2015年专升本数学试卷
2015年云南成人高考专升本高等数学二真题及答案
2015年云南成人高考专升本高等数学二真题及答案一、选择题1. limx→−1x+1/x2+1=( )A．0B．1/2C．1D．2【答案】A【应试指导】2．【】A．低阶无穷小量B．等价无穷小量C．同阶但不等价无穷小量D．高阶无穷小量【答案】C【应试指导】是2x的同阶但不等价无穷小量．3．【】A．有定义且有极限B．有定义但无极限C．无定义但有极限D．无定义且无极限【答案】B【应试指导】4．【】【答案】C【应试指导】5．下列区间为函数f(x)=x4-4x的单调增区间的是【】A．(一∞，+∞)B．(一∞，O)C．(一1，1)D．(1，+∞)【答案】D6．【】【答案】B7．【】【答案】D-x-1-cosx+C(C为任意常数)．8．【】A．-lB．0C．1D．2【答案】C9．【】【答案】A10．【】【答案】D二、填空题(11～20小题，每小题4分，共40分) 11．_________.【答案】0【应试指导】当x→0时，x是无穷小量，12．13．__________.14．_________.15．_________.16．________.17．_________.18．________.19．_________.20．________.三、解答题(21～28题，共70分．解答应写出推理、演算步骤) 21．(本题满分8分)【答案】22．(本题满分8分)【答案】23．(本题满分8分)【答案】24．(本题满分8分)【答案】25．(本题满分8分)【答案】等式两边对x求导，得26．(本题满分l0分)【答案】27．(本题满分l0分)【答案】28．(本题满分l0分)从装有2个白球，3个黑球的袋中任取3个球，记取出白球的个数为X．(1)求X的概率分布；(2)求X的数学期望E(X)．【答案】。
2015年山东专升本高数真题一
2015年山东专升本高数真题一二、判断题（本大题共6小题，每小题1分，共6分。
正确的划“√”，错误的划“×”） 1. 若0'()0f x =，则0x x =是函数()y f x =的极值点. 2.如果()lim x f x →+∞和()lim x f x →-∞都存在，则()lim x f x →∞存在.3. 设()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数，则()2F x 为()2f x 在这区间上的一个原函数.4.设()f x 在0x 的某个邻域内有定义并且在这个邻域内有()0f x ≥，若()0lim x x f x →存在等于常数A ，则有A ≥0.5. 设函数()y f x = 在点0x 处可导，则()y f x =在0x 处可微.6. 当x →∞时，2sin x 与2x 是等价无穷小量.三、计算题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 1.已知e cos3x y x -=，求y '2. 求1ln 1limcot x x arc x→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ .3. 设函数()2,1,1x x f ax x b x ⎧≤=⎨+>⎩，在1x =处可导，求a ,b 的值.4. 求由曲线2y x =及y =所围成的平面图形的面积.四、证明题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）1. 设()f x 在区间(,)l l -上为奇函数且可导，求证：在区间(,)l l -上()f x '为偶函数.2. 设函数()f x 在(),a b 内有三阶导数，且()1f x =()2f x =()3f x =()4f x ，其中1234a x x x x <<<<<b ，证明：在(),a b 内至少存在一点ξ，使得'''()0f ξ=.2015年山东专升本高数真题二二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. 设函数1()1f x x =-，则[()]f f x = ___________. 2. 21lim (1cos )x x x→∞-=___________.3. 曲线24x t y t ⎧=⎨=⎩在1t =处的切线方程为___________.4. 积分1∞⎰的值等于___________.5. 微分方程'tan sec y y x x -=的通解为___________. 三、计算题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1. 计算011lim()1xx x e →--2. 计算xdx3. 计算2cos Dy dxdy ⎰⎰，其中D 是由1,2x y ==和1y x =-所围成的闭区域四、综合题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 1. 求幂级数1(1)nn n x ∞=-∑的收敛区间与和函数2. 求曲线y =0,2x x ==围成的面积最小2015年专升本高数真题一答案二、判断题（本大题共6小题，每小题1分，共6分。
2015年河南专升本高数真题+答案解析
河南省2015年普通高等学校 专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．已知函数()f x x =，则1f f x ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．xB ．2xC ．1xD ．21x 【答案】C【解析】因为()f x x =，则11f x x⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以111f f f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．2．已知函数84()f x x x =-，则()f x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．无法判断【答案】B【解析】()()8484()()f x x x x x f x -=---=-=，即()f x 为偶函数．3．已知函数12()f x x =，则()f x 的定义域是（ ）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞【答案】B【解析】由12()f x x ==()f x 的定义域是[0,)+∞．4．已知极限0sin()lim 2x mx x→=，则可确定m 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．0【答案】B【解析】00sin()lim lim 2x x mx mxm xx →→===．5．当0x →时，若212cos ~2a x x -，则可确定a 的值一定是（ ）A ．0B ．1C ．12 D ．12-【答案】C【解析】由()212cos ~02a x x x -→，可知()2001lim 2cos lim 2x x a x x →→-=，即2cos00a -=，故12a =．6．下列极限存在的是（ ）A ．21limx x x →∞+B ．01lim21x x →-C ．01lim x x→D．x 【答案】A【解析】22111lim lim 01x x x x x x →∞→∞++==，极限存在；01lim 21xx →=∞-，极限不存在；01lim x x→=∞，极限不存在；x x =∞，极限不存在．7．已知函数sin ,0()1,0a xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处，下列结论正确的是（ ）A ．1a =时，()f x 必然连续B ．0a =时，()f x 必然连续C ．1a =时，()f x 不连续D ．1a =-时，()f x 必然连续【答案】A【解析】00sin lim ()limx x a xf x a x→→==，又知(0)1f =，故1a =时，()f x 必连续．8．极限30sin lim sin x x xx →-的值是（ ）A ．16B ．13C ．0D ．∞【答案】A【解析】2332200001sin sin 1cos 12lim lim lim lim sin 336x x x x xx x x x x x x x x →→→→---====．9．已知函数()()()f x x a g x =-，其中()g x 在点x a =处可导，则()f a '=（ ）A ．0B ．'()g aC ．()g aD ．()f a【答案】C 【解析】00()()()0()limlim ()x x f a x f a xg a x f a g a x x→→+-+-'===．10．已知曲线2()f x x =与3()g x x =，当它们的切线相互垂直时，自变量x 的值应为（ ）A ．1-B． C ．16-D【答案】B【解析】()2f x x '=，2()3g x x '=，两曲线的切线相互垂直，即()()1f x g x ''⋅=-，即2231x x ⋅=-，即x =11．已知函数()f x x =，则该函数()f x 在点0x =处（ ） A ．连续且可导 B ．不连续C ．连续但不可导D ．左右导数均不存在【答案】C【解析】00lim ()lim 0(0)x x f x x f →→===，故()f x 在0x =处连续； 00()(0)(0)lim lim 1x x f x f x f x x ---→→--'===-，00()(0)(0)lim lim 1x x f x f xf xx +++→→-'===，故()f x 在0x =处不可导．12．已知函数()cos f x x =在闭区间[]0,2π上满足罗尔定理，那么在开区间(0,2)π内使得等式'()0f ξ=成立的ξ值是（ ）A ．2πB ．πC ．0D ．2π【答案】B【解析】()cos f x x =，()sin f x x '=-，令()sin 0f x x '=-=，02x π<<，可得x π=，即ξπ=．13．已知函数()f x 在邻域(,)δδ-内连续，当(,0)x δ∈-时，'()0f x <，当(0,)x δ∈时，'()0f x >，则在邻域(,)δδ-内（ ）A ．(0)f 是极小值B ．(0)f 是极大值C ．(0)f 不是极值D ．(0)f 是最大值【答案】A【解析】由题可知()f x 在(,0)δ-上单调减少，在(0,)δ上单调增加，又由()f x 在(,)δδ-内连续，可知()f x 在0x =处取得极小值．14．已知函数()f x 在开区间(,)a b 内有：'()0f x <且"()0f x >，则在开区间(,)a b 内，()f x 是（ ） A ．单调递减且形状为凸 B ．单调递增且形状为凸C ．单调递减且形状为凹D ．单调递增且形状为凹【答案】C【解析】'()0f x <，说明()f x 在(,)a b 内单调递减，"()0f x >，说明()f x 在(,)a b 内为凹函数．15．已知曲线52y x =+，则该曲线的拐点(,)x y =（ ）A ．(0,2)B ．(1,3)C ．(0,0)D ．(1,1)-【答案】A【解析】45y x '=，320y x ''=，令0y ''=，得0x =，且0x <时0y ''<，0x >时0y ''>，故(0,2)为曲线的拐点．16．已知函数()F x 是()f x 的一个原函数，则不定积分(2)f x dx =⎰（ ）A ．1()2F x C +B ．1(2)2F x C +C ．()F x C +D ．(2)F x C +【答案】B【解析】11(2)(2)(2)(2)22f x dx f x d x F x C ==+⎰⎰．17．已知函数0()sin xf x t tdt =⎰，则'()f x =（ ）A ．sin xB ．cos x xC ．cos x x -D ．sin x x【答案】D 【解析】()'()sin sin xf x t tdt x x '==⎰．18．已知函数()f x 在闭区间[,]a a -上连续，则定积分4sin aa x xdx -=⎰（ ）．A ．-1B ．0C ．1D ．不确定【答案】B【解析】由于被积函数4sin x x 为奇函数，故4sin 0aa x xdx -=⎰．19．已知定积分1210I x dx =⎰，1320I x dx =⎰，则有（ ）A ．12I I >B ．12I I =C ．12I I <D ．不确定【答案】A【解析】当01x ≤≤时，23x x >，且等号只在端点处成立，故112300x dx x dx >⎰⎰，即12I I >．20．已知函数()y f x =在闭区间[,]a a -上连续，且()0f x ≥，则由曲线()y f x =与直线x a =，x b =，0y =所围成的平面图形的面积是（ ）A ．()baf x dx ⎰B ．()abf x dx ⎰C ．()()()f b f a b a --D ．不确定【答案】A【解析】由定积分的几何意义可知A 正确．21．已知下列微分方程，则可进行分离变量的是（ ） A ．'3sin xy y x -= B ．2(cos )()0x y x dy y x dx -++=C ．'sin cos y x y =D ．'420yy y x -==【答案】C 【解析】C 中sin cos dyx y dx=，分离变量，得sin cos dy xdx y =．22．已知微分方程''5'0y y ay -+=的一个解为2x e ，则常数a =（ ）A ．4B ．3C ．5D ．6【答案】D【解析】22()2x x e e '=，22()4x x e e ''=，代入微分方程，得2224520x x x e e ae -⨯+=，6a =．23．下列各组角中，可以作为向量的一组方向角的是（ ）A ．,,446πππB ．,,432πππC ．,,434πππD ．,,433πππ【答案】D【解析】由于方向角α，β，γ必须满足222cos cos cos 1αβγ++=，可以验证只有D 正确．24．已知函数2223z x xy y =+-，则2zx y∂∂∂=（ ）A ．2-B ．2C ．6D ．3【答案】D【解析】43zx y x∂=+∂，23z z x y y x ∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭．25．某公司要用铁板做成一个容积为327m 的有盖长方体水箱，为使用料最省，则该水箱的最小表面积应为（ ）A ．354mB ．327mC ．39mD ．36m【答案】A【解析】设长方形的长宽分别为a 、b ，则高为27ab，于是，表面积2727545422S ab ab b a b a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，令2254205420S b a a S a bb ∂⎧=-=⎪⎪∂⎨∂⎪=-=⎪∂⎩，得33a b =⎧⎨=⎩，且驻点唯一，由于实际问题最值一定存在，可知最小表面积354S m =．26．已知平面闭区域22:116D x y ≤+≤，则二重积分3Ddxdy =⎰⎰（ ）A ．45πB ．45C ．48πD ．48【答案】A【解析】22333(41)45D Ddxdy S πππ==⋅-⋅=⎰⎰．27．已知100(,)(,)Df x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰，将积分次序改变，则(,)D f x y d σ=⎰⎰（ ）A ．2110(,)y dy f x y dx ⎰⎰ B ．2101(,)y dy f x y dx ⎰⎰C ．2110(,)y dy f x y dx ⎰⎰D ．2011(,)y dy f x y dx ⎰⎰【答案】A【解析】2110(,)(,)D y f x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰．28．已知L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段，则曲线积分()L x y ds +=⎰（ ）A ．2BC ．1D ．0【答案】B【解析】由于直线段L 的方程为1x y +=，故()Lx y ds +==⎰⎰29．下列级数绝对收敛的是（ ）A ．1(1)nn ∞=-∑B ．111(1)3n n n n ∞--=-∑ C ．1(1)sinnn nπ∞=-∑D ．2112(1)!xn n n ∞+=-∑ 【答案】B【解析】对于B 项，121(1)3n n nu --=-，111113lim lim lim 1333n n n n n nn n u n n u n +→∞→∞→∞-++===<，故1n n u ∞=∑收敛，原级数绝对收敛．30．已知级数1n n μ∞=∑，则下列结论正确的是（ ）A ．若lim 0n x μ→∞=，则1n n μ∞=∑收敛 B ．若1n n μ∞=∑的部分和数列{}n S 有界，则1n n μ∞=∑收敛C ．若1n n μ∞=∑收敛，则1n n μ∞=∑绝对收敛D ．若1n n μ∞=∑发散，则1n n μ∞=∑也发散【答案】C【解析】A 项中若1n nμ=，结论不成立；B 项中若(1)n n μ=-，结论不成立；D 项中若1(1)nn nμ=-，结论不成立；由绝对收敛的定义知，C 正确．二、填空题（每小题2分，共20分）31．已知函数()1f x x =-，则()f x 的反函数y =________． 【答案】1y x =+【解析】由1y x =-，得1x y =+，交换x ，y 的位置，得反函数为1y x =+，x R ∈．32．极限21lim 31n n n →∞+=+________． 【答案】0【解析】222111lim lim 01313n n n n n n n →∞→∞++=++33．已知函数1,1()1,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，则点1x =是()f x 的________间断点． 【答案】可去【解析】()11lim ()lim 12x x f x x →→=+=，而(1)1f =，故1x =是()f x 的可去间断点．34．已知函数()ln f x x =为可导函数，则()f x 在点 1.01x =处的近似值为________． 【答案】0．01【解析】由000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆，故(10.01)(1)(1)0.010.01f f f '+≈+⋅=．35．不定积分cos(32)x dx +=⎰________． 【答案】1sin(32)3x C ++【解析】11cos(32)cos(32)(32)sin(32)33x dx x d x x C +=++=++⎰⎰．36．定积分0sin 2xdx π=⎰________．【答案】2 【解析】000sin 2sin 2cos22222x x x x dx d πππ==-=⎰⎰．37．已知函数22ln()z x y =+，则全微分(1,1)dz =________．【答案】dx dy +【解析】222z x x x y ∂=∂+，222z y y x y ∂=∂+，则(1,1)(1,1)(1,1)222222xy dz dx dy dx dy x y x y =+=+++．38．与向量{}3,4,1-平行的单位向量是________．【答案】± 【解析】=±=±e ．39．微分方程'x y y e -=的通解是________． 【答案】ln()x y e C =+【解析】xy dy e dx e=，分离变量，得y x e dy e dx =，两边积分，得y x e e C =+，即通解为ln()x y e C =+．40．幂级数1(21)nn n x ∞=+∑的收敛半径R =________．【答案】1 【解析】121lim lim 123n n n na n R a n +→∞→∞+===+．三、计算题（每小题5分，共50分） 41．求极限1lim(1sin )xx x →∞+．【答案】e【解析】原式111sin lim sin sin lim(1sin )x x x x xxx x ee →∞⋅⋅⋅→∞=+==．42．已知函数()f x 为可导函数，且()0f x ≠，求函数y =【解析】[]121()()2y f x f x -''=⋅．43．计算不定积分21xdxx +⎰． 【答案】21ln(1)2x C ++【解析】原式()222111ln(1)212d x x C x +==+++⎰．44．计算定积分⎰【答案】1【解析】11111t t tt te dt tde te e dt ===-=⎰⎰⎰⎰．45．求过点(1,2,1)A ，且与直线240:320x y z l x y z -+=⎧⎨--=⎩平行的直线方程． 【答案】1219710x y z ---== 【解析】所求直线的方向向量为()2419,7,10312=-=--i j ks ，又直线过点(1,2,1)A ，故所求直线方程为1219710x y z ---==． 46．已知函数(,)z f x y =由方程22240x y z z ++-=所确定，求全微分dz ． 【答案】2xdx ydy z+- 【解析】方程两边微分，得22240xdx ydy zdz dz ++-=，整理得2xdx ydy dz z +=-．47．计算二重积分22x y D e dxdy +⎰⎰，其中D 是环形域2214x y ≤+≤．【答案】()4e e π- 【解析】()222222224011122x y r r D edxdy d e rdr e dr e e πθππ+=⋅=⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰．48．求微分方程'xy e y x x+=的通解． 【答案】()1x y e C x=+ 【解析】()()11ln ln 11x xdx dx x x x x x x e e y e e dx C e e dx C e dx C e C x x x x --⎛⎫⎛⎫⎰⎰=+=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰．49．求幂级数11(1)(1)n n n x n∞-=--∑的收敛区间． 【答案】(0,2) 【解析】11(1)lim lim 11(1)n n n n n nu x n x u n x ++→∞→∞-=⋅=-+-，令11x -<，得111x -<-<，即02x <<，故收敛区间为(0,2)．50．求级数11n n nx∞-=∑的和函数．【答案】()()211S x x =-，()1,1x ∈-【解析】易求得此级数的收敛域为()1,1-，设()11n n S x nx ∞-==∑，()1,1x ∈-，则11000111()1xxx n n n n n n x S t dt nt dt nt dt x x ∞∞∞--===⎛⎫==== ⎪-⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰，()1,1x ∈-，两边求导，得()()2111x S x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，故原级数的和函数为()()211S x x =-，()1,1x ∈-．四、应用题（每小题7分，共14分）51．计算由曲线0x =，x y e =，y e =所围成的平面图形的面积．【答案】1【解析】所求平面图形的面积()101x S e e dx =-=⎰．52．某公司主营业务是生产自行车，而且产销平衡，公司的成本函数3()400002000.002C x x x =+-，收入函数3()3500.004R x x x =-，则生产多少辆自行车时，公司的利润最大？【答案】37500【解析】公司的利润22()()()3500.004400002000.002L x R x C x x x x x =-=---+21500.00240000x x =--，1500.004L x '=-，令0L '=，得唯一驻点37500x =，且0L ''<，由实际问题知最大值一定存在，故37500x =时，L 取得最大值，即生产37500辆自行车时，公司利润最大．五、证明题（6分）53．已知方程11730x x x x --+=有一正根1x =，证明方程1062117310x x x --+=必有一个小于1的正根．【证明】令1173()f x x x x x =--+，则根据题意可知(1)0f =，因为()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且(0)(1)0f f ==，故由罗尔定理可知：()0,1ξ∃∈，使得()0f ξ'=，即1062117310ξξξ--+=，故方程1062117310x x x --+=必有一个小于1的正根．。
江苏省2015年专转本高等数学试卷及解答
绝密★启用前江苏省2015年普通高校专转本选拔考试高等数学 试题卷注意事项：1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．试题卷共3页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效，作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试题卷和答题卡上的指定位置． 3．考试结束时，须将试题卷和答题卷一并交回．一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号与黑） 1．当0=x 时，函数sin ()1e=−xf x 是函数()=g x x 的（ C ）．A ．高阶无穷小B ．低阶无穷小C ．同阶无穷小D ．等价无穷小解 sin 000()1e sin limlim lim 1()x x x x f x xg x x x→→→−−===−，答案：C ． 2．函数(1)=−x y x (1<x )的微分d y 为（ B ）．A ．(1)[ln(1)]d 1−−+−x xx x x xB ．(1)[ln(1)1−−−−x xx x x xC ．1(1)d −−x x x xD ．1(1)d −−−x x x x解 ln ln(1)y x x =−，1ln(1)1x y x yx ′=−−−，(1)[ln(1)]1x x y x x x ′=−−−−，d d (1)[ln(1)]d 1x xy y x x x x x′==−−−−，答案：B ． 3．0=x 是函数11e 10()e 110x xx f x x ⎧+⎪≠⎪=⎨−⎪⎪=⎩的（ B ）．A ．无穷间断点B ．跳跃间断点C ．可去间断点D ．连续点解 11e 1lim ()lim 1e 1xx x xf x −−→→+==−−，11110e 11e lim ()lim lim 1e 11exx x x x xxf x +−−−→→→−++===−−，答案：B ．4．设()F x 是函数()f x 的一个原函数，则(32)d −=⎰f x x ( A )．A ．1(32)2−−+F x cB ．1(32)2−+F x cC ．2(32)−−+F x cD ．2(32)−+F x c解11(32)d (32)d(32)(32)22f x x f x x F x c −=−−−=−−+⎰⎰，答案：A ． 5．下列级数条件收敛的是（ D ）．A ．()211n n nn∞=−−∑B ．11(1)21n n n n ∞=+−−∑C ．1!(1)∞=−∑nn n n n D ．211(1)∞=+−∑n n n n解 答案：D ． 6．二次积分()e11ln d ,d =⎰⎰yy f x y x （ D ）．A ．e11ln d (,)d ⎰⎰x x f x y yB ．1e0e d (,)d ⎰⎰x x f x y yC ．1e 00d (,)d ⎰⎰xx f x y yD ．1e 01d (,)d ⎰⎰x x f x y y解()e11e 1ln 01d ,d d (,)d xyy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰，答案：D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7．设()lim(1)n n x f x n →∞=−，则(ln 2)=f ▲ ．12解 ()lim(1lim{[1()]}e n n x x x n n x x f x n n−−−→∞→∞=−=+−=，ln 21(ln 2)e 2f −==．8．设曲线33211⎧=−+⎪⎨=+⎪⎩x t t y t 在点(02)，处的切线方程为 ▲ ．32y x =+ 解 由2y =得1t =，22d d 3d d d 32d yy t t x x t t==−，1d 3d t y x ==，切线方程为23y x −=，即32y x =+． 9．设向量 b 与向量(121)=−− ，，a 平行，且12⋅=a b ，则= b ▲ ．(242)−−，，解 由于||a b ，所以(2)b a λλλλ==−− ，，，则4612a b λλλλ⋅=++== ，解得2λ=， 因而(242)b =−−，，．10．设1()21=+f x x ，则()()=n f x ▲ ．()1(1)2!()(21)n n n n n f x x +−⋅=+解 111()12122f x x x ==⋅++，()111(1)!(1)2!()12(21)()2n n n n n n n n f x x x ++−−⋅==++． 11．微分方程2′−=xy y x 满足初始条件12==x y 的特解为 ▲ ．2y x x =+ 解 由2′−=xy y x 得y y x x ′−=，于是有1()p x x=−，()q x x =，则有 11d d ()d ()de (()e d )e (e d )()xx p x xp x x x x y q x x c x x c x x c −−⎰⎰⎰⎰=+=+=+⎰⎰，又12==x y 得1c =，所以2y x x =+ 12．幂级数1)∞=−nn n x 的收敛域为 ▲ ．13[,22解2n n ==，则有1|1|2x −<，解得1322x <<，当12x =时，级数n n ∞=收敛，当32x =时，级数n ∞=发散，因而收敛域为13[,22 ． 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13． 求极限020arcsin d lim2e 22→−−−⎰xxx t t tx x ．解 20200000arcsin d arcsin 2lim lim lim lim lim 12e 222e 222e 222e 2xxx x x x x x x x t t tx x x x xx x x x x→→→→→=====−−−−−−−−⎰．14． 设2sin 0()0−⎧≠⎪=⎨⎪=⎩x x x f x x x ，求()′f x ．解 当0x ≠时，243(1cos )(sin )22sin cos ()x x x x x x x x xf x x x −−−−−′==；当0x =时，232200001()(0)sin 1cos 12(0)lim lim lim lim 336x x x x xf x f x x x f x x x x →→→→−−−′=====． 所以32sin cos 0()106x x x xx x f x x −−⎧≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩．15． 求通过直线112215x y z +−+==与平面32100++−=x y z 的交点．且与直线230240−++=⎧⎨+−−=⎩x y z x y z 平行的直线方程． 解 令112215x y z t +−+===，则有21x t =−，1y t =+，52z t =−，于是有 3(21)2(1)(52)100t t t −+++−−=，解得1t =，所以所求直线经过点(123)，，，依题意所求直线的方向向量11253211i j ks i j k =−=−++−，因而所求直线方程为123153x y z −−−==−．16．求不定积分3x ．解3x3sin x t=令3227sin 3cos d 27(1cos )sin d 3cos t t t t t t t =−⎰⎰2227(sin d cos sin d )27(cos cos d cos )t t t t t t t t =−=−+⎰⎰⎰ 39cos 27cos t t c=−+3sin xt =3122221(9)9(9)3x x c −−−+218)x c =++． 17． 计算定积分222()sin d ππ−+⎰x x x x ．解2222022222()sin d sin d sin d 2sin d x x x x x x x x x x x x x πππππππ−−−+=+=⎰⎰⎰⎰222202d cos 2(cos cos d )2sin 2x x x x x x xππππ=−=−−==⎰⎰．18． 设(())ϕ=，xz f x y ，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数ϕ具有连续导数，求2∂∂∂z x y ． 解 设x u y=，()v x ϕ=，则(,)z f u v =，121()z f x f x y ϕ∂′′′=+∂，2111212321()z x x x f f f x y y y y ϕ′∂′′′′′=−−−∂∂． 19． 计算二重积分d d ⎰⎰Dxy x y ，其中D为曲线=y =y x 及直线2=y 所围成的平面闭区域．解221d d d d 2yDxy x y y y x y x y ==⋅⎰⎰22421(2)d (14y y y y y =⋅−=−=．20． 已知2312e e e =++x x x y C C x 是二阶常系数非齐次线性微分方程()′′′++=y py qy f x 的通解，试求该微分方程．解 依题意对应齐次线性方程的特征方程为(1)(2)0r r −−=，即2320r r −+=，则对应齐次线性方程为320y y y ′′′−+=；设*3e x y x =，则*333e e 3(31)e x x x y x x ′=+⋅=+，*333e (31)e 3x x y x ′′=++⋅33(32)e x x =+，于是***3()32(23)e x f x y y y x ′′′=−+=+，则该微分方程为332(23)e x y y y x ′′′−+=+四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）21．设D 是由曲线2=y x 与直线y ax =(0)>a 所围成的平面图形，已知D 分别绕两坐标轴旋转一周所形成的旋转体的体积相等，试求： （1）常数a 的值； （2）平面图形D 的面积．解 554012d 315a x a V a x x πππ=−=⎰，24401d 36a y a V y y a πππ=−=⎰． （1）依题意有x y V V =，解得54a =；（2）平面图形D 的面积223300111()d ()236aaS ax x x ax x a =−=−=⎰，当54a =时，315125(64384S ==． 22．设2()(1)+=+ax bf x x 在点1=x 处取得极值14−，试求： （1）常数，a b 的值；；（2）曲线()=y f x 的凹凸区间与拐点； （3）曲线()=y f x 的渐近线．解 243(1)()2(1)2()(1)(1)a x ax b x ax a bf x x x +−+⋅+−+−′==++．（1）依题意有11()44104a b b ⎧+=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩ ，解得10a b =−⎧⎨=⎩；（2）31()(1)x f x x −′=+，3264(1)(1)3(1)42()(1)(1)x x x xf x x x +−−⋅+−′′==++，令()0f x ′′=，解得2x =．由表可知：曲线在(,2)−∞是凹的，在(2,)+∞是凸的，拐点为2(2,)9−；（3）由于2lim ()lim0(1)x x x f x x →∞→∞−==+，211lim ()lim (1)x x xf x x →−→−−==∞+，所以曲线有一条水平渐近线0y =，一条垂直渐近线1x =−．五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23． 证明：当01<<x 时，(2)ln(1)2−−>x x x ． 证明 设()(2)ln(1)2f x x x x =−−−，2()ln(1)2ln(1)11x xf x x x x x−′=−−−=−+−−， 2211()01(1)(1)xf x x x x −′′=+=>−−−，因而当0x >时，()(0)0f x f ′′>=，从而有()(0)0f x f >=，即(2)ln(1)20x x x −−−>，即有(2)ln(1)2−−>x x x ．24． 设()=，z z x y 是由方程22()+=−y z xf y z 所确定的函数，其中f 为可导函数，证明∂∂+=∂∂z zxz y x y． 证明 依题意有2z z f xzf x x ∂∂′=−∂∂，1(22)z z x y z f y y∂∂′+=−∂∂ ，解得12z f x xzf ∂=′∂+，2112z xyf y xzf ′∂−=′∂+，于是有(21)2212121212z z xf z xyf xf xyzf z xf xyzf xf y xz y x y xzf xzf xzf xzf ′′′∂∂−+−+−++=+===′′′′∂∂++++．。
2015年数学真题答案
2015年专升本《高等数学》试卷参考答案11. ()1,1- 12. 1213. 320y ex e --= 14. 6 15. e 16.cos xtdt ⎰三、计算题17.解：()21212000lim lim 0x x x x x x →→→==-=- 18.解：因为()0f x x =在处连续，且()()220000lim limlim lim sin x x x x x ax x axf x x a a x x→→→→++===+= 所以()()0lim 02x f x f →==从而 2.a =19.解：方程x 两边同时对求导，得222y e y y xy x ''++=⋅所以222y x yy x e -'=+20.解： ()111111ln 1ln ln ln ln e e e e ex x dx dx dx x xd x x x x+=+==+⎰⎰⎰⎰ ()2111ln 22ee x e =+=+21.解：把直线L 的参数方程232x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩代入平面方程中得1t =-，所以交点为()1,1,1-，因为所求平面垂直于直线，所以平面的法向量为()1,2,1，故平面方程为()()()12110x y z -+-++=， 即220.x y z ++-= 22.解：此方程为一阶非齐次线性微分方程，()()2,2P x x Q x x ==通解222xdx xdxy e x e dx C -⎡⎤⎰⎰=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰222x x e xe dx C -⎡⎤=+⎣⎦⎰2221x x x e e C Ce --⎡⎤=+=+⎣⎦.四、应用题23.解：（1） ()1120013.22xx S e x dx e x e ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰（2）()()1122232001115.2326x x V e x dx e x e ππππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰24.解：设水厂D 设在离C x km 处，铺设水管的总费用为y 万元，则依题意得：()()30505y x x =-+≤≤，300y y ''=-=令 得驻点32x =， ()0250y =（万元）， ()5y =（万元），32302y ⎛⎫= ⎪⎝⎭（万元）. 因此，当水厂D 设在离C 32km 处，铺设水管的总费用最省. 五、证明题25.（1）证明：因为 ()()20001sin 01112lim lim lim sin .022x x x x x f x f x x x x x →→→+-⎛⎫==+= ⎪-⎝⎭ 所以()f x 在0x =处可导.（2）解：因为()1112sin cos 02102x x x xf x x ⎧+-≠⎪⎪'=⎨⎪=⎪⎩所以，在0x =的任何领域中，()0f x '>或者()0f x '<不能恒成立， 从而，不存在0x =的一个领域，使得()f x 在该领域内单调.。
山西省专升本考试大学数学真题2015年(经贸类)
山西省专升本考试大学数学真题2015年(经贸类)(总分：149.99，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(lnx)的定义域为______（分数：3.00）A.(-∞，+∞)B.[1，e] √C.[0，1]D.(0，e]解析：[解析] f(x)的定义域为[0，1]，对于f(lnx)来说应满足0≤lnx≤1，即1≤x≤e，故应选B．2.当x→0时，x 2的______（分数：3.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小√C.等价无穷小D.同阶非等价无穷小解析：[解析] 因为所以是x 2的低阶无穷小，故应选B．3.设z=e x cosy，则（分数：3.00）A.exsinyB.ex+exsinyC.-excosyD.-exsiny √解析：[解析D．4.若f(x)有原函数e x，则（分数：3.00）A.ex(1-x)+CB.-ex(1-x)+C √C.ex(1+x)+CD.-ex(1+x)+C解析：[解析] 因为f(x)=(e x )"=e x．所以，故应选B．5.对于函数f(x，y)=x2+xy，原点(0，0)______（分数：3.00）A.不是驻点B.是驻点但非极值点√C.是极大值点D.是极小值点解析：[解析(0，0)是驻点，但在点(0，0)的去心邻域内显然有使函数大于0的点，也有使函数小于0的点，因此(0，0)是函数的驻点而非极值点，故应选B．三、非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：30.00)（分数：3.00）解析：[解析7.设x=0处连续，则k= 1．（分数：3.00）解析：2 [解析] 因为f(0)=k，因为f(x)在x=0处连续，所以k=2．8.设函数f"(lnx)=2x+1，则f (2015) (x)= 1．（分数：3.00）解析：2e x [解析] 因为f"(lnx)=2x+1=2e lnx +1，所以f"(x)=2e x +1，f (2015) (x)=2e x．9.点(0，1)是曲线f(x)=x 3 +ax 2 +b的拐点，则a= 1．（分数：3.00）解析：0 [解析] 由题设知所以b=1，a=0．10.不定积分为（分数：3.00）解析：ln|x+sinx|+C[解析11.设D是由直线所围成的闭区域，则（分数：3.00）解析：2[解析]12.在空间直角坐标系中，以A(0，-4，1)，B(-1，-3，1)，C(2，-4，0)为顶点的△ABC的面积为 1．（分数：3.00）解析： [解析]所以△ABC的面积13.微分方程 1．（分数：3.00）解析： [解析] 由两边积分，得即其中C为任意常数．14.向量组α1 =(1，2，-1，1)，α2 =(2，0，3，0)，α3 =(-1，2，-4，1)的秩为 1．（分数：3.00）解析：2 [解析因此，α1，α2，α3的秩为2．15.一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为 1．（分数：3.00）解析：0.25[解析] 袋内共10个球，任取3个有种取法，恰取到一红、一白、一黑3个球有种五、解答题(总题数：11，分数：105.00)16.求极限（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()17.设函数y=(x 2 -3x) cos2x，求（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：两边同取自然对数，得lny=cos2x·ln(x 2 -3x)，两边同对x求导，得18.计算，其中（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()19.已知某产品的需求函数为C(Q)=50+2Q，问产量为多少时，利润最大?利润最大时，商品定价多少?（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：总利润函数为因此令L"(Q)=0，得Q=20；由于，所以产量为20时，利润最大．利润最大时，商品价格为20.求曲面e z -z+xy=3在点(2，1，0)处的切平面及法线方程．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：令F(x，y，z)=e z -z+xy-3，则曲面在(x，y，z)处的切平面的法向量n={F x，F y，F z )={y，x，e z -1)，n| (2，1，0) ={1，2，0}，曲面在点(2，1，0)处的切平面方程为1·(x-2)+2(y-1)+0·(z-0)=0，即x+2y-4=0．所求法线方程为21.计算，其中D是由y=0所围成的闭区域．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：积分区域如图所示，由解得交点为A(1，1)．则区域D表示为所以22.求微分方程y"+6y"+13y=0的通解．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：该方程的特征方程为r 2 +6r+13=0，解得特征根为r 1,2 =-3±2i，故所求方程的通解为y=e -3x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)，其中C 1，C 2为任意常数．设随机变量X9.99）(1).常数A；（分数：3.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由，即所以3.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(3).分布函数F(x)．（分数：3.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()10.00）(1).求出A-E，问A 2 -E是否可逆，若可逆说明理由，并求出(A-E) -1．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：因为|A-E|=-1≠0，|A 2 -E|=-9≠0，故A-E与A 2 -E均可逆，又A-E为初等矩阵，易知(2).问是否存在三阶方阵X，使得AX+E=A 2 +X，若存在，求出矩阵X．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由AX+E=A 2 +X，得(A-E)X=(A-E)(A+E)，又A-E可逆，上式两边同时左乘(A-E) -1得23.解线性方程组（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：用初等行变换把该线性方程组所对应的系数矩阵A化为行最简形矩阵：与原线性方程组同解的方程组为取x 3，x 4为自由未知量，得所以，该方程组的通解为24.设z=f(x 2 +y 2 )，其中f具有二阶导数，求（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设u=x 2 +y 2，则z=f(u)，。
专升本试题(西华大学2015年高等数学)
2015年西华大学专升本《高等数学》考试题一、判断正误（每小题2分，共10分）1、若级数1n n a∞=∑收敛，则1(1)n n n a ∞=-∑收敛。
（ 正确 ）2、函数2xy x e =是微分方程20y y y '''-+=的解。
（ 错误 ）3、无穷小量的倒数是无穷大量。
（ 错误 ）4、方程2219z x +=在空间中所表示的图形是椭圆柱面。
（ 正确 ） 5、n 元非齐次线性方程组AX B =有唯一解的充要条件是()r A n =。
（ 正确 ）二、填空题：（每题4分，共16分）1、已知()f x 是R 上的连续函数，且(3)2f =，则2323212lim ()(1)51x x x x f x x x→∞-+-=++ 。
【62e -】 2、由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz = 。
【dz dx =】 3、改变二次积分2220(,)y y I dy f x y dx =⎰⎰的次序，I = 。
【402(,)x I dx f x y dy =⎰⎰】4、若22(sin )tan f x x '=（01x <<），则()f x = 。
【ln(1)x x C ---+】三、求解下列各题（每小题6分，共60分）1、求极限220tan lim 1cos x x x tdt x →-⎰。
【2】2、设1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，求)(x f '。
【当0x ≠时，111()sincos f x x x x'=-，当0x =时，()f x '不存在。
】 3、求不定积分5cos ⎰。
【C =】 4、求曲线sin ,2x y x z ==在点(,0,)2ππ处的切线与法平面方程。
【切线方程：2111x y z ππ--==-； 法平面方程：1()()022x y z ππ--+-=】 5、求微分方程2dx xydy y dx ydy +=+的通解。
江苏省2015年专转本高等数学试卷及解答
解 由于 a || b ，所以 b = λa = (λ，? 2λ，? λ) ，则 a ?b = λ+ 4λ+ λ= 6λ= 12 ，解得 λ= 2 ，
因而 b = (2 ，? 4 ，? 2) ．
10．设 f ( x) = 1 ，则 f (n) ( x) = 2x +1
▲
．
f
(n)
(
x)
=
( ?1)n ?2n n! (2 x + 1)n+1
=
lim
x→0
1?
esin x
x
=
lim
x→ 0
? sin x x
= ? 1，答案：
C．
D ．等价无穷小
2．函数 y = (1? x)x ( x < 1 )的微分 dy 为（ B ）．
A ． (1? x)x [ln(1 ? x) +
x ]dx
1? x
C ． x(1? x)x?1dx
B ． (1? x)x [ln(1 ? x) ? x ]dx 1? x
的收敛域为
n=1 n
▲
．
[
1
,
3 )
22
解 lim n →∞
2 n+1
n +1 2n
= 2lim n →∞
n
n = 2 ，则有 | x ? 1|< 1 ，解得 1 < x < 3 ，当 x = 1 时，级数 ∞ (?1)n 收敛，
n+1
2
2
2
2
n=1 n
当 x = 3 时，级数
∞ 1 发散，因而收敛域为
C
．
∞
(?1)n
河南省专升本考试高等数学真题2015年
河南省专升本考试高等数学真题2015年(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.已知函数f(x)=x，则______A．xB．x 2C．D．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 因为f(x)=x，则，所以C．2.已知函数f(x)=x 8 -x 4，则f(x)是______（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数√C.非奇非偶函数D.无法判断解析：[解析] f(-x)=(-x) 8 -(-x) 4 =x 8 -x 4 =f(x)，即f(x)为偶函数．3.f(x)的定义域是______（分数：2.00）A.(0，+∞)B.[0，+∞)√C.(-∞，0)D.(-∞，0]解析：[解析] f(x)的定义域为[0，+∞)．4.已知极限，则可确定m的值是______A．1B．2C．D．0（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析B．5.当x→0时，若，则可确定a的值一定是______A．0B．1C．D．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由，可知2a-cos0=2a-1=0C正确．6.下列极限存在的是______A．B．C．D．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] A项，，极限存在；B项，，极限不存在；C项，，极限不存在；C项，，极限不存在．7.x=0处，下列结论正确的是______（分数：2.00）A.a=1时，f(x)必然连续√B.a=0时，f(x)必然连续C.a=1时，f(x)不连续D.a=-1时，f(x)必然连续解析：[解析f(0)=1，故a=1时，f(x)必然连续．8.极限的值是______A．B．C．0D．∞（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析9.已知函数f(x)=(x-a)g(x)，其中g(x)在点x=a处可导，则f"(a)=______（分数：2.00）A.0B.g"(a)C.g(a) √D.f(a)解析：[解析10.已知曲线f(x)=x 2与g(x)=x 3，当它们的切线相互垂直时，自变量x的值应为______A．-1B．C．D．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] f"(x)=2x，g"(x)=3x 2，两曲线的切线相互垂直，即f"(x)·g"(x)=-1，即2x·3x 2 =1，即11.已知函数f(x)=|x|，则该函数f(x)在点x=0处______（分数：2.00）A.连续且可导B.不连续C.连续但不可导√D.左右导数均不存在解析：[解析] ，故f(x)在x=0处连续．由于f" _(0)≠f" + (0)，故f(x)在x=0处不可导．12.已知函数f(x)=cosx在闭区间[0，2π]上满足罗尔定理，那么在开区间(0，2π)内使得等式f"(ξ)=0成立的ξ值是______A．B．πC．0D．2π（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] f(x)=cosx，f"(x)=-sinx，令f"(x)=-sinx-0，0＜x＜2π，可知x=π，即ξ=π．13.已知函数f(x)在邻域(-δ，δ)内连续，当x∈(-δ，0)时，f"(x)＜0；当x∈(0，δ)时，f"(x)＞0，则在邻域(-δ，δ)内 ______（分数：2.00）A.f(0)是极小值√B.f(0)是极大值C.f(0)不是极值D.f(0)是最大值解析：[解析] 由题可知f(x)在(-δ，0)内单调减少，在(0，δ)内单调增加，又由f(x)在(-δ，δ)上连续，可知f(x)在x=0处取得极小值．14.已知函数f(x)在开区间(a，b)内有：f"(x)＜0且f"(x)＞0，则在开区间(a，b)内，f(x)是______ （分数：2.00）A.单调递减且形状为凸B.单调递增且形状为凸C.单调递减且形状为凹√D.单调递增且形状为凹解析：[解析] f"(x)＜0f(x)为(a，b)内的减函数；f"(x)＞为(n，6)内的凹函数，本题选C．15.已知曲线y=2+x 5，则该曲线的拐点(x，y)=______（分数：2.00）A.(0，2) √B.(1，3)C.(0，0)D.(-1，1)解析：[解析] y"=5x 4，y"=20x 3，令y"=0，得x=0，且x＜0时，y"＜0，x＞0时，y"＞0，故(0，2)为曲线的拐点．16.已知函数F(x)是f(x)的一个原函数，则不定积分∫f(2x)dx=______A．B．C．F(x)+CD．F(2x)+C（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析17.f"(x)=______（分数：2.00）A.sinxB.xcosxC.-xcosxD.xsinx √解析：[解析18.已知函数f(x)在闭区间[-a，a]（分数：2.00）A.-1B.0 √C.1D.不确定解析：[解析] 由于被积函数x 4 sinx为奇函数，故19.______（分数：2.00）A.I1＞I2 √B.I1=I2C.I1＜I2D.不确定解析：[解析] 当0≤x≤1时，x 2≥x 3，且等号只在端点处成立，故I 1＞I 2．20.已知函数y=f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(x)≥0，则由曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的平面图形的面积是______A．B．C．|f(b)-f(a)|(b-a)D．不确定（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 由定积分的几何意义可知A正确．21.已知下列微分方程，则可进行分离变量的是______（分数：2.00）A.xy"-3y=sinxB.(x-ycosx)dy+(y+x2)dx=0C.y"=sinxcosy √D.yy"-4y+2x=0解析：[解析] C项中，，分离变量，得C正确．22.已知微分方程y"-5y"+ay=0的一个解为e 2x，则常数a=______（分数：2.00）A.4B.3C.5D.6 √解析：[解析] (e 2x )"=2e 2x，(e 2x )"=4e 2x，代入微分方程，得4e 2x -5×2e 2x +ae 2x =(a-6)e 2x =0，由于e 2x＞0，故a=6．23.下列各组角中，可以作为向量的一组方向角的是______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于方向角α，β，γ必须满足cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1，可以验证只有D项正确．24.已知函数z=2x 2 +3xy-y 2，则（分数：2.00）A.-2B.2C.6D.3 √解析：[解析25.某公司要用铁板做成一个容积为27m 3的有盖长方体水箱，为使用料最省，则该水箱的最小表面积应为______（分数：2.00）A.54m2 √B.27m2C.9m2D.6m2解析：[解析] 设长方体的长宽分别为a，b，则高为，于是，表面积，令，得由实际问题最值一定存在，可知最小表面积．26.已知平面闭区域D：1≤x 2 +y 2≤16，则二重积分（分数：2.00）A.45π√B.45C.48πD.48解析：[解析27.已知，若将积分次序改变，则______A．B．C．D．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 由题，画出积分区域如图所示，交换积分次序，得28.已知L为连接(1，0)及(0，1)两点的直线段，则曲线积分∫ L (x+y)ds=______ A．2B．C．1D．0（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由于直线段的方程为x+y=1，故29.下列级数绝对收敛的是______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 对于B项，故收敛，原级数绝对收敛．30.已知级数，则下列结论正确的是______ A．若，则收敛B．若的部分和数列{S n }有界，则收敛C．若收敛，则绝对收敛D．若发散，则也发散（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] A项中若，结论不成立；B项中若u n =(-1) n，结论不成立；D项中若，结论不成立；由绝对收敛的定义知，C项正确．二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.已知函数f(x)=x-1，则f(x)的反函数是y= 1．（分数：2.00）解析：x+1[解析] 由y=x-1，得x=y+1，交换x，y的位置，得反函数为y=x+1．32.极限．（分数：2.00）解析：0[解析] 由于，故为n→∞时的无穷小量，又为有界变量，故33.已知函数x=1是f(x)的 1间断点．（分数：2.00）解析：可去[解析，而f(1)=1，故x=1为f(x)的可去间断点．34.已知函数f(x)=lnx为可导函数，则f(x)在点x=1.01处的近似值为 1．（分数：2.00）解析：0.01[解析] 由f(x0+Δx)≈f(x0)+f"(x0)Δx35.不定积分∫cos(3x+2)dx= 1．（分数：2.00）解析：[解析36.定积分．（分数：2.00）解析：2[解析37.已知函数x=ln(x 2 +y 2 )，则全微分dz| (1，1) = 1．（分数：2.00）解析：dx+dy [解析] ，则38.与向量{-3，4，1)平行的单位向量是 1．（分数：2.00）解析： [解析] 向量的模为故与之平行的单位向量为39.微分方程y"=e x-y的通解是 1．（分数：2.00）解析：y=ln(e x +C) [解析 e y dy=e x dx,两边积分，得e y =e x +C，即通解为y=ln(e x +C)，C为任意常数．40.幂级数R= 1．（分数：2.00）解析：1[解析三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()42.已知函数f(x)为可导函数，且f(x)≠0，求函数（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()43.计算不定积分（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()44.计算定积分（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：45.求过点A(1，2，1)且与直线（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：所求直线的方向向量为故所求直线方程为：46.已知函数z=f(x，y)由方程x 2 +y 2 +z 2 -4z=0所确定，求全微分dz．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：方程两边微分，得2xdx+2ydy+2zdz-4dz=0整理，得47.计算二重积分D是环形域1≤x 2 +y 2≤4．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()48.求微分方程（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：所求方程通解为49.求幂级数（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()=|x-1|＜1．∴-1＜x-1＜1，即0＜x＜2．故收敛区间为(0，2)．50.求级数（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：易求得此级数的收敛域为(-1，1)，设，x∈(-1，1)．则两边求导，得故原级数的和函数为四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.计算由曲线x=0，y=e x，y=e所围成的平面图形的面积．（分数：7.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()52.某公司主营业务是生产自行车，而且产销平衡，公司的成本函数C(x)=40000+200x-0.002x 2，收入函数R(x)=350x-0.004x 2，则生产多少辆自行车时，公司的利润最大?（分数：7.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：公司的利润π-R(x)-C(x)=350x-0.004x 2 -40000-200x+0.002x 2=150x-0.002x 2 -40000．π"=150-0.004x，令π"=0，得唯一驻点x=37500．由于实际问题最大值一定存在，故x=37500时，π取得最大值．即生产37500辆自行车时，公司的利润最大．五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.已知方程x 11 -x 7 -x 3 +x=0有一正根x=1，证明方程11x 10 -7x 6 -3x 2 +1=0必有一个小于1的正根．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[证明] 令f(x)=x 11 -x 7 -x 3 +x，则根据题意可知f(1)=0．因为f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，故由罗尔定理可知：ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=0，即11ξ10 -7ξ6 -3ξ2 +1=0，故方程11x 10 -7x 6 -3x 2 +1=0必有一个小于1的正根．。
《高等数学》专升本试题(文理2015) (1)
2015年四川工程职业技术学院《高等数学》专升本考试题一、填空题：（每小题3分，共36分）1、20sin lim tan 2x x x x →= ；【12】 2、(a a x b -+=⎰ ；【22a b π】3、224x y d σ+≤=⎰⎰；【4π】 4、微分方程690y y y '''-+=的通解是 ；【312()x y c c x e =+】5、设22ln(2)z x y =-，则z x∂=∂ ；【2222x x y -】 6、若函数2()23f x x ax =++在1x =处取得极值，则常数a = ；【4-】7、过点(1,2,5)-，且与直线6235y z x --==垂直的平面方程为 ；【3520x y z ++=】 8、已知10()2()dt x f x xef t -=+⎰，则()f x = ；【12(21)x xe e --+-】 9、设22ln()z x y =+，则dz = ；【2222xdx ydy x y ++】 10、设平面过x 轴且过点(1,2,3)-，则平面方程为 ；【320y z +=】11、方阵1110A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵为 ；【0111⎛⎫ ⎪-⎝⎭】12、曲线2211x x e y e +=-的渐近线有 。
【水平：1y =；垂直：0x =】二、计算题：（每小题7分，共56分）1、20lim sin (2)x x →。
2、若1arctan ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，求()f x '。
【21arctan ,01,0x x x x x ⎧-≠⎪+⎨⎪=⎩不存在】3、设2()ln(1)xf x dx x c =++⎰，求1()dx f x ⎰。
【31126x x c ++】 4、求积分2201(1)dx x +∞+⎰。
【4π】 5、计算(3)D I xy dxdy =-⎰⎰，其中:01,02D x y ≤≤≤≤。
浙江专升本高等数学真题试卷及答案解析
浙江省2015年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
1.))A.3.)A.C.1211-2⎩=+32z y 12A.6πB.4π C.3π D.2π5.在下列级数中，发散的是------------------------------------------------()A.)1ln(1)1(11+-∑∞=-n nn B.∑∞=-113nn nC.nn n 31)1(11∑∞=-- D.∑∞=-113nn n非选择题部分注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或6.7.8.9.10.14.函数lnx 在x=1处的幂级数展开式为__________的交点坐标是5z 2y 2x 与平面z 2-3-y 32x 直线.15=++==+_____三、计算题：本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分。
计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分。
)(f ),0(1)1(f 16.42x x x x x x 求设≠+=+19dx xx x x 121.32⎰+++求dxcosx -sinx 22.20⎰π计算轴所围成的平面图形绕（）求曲线（y )0b a y b -x 23.222>>=+a 旋转一周所得的旋转体体积⎰--=xx dt t f t x x x 0)(f )()(sin )(f 26.为连续函数，试求设浙江省2015年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学参考答案选择题部分一、选择题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。
1.B2.B3.B4.C5.D6.7.8.9.12814.]2,0(,1)1()1(01∈+--∑∞=+x n x n n n 15.（1，1，1）四、计算题：本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分。
2015年专升本数学试卷+答案
．等价无穷小 B．同阶无穷小
．高阶无穷小 D．低阶无穷小
设f(x)在x=a处可导，则
xafxaf
)(lim0等于
’(a) B.2 f’(a) C.0 D. f’(2a)
设可导函数F(x)满足F’(x)=f(x),且C为任意常数，则
1nnn B. 113nnn
n31)1(11 D. 113nnn
:
用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或
填空题: 本大题共10小题，每小题 4分，共40分。
b，a）处有公切线，求常数1-，1在点（1-xyy2与baxxy已知曲线.1932
讨论方程lnx=ax（a>0）有几个实根
dx
xxx1求32
dxcosx-sinx计算2
轴y所围成的平面图形绕)0b（ay）b-x求曲线（222a
本大题共3小题， 每小题10分， 共30分。
，求）1-（y已知函数23xx
2015年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试
:
答题前,考生务必将自己的姓名、 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需
: 本大题共5小题,每小题4分,共 20分。在每小题给出
当x
x时，f(x)是g(x)的高阶无穷小，则当x0x时，f(x)-g(x)
函数的单调区间及极值;
函数图形的凹凸区间及拐点；
函数图形的渐近线。
Hale Waihona Puke ，计算1,x-210,x)(f已知xxx
dxe）x（fS2
2015年贵州专升本高等数学
2015年贵州专升本高等数学一、单项选择题（共10小题，每小题5分）()的定义域为函数x x y ln 21.1+-=()=∞→xxx 2sin lim.2()为函数)2)(2()(.3+-=x x x x f ()无穷小的是时，无穷小当)2sin(42.42--→x x x =--+→hh x f h x f x f h )()(lim)('.50000存在，则设()的单调增区间为函数3443)(.6x x x f +=()==-)21(''21)(.72f e x f x ，则已知函数[]()==')2(2ln )(.8f x x f ，则已知函数A.奇函数 B.非奇非偶函数C.偶函数D.既是奇函数又是偶函数A.较高阶B.较低阶C.同阶D.等价A.()+∞,2 B.[)+∞,1 C.()),2(2,+∞⋃∞- D.[)),2(2,1+∞⋃A.)('0x fB.)('20x fC.)('0x f -D.)('20x f -A.()+∞,0 B.()0,∞- C.()+∞-,1 D.)1,(--∞()=⎰(cos .9x d 不定积分()==dy x y ，则已知2sin .10二、填空题（共10小题，每小题5分）11.=--=-)(12)2(2x f x x x f ，则已知.12.⎰=x x dt t dxd 22sin .13.==⎩⎨⎧≥-<=a x x a x x x x f 处连续，则在已知00,20,2cos 3)(2.14.=+-+-→xx x x x x 2331223lim 极限.15.==+)1,0('y e xy e y，则已知函数.16.的切线方程为上过点曲线)1,0(2xe x y +=.17.=⎰-ππ定积分xdx x 2sin 4.18.=⎩⎨⎧≤<<≤=⎰202)(21,310,3)(dx x f x x x x x f ，则已知分段的函数.19.⎰=dx x xf x f x f )('')('')(连续，则不定积分的二阶导数已知.20.=⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx x x 1232lim 极限.三、计算题（共4小题，21题6分，22、23题8分，24题12分，共34分）21.'.),cos 1ln()1(2015y x x y 求π已知函数++-=22..ln 1⎰exdx x 求定积分.,33333,3333.23123121其极限证明该数列收敛，并求已知数列-+=+=++=+=+==n n x x x x x x x .12121.242体积旋转所形成的旋转体的轴求该图形绕所围成图形的面积，并和直线求抛物线x x y x y +==.四、应用题（共1小题，共8分）25.某单位欲建一个容积为300m 2无盖圆柱形蓄水池，已知它的底面单位造价是侧面单位造价的两倍，问蓄水池的底面半径多少时，总造价量最低？（答案可含π）五、证明题（共1小题，共8分）ab a ab ab a e e a b e e e e e a b e a b +-<-<-->>)(2)(2,0.2622证明：利用拉格朗日中值定理设。
2015年山东专升本(数学)真题试卷(题后含答案及解析)
2015年山东专升本（数学）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 4. 综合题 5. 证明题一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．=A．eB．C．e2D．正确答案：C解析：=e2 2．=A．B．0C．1D．2正确答案：A解析：由等价无穷小代换，．故应选A．3．函数y=ln?sin x?的定义域是_________．其中k为整数．A．x≠B．x∈(一∞，∞)，x≠kπC．x=kπD．x∈(一∞，∞)正确答案：B解析：y=ln?sin x?，所以，0＜?sin x?≤1，x∈(一∞，+∞)，x≠kπ，k为整数，故应选B．4．函数y=是A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．无法确定正确答案：A解析：f(x)==f(x)，f(x)为奇函数，故应选A．5．若∫f(x)dx=xe-2x+c，则f(x)等于________．其中c为常数．A．一2xe-2xB．一2x2e-2xC．(1—2x)e-2xD．(1—2x2)e-2x正确答案：C解析：f(x)=(∫f(x)dx)＇=e-2x+xe-2x(一2)=e-2x(1—2x)，故应选C.6．下列级数中为条件收敛的级数是A．B．C．D．正确答案：D解析：选项A和B的级数通项极限均不存在，故发散；选项C中级数每一项加绝对值变成收敛，所以，该级数绝对收敛，故应选D．7．设∫0xf(t)dt=a3x，则f(x)等于A．3a3xB．a3xlnaC．3a3x-1D．3a3xlna正确答案：D解析：∫0xf(f)dt=a3x，方程两端同时求导得：f(x)=3a3xlna，故应选D.8．曲线y=的水平渐近线为A．y=1B．y=2C．x=一1D．x=50正确答案：B解析：=2，故已知曲线的水平渐近线为直线y=2，故应选B．9．积分区域D为x2+y2≤2，则xdσ=A．2πB．πC．1D．0正确答案：D解析：积分区域关于y轴对称，被积函数f(x，y)=x关于x为奇函数，所以积为0，故应选D．10．广义积分∫0+∞e-2xdx=A．不存在B．C．D．2正确答案：C解析：∫0+∞e-2xdx=，故应选C．二、填空题11．设函数f(x)=函数f(x)的间断点是________，间断点的类型是________．正确答案：x=0第二类间断点解析：因为sin在x=0处没有定义，且不存在，所以x=0为第二类间断点．12．函数f(x)在点x0处可微，f＇(x0)=0是点x0为极值点的________条件．正确答案：必要解析：若函数f(x)在点x0处可微，且f＇(x0)=0，则x0必为函数极值点，但函数的极值点处不一定导数为零，所以仅是必要条件．13．函数f(x)在点x0处的左、右导数存在且________是函数在点x0可与的________条件．正确答案：相等，充要解析：函数f(x)在点x0处的左右导数存在且相等是函数在点x0可导的充要条件．14．设≠0，则与向量同方向的单位向量=________．正确答案：解析：与非零向量口同方向的单位向量为15．广义积分dx(p＞0)当________时收敛，当________时发散．正确答案：0＜p＜1，p≥1解析：广义积分收敛，即积分存在，且值为一个常数．∫01dx=100∫01x-pdx=(1一01-p)只有当p＜1时，积存在，所以0＜p＜1时广义积分收敛；p≥1时，广义积分发散.16．已知y=xsinx，则dy=________．正确答案：xsinx(cosxlnx+)dx解析：利用对数求导法，先求导数再求微分．方程两边同时取对数，ln y=sinxlnx，方程两边同时关于x求导，y＇=cosxlnx+sinx.，得y＇=y·(cosxlnx+sinx)因此dy=y＇dx=xsinx·(coslnx+sin x)dx.17．对函数f(x)=在区间[1，2]上应用拉格朗日中值定理得f(2)一f(1)=f＇(ζ)，则ζ=________，其中(1＜ζ＜2)．正确答案：ζ=√2解析：因为f(x)在[1，2]上连续可导，所以由拉格朗日中值定理得：存在ζ∈(1，2)，使得f(2)一f(1)=f＇(ζ)(2—1)，即一=f＇(ζ)，所以一，解得ζ=√2．18．如果闭区域D由x轴、y轴及x+y=1围成，则(x+y)2dσ________(x+y)3d σ．正确答案：≥解析：在闭区域内，0≤x+y≤1，因此(x+y)2≥(x+y)3，由二重积分保序性知(x+y)3dσ．19．曲线y=e-x2有_________拐点．正确答案：两个解析：y＇=e-x3．(一3x2)=一3x2e-x3，y＂=(一3x2e-x3)＇=一3xe-x3(2—3x3)，令y＂=0，则x=0，x=．当x＜0时，y＂＞0；当0＜x＜时，y＂＜0；当x＞时，y＂＞0，所以函数有两个拐点．20．直线的方向向量=_________，与平面2x+5y一3z一4=0是_________的．正确答案：s={2，5，一3)，垂直解析：该直线的方向向量为s={2，5，一3)，平面的法向量为n={2，5，一3)，s／／n，因此直线垂直于平面．三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2015江西理工大学专升本高等数学真题
2015年江西理工大学专升本数学部分试题答案解析一、填空题（每小题5分 ，共15分）1.设()f x 为连续函数，且2()lim 2x f x x →-存在，则(2)f = ．2.一质点按规律()kts t ae -=（,a k 为常数）做直线运动，则它的初始加速度为 ． 3.设方程2z e xyz e +=确定了函数(,)z z x y =，则(,)z z x y =在点(1,,1)e 处的全微分dz = ．二、（10分）设数列211{}:13,22,1,2,n n n n u u u u u n +<<=-+=，试写出数列的通项表达式，并讨论此数列的敛散性．三、（10分）计算不定积分()51.2dx x x +⎛⎜⎠四、（10分）求满足方程0()()xxf t dt x tf x t dt =+-⎰⎰的可微函数()f x ．五、（10分）设曲线(),()x x t y y t ==由方程组,2tt yx te e e e⎧=⎪⎨+=⎪⎩确定，试求曲线在1t =处的切线方程．六、（10分）已知平面区域(){},|1,11D x y x y x =≤≤-≤≤，且()f x 是定义在(1,1)-上的任意连续函数．(1)判断函数()()()1F x f x f x =--及()()()2F x f x f x =+-的奇偶性； (2)求2[(1)()(1)()]DI y x f x x f x dxdy =++--⎰⎰．七、 (10分)设函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且()()0,f a f b ⋅>()0,2a b f a f +⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭试证：至少存在一点(),,a b ξ∈使得()().f f ξξ'=八、（10分）分析以下求极限的方法是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的求解方法．九、（15分） 设直线(1)y ax a =<与抛物线2y x =所围成的平面图形的面积为1S ，它们与直线1x =所围成的平面图形面积为2S ．（1）试确定a 的值，使1S +2S 达到最小，并求出最小值；（2）求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．2015年江西理工大学专升本数学标准答案一，1.0 2. 2ak 3. 1122dx dye -- 二．解：由递推关系式可得：222211(1)(1)(1),nn n n n u u u u +-=-=-==-故， 1211(1).n nu u -=+- 当112u <<时，数列{}n u 收敛，且lim 1;n n u →∞=当123u <<时，数列{}n u 发散，且lim .n n u →∞=+∞三．解：原式()()455555551111ln .1021022x x dx d x C x x x x x ⎛⎫==-=+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰ 四．解：令x t u -=，则0()()()xxtf x t dt x t f t dt -=-⎰⎰，从而有0()()()xxf t dt x x t f t dt =+-⎰⎰,两边同时对x 求导，整理得：()1()xf x f t dt =+⎰， （*）再求导得： ()()f x f x '=，解之得：(),(x f x Ce C =为任意常数），又由（*）知(1)0f =，于是1C =， 从而,()x f x e =.五．解：由曲线方程知：当1t =时，, 1.x e y ==由t x te =得：(1)t dxt e dt=+, 对隐式方程2t y e e e +=两边对t 求导并整理得:,2t ty tdy e e dt e e e =-=--故，1(1)(2)tdydy dt dx dx t e e dt==-+-，11.2t dy dx e ==- 曲线在1t =处的切线方程为11().2y x e e -=--六．解:因()f x 是定义在(1,1)-上的连续函数，则()()f x f x --为连续的奇函数，()()f x f x +-为连续的偶函数。
2015北京建筑大学专升本高等数学真题
正卷
考生姓名 考生所在学校： 考生公共课准考证 号：
三、应用题（共 21 分，每题 7 分）
1. 求函数 f (x) 3x4 4x3 12x2 1在区间3，3 上的最大值与最小值.
3. 设 D 是圆心在原点,半径为 r 的圆域. (1)求二重积分T (r) ex2y2 dxdy ; (2)求极 D
B. y C1x C2ex D. y C1x C2 x2
二、计算题：（共 49 分，每题 7 分）
1. 求 xe3xdx .
2. 求微分方程 y 2 y 1 x 的通解. x2
第 2页 共 6 页
正卷
考生姓名 考生所在学校：
考生公共课准考证 号：
注：装订线内不要 答题，个人信息不 能写到装订线外
1x
B.
1 dx x 0.5 2
9.设 z exy , 则 z (
).
y
).
1
C.
x100 dx
1
D. 1dx
1x
A. exy
B. ye xy
C. exy1
D. xexy
第 1页 共6 页
10. 微分方程 y y 0 的通解为(
).
A. y C1 C2ex C. y C1 C2 x
).
A. 同阶但不等价无穷小
B.低阶无穷小
C. 等价无穷小
D.高阶无穷小
7. 设 f (x) 可导, 则 df ex (
).
A. f ex ex
B. f ex ex
C. f ex d(ex )
D. f ex d(ex )
8.下列各广义积分中, 收敛的是(
A. 1 dx
arctan 1
3. 求极限： lim 2
2015年专升本(高等数学一)真题试卷(题后含答案及解析)
2015年专升本（高等数学一）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设b≠0，当x→0时，sinbx是x2的A．高阶无穷小量B．等价无穷小量C．同阶但不等价无穷小量D．低阶无穷小量正确答案：D解析：因为故sinbx是比x2低阶的无穷小量，即sinbx是x2的低阶无穷小量．2．设函数f(x)可导，且，则f’(1)=A．2B．1C．D．0正确答案：C解析：3．函数f(x)=x3一12x+1的单调减区间为A．(一∞，+∞)B．(一∞，一2)C．(一2，2)D．(2，+∞)正确答案：C解析：f’(x)=3x2一12=3(x+2)(x一2)，令f’(x)=0，得x=一2或x=2．当一2＜x＜2时，f’(x)＜0，即函数f(x)的单调减区间为(一2，2)．4．设f’(x0)=0，则x=x0A．为f(x)的驻点B．不为f(x)的驻点C．为f(x)的极大值点D．为f(x)的极小值点正确答案：A解析：使得函数的一阶导数的值为零的点，称为函数的驻点，即f’(x)=0的根称为驻点，驻点不一定是极值点．5．下列函数中为f(x)=e2x的原函数的是A．e2B．C．e2xD．2e2x正确答案：B解析：(C为任意常数)，只有B项是f(x)=e2x的一个原函数．6．∫xcosx2dx=A．一2sinx2+CB．C．2sinx2+CD．正确答案：D解析：(C为任意常数)．7．A．B．C．D．正确答案：B解析：8．设z=xy，则A．yxy一1B．xylnxC．xy一1D．xy一1lnx正确答案：A解析：z=xy，则=yxy一1。
9．设z=x2+y3，则dz|(1,1)=A．3dx+2dyB．2dx+3dyC．2dx+dyD．dx+3dy正确答案：B解析：10．级数(k为非零常数)A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．收敛性与k的取值有关正确答案：A解析：n→∞时，填空题11．正确答案：1解析：12．函数的间断点为x=________．正确答案：213．设y=x2+ex，则dy=________．正确答案：(2x+e2)dx解析：y’=2x+ez，故dy=(2x+ex)dx．14．设y=(2+x)100，则y’=________．正确答案：100(2+x)99解析：y=(2+x)100，则y’=100(2+x)100一1=100(2+x)99．15．正确答案：一1n|3一x|+C解析：一ln|x一3|+C(C为任意常数)．16．正确答案：0解析：因为在[一1，1]上为连续奇函数，故17．∫02e3xdx=________·正确答案：解析：18．设z=y2sinx，则正确答案：y2cosx解析：因为z=y2sinx，则=y2cosx．19．微分方程y’=2x的通解为y=________．正确答案：x2+C解析：所给方程为可分离变量的微分方程，分离变量得dy=2xdx，两边同时积分可得y=x2+C，即该微分方程的通解为y=x2+C．20．级数的收敛半径R=________．正确答案：1解析：，故收敛半径R=1．解答题21．计算正确答案：22．设曲线方程为y=ex+x，求y’|x=0以及该曲线在点(0，1)处的法线方程．正确答案：y’=ex+1，y’|x=0=2．曲线在点(0，1)处的法线方程为即x+2y一2=0．23．计算正确答案：设则x=t2，dx=2tdt．24．计算正确答案：25．求曲线y=x3与直线y=x所围图形(如图中阴影部分所示)的面积S．正确答案：由对称性知26．设二元函数z=x24一xy+y2+x—y一5，求z的极值．正确答案：27．求微分方程的通解．正确答案：28．计算其中D是由直线y=z，x=1及x轴围成的有界区域．正确答案：。
2015-2018山东省专升本统一考试高等数学真题试卷公共数学真题及答案
则级数 对于任意的 都是收敛的.
29.证明:由已知在区间 上分别运用 中值定理得:
存在 ,使
;
又由 中值定理:存在 ,使
;
同理存在 ,使
；
所以存在 ,使
五、应用题(本大题10分)
30.解:设铁皮面积为 ,则
又 ,所以 ，
所用铁皮最省即求 的最小值；
由 ,得 , 在 上只有唯一的驻点，又
因而 是 的极小值点,所以是 在 内最小值点,此时, 即
1.解： （3分）
（3分）
2.解：由 （3分）
（3分）
3.解：两边对 求导，得 （3分）
（3分）
4.解：由于 （3分）
又 故 为极小值（3分）
5.解：令 ，（3分）
则 （3分）
6.解：由于 是由 所围成的区域，（3分）
故，原式 （3分）
7.解：由于 ，（3分）
又 收敛， 发散，
故收敛域为 .（3分）
3.第Ⅱ卷答题必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使川涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
第I卷
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.证明方程 至少有一个不超过 的正根。
2.设 ,证明不等式 。
2017年山东省专升本统一考试
高等数学真题参考答案
一、选择题(本大题共5小題,每小题3分,共15分)
题号
1
2
3
4
5
答案
B
D
D
C
A
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
2015年专升本高数真题答案解析(浙江)
浙江省2015年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学参考答案选择题部分一、选择题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。
题号12345答案BBBCD1.B 解析:根据题意，0)()(lim0=→x g x f x x ，0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x g x x ，所以)()()(lim0x g x g x f x x -→11)()(lim 0-=-=→x g x f x x ，故当0x x →时，)()(x g x f -是)(x g 的同阶无穷小，所以选项B 正确。
2.B 解析:根据题意，)(a f '存在，+-+=--+→→x a f x a f x x a f x a f x x )()(lim )()(lim00)(2)()(lim 0a f xx a f a f x '=--→，所以选项B 正确。
3.B 解析:由)()(x f x F ='可知，)(x F 是)(x f 的一个原函数，即：C x F dx x f +=⎰)()(，可见选项B 正确。
4.C 解析:直线1L 方程的方向向量为：)2,1,1(1-=→s ，直线2L 方程的方向向量为：→→→⨯=211n n s →→→→→→→→→+-=+---=-=k j i k j i kj i 2100120112110210101，所以1L 与2L 的夹角可由公式得到：21cos 2121=⋅⋅=→→→→s s s s θ，所以3πθ=，可见选项C 正确。
5.D 解析:A 选项：根据莱布尼茨判别法，可知级数是收敛的，但是通项加绝对值后得到正项级数∑∞=+1)1ln(1n n ，由于)1ln(11+<n n ，根据小散证大散，推得∑∞=+1)1ln(1n n 是发散的，因此级数)1ln(1)1(11+-∑∞=-n n n 为条件收敛。
B 选项：根据比值判别法，131331lim1<=+-∞→n n n n n ，可知级数是收敛的。
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2015年专升本数学试卷
浙江省 2015年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试
高等数学
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题: 本大题共5小题,每小题4分,共 20分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.当x →0x 时，f(x)是g(x)的高阶无穷小，则当x →0x 时，f(x)-g(x)是g(x)的
A ．等价无穷小
B ．同阶无穷小
C ．高阶无穷小
D ．低阶无穷小 2.设f(x)在x=a 处可导，则()
x
x a f x a f x --+→)(lim
等于
A. f ’(a)
B.2 f ’(a)
C.0
D. f ’(2a) 3.设可导函数F(x)满足F ’(x)=f(x),且C 为任意常数，则 A.
⎰+=C x f dx x F )()(' B. ⎰+=C x F dx x f )()( C.
⎰+=C x F dx
x F )()( D. ⎰+=C
x F dx x f )()('
4.设直线L 1：231511+=-=-z y x 与L 2：⎩
⎨⎧=+=32z y 1
z -x ，则L 1与L 2的夹角是
A.6π
B. 4π
C.3π
D.2
π 5在下列级数中，发散的是
A. )1ln(1)1(11
+-∑∞
=-n n
n B. ∑∞
=-113n n n
C. n n n 31)
1(11
∑∞=-- D . ∑∞=-113n n n
非选择题部分
注意事项:
1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、 填空题: 本大题共10小题，每小题 4分，共40分。
6.
[]=-+∞
→n n ln )1(ln n lim 数列极限n
7. 的值为b 和a ，则2b ax 1x 1x lim 若2n =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++++∞→ 8.
的单调减区间是)0(11)(F 函数1
>⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=
⎰
x dt t x x
9.
=
=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<---
+=a 处连续，则必有0x 在0,0
2,22)(f 设函数x a x x x
x x
10.
=+=dy ），则21（ln y 设-x
11 ==-=)(f 则,1)2(f 且,)('若x x x f
12. ⎰=+dx e x 11
13.
的和为）1-n 2（1，则级数6n 1已知级数1
n 221
n 2∑∑
∞
=∞
==π 14.函数lnx 在x=1处的幂级数展开式为
的交点坐标是
5z 2y 2x 与平面z 2
-3
-y 32x 直线.15=++==+
三、计算题：本题共有8小题，其中16-19 小题每小题7分，20-23 小题每小题8分，共 60分。
计算题必须写出必要的计算过程， 只写答案的不给分。
16.)(f ，求)0(1
)1
(f
设4
2x x x x x
x ≠+=
+
17. ）x 1
cos
-1（x lim 求极限2
x ∞
→
18. []22dx
y
d 求,具有二阶导数f ，其中)(f cos 设x y =
的值
b ，a ）处有公切线，求常数1-，1在点（1-xy y 2与b ax x y 已知曲线.1932=++=
20.讨论方程lnx=ax （a>0）有几个实根
21.dx x
x x x 1求3
2
⎰+++
22.dx cosx -sinx 计算20
⎰π
23.
轴y 所围成的平面图形绕)0b （a y ）b -x 求曲线（2
22>>=+a 旋转一周所得的旋转体体积
四、综合题： 本大题共3小题， 每小题10分， 共30分。
24.，求）
1-（y 已知函数23
x x = (1).函数的单调区间及极值;
(2).函数图形的凹凸区间及拐点； (3).函数图形的渐近线。
25. ，计算21,
x -21
0,x )(f 已知⎩⎨⎧≤≤<≤=x x x (1).
dx
e ）x （
f S 2
x -0⎰
=
(2). dx
e ）2n -x （
f S 2
n 2n
2x -0⎰
+=
26. ⎰
--
=x
x dt t f t x x x 0
)
(f 为连续函数，试求)()(sin )(f 设。