2解出x 的值【解答】解：∵ 3x+1=19=3−2 ∴ x +1=−2，解得x =−3 故答案为x =−3 23.【答案】 39【考点】 分数指数幂 【解析】a 3b −2a 2b 2+ab 3=ab(a 2−2ab +b 2)=ab(a −b)2=ab[(a +b)2−4ab]，由此能求出代数式a 3b −2a 2b 2+ab 3的值． 【解答】解：∵ a +b =5，ab =3，∴ a 3b −2a 2b 2+ab 3=ab(a 2−2ab +b 2) =ab(a −b)2=ab[(a +b)2−4ab] =3(25−12) =39．故答案为：39．三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 10 分 ，共计80分 ） 24.【答案】 （1）a 58,−7 （2）101【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 有理数指数幂的化简求值 分数指数幂【解析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出． 【解答】 （1）原式=√ab 3b √ab=a ⋅a 13⋅b 13b ⋅a 12⋅122=a 12−73（2）原zx ¯=(94)12+(110)−2−[32)−13+1=32+100−32+1 =101【点．2青】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题． 25. 【答案】解：0.16−12+(−59)0+[(−2)3]43+16−0.75+|−0.001|13=2.5+1+116+18+110=30380【考点】分数指数幂 【解析】根据分数指数幂与根式之间的关系及指数的运算性质，我们分别计算出各项的值，代入即可得到答案． 【解答】 此题暂无解答 26. 【答案】 解：原式=(1−2−18)(1+218)(1+214)(1+212)1−2−18=(1−2−14)(1+214)(1+212)1−2−18=(1−2−12)(1+212)1−2−18=1−2−11−2−18=2−√278【考点】 分数指数幂 【解析】利用分数指数幂的运算法则即可得出． 【解答】 此题暂无解答 27.【答案】 解：（1）∵ a >0，b >0， ∴ √a 6b 5=a 3b 2√b =a 3b 52． （2）∵ m >0，∴ √m 23=m 23．（3）∵ m >n >0，∴ √(m −n)3=(m −1)32． （4）∵ a >0，∴ √a ⋅√a 3=a 12⋅a 13=a 56．（5）∵ a >0，∴ √a √a √a =√a ⋅√a ⋅a 12=√a ⋅a 34=a 78．【考点】 分数指数幂 【解析】 结合公式am n=√a m n ，利用分数指数幂的性质和运算法则求解．【解答】 解：（1）∵ a >0，b >0， ∴ √a 6b 5=a 3b 2√b =a 3b 52．（2）∵ m >0，∴ √m 23=m 23．（3）∵ m >n >0，∴ √(m −n)3=(m −1)32． （4）∵ a >0，∴ √a ⋅√a 3=a 12⋅a 13=a 56．（5）∵ a >0，∴ √a √a √a =√a ⋅√a ⋅a 12=√a ⋅a 34=a 78． 28. 【答案】 解：(1)(278)−23−(499)0.5+(0.008)−23×225=[(32)3]−23−[(73)2]12+[(0.2)3]−23×225=49−73+25×225=19.(2)因为2x−3≥1，即2x−3−x−3x−3≥0，所以5−x x−3≥0等价于{(5−x )(x −3)≥0,x −3≠0,解得3<x ≤5， 所以A ={x|2x−3≥1}={x|3<x ≤5}．因为B ={x|a +1≤x <2a −1}，B ⊆A ， 当B =⌀时，a +1≥2a −1，解得a ≤2； 当B ≠⌀时，{2a −1≤5,a +1>3,解得2<a ≤3.综上可得a ≤3．【考点】 分数指数幂集合关系中的参数取值问题 【解析】无 无 【解答】 解：(1)(278)−23−(499)0.5+(0.008)−23×225=[(32)3]−23−[(73)2]12+[(0.2)3]−23×225=49−73+25×225=19. (2)因为2x−3≥1，即2x−3−x−3x−3≥0，所以5−xx−3≥0等价于{(5−x )(x −3)≥0,x −3≠0,解得3<x ≤5，所以A ={x|2x−3≥1}={x|3<x ≤5}． 因为B ={x|a +1≤x <2a −1}，B ⊆A ， 当B =⌀时，a +1≥2a −1，解得a ≤2； 当B ≠⌀时，{2a −1≤5,a +1>3,解得2<a ≤3.综上可得a ≤3． 29. 【答案】解：(1)√(−27)23+√(2−π)2+√(4−π)44=32+π−2+4−π=9−2+4=11.(2)2x −13(12x 13+x −23)x=(1+2x −1)x =x +2. (3)(x 12+2y 14)(x 12−2y 14)÷y −12 =(x−4y 12)y 12=x √y −4y.【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 分数指数幂 【解析】解：（1）√(−27)23+√(2−π)2+√(4−π)24=32+π−2+4−π=9−2+4=11（2)2x−13(12x 13+x −23)x =(1+2x −1)x =x +2.（3）(x 12+2y 14)(x 12−2y 14)÷y−12=(x −4y 12)y 12=x √y −4y.【解答】解：(1)√(−27)23+√(2−π)2+√(4−π)44=32+π−2+4−π=9−2+4=11.(2)2x −13(12x 13+x −23)x=(1+2x −1)x =x +2. (3)(x 12+2y 14)(x 12−2y 14)÷y −12 =(x −4y 12)y 12=x √y −4y.30.【答案】解：根据指数幂与根式的运算,化简可得0.125−13−(98)0+[(−2)2]32+(√2×√33)6 =[(2)−3]−13−(98)0+[22]32+(212×313)6 =2−1+8+(212)6(313)6=2−1+8+8×9=81解：由分数指数幂及根式的运算,化简可得(5116)0.5+√(−10)2−2√3×√276−4π0÷(34)−1=[(32)4]0.5+10−2√3×(33)16−4×34=94+10−2√3×√3−3 =94+10−6−3=134【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 有理数指数幂的化简求值 分数指数幂【解析】（1）根据指数幂与根式的运算，化简即可得解 （2）由分数指数幂及根式的运算，化简即可求解． 【解答】 此题暂无解答 31. 【答案】解：∵ x 12+x −12=3，∴ x +2+x −1=9，∴ x +x −1=7， ∴ x 2+2+x −2=49，∴ x 2+x −2=47，∴x32+x−32−3x2+x−2−2=(x12+x−12)(x−1+x−1)−347−2=3×(7−1)−345=1545=13【考点】有理数指数幂的化简求值分数指数幂【解析】通过平方将目标式与已知式联系，代入求值．【解答】此题暂无解答。
高一数学指数函数试题答案及解析
高一数学指数函数试题答案及解析1.若函数的图像经过第二，第三和第四象限，则一定有A．B．C．D．【答案】A【解析】根据指数函数的图象可知要使函数的图象经过第二，第三和第四象限，需要，即.【考点】本小题主要考查指数函数的图象和平移，考查学生对函数图象平移的掌握.点评：解决此类问题，一定要画出函数的图象，数形结合是解决问题的有力工具，要灵活应用.2.（本小题满分12分）（1）化简（2）计算的值【答案】（1）（2）【解析】（1）原式=. ……6分（2）原式=. ……12分【考点】本小题主要考查指数、对数的化简求值，考查学生的运算求解能力.点评：要解决此类问题，需要正确灵活的应用指数、对数的运算公式和运算性质.3.已求函数的单调区间.【答案】当0<a<1时，函数在上是减函数，在上是增函数；当a>1时，函数在上是增函数，在上是减函数.【解析】解：由>0得0<x<1，所以函数的定义域是(0,1)因为0<=，所以，当0<a<1时,函数的值域为;当a>1时,函数的值域为当0<a<1时，函数在上是减函数，在上是增函数；当a>1时，函数在上是增函数，在上是减函数.4.已知2x＝5y＝10，则＋＝________【答案】1【解析】由2x＝5y＝10得x＝log210，y＝log510，＋＝＋＝lg2＋lg5＝1.5.计算：＝【答案】【解析】原式6.已知函数f (x)的定义域是（1，2），则函数的定义域是【答案】(0,1)【解析】由函数f (x)的定义域是（1，2）得;则函数的定义域为（0,1）7.函数y=()(-3)的值域是_____________【答案】[（）9，39]【解析】；所以又是减函数；所以即所以函数y=()(-3)的值域是[（）9，39]。
8.定义运算为：，例如：，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意可得，，∵时，，综上可得，的取值范围是，故答案为.9.已知，则三者的大小关系是A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数的图象与性质可知：；由函数的图象与性质可知：；∴故选：A10.若，则等于A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，故选A.11.（1）计算；（2）已知，，试用表示.【答案】(1)4；(2).【解析】(1)由题意结合分数指数幂的运算法则计算可得原式的值为4；(2)由题意结合换底公式可得.试题解析：（1）.（2）.12.已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C.13.的值为________．【答案】【解析】。
指数与指数函数
§2.7 指数与指数函数考试要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理 1．根式(1)一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. (2)式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (3)(na )n ＝a .当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂：m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)． 正数的负分数指数幂：m n a－＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈Q )． 4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R .(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R值域 (0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1； 当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a )，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2.如图所示是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则c >d >1>a >b >0，即在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)4(－4)4＝－4.( × )(2)2a ·2b ＝2ab .( × )(3)函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x－1的值域是(0，＋∞)．( × ) (4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × ) 教材改编题1．已知函数y ＝a ·2x 和y ＝2x＋b都是指数函数，则a ＋b 等于( )A ．不确定B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 由函数y ＝a ·2x 是指数函数，得a ＝1， 由y ＝2x ＋b 是指数函数，得b ＝0，所以a ＋b ＝1.2．计算：()(222327130π－－＋－－________.答案 1 解析 原式＝2333⎛⎪⨯⎫⎝⎭－＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.3．若指数函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a ＝________.答案 2或12解析 若a >1，则f (x )max ＝f (1)＝a ＝2；若0<a <1，则f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝2，得a ＝12.题型一 指数幂的运算 例1 计算： (1)(－1.8)0＋⎝⎛⎭⎫32－2·3⎝⎛⎭⎫3382－10.01＋93； (2)()3112123324140.1aba b----⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⋅(a >0，b >0)．解 (1)(－1.8)0＋⎝⎛⎭⎫32－2·3⎝⎛⎭⎫3382－10.01＋93 ＝1＋2233222710938⎛⎫⎛⎫⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1＋⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫322－10＋33 ＝1＋1－10＋27＝19.(2)()3112123324140.1aba b----⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⋅＝331322223322240.1a b a b--⋅⨯⨯＝2×1100×8＝425.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1 计算： (1)933713332÷·aa a a -- ；(2)()13633470.001+16+238-⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭.解 (1)因为a －3有意义，所以a >0，所以原式＝7139333322a a a a --⋅÷⋅＝3a 3÷a 2＝a ÷a ＝1.(2)原式＝()()61113343234101+2+23-⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭－＝10－1＋8＋23·32＝89. 题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)(多选)已知非零实数a ，b 满足3a ＝2b ，则下列不等关系中正确的是( ) A ．a <bB ．若a <0，则b <a <0C ．|a |<|b |D ．若0<a <log 32，则a b <b a 答案 BCD 解析 如图，由指数函数的图象可知，0<a <b 或者b <a <0，所以A 错误，B ，C 正确； D 选项中，0<a <log 32⇒0<a <b <1，则有a b <a a <b a ，所以D 正确．(2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 答案 (0,2)解析 在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴b的取值范围是(0,2)．思维升华对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练2(多选)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1B．0<a<1C．b>0D．b<0答案BD解析由函数f(x)＝a x－b的图象可知，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，∴0<a<1，故B正确；分析可知，函数f(x)＝a x－b的图象是由y＝a x的图象向左平移所得，如图，∴－b>0，∴b<0，故D正确．题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式大小例3设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则()A ．b <c <aB ．c <a <bC ．a <b <cD ．b <a <c答案 D解析 b ＝2－0.4<20＝1，c ＝90.4＝30.8>30.7＝a >30＝1， 所以b <a <c .命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 (2023·青岛模拟)已知y ＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]，则x 的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．(－∞，0) C ．(0,1)∪[2,4] D ．(－∞，0]∪[1,2]答案 D解析 ∵y ＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]， ∴1≤4x －3·2x ＋3≤7. ∴－1≤2x ≤1或2≤2x ≤4. ∴x ≤0或1≤x ≤2.命题点3 指数函数性质的综合应用例5 已知函数f (x )＝8x ＋a ·2x a ·4x (a 为常数，且a ≠0，a ∈R )，且f (x )是奇函数．(1)求a 的值；(2)若∀x ∈[1,2], 都有f (2x )－mf (x )≥0成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝1a ×2x ＋12x ，因为f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，所以1a ×12x ＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫1a ×2x ＋12x ， 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫2x ＋12x ＝0， 即1a ＋1＝0，解得a ＝－1. (2)因为f (x )＝12x －2x ，x ∈[1,2]，所以122x －22x ≥m ⎝⎛⎭⎫12x －2x ，所以m ≥12x ＋2x ，x ∈[1,2]，令t ＝2x ，t ∈[2,4]，由于y ＝t ＋1t 在[2,4]上单调递增，所以m ≥4＋14＝174.思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3 (1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的有( )A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的值域为(－1,1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案 AC解析 对于A 中，由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，函数f (x )的图象关于原点对称，故选项A 正确，选项B 错误；对于C 中，设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋yy －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1,1)，所以C 正确；对于D 中，对∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，可得函数f (x )为减函数，而f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．(2)已知函数f (x )＝24313ax x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋，若f (x )有最大值3，则a 的值为________．答案 1解析 令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )， ∵f (x )有最大值3，∴g (x )有最小值－1，则⎩⎨⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1.课时精练1．若m ＝5(π－3)5，n ＝4(π－4)4，则m ＋n 的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．1 D ．7 答案 C解析 m ＋n ＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1.2．已知指数函数f (x )＝(2a 2－5a ＋3)a x 在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的值为( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 D解析 由题意得2a 2－5a ＋3＝1，∴2a 2－5a ＋2＝0，∴a ＝2或a ＝12.当a ＝2时，f (x )＝2x 在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当a ＝12时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意． ∴a ＝2.3．函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析 当a >1时，0<1a <1，函数y ＝a x 的图象为过点(0,1)的上升的曲线，函数y ＝a x －1a 的图象由函数y ＝a x 的图象向下平移1a个单位长度可得，故A ，B 错误；当0<a <1时，1a >1，函数y ＝a x 的图象为过点(0,1)的下降的曲线，函数y ＝a x －1a 的图象由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度可得，故D 正确，C 错误．4．已知1122x x－＋＝5，则x 2＋1x的值为( )A ．5B ．23C ．25D ．27 答案 B 解析 因为1122x x－＋＝5，所以21122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＝52，即x ＋x －1＋2＝25，所以x ＋x －1＝23，所以x 2＋1x ＝x ＋1x＝x ＋x －1＝23.5．(多选)(2023·泰安模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，实数a ，b 满足f (a )＝f (b )(a <b )，则( ) A ．2a ＋2b >2B ．∃a ，b ∈R ，使得0<a ＋b <1C ．2a ＋2b ＝2D ．a ＋b <0 答案 CD解析 画出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图所示．由图知1－2a ＝2b －1，则2a ＋2b ＝2，故A 错，C 对． 由基本不等式可得2＝2a ＋2b >22a ·2b ＝22a ＋b ，所以2a ＋b <1，则a ＋b <0，故B 错，D 对．6．(2023·枣庄模拟)对任意实数a >1，函数y ＝(a －1)x －1＋1的图象必过定点A (m ，n )，f (x )＝⎝⎛⎭⎫n m x 的定义域为[0,2]，g (x )＝f (2x )＋f (x )，则g (x )的值域为( ) A ．(0,6] B ．(0,20] C ．[2,6] D ．[2,20]答案 C解析 令x －1＝0得x ＝1，y ＝2，即函数图象必过定点(1,2)， 所以m ＝1，n ＝2，f (x )＝⎝⎛⎭⎫n m x＝2x，由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤2x ≤2，解得x ∈[0,1]，g (x )＝f (2x )＋f (x )＝22x ＋2x ，令t ＝2x ， 则y ＝t 2＋t ，t ∈[1,2]， 所以g (x )的值域为[2,6]． 7．计算化简： (1)()1123232770.02721259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝________；(2)2312a ---⎛÷＝________.答案 (1)0.09 (2)1566a b -解析 (1)112323277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09.232a --÷＝2211333212113332a bb a a ba b ---⨯＝2112112132332333·ab＋－－－－－＝1566.a b －8．已知函数f (x )＝3x ＋1－4x －5，则不等式f (x )<0的解集是________． 答案 (－1,1)解析 因为函数f (x )＝3x ＋1－4x －5， 所以不等式f (x )<0即为3x ＋1<4x ＋5，在同一平面直角坐标系中作出y ＝3x ＋1，y ＝4x ＋5的图象，如图所示，因为y ＝3x ＋1，y ＝4x ＋5的图象都经过A (1,9)，B (－1,1)，所以f (x )<0，即y ＝3x ＋1的图象在y ＝4x ＋5图象的下方，所以由图象知，不等式f (x )<0的解集是(－1,1)．9．已知定义域为R 的函数f (x )＝a x －(k －1)a －x (a >0，且a ≠1)是奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若f (1)<0，判断函数f (x )的单调性，若f (m 2－2)＋f (m )>0，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，∴k ＝2，经检验k ＝2符合题意，∴k ＝2.(2)f (x )＝a x －a －x (a >0，且a ≠1)，∵f (1)<0，∴a －1a<0，又a >0，且a ≠1， ∴0<a <1，从而y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x 在R 上单调递增，故由单调性的性质可判断f (x )＝a x －a －x 在R 上单调递减，不等式f (m 2－2)＋f (m )>0可化为f (m 2－2)>f (－m )，∴m 2－2<－m ，即m 2＋m －2<0，解得－2<m <1，∴实数m 的取值范围是(－2,1)．10．(2023·武汉模拟)函数f (x )＝a 2x ＋a x ＋1(a >0，且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为13，求实数a 的值．解 由f (x )＝a 2x ＋a x ＋1，令a x ＝t ，则t >0，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34， 其对称轴为t ＝－12. 该二次函数在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上单调递增． ①若a >1，由x ∈[－1,1]，得t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋a ＋1＝13，解得a ＝3或a ＝－4(舍去)．②若0<a <1，由x ∈[－1,1]，可得t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 故当t ＝1a，即x ＝－1时， y max ＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a ＋1＝13.解得a ＝13或a ＝－14(舍去)． 综上可得，a ＝3或13.11．(多选)(2022·哈尔滨模拟)已知函数f (x )＝a ·⎝⎛⎭⎫12|x |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0,2)答案 ABD解析 ∵函数f (x )＝a ·⎝⎛⎭⎫12|x |＋b 的图象过原点， ∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，f (x )＝a ·⎝⎛⎭⎫12|x |－a ，且f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－2·⎝⎛⎭⎫12|x |＋2，故A 正确； 由于f (x )为偶函数，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于在(－∞，0)上，f (x )＝2－2·2x 单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；∵⎝⎛⎭⎫12|x |∈(0,1]，∴f (x )＝－2·⎝⎛⎭⎫12|x |＋2∈[0,2)，故D 正确． 12．(2022·长沙模拟)若e x －e y ＝e ，x ，y ∈R ，则2x －y 的最小值为________．答案 1＋2ln 2解析 依题意，e x ＝e y ＋e ，e y >0，则e 2x －y ＝e 2x e y ＝(e y ＋e )2e y ＝e y ＋e 2e y ＋2e ≥2e y·e 2e y ＋2e ＝4e ， 当且仅当e y＝e 2e y ，即y ＝1时取“＝”， 此时，(2x －y )min ＝1＋2ln 2，所以当x ＝1＋ln 2，y ＝1时，2x －y 取最小值1＋2ln 2.13．(2023·龙岩模拟)已知函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系为( )A ．f (c x )≥f (b x )B ．f (c x )≤f (b x )C ．f (c x )>f (b x )D ．f (c x )＝f (b x )答案 A解析 根据题意，函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，则有b 2＝1，即b ＝2， 又由f (0)＝3，得c ＝3，所以b x ＝2x ，c x ＝3x ，若x <0，则有c x <b x <1，而f (x )在(－∞，1)上单调递减，此时有f (b x )<f (c x )，若x ＝0，则有c x ＝b x ＝1，此时有f (b x )＝f (c x )，若x >0，则有1<b x <c x ，而f (x )在(1，＋∞)上单调递增，此时有f (b x )<f (c x )，综上可得f (b x )≤f (c x )．14．(2023·宁波模拟)对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 0满足f (－x 0)＝－f (x 0)，则称函数f (x )为“倒戈函数”．设f (x )＝3x ＋m －1(m ∈R ，m ≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－23，0 解析 ∵f (x )＝3x ＋m －1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x 0∈[－1,1]满足f (－x 0)＝－f (x 0)，∴03x -＋m －1＝－03x －m ＋1，∴2m ＝－03x -－03x ＋2，构造函数y ＝－03x -－03x＋2， x 0∈[－1,1]， 令t ＝03x ，t ∈⎣⎡⎦⎤13，3，则y ＝－1t－t ＋2＝2－⎝⎛⎭⎫t ＋1t 在⎣⎡⎦⎤13，1上单调递增， 在(1,3]上单调递减，∴当t ＝1时，函数取得最大值0，当t ＝13或t ＝3时， 函数取得最小值－43，∴y ∈⎣⎡⎦⎤－43，0， 又∵m ≠0，∴－43≤2m <0， ∴－23≤m <0.。
高一数学指数与指数函数试题答案及解析
高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.已知函数的图象恒过定点，若点与点、在同一直线上，则的值为 .【答案】1.【解析】令，求得，，可得函的图象恒过定点．再根据点与点、在同一直线上，可得，化简得，即.【考点】指数函数的单调性与特殊点．2.若函数有两个零点，则实数a的取值范围为【答案】【解析】研究函数与函数图像交点个数.当时，由于直线在轴的截距大于，所以函数与函数图像在及时各有一个交点. 当时，由于单调减，直线单调增，所以函数与函数图像只3在时有一个交点.【考点】指数函数图像3.设，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，，，∴，故选A．【考点】对数函数与指数函数的性质．4.已知幂函数的图象过点，则．【答案】4【解析】因为为幂函数,所以设因为过点,所以本题易错点在将幂函数的定义写成指数函数的形式,即【考点】幂函数定义,指数的运算5.设函数,如果，求的取值范围.【答案】【解析】对分段函数需分情况讨论，再解指数及对数不等式时，需将实数转化为同底的指数或对数，然后根据指数、对数的单调性解不等式。
试题解析：解：当2分,. 5分当时7分， 10分综上. 12分【考点】分段函数，指数、对数不等式。
6.计算:⑴ ;⑵．【答案】（1）；（2）．【解析】对于（1），主要是利用指数幂的运算性质进行化简求值；对于（2），主要是利用对数的运算性质进行化简求值，要求熟练的掌握指数幂和对数的运算性质．试题解析:（1）原式；（2）原式.【考点】本题主要考查了指数幂的运算性质和对数的运算性质，属于基础题．.7.函数在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为．【答案】4【解析】因为在[0,1]上单调递增，在[0,1]上单调递减，所以在 [0,1]单调递增，所以y的最大值为，最小值为，所以最大值和最小值之和为4.【考点】指数函数和对数函数的单调性及利用单调性求最值8.已知，，，则这三个数从小到大排列为 .【答案】【解析】...【考点】本题考果不等的比较大小,考查指数函数与对数函数的性质.9.三个数大小的顺序是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，.，，，，故选A【考点】考察指数函数，和对数函数，分别与1和0的之对比.10.计算【答案】（1）.（2）44.【解析】（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算.试题解析：【考点】1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算.11.若函数是函数的反函数，其图象过点，且函数在区间上是增函数，则正数的取值范围是．【答案】【解析】由题意可得，所以函数，由该函数在区间上是增函数，得函数在区间上为增函数，且，考虑到函数在上单调递增，所以当时，有得，当时，有即得，从而求得所求正数的取值范围为.【考点】1.反函数；2.函数的单调性；3.对数函数；4.常用函数.12.若，则=____________.【答案】-4【解析】由且得所以【考点】指数与对数运算.13.设，且，则=【答案】【解析】对等式两边同时取对数得：，，，，.【考点】对数与指数的基本运算14.设，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由对数函数的性质知：，所以答案选.【考点】1.指数大小比较；2.对数函数的性质.15.计算：（1）；（2）【答案】（1）6；（2）.【解析】（1）直接采用换底公式计算即可；（2）利用指数幂的运算性质逐个运算即可.试题解析：（1）原式=（2）原式=【考点】1.换底公式的应用；2.指数幂的化简求值.16.已知函数（1）若存在，使得成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式；（3）若，求的最大值.【答案】（1）（2）；②；③，，（3）【解析】（1）令，即成立 1分的最小值为0，当时取得 4分5分（2），令 6分① 7分② 8分③ⅰ 9分ⅱ 10分（3）令则12分13分，的最大值为 14分【考点】二次函数点评：主要是考查了二次函数的最值以及不等式的性质的运用，属于基础题。
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1指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是(01)xy a a a =>≠且x R 知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则，01c d a b <<<<<在轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，y 在轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大y 即无论在轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大y 在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解2① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像等1223,,21xx y y x y y =⋅===-函数均不符合形式，因此，它们都不是指数函数()01x y a a a =>≠且⑤ 画指数函数的图像，应抓住三个关键点：x y a =()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且．（1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明．专题：计算题．（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f（x1）＞f（x2），即可．解答：解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f（x）是奇函数．（3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．3指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，4故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．5分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n 为奇数时，=×1=；n 为偶数时，=+f （）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．6题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．7点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；8解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a （﹣）+b （﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b （﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；9（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），10故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为11t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n 的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，12∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．13（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数14（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R 且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．15（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．16解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．1718。
指数函数知识点及其习题附答案
〖〗指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①若是,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n当n 是偶数时，正数a 的正的n次方根用符号n次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没成心义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈2.1.2指数函数及其性质（4指数函数练习1．以下各式中成立的一项（ ）A ．7177)(m n mn =B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，那么以劣等式中不正确的选项是（ ）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n4．函数210)2()5(--+-=x x y（ ）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或5．假设指数函数xa y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，那么底数a 等于 （ ）A ．251+ B ．251+- C ．251± D ．215± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是 （ ）7．函数||2)(x x f -=的值域是（ ） A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，知足1)(>x f 的x 的取值范围（ ）A ．)1,1(-B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或 9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是（ ） A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[ 10．已知2)(xx e e x f --=，那么以下正确的选项是（ ）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数11．已知函数f (x )的概念域是（1，2），那么函数)2(x f 的概念域是 . 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 . 三、解答题： 13．求函数y x x =--1511的概念域.14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判定函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝a x(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值．指数函数练习参考答案一、DCDDD AAD D A二、11．(0,1)； 12．(2，－2)； 三、13． 解：要使函数成心义必需：x x x x x -≠-≠⎧⎨⎪⎩⎪⇒≠≠⎧⎨⎩101010∴概念域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,14． 解：rrrrr c b c a c b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<cbc a . 当r ＞1时，1=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，因此a r +b r ＜c r； 当r ＜1时，1=+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，因此a r +b r ＞c r .15．解：(1)是奇函数.(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。
(完整版)指数函数及其性质习题(含答案)
指数函数及其性质习题（含答案）一、单选题的图象可能是( ) 1．在同一坐标系内，函数y=x a(a≠0)和y=ax+1aA．B．C．D．−1，若f(a)=1，则f(−a)=（）2．已知函数f(x)=(e x+e−x)ln1−x1+xA．1B．−1C．3D．−33．已知函数f(x)=(x−a)(x−b)（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）＝a x ＋b的图象大致是( )A．B．.C．D．4．已知a=log40.7，b=log23，c=0.20.6，则a,b,c的大小关系是( )A．c<b<a B．a<c<b C．b<a<c D．a<b<c5．函数y=a x+1−3（a>0，且a≠1）的图象一定经过的点是( )A．(0，−2)B．(−1,−3)C．(0，−3)D．(−1,−2)6．在同一坐标系中，函数y=2−x与y=−log2x的图象都正确的是（）A．B．C．D ．7．设a =20.5,b =0.52,c =log 20.5，则a,b,c 的大小关系为A ． c >a >bB ． c >b >aC ． a >b >cD ． b >a >c8．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，）A ．B ．C ．D ．9．若a ，b ，c 满足2a =3，b =log 25，3c =2，则（ ）A ． c <a <bB ． b <c <aC ． a <b <cD ． c <b <a二、填空题10．已知： 12a a -+=，则22a a -+=__________．11．函数()2x f x =在[]1,3-上的最小值是__________． 12．函数y=a x+2-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.13．求值：2log 323−log 3427−31+log 32=__________．14．函数f(x)=(12)−x2+2x+1的单调减区间为________． 15，.16．计算：． 17．若函数()()23x f x a =-在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是________18．已知函数()x f x a b =+ ()0,1a a >≠的定义域和值域都是[]1,0-，则b a =__________．三、解答题19．（1）计算：(−3)−(1−0.5−2)÷(338)13；（2）已知a =log 32,3b =5用a,b 表示log 3√30．20．(1)(2)已知15a a-+=,求22a a -+和.21．计算： （1）)213013210.027163217---⎛⎫--+-+⋅ ⎪⎝⎭. （222．化简求值 (1) (827)23+(0.008)−23×225(2) 12523+(12)−2−(127)−13+10012+lg3+14lg9−lg √3lg81−lg2723．已知定义在R 上的函数f(x)=b−2x2x +a 是奇函数．⑴求a ， b 的值，并判断函数f(x)在定义域中的单调性（不用证明）；⑵若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2−2t)+f(2t 2−k)<0恒成立，求实数k 的取值范围．24．若函数f(x)=a x −1(a >0,且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值.25．（本小题满分10分）已知函数f(x)=log 4(4x +1)+kx(k ∈R)是偶函数．（1）求实数k 的值;（2）设g(x)=log 4(a ⋅2x +a),若f(x)= g(x)有且只有一个实数解,求实数a 的取值范围．26．计算：(1) (−338)−23+0.002−12−10(√5−2)−1+(√2−√3)0； (2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋3lg 22＋lg 16＋lg 0.06. 27．已知f(x)=4x−1−2x +5,x ∈[−2,2]．（1）求f(x)的值域．（2）若f(x)>3m 2+am +2对任意a ∈[−1,1]和x ∈[−2,2]都成立，求m 的取值范围．28．计算下列各式的值;(1)(2)参考答案1．B【解析】【分析】分两种情况讨论，利用函数的单调性，筛选排除即可得结果【详解】若a>0,y=x a在(0,+∞)递增，排除A,B选项，y=ax+1a递增，排除D；纵轴上截距为正数，排除C，即a>0时，不合题意；若a<0，y=x a在(0,+∞)递减，可排除C,D选项，由y=ax+1a递减可排除A，故选B.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x→0+,x→0−,x→+∞,x→−∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.2．D【解析】分析：先化简f(a)=1得到(e a+e−a）ln1+a1−a=−2，再求f(−a)的值.详解：由题得(e a+e−a）ln1−a1+a −1=1,∴(e a+e−a）ln1−a1+a=2,∴−(e a+e−a）ln1+a1−a=2,∴(e a+e−a）ln1+a1−a=−2.所以f(−a)=(e−a+e a）ln1+a1−a−1=−2−1=−3.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.3．D【解析】【分析】根据二次函数的图象得到−1<b<0,a>1,继而得到g(x)=a x+b的图象经过一二三象限，问题得以解决.【详解】因为a,b 是二次函数的零点，由二次函数f (x )=(x −a )(x −b )（其中a >b ）的图象可知−1<b <0,a >1， 所以g (x )=a x +b 的图象经过一二三象限，只有选项D 符合题意，故选D.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象4．B【解析】【分析】利用指数与对数的单调性与中间量0，1可求得三个数大小。
高一数学指数与指数函数试题答案及解析
高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.设，则的大小关系是（）.A．B．C．D．【解析】，，，因此.【考点】指数函数和对数函数的性质.2.若点在函数的图象上，则的值为．【答案】【解析】由点在函数的图象上得，所以，故应填入．【考点】指数函数及特殊角的三角函数．3.设，则下列不等式成立的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A【解析】对于A,B考查函数f（x）=2x+2x，g（x）=2x+3x的单调性与图象：可知函数f（x）、g（x）在R上都单调递增，若2a+2a=2b+3b，则a＞b，因此A正确；对于C,D分别考查函数u（x）=2x-2x，v（x）=2x-3x单调性与图象：当时，u′（x）＜0，函数u（x）单调递减；当时，u′（x）＞0，函数u（x）单调递增．故在x=取得最小值．当0＜x＜时，v′（x）＜0，函数v（x）单调递减；当x＞时，v′（x）＞0，函数v （x）单调递增．故在x＝取得最小值，据以上可画出图象．据图象可知：当2a-2a=2b-3b，a＞0，b＞0时，可能a＞b或a＜b．因此C,D不正确．综上可知：只有A正确．故答案为A．【考点】用导数研究函数的单调性和图象；命题的真假判断与应用．4.若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，所以.【考点】指对数式的互化，指数运算法则.5.若函数的图像与轴有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数与轴有公共点，即设函数,,有交点，函数如图: ,即,故选B.【考点】函数图像6.三个数的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】；；。
所以，故D正确。
【考点】指数对数函数的单调性。
7.已知幂函数的图象过点，则．【答案】4【解析】因为为幂函数,所以设因为过点,所以本题易错点在将幂函数的定义写成指数函数的形式,即【考点】幂函数定义,指数的运算8.如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数的图象于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是．【答案】【解析】设，则，因为AC平行于y轴，所以，因此.又三点三点共线，所以由得，因此.【考点】指数函数运算，向量共线.9.已知指数函数（且）的图像过点，则实数___________.【答案】【解析】因为指数函数（且）的图像过点，则，得.【考点】指数函数的定义.10.我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长，专家预测经过年可能增长到原来的倍，则函数的图像大致为（）【答案】D【解析】设初始年份的荒漠化土地面积为，则1年后荒漠化土地面积为，2年后荒漠化土地面积为，3年后荒漠化土地面积为，所以年后荒漠化土地面积为，依题意有即，，由指数函数的图像可知，选D.【考点】1.指数函数的图像与性质；2.函数模型及其应用.11.若，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】指数函数、对数函数的底数大于1 时,函数为增函数,反之,为减函数，对于幂函数而言，当时，在上递增，当时，在上递减，而，所以，故选C.【考点】1.指数函数；2.对数函数；3.幂函数的性质.12.设函数,如果，求的取值范围.【答案】【解析】对分段函数需分情况讨论，再解指数及对数不等式时，需将实数转化为同底的指数或对数，然后根据指数、对数的单调性解不等式。
2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数
2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数【教材回扣】1．分数指数幂(1)a m n ＝________(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；a －mn＝________(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝________，(a r )s ＝________，(ab )r ＝________，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象与性质y ＝a x a>10<a <1图象定义域 ________ 值域________ 性质过定点________当x >0时，________；当x <0时，□10________ 当x >0时，□11________；当x <0时，□12________ 在(－∞，＋∞)上是□13________ 在(－∞，＋∞)上是□14________【题组练透】题组一 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 1.n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( ) 2．2a ·2b ＝2ab .( )3．函数y ＝3·2x 与y ＝2x ＋1都不是指数函数．( ) 4．若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( ) 题组二 教材改编1．(多选题)设a >0，则下列运算中不正确的是( )A ．a 43 a 34＝a B ．a ÷a 23 ＝a 32C ．a 23a -23＝0 D ．(a 14 )4＝a2．如图，①②③④中不属于函数y ＝2x ，y ＝6x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x的一个是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④3．已知函数f (x )＝a －22x ＋1(a ∈R )为奇函数，则a ＝________.题组三 易错自纠1．式子a －1a化简得( )A.－aB.aC ．－aD ．－－a2．若函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a 的值为( )A.12B.32C.23或2D.12或323．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b，则下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b ，不可能成立的是________．题型一 指数幂的运算[例1] (1)⎝⎛⎭⎫14 －12 ·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12(a >0，b >0)＝________.(2)若x 12 ＋x －12 ＝3，则x 32＋x －32－3x 2＋x －2－2＝________.(3)已知常数a >0，函数f (x )＝2x2x ＋ax的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫p ，65，Q ⎝⎛⎭⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________.[听课记录]类题通法(1)指数幂运算常用技巧①有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． ②负指数幂化为正指数幂的倒数．③底数是小数，一般要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后尽可能用幂的形式表示，便于指数幂的运算．(2)对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值未知或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法\”巧妙地求出代数式的值.巩固训练1：(1)计算23·612·332＝________.(2)已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，则x 12－y12x 12＋y 12 ＝________.题型二 指数函数的图象及应用角度|与指数函数有关的图象识别[例2] (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫52－|x －1|的大致图象为图中的( )(2)函数y ＝xax|x |(a >1)的大致图象是( )[听课记录]类题通法识别与指数函数图象有关的策略(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.巩固训练2：函数y ＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )角度|指数函数图象的应用[例3] 若函数y ＝|2x －1|的图象与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围为________． [听课记录]类题通法解答此类问题的关键是画出已知函数的图象，利用数形结合方法求解.巩固训练3：若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．题型三 指数函数的性质及其应用 高频考点 角度|比较大小[例4] (1)已知a ＝⎝⎛⎭⎫4313 ，b ＝223 ，c ＝⎝⎛⎭⎫3412 ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b (2)已知0<a <b <1，则( )A ．(1－a )1b >(1－a )bB ．(1－a )b >(1－a )b2C ．(1＋a )a >(1＋b )bD ．(1－a )a >(1－b )b [听课记录]类题通法利用指数函数的性质比较幂值的大小，其方法是：先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.巩固训练4：已知0<a <b <1，则在a a ，a b ，b a ，b b 中，最大的是( ) A ．a a B ．a b C ．b a D ．b b角度|解简单的指数方程或不等式[例5] (1)已知函数f (x )＝2x －x －1，则不等式f (x )>0的解集是( ) A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．[听课记录]类题通法利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，其方法是：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解.巩固训练5：若不等式(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x<1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．角度|与指数函数有关的复合函数[例6] (1)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2](2)[2020·全国卷Ⅱ]若2x －2y <3－x －3－y ，则( ) A ．ln(y －x ＋1)>0 B ．ln(y －x ＋1)<0 C ．ln|x －y |>0 D ．ln|x －y |<0 [听课记录]类题通法求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.巩固训练6：已知函数f (x )＝cos x x ＋12x ＋1＋a 是奇函数，则实数a 的值为________．[预测1] 核心素养——直观想象若函数f (x )＝2|x ＋a |(a ∈R )满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (x )在区间[m ，n ]上的最大值记为f (x )max ，最小值记为f (x )min ，若f (x )max －f (x )min ＝3，则n －m 的取值范围是________．[预测2] 新题型——多选题若实数a ，b 满足2a ＋3a ＝3b ＋2b ，则下列关系式中可能成立的是( ) A ．0<a <b <1 B ．b <a <0 C ．1<a <b D ．a ＝b2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数答案[教材回扣]□1 na m □2 1amn□3 a r ＋s □4 a rs □5 a r b r □6 R □7 (0，＋∞) □8 (0，1) □9 y >1 □10 0<y <1 □11 0<y <1 □12 y >1 □13 增函数 □14 减函数 [题组练透] 题组一1．× 2.× 3.√ 4.× 题组二1．解析：由已知a >0.a 43 a 34＝a 43 ＋34＝a 2512≠a ，A 错；a ÷a 23＝a 1－23 ＝a 13≠a 32，B 错；a 23·a －23 ＝a 23 ＋(－23 )＝a 0＝1≠0，C错；(a 14)4＝a 14 ×4＝a ，D正确．答案：ABC2．解析：已知三个函数都是指数函数，指数函数的图象一定过点(0，1)，图象②不过点(0，1)，故选B.答案：B3．解析：由f (－x )＝－f (x )，得：a －22－x ＋1 ＝－a ＋22x ＋1，即2a ＝22x ＋1 ＋22－x ＋1 ，∵22x ＋1 ＋22－x ＋1＝2，∴a ＝1. 答案：1 题组三1．解析：由题意知a <0， ∴a－1a＝a －aa2 ＝－－a .故选D. 答案：D2．解析：当a >1时，y ＝a x 在[1，2]上的最大值为a 2，最小值为a ， 故有a 2－a ＝a 2 ，解得a ＝32或a ＝0(舍去)当0<a <1时，y ＝a x 在[1，2]上的最大值为a ，最小值为a 2，故有a －a 2＝a2，解得a ＝12 或a ＝0(舍去).综上a ＝32 或a ＝12 .答案：D3．解析：画出指数函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12 x，g (x )＝⎝⎛⎭⎫13 x的图象：满足等式⎝⎛⎭⎫12 a＝⎝⎛⎭⎫13 b，有①0<b <a ； ②a <b <0；⑤a ＝b ＝0三个．而③0<a <b ；④b <a <0不能成立． 答案：③④课堂题型讲解题型一例1 解析：(1)原式＝412·432·a 32·b－3210·a 32·b－32＝2×45 ＝85 . (2)∵x 12＋x －12＝3，∴(x 12＋x－12 )2＝9，∴x ＋x －1＝7，∴原式＝（x 12＋x －12）（x －1＋x －1）－3（x ＋x －1）2－4 ＝3×（7－1）－372－4＝13. (3)由已知条件知f (p )＝65 ，f (q )＝－15，所以⎩⎨⎧2p 2p ＋ap ＝65①，2q 2q＋aq ＝－15②， ①＋②，得2p （2q ＋aq ）＋2q （2p ＋ap ）（2p ＋ap ）（2q＋aq ）＝1，整理得2p ＋q ＝a 2pq ，又2p ＋q ＝36pq ，所以36pq ＝a 2pq ，又pq ≠0，所以a 2＝36，所以a ＝6或a ＝－6，又a >0，得a ＝6.答案：(1)85 (2)13(3)6巩固训练1 解析：(1)原式＝2·312 ·1216·⎝⎛⎭⎫32 13＝2·312 ·(3×4)16 ·313·⎝⎛⎭⎫12 13 ＝2·312＋16 ＋13 ·213 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝2×3×1＝6.(2)∵x ＋y ＝12，xy ＝9，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 12－y 12x 12＋y 12 2 ＝x ＋y －2（xy ）12x ＋y ＋2（xy ）12 ＝12－2×91212＋2×912＝618 ＝13 . ∵x <y ，∴x 12－y 12<0，∴x 12－y12x 12＋y 12 <0，∴原式＝－33. 答案：(1)6 (2)－33题型二例2 解析：(1)y ＝⎝⎛⎭⎫52 －|x －1|＝⎝⎛⎭⎫25|x －1|，y >0，且x >1时，为减函数，x <1时为增函数，故选B.(2)当x >0时，y ＝a x 为单调递增函数；当x <0时，y ＝－a x 为单调递减函数． 答案：(1)B (2)C巩固训练2 解析：当a >1时，函数单调递增，且函数图象恒过点(0，1－1a )，因为0<1－1a <1，故A ，B 均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数图象恒过点(0，1－1a )，且1－1a<0.故选D.答案：D 例3 解析：曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图象如图所示．由图象可得，如果曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0，1).答案：(0，1)巩固训练3 解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1].答案：[－1，1] 题型三例4 解析：(1)a ＝⎝⎛⎭⎫43 13>1，0<c ＝⎝⎛⎭⎫34 12 <1， a ＝⎝⎛⎭⎫43 13 <213 <223＝b ， ∴c <a <b .(2)∵y ＝(1－a )x 是减函数， ∴(1－a )a >(1－a )b ，又y ＝x b 在(0，＋∞)上是增函数，1－a >1－b ， ∴(1－a )b >(1－b )b ，∴(1－a )a >(1－b )b .D 对，其余皆错． 答案：(1)B (2)D巩固训练4 解析：∵0<a <b <1， ∴b a >a a >a b 且b a >b b ， ∴最大的是b a . 答案：C例5 解析：(1)函数f (x )＝2x －x －1，则不等式f (x )>0的解集即2x >x ＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝2x ，y ＝x ＋1的图象(图略)，结合图象易得2x >x ＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D.(2)当a <0时，⎝⎛⎭⎫12 a－7<1， ∴⎝⎛⎭⎫12 a<8， ∴－3<a <0；当a ≥0时， a <1，∴0≤a <1. 综上a 的取值范围是(－3，1). 答案：(1)D (2)(－3，1) 巩固训练5解析：(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12 x <1可变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12 x ＋[⎝⎛⎭⎫12 x]2，设t ＝⎝⎛⎭⎫12 x，则原条件等价于不等式m 2－m <t ＋t 2在t ≥2时恒成立，显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m <6，解得－2<m <3.答案：(－2，3)例6 解析：(1)由f (1)＝19 ，得a 2＝19 ，所以a ＝13 或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13 |2x －4|由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增则y ＝⎝⎛⎭⎫13 t在R 上单调递减．所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞).(2)因为2x －2y <3－x －3－y ，所以2x －3－x <2y －3－y .设f (x )＝2x －3－x ，则f ′(x )＝2x ln 2－3－x ×ln3×(－1)＝2x ln 2＋3－x ln 3，易知f ′(x )>0，所以f (x )在R 上为增函数．由2x －3－x <2y －3－y 得x <y ，所以y －x ＋1>1，所以ln (y －x ＋1)>0，故选A.答案：(1)B (2)A巩固训练6 解析：∵函数y ＝cos xx是奇函数，∴要使f (x )＝cos x x ＋12x ＋1 ＋a 是奇函数，只需g (x )＝12x ＋1 ＋a 是奇函数．由g (－1)＝－g (1)得12－1＋1 ＋a ＝－12＋1 －a ，∴a ＝－12 .(经检验符合题意)答案：－12高考命题预测预测1 解析：因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝－1，所以f (x )＝2|x－1|.作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．当m <n ≤1或1≤m <n 时，离对称轴越远，m 与n 的差越小，由y ＝2x －1与y ＝21－x 的性质知极限值为0.当m <1<n 时，函数f (x )在区间[m ，n ]上的最大值与最小值的差为f (x )max －f (x )min ＝2|±2|－20＝3，则n －m 取得最大值3－(－1)＝4，所以n －m 的取值范围是(0，4].答案：(0，4]预测2 解析：因为实数a ，b 满足2a ＋3a ＝3b ＋2b ， 设f (x )＝2x ＋3x ，g (x )＝3x ＋2x . 由图象可知：①当x <0时，f (x )<g (x )，所以2a＋3a＝3b＋2b，即b<a<0，故B正确；②当x＝0时，f(x)＝g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即a＝b＝0，故D正确；③当0<x<1时，f(x)>g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即0<a<b<1，故A正确；④当x＝1时，f(x)＝g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即a＝b＝1，故D正确；⑤当x>1时，f(x)<g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即1<b<a，故C错误．答案：ABD第11页共11页。
高考冲刺：指数与指数函数(附答案含解析)
2.5 指数与指数函数1．根式的性质 ：(1)(n a )n ＝___; (2)当n 为奇数时n a n ＝___；当n 为偶数时na n ＝____ 2．有理数指数幂(1)幂的有关概念： ①正分数指数幂：m na ＝_____(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：m na-＝1m na＝______(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于_____,0的负分数指数幂______． (2)有理数指数幂的性质：①a r a s ＝_____ ②(a r )s ＝_____ ③(ab )r ＝____(a >0，b >0，r ，s ∈Q )． 3．指数函数的图像与性质y＝a xa >1 0<a <1图像定义域 R 值域性质过定点_________当x >0时，____；x <0时，____ 当x >0时，____；x <0时,_____ 在(－∞，＋∞)上是______在(－∞，＋∞)上是______1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1. [试一试] 1．化简()162-2⎡⎤⎣⎦－(－1)0的结果为________．2．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．3.设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝________.4.y ＝3|x |的单调递减区间是________．5.函数y ＝11()2x -的定义域为________．6.若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 考点一 指数幂的化简与求值 例1、求值与化简：(1)()1020.523122.20.0154--⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2）112122133325.346a b a b a b ----⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；变式1、(1)12112133265a b a bab ---⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）84416x y （x<0,y<0)考点二 指数函数的图像及应用例2(1)(2013·苏锡常镇一调)已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图像交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过点A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图像于点C ，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标是________．(2)已知f (x )＝|2x －1|，①求f (x )的单调区间；②函数g (x )＝f (x )－x 零点的个数为_______．（3）比较0.30.2,30.3，()350.3-，0.20.3,20.5，()570.3-的大小．变式2、(1)若直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个公共点，求实数k 的取值范围________．(2)比较()12432255533122,,,,2233--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小．考点三 指数函数的性质与应用例3已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0，且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性．变式3 在例3的条件下，当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围考点四和指数函数相关的复合函数单调性例4 已知函数2431()3ax xf x-+⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．变式4求下列函数的单调区间．(1)y＝23213x x-+⎛⎫⎪⎝⎭；(2)y＝22x－2·2x.2.5指数指数函数（作业）1．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点________．2．已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是________．3．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ， x ≤7，a x －7， x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是________．5．已知实数a ，b 满足等式2 015a ＝2 016b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个．6．若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________.7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．9．设f (x )＝|3x －1|，c <b <a ，且f (c )>f (a )>f (b )，则下列关系式中一定成立的是________． ①3c >3b; ②3b >3a ； ③3c ＋3a >2; ④3c ＋3a <2.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x (x >0)，e x (x ≤0)，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为________．11．函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．12．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________． 13．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．14．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常数且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；（2)不等式(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．15．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值； (2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.2.5指数与指数函数1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时na n ＝a ； 当n 为偶数时na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图像与性质 y＝a xa >10<a <1图像定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0,1)当x >0时，y >1；x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1；x <0时，y >1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.[试一试]1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为________．答案：72．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2)3．(2014·山东高考)设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝________.[解析] A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{y |1≤y ≤4} 4．y ＝3|x |的单调递减区间是________．[解析]y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x x <0，∴单调递减区间为(－∞，0)．[答案] (－∞，0)5．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x 的定义域为________．答案：[0，＋∞)6．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.解析：当a >1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数， 则a 2－1＝2，∴a ＝±3.又∵a >1，∴a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为减函数 又∵f (0)＝0≠2，∴0<a <1不成立． 综上可知，a ＝ 3. 答案：3对应学生用书P20考点一指数幂的化简与求值例一、求值与化简：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12； 变式(1)(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5（2）84416x y （x<0,y<0)解：(1)原式＝1＋14×1249⎛⎫ ⎪⎝⎭－121100⎛⎫⎪⎝⎭＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝－52a 16－b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a 16－b －3÷(a 13b 32－)＝－54a －12－·b 23－.＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.(3)原式＝111133221566·a b a ba b--＝a －111326---·b115236-＋.[备课札记] [类题通法]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.考点二指数函数的图像及应用例2(1)(2013·苏锡常镇一调)已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图像交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过点A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图像于点C ，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标是________．(2)已知f (x )＝|2x －1|， ①求f (x )的单调区间；②试确定函数g (x )＝f (x )－x 2零点的个数．(3)比较0.30.2,30.3，(－0.3)35，0.20.3,20.5，(－0.3)57的大小．[解] (1)①由f (x )＝|2x －1|＝⎩⎨⎧ 2x －1，x ≥0，1－2x ，x ＜0.可作出函数的图象如图．因此函数f (x )在(－∞，0)上递减；函数f (x )在(0，＋∞)上递增．②将g (x )＝f (x )－x2的零点转化为函数f (x )与y＝x 2图象的交点问题，在同一坐标系中分别作出函数f (x )＝|2x －1|和y ＝x 2的图象如图所示，有四个交点，故g (x )有四个零点．(2)①首先与0比较，找出负数为(－0.3)35，(－0.3)57.因为0.335>0.357，所以－0.335<－0.357，即(－0.3)35<(－0.3)57.②再与1相比较，找出大于1的数为30.3,20.5.因为30.3÷20.5＝3310÷2510＝27110÷32110＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2732110<1，所以30.3<20.5. ③再比较大于0小于1的数0.30.2,0.20.3.找出一个中间数0.30.3.因为y ＝0.3x 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以0.30.2>0.30.3， 又因为y ＝a x 的图象在y 轴右侧底大图象高，所以0.30.3>0.20.3. 由以上可知，0.30.2>0.20.3.由①，②，③得(－0.3)35<(－0.3)57<0.20.3<0.30.2<30.3<20.5.【规律方法】1．指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数函数图象数形结合求解．3．比较指数幂的大小，可以按如下步骤进行．(1)与0比较区分正负数．(2)与1比较区分比1大的数和比1小的数．(3)利用指数函数的单调性比较．(4)寻找中间数，利用单调性比较大小．(5)用作差法或作商法比较大小．【变式训练2】 (1)若直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个公共点，求实数k 的取值范围________．(2)比较(－2)25，⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－25，⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2345的大小． [解析] (1)令f (x )＝|3x －1|≥0，其图象如图所示：由图象知，当k <0时，图象无交点当0<k <1时，两图象有两个交点．当k ＝0或k ≥1时，图象有一个交点．所以k 的取值范围是(0,1)．[答案] (0,1)(2)①(－2)25＝225>1，②⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2312∈(0,1)，③⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2325∈(0,1)，④⎝ ⎛⎭⎪⎫－133＝－127<0，⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫－2345＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2345∈(0,1)． 由于②③⑤的底数相同，由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 是减函数，所以③>②>⑤. 所以(－2)25>⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－25>⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12>⎝ ⎛⎭⎪⎫－2345>⎝ ⎛⎭⎪⎫－133. 考点三 指数函数的性质及应用例3 已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0，且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)讨论f (x )的单调性．[解] (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．又因为f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数．所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数．所以f (x )为增函数．故当a >0且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增．在本例条件下，当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围.解：由(2)知f (x )在R 上是增函数，所以在区间[－1,1]上为增函数．所以f (－1)≤f (x )≤f (1)．所以f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a ) ＝a a 2－1·1－a 2a ＝－1. 所以要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1.故b 的取值范围是(－∞，－1]．[备课札记][类题通法]利用指数函数的性质解决问题的方法例4、已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1， 即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.变式4求下列函数的单调区间．(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－3x ＋2；(2)y ＝22x －2·2x . 【思路点拨】 因为给定函数(1)由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 与u ＝x 2－3x ＋2复合而成，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 是定义域上的单调减函数，所以只需求出函数u ＝x 2－3x ＋2的单调区间．(2)把2x 看作整体，函数变为y ＝(2x )2－2·2x .[解] (1)令u ＝x 2－3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14. 所以u ＝x 2－3x ＋2的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－3x ＋2的单调增区间是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. (2)令t ＝2x ，则函数t ＝2x 在区间(－∞，＋∞)上是增函数，且t >0， y ＝t 2－2t ＝(t －1)2－1，当t ≤1时，y ＝t 2－2t 是减函数．t ≤1即2x ≤1，所以x ≤0.所以当x ∈(－∞，0]时，y ＝22x －2·2x 是减函数，当t >1时，即x >0时，y ＝t 2－2t 是增函数，即y ＝22x －2·2x 是增函数．所以函数y ＝22x －2·2x 的减区间为(－∞，0]，增区间为(0，＋∞)．对应学生用书P22[课堂练通考点]1．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于________． 解析：由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a ＋2＝9，即22a ＋2－2a ＝7，故f (2a )＝7.答案：72．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域是________． 解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，f min (x )＝f (2)＝1，f max (x )＝f (4)＝9.答案：[1,9]3．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 解析：∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3，∴23－x ≤23＝8，∴8－23－x ≥0，∴函数y ＝8－23－x 的值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)4．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n .答案：m >n5．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．解析：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a .∴a 2－a ＝a 2.即a (2a －3)＝0. ∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32. 当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2.∴a －a 2＝a 2.∴a (2a －1)＝0， ∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12. 综上可知，a ＝12或a ＝32. 答案：12或322.5指数与指数函数（作业）1．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点________． 答案 (2,2)解析 ∵a 0＝1，∴f (2)＝2，故f (x )的图象必过点(2,2)．2．已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是________．答案 (0，＋∞)解析 由0.71.3<0.70＝1＝1.30<1.30.7，得0.71.3<1.30.7.又(0.71.3)m <(1.30.7)m ，所以m >0.3．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________． 答案 [2，＋∞)解析 由f (1)＝19得a 2＝19，∴a ＝13(a ＝－13舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ， x ≤7，a x －7， x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (13，611] 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3a <0，0<a <1，(1－3a )×7＋10a ≥a 0，∴13<a ≤611. 5．已知实数a ，b 满足等式2 015a ＝2 016b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个．答案 2解析 设2 015a ＝2 016b ＝t ，如图所示，由函数图象，可得(1)若t >1，则有a >b >0；(2)若t ＝1，则有a ＝b ＝0；(3)若0<t <1，则有a <b <0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．6．若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________. 答案 5±12解析 若0<a <1，则a －1－a ＝1，即a 2＋a －1＝0，解得a ＝－1＋52或a ＝－1－52(舍去)． 若a >1，则a －a －1＝1，即a 2－a －1＝0，解得a ＝1＋52或a ＝1－52(舍去)． 综上所述a ＝5±12. 7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．答案 m >n解析 ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝3x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n .8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a的图象只有一个公共点；若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示有两个公共点．9．设f (x )＝|3x －1|，c <b <a ，且f (c )>f (a )>f (b )，则下列关系式中一定成立的是________． ①3c >3b; ②3b >3a ；③3c ＋3a >2; ④3c ＋3a <2.答案 ④解析 画出函数f (x )的图象，易知c <0，a >0.又f (c )>f (a )，∴|3c －1|>|3a －1|，∴1－3c >3a －1，∴3c ＋3a <2.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x (x >0)，e x (x ≤0)，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为________． 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 当x >0时，F (x )＝1x ＋x ≥2；当x ≤0时，F (x )＝e x ＋x ，根据指数函数与一次函数的单调性，F (x )是增函数，F (x )≤F (0)＝1， 所以F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．11．函数y ＝e x ＋e －xe x －e －x 的图象大致为________．答案 ①解析 y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝1＋2e 2x －1，当x >0时，e 2x －1>0，且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x －1>1随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y 是奇函数，故只有①正确．12．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a 5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－23，34 解析 由题意，得x <0，所以0<⎝⎛⎭⎫32x <1，从而0<2＋3a 5－a<1，解得－23<a <34.13．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．解 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (12x －22x )＋b (13x －23x)．∵12x <22x ，a >0⇒a (12x －22x )<0， 13x <23x ，b >0⇒b (13x －23x )<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数．当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0，当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b，则x >log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b ； 当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a 2b，则x <log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b . 14．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常数且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)试确定f (x )；(2)若不等式(1a )x ＋(1b)x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ② ②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3·2x .(2)由(1)知(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m ≤(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝(12)x ＋(13)x ， 则g (x )在(－∞，1]上单调递减，∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56， 故所求实数m 的取值范围是(－∞，56]． B 组 专项能力提升15．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解 (1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得{t |t >1或t <－13}．。
最新教案：指数与指数函数(含解析)
指数与指数函数一、根式 1．根式的概念2．两个重要公式(1)n a n＝⎩⎨⎧a ， n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0)， n 为偶数；(2)(n a )n ＝a (注意a 必须使na 有意义)． 二、有理数指数幂1．幂的有关概念(1)正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(2)负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂的性质 (1)a r a s＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q)；(2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q)； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)． 三、指数函数的图象和性质[基础自测]1．[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9解析：选B 原式＝(26)12－1＝7.2．函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选A ∵1－2x ≥0，∴2x ≤1，∴x ≤0. 3．已知函数f (x )＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,4)D ．(4,0)解析：选A 当x ＝1时，f (x )＝5.4．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a 的值为________． 解析：∵a 2－3a ＋3＝1，∴a ＝2或a ＝1(舍)． 答案：25．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2)[例1] 化简下列各式(其中各字母均为正数)． (1)(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5；(2)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027－23－3π0＋3748. [自主解答] (1)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. 总结：指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．变式练习1．计算：(1)(0.027)－13－⎝⎛⎭⎫－17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－(2－1)0； (2)⎝⎛⎭⎫14－12·(4ab －1)30.1－2(a 3b －3)12.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫271 000－13－(－1)－2⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫25912－1 ＝103－49＋53－1＝－45. (2)原式＝412·432100·a 32·a －32·b 32·b －32＝425a 0·b 0＝425.[例2] 函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )[自主解答] 法一：令y ＝a x －a ＝0，得x ＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.法二：当a >1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，且过(1,0)，排除选项A 、B ； 当0<a <1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，因为0<a <1，故排除选项D. [答案] C总结：1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．变式练习2．(1)在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________．解析：(1)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＝2－x ，∴它与函数y ＝2x 的图象关于y 轴对称． (2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解． 答案：(1)A (2)1[例3] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a.则函数f (x )的单调递增区间为________，单调递减区间为________．[自主解答] 令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t ，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增， 又y ＝⎝⎛⎭⎫23t 是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)． [答案] (－∞，0] [0，＋∞)在本例条件下，若f (x )的最大值等于94，则a ＝______.解析：由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝⎛⎭⎫23－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2， 从而a ＝2. 答案：2总结：求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．变式练习1．(1)已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >c >a(2)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：(1)由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .(2)结合函数图象求解．因为y ＝e u 是R 上的增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，只需u ＝|x －a |在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a ≤1.答案：(1)A (2)(－∞，1]课后练习A 组1．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1D ．y ＝1－2x解析：选B ∵1－x ∈R ，y ＝⎝⎛⎭⎫13x的值域是正实数集， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫131－x 的值域是正实数集．2．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：选B 由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3， 两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.3．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )解析：选B ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1，∴根据分段函数即可画出函数图象．4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析：选C 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x－2在[2,4]上是增函数，可知C 正确．5．设函数f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( ) A ．f (－2)>f (－1) B ．f (－1)>f (－2) C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)解析：选A ∵f (2)＝4，∴a－|2|＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－|x |＝2|x |，∴f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x是增函数，∴x <0时，f (x )是减函数，∴f (－2)>f (－1)．6．若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2解析：选D 因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1，解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12；解2m ＋1>m 2＋m －1，即m 2－m －2<0，得－1<m <2. 综上所述，m 的取值范围是5－12≤m <2. 7.⎝⎛⎭⎫32－13×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－ ⎝⎛⎭⎫－2323＝________.解析：原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋234×214－⎝⎛⎭⎫2313＝2. 答案：28．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)． 函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 答案：m >n9．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)且f (1)＝9.则f (x )的单调递减区间是________．解析：由f (1)＝9得a 2＝9，∴a ＝3.因此f (x )＝3|2x－4|，又∵g (x )＝|2x －4|的递减区间为(－∞，2]，∴f (x )的单调递减区间是(－∞，2]． 答案：(－∞，2]10．求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2；(2)y ＝ 32x －1－19.解：(1)显然定义域为R.∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， 且y ＝⎝⎛⎭⎫12x为减函数． ∴⎝⎛⎭⎫122x －x 2≥⎝⎛⎭⎫121＝12.故函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. (2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2，∵y ＝3x 为增函数，∴2x －1≥－2， 即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞， 由上可知32x －1－19≥0，∴y ≥0.即函数的值域为[0，＋∞)．11．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．解：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.12．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值． 解：由3－4x ＋x 2＞0，得x ＞3或x ＜1， ∴M ＝{x |x ＞3，或x ＜1}，f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝⎛⎭⎫2x －162＋2512. ∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2， ∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值．B 组1．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定解析：选A 由题意知a >1，又f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)． 2．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c ；④2a ＋2c <2.解析：画出函数f (x )＝|2x －1|的图象(如图)， 由图象可知，a <0，b 的符号不确定，c >0.故①②错；∵f (a )＝|2a －1|，f (c )＝|2c －1|， ∴|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1， 故2a ＋2c <2，④成立； 又2a ＋2c >22a ＋c ，∴2a ＋c <1，∴a ＋c <0，∴－a >c ，∴2－a >2c ，③不成立．答案：④3．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3， 令t ＝－x 2－4x ＋3，由于t (x )在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1. 即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.。
指数函数知识点及其习题（附答案）
指数函数知识点及其习题（附答案）〖2.1〗指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次⽅根．当n 是奇数时，a 的n 次当n 是偶数时，正数a 的正的n负的n次⽅根⽤符号表⽰；0的n 次⽅根是0；负数a 没有n 次⽅根．n 叫做根指数，a 叫做被开⽅数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a≥．n a =；当na =；当n(0)|| (0)a a a a a ≥?==?-①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,mm nn a的负分数指数幂没有意义．注意⼝诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈2.1.2指数函数及其性质2.1指数函数练习1．下列各式中成⽴的⼀项（）A ．7177)(m n mn =B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f nnn4．函数210)2()5(--+-=x x y（）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><a y =在[－1,1]上的最⼤值与最⼩值的差是1，则底数a 等于（）A ．251+ B ．25251± D ．215± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是（）7．函数||2)(x x f -=的值域是（） A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满⾜1)(>x f 的x 的取值范围（）A ．)1,1(-B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或 9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是（） A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[10．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（）B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是 . 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .三、解答题： 13．求函数y x x =--1511的定义域.14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝a x(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最⼤值⽐最⼩值⼤a 2，求a 的值．2.1指数函数练习参考答案⼀、DCDDD AAD D A⼆、11．(0,1)； 12．(2，－2)；三、13．解：要使函数有意义必须：x x x x x -≠-≠≠≠101010∴定义域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,14．解：rrrrr c b c a c b a ??+=+，其中10,10<<<<c a . 当r ＞1时，1=++? c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r；当r ＜1时，1=+>??+ c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＞c r .15．解：(1)是奇函数.(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。
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分数指数幂与指数函数本节主要学习分数指数幂与指数函数．1．理解有理数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 在初中我们学习了正整数指数幂的意义：一个数a 的n 次幂表示n 个a 相乘的积．正整数指数幂有五条运算性质：（1）a m a n ＝a m ＋n ；（2）a m ÷a n ＝a m －n （a ≠0，m ＞n ）；（3）（a m ）n ＝a mn ；（4）（ab ）n＝a n b n；（5）（ba ）n ＝n nb a 若（b ≠0）．注意：a 0＝1（a ≠0）、a －n ＝na 1（n 为正整数，a ≠0）. 2．分数指数幂的引进是受根式的性质的启发．从根式的基本性质mp np a ＝m n a （a ≥0，m 、n 、p ∈N*）， 我们知道a ≥0时，6a ＝a 3＝26a ，123a ＝a 4＝312a ．于是我们规定：（1）nma ＝n m a （a ≥0，m 、n ∈N*）； （2）nma－＝nm a1（a ＞0，m 、n ∈N*，n ＞1）；（3）零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义．这样一来，我们就将指数幂的概念扩大到有理数指数幂了，有理数幂的运算性质归纳为： （1）a r a s ＝a r ＋s ；（2）（a r ）s ＝a rs ；（3）（ab ）r ＝a r b r ，式中a ＞0，b ＞0，r 、s 为有理数．3．理解指数函数的概念和意义．在指数函数的定义中限定了底数a ＞0且a ≠1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性．（1）若a ＝0，当x ＞0时，a x ＝0；当x ≤0时，a x 没有意义； （2）若a ＜0，如y ＝（－2）x 对于x ＝21、43等都是没有意义的； （3）若a ＝1，则函数为y ＝1x ＝1是一个常数函数，它的性质没有研究的必要，且不具有单调性．4．能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，体会指数函数是一类重要的函数模型．5．在方法上，要体现“形”与“数”的结合，要重视指数函数的实际背景，会利用指数函数的有界性解题． 合作讨论【问题1】下列各式中正确的是（ ）A ．n n a ＝a （n ∈N*）B ．（n a ）n ＝a （n ∈N*）C ．npmpa＝n ma（n ，m ，p ∈N*） D ．nma－＝mna1（m ，n ∈N*，a ＞0）思考：对于根式n m a 在什么条件下有意义？【问题2】在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：①y ＝2x ；②y ＝5x ；③y ＝（51）x ；④y ＝（21）x．观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？例题精析【例1】化简下列各式： （1）41)0081.0(－－［3×（87）0］－1·［81－0.25＋31)833(－］21－－10×31027.0；（2）323323134248aab b b a a ＋＋－÷（1－23ab）×3ab ．【例2】设y l ＝a 3x －1，y 2＝42－＋x x a（a ＞0，a ≠1），确定x 为何值时有（1）y 1＝y 2；（2）y 1＞y 2．【例3】比较下列各数的大小：①52)2(－；②21)23(－；③52)23(－－；④3)31(－；⑤54)32(－．【例4】对于函数y ＝122)31(－－x x ，（1）求函数的定义域，值域；（2）确定函数的单调区间．【例5】求下列函数的定义域，值域： （1）y ＝112－x ； （2）y ＝125－x ； （3）y ＝22)21(x x －；（4）y ＝x9＋2×x3－1．【例6】若函数y ＝1212·－－－x x aa 为奇函数，（1）确定a 的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域；（4）讨论函数的单调性．【例7】已知函数y ＝x （131－x＋21）．（1）求定义域；（2）讨论奇偶性； （3）证明它在定义域上恒大于0．【例8】如果函数y ＝122－＋xx a a （a ＞0且a ≠1）在［－1，1］上有最大值14，试求a 的值．【例9】牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝21（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a ＝ht)21(（T 0－T a ）．现有一杯ο195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在ο75F 的房间中，如果咖啡降温到ο105F 需20分钟，问欲降到ο95F 需多少时间？变式训练： 1．等式224＋－x x ＝2244＋－x x 成立的充要条件是（ ）A ．x ≠－2B ．x ≥2或x ＜－2C ．x ≥2D ．x ＜－2 2．若x2＝7，y2＝6，则yx －4等于（ ）A ．4936 B ．67 C ．1214 D ．3649 3．若41a ＞32a ，则a 的范围是（ ） A ．a ＞1 B ．0＜a ＜1 C ．41＜a ＜32 D ．a ＞324．若x)53(＞x)75(，则x 的范围是（ ）A ．0＜x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜－1D ．x ＜0 5．下列函数是指数函数的是（ ）A ．y ＝x)3(－ B ．y ＝x3－ C ．y ＝123＋x D ．y ＝x－26．下列函数值域是（0，＋ ）的是（ ） A ．y ＝x 2 B ．y ＝122＋x C ．y ＝121＋xD ．y ＝122－x 7．若a ＝1)32(－＋，b ＝1)32(－－，则（a ＋1）－2＋（b ＋1）－2的值是（ ）A ．1B ．41 C ．22； D ．328．若函数y ＝xa ＋m －1的图象在第一，三，四象限，则（ ）A ．a ＞1且m ＞1B ．a ＞l 且m ＜0C ．0＜a ＜1且m ＞0D ．0＜a ＜1且m ＜1 9．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（ ）A ．5B ．9C ．6D ．810．若0＜a ＜1，b ＜－2，则函数y ＝xa ＋b 的图象一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．函数y ＝xa 与y ＝ax －a 的图象大致是下图中的（ ）12．在下列等式中，函数f （x ）＝x2不满足的是（ ） A ．f （x ＋1）＝2f （x ） B ．f （xy ）＝f （x ）＋f （y ） C ．f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ） D ．f （－x ）＝)(1x f13．若a 2x＝8，则xx xx aa a a －－＋＋33___________． 14．化简215658)·(b a ÷（354a ）÷53b ＝___________．15．若函数y ＝（a 2－3a ＋3）a x 是指数函数，则a 的值是___________． 16．函数f （x ）的定义域为［1，4］，则函数f （x－2）的定义域为___________．17．若f （x ）＝x x 2121＋－，f －1（53）则___________．18．若函数y ＝xa ＋b 的图象经过点（1，3），它的反函数的图象经过点（2，0），则函数y ＝xa ＋b 的值域是___________．19．（1）函数y ＝332＋－xx a （以a ＞0且a ≠1），当x ∈［1，3］时有最小值为8，则a 的值为___________； （2）函数y ＝xx a 22－（a ＞1）的定义域___________，单调增区间___________，值域___________．20．（1）已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|x |的实根个数为___________． （2）关于x 的方程x)21(＝a－11有正根，则a 的取值范围是___________． 21．解下列关于x 的方程： （1）81×x23＝2)91(＋x ；（2）222＋x ＋3×x2－1＝0．22．设f （x ）是定义域为x ∈R 且x ≠0上的奇函数，则当x ＞0时，f （x ）＝xx21－．（1）写出x ＜0时f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x ）＜－3x ．23．已知函数f （x ）＝11＋－x x a a （a ＞1）。
（1）判断函数f （x ）的奇偶性； （2）求出函数的值域；（3）证明函数f （x ）是（－∞，＋∞）上的增函数．24．已知函数f （x ）＝53131－－x x ，g （x ）＝53131－＋x x ，（1）证明：f （x ）是奇函数，并求f （x ）的单调区间；（2）分别计算f （4）－5f （2）g （2），f （9）－5f （3）g （3）的值，由此概括出涉及函数f （x ）和g （x ）的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．答案问题1：我们知道，如果x n ＝a ，则称x 是a 的n 次方根．若a ＝0时，则x ＝0，即n 0＝0，若a ≠0时，当n 为正奇数时，x ＝n a ，其符号与x 的符号一致；当n 为正偶数时，则a 一定大于零，x ＝士n a ，即正数的偶次方根有两个，它们互为相反数．A 、C 中的根指数与被开方式的指数能否约分，取决于实数a 的符号．如：44)2(－≠－2和4543)2(⨯⨯－≠53)2(－，应该先将被开放式底数－2化成2，然后再进行化简．故A ，C 不一定成立．一般地，根式有如下性质： （1）nna ＝)0()0(||＜＝－a a aa a≥⎩⎨⎧（n ∈N*）；（2）（n a ）n ＝a （n ∈N*）．对于分数指数幂nma 不能理解为有nm个a 相乘，我们规定n ma ＝n m a （a ＞0，m ，nN*）．应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系，不可颠倒．故D 不成立．因此选B ．问题2：指数函数y ＝a x （a ＞0且a ≠1）恒过两个点（0，1）和（1，a ）．这四个函数都经过（0，1），又分别经过（1，2）、（1，5）、（1，51）、（1，21）．再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象（如下图）．根据图象可知函数①与④，②与③分别关于y 轴对称．结论：（1）一般地，指数函数y ＝a x （a ＞0且a ≠1）与y ＝a －x （a ＞0且a ≠1）的图象关于y 轴对称．（2）在y 轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大（可简记为“右侧底大图高”）；在y 轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大（简记为“左侧底大图低”）． （3）（有界性）若a ＞1，当x ＞0时，y ＞1当x ＜0时，0＜y ＜1．若0＜a ＜1，当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1．例1：此类问题的化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式．在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式．如b a32，2－ba 都不是最简形式．我们经常要用到下列公式：①a －b ＝（a －b ）（a ＋b ）； ②a ±2ab ＋b ＝（a ±b ）2；③a ±b ＝（3a ±3b ）（32a ＋3ab ＋32b ）．答案：（1）原式＝0.3－1－3－1·（3－1＋32）21－－10×0.3＝310－31－3＝0；（2）原式＝231313123131)(2)2()8(a b b b b a a ＋＋－×3131312ba a－×3131b a ＝)8()8(31b a b a a －－×31a ×3131b a ＝a 3b ．例2：显然需对a 进行分类讨论，分别解指数方程和指数不等式． 答案：（1）由题意得a 3x －1＝42－＋x x a，则3x －1＝x 2＋x －4，解得x ＝3或x ＝－1．（2）当a ＞1时，a 3x －1＞42－＋x x a，则3x －1＞x 2＋x －4，解得－1＜x ＜3；当0＜a ＜1时，42－＋x x a＜a 3x －1，则3x －1＜x 2＋x －4，解得x ＜－1或x ＞3．例3：先利用分数指数幂的性质对各个数进行化简，①52)2(－＝522；②21)23(－＝21)23(；③52)23(－－＝52)32(；④3)31(－＝－271；⑤54)32(－＝54)32(显然，以0、1为界将五个数分成三类：①52)2(－＞1，④3)31(－＜0，②③⑤三个数均在0到1之间，注意到这三个数的底数相同，考查指数函数，y ＝x)32(在实数集上递减，所以③＞②＞⑤．答案：52)2(－＞52)23(－－＞21)23(－＞54)32(－＞3)31(－．点评：比较幂的大小是典型的一类问题．解决这类问题一般用如下思路： （1）将两个数化成同底数幂的形式，再利用指数函数的单调性进行比较．（2）将两个数化成同指数幂的形式，再利用指数函数图象在y 轴的右侧“右侧底大图高”；在y 轴的左侧“左侧底大图低”．（3）寻找一个恰当的中间数为桥梁来进行比较．如比较0.40.8与0.50.7，我们可以以0.40.7为中间数，0.40.8与0.40.7利用指数函数的单调性进行比较，得0.40.8＜0.40.7，而0.40.7与0.50.7由“右侧底大图高”得0.40.7＜0.50.7，因此0.40.8＜0.50.7；再如本题是先以0、1为桥梁将五个数分成三类的． 例3：函数y ＝122)31(－－x x 可以看成是由函数u ＝x 2－2x －1与函数y ＝u)31(“复合”而成．（1）由u ＝x 2－2x －1＝（x －1）2－2，当x ∈R 时，u ≥－2，此时函数y ＝u)31(总有意义，∴定义域为R ；又由u ≥－2，∴0＜u)31(≤9，∴原函数的值域为（0，9］． （2）∵函数u ＝x 2－2x －1在［1，＋∞）上递增， ∴对于任意的1≤x 1＜x 2都有u 1＜u 2，∴1)31(u ＞2)31(u ，即y 1＞y 2． ∴函数y ＝122)31(－－x x 在［1，＋∞］上递减．同理可得函数y ＝122)31(－－x x 在（－∞，1）上递增．点评：形如y ＝)(x f a（a ＞0，a ≠1）的函数有如下性质：（1）定义域与函数定义域相同；（2）先确定函数u ＝f （x ）的值域，然后以u 的值域作为函数y ＝ua （a ＞0，a ≠1）的定义域求得函数y ＝)(x f a （a ＞0，a ≠1）的值域；（3）函数y ＝)(x f a（a ＞0，a ≠1）的单调性，可以由函数u ＝f （x ）与y ＝ua （a ＞0，a ≠1）按照“同增异减”的原则来确定．从本题中，我们可以体会换元法在解决复合函数问题中的作用．例4这是与指数函数有关的复合函数，可以利用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于形式较为复杂的可以考虑利用换元法． （1）要使函数有意义，则x －1≠0， ∴x ≠1．∴函数定义域为{x |x ≠1}； ∵x ≠1，11－x ≠0， ∴112－x ≠1，∴函数值域为{y |y ＞0，且y ≠1}．（2）∵2x －1≥0，∴函数定义域为{x |x ≥21}； ∵2x －1≥0，∴12－x ≥0，∴y ＝125－x ≥1．∴函数值域为{y |y ≥1}．（3）函数定义域为R ； ∵2x －x 2＝－（x －1）2＋1≤1，∴y ＝22)21(x x －≥21．∴函数值域为{y |y ≥21}．（4）函数定义域为R ；令t ＝x3，则t ＞0，y ＝t 2＋2t －1＝（t ＋1）2－2，其对称轴为t ＝－1． ∵t ＞0，函数y ＝（t ＋1）2－2单调递增， ∴y ＝（t ＋1）2－2＞1－2＝－1． ∴函数值域为{y |y ＞－1}．点评：本题求函数值域时，采用了逐步求解的方法，（4）利用了换元法．一般来说，求复合函数的值域，通常先求函数的定义域A ，再由函数的定义域A 求内函数的值域B ，然后以内函数的值域作为外函数的定义域求出原函数的值域，如（4）是由函数y ＝t 2＋2t －1和函数t ＝3x 复合而成，先求得原函数的定义域为R ，再由x R 得t ＞0（即得到内函数的值域B ），然后由t ＞0得到函数值域为{y |y ＞－1}．若（4）中的x ≥1，你还能求出它的值域吗？例5：先将函数1212·－－－x x a a 化简为y ＝121－－xa ． （1）由奇函数的定义，可得f （－x ）＋f （x ）＝0，即121－－－x a ＋121－－x a ＝0，∴2a ＋xx 2121－－＝0，∴a ＝－21． （2）∵y ＝－21－121－x ，∴x2－1≠0． ∴函数y ＝－21－121－x 定义域为{x |x ≠0}．（3）法一：（逐步求解法）∵x ≠0，∴x2－1＞－1． ∵x2－1≠0，∴0＞x2－1＞－1或x2－1＞0．∴－21－121－x ＞21，－21－121－x ＜－21， 即函数的值域{y |y ＞21或y ＜－21}．法二：（利用有界性）由y ＝－21－121－x ≠－21，可得x 2＝2121＋－y y ．∵x 2＞0，∴2121＋－y y ＞0．可得y ＞21或y ＜－21， 即函数的值域{y |y ＞21或y ＜－21}．（4）当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则y 1－y 2＝1212－x －1211－x ＝1211－x －1211－x ＝)12)(12(221221－－－x x x x ． ∵0＜x 1＜x 2，∴1＜12x ＜22x．∴12x－22x＜0，12x －1＜0，22x－1＜0．∴y 1－y 2＜0，因此y ＝－21－121－x 在（0，＋∞）上递增． 同样可以得出y ＝－21－121－x 在（－∞，0）上递减．点评：本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识．在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法．当x ＞0时，∵x2为增函数，∴x2－1为增函数，121－x 递减，一121－x为增函数，∴y ＝－21－121－x 在（0，＋∞）上递增．一般地，函数y ＝f （u ）和函数u ＝g （x ），设函数y ＝f ［g （x ）］的定义域为集合A ，如果在A 或A 的某个子区间上函数y ＝f （u ）（称外函数）与u ＝g （x ）（称内函数）单调性相同，则复合函数y ＝f ［g （x ）］在该区间上递增；如单调性相反，则复合函数y ＝f ［g （x ）］在该区间上递减（可以简记为“同增异减”）．另外，记住以下结论对判断复合函数单调性很有帮助：①若函数y ＝f （x ）递增（减），则y ＝－f （x ）递减（增）；②若函数y ＝f （x ）在某个区间上恒为正（负）且递增（减），则y ＝)(1x f 递减（增）；③若函数y ＝f （x ）递增（减），则y ＝f （x ）＋k 递增（减）． 例6（1）定义域为{x |x ≠0}．（2）f （x ）－f （－x ）＝x （131－x ＋131－－x ＋1）＝x （1331－－x x ＋1）＝0，∴f （x ）＝f （－x ）．∴f （x ）是偶函数． （3）当x ＞0时，x3＞1，∴x3－1＞0．∴131－x＋21＞21．∴x （131－x ＋21）＞21x ＞0，即当x ＞0时，y ＞0；当x ＜0时，1＞x 3＞0．∴0＞x3－1＞－1．∴131－x ＋21＜－1．∴x （131－x ＋21）＞－x ＞0，即当x ＜0时，y ＞0．综上，f （x ）在定义域上恒大于0．点评：这里判断函数的奇偶性，运用了定义的等价式，即f （x ）－f （－x ）＝0，则f （x ）是偶函数；证明函数在定义域上恒大于0，转化为证明值域为（0，＋∞），这里运用分类讨论来逐步求解．例7设t ＝xa ，则原函数可化为y ＝（t ＋1）2－2，对称轴为t ＝－1． （1）若a ＞1，∵x ∈［－1，1］，∴－1＜a1≤t ≤a ． ∵t ＝x a 在［－1，1］上递增， ∴y ＝（t ＋1）2－2当t ∈［a1，a ］时也递增， ∴原函数在［－1，1］上递增． 故当x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1．由a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5（舍，∵a ＞1）．（2）若1＞a ＞0，可得当x ＝－1时，y max ＝a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝31或a ＝－51（舍）．综上，a ＝31或3． 点评：本题运用了复合函数单调性的判断方法，以及复合函数值域的求法；对于底数进行了分类讨论．例8由题意，温度T 是时间t 的指数函数型关系，即T ＝h t)21(（T 0－T a ）＋T a ，将有关数据代入，得T ＝75＋（195－75）×h t )21(＝75＋120×h t)21(．再将t ＝20，T ＝105代入得105＝75＋120×h 20)21(，解得h ＝10．∴T ＝75＋120×10)21(t，欲使T ＝95，代入上式解得t ＝26（分）．点评：本题是一道跨学科应用题，要解决它需要有较好的阅读能力．本题中给出了函数模型，利用待定系数法确定系数，得出解析式，从而解决问题． 变式练习：1.若使等式成立，则等式中三个偶次根式必须都有意义，故选C ．2.要熟练逆用幂的运算公式，选D ．3.利用函数的单调性，选B ．4.在同一坐标系中画出两个指数函数图象，利用图象解题．选D ．5.符合指数函数定义的是D ，y ＝x－2＝x)21(．6.利用求值域的逐步求解法，选A ．7.D 8.B 9.每一天的细胞数都是前一天的两倍，选B ． 10.A 11.D 12.B 13.将分子分解因式，然后代入可得值为857． 14.3115.2 16.［－2，0］ 17.－2 18.由a ＝2，b ＝1求得y ＝x2＋1．答案：（1，＋∞） 19.（1）16 （2）{x |x ≥2，或x ≤0} （2，＋∞） {y |y ≥1} 20.利用图象解题．答案：（1）2个 （2）（－∞，0）21.（1）把方程两边都化成同底数指数幂的形式；（2）用换元法．令t ＝x2，则方程可化为4t 2＋3t －1＝0，先解出t 再去解x ，但要注意t ＞0．所以x ＝－2．答案：（1）－2；（2）－2．22.（1）x ＜0时，f （x ）＝x ·122－x x ；（2）x ＞0时，由f （x ）＝xx 21－＜一3x，解得0＜x ＜2；x ＜0时，由f （x ）＝x ·122－x x ＜一3x，解得x ＜－2．答案：（1）x ·122－x x；（2）0＜x ＜2；（3）x ＜－2．23.（1）奇函数；（2）f （x ）＝11＋－x x a a ＝1－12＋x a ，逐步求解得值域（－1，1）；（3）用增函数定义证明，过程略．24.（1）函数f （x ）的定义域为（－∞，0）Y （0，＋∞）关于原点对称，由奇函数的定义可得f （－x ）＝5)()(3131－－－－x x ＝53131－－x x ＝－f （x ），∴f （x ）是奇函数．当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，f （x 1）－f （x 2）＝51（311x －312x ）（1＋3123111x x ）＜0，∴f （x ）在（0，＋∞）上递增．∵f （x ）是奇函数，∴f （x ）在（－∞，0）上也递增．（2）计算得f （4）－5f （2）g （2）＝0，f （9）－5f （3）g （3）＝0． 由此可以概括出对所有不为零的实数x 都有f （x 2）－5f （x ）g （x ）＝0． （证明略）答案：（1）略；（2）f （x 2）－5f （x ）f （x ）＝0，证明略． 规律总结1．对指数幂的运算规律是：由括号的要先算括号内的，没有括号的按照先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；负指数幂要先化为正指数幂的倒数；底数如果是负数，要先定符号，底数是小数要先化成分数，底数是带分数，要化成假分数；根式尽可能化成分数指数幂，便于指数幂运算性质的运用．2．求由指数函数和其他的函数构成的复合函数的定义域、值域、单调区间时，要注意换元法的使用．3．判断复合函数单调性时，要注意前面我们总结过的结论的运用．。