第二章 空间描述和变换

r11 r A R , , 令 B XYZ 21 r31
r12 r22 r32
r13 r23 r33
2 2 Atan2(r31 , r11 r21 )
A tan 2 r21 / c , r11 / c A tan 2 r32 / c , r33 / c
主要内容：
2.1 概述 2.2 描述：位置、姿态与坐标系 2.3 映射：从坐标系到坐标系的变换 2.4 算子：平移、旋转和变换 2.5 总结与说明 2.6 变换算法 2.7 变换方程 2.8 姿态的其他描述方法 2.9 自由矢量的变换 2.10 计算分析
2.1 概述
机器人操作：是指通过某种机构使零件和工 具在空间运动。 就需要表达零件、工具以及 机构本身的位置和姿态。为 了定义和运用表达位姿的数 学量，我们必须定义坐标系 并给出表达的规则。
｛B｝相对于｛A｝中的 描述就能表示物体的姿态
ˆ Y B
r11 r A ˆ ZB 21 r31
r12 r22 r32
r13 r23 r33
旋转矩阵
行？
X B X A Y B X A A Z B X B YA YB YA X B Z A Y B Z A
0.866 0.500 0.000 A R 0 . 500 0 . 866 0 . 000 B 0.000 0.000 1.000
1.000 A P BAR BP 1.732 0.000
3.一般坐标系的映射
A
A B
s 1 0 0 c 0 c 0 s
0 s c
逆解？
RXYZ , , s c s
s s s c c c s
s c s s s c c c c
9.098 A A B P B T P 12.562 0.000
2.4
算子：平移、旋转和变换
1.平移算子
将空间中的一个点沿着一个已知的矢量方向移动 一定距离。 注意：对空间一点实际平移的描述仅与一个坐 标系有关，映射与两个坐标系有关。
A
P2 P1 Q
3.0 7.0 A P 1 0.0
已知
与例2相比结果相同
9.098 12.562 A P2 T A P 1 0.000
2.5
总结
齐次变换阵的三个定义：
A 1、 B
T 表示相对于坐标系｛A｝的坐标系｛B｝。
A B
T
2.6
n o
i
a
2.2
1.位置描述
位置和姿态的表示
在直角坐标系A中,空间任意一 点P的位置(Position)可用3x1 列向量(位置矢量)表示:
px A P py p z
2.姿态描述
空间任意物体的姿态 (Orientation)可用3x3矩 阵表示:
A B A ˆ R XB A
一般情况原点既不重 和,姿态也不同。
A
P ?
P R P PB O R G
A B B A
A
A
PB O R G
P T P
A B B
齐次变换矩阵
B
P 3.0 7.0 0.0
T
求 AP
0.866 0.500 0.000 10.0 0 . 500 0 . 866 0 . 000 5 . 0 A BT 0.000 0.000 1.000 0.0 0 0 0 1
上图，箭头方向表示{C}相对于{A}的关系而不是{A}相对于{C}的关系
2.3
映射：从坐标系到坐标系的变换
1.平移坐标系的映射
A
P B P APB O R G
2.旋转坐标系的映射
A B A ˆ R XB A
A
P ?
ˆ Y B
ˆT BX A B T A ˆ ˆ ZB Y A B ˆT ZA
A B Z' Y 'X '
R
( , , ) R Z RY R X
注意：绕自身运动 坐标系转动，则右 乘相应旋转矩阵。
cc sc s
cs s sc cs c ss ss s cc ss c cs c s c c
A
P2 R Z (30.0)A P1
3.变换算子
变换算子
算子T将矢量平移并旋转得到一个新的矢量：
A
P2 T A P 1
B
P 3.0 7.0 0.0
T
0.866 0.500 0.000 10.0 0.500 0.866 0.000 5.0 T 0.000 0.000 1.000 0.0 0 0 0 1
9个矩阵元素有6个约束：
X 1 Y 1 Z 1
XY 0 X Z 0 Y Z 0




用3个参量就能 表示一个姿态。
例7 考虑两个旋转，一个绕 Z 转30度，而另一个 绕 X 转30度。
0.866 0.500 0.000 RZ (30) 0.500 0.866 0.000 0.000 0.000 1.000 1.000 0.000 0.000 RX (30) 0.000 0.866 0.500 0.000 0.500 0.866
？
B A
R BAR T
0=
B
B A
P R P
BORG B A A
BORG
PA O R G
B
PAORG R PBORG R P
B A A
A TA B BORG
A T B PA O R G B BR AT 0 0 0 1
A T A TA R B B B R PB O R G AT 1 0 0 0
1.混合变换
已知 p ，求
B B C P C T P
A
c
变换算法
A
p
A
B P A T P B
B C P A T B CT P
A A B T 定义： C BT CT
2.逆变换
两种方法（1）4×4齐次变换求逆 （2）利用变换的性质求逆
B B R P B A A O RG T A 0 0 0 1
B A
A 1 T B T
A B
T
B A
T
0.866 0.500 0.000 4.0 0 . 500 0 . 866 0 . 000 3 . 0 A BT 0.000 0.000 1.000 0.0 0 0 0 1 0.866 0.500 0.000 4.964 0 . 500 0 . 866 0 . 000 0 . 598 B AT 0.000 0.000 1.000 0.0 0 0 0 1
A A R XB B
A

YB
ZB XA Z B YA ZB ZA

矩阵的行是单位矢量{A}在{B}中的表达式。
ˆT BX A B T B T A ˆ ˆ R ZB Y A A B ˆT ZA
A A
A
平移算子
A
P2 DQ(q ) P1
0 1 0 0 0 qx 0 qy 1 qz 0 1
1 0 D Q (q ) 0 0
q
q x q y qz
2 2
2
2.旋转算子
A
旋转算子
A
P2 R P 1
注意：矢量经某一旋转R得到 的旋转矩阵与一个坐标系相对 参考坐标系经某一旋转R得到 的旋转矩阵是相同的。
A B
A ˆ R XB
A
ˆ Y B
A B
B 1 B T R A R A R
矩阵的逆等于它的转置
正交阵
3.坐标系的描述
在机器人学中，位置和姿态经常成对出现，于 是将此组合成为坐标系。 四个矢量为一组，表达了位置与姿态信息。可 将其写为：
r1 1 r1 2 r1 3 p x r2 1 r2 2 r2 3 p y A A {B } {B R , PB O R G} r3 1 r3 2 r3 3 p z 补齐 0 0 0 1
1.固定角坐标系法（12种）
X-Y-Z固定角坐标系
首先将坐标系{B}和一个已知参考坐标系{A}重合。先 ˆ ˆ 旋转 角，最后绕 Z ˆ 旋转 角，再绕 Y 将{B}绕 X A A A 旋转 角。
c s 0 c 0 s c 0 0 A R , , R ( ) R ( ) R ( ) 1 B XYZ Z Y X 0 1 0 s 0 注意：绕固定参考 坐标系转动，则左 乘相应旋转矩阵。 c c c s s s c c s s
用另一个符号明确说明是绕那个轴旋转的
A
P 2 RK ( ) P 1
A
cos sin RZ () 0 0
sin cos 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0.866 0.500 0.000 R Z (30.0) 0.500 0.866 0.000 0.000 0.000 1.000

0.87 0.43 0.25 0.87 0.50 0.00 R (30) R (30) 0.43 0.75 0.50 RZ (30) RX (30) 0.50 0.75 0.43 X Z 0.00 0.50 0.87 0.25 0.43 0.87
A
Px X A B P Py Y A P
B B T
B T
A
A
P R P
A B B
A
Pz Z A B P
B T
映射：将空间某点相对于{B}的描述 转换成了该点相对于{A}的描述
0 . 0 2 . 0 已知：B P 0 . 0
求 AP
B T
T T T T
B S S G G T
T G
T T
B T
1 B
S
TT
S G
2.8
A B A ˆ R XB A
姿态的其他描述方法
ˆ Y B r11 r A ˆ ZB 21 r31 r12 r22 r32 r13 r23 r33
旋转矩阵为标准 正交阵，是否需 要9个数字来表 示一个姿态？
90 0.0 A tan 2(r12 , r22 )
c 0 ?
90 0.0 A tan 2( r12 , r22 )
2.欧拉角坐标系法（12种）
Z-Y-X欧拉角
首先将坐标系{B}和一个已知参考坐标系{A}重合。先 ˆ 旋转 角，再绕 Y ˆ ˆ 旋转 角，最后绕 X 将{B}绕 Z B B B 旋转 角。
2.7
U （1）D
U
变换方程
坐标系｛D｝可以用两种不同的方式表达：
A T UAT D T
U B C
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（2）DT B T CT DT 假设除 CT 外均已知，可求得：
B C
1 U D C 1 T U T T AT DT B A
B
例6 已知操作臂指端的坐标系 ｛T｝相对于操作臂基座｛B｝ B 的描述 TT ，又已知工作台坐 标系｛S｝相对操作臂基座 B ｛B｝的空间位置 ST ，并且已 知工作台上螺栓的坐标系｛G｝ S 相对工作台坐标系的位置 GT， T 求螺栓相对操作手的位姿即 GT