2019年高考数学(理科)必考题突破讲座：第61讲 条件概率、n次独立重复试验与二项分布

第61讲 条件概率、n 次独立重复试验与二项分布1．条件概率(1)定义：设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝__P (AB )P (A )__为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．(2)性质：①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝__P (B |A )＋P (C |A )__．2．事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝__P (A )·P (B )__，则称事件A 与事件B 相互独立．(2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝__P (B )__，P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝__P (A )·P (B )__．②如果事件A 与B 相互独立，那么__A 与B __，__A 与B __，__A 与B __也都相互独立．3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在__相同__条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝__P (A 1)P (A 2)…P (A n )__．(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作__X ～B (n ，p )__，并称p 为__成功概率__．在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝__C k n p k (1－p )n －k__(k ＝0，1,2，…，n )．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．( √ )(2)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B )． ( × )(3)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( × )(4)若条件A 与B 独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 不一定相互独立．( × ) (5)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第1枚为正面”为事件A ，“第2枚为正面”为事件B ，则A ，B 相互独立．( √ )(6)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生次数的概率分布．( √ )(7)在n 次独立重复试验中，事件恰好发生k 次的概率为C k n p k .( × )2．一张储蓄卡的密码共有6个数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人忘记了密码的最后一位数字但记得是偶数，则不超过2次就按对的概率为__25__.解析 由题意知，此人在按最后一位数字时，有“0,2,4,6,8”5种可能，所以此人按前两次的所有基本事件有n ＝A 25＝20(个)，不超过2次就按对的基本事件为m ＝C 14A 22＝8(个)，故P＝m n ＝820＝25. 3．由0,1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则P (A |B )＝__12__.解析 因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P (B )＝12，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率P (AB )＝12×12＝14，所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1412＝12. 4．甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，若两人投中的概率都是0.6，则至少有一人投中的概率为__0.84__.解析 由题意可得，甲、乙未投中的概率均为1－0.6＝0.4，故甲、乙两人分别进行一次投篮均未投中的概率P ＝0.4×0.4＝0.16，故所求概率P ＝1－P ＝0.84.5．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝__1.96__.解析 依题意，X ～B (100,0.02)，所以D (X )＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.一 条件概率条件概率的两种求解方法(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P (AB )P (A )，求P (B |A )． (2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). 【例1】 (1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( A )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45(2)(2018·湖北黄冈调考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 是“取到的两数之和为偶数”，事件B 是“取到的两个数均为偶数”，则P (B |A )＝( B )A ．18B ．14C ．25D ．12(3)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝__14__.解析 (1)根据条件概率公式P (B |A )＝P (AB )P (A )，可得所求概率为0.60.75＝0.8.(2)P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (B )＝C 22C 25＝110，又A ⊇B ，则P (AB )＝P (B )＝110， 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝14. (3)由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2，事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π.故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12π2π＝14.二 事件的独立性求相互独立事件同时发生的概率的方法： (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【例2】 为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度，不超过22千米的地铁票价如下表.6千米的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为12，13.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．解析 (1)由题意可知，甲、乙乘车超过12千米且不超过22千米的概率分别为14，13，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率P 1＝14×13＋12×13＋14×13＝13，所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P ＝1－P 1＝1－13＝ 23.(2)由题意可知，ξ＝6,7,8,9,10. 且P (ξ＝6)＝14×13＝112，P (ξ＝7)＝14×13＋12×13＝14，P (ξ＝8)＝14×13＋14×13＋12×13＝13，P (ξ＝9)＝12×13＋14×13＝14，P (ξ＝10)＝14×13＝112，所以ξ的分布列为三 独立重复试验与二项分布利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率．【例3】 (2018·河南开封模拟)博彩公司曾经对2016年NBA 总决赛做了大胆地预测和分析，预测西部冠军是老辣的马刺队，东部冠军是拥有詹姆斯的年轻的骑士队，总决赛采取7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间的结果互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛，前4场，马刺队胜利的概率为12，第5,6场马刺队因为平均年龄大，体能下降厉害，所以胜利的概率降为25，第7场，马刺队因为有多次打第7场的经验，所以胜利的概率为35.(1)分别求马刺队以4∶0,4∶1,4∶2,4∶3胜利的概率及总决赛马刺队获得冠军的概率； (2)随机变量X 为分出总冠军时比赛的场数，求随机变量X 的分布列．解析 (1)设“马刺队以4∶0胜利”为事件A ，“马刺队以4∶1胜利”为事件B ，“马刺队以4∶2胜利”为事件C ，“马刺队以4∶3胜利”为事件D ，“总决赛马刺队获得冠军”为事件E ，则P (A )＝⎝⎛⎭⎫124＝116，P (B )＝C 34⎝⎛⎭⎫124×25＝110，P (C )＝C 34⎝⎛⎭⎫124×35×25＋C 24⎝⎛⎭⎫124×⎝⎛⎭⎫252＝325， P (D )＝C 34⎝⎛⎭⎫124×⎝⎛⎭⎫353＋C 24⎝⎛⎭⎫124×C 12×25×35×35＋C 14⎝⎛⎭⎫124×25×25×35＝93500. P (E )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝9372 000.(2)随机变量X 的可能取值为4,5,6,7，P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫124×2＝18，P (X ＝5)＝C 34⎝⎛⎭⎫124·⎝⎛⎭⎫25＋35＝14， P (X ＝6)＝2C 34⎝⎛⎭⎫124⎝⎛⎭⎫25×35＋C 24⎝⎛⎭⎫124·⎝⎛⎭⎫425＋925＝63200， P (X ＝7)＝1－P (X ＝4)－P (X ＝5)－P (X ＝6)＝31100，所以随机变量X 的分布列为!1．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是( C )A ．35B ．34C ．12D ．310解析 在第一次取到白球的条件下，在第二次取球时，袋中有2个白球和2个黑球共4个球，故取到白球的概率P ＝24＝12.2．(2018·广东六校联考)已知甲有5张红卡、2张蓝卡和3张绿卡，乙有4张红卡、3张蓝卡和3张绿卡．他们分别从自己的10张卡片中任取一张进行打卡游戏比赛．设事件A 1，A 2，A 3表示甲取出的一张卡分别是红卡、蓝卡和绿卡；事件B 表示乙取出的一张卡是红卡，则下列结论中正确的是__③⑤__(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝13；②P (A 1|B )＝23；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是彼此相互独立的事件；⑤A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件．解析 因为P (B )＝410＝25，所以①错误；因为事件B 与事件A 1相互独立，所以P (A 1|B )＝P (A 1)＝510＝12，所以②错误，③正确；A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件，所以④错误，⑤正确．3．某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的分布列．解析 (1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A ，则事件A 包括：该节目可以得到两张“获奖”票，或者得到三张“获奖”票．∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响，∴P (A )＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫231＋C 33⎝⎛⎭⎫133＝727.(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133＝127；P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫231⎝⎛⎭⎫132＝627；P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫131＝1227； P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827. 因此X 的分布列为4．耕地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表.(1)设X(2)若在这块耕地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．解析 (1)设A 表示事件“作物产量为300 kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4，因为利润＝产量×市场价格－成本，所以X 所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800.P (X ＝4 000)＝P (A )P (B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2 000)＝P (A )P (B )＋P (A )·P (B )＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2.所以X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i (由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝4 000)＋P (X ＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)·P (C 2)·P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.易错点1 不会使用条件概率公式解题错因分析：不理解条件概率的含义，不会使用条件概率公式解题．【例1】 假定生男生女是等可能的，某家庭有3个孩子，其中有1个女孩，求至少有1个男孩的概率．解析 方法一 此家庭共有3个孩子，包含基本事件有(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，其中至少有1个女孩共有7种可能，其中至少有1个男孩有6种可能，故其概率为67.方法二 记事件A 表示“有一名女孩”，B 表示“至少有一名男孩”，则P(B|A)＝6878＝67. 【跟踪训练1】 (2016·全国卷Ⅱ节选)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下.(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率．解析 (1)设A 表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)设B 表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝0.150.55＝311. 因此所求概率为311.易错点2 对二项分布理解不到位错因分析：不能把问题归结为独立重复试验、二项分布模型解决问题．【例2】 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．解析 记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立， 故P(A 1)＝⎝⎛⎭⎫233＝827，P(A 2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23×23＝827， P(A 3)＝C 24⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－232×12＝427. 所以，甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.【跟踪训练2】 (2016·四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 32.解析 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率为1－⎝⎛⎭⎫122＝34，且X ～B ⎝⎛⎭⎫2，34， 所以均值是2×34＝32.课时达标 第61讲[解密考纲]对事件的独立性与条件概率、独立重复试验与二项分布的考查在高考中三种题型均有呈现．一、选择题1．(2018·陕西西安模拟)甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分)．甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ；“抽出学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ，则P(AB)，P(A|B)的值分别是( A )A ．14，59B ．14，49C ．15，59D ．15，49解析 ∵P (A )＝12，P (B )＝920，P (AB )＝14，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝59.2．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( B )A ．0.85B ．0.819 2C ．0.8D ．0.75解析 P ＝C 340.83·0.2＋C 440.84＝0.819 2.3．从甲袋中摸出1个红球的概率为13，从乙袋中摸出1个红球的概率为12，从两袋中各摸出一个球，则23等于( C )A ．2个球都不是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率解析 因为从两个袋中各摸出一个球都不是红球的概率为⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－12＝13，所以至少有1个红球的概率为1－13＝23.4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( D )A ．310B ．29C ．78D ．79解析 设事件A 为“第1次抽到的螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730，则所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝730310＝79.5．袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是13，从B 中摸出一个红球的概率为p .若A ，B 两个袋子中的球数之比为1∶2，将A ，B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，则p 的值为( B )A ．13B ．1330C ．1730D ．12解析 设A 中有x 个球，B 中有y 个球，则因为A ，B 两个袋子中的球数之比为1∶2，将A ，B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，所以13x ＋py x ＋y ＝25且x y ＝12，解得p＝1330. 6．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面向上的概率等于出现k ＋1次正面向上的概率，那么k 的值为( C )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 C k 5⎝⎛⎭⎫125＝C k ＋15⎝⎛⎭⎫125，∴k ＋(k ＋1)＝5，k ＝2. 二、填空题7．如图所示的电路有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为__18__.解析 ∵a ，c 闭合，b 断开，灯泡甲亮，∴概率为18.8．一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球，2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是__1528__.解析 记事件“甲取到2个黑球”为A ，“乙取到2个黑球”为B ，则有P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 26C 28＝1528，即所求事件的概率是1528. 9．设事件A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为__964__.解析 假设事件A 在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p ，由题意得，事件A 发生的次数X ～B (3，p )，则有1－(1－p )3＝6364，得p ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝⎛⎭⎫1－342＝964. 三、解答题10．某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有A ，B 两个定点投篮位置，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分．规则是：每人投篮三次按先A 后B 再A 的顺序各投篮一次，教师甲在A 和B 点投中的概率分别是12和13，且在A ，B 两点投中与否相互独立．(1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分X 的分布列；(2)若教师乙与教师甲在A ，B 点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率．解析 (1)设“教师甲在A 点投中”的事件为A ，“教师甲在B 点投中”的事件为B . 依题可知X 的可能取值为0,2,3,4,5,7.P (X ＝0)＝P (A ·B ·A )＝⎝⎛⎭⎫1－122×⎝⎛⎭⎫1－13＝16， P (X ＝2)＝P (A ·B ·A ＋A ·B ·A )＝C 12×12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－12＝13， P (X ＝3)＝P (A ·B ·A )＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－12＝112， P (X ＝4)＝P (A ·B ·A )＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×12＝16， P (X ＝5)＝P (A ·B ·A ＋A ·B ·A )＝C 12×12×13×⎝⎛⎭⎫1－12＝16， P (X ＝7)＝P (A ·B ·A )＝12×13×12＝112.则教师甲投篮得分X 的分布列为(2) 这五种情形之间彼此互斥，因此所求事件的概率为P ＝13×16＋112×⎝⎛⎭⎫16＋13＋16×⎝⎛⎭⎫16＋13＋112＋16×⎝⎛⎭⎫16＋13＋112＋16＋112×⎝⎛⎭⎫1－112＝1948. 11．(2018·湖北黄冈期末)甲、乙两位小学生各有2008年奥运吉祥物“福娃”5个(其中“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”和“妮妮”各一个)，现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲赢得一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止．记游戏终止时投掷骰子的次数为ξ.(1)求掷骰子的次数为7的概率； (2)求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．解析 (1)当ξ＝7时，“甲赢”即“第七次甲赢，前6次赢5次，且前5次中必输1次”，依题意，每次甲赢或乙赢的概率均为12，∴P (ξ＝7)＝2×C 15×12×⎝⎛⎭⎫124×12×12＝564. (2)设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为m ，向上的点数是偶数出现的次数为n ，则由⎩⎪⎨⎪⎧|m －n |＝5，m ＋n ＝ξ，5≤ξ≤9或⎩⎪⎨⎪⎧|m －n |<5，m ＋n ＝9得： 当m ＝5，n ＝0或m ＝0，n ＝5时，ξ＝5； 当m ＝6，n ＝1或m ＝1，n ＝6时，ξ＝7； 当m ＝7，n ＝2或m ＝2，n ＝7时，ξ＝9； 当m ＝5，n ＝4或m ＝4，n ＝5时，ξ＝9； 当m ＝6，n ＝3或m ＝3，n ＝6时，ξ＝9； ∴ξ的可能取值是5,7,9.每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同，其概率都是12.P (ξ＝5)＝2×⎝⎛⎭⎫125＝116，P (ξ＝7)＝564，P (ξ＝9)＝1－P (ξ＝5)－P (ξ＝7)＝5564， ∴ξ的分布列是E (ξ)＝5×116＋7×564＋9×5564＝27532.12．(2018·福建泉州模拟)在一种电脑屏幕保护画面中，符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p ，出现“×”的概率为q .若第k 次出现“○”，则记a k ＝1；出现“×”，则记a k ＝－1，令S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .(1)当p ＝q ＝12时，记ξ＝|S 3|，求ξ 的分布列；(2)当p ＝13，q ＝23时，求S 8＝2且S i ≥0(i ＝1,2,3,4)的概率．解析 (1)因为ξ＝|S 3|的取值为1,3，又p ＝q ＝12，所以P (ξ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫12×⎝⎛⎭⎫122×2＝34， P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫123＝14. 所以ξ的分布列为(2)当S 8＝2时，即前八秒出现“○”5次，“×”3次，又已知S i ≥0(i ＝1,2,3,4)，若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任意出现“○”3次． 故所求的概率P ＝(C 36＋C 35)×⎝⎛⎭⎫135×⎝⎛⎭⎫233＝30×838＝8037⎝⎛⎭⎫或802 187.。