导数在实际生活中的应用1教案
导数的应用教案
导数的应用教案导数的应用教案导数是微积分中的重要概念，它在解决实际问题中起着至关重要的作用。
本文将介绍一份导数的应用教案，帮助学生更好地理解导数的应用。
一、引言在学习导数之前，我们首先要明确导数的定义和意义。
导数表示函数在某一点的变化率，它可以帮助我们理解函数的斜率、速度、加速度等概念。
在实际应用中，导数可以用来解决各种问题，如求最值、判断函数的增减性、求曲线的切线等。
二、导数的计算方法在教学中，我们首先要教授学生导数的计算方法。
这包括求常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的导数。
通过具体的例子和计算过程，学生可以更好地理解导数的计算方法。
三、导数的几何意义导数不仅有计算上的意义，还有几何上的意义。
在这一部分，我们可以通过绘制函数图像，让学生观察导数和函数图像之间的关系。
例如，当导数为正时，函数图像是上升的；当导数为负时，函数图像是下降的。
通过这种方式，学生可以更好地理解导数的几何意义。
四、导数的应用举例在实际应用中，导数有广泛的应用。
在这一部分，我们可以给学生提供一些具体的例子，让他们应用导数解决实际问题。
例如，求函数的最值、判断函数的增减性、求曲线的切线等。
通过实际问题的解决，学生可以更好地理解导数的应用。
五、导数的局限性尽管导数在解决实际问题中有很大的作用，但它也有一定的局限性。
在这一部分，我们可以讨论导数的局限性，并引导学生思考如何克服这些局限性。
例如，当函数不可导时，我们如何处理？当函数存在间断点时，我们如何求导？通过这种思考，学生可以更全面地理解导数的应用。
六、总结与展望在教学结束时，我们要对导数的应用进行总结，并展望其在更高级的数学学科中的应用。
例如，导数在微分学、积分学、微分方程等领域中都有重要的应用。
通过对导数的应用的总结和展望，学生可以更好地理解导数的重要性和广泛性。
以上是一份导数的应用教案的大致内容。
通过这份教案，我们可以帮助学生更好地理解导数的应用，并培养他们运用导数解决实际问题的能力。
导数的实际应用教案
导数的实际应用教案一、教学目标1. 理解导数的基本概念和计算方法。
2. 掌握导数在实际问题中的应用，如速度、加速度、优化问题等。
3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 导数的基本概念和计算方法2. 导数在速度和加速度中的应用3. 导数在优化问题中的应用4. 实际案例分析与练习三、教学重点与难点1. 重点：导数的基本概念、计算方法和实际应用。
2. 难点：导数在优化问题中的应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解导数的基本概念、计算方法和实际应用。
2. 案例分析法：分析实际案例，引导学生运用导数解决实际问题。
3. 练习法：通过练习题，巩固所学知识。
五、教学准备1. 教案、PPT、教学用具。
2. 练习题及答案。
3. 实际案例素材。
第一章：导数的基本概念1.1 导数的定义1.2 导数的计算方法1.3 导数的几何意义第二章：导数在速度和加速度中的应用2.1 速度与加速度的导数关系2.2 匀加速运动的速度与位移2.3 非匀加速运动的速度与位移第三章：导数在优化问题中的应用3.1 优化问题的基本概念3.2 函数的极值与最值3.3 实际优化问题的求解方法第四章：实际案例分析与练习（一）4.1 案例一：物体运动的瞬时速度与加速度4.2 案例二：曲线切割面积的最优化4.3 练习题与解答第五章：实际案例分析与练习（二）5.1 案例一：商品折扣的最优化5.2 案例二：生产成本的最优化5.3 练习题与解答六、导数在物理问题中的应用6.1 牛顿运动定律与导数6.2 动力学方程与导数6.3 能量守恒与导数七、导数在经济问题中的应用7.1 边际分析与导数7.2 成本分析与导数7.3 利润最大化与导数八、导数在生物问题中的应用8.1 种群增长与导数8.2 药物浓度与时间的关系8.3 生物酶活性与温度关系九、导数在其他领域中的应用9.1 图像处理中的导数应用9.2 信号处理中的导数应用9.3 气候变化与导数10.1 导数在实际应用中的重要性10.2 导数与其他数学概念的联系10.3 实际应用案例的进一步探讨重点和难点解析六、导数在物理问题中的应用6.1 牛顿运动定律与导数：理解牛顿运动定律中的加速度概念，以及如何通过导数表示加速度。
导数的应用的教案
导数的应用的教案标题：导数的应用的教案教案目标：1. 理解导数的概念和计算方法；2. 掌握导数在实际问题中的应用；3. 提高学生的问题解决能力和数学建模能力。
教学重点：1. 导数的概念和计算方法；2. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 如何将导数的概念和计算方法应用到实际问题中；2. 如何培养学生的问题解决能力和数学建模能力。
教学准备：1. 教师准备：a. 熟悉导数的概念和计算方法；b. 准备相关的实际问题和案例。
2. 学生准备：a. 复习导数的概念和计算方法；b. 准备纸和笔。
教学步骤：步骤一：导入导数的概念（10分钟）1. 复习导数的定义和计算方法；2. 提问学生：导数的概念和计算方法在实际问题中有哪些应用？步骤二：讲解导数在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍导数在物理、经济和生活中的应用，如速度、加速度、最优化等；2. 通过具体的案例和问题，展示导数在实际问题中的作用和应用方法。
步骤三：引导学生解决实际问题（20分钟）1. 给学生提供一些实际问题，要求他们运用导数的概念和计算方法进行解决；2. 引导学生分析问题，建立数学模型，并计算出相应的导数；3. 鼓励学生讨论和交流解题思路和方法。
步骤四：总结和拓展（10分钟）1. 总结导数在实际问题中的应用；2. 提出一些拓展问题，让学生进一步思考和探索。
步骤五：作业布置（5分钟）1. 布置相关的作业，要求学生运用导数的概念和方法解决实际问题；2. 强调作业的重要性和实际意义。
教学延伸：1. 鼓励学生自主探究导数在其他领域的应用，如生物学、环境科学等；2. 利用计算机软件或在线工具进行导数的实际应用模拟。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与程度和问题解决能力；2. 批改学生的作业，评估他们对导数应用的理解和掌握程度；3. 组织小组或个人展示，让学生展示他们解决实际问题的过程和结果。
教学反思：1. 教师根据学生的学习情况和反馈，及时调整教学策略；2. 教师鼓励学生提出问题和意见，促进教学的改进和提高。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.1 导数在实际生活中的应用教案 新人教A版选修2-2-新人教
导数在实际生活中的应用一、教学目标：1．通过本课的教学，对学生进行函数思想和方法的培养．2．通过本课例题的分析与解答，培养学生的发散思维能力和逐步形成运用导数知识解决实际问题的能力．3．通过解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题，体验导数求最大值与最小值的应用．二、教学重点：运用导数求函数的最值在实际问题中的应用． 教学难点：如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．三、教学用具：投影仪四、教学过程1．复习引导求可导函数)(x f 的最大值和最小值的方法和步骤如何？（学生思考回答）2．本课内容引入与分析在日常生活、生产和科研中，常常会遇到一些实际问题，这些问题有的可以转化成求函数最大值和最小值的问题（从而引出例题）．例2 在边长为60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？例题分析：思路一：设箱底边长为x cm ，则箱高260x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数： )600(260)(322<<-==x x x h x x r .具体解法见课本． 思路二：设箱底高为x cm ，则箱底边长为)260(x -cm ，则得箱子容积V 是x 的函数)300( )260()(2<<⋅-=x x x x V思路三；对于一用初等方法解答 22)60(2)60(21)60(21)(2x x x x x x x x V ⋅⋅-=⋅⋅-=-=．由40260=⇒=-x x x x x x x x x V 4)260)(260(41)260()(2⋅--=⋅-= 由104260=⇒=-x x x思路四：由一知当x 过小（接近于0）或过大（接近于60）时箱子容积很小，由二知当x 过小（接近于0）或过大（接近于30）时箱子容积很小．以上可导函数x x x V 2)260()(-=或2260)(x x x V ⋅-=在各自定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，即是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值．请注意这一点． 思路五：从二求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的61，这个结论是否具有一般性？建议课后完成下列变式题，得出相关的结论．变式：从一块边长为a 的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？提示：)20( )2()(2a x x a x x V <<-= 答案：6a x =． 例3 （本章章头图中所提出的问题）圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取才能使所用材料最省？例题分析分析1：设金属饮料罐高为h ，底面半径为R ，则材料最省即是表面积最小，且表面积是R 和h 的二元函数，222R Rh S ππ+=必须消去一个自变量．由常数（定值）22R V h h R V ππ=⇒=代入前式则得S 是R 的一元函数，RV R R S 22)(2+=π（具体解法见课本）． 分析2：初等数学方法解答，222222)(V RV R V R R V R V R R S πππ=⋅⋅⇒++=（常数），所以当3222ππV R R V R =⇒=，代入R h R V h 22=⇒=π 注意：从解答结果发现，罐高与底面直径相等时，所用材料最省．请量一量日常生活中使用的铁皮菜缸，看是否也有这个结论，想一想这是为什么？变式：当如图所示的圆柱形金属罐的表面积为定值S 时，应怎样制作，才能使其容积最大？提示：222R Rh S ππ+=① RR S h ππ222-=⇒ 322221)2(2122)(R SR R R S R R R S R V πππππ-=-=⋅-= 22603210)(R S R S R V ππ=⇒=-⇒='② ②代入①R h R Rh R 222622=⇒+=⇒πππ3．课堂练习教科书第137页练习第1、2题．4．本课内容小结（1）生活、生产和科研中会遇到许多实际问题，要善于用数学的观点和方法去分析问题；（2）解题时，应该考虑一题多解、方法对比、注意联想，推测有些问题是否有一般性结论；（3）注意总结例题中涉及的知识点、重点和难点．五、布置作业。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、引言在高中数学课程中，导数是一个非常重要的概念。
本教案旨在介绍导数及其应用，帮助学生理解导数的概念和基本性质，并学习如何在实际问题中运用导数进行分析和计算。
二、导数的概念1. 导数的定义：导数表示函数在某一点上的变化率，即函数值随自变量变化而变化的快慢程度。
2. 导数的几何意义：导数等于函数曲线在某一点切线的斜率。
3. 导数的符号表示：通常用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。
三、导数的基本性质1. 常数的导数为0：若f(x) = a（a为常数），则f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数：若f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 和差的导数：若f(x) = u(x) ± v(x)，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
4. 乘积的导数：若f(x) = u(x)v(x)，则f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
5. 商的导数：若f(x) = u(x)/v(x)，则f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] /v(x)^2。
四、导数的应用1. 切线和法线：导数可以用于求函数曲线在某一点的切线和法线方程。
2. 极值问题：导数可以帮助我们判断函数的极值，并求出极值点和极值。
3. 函数图像的画法：导数可以提供函数图像的一些特征，如拐点、极值、单调性等。
4. 物理问题中的应用：导数可以帮助解决一些物理问题，如速度、加速度等。
五、教学活动1. 导数的计算练习：通过给出具体函数的表达式，让学生计算其导数。
2. 导数在几何中的应用：通过给出函数的图像，让学生判断函数的增减性、拐点、极值等。
3. 实际问题解析：将一些实际问题转化为数学模型，并运用导数进行分析和求解。
六、教学反思通过本教案的讲解和练习，学生应能掌握导数的概念和基本性质，具备运用导数进行实际问题分析和计算的能力。
高中数学导数的应用教案
高中数学导数的应用教案
教学目标：学生能够理解导数的概念，掌握导数在实际问题中的应用，并能够运用导数解决相关问题。
教学重点和难点：掌握导数在实际问题中的应用。
教学准备：教师准备课件、实例题目，学生准备笔记本、笔。
教学过程：
一、导入（10分钟）
通过一个生活实例引入导数的概念，让学生初步了解导数在实际中的意义。
二、概念讲解（15分钟）
1. 温故导数的定义和性质；
2. 导数的应用领域；
3. 导数在实际问题中的意义和作用。
三、实例分析（20分钟）
教师通过实例问题，引导学生运用导数进行问题求解，如最值问题、速度问题等。
四、练习（15分钟）
让学生在课堂上进行练习题目，加深对导数应用的理解。
五、总结（10分钟）
通过讨论和总结，让学生掌握导数在实际问题中的应用方法，并复习导数的相关概念。
六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，让学生巩固所学知识。
教学反思：
通过实例讲解和练习，能够有效帮助学生掌握导数在实际问题中的应用方法。
同时，通过讨论和总结，可以使学生更深入地理解导数的概念和性质。
导数的实际应用教案
1.3.3 导数的实际应用【学习要求】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．【学法指导】1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力．1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的 最佳方案 _或最佳策略 ．这些都是最优化问题． 2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的数学模型 ．写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f(x)，然后再利用导数研究函数的最值 . 题型一 面积、体积的最值问题 例1 如图所示，现有一块边长为a 的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？解 设截下的小正方形边长为x ，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a －2x ，高为x ，于是V(x)＝(a －2x)2x,0<x<a 2.即V(x)＝4x 3－4ax 2＋a 2x,0<x<a 2. 实际问题归结为求V(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2上的最大值点．为此，先求V(x)的极值点． 在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2内，V′(x)＝12x 2－8ax ＋a 2.令V′(x)＝0，即令12x 2－8ax ＋a 2＝0.解得x 1＝16a ，x 2＝12a(舍去)． x 1＝16a 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2内，x 1可能是极值点．且当0<x<x 1时，V′(x)>0；当x 1<x<a 2时，V′(x)<0. 因此x 1是极大值点，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2内，x 1是唯一的极值点，所以x ＝x 1＝16a 是V(x)的最大值点． 即当截下的正方形边长为16a 时，容积最大． 小结 求几何体的面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，选择适当的量建立关于面积或体积的目标函数，然后利用导数求解．跟踪训练1 已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．解 如图，设矩形边长AD ＝2x(0<x<2)，则AB ＝y ＝4－x 2(y>0)，则矩形的面积S ＝2x(4－x 2)(0<x<2)，即S ＝8x －2x 3，S′＝8－6x 2，令S′＝0，解得x 1＝233，x 2＝－233(舍去)． 当0<x<233时，S′>0；当233<x<2时，S′<0； ∴当x ＝233时，S 取得最大值，此时S 最大值＝3239，即矩形边长分别为433，83时，矩形面积最大． 题型二 强度最大、用料最省问题例2 横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？解 如图所示，设断面宽为x ，高为h ，则h 2＝d 2－x 2.横梁的强度函数f(x)＝kxh 2(k 为强度系数，k>0)，所以f(x)＝kx(d 2－x 2)，0<x<d.在开区间(0，d)内，令f′(x)＝d(d 2－3x 2)＝0.解方程d 2－3x 2＝0，得两个根x ＝±33d ，其中负根没有意义，舍去． 当0<x<33d 时，f′(x)>0；当33d<x<d 时，f′(x)<0. 因此，在区间(0，d)内只有一个极大值点x ＝33d.所以f(x)在x ＝33d 取最大值，就是横梁强度的最大值．此时h ＝d 2－x 2＝63d.即当宽为33d ，高为63d 时，横梁的强度最大． 小结 最大流量、最大强度、最大功率等，要注意不同的问题背景，计算式子也会有相应的区别．要结合问题本身的特点，根据题目的条件(或是已知的式子)进行．为了解决问题，可能要引入多个字母，在求导的过程中，一定要分清哪些是变量，哪些是常量，只有这样才能保证有的放矢． 跟踪训练2 挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20 m 2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？解 如图，设半圆的半径为r ，矩形的高为h ，则截面积S ＝2rh ＋πr 22＝20， 截面周长C ＝2r ＋2h ＋πr＝2r ＋20－πr 22r ＋πr＝2r ＋20r －πr 2＋πr ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π2r ＋20r ，记C(r)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π2r ＋20r ，则C′(r)＝2＋π2－20r 2. 令C′(r)＝0，得r ＝2104＋π时，周长C 最小．即宽为4104＋π时，截面周长最小，用料最省． 题型三 省时高效、费用最低问题例3 如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B 的距离是150 km.在岸边距点B300 km 的点A 处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A 与B 之间有一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时速为50 km ，船时速为30 km ，试在岸边选一点C ，先将军需品用火车送到点C ，再用轮船从点C 运到海岛，问点C 选在何处可使运输时间最短？解 设点C 与点B 的距离为x km ，则运输时间T(x)＝1502＋x 230＋300－x 50，0≤x≤300. 因为(1502＋x 2)′＝x 1502＋x 2，所以T′(x)＝x 301502＋x 2－150.令T′(x)＝0，则有5x －31502＋x 2＝0， 5x ＝31502＋x 2，25x 2＝9(1502＋x 2)．解此方程，得x ＝±9×15024＝±3×1504＝±112.5.舍去负值，取x ＝x 0＝112.5. 因为T(0)＝15030＋30050＝11，T(300)≈11.2，T(112.5)＝1502＋112.5230＋187.550＝10，而10是11,11.2和10中的最小者，所以x ＝x 0＝112.5是最小值点．所以点C 选在与点B 的距离为112.5 km 处，运输时间最省．小结 路程最短、运输费用最省问题，实质就是路程、时间、速度三者的关系问题，建立在时间与速度的基础上产生路程，根据路程产生运输费用最少或是油耗最小．本题运算较麻烦，重点训练复合函数的求导法则．跟踪训练3 如图所示，设铁路AB ＝50，BC ＝10，现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB 上何处修筑公路至C ，可使运费由A 至C 最省？解 设M 为AB 上的一点，且MB ＝x ，于是AM 上的运费为2(50－x)，MC 上的运费为4102＋x 2，则由A 到C 的总运费为p(x)＝2(50－x)＋4100＋x 2(0≤x≤50)．p′(x)＝－2＋4x 100＋x2，令p′(x)＝0，解得x 1＝1033，x 2＝－1033(舍去)． 当x<1033时，p′(x)<0；当x>1033时，p′(x)>0，∴当x ＝1033时，取得最小值． 即当在离点B 距离为1033的点M 处修筑公路至C 时，货物运费最省． 题型四 利润最大问题例4 某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x －9)·(432＋kx 2)＝(21－x)·(432＋kx 2)，又由已知条件24＝k·22，于是有k ＝6，所以f(x)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x∈[0,30]．(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f(x)与f′(x)的变化状态如下表：故x ＝12时，f(x)达到极大值．因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．小结 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练4 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x<6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2＋10＝11，所以a ＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x<6. 从而，f′(x)＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：由上表可得，x ＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x ＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.课堂练习：1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为 ( A )A ．4B ．6C ．4.5D ．8解析 设底面边长为x ，高为h ，则V(x)＝x 2·h＝256，∴h＝256x2， ∴S(x)＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S′(x)＝2x －4×256x 2.令S′(x)＝0，解得x ＝8，∴h＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为多少？解：依题意，得存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2，其中x∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x<0.048 6)，则y′＝0.097 2kx －3kx 2.令y′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)．当0<x<0.032 4时，y′>0；当0.032 4<x<0.048 6时，y′<0. 所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升， 依题意得h(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x≤120)， h′(x)＝x 640－800x 2＝x 3－803640x2(0<x≤120)．令h′(x)＝0，得x ＝80.因为当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数； 当x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，所以当x ＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答 汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．课堂小结：1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)找关系：分析实际问题中各量之间的关系；(2)列模型：列出实际问题的数学模型；(3)写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(4)求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(5)比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(6)结论：根据比较值写出答案．2．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数，等等.友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！。
导数的应用教案
导数的应用教案教案标题：导数的应用教案教学目标：1. 了解导数在实际生活和各学科中的应用。
2. 掌握导数的应用方法，能够运用导数解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法。
2. 在实际问题中应用导数解决特定的数学、物理或经济问题。
教学难点：1. 将实际问题转化为数学模型。
2. 运用导数解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学讲义、白板、投影仪、计算器。
2. 学生准备：笔、纸、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，回顾导数的定义和计算方法。
2. 提问学生导数的应用场景，让学生思考导数在实际生活和各学科中的重要性。
二、理论讲解（15分钟）1. 介绍导数在数学中的应用：a. 导数用于求函数的变化率和极值点。
b. 导数可以求切线和法线的斜率。
2. 介绍导数在物理中的应用：a. 导数用于求速度、加速度和力的变化率。
b. 导数可以求曲线的切线和曲率。
3. 介绍导数在经济中的应用：a. 导数用于求边际成本、边际收益、边际利润。
b. 导数可以帮助优化生产和销售策略。
三、案例分析（20分钟）1. 选择一个实际问题，将其转化为数学模型。
2. 引导学生运用导数解决该实际问题。
3. 指导学生自主解决一个类似的实际问题。
四、拓展活动（15分钟）1. 分组讨论：学生分成小组，选择不同学科领域，探讨导数在该领域的应用。
2. 小组报告：每个小组派代表向全班介绍他们在探讨中得出的导数应用案例。
五、总结与反馈（5分钟）1. 教师总结导数的应用领域，并强调导数在不同学科中的重要性。
2. 学生回答教师提出的问题，进行课堂反馈。
六、作业布置（5分钟）1. 要求学生完成作业册上相关题目。
2. 鼓励学生在实际生活中寻找更多的导数应用案例，并写下思考和心得体会。
教学延伸：1. 鼓励学生参与数学建模竞赛，以提升他们在导数应用方面的能力。
2. 引导学生阅读相关经典著作，了解导数的更多应用领域和概念。
教学反思：本节课通过理论讲解和案例分析相结合的方式，使学生能够更深入地理解导数的应用。
导数在大学数学的应用教案
教案：导数在大学数学中的应用课程目标：1. 理解导数的基本概念和性质；2. 掌握导数的计算方法；3. 了解导数在大学数学中的应用场景；4. 能够运用导数解决实际问题。
教学资源：1. 教材或大学数学课本；2. 课件或黑板；3. 练习题和案例题目。
教学内容：1. 导数的基本概念和性质；2. 导数的计算方法；3. 导数在大学数学中的应用场景；4. 实际问题的解决方法。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾高中数学中导数的基本概念和性质，例如导数的定义、计算公式等；2. 提问学生是否了解导数在大学数学中的应用场景。
二、讲解导数的基本概念和性质（15分钟）1. 复习导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率；2. 介绍导数的性质：导数反映了函数在某一点的增减性，导数的正负性可以判断函数的单调性；3. 讲解导数的计算方法：导数的计算公式、导数的四则运算法则等。
三、介绍导数在大学数学中的应用场景（15分钟）1. 微分方程：导数在微分方程中的应用，例如求解微分方程的解；2. 泰勒展开：导数在泰勒展开中的应用，例如求解函数的近似值；3. 极值问题：导数在求解函数极值中的应用，例如找到函数的最大值和最小值；4. 实际问题：导数在物理、经济、生物等领域的应用，例如速度、加速度的计算，成本、收益的最大化等。
四、案例分析（15分钟）1. 给出一个实际问题，例如求解物体在某一时刻的速度；2. 引导学生运用导数的概念和计算方法解决问题；3. 讨论解题过程中遇到的问题和解决方法。
五、练习和总结（10分钟）1. 给出一些练习题，让学生巩固导数的概念和计算方法；2. 总结本节课的重点内容，强调导数在大学数学中的应用；3. 鼓励学生在课后主动寻找实际问题，运用导数解决。
教学反思：本节课通过讲解导数的基本概念和性质，介绍导数在大学数学中的应用场景，以及案例分析，让学生掌握导数的基本知识和应用方法。
通过练习和总结，巩固学生的学习成果，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
导数的应用的市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
导数的应用的教案一、教学目标1. 理解导数的概念及其意义。
2. 掌握导数的计算方法。
3. 能够应用导数求解实际问题。
二、教学重点1. 导数的概念及其计算方法。
2. 导数在实际问题中的应用。
三、教学难点1. 如何应用导数解决实际问题。
2. 导数在不同问题中的应用方式和计算方法。
四、教学准备1. 教案书写工具。
2. 板书工具。
五、教学过程Step 1：导入导数的概念（5分钟）1. 引导学生回顾函数的导数的概念，即函数在某一点的变化率。
2. 提问学生：导数的主要作用是什么？学生回答：导数可以表示函数的变化趋势和速率。
3. 引导学生思考导数在实际生活中的应用场景。
Step 2：导数的计算方法（15分钟）1. 通过示例给出导数的计算方法，如常见的多项式函数、三角函数和指数函数。
2. 讲解导数的基本性质，如和差、积、商的导数、复合函数的导数等。
3. 引导学生进行练习，巩固导数的计算方法。
Step 3：应用导数求解实际问题（20分钟）1. 分组活动：将学生分为若干小组，每组选择一个实际问题进行研究，要求问题涉及导数的应用。
2. 每个小组按照以下步骤来解决问题：a. 确定问题中的关键信息和变量。
b. 建立数学模型，将问题转化为数学表达式。
c. 求解导数并进行计算。
d. 对结果进行解释和分析。
3. 每个小组展示他们的解决方案，并针对问题进行讨论。
Step 4：实际问题的讨论和总结（15分钟）1. 引导学生进行实际问题的讨论，分享各组的解决方案和结果。
2. 总结导数在实际问题中的应用，提醒学生注意导数的作用及局限性。
六、教学延伸1. 引导学生继续研究导数的其他应用场景，如最值、最优化等。
2. 鼓励学生参与数学建模竞赛，提高应用导数解决实际问题的能力。
七、教学反思本节课通过引导学生思考导数的概念和意义，讲解导数的计算方法，并通过实际问题的应用来巩固学习。
通过小组合作和讨论，学生能够更好地理解导数在实际问题中的应用。
教师在教学过程中注意激发学生的思考和创新能力，提高他们应用数学知识解决实际问题的能力。
初中数学导数应用教案
初中数学导数应用教案教学目标：1. 理解导数的定义和意义；2. 学会使用导数求解函数的极值和单调性；3. 能够应用导数解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义和意义；2. 导数的求解方法；3. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 导数的符号判断；2. 导数在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示导数的定义和求解方法；2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用导数解决。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾函数的概念，复习函数图像；2. 提问：函数图像上某一点的切线斜率是什么？二、导数的定义和意义（15分钟）1. 介绍导数的定义：函数在某一点的导数是其图像在该点切线的斜率；2. 解释导数的意义：导数反映了函数在某一点的增减性，即函数值的变化率；3. 举例说明导数的符号判断：正导数表示函数单调递增，负导数表示函数单调递减，导数为0表示函数取得极值。
三、导数的求解方法（15分钟）1. 介绍导数的求解方法：导数的基本运算法则和导数的四则运算法则；2. 演示如何求解函数的导数：求解常见函数的导数，如幂函数、指数函数、对数函数等；3. 练习求解函数的导数：让学生独立求解一些给定函数的导数。
四、导数在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍实际问题中导数的应用：如最优化问题、运动物体的速度与加速度等；2. 演示如何应用导数解决实际问题：给出一个实际问题，引导学生运用导数求解；3. 练习应用导数解决实际问题：让学生独立解决一些给定的实际问题。
五、总结与反思（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结导数的定义、意义和求解方法；2. 提问：你们认为导数在数学和实际生活中有什么作用？教学延伸：1. 深入学习导数的应用：如曲线的凹凸性、拐点等；2. 学习多元函数的导数：函数的多个变量之间的导数关系。
教学反思：本节课通过导入、讲解、演示和练习等环节，让学生掌握了导数的定义、意义和求解方法，并能够应用导数解决实际问题。
导数在实际生活中的应用1教案
导数在实际生活中的应用1教学目标1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2、提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点 理利用导数解决生活中的一些优化问题 教学难点 利用导数解决生活中的一些优化问题 教学过程 一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授1、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：（1）与几何有关的最值问题； (2)与物理学有关的最值问题；(3)与利润及其成本有关的最值问题； (4)效率最值问题。
2、解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．3三．例题讲解4、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为128xdm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x=++-=++> 求导数，得'2512()2S x x=-。
令'2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）。
于是宽为128128816x ==。
当(0,16)x ∈时，'()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'()S x >0._x_x_ 60_ 60x因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点。
导数的应用教案
导数的应用教案导数的应用教案一、教学目标：1.了解导数的概念及其意义；2.掌握导数的计算方法；3.能够应用导数解决实际问题。
二、教学内容：1.导数的概念及其意义；2.导数的计算方法；3.导数的应用实例。
三、教学过程：1.导入导数概念：教师通过提问方式引导学生回顾前面学习的知识，了解函数的极限与导数之间的关系，并引入导数的概念。
教师可以通过举例说明导数的概念，如汽车行驶距离与时间的关系等。
2.导数的计算方法：教师介绍导数的计算方法，包括极限定义、导数公式和导数性质等，并通过具体的例子进行讲解，如多项式函数的导数计算等。
3.导数的应用实例：教师通过实际问题让学生应用导数解决实际问题，如求函数的最值、判定函数的增减性、判定函数的凸凹性等。
教师可以先进行概念讲解，然后给出具体的应用实例，让学生进行分析和解答。
4.教学巩固与拓展：教师进行导数的应用拓展，让学生了解导数在其他领域的应用，如物理学中的速度与加速度、经济学中的边际产量与边际成本等，并进行讲解和讨论。
四、教学方法：1.导入法：通过导入问题或例子引发学生思考，激发学生学习兴趣。
2.讲解法：通过讲解导数的概念和计算方法，使学生掌握相关知识。
3.示范法：通过示范具体例题，帮助学生理解和掌握导数的应用方法。
4.讨论法：通过学生的互动讨论，加深对导数应用的理解和掌握。
五、教学资源：1.课件：包括导数的概念、计算方法及应用实例的课件。
2.习题集：提供导数的应用习题，帮助学生巩固和拓展知识。
六、教学评价：1.课堂练习：提供一定数量的导数应用题，检查学生的掌握情况。
2.作业：布置一定数量的导数应用题，供学生进行复习和巩固。
3.学生评价：通过学生对教学过程的反馈和教师的观察，对教学效果进行评价。
七、教学反思：通过开展导数的应用教学，学生能够进一步理解导数的概念、计算方法及其在实际问题中的应用，从而提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
同时，教师应根据学生的实际情况和兴趣，合理安排教学内容和方法，提高教学效果。
导数的应用教案
导数的应用教案教案1: 导数的应用——相关变化率教学目标:1. 理解导数的意义，能够解释导数代表相关变化率的含义。
2. 能够在实际问题中应用导数求解相关变化率。
3. 能够在实际问题中应用导数解决最优化问题。
教学准备:1. 教师准备相关变化率和最优化问题的实际应用例题，如某物体运动的速度和加速度问题，总收益和销售量的关系问题等。
2. 准备计算导数和求解最优化问题的手段和方法。
教学过程:引入：1. 导入相关变化率的概念，引导学生思考在我们日常生活中有哪些变量之间存在相关变化的情况，并了解相关变化率的重要性。
2. 引入导数的概念，解释导数代表相关变化率的含义，即导数表示因变量相对于自变量的变化速率。
探究：1. 通过实例和图形直观理解导数的概念，包括斜率、切线、变化率等。
2. 让学生进行实际问题的探究，如给定一个函数表达式，利用导数求解相关变化率的具体问题。
3. 引导学生通过具体实例，进一步理解导数的应用，如速度和加速度的关系问题。
拓展：1. 引导学生应用导数解决最优化问题，比如通过导数求解某函数的最大值、最小值等问题。
2. 引导学生思考一些实际问题，如制作某个产品的成本、利润与销售量的关系，利用导数求解最优销售量等实际问题。
实践：1. 组织学生分组完成一些实际问题的探究和求解，让学生练习运用导数求解实际问题。
2. 学生通过小组展示和分享，互相学习和交流，提高对导数应用的理解和掌握程度。
总结：1. 归纳和总结导数的应用领域，通过概念总结和案例分析，强化学生对导数应用的理解。
2. 提醒学生导数应用的实际意义和重要性，鼓励学生在日常生活中运用导数的方法和思想解决问题。
课后作业:1. 完成课后练习题，巩固导数应用的知识和技能。
2. 搜集相关应用实例，了解和探究更多的导数应用领域。
3. 思考导数应用的局限性和拓展方向，形成个人的思考和见解。
《导数在生活中的简单应用》教学案例
《导数在生活中的简单应用》教学案例
一、案例介绍
通过本案例，学习生活中的导数应用，能够帮助学生结合实际，深入理解并发挥导数的作用。
二、案例分析
1.计算变化的速度
在工业当中，机器的生产速率是一项重要的考量指标。
经济学也是如此，许多因素会改变经济的速度，比如公司的生产能力和投资的总量等。
在这种情况下，求出变化的速度就显得非常重要。
这时我们就要用到导数，它可以帮助我们求出变量随着某个指标变化产生的变化速度。
2.计算函数最大值或最小值
导数也可以用来求函数的最值，比如可以用来求最优化问题，比如机器学习中的最佳拟合或经济的最优生产量等。
可以使用导数的概念来求出函数的极值点，比如令导数等于零得到函数极值点，也可以令导数等于无穷小得到函数最高点等，这些都靠着求导数的方法来完成。
3.解决定积分
导数也可以用来求积分，根据微积分里的积分计算公式$\int
\frac{dx}{f(x)}=log(|f(x)|)+c$，我们可以看出求取积分依赖于解决导数的问题，这在数学模型的建立中非常重要，比如生产成本可以用函数的积分表示法来分析，而这都需要先求出某函数的导数才能得到。
4.画函数图象
有时画函数图像也要靠求导数，因为极值点的判断也要通过求导数的方法来实现，比如用拉格朗日法则得到函数图像的极值点，用求导数的方法得到函数的极值。
三、案例结论
从上述案例我们可以看出，导数在生活中有非常多的应用，从计算变化的速度、求函数的最大值或最小值、求定积分、画函数图象等，都需要用到导数的概念。
求导数不仅可以提高我们对函数的理解和熟悉程度，还能够更好地理解问题所在，更人性化和完善地解决问题。
导数在实际生活中的应用教学课件
数值模拟与仿真
数值模拟
导数可以用于数值模拟中的偏微分方程求解，例如在物理学、化学和生物学 等领域中，利用导数求解偏微分方程可以模拟自然现象的规律。
计算机仿真
导数可以用于计算机仿真中的参数优化和模型验证，例如在金融、交通和生 态等领域中，利用导数进行参数优化和模型验证可以提高仿真结果的准确性 和可靠性。
2023
《导数在实际生活中的应 用教学课件》
目录
• 导数概述 • 导数在物理中的应用 • 导数在经济学中的应用 • 导数在工程中的应用 • 导数的进一步应用
01
导数概述
导数的定义
1 2
定义
导数是函数值随自变量变化的速度，即函数在 某一点的导数表示函数在这一点变化率的大小 。
数学表达
如果函数y = f(x)在x = x0处可导，则称f'(x0)为 函数f(x)在x0处的导数。
稳定性
在船舶设计中，导数可以帮助分析船体的稳定性。例如，通过分析船体的重心以 及浮力的变化，利用导数可以确定最优的船体设计以实现稳定的航行。
05
导数的进一步应用
最优控制与决策
最优控制
导数可以用于求解最优控制问题，例如在工程、经济和金融 等领域中的最优控制策略，以实现系统性能的最优。
决策分析
导数可以用于决策分析中的最优选择问题，例如在风险评估 和预测分析中，利用导数求解最优投资组合或最优路径选择 等。
边际成本与边际收益
边际成本
导数可以用来描述成本的变化率，即边际成本。在经济学中 ，边际成本是指增加一单位产量所增加的成本。通过导数， 我们可以分析不同生产规模下的边际成本，从而优化生产决 策。
边际收益
与边际成本相对应，导数也可以用来描述收益的变化率，即 边际收益。在经济学中，边际收益是指增加一单位产量所增 加的收益。通过导数，我们可以分析不同生产规模下的边际 收益，从而优化销售决策。
导数的实际应用教案
导数的实际应用教案第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
强调导数的重要性：导数可以帮助我们理解函数的增减性、极值等性质。
1.2 导数的计算方法介绍导数的计算规则：常数函数的导数为0，幂函数的导数等。
讲解导数的运算法则：导数的四则运算、复合函数的导数等。
1.3 导数的应用解释导数在实际应用中的意义：例如，求解物体的速度、加速度等问题。
举例说明导数在实际问题中的应用：如优化问题、物理运动问题等。
第二章：导数与函数的增减性2.1 引入增减性的概念解释函数的单调递增和单调递减：函数在某一段区间内，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
2.2 利用导数判断函数的极值解释函数的极值概念：函数在某一点的导数为0，且在该点附近导数符号发生变化的点。
讲解如何利用导数判断函数的极值：通过导数的正负变化来确定函数的极大值和极小值。
2.3 应用实例分析举例说明如何利用导数判断函数的增减性和极值：如函数f(x) = x^3的增减性和极值分析。
第三章：导数与曲线的切线3.1 切线方程的导数表示解释切线的概念：函数在某一点的导数即为该点处的切线斜率。
推导切线方程的一般形式：y y1 = m(x x1)，其中m为切线斜率，(x1, y1)为切点坐标。
3.2 利用导数求解曲线的切线讲解如何利用导数求解曲线的切线：求出切点坐标，求出切线的斜率，写出切线方程。
3.3 应用实例分析举例说明如何利用导数求解曲线的切线：如函数f(x) = x^2的切线求解。
第四章：导数与函数的单调性4.1 单调性的定义与性质解释函数的单调性：函数在某一段区间内，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
强调单调性的重要性：单调性可以帮助我们理解函数的变化趋势。
4.2 利用导数判断函数的单调性讲解如何利用导数判断函数的单调性：通过导数的正负来确定函数的单调递增或递减区间。
高中数学新苏教版精品教案《1.4 导数在实际生活中的应用》
《导数在实际生活中的应用》教学设计授课人：福建省福安市高级中学徐旭芳时间：2021年6月13日地点：福安市高级中学【教材分析】本节课是苏教版高中数学选修2-2第一章第四节“导数在实际生活中的应用”第一课时，主要内容是用导数求生活中面积、体积的最值问题。
生活中的优化问题是在导数的概念、运算，用导数求极值、最值等内容的基础上教学的，它既是对导数知识的复习巩固，也是导数知识在实际生活中的应用。
本节课以生活实例为题材，培养学生的阅读能力和建模意识。
学习过程中的认知冲突，不同思维的碰撞，易激发学生思维的积极性，有助于创新能力的培养。
【学情分析】学生刚学完导数的概念、运算、用导数求极值、最值等知识，为用导数解决实际生活中的问题创造了条件。
高二年级的学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，并有相应的认知基础，乐于探索、敢于探究。
但逻辑思维能力还属于经验型，运算能力不强，数学建模方法的运用还不够熟练，有待进一步加强训练。
【设计思想】教学不仅仅是一门科学，更是一门艺术，坚持“以人为本”的原则确定目标，选择最适合的教学方法，才能使学生的知识能力、情感态度价值观获得进步与发展，并亲历学习过程和掌握学习方法。
教学中创设情境与数学模型，把体验、尝试、发现的机会留给学生，应用数字教学资源，促进数学教学与技术的深度融合，让学生感受生活中的数学，感受数学建模，提升数学学科素养。
【教学目标】知识与技能：掌握利用函数思想、导数方法求有关面积、体积的最值问题；过程与方法：以日常生活、生产实践中典型的问题为载体，探讨利用函数思想、导数方法求面积和体积问题的应用；情感态度与价值观：学生分享将实际问题转化为数学问题的学习乐趣，感受数学与生活的密切联系。
【教学重点】从实际问题中抽象出函数模型，用导数方法求解函数最值问题的程序化步骤。
【教学难点】从实际问题中抽象出函数模型，对最值、最值与极值概念的区别与联系的理解。
【第一环节】：情景导入看一段视频（某易拉罐生产流水线）假设某种易拉罐年产量超过50亿只，易拉罐是标准的圆柱形, 每只易拉罐容积一定，试想，如果在生产过程中，每只易拉罐能省1克材料，就可节省资金上亿元，如果能对易拉罐的设计进行优化，不仅能节省大量的资源，还能产生巨大的经济效益。
导数解决实际问题教案易拉罐
导数解决实际问题教案易拉罐（原创实用版）目录1.导数在解决实际问题中的应用2.易拉罐的形状与导数的关系3.利用导数解决易拉罐设计问题正文一、导数在解决实际问题中的应用导数是微积分学中的一个重要概念，它反映了函数在某一点的变化率。
在实际生活和工程技术中，导数的应用非常广泛，如流体力学、机械制造、经济学等领域。
利用导数可以解决许多实际问题，如求解最值、分析函数的性质等。
二、易拉罐的形状与导数的关系易拉罐是一种常见的饮料容器，它的形状设计直接影响到容器的实用性和美观度。
在设计易拉罐时，需要考虑许多因素，如材料的成本、加工的难易程度、容器的稳定性等。
这些因素都与易拉罐的形状有关，而导数则是解决这些问题的关键。
三、利用导数解决易拉罐设计问题假设我们要设计一个易拉罐，使得在保证容器稳定性的前提下，材料的使用量最小。
这时，我们可以通过求解导数来解决这个问题。
具体步骤如下：1.建立易拉罐的形状模型。
易拉罐通常由一个底部圆柱和一个顶部圆锥组成，我们可以用两个函数分别表示底部圆柱和顶部圆锥的体积。
2.建立目标函数。
目标函数是易拉罐材料的总量，可以表示为底部圆柱体积加上顶部圆锥体积。
3.求解目标函数的导数。
通过对目标函数求导，我们可以得到材料总量关于易拉罐高度的导数。
4.求解导数为零的点。
当导数为零时，表示材料的使用量达到最小。
这个点就是易拉罐设计的最优高度。
5.根据最优高度，设计出满足稳定性要求的易拉罐形状。
通过以上步骤，我们可以利用导数解决易拉罐设计问题，使得在保证容器稳定性的前提下，材料的使用量最小。
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导数在实际生活中的应用1
教学目标
1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用
2、提高将实际问题转化为数学问题的能力
教学重点 理利用导数解决生活中的一些优化问题
教学难点 利用导数解决生活中的一些优化问题
教学过程
一．创设情景
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
二．新课讲授
1、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方
面：
（1）与几何有关的最值问题；
(2)与物理学有关的最值问题；
(3)与利润及其成本有关的最值问题；
(4)效率最值问题。
2、解决优化问题的方法：
首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，
通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
3三．例题讲解
4、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张
贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。
如何设计海报的
尺寸，才能使四周空心面积最小？
解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为
128x
dm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x
=++-=++> 求导数，得'2512()2S x x
=-。
令'2512()20S x x
=-=，解得16(16x x ==-舍去）。
于是宽为128128816x ==。
当(0,16)x ∈时，'()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'
()S x >0.
_x _x _ 60 _ 60 x 建立因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点。
所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小。
5、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积
S=2πRh+2πR 2
由V=πR 2
h ，得2
V h R π=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R
+2πR 2 令 22()V s R R '=-+4πR=0 解得，R=32V π，从而h=2V R π=23()2V V ππ
=34V π=23V π 即h=2R
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
6、在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=
cm ，得箱子容积 2
60)(3
22x x h x x V -== )600(<<x ． 2
3()602x V x x '=- )600(<<x
令 2
3()602
x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得V(40)=16 000
由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值 答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3
解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，
则得箱子容积x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．
（后面同解法一，略）
由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，
所以最大值出现在极值点处．
事实上，可导函数
2
60)(3
22x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点， 从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值
练习：在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益
函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
（1）、如果C(x)＝10005003.010236++--x x x ，那么生产多少单位产品时，边际)(x C '最低？
(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)
（2）、如果C(x)=50x ＋10000，产品的单价P ＝100－0.01x ，那么怎样定价，可使利润最大？
变式：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，
价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8
125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？
分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．
由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入211252588
R q p q q q q ⎛
⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭， 利润221125(1004)2110088
L R C q q q q q ⎛
⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0100)q << 1214
L q '=-+ 令0L '=，即12104
q -+=，求得唯一的极值点q =答：产量为84时，利润L 最大
四、回顾反思：
1
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。
五、板书设计
六、教学反思。