2019年高考数学(理科)必考题突破讲座：第61讲 条件概率、n次独立重复试验与二项分布

第61讲 条件概率、n 次独立重复试验与二项分布

1．条件概率

(1)定义：设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝__P (AB )

P (A )__为在事件A 发生的条

件下，事件B 发生的条件概率．

(2)性质：①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝__P (B |A )＋P (C |A )__．

2．事件的相互独立性

(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝__P (A )·P (B )__，则称事件A 与事件B 相互独立．

(2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝__P (B )__，P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝__P (A )·P (B )__．

②如果事件A 与B 相互独立，那么__A 与B __，__A 与B __，__A 与B __也都相互独立．

3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验

在__相同__条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝__P (A 1)P (A 2)…P (A n )__．

(2)二项分布

在n 次独立重复试验中，用

X 表示事件

A

发生的次数，设每次试验中事件A

发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作__X ～B (n ，p )__，并称p 为__成功概率__．在

n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝__C k n p k (1－p )

n －

k

__(k ＝0，1,2，…，n )．

1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．

(1)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．( √ )

(2)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B )． ( × )

(3)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( × )

(4)若条件A 与B 独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 不一定相互独立．( × ) (5)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第1枚为正面”为事件A ，“第2枚为正面”为事件B ，则A ，B 相互独立．( √ )

(6)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )

n －

k

，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生次数的概率分布．( √ )

(7)在n 次独立重复试验中，事件恰好发生k 次的概率为C k n p k .( × )

2．一张储蓄卡的密码共有6个数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人忘记了密码的最后一位数字但记得是偶数，则不超过2次就按对的概率为__25

__.

解析 由题意知，此人在按最后一位数字时，有“0,2,4,6,8”5种可能，所以此人按前两次

的所有基本事件有n ＝A 25＝20(个)，不超过2次就按对的基本事件为m ＝C 14A 2

2＝8(个)，故P

＝m n ＝820＝25

. 3．由0,1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则P (A |B )＝__1

2

__.

解析 因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P (B )＝1

2，第一位数字为

0且第二位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率P (AB )＝12×12＝14，所以P (A |B )＝

P (AB )

P (B )＝1

412

＝12. 4．甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，若两人投中的概率都是0.6，则至少有一人投中的概率为__0.84__.

解析 由题意可得，甲、乙未投中的概率均为1－0.6＝0.4，故甲、乙两人分别进行一次投篮均未投中的概率P ＝0.4×0.4＝0.16，故所求概率P ＝1－P ＝0.84.

5．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝__1.96__.

解析 依题意，X ～B (100,0.02)，所以D (X )＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.

一 条件概率

条件概率的两种求解方法

(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝

P (AB )

P (A )

，求P (B |A )． (2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝

n (AB )

n (A )

. 【例1】 (1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( A )

A ．0.8

B ．0.75

C ．0.6

D ．0.45

(2)(2018·湖北黄冈调考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 是“取到的两数之和为偶数”，事件B 是“取到的两个数均为偶数”，则P (B |A )＝( B )

A ．1

8

B ．1

4

C ．2

5

D ．12

(3)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝__1

4

__.

解析 (1)根据条件概率公式P (B |A )＝

P (AB )P (A )

，可得所求概率为0.6

0.75＝0.8.

(2)P (A )＝C 23＋C 2

2C 2

5＝25，P (B )＝C 22

C 25＝110，又A ⊇B ，则P (AB )＝P (B )＝110

， 所以P (B |A )＝

P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝1

4

. (3)由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12

＝2

，事件AB 表示“豆子