第二章 空间描述和变换
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现代控制理论-第二章 控制系统的状态空间描述
12 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
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30 中南大学信息学院自动化系
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3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
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2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
现代控制工程-第二章线性系统的状态空间描述
1 x3 s
1 s
1 x1 s
y(t )
2
3
8 64
解：第一步：化简方框图，使得整个系统只有标准积分器（1/s）、 比例器（k）及加法器组成。 第二步：将上述调整过的结构图中的每个标准积分器（1/s） 的输出作为一个独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状态变 量的一阶导数dxi/dt。 第三步：写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统 的状态方程。
y Cx Du
图2－2 系统动态方程的方块图结构
状态空间分析法具有下列优越之处：
便于在数字计算机上求解；
容易考虑初始条件； 能了解并利用处于系统内部的状态信息； 数学描述简化；
适于描述多输入－多输出、时变、非线性、随机、离散等各类 系统，是最优控制、最优估计、辨识、自适应控制等现代控制系 统的基本描述方法。
例2.2.3求如图所示系统的动态方程。
（a）系统方块图
u(t )
s 1 s2
1 s3
1 s 2 8s 64
y(t )
（b）第一次等效变换
1 s3
u(t )
1 s2
1 s( s 8)
y(t )
64
（c）由标准积分器组成的等效方块图
u(t )
1 x4 s
(2-5)
y t cx t du(t )
，cn ，d为直接联系输入量、输出量 其中 c c1，c2， 的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。
多输入－多输出（含q个输出变量）线性定 常连续系统的输出方程一般表达形式为：
y1 c11 x1 c1n xn d11u1 d1 pu p yq cq1 x1 cqn xn d q1u1 d qp u p
现代控制理论基础-第2章-控制系统的状态空间描述精选全文完整版
(2-18)
解之,得向量-矩阵形式的状态方程
(2-19)
输出方程为
(2-20)
(5) 列写状态空间表达式
将式(2-19)和式(2-20)合起来即为状态空间表达式,若令
则可得状态空间表达式的一般式,即
(2-21)
例2.2 系统如图
取状态变量:
得：
系统输出方程为：
写成矩阵形式的状态空间表达式为：
1.非线性系统
用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代数方程，即
(2-7)
2. 线性系统的状态空间描述
若向量方程中 和 的所有组成元都是变量 和 的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式： （2－8） 式中，各个系数矩阵分别为 （2－9）
4．线性定常系统的状态空间描述
式中的各个系数矩阵为常数矩阵
当系统的输出与输入无直接关系（即 ）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即 ）时，称为非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为
（2－11）
1.系统的基本概念 2. 动态系统的两类数学描述 3. 状态的基本概念
2.2 状态空间模型
2.2.1状态空间的基本概念
1.系统的基本概念
■系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。 ■静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。 ■动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0<t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。
第二章空间描述和变换
❖Vectors must be tagged with information identifying which coordinate system they are defined within.
注意：位置矢量必须附加信息，标明是在哪一个坐标系 被定义的。
For example, AP , this means that the components of A P have numerical values that indicate distances along the axes of {A}. ❖比如：AP ，这个前置的上标A标明此位置矢量是在坐标 系{A}中定义的。
r22
r23
r31 r31 r33
❖we have omitted the leading superscripts in the rightmost matrix of(2.3). In fact, the choice of frame in which to describe the unit vectors is arbitrary as long as it is the same for each pair being dotted. The dot product of two unit vectors yields the cosine of the angle between them, so it is clear why the components of rotation matrices are often referred to as direction cosines.
❖It will be convenient if we stack these three unit vectors together as the columns of a 3 * 3 matrix, in the order AXB、 AYB、AZB . ❖我们将XB、YB、ZB按顺序排列组成3*3的矩阵，成为旋转 矩阵。
注意：位置矢量必须附加信息，标明是在哪一个坐标系 被定义的。
For example, AP , this means that the components of A P have numerical values that indicate distances along the axes of {A}. ❖比如：AP ，这个前置的上标A标明此位置矢量是在坐标 系{A}中定义的。
r22
r23
r31 r31 r33
❖we have omitted the leading superscripts in the rightmost matrix of(2.3). In fact, the choice of frame in which to describe the unit vectors is arbitrary as long as it is the same for each pair being dotted. The dot product of two unit vectors yields the cosine of the angle between them, so it is clear why the components of rotation matrices are often referred to as direction cosines.
❖It will be convenient if we stack these three unit vectors together as the columns of a 3 * 3 matrix, in the order AXB、 AYB、AZB . ❖我们将XB、YB、ZB按顺序排列组成3*3的矩阵，成为旋转 矩阵。
2线性系统的状态空间描述
C m ia J
dt
2
f
转动惯量， 粘性摩擦常数， m 电磁转矩常数，e 电势常数 C C f
令 x1 , x 2 , x 3 i a
x1 x 2 x2 x3 f J Ce La x2 x2 Cm J Ra La x3 x3 u La
结构图
x2
状 态 轨迹
A
( x1 ( t 0 ), x 2 ( t 0 ))( x1源自( t1 ), x 2 ( t1 ))
B
0
x1 ( t ) x (t ) x 2 (t )
t
x1
状态空间分析法举例
例1求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u ( t )
K ---弹性系数 m
7.状态空间表达式(动态方程)：{A，B，C，D}
x f ( x, u , t) y (t ) g ( x , u , t )
x ( t k 1 ) f ( x , u , t k ) y (tk ) g ( x , u , tk )
f,g-线 性 函 数 线 性 系 统
u
y 1
0
例4. 一长度为l ，质量为m的单倒立摆，用铰 链安装在质量为M的小车上，小车受电机操纵， ，在水平方向施加控制力u，相对参考坐标系 产生位移x。要求建立该系统的状态空间表达 式。
m
x
l
u
M
设小车瞬时位置为 x 摆心瞬时位置为 ( x l s i n ) 在水平方向，由牛顿第二定律
yq
u [u1 , u 2 , , u p ]
T
y [ y1 , y 2 , , y q ]
第2章 齐次变换
若A是坐标系O0X0Y0Z0 中某一线性变换，B为坐标系 O1X1Y1Z1中同一线性变换，则 B=(01R)-1A(01R)
例如：A表示O0X0Y0Z0中绕Z0轴转θ角，那么B表示
O1X1Y1Z1中绕Z0轴转θ角。也就是说，１P２＝B １P１ 如果 0 R＝ 那么B＝ 1
相对于固定主轴的复合旋转
坐标系{0}先绕y0旋转φ角，生成坐标系｛1｝，再绕z0旋转 θ角，形成坐标系｛2｝，求旋转矩阵02R。 设点P在三个坐标系中的描述为0P,1P,2P,那么
x o y o 0
0 V N 0 V O 1 V a
x n y n z n cos sin cos90
x a V N y a V O z a V a cos90 V N cos90 V O cos 0 V a
考题
坐标系{0}按下列顺序变换： 1.先绕x0旋转θ角，生成｛1｝ 2.再绕z1旋转φ角，生成｛2｝ 3.再绕z0旋转α角，生成｛3｝ 4.再绕y3旋转β角，生成｛4｝ 5.再绕x0旋转δ角，生成｛5｝ 请写出变换阵05R,（要是有具体的数据，就要代入计算）。
0 5R=Rx(δ
)Rz(α)Rx(θ) Rz(φ) Ry(β)
因此 旋转矩阵 BA R 的作用是将空间某点相对于{B}的描述转换 成该点相对于{A}的描述。 书P19页，倒数第三行，“…的作用是将相对于…”这 句话有误。
考题
请写出左图表示的两个坐标 系的旋转变换阵
x0 x1 0 1 R y0 x1 z 0 x1
x0 y1 y0 y1 z 0 y1 cos 45 cos90
例如：A表示O0X0Y0Z0中绕Z0轴转θ角，那么B表示
O1X1Y1Z1中绕Z0轴转θ角。也就是说，１P２＝B １P１ 如果 0 R＝ 那么B＝ 1
相对于固定主轴的复合旋转
坐标系{0}先绕y0旋转φ角，生成坐标系｛1｝，再绕z0旋转 θ角，形成坐标系｛2｝，求旋转矩阵02R。 设点P在三个坐标系中的描述为0P,1P,2P,那么
x o y o 0
0 V N 0 V O 1 V a
x n y n z n cos sin cos90
x a V N y a V O z a V a cos90 V N cos90 V O cos 0 V a
考题
坐标系{0}按下列顺序变换： 1.先绕x0旋转θ角，生成｛1｝ 2.再绕z1旋转φ角，生成｛2｝ 3.再绕z0旋转α角，生成｛3｝ 4.再绕y3旋转β角，生成｛4｝ 5.再绕x0旋转δ角，生成｛5｝ 请写出变换阵05R,（要是有具体的数据，就要代入计算）。
0 5R=Rx(δ
)Rz(α)Rx(θ) Rz(φ) Ry(β)
因此 旋转矩阵 BA R 的作用是将空间某点相对于{B}的描述转换 成该点相对于{A}的描述。 书P19页，倒数第三行，“…的作用是将相对于…”这 句话有误。
考题
请写出左图表示的两个坐标 系的旋转变换阵
x0 x1 0 1 R y0 x1 z 0 x1
x0 y1 y0 y1 z 0 y1 cos 45 cos90
精品推荐-现代控制理论课后题答案(第二章-第六章)清华大学出版社
1 3s2
s3
，
E( s) U ( s) 21s E( s) 32 s E(s)3 s E( s)
Y ( s) s1 E( s) 22s E( s) 33 s E( s)
8
u
e
+ ++
x3
x2
2
x1
3
-2
-3
-1
状态表达式如下：
++ y
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x2
在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要注意传递函数是否为严格真有
理分式，即 m 是否小于 n ，若 m n 需作如下处理
Y (s)
5s3 7
10s2 15s 18
U (s) s3 2s2 3s 5 5 s3 2s2 3s 5
再由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为
x1 x 2
a d
c b
x1 x2
c 0
0 u1
d
u2
y1 y2
1 0
0 x1
1
x2
2.14 试将下列状态方程化为对角标准形。
(1)
x1 x 2
0 5
1 6
x1 x2
0 1
u
(2)
x1 0
x2
3
x3 12
1 0 7
0 x1 2
1 11s2
6s3
，
即：
7
E(s) U (s) 6s1E(s) 11s2E(s) 6s3E(s) Y (s) 6s1E(s) 10s2E(s) 5s3E(s)
由上式可得状态变量图如下：
第二章 线性系统的状态空间描述
xn
pn1x1
...
pnn xn
记 : x [x1,..., xn ]T ,
x [x1,...xn ]T ,
p11...p1n
P ............
,
pn1...pnn
P可逆
则 x Px, 或 x P 1x
系统的任意选取的两个状态之间为线性非奇异变换的关系。
另外: 一个非线系统可通过泰勒展开获得局部近似线
性化系统（P.29, 自学）
2020/2/11
35
时变和时不变（自治）系统
时变系统:
x f (x,u,t)
y
g(x,
, u, t )
x A(t)x B(t)u
y
C(t)x
D(t)u
向量函数、参数矩阵至少一个是时间变量的显函数。
d
21
d 22
dm1 dm2
d1p
d
2
p
,
d
mp
m n维输出矩阵 表征输出和每个状态变量的关系
m p维前馈矩阵,又称为直接转移矩阵 表征输入对输出的直接传递关系 通常D＝0
2020/2/11
21
动态方程或状态空间表达式：
将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间
2020/2/11
1
2.1 状态和状态空间
2020/2/11
2
1、系统动态过程的两类数学描述
2020/2/11
3
2020/2/11
4
（1）系统的外部描述（输入-输出描述）
第二章 状态空间描述
Modern Control Theory
Page: 7
2-2 状态空间的几个重要概念
x (k 1) Gx (k ) Hu(k ) y(k ) Cx (k ) Du(k )
Modern Control Theory
Page: 8
2-3
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
一、不同系统状态空间表达式的特点——又称动态方程
Modern Control Theory
状态方程
输出方程
Y (t )
U(s)
G(s)
Y(s)…Biblioteka 状态空间描述法示意图…
Page: 6
2-2 状态空间的几个重要概念
线性离散时间系统状态空间表达式
x (k 1) G (k ) x (k ) H (k )u(k ) y ( k ) C ( k ) x ( k ) D ( k ) u( k )
y 6 41 y 7 y 6u y
选择状态变量 令： x 1 y x2 y x 3 y
xn y
( n 1)
Modern Control Theory
Page: 19
2-3
则:
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
1 0 0 0 X 0 u(t ) 0 X 0 1 7 41 6 6 y 1 0 0X
Modern Control Theory
Page: 2
2-1 线性系统的数学描述
5.线性: 一个松弛系统,当且仅当对任何输入u1 和 u 2 及任意常数 , 均有 H ( u1 u2 ) Hu1 Hu2
(可加性) (齐次性)
H ( u1 ) H ( u1 )
Page: 7
2-2 状态空间的几个重要概念
x (k 1) Gx (k ) Hu(k ) y(k ) Cx (k ) Du(k )
Modern Control Theory
Page: 8
2-3
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
一、不同系统状态空间表达式的特点——又称动态方程
Modern Control Theory
状态方程
输出方程
Y (t )
U(s)
G(s)
Y(s)…Biblioteka 状态空间描述法示意图…
Page: 6
2-2 状态空间的几个重要概念
线性离散时间系统状态空间表达式
x (k 1) G (k ) x (k ) H (k )u(k ) y ( k ) C ( k ) x ( k ) D ( k ) u( k )
y 6 41 y 7 y 6u y
选择状态变量 令： x 1 y x2 y x 3 y
xn y
( n 1)
Modern Control Theory
Page: 19
2-3
则:
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
1 0 0 0 X 0 u(t ) 0 X 0 1 7 41 6 6 y 1 0 0X
Modern Control Theory
Page: 2
2-1 线性系统的数学描述
5.线性: 一个松弛系统,当且仅当对任何输入u1 和 u 2 及任意常数 , 均有 H ( u1 u2 ) Hu1 Hu2
(可加性) (齐次性)
H ( u1 ) H ( u1 )
矩阵论第2章内积空间综述
（2）给定n维线性空间V的基后， V上的线性变换 与n阶矩阵之间存在一一对应关系。
（3）设T1，T2是n维线性空间V的两个线性变换，
下的矩阵为
是n维线性空间V的基，T1，T2在该基 则T1+T2，kT1,T1T2，T-1在该基下
矩阵分别为
（4）设n维线性空间V的一个线性变换T在
基下的矩阵为
且向量 在该基下的坐标为
不同的欧氏空间。
（2）不论如何定义内积，不会改变线性空间的维数。
例3 在实线性空间C[a,b]中，对于任意两个连续函数，
f (x), g(x) 定义
f
( x),
g(x)
b
a
f
(x)g(x)dx
利用定积分的性质，可以验证 是欧氏空间，但其维数无限。
f (x), g是(x)内 积， C[a,b]
例4在实线性空间中，对于任意两个n阶矩阵A，B，
则 在该基下的坐标为
（5）设
是纯量多项式，T
为V中的线性变换，且对V的基
有
则V的线性变换f(T)在该基下的矩阵为：
其中f(A)称为矩阵A的多项式。
例1、试确定在多项式空间Pn [x]上的求导运算T
分别在下列两组基下的表示矩阵
说明：同一线性变换在不同基下的表示矩阵一般 是不同的，它们之间的关系是相似矩阵.---P18定 理1.4.7。
线性映射（变换）
有以下性质：
（3）T将V中的线性相关向量组映射为W中的线性 相关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为W 中的线性无关向量组；
（4）设 则
并且
线性变换的值域与核
设T是n维线性空间V的一个线性变换，定义T的值域R(T)与核 N (T)分别为
《机器人学导论》
矢量表示姿态。这就可以确定一个坐标系相对于其他坐标系的位姿了。
例如：用 BAR和APBORG来描述坐标系B在坐标系A中的表达。其中
P A BORG
表示
坐标系的原点相对于坐标系A原点的位置。
这里坐标系B相对于坐标系A不仅有旋转还有平移变换。图中已知BP ，
如何求 AP ？
.
首先将BP 变换到一个中间坐标系，这个坐标系和{A}的
0
cos3
0
0 1
0
0
0
0
0
1
03T01T21T23T
.
PUMA560机器人运动学问题
图：PUMA560机械臂运动. 参数和坐标系分布
建立PUMA560的连杆参数表如下表所示：
i1
连杆参数值/mm a2=431.8 a3=. 20.32 d2=149.09 d4= 433.07
PUMA560变换矩阵
为0。
.
3.连杆坐标系的建立过程
Zi-1 i1
连杆i-1
Zi
Xi
i
.
4.连杆变换
图中有5个坐标系{i-1},{R},{Q},{P},{i}。{R}由{i-1}绕x轴旋转αi-1得 到,{Q}由{R}沿x轴方向平移ai-1得到,{P}由{R}绕z轴旋转θi得到，{i} 由{P}沿z轴方向平移di得到。 .
旋转矩阵R是坐标系B相对于坐标系A的表达。
（这里仅仅考虑旋转变换. ）
例题：如右图所示，坐标系B相对于坐 标系A绕Z轴旋转30°。这里Z轴为由纸 内指向纸面外，求： 1.坐标系B相对于A的旋转矩阵R（用单 位向量表示）？
2.已知 B p =[0.0；2.0；3.0],求 A p ？
解：
现代控制理论-第二章+状态空间描述2讲-561
为 (sI-A) 的 伴随矩阵
为 (sI-A) 的 行列式
系统状态空间表达式的特征方程: sI A 0
系统状态空间表达式的特征根或特征值: sI A 0 的根
Page: 3
ys CsI A 1 B D us Gsus
其展开式为
mr
传递函数矩阵
y1s
y2
s
g11s
g
21 s
一系统动态行为的描述。
Page: 29
2.6 系统状态方程的线性变换
状态向量
x x1, x2 , , xn T
非奇异变 换矩阵
x Ax bu y cx
xPx
x Ax b u
y
cx
新状态
向量
A P1AP b P1b c cP
x P1APx P1Bu
若含有D阵的话， 易知有：
0
0 b
0
1
C 0 , 1 n1
注意：A阵仍为友矩阵；
若状态方程中的A，b具有这种形式，则称为能控
标准型。
Page: 21
2）当
G(s)
bn
N(s) D(s)
即bn 0时
有A，b不变，只是
y Cx b u n
系统{A，b，C，D}称为G（s）的能控标准形 实现。
Page: 22
u
n1
Ts 1
s2 2 s 2
1 b1 a1b2
而b2 0, b1 T , b0 1
a11 2T
0 1 a0 2
Page: 24
y 2 y 2 y Tu u
GS
ys us
s2
Ts 1
2 s
2
x Ax bu y Cx
机器人的空间描述与坐标变换
BPCBTCP APA BTBPA BTC BTCP
（2-24） （2-25）
{A}
{C}
{B}
CP
AP
OC
OB OA
图2-10 复合坐标变换
根据坐标变换的定义得
CATABTCBT
（2-26）
11
例2-3已知点u=7i+3j+2k，先对它进行绕Z轴旋转90o 的变换得点v，再对点v进行绕Y轴旋转90o的变换得 点w，求v和w。
f fxifyjfzk
以 f 为 Z 轴建立与{A}固连的坐标系{C}用n、o和f表示坐标系{C}三个坐标
轴的单位矢量，在坐标系{A}下表示为
ZA
n nxi ny j nzk o oxi oy j ozk f fxi fy j fzk
A C
R
n n
x y
ox oy
f f
x y
B
P
BAR
BP
（2-6）
图2-4旋转变换
B
Z
T A
式（2-6）即为我们要求的旋转变换关系，该变换是通过两个坐
标系之间的旋转变换实现的。
5
3.复合变换
如果两个坐标系之间即存在平移
又存在旋转，如何计算同一个空间点
在两个坐标系下描述的变换关系？
{A}
{C} {B}
BP AP
OB
为了得到位置矢量BP和AP之 间的变换关系，我们建立一个中 间坐标系{C}。
c90 0 s90 1
0
0
CAR
0
1
0
0
c 30
s 30
s90 0 c90 0 s 30 c 30
0 0
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0.87 0.43 0.25 0.87 0.50 0.00 R (30) R (30) 0.43 0.75 0.50 RZ (30) RX (30) 0.50 0.75 0.43 X Z 0.00 0.50 0.87 0.25 0.43 0.87
主要内容：
2.1 概述 2.2 描述：位置、姿态与坐标系 2.3 映射：从坐标系到坐标系的变换 2.4 算子：平移、旋转和变换 2.5 总结与说明 2.6 变换算法 2.7 变换方程 2.8 姿态的其他描述方法 2.9 自由矢量的变换 2.10 计算分析
2.1 概述
机器人操作：是指通过某种机构使零件和工 具在空间运动。 就需要表达零件、工具以及 机构本身的位置和姿态。为 了定义和运用表达位姿的数 学量，我们必须定义坐标系 并给出表达的规则。
A B
A ˆ R XB
A
ˆ Y B
A B
B 1 B T R A R A R
矩阵的逆等于它的转置
正交阵
3.坐标系的描述
在机器人学中，位置和姿态经常成对出现，于 是将此组合成为坐标系。 四个矢量为一组，表达了位置与姿态信息。可 将其写为：
r1 1 r1 2 r1 3 p x r2 1 r2 2 r2 3 p y A A {B } {B R , PB O R G} r3 1 r3 2 r3 3 p z 补齐 0 0 0 1
B T
T T T T
B S S G G T
T G
T T
B T
1 B
S
TT
S G
2.8
A B A ˆ R XB A
姿态的其他描述方法
ˆ Y B r11 r A ˆ ZB 21 r31 r12 r22 r32 r13 r23 r33
旋转矩阵为标准 正交阵，是否需 要9个数字来表 示一个姿态？
3.0 7.0 A P 1 0.0
已知
与例2相比结果相同
ห้องสมุดไป่ตู้
9.098 12.562 A P2 T A P 1 0.000
2.5
总结
齐次变换阵的三个定义：
A 1、 B
T 表示相对于坐标系｛A｝的坐标系｛B｝。
A B
T
2.6
一般情况原点既不重 和,姿态也不同。
A
P ?
P R P PB O R G
A B B A
A
A
PB O R G
P T P
A B B
齐次变换矩阵
B
P 3.0 7.0 0.0
T
求 AP
0.866 0.500 0.000 10.0 0 . 500 0 . 866 0 . 000 5 . 0 A BT 0.000 0.000 1.000 0.0 0 0 0 1
｛B｝相对于｛A｝中的 描述就能表示物体的姿态
ˆ Y B
r11 r A ˆ ZB 21 r31
r12 r22 r32
r13 r23 r33
旋转矩阵
行？
X B X A Y B X A A Z B X B YA YB YA X B Z A Y B Z A
B A
A 1 T B T
A B
T
B A
T
0.866 0.500 0.000 4.0 0 . 500 0 . 866 0 . 000 3 . 0 A BT 0.000 0.000 1.000 0.0 0 0 0 1 0.866 0.500 0.000 4.964 0 . 500 0 . 866 0 . 000 0 . 598 B AT 0.000 0.000 1.000 0.0 0 0 0 1
用另一个符号明确说明是绕那个轴旋转的
A
P 2 RK ( ) P 1
A
cos sin RZ () 0 0
sin cos 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0.866 0.500 0.000 R Z (30.0) 0.500 0.866 0.000 0.000 0.000 1.000
A A
A
平移算子
A
P2 DQ(q ) P1
0 1 0 0 0 qx 0 qy 1 qz 0 1
1 0 D Q (q ) 0 0
q
q x q y qz
2 2
2
2.旋转算子
A
旋转算子
A
P2 R P 1
注意：矢量经某一旋转R得到 的旋转矩阵与一个坐标系相对 参考坐标系经某一旋转R得到 的旋转矩阵是相同的。
A
Px X A B P Py Y A P
B B T
B T
A
A
P R P
A B B
A
Pz Z A B P
B T
映射：将空间某点相对于{B}的描述 转换成了该点相对于{A}的描述
0 . 0 2 . 0 已知：B P 0 . 0
求 AP
2.7
U （1）D
U
变换方程
坐标系｛D｝可以用两种不同的方式表达：
A T UAT D T
U B C
（2）DT B T CT DT 假设除 CT 外均已知，可求得：
B C
1 U D C 1 T U T T AT DT B A
B
例6 已知操作臂指端的坐标系 ｛T｝相对于操作臂基座｛B｝ B 的描述 TT ，又已知工作台坐 标系｛S｝相对操作臂基座 B ｛B｝的空间位置 ST ，并且已 知工作台上螺栓的坐标系｛G｝ S 相对工作台坐标系的位置 GT， T 求螺栓相对操作手的位姿即 GT
90 0.0 A tan 2(r12 , r22 )
c 0 ?
90 0.0 A tan 2( r12 , r22 )
2.欧拉角坐标系法（12种）
Z-Y-X欧拉角
首先将坐标系{B}和一个已知参考坐标系{A}重合。先 ˆ 旋转 角，再绕 Y ˆ ˆ 旋转 角，最后绕 X 将{B}绕 Z B B B 旋转 角。
上图，箭头方向表示{C}相对于{A}的关系而不是{A}相对于{C}的关系
2.3
映射：从坐标系到坐标系的变换
1.平移坐标系的映射
A
P B P APB O R G
2.旋转坐标系的映射
A B A ˆ R XB A
A
P ?
ˆ Y B
ˆT BX A B T A ˆ ˆ ZB Y A B ˆT ZA
r11 r A R , , 令 B XYZ 21 r31
r12 r22 r32
r13 r23 r33
2 2 Atan2(r31 , r11 r21 )
A tan 2 r21 / c , r11 / c A tan 2 r32 / c , r33 / c
9.098 A A B P B T P 12.562 0.000
2.4
算子：平移、旋转和变换
1.平移算子
将空间中的一个点沿着一个已知的矢量方向移动 一定距离。 注意：对空间一点实际平移的描述仅与一个坐 标系有关，映射与两个坐标系有关。
A
P2 P1 Q
1.混合变换
已知 p ，求
B B C P C T P
A
c
变换算法
A
p
A
B P A T P B
B C P A T B CT P
A A B T 定义： C BT CT
2.逆变换
两种方法（1）4×4齐次变换求逆 （2）利用变换的性质求逆
B B R P B A A O RG T A 0 0 0 1
9个矩阵元素有6个约束：
X 1 Y 1 Z 1
XY 0 X Z 0 Y Z 0
用3个参量就能 表示一个姿态。
例7 考虑两个旋转，一个绕 Z 转30度，而另一个 绕 X 转30度。
0.866 0.500 0.000 RZ (30) 0.500 0.866 0.000 0.000 0.000 1.000 1.000 0.000 0.000 RX (30) 0.000 0.866 0.500 0.000 0.500 0.866
1.固定角坐标系法（12种）
X-Y-Z固定角坐标系
首先将坐标系{B}和一个已知参考坐标系{A}重合。先 ˆ ˆ 旋转 角，最后绕 Z ˆ 旋转 角，再绕 Y 将{B}绕 X A A A 旋转 角。
c s 0 c 0 s c 0 0 A R , , R ( ) R ( ) R ( ) 1 B XYZ Z Y X 0 1 0 s 0 注意：绕固定参考 坐标系转动，则左 乘相应旋转矩阵。 c c c s s s c c s s
n o
i
a
2.2
1.位置描述
位置和姿态的表示
在直角坐标系A中,空间任意一 点P的位置(Position)可用3x1 列向量(位置矢量)表示:
px A P py p z
2.姿态描述
空间任意物体的姿态 (Orientation)可用3x3矩 阵表示:
A B A ˆ R XB A
A A R XB B
A