百校联盟TOP20 2019年二月 联考 ( 全 国 1 卷)理 科 数 学
2019届百校联盟高三TOP20二月联考(全国1卷)数学(理)试题(解析版)
2019届百校联盟高三TOP20二月联考（全国1卷）数学（理）试题一、单选题1．集合{}2|320A x x x =-+>，则A =R ð（ ） A ．{|2x x >或1}x < B ．{}|12x x << C ．{|2x x ≥或1}x ≤ D ．{|12}x x ≤≤【答案】D【解析】求出集合A 的值，可得A R ð的值. 【详解】解：由题意：{}{}2|320| 2 1A x x x x x x =-+>=><或，所以{}|12R C A x x =≤≤，故选：D. 【点睛】本题主要考查补集的概念，属于基础题，求出集合A 是解题的关键. 2．已知复数431iz i+=+，则z ＝（ ）A ．2B ．52C D ．【答案】A【解析】根据复数的运算，化简复数7122z i =-，再利用复数模的运算公式，即可求解． 【详解】 由题意，复数()()()()43143771111222i i i i z i i i i +-+-====-++-，所以2z ===， 故选A ． 【点睛】本题主要考查复数模长的计算，其中解答中根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，23a =，313S =，则6a =（ ）A ．243或127B ．81或181C ．243D ．127【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为q ,由23a =，313S =，列出关于1a 与q 的方程组，可得1a 与q 的值，可得答案.【详解】解：设数列{}n a 的公比为q ，则()1213113a q a q q =⎧⎪⎨++=⎪⎩，解之得113a q =⎧⎨=⎩，或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以5613243a =⨯=或56119327a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算及等比数列的性质，属于基础题，求出1a 与q 的值是解题的关键.4．已知P 为椭圆22:19x C y +=上一点，()0,4Q ，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A ．3 B ．5 C．D．【答案】D【解析】设点()00,P x y ,可得220019x y +=，且011y -≤≤，可得PQ 的距离用0y 表示，由二次函数的性质可得其最大值. 【详解】解：设点()00,P x y ，可得220019x y +=，且011y -≤≤，则PQ ===≤max ||PQ =故选：D. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于基础题型，设点()00,P x y 并求出0y 的取值范围代入PQ 的距离公式进行计算是解题的关键.5．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其月用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，则这100户居民月用电量的中位数大约为（ ）A ．150B ．177.8C ．183.3D ．200【答案】C【解析】根据中位数两侧的频率相等且为0.5进行计算可得答案. 【详解】解：因有50%的居民用电量小于或等于中位数，居民用电量小于150度的频率为(0.00240.0036)500.30+⨯=，150~200度之间的频率为0.0060500.30⨯=，所以中位数为150~200度之间的23处，即215050183.33+⨯≈. 故选：C. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质及中位数的概念与性质，属于基础而题型. 6．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2.4，则输出z 的值为（ ）A ．1.2B ．0.6C ．0.4D ．0.4-【答案】D【解析】程序运行时，变量值依次为 2.4,1y x ==，满足0x ≥， 1.2x =，1.2,0y x ==，满足0x ≥，0.6x =，0.6,1y x ==-，不满足0x ≥，执行10.60.4z x y =+=-+=-，故选D ．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13B ．1C ．3D ．32【答案】A【解析】由三视图可得几何体的直观图，计算可得其体积. 【详解】解：由三视图知该几何体是高为1的四棱锥，其底面是边长为1的正方形，直观图如图，所以体积2111133V =⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查由三视图还原为直观图及空间几何体的体积，其中得出该几何体是底面是边长为1的正方形，高为1的四棱锥是解题的关键.8．已知偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，若函数()y f x kx =-()0k >有六个零点，则（ ） A ．15k =B ．11,75k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．11,53k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．17k =【答案】B【解析】由已知可得()f x 为周期函数且2T =，作出函数()y f x =与y kx =的图象，由函数()y f x kx =-()0k >有六个零点，数形结合可求出k 的取值范围. 【详解】解：由题意：()f x 为偶函数，故()()f x f x =-，且(1)(1)f x f x +=-， 故可得：(2)[1(1)]()()f x f x f x f x +=-+=-=， ()f x 为周期函数且2T =，由[]0,1x ∈时，()21xf x =-，作出函数()y f x =与y kx =的图象，如图函数()y f x kx =-()0k >有六个零点， 当两图象在区间()5,7上有一个交点时满足条件，故可得：()()550770f k f k ⎧-⎪⎨-⎪⎩＞＜，可得150170k k -⎧⎨-⎩＞＜，1175k ＜＜，所以11,75k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的周期性与函数零点的性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.9．已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作斜率为k ()0k >的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若22AF BF =，则直线l 的斜率为（ ） A ．10B 15 C ．58D ．35【答案】B【解析】因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连接2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，由双曲线的性质可得12AF x =-，12BF x =+，222164F M x x =-=-x 的值，可得12tan MF F ∠的值，可得直线l 的斜率.【详解】 解：如图，因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连接2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，因为212AF AF -=，则12AF x =-，又因为122BF BF -=，则12BF x =+，11||4AB BF AF =-=，则||||2AM BM ==，则222164F M x x =-=-10x =，所以2121615tan 510F M MF F F M∠===，即直线l 15. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，直线与双曲的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.10．函数()sin 2321f x x x =++的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，当()0,1a ∈时，方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和为（ ） A ．6π B ．8πC ．10πD ．12π【答案】C【解析】求出()g x 的解析式，画出函数()y g x =与函数y a =的图象，可得方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和.【详解】解：()sin 23212sin 213f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，向右平移6π个单位长度后得到()2sin 21g x x =+.画出函数()y g x =与函数y a =的图象如图，共有8个交点，其中交点A ，D 和B ，C 关于34x π=对称，交点E ，H 和F ，G 关于74x π=对称，所以32A D B C x x x x π+=+=，72E HFG x x x x π+=+=，故所有交点横坐标之和为10π，则方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和为10π. 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移及正弦函数的图像与性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.11．在四面体A BCD -中，3AC BC AD BD ====，AB CD x ==，则四面体A BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．23C ．13D ．34【答案】B【解析】根据已知条件的对称性，把四面体放入长方体中，可得2222x a b ==，2262x c -=，故可得4163A BCD V abc abc abc -=-=，由不等式的性质可得其最大值. 【详解】解析一：根据已知条件的对称性，把四面体放入长方体中，如图设OA a =，OB b =，OD c =，则222222233a b xa cb c⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，所以2222xa b==，2262xc-=，又4163A BCDV abc abc abc-=-=所以()()3222222222211112246936236439A BCDx x x V a b c x x x-⎛⎫++-==-≤=⎪⨯⨯⎝⎭，所以23A BCDV-≤，当且仅当22122x x=-，即2x=时取等号.故选：B.解析二：如图，分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，EF，则有AB CE^，AB DE⊥，得AB⊥平面CDE，又CE DE=，所以EF CD⊥，所以222234xDE AD AE=-=-，222232xEF DE DF=-=-，所以2113322A BCDxV x x-=⨯-，令232xt=-(3t∈，2262x t=-，()23116263A BCDV t t t t-=-=-+，2()1V t t'=-+，当()0,1t∈时，()0V t'>，当(3t∈时，()0V t'<，故当1t=，即2x=时，A BCDV-有最大值为12(1)133V=-+=.故选：B.【点睛】本题主要考查空间几何体体积的求法，涉及不等式的性质的相关知识，属于中档题. 12．函数2()(23)1f x ax a x a=--++与1()1g xx=-的图象有三个交点，则实数a的取值范围为（）A．()18,0-B．1415,27⎛⎫- ⎪⎝⎭C．1418,27⎛⎫- ⎪⎝⎭D．14(18,0)0,27⎛⎫- ⎪⎝⎭U【解析】由题意可得()()0f x g x -=得，分离参数可得32143(1)(1)1a x x x =-----，设设11t x =-，则0t ≠，设()3243h t t t t =--，由已知得()y h t =与y a =有三个交点，对()h t 求导，由导数的性质可得()h t 的极大值与极小值，可得实数a 的取值范围. 【详解】解：由题意可得()()0f x g x -=得，32143(1)(1)1a x x x =-----.设11t x =-，则0t ≠，设()3243h t t t t =--，由已知得()y h t =与y a =有三个交点.2()383h t t t '=--，由()0h t '>得3t >或13t <-； 由()0h t '<得133t -<<. 所以()h t 的极大值为114327h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，极小值为()318h =-，又()00h =， 所以当180a -<<或14027a <<时，函数2()(23)1f x ax a x a =--++与1()1g x x =-的图象有三个交点， 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性与极值，利用导数求解参数的取值范围，考查学生的综合计算能力，属于中档题.二、填空题13．已知向量(2,3)a =r ，(1,2)b =-r ，若()()a b a mb +⊥-r r r r()m R ∈，则m =_____________.【答案】9【解析】先求出a b +rr 与a mb -r r ，然后利用向量垂直的坐标表示列式求解可得m 的值.【详解】解：因为()()a b a mb +⊥-r r r r ，所以()()0a b a mb +⋅-=r r r r，即(3,1)(2,32)0m m ⋅-+=，即63320m m -++=，解得9m =，【点睛】本题主要考查向量的坐标表示及向量垂直的性质，属于基础题型，注意运算准确.14．532 xx ⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中3x项的系数为____________（用数字作答）.【答案】80-【解析】求出532xx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式的通项公式，可得展开式为3x时r的值，代入可得展开式中3x项的系数.【详解】解：532xx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式的通项公式为()531541552C(2)Crrr r r rrT x xx--+⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由1543r-=得3r=，所以532xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中3x项的系数为335(2)80C-=-，故答案为：80-.【点睛】本题主要考查二项展开式的性质及求二项展开式特定项的系数，属于基础题型. 15．已知变量x，y满足约束条件10220240x yx yx y--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数1yzx=+的最大值为______.【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域，可得目标函数1yzx=+，表示平面区域内的点与()1,0D-连线的斜率，可得当取区域内的点取()0,2A时斜率最大，可得最大值. 【详解】解：作出不等式组表示的平面区域，如图ABC∆，目标函数1yz x =+，表示平面区域内的点与()1,0D -连线的斜率，由图可知，区域内的点取()0,2A 时斜率最大，所以max 2020(1)z -==--，故答案为：2. 【点睛】本题主要考查线性规划的基本概念及求线性目标函数的最值问题，属于基础题型，作出不等式组表示的平面区域后利用目标函数1yz x =+的几何意义求解是解题的关键. 16．如图，ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，b c =，设AOB θ∠=()0θπ<<，24OA OB ==，则四边形OACB 面积的最大值为__________.【答案】83+【解析】由()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，由正弦定理化简可得sin sin 2sin C B A +=,可得2b c a +=，又b c =，所以ABC ∆为等边三角形，可得213sin 2AOB ABC OACB S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅⋅四边形 ，化简可得8sin 533OACB S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭四边形θ的取值范围，可得四边形OACB 面积的最大值. 【详解】解：由()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，以及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin sin cos sin cos B A C A A A B A C +=--， sin cos sin cos sin cos sin cos 2sin B A A B C A A C A +++=，sin()sin()2sin A B A C A +++=，sin sin 2sin C B A +=由正弦定理得：2b c a +=，又b c =，所以ABC ∆为等边三角形，()222133sin 4sin 2cos 244AOB ABC OACB S S S OA OB AB OA OB OA OB θθθ∆∆=+=⋅⋅+=++-⋅⋅四边形4sin 8sin 3πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭()0,θπ∈Q ，2,333πππθ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，当且仅当32ππθ-=，即56πθ=时，OACB S 四边形取最大值8+. 【点睛】本题主要考查三角恒等变化及正弦定理、余弦定理解三角形及三角函数的性质，考查学生的综合计算能力，需牢记并灵活运用各定理解题，属于中档题.三、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，35a =，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2nn n a b =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：3n T <. 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知列出关于1a 与d 的方程组，解之可得数列{}n a 的通项公式； （2）由（1）可得2122n n n n a n b -==，由裂项相消法可得n T 的表达式，可证明3n T <. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则由已知得112572149a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得，11a =，2d =，所以1(1)21n a a n d n =+-=-.（2）2122n n n n a n b -==， 所以135212482n nn T -=++++L ， 1113523212481622n n n n n T +--=+++⋯++， 两式相减得11111111212224822n n n n T -+-=+++++-L ，故212123333222n n n nn n T --+=--=-<. 【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质及通项公式的求法、裂项相消法求数列的和，属于基础题型.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC =，3AB =，14AA =，AB AC ⊥.（1）证明：1A C ⊥平面1ABC ；（2）在线段11A B 上是否存在点D ，使得平面DBC 与平面11AAC C 所成的锐二面角为45︒，若存在，求出线段1A D 的长度；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，137A D =【解析】（1）易得11A C AC ⊥，同时由直三棱柱的性质可得平面ABC ⊥平面11AAC C ，又AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11AAC C ，得1AB A C ⊥，故可得1A C ⊥平面1ABC ；（2）分别以AB u u u r ，AC u u ur ，1AA u u u r 方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，设1A D a =()03a ≤≤，则(),4,4D a ，()03a ≤≤，由空间向量法可得a 的值. 【详解】（1）由已知可得四边形11AAC C 为正方形，所以11A C AC ⊥， 因为几何体111ABC A B C -是直三棱柱， 所以平面ABC ⊥平面11AAC C ，又AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11AAC C ，得1AB A C ⊥， 因为1AC AB A =I ，所以1A C ⊥平面1ABC ，（2）如图，由已知AB ，AC ，1AA 两两垂直，分别以AB u u u r ，AC u u ur ，1AA u u u r 方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()3,0,0B ，()0,4,0C ，设1A D a =()03a ≤≤，则(),4,4D a ，所以(3,0,4)BD a =-u u u r ，(,4,4)CD a =-u u u r，设平面BCD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则(3,0,4)(,,)(3)40BD n a x y z a x z ⋅=-⋅=-+=u u u r r，()(,4,4),,440CD n a x y z ax y z ⋅=-⋅=-+=u u u r r，取4x =，得()4,3,3n a =-r，平面11AAC C 的一个法向量为()1,0,0m =r. 所以22cos ,||||634m n m n m n a a ⋅〈〉===-+r rr rr r 解得37a =±()0,3a ∈，所以37a =-所以线段11A B 上存在点D ，且137A D =DBC 与平面11AAC C 所成的锐二面角为45︒. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理及二面角的求法，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.19．新能源汽车正以迅猛的势头发展，越来越多的企业不断推出纯电动产品，某汽车集团要对过去一年推出的四款纯电动车型中销量较低的A 车型进行产品更新换代.为了了解这种车型的外观设计是否需要改进，该集团委托某调查机构对大众做问卷调查，并从参与调查的人群中抽取了400人进行抽样分析，得到如下表格：（单位：人）喜欢不喜欢合计（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为大众对A 型车外观设计的喜欢与年龄有关？（2）现从所抽取的中年人中按是否喜欢A 型车外观设计利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送五折优惠券，求选出的3人中至少有2人喜欢该集团A 型车外观设计的概率；（3）将频率视为概率，从所有参与调查的人群中随机抽取20人赠送礼品，记其中喜欢A 型车外观设计的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）能；（2）710；（3）()11E X =，99()20D X =【解析】（1）计算2K 的值，对照临界值表可得答案；（2）由分层抽样的知识可得，其中抽取的5人中，3人喜欢A 型车外观设计，2人不喜欢A 型车外观设计，分别计算出从何5人中抽取3人的事件数与3人中至少有2人喜欢该集团A 型车外观设计的事件数，可得其概念；（3）从所有参与调查的人群中随机抽取1人，喜欢A 型车外观设计的概率2201140020P ==，可得11~20,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得X 的数学期望和方差.【详解】解：（1）22400(10080100120)4004.040 3.84122018020020099K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为大众对A 型车外观设计的喜欢与年龄有关.（2）从所抽取的中年人中利用分层抽样的方法再抽取5人，其中3人喜欢A 型车外观设计，2人不喜欢A 型车外观设计.记事件C 表示选出的3人中至少有2人喜欢A 型车外观设计，则()21332335710C C C P C C ⨯+==. （III ）从所有参与调查的人群中随机抽取1人，喜欢A 型车外观设计的概率2201140020P ==， 则11~20,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11()201120E X =⨯=，111199()201202020D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、二项分布的期望与方差，考查学生的综合分析与计算能力，属于中档题.20．已知动点Q 在x 轴上方，且到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1. （1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,1P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 交于点M ，求证：M 在定直线上.【答案】（1）24x y =()0y ≠；（2）证明见解析【解析】（1）设(,)Q x y (0)y >，由到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1，可得1y =，化简可得点Q 的轨迹C 的方程；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得12x x +，12x x 的值，又24x y =，所以2xy '=，可得切线1l 的方程，同理可得切线2l 的方程，求出交点坐标，可得其在定直线上.【详解】解：（1）设(,)Q x y (0)y >，1y =，化简得24x y =()0y ≠， 故轨迹C 的方程为24x y =()0y ≠.（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立得24440x kx k -+-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则124x x k +=，1244x x k =-，又24x y =，所以2x y '=，所以切线1l 的方程为()1112x y x x y =-+， 即21124x x y x =-，同理切线2l 的方程为22224x x y x =-联立得1222x x x k +==，1214x xy k ==-.两式消去k 得220x y --=， 当1k =时，2x =，0y =，所以交点M 的轨迹为直线220x y --=，去掉()2,0点. 因而交点M 在定直线上. 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的综合计算能力，属于难题.21．已知函数()ln(1)1axf x x x =+-+()a R ∈. （1）若当0x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围； （2）比较20172019与20182018的大小.【答案】（1）1a ≤；（2）2017201820192018<【解析】（1）求出()f x 的定义域，对其求导，令()0f x '=，得1x a =-，分1a ≤与1a >进行讨论，可得()0f x >恒成立时，a 的取值范围；（2）设ln(1)()x g x x+=(0)x >，对其求导，可得2ln(1)1()xx x g x x -++'=， 由（1）得1a =，0x >时，有()ln(1)01x f x x x =+->+，即ln(1)01x x x -+<+，可得()g x 在()0,∞+上是减函数，故可得ln(20181)ln(20171)20182017++<，可得答案.【详解】解：（1）()f x 的定义域为1x >-，2211()1(1)(1)a x af x x x x +-'=-=+++， 令()0f x '=，得1x a =-，①当1a ≤时，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，则()()00f x f >=， 所以1a ≤时满足条件，②当1a >时，()0,1x a ∈-时，()0f x '<，()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>， 得(1)(0)0f a f -<=，即存在1x a =-使得()0f x >不成立，故1a >不符合题意， 所以满足条件的a 的取值范围为1a ≤. （2）设ln(1)()x g x x+=(0)x >， 则2ln(1)1()xx x g x x -++'=， 由（1）得1a =，0x >时，有()ln(1)01x f x x x =+->+，即ln(1)01x x x -+<+， 所以当0x >时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+上是减函数， 因为20182017>，所以ln(20181)ln(20171)20182017++<即2017ln 20192018ln 2018<，即12018207l ln 201918n 20< 所以2017201820192018<.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间与极值，导数在恒成立求参问题中的应用，考查学生的综合计算能力，属于难题.22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，轴与x 轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程：4cos ρθ=，直线l的参数方程22112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于不同的两点A ，B ，()2,1-M ，求11||||AM BM +的值.【答案】（1）224x y x +=；（2）3【解析】（1）将方程4cos ρθ=两边都乘以ρ得，可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入可得答案；（2））易知M 点在直线l 上，A ，B 在M 点的两侧，直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，可得12t t +，12t t 的值，可得12121212121111||||t t t t AM BM t t t t t t +-+=+==-， 代入可得答案. 【详解】解：（1）方程4cos ρθ=两边都乘以ρ得，可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入可得：224x y x +=.（2）易知M 点在直线l 上，A ，B 在M 点的两侧，直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立得2212142222t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得230t t --=， 所以121t t +=，123t t =-，所以12121212121111||||t t t t AM BM t t t t t t +-+=+==-，12===.【点睛】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程及简单曲线的极坐标方程的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.23．已知函数()3|2|||f x x x a =-++-a R ∈. （1）当3a =时，解不等式()0f x <；（2）若存在实数x ，使得()4f x ≥成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|2}x x >；（2）(,3][1,)-∞-⋃-+∞【解析】（1）将3a =代入()f x ，分2x -≤，23x -<<，3x ≥进行讨论，可得解不等式的解集；（2）由题意要使得()4f x ≥成立，即|||2|1x a x --+≥，由绝对值不等式的性质可得|||2||()(2)|2x a x x a x a --+≤--+=+，故只需21a +≥，可得a 的取值范围. 【详解】解：（1）当3a =时，()3|2|3f x x x =-++-，()0f x <等价于23230x x x ≤-⎧⎨++-+<⎩或233230x x x -<<⎧⎨---+<⎩，或33230x x x ≥⎧⎨--+-<⎩， 解得x ∈∅或23x <<或3x ≥， 所以原不等式的解集为{|2}x x >.（2）()4f x ≥成立，即|||2|1x a x --+≥成立. 因为|||2||()(2)|2x a x x a x a --+≤--+=+， 只需21a +≥，即21a +≥或21a +≤-， 解得1a ≥-或3a ≤-.所以a 的取值范围是(,3][1,)-∞-⋃-+∞. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法与性质，体现分类讨论与等价转化的思想，考查了运算求解能力，属于中档题.第 21 页共 21 页。
百校联盟TOP20 2019年二月 联考 ( 全 国 1 卷)理 科 数 学试题及答案
第5题度111第7题百校联盟TOP20二月联考(全国1卷)理科数学注意事项:1.本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分，2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置、3.全部答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.本试卷满分1.50分,测试时间120分钟，x5.考试范围:高考全部内容，第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)集合A={2|320x x x-+> },则R C A =( ) (A)(x|x>2或x≤1} (B){x|1<x <2) (C)(z|x≥2或x≤1} (D){x |1≤x ≤2)(2)已知复数431iz i+=+，则|z|=（ ）(A)2(B)52 D.(3)已知n S为等比数列{}n a 的前n 项和,233,13a S ==，则6a =（ ） (A)243或127(B)81或181(C)243(D)127(4)已知P 为椭圆C:2219xy +=上一点,Q(0.4),则P ,Q 两点间的最大距离是（ ） (A)3(B)5(C)D ）(5)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其月用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，则这100户居民月用电量的中位数大约为 ( ) (A)150(B)177.8(C)183.3(D)200(6)已知[x]表示不超过x 的最大整数。
执行如图所示的程序框图,若输人x 的值为2.4,则输出z 的值为（ ） (A)1.2(B)0.6(C)0.4(D)-0.4(7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）(A)13(B)1 (C) 3 (D)32(8)已知偶函数(x)f 满足(1x)(1x)f f +=-,且当x ∈[(0.1]时, (x)f =21x-.若函数)(x)kx y f =-(k>0) 有六个零点，则（ ） （A ）15k =（B ）11(,)75k ∈ (C)11()53k ∈， (D)17k =O（9）已知双曲线C ：2213y x -= 的左右焦点分别为12,F F ,过1F 作斜率为(k 0)k >的直成l 与双曲线C 的左右两支分别交于A.B 两点，若22|AF ||BF |=,则直线l 的斜率为( )(A)4(B)5(C)58(D)35(10)函数()sin 21f x x x =+的图象向右平移6π个单位长度后得到函数(x)g 的图象，当a ∈(01)时,方程|g(x)|a =在区间[0,2π]上所有根的和为（ ） (A)6π(B)8π(C)10π(D)12π(11)在四面体A- BCD 中，x ,则四面体A- BCD 体积的最大值为（ ） (A)12(B)23 (C)13 (D)34(12)函数2()(23)1f x ax a x a =--++与1()1g x x =-图象有三个交点，则实数a 的取值范因为( ) (A) (18,0)- (B)14(15,)27- (C)14(18,)27- (D)14(18,0)(0,)27-第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，(13)已知向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若(+)(m )(m )a b a b R ⊥-∈,则m= .(14)352()x x-的展开式中3x 项的系数为(用数字作答) ，(15)已知变量,x y 满足约束条件10220240x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数1y z x =+的最大值为 .(16)如图,△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c 且满足(b c)cosA 2cos cos ,B C b c α+=(--)=设∠AOB=θ(0<θ<π).OA =2OB=4,则四边形OACB 面积的最大值为 。
2019届百校联盟TOP20十二月联考(全国ⅰ卷)数学(理)试题解析
绝密★启用前2019届百校联盟top20十二月联考（全国ⅰ卷）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{|A x y ==，{}|1xB y y e ==+，则A B =I （ ）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．[1,2]D ．(1,2]答案：D求出A 、B 所表示的范围，求交集即可得解. 解：由题知{|2}A x x =…，{|1}B y y =>，故(1,2]A B ⋂=. 故选：D. 点评：本题考查了集合的运算以及函数求值域，考查了计算能力，属于简单题. 2．已知复数z 满足(1)2z i m i ⋅-=+，若z 是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．1 B ．-1C ．2D ．-2答案：C由(1)2z i m i ⋅-=+可得：2(2)(1)(2)(2)1(1)(1)2m i m i i m m iz i i i +++-++===--+，再根据纯虚数的定义，即可得解. 解： 依题意，(2)(1)(2)(2)(1)(1)2m i i m m i z i i ++-++==-+，则2020m m -=⎧⎨+≠⎩，，故2m =.故选：C. 点评：本题考查了复数的除法及纯虚数的概念，考查了计算能力，属于简单题.3．自宋朝以来，折扇一直深受文人雅土的喜爱，在扇面(折扇由扇骨和扇面组成)上题字作画是生活高雅的象征.现有一位折扇爱好者准备在如图所示的扇面上题字，由于突然停电，不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域，则墨汁恰好落入扇面部分的概率为（ ）A ．47B ．34C ．1649D ．4049答案：D求出整个折扇和只有扇骨处的面积，相减即得扇面的面积，代入几何概型概率公式即可得解. 解：S 大扇形212aR =，S 小扇形212r α=，22294014949R r P R -∴==-=. 故选：D. 点评：本题考查了扇形的面积公式和几何概型，考查了计算能力，属于简单题. 4．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37=4S ，212a =，则数列{}n a 的公比q =（ ） A ．2 B ．12C ．2或12 D ．2或1答案：C根据等比数列的求和公式及通项公式，由37=4S ，212a =，代入即可得解. 解：依题意得12374a a a ++=，212a =， 22274a a a q q ++=∴，152q q ∴+=， 解得2q =或12q =. 故选：C. 点评：本题考查了等比数列的基本量的求值，考查了等比数列的求和及通项公式，考查了计算能力，属于简单题.5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数.且在(,0)-∞上单调递减，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()xxf x e e -=- B ．1()lg||f x x = C ．()|sin |f x x =D ．()f x =答案：D由函数()f x 的性质，即定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上单调递减，逐个排除即可得解.对A ，()=()xx f x e e f x --=--，不符；对B ，0x ≠，不符；对C ，在(,0)-∞上不单调，即可得解. 解：函数()e e xxf x -=-是奇函数，1()lg||f x x =的定义域不是R ， 函数()|sin |f x x =在(,0)-∞上不具有单调性，函数()f x =(,0)-∞上单调递减且是偶函数.故选：D. 点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，考查了函数基本性质的识记和理解，属于简单题.6．若a 是常数，74(2)(1)a x y -+的展开式中各项系数和为-16，则42x y 的系数为（ ）A ．60B ．-1680C ．336D ．3360答案：D由74(2)(1)a x y -+的展开式中各项系数和为-16，首先赋值令1x =，代入求得1a =，根据7(12)x -求出4x 的系数，根据4(1)y +求出2y 的系数，相乘即可得解.解：依题意74(2)(11)16a -+=-，1a \=，74(12)(1)x y -+的展开式中，42x y 的系数为44274C (2)C 351663360-=⨯⨯=.故选：D. 点评：本题考查了二项展开式的通项公式，考查了赋值法求和，考查了计算能力，属于中档题. 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线部分是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．76+43+46B．76+43+26C．76+23+46D．76+23+26答案：C由三视图还原为直观图，由直观图即可求得该几何体的表面积.解：如图：将三视图还原，可知几何体由一个棱长为4的正方体截去两个三棱锥得到，故所求几何体的表面积:111311662232424484223S=⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯++⨯22242=+742346故选：C.点评：本题考查了三视图，考查了空间想象能力，考查了面积的计算，属于中档题.8．运行行如图所示的程序框图，则输出k的值为( )A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B根据,a b的初始值，通过不断的赋值计算，经过三次的循环，即可得解. 解：运行该程序，第一次，23a=，2k=，89b=；第二次，89a=，3k=，89b=；第三次，89a=，4k=，6481b=；此时不满足8199ba-…，故退出循环，此时输出k的值为4.故选：B.点评：本题考查了程序框图，考查了循环结构求输出结果，考查了计算能力，属于简单题.9．已知函数()2cos 232f x cos x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间,6t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数t 的取值范围为（ ） A ．0,12π⎛⎤⎥⎝⎦B ．,612ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ C ．,62ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．0,2π⎛⎤⎥⎝⎦答案：B先化简()f x 为sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的增区间可解得． 解：依题意，()12222f x sinx cosx sinx ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2sinxcosx x =+112222cos x sin x -=+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当,6x t π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，20,233x t ππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦因为y sinx =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 在,6t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以][0,2,322t πππ⎡⎤+⊆-⎢⎥⎣⎦，即6232t t πππ⎧>-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得612t ππ-<≤故选：B ． 点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性．属中档题． 10．已知抛物线214y x =的焦点F ，直线l 过点F 且与抛物线相交于M ，N 两点，M ，N 两点在y 轴上的投影分别为C ，D ，若||CD …则直线l 斜率的最大值是（ ）AB ．2C ．3D．答案：A设直线方程为1y kx =+，联立抛物线方程可得2440x kx --=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12124,4,x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩所以12CD y y k=-==求解不等式即可得出答案. 解：因为抛物线24x y =的焦点(0,1)F ，所以设直线方程为1y kx =+，由2244401x yx kx y kx ⎧=⇒--=⎨=+⎩，设()11,M x y ，()22,N x y ， 则12124,4,x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩所以()1212CD y y k x x =-=-==，解得kl 故选：A. 点评：本题考查了利用韦达定理研究直线和抛物线的关系， 考查了根与系数的转化思想，考查了计算能力，属于难题.11．已知奇函数()f x 和其导函数()f x '的定义域均为R ，当(0,)x ∈+∞时，3()()0f x xf x '+<，则不等式33(1)(-1)8(2)0x f x x f x --<的解集为（ ）A ．(),1-∞-B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,10,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭U D ．()11,0,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭U答案：B由题意可构造函数3()()g x x f x =，]232()3()()[3()()0g x x f x x f x x f x xf x '''=+=+<，可得()g x 在(0,)+∞为减函数，再根据()f x 为奇函数，可得()g x 为偶函数，根据函数单调性和奇偶性解不等式即可. 解：令3()()g x x f x =，当(0,)x ∈+∞时，]232()3()()[3()()0g x x f x x f x x f x xf x '''=+=+<，所以函数()g x 是(0,)+∞上的减函数.()f x Q 是奇函数，()g x ∴是偶函数，由不等式33(1)(1)8(2)0x f x x f x ---<，得(1)(2)g x g x -<，所以|1||2|x x ->，得113x -<<.即11,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.故选：B 点评：本题考查了构造法，考查了利用导数求函数单调性以及利用函数单调性解不等式，考查了转化思想和计算能力，属于难题.12．已知各项均不为0的数列{}n a 满足1199a =-，1(21)n n n a a a ++=，若21222111n n nn n b a a a a -+=-，则当数列{}n b 的前n 项和取得最大值时，n 的值是（ ）A ．24B ．25C ．32D ．33答案：B根据数列{}n a 的递推关系：1(21)n n n a a a ++=，化简可得：1112n na a +-=，可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，可得na 通项公式，代入21222111n n n n n b a a a a -+=-即可求出n b 的通项，388(1)(16)16404n b n n =+-⨯-=-+，所有正项的和即是最大值.解：依题意，121n n n a a a +=+，得121112n n n n a a a a ++==+，1112n n a a +∴-=，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为99-，公差为2的等差数列，2122212121211111n n nn n n n nb a a a a a a a -+-+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为2121114n n a a -+-=-， 即24n n b a -=，122211416n nn n b b a a ++⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，且1214388b a =-⨯=， {}n b ∴是首项为388，公差为-16的等差数列，故388(1)(16)16404n b n n =+-⨯-=-+， 令0n b >，解得1014n <， 故当数列{}n b 的前n 项和取得最大值时，n 的值是25. 故选：B 点评：本题考查了利用递推关系求数列通项，考查了数列前n 项和的最大值，考查了转化思想和计算能力，属于较难题.二、填空题13．已知a r 是单位向量，若()0a a b ⋅-=v v v ，(2)(2)0a b a b +⋅-=r r r r 则a v ，b v的夹角为__________. 答案：3π 根据a r是单位向量，展开()0a a b ⋅-=v v v 即得：1a b ⋅=r r ，由(2)(2)0a b a b +⋅-=r r r r 得：||2||2b a ==r r，代入向量夹角公式即可.解：因为a r是单位向量，由2()01a a b a a b a b ⋅-=⇒=⋅⇒⋅=r r r r r r r r，由(2)(2)0||2||2a b a b b a +⋅-=⇒==r r r r r r，设a r 与b r 的夹角为θ，则1cos 2||||a b a b θ⋅==r rr r ，3πθ∴=.故答案为：3π. 点评：本题考查了向量的数量积，考查了单位向量的概念及向量夹角公式，考查了计算能力，属于简单题.14．已知实数x ，y 满足不等式组040240x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则263x y z x +-=-的取值范围是__________. 答案：180,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦首先根据不等式组040240x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩画出可行域，化简263x y z x +-=-即得23y z x =+-，而3yx -表示可行域内的点与点(3,0)P 连线的斜率，根据斜率的范围即可得解. 解：依题意，作出可行域，如图所示：是以点(2,2)A ，(4,4)B --，(0,4)C 为顶点的三角形区域（包含边界），26233x y yz x x +-==+--，3yx -表示可行域内的点与点(3,0)P 连线的斜率， 故3PA PB yk k x -剟， 得4237y x --剟，故1807z 剟.故答案为：180,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了线性规划求取值范围，考查了目标函数的几何意义以及斜率的取值范围，考查了数形结合思想及计算能力，属于中档题.15．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 为双曲线C 右支上一点，直线1AF 与y 轴交于点B ，且13||F B AB =，12AF AF ⊥，则双曲线C 的离心率为__________.设||AB m =，2AF n =，则13F B m =，又122F F c =，根据题意可得：121Rt BOF Rt F AF △∽△，432c m m c=，再根据双曲线的定义及性质可得：42m n a -=，222(4)(2)m n c +=，联立消去m ，解方程即可得解.解：依题意121Rt BOF Rt F AF △∽△，设||AB m =，2AF n =，则13F B m =，又122F F c =， 所以22242432(4)(2)m n a c m mc m n c -=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，，，22216(42)4c m m a c =+-=⎪⎩，， 消去m，整理得2230c a -+=，因为c e a=，所以230e -+=，解得e =e =.+点评： 本题考查了利用双曲线的焦点三角形求离心率，考查了双曲线的定义及性质和平面几何的结合，考查了计算能力，属于较难题.16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，1cos 3ACB ∠=，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为52π，则三棱锥P ABC -体积的最大值为__________.答案：23根据三棱锥P ABC -外接球的表面积为52π可得：外接球半径13R =ABC ∆外接圆半径为r ，根据外接球和三棱锥P ABC -的位置关系可得：()222(2)(2)R r PA =+，由4PA =，代入可得3r =，由正弦定理即得：42AB =再利用余弦定理结合基本不等式即可得解.解：设三棱锥P ABC -的外接球球心为O ，半径为R ， ABC ∆外接圆半径为r ，则2452R ππ=， 解得13R =2222PA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故3r =，又2sin AB r ACB =∠， 42AB ∴=22322cos AC BC AC BC ACB ∴=+-⋅⋅∠，24AC BC ∴⋅„，三棱锥P ABC -的体积1112232224433233ABC V S PA =⋅⋅⨯⨯⨯=△„. 点评：本题考查了三棱锥的外接球问题，同时考查了利用正、余弦定理解三角形，还考查了利用基本不等式求最值，考查了空间想象及计算能力，属于难题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，且ABC ∆的面积为24a ， （Ⅰ）若sin sin a Ab C =，求A ；（Ⅱ）求22b c bc+的取值范围.答案：（Ⅰ）6A π=；（Ⅱ）.（I ）由ABC ∆的面积为24a ，代入公式可得：22sin a bc A =，再根据sin sin a Ab C =，利用正弦定理可得：a bc =2，联立即得：1sin 2A =，又A 为锐角，即可得解. （II ）由题干可得：22sin a bc A =，代入余弦定理可得：2222cos 2sin 2cos b c a bc A bc A bc A +=+=+，所以222sin 2cos 4b c A A A bc π+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，再结合角A 范围即可得解. 解： （Ⅰ）24ABC a S =Q △，21sin 24a bc A ∴=， 即22sin a bc A =，sin sin a A b C =Q ，a bc ∴=2，2sin bc bc A ∴=，1sin 2A ∴=，02A π<<Q ，6A π∴=.（Ⅱ）由余弦定理知，2222cos a b c bc A =+-，2222cos 2sin 2cos b c a bc A bc A bc A ∴+=+=+，222sin 2cos 4b c A A A bc π+⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭， 02A π<<Q ，3444A πππ∴<+<，sin 124A π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭„，24A π⎛⎫∴<+ ⎪⎝⎭„，22b c bc+∴的取值范围为(2,22]. 点评：本题考查了利用正、余弦定理解三角形，其方法有两种：角化边和边化角，求范围所用方法基本是：（1）利用基本不等式求最值；（2）利用三角函数求最值.18．为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位:h ).根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示).（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）求(0.88.3)P Z <<；（ii ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为ξ，试求()E ξ.6.16 2.5≈，若Z ~()2,N μσ，()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=.答案：（Ⅰ）平均数5.85；样本方差6.16；（Ⅱ）（i ）0.8186；（ii ）4093.（Ⅰ）利用频率分布直方图的小矩形的中间数据，代入平均数和样本方差公式即可得解；（Ⅱ）利用正态分布的图像与性质以及二项分布的期望，即可得解.解：（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数为10.0530.250.370.2590.15110.05 5.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.2222222(1 5.8)0.05(3 5.8)0.2(5 5.8)0.3(7 5.8)0.25(9 5.8)0.15(11 5.8)0s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯6.16=.（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知~(5.8,6.16)Z N ，即()2~ 5.8,2.5Z N ，从而(0.88.3)(5.85 5.8 2.5)(2)P Z P Z P Z μσμσ<<=-<<+=-<<+ 1()[(22)()]0.81862P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ=-<<++-<<+--<<+=（ii ）由（i ）可知，~(5000,0.8186)B ξ，故()50000.81864093E np ξ==⨯=.点评：本题考查了频率分布直方图，考查了正态分布和二项分布，考查了计算能力，属于较难题.19．如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，其中1112AC BC AA ===，点D 是线段1AA 的中点.（Ⅰ）若点Q 满足DQ QB λ=u u u r u u u r ，且1CQ BC ⊥，求λ的值；（Ⅱ）求二面角11B C D B --的余弦值.答案：（Ⅰ）2；3（I ）根据直三棱柱111ABC A B C -的性质及所给数据，将1CQ BC ⊥转化为CQ BD ⊥，则在Rt BCD ∆中直接求解即可；（II ）建立空间直角坐标系，利用法向量即可求二面角的余弦值.解：（Ⅰ）因为在侧面11ACC A 中，112AC AA =，1AA AC ⊥，点D 是棱1AA 的中点， 所以1145A DC ∠=︒，45ADC ∠=︒，则1C D DC ⊥.因为BC ⊥平面1C CD ，所以1BC C D ⊥.由BC CD C ⋂=，得1C D ⊥平面BCD ，所以1C D CQ ⊥，又因为1CQ BC ⊥，111C D BC C =I ，所以CQ ⊥平面1BDC ，所以CQ BD ⊥.在Rt BCD ∆中，90BCD ∠=︒，1BC =，2CD =，3BD =， 则6CQ =，所以233DQ =，3QB =， 又因为DQ QB λ=u u u r u u u r ，所以2λ=.（Ⅱ）如图：以C 为坐标原点，CA ，CB ，1CC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,1,0)B ，(1,0,1)D ，1(0,1,2)B ，1(0,0,2)C ，1(0,1,2)BC ∴=-u u u u r ，(1,1,1)BD =-u u u r ，11(0,-1,0)BC =u u u u r ，1(1,1,1)B D =--u u u u r ， 设平面1BC D 的一个法向量为()111,,m x y z =u r ， 则10,0,m BC m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u v v11111200y z x y z -+=⎧∴⎨-+=⎩，，，令11z =，得(1,2,1)m =u r ， 设平面11B C D 的一个法向量为()222,,n x y z =r ，则1110,0,n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v222200y x y z -=⎧∴⎨--=⎩，，令21z =，得(1,0,1)n =r ， 设二面角11B C D B --的平面角为θ，则cos cos ,||||m n m n m n θ⋅=〈〉===u r r u r r u r r ， 故二面角11B C D B --点评：本题考查了空间线面垂直关系的证明，考查了利用空间直角坐标系求二面角，考查了转化思想和计算能力，属于较难题. 20．已知椭圆22221(0)x x C b a b a :+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭是椭圆C 上一点，且12MF F △的面积为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）记椭圆C 的左顶点为A ，过点A 作直线1l ，2l 分别交椭圆C 于点P ，Q (异于点A )，当12l l ⊥时，求证：直线PQ 过定点.答案：（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）详见解析. （Ⅰ）根据条件结合椭圆的性质，列式即可得解；（Ⅱ）设直线:PQ x my n =+，代入椭圆方程2222=0x y +-整理可得： ()2222220m y mny n +++-=，由韦达定理得出根与系数关系，根据直线的垂直，利用向量的数量积为零，列出等式，即可求出n 的值.解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，由题知222221112122a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩，，解得22a =，221b c ==.故椭圆C 的方程为2212x y +=.（Ⅱ）由题意得(A ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线:PQ x my n =+，代入2222=0x y +-整理得()2222220m y mny n +++-=， ()()222(2)4220mn m n ∴∆=-+->，即2220-+>m n ，12222mn y y m +=-+，212222n y y m -=+， 12l l ⊥Q ，()()()()11221122AP AQ x y x y my n y my n y ∴⋅=⋅+=++⋅++u u u r u u u r (1212my n my n y y =++++ ()()2212121((m y y m n y y n =++++()()2222212(2(22m n m n mn n m m +-⨯=-+++223202n m ++==+，解得3n =-或n =，∴直线PQ 过定点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.点评：本题考查了椭圆基本量的运算，考查了利用韦达定理研究直线与椭圆的关系，考查了转化思想，要求较高的计算能力，属于难题.21．已知函数ln ()2a x f x bx x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程是5220x y --=.（Ⅰ）求实数a ，b 的值;（Ⅱ）若函数()()2g x xf x =-有两个不同的零点1x ，2x ，求证：126x x +>. 答案：（Ⅰ）3a =，12b =-；（Ⅱ）详见解析. （Ⅰ）根据导数的几何意义，P 点处的导数就是该点切线的斜率，再根据该切点既在曲线上也在直线上，列式即可得解；（Ⅱ）求出()g x 的解析式及其单调性，当(0,3)x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数； (3,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，由函数()g x 有两个不同的零点，则1x ，2x 满足12036x x <<<<，构造函数()()(6)((0,6))G x g x g x x =--∈，再根据()G x 的单调性即可得出1x ，2x 的关系.解： （Ⅰ）由ln ()2a x f x bx x =++求导，得2ln ()a a x f x b x -'=+， 由切线方程5220x y --=知，切点为31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 切线斜率为52， 所以32252b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得3a =，12b =-. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3ln 1()22x f x x x =-+， 21()3ln (2)2g x x x ∴=--， 3(1)(3)()(2)x x g x x x x+-'=--=-， 当(0,3)x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数；(3,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数.所以3x =时，函数()g x 取得极大值.又易知(1)0g <，(3)0g >，(6)0g <，所以函数()g x 的两个不同的零点1x ，2x 满足12036x x <<<<，构造函数()()(6)((0,6))G x g x g x x =--∈， 即2211()3ln 3ln(6)(2)(4)22G x x x x x =----+-， 2332(3)()26(6)x G x x x x x -'=+-=--. 当(0,6)x ∈时，()0G x '…，所以()G x 为(0,6)上的增函数，因为103x <<，所以()1(3)0G x G <=，即()()1160g x g x --<，即()()116g x g x <-，因为()()120g x g x ==，所以()()216g x g x <-，又因为103x <<，所以163x ->，而236x <<，且()g x 在区间(3,6)上单调递减， 所以由()()216g x g x <-可得216x x >-，即126x x +>.点评：本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造和转化思想，在高考中一般作为压轴题考查，要求较高的计算能力和数学思维，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MON ∠的大小.答案：（Ⅰ）直线l的极坐标方程为(cos )1ρθθ+=+；曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=；（Ⅱ）6MON π∠=.（Ⅰ）通过消参即得直线l 的普通方程，再通过直角坐标和极坐标的互化，即可得到直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M ，N 的极坐标分别为()11,ρθ，()22,ρθ，根据极角的的意义，则：12MON θθ∠=-，联立直线l 的极坐标方程和圆的极坐标方程，消去ρ，计算即可得解.解：（Ⅰ）由1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，得直线l的普通方程为1x +=又因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以直线l的极坐标方程为(cos )1ρθθ+=+Q 曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，22cos ρρθ∴=，222x y x ∴+=，即曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=.（Ⅱ）设M ，N 的极坐标分别为()11,ρθ，()22,ρθ， 则12MON θθ∠=-，由(cos )12cos ,ρθθρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去ρ得2cos (cos )1θθθ+=+，化为cos 22θθ+=，即sin 262πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 不妨设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即72,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以263ππθ+=，或2263ππθ+=， 即12,12,4πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12412πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 所以126MON πθθ∠=-=. 点评：本题考查了参数方程和极坐标方程以及普通方程的互化，考查了极角的几何意义，同时考查了计算能力，属于较难题.23．已知函数()|4||4|f x x x =++-.（Ⅰ）求不等式()3f x x >的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为z ，正实数m ，n 满足2mn m n z --=，求证：3m n +….答案：（Ⅰ）8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）详见解析.（Ⅰ）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式即可；（Ⅱ）利用绝对值不等式性质，可得()|4||4||44|8f x x x x x =++-+-+=…，所以8z =，即28mn m n --=，所以(1)(2)10m n --=，再根据基本不等式的应用，积定和小，即可得解.解：（Ⅰ）()3f x x >，即|4||4|3x x x ++->.当4x <-时，不等式可化为443x x x --+->，解得4x <-；当44x -剟时，不等式可化为443x x x ++->，解得843x -<„； 当4x >时，不等式可化为443x x x ++->，无解. 综上，原不等式的解集为8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. （Ⅱ）由绝对值不等式性质得，|4||4||44|8x x x x ++-+-+=…，8z ∴=，即28mn m n --=，所以(1)(2)10m n --=，所以(1)(2)33m n m n +=-+-+…，当且仅当1m =，2n =时取“=”，原不等式得证.点评：本题考查了绝对值不等式的求解及性质，考查了基本不等式求最值，考查了转化思想，考查了计算能力，属于较难题.。
2019届高三下学期高三第二次模拟联考数学(理)试题—含答案
2019届高三下学期高三第二次模拟联考数学（理）试题—含答案2019学年度第二学期高三第二次模拟联考数学（理科）试卷年级班级姓名学号注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效。
4.作图题可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破弄皱，不准使用涂改液、修正带。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知，则（）A.{1,2}B.{1,2,3}C.{0,1,2}D.{1,2,3,4,}2.设复数满足，则复数所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如下图的茎叶图为某次10名学生100米跑步的成绩（s），由茎叶图可知这次成绩的平均数，中位数，众数分别为()A．51.95260B．525460C．51.95360D．5253624.已知随机变量服从正态分布，且，，等于（）A.0.2B．C．D．5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n等于()A．4B．2C．3D．56.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．7.若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是()ABCD8.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．B.C.D.9.设x，y满足约束条件，则的最大值为A.B.C.-3D.310.将函数的图象，向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，则下列说法正确的是（）A．函数的最小正周期为B．是函数的一条对称轴C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上的最小值为11.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角．已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A．B．C．D．12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[－1，1]时，，则()A．B．C．D．第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2019全国1卷理科数学(含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则（ ） A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．π8C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为（ ） A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ） A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为（ ） A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成， 正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．1011．设x 、y 、z 为正数，且235x y z==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，是（ ） A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= ．14．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 ．15．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为____ ____．16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=．（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A -PB -C 的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中i x为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）． 附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，160.99740.9592=0.09≈．20．（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．21．（12分）已知函数2()(2)x xf x ae a e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cossinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为41x a tty t=+⎧⎨=-⎩（为参数）．（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l a．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x) = –x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│．（1）当a=1时，求不等式f(x) ≥ g(x)的解集；（2）若不等式f(x) ≥ g(x)的解集包含[–1，1]，求a的取值范围．参考答案（理科数学）一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A B B C D C B D D A D A二、填空题13．2314．5 15．23316．415三、解答题。
2019届百校联盟TOP20十二月联考(全国Ⅰ卷)理科数学试题(带答案解析)
（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间 近似服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 .
（i）求 ；
（ii）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间 的人数为 ，试求 .
A． B．2C．3D．
11．已知奇函数 和其导函数 的定义域均为 ，当 时， ，则不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
12．已知各项均不为0的数列 满足 ， ，若 ，则当数列 的前 项和取得最大值时， 的值是（）
A．24B．25C．32D．33
13．已知 是单位向量，若 ， 则 ， 的夹角为__________.
A． B． C． D．
4．记等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列 的公比 （）
A．2B． C． 或 D．2或1
5．已知函数 是定义在 上的偶函数.且在 上单调递减，则 的解析式可能为（）
A． B． C． D．
6．若 是常数， 的展开式中各项系数和为-16，则 的系数为（）
A．60B． 1680C．336D．3360
5．D
【解析】
【分析】
由函数 的性质，即定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，逐个排除即可得解.对A， ，不符；对B， ，不符；对C，在 上不单调，即可得解.
【详解】
函数 Байду номын сангаас奇函数，
的定义域不是 ，
函数 在 上不具有单调性，
函数 在 上单调递减且是偶函数.
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性和单调性，考查了函数基本性质的识记和理解，属于简单题.
百校联盟全国一卷2019年二月考试题
2019届高三数学综合卷数学（理）【命题报告】本试卷注重考试内容的基础性综合性和全面性，坚持能力立意的原则，重点考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力以及综合运用数学知识解决问题的能力，考查考生的数学素养和探究意识，体现数学的科学价值和理性价值试卷全面覆盖中学数学的主干内容，难易适度，在结构和难度上与高考试题一致。
一、全面考查基础知识,重点考查主干内容本试卷的设计立足于中学数学的基础知识、基本技能和基本方法，如第1-7题和第13、14题都是直接考查基础知识和基本方法的试题，此外，试卷还注重对高中所学内容的全面考查，集合、复数、常用逻辑用语、平面向量、算法、二项式定理内容在选择题、填空题中得到了有效的考查.在此基础上,试卷还强调对主干内容的重点考查，体现了对数学知识考查的全面性、基础性和综合性，如在解答题中重点考查了函数、导数、三角函数、概率统计，数列、立体几何、直线与圆锥曲线等主干内容.二、注重题型设计创新， 综合考查数学素养本试卷在立足稳定的基础上注重创新题型设计,如6,16,21题综合、灵活地考查了考生的数学素养.三、坚持能力立意原则,突出通性通法考查 本试卷以能力立意为核心，坚持多角度、多层次地考查考生的数学能力。
推理论证能力、空间想象能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力在试卷中都得到了较好的考查。
第8、18题，重点考查了考生的空间想象能力;19题考查了考生利用概率统计思想解决实际问题的能力;12、16题考查了考生的推理论证能力、运算求解能力和探究能力。
本试卷注重对数学通性通法的考查，试题以一道题为载体，呈现给考生的是一类题，是解决这一类问题的通用方法。
如10、12题考查了数形结合思想两函数交点问题，即方程的解的问题，21题考查了化归与转化的思想方法，揭示了如何利用辅助函数研究不等式证明的方法。
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷两部分。
共150分，考试时间120分钟第I 卷（必做 共60分）一、选择题.本大题共12小题，每小题5分。
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1
11第7
题
百 校 联 盟TOP20 二 月 联 考 ( 全 国 1 卷)
理 科 数 学
(1)集合A={2
|320x x x -+> },则R C A =( ) (A)(x|x>2或x≤1} (B){x|1<x <2) (C)(z|x≥2或x≤1} (D){ x |1≤x ≤2)
(2)已知复数431i
z i
+=+，则|z|=（ ） (A)2 (B)52(3)已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,233,13a S ==(A)243或127 (B) 81或181 (C)243 (D) 1
27
(4)已知P 为椭圆C:22
19
x y +=上一点,Q(0.4),则P,Q
(A)3 (B)5 (C)（D
）(5)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其月用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，则这100户居民月用电量的中位数大约为
( ) (A)150 (B)177.8 (C)183.3 (D)200
(6)已知[x]表示不超过x 的最大整数。
执行如图所示的程序框图,若输人x 的 值为2.4,则输出z 的值为（ ）
(A)1.2 (B)0.6 (C)0.4 (D)-0.4
(7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
(A)
13 (B) 1 (C) 3 (D)32
(8)已知偶函数(x)f 满足(1x)(1x)f f +=-,且当x∈[(0.1]时, (x)f =21x
-.
若函数)(x)kx
y f =-(k>0)有六个零点，则（ ）
（A ）15k = （B ）11(,)75k ∈ (C) 11()53k ∈， (D)17
k = （9）已知双曲线C ：22
13
y x -= 的左右焦点分别为12,F F ,过1F 作斜率为(k 0)k >的直成l 与双曲线C 的左右两支分别交于 A.B 两点，若22|AF ||BF |=,则直线l 的斜率为( )
58 (D)35
(10)函数()sin 221f x x x =++的图象向右平移
6
π
个单位长度后得到函数(x)g 的图象，当a ∈(01)时,方程|g(x)|a =在区间[0,2π]上所有根的和为（ ） (A)6π (B)8π (C)10π (D)12π
(11)在四面体A- BCD 中，x ,则四面体A- BCD 体积的最大值为（ ） (A)
12 (B)23 (C)13 (D)34
(12)函数2
()(23)1f x ax a x a =--++与1
()1
g x x =
-图象有三个交点，则实数a 的取值范因为( ) (A) (18,0)- (B)14(15,)27- (C)14(18,)27- (D) 14
(18,0)(0,)27
-
(13)已知向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若(+)(m )(m )a b a b R ⊥-∈,则m= . (14)352()x x
-的展开式中3x 项的系数为 (用数字作答)，
(15)已知变量,x y 满足约束条件10
220240
x y x y x y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
，则目标函数1y z x =+的最大值为 .
(16)如图,△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c 且满足(b c)cosA 2cos cos ,B C b c α+=(--)=设
∠AOB=θ (0<θ<π).OA=2OB=4,则四边形OACB 面积的最大值为 。
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,375,49a S ==. (I)求数列{}n a 的通项公式；(I I)设2n
n n
a b =
,n T 为数列{b }n 的前n 项和，求证: n T <3.
(18)(本小题满分12分)如图，在直三楼柱ABC-111A B C 中,AC=4,AB=3,1AA =4, AB ⊥AC.
(I)证明:1A C ⊥平面ABC 1； (2)在线段11A B 上是否存在点D.使得平面DBC 与平面11AAC C 所成的锐二面角为45︒。
若存在，求出线段1A D 的长度;若不存在,说明理由.
C 1
B
(19)(本小题满分12分)
新能源汽车正以迅猛的势头发展，越来越多的企业不断推出纯电动产品，某汽车集团要对过去一年推出的四款纯电动车型中销量较低的A 车型进行产品更新换代.为了了解这种车型的外观设计是否需要改进,该集团委托某调查机构对大众做问卷调查,并从参与调查的人群中抽取了400人进行抽样分析，得到如下表格:(单位:人)
(I)根据表中数据. 年龄有关?
(II)现从所抽取的中年人中按是否喜欢A 型车外观设计利用分层抽样的方法插取5人，再从这5人中随机选出3人赠送五折优惠券.求选出的3人中至少有2人喜欢该集团A 型车外观设计的概率
(III 将频率视为概率，从所有参与调查的人群中随机抽取20人赠送礼品，记其中喜欢A 型车外观设计的人数为X.求X 的数学期望和方差，
参考公式:2
2
()()(c d)()(b d)
n ad bc K a b a c -++++，其中n a b c d =+++。
参考数据:
(20)(本小题满分12分)
已知动点Q 在x 轴上方，且到定点F(0,1)的距离比到x 轴的距离大1, (I)求动点Q 的轨迹C 的方程; (I I)过点P(1,1)的直线l 与曲线C 交于A,B 两点,点A,B 分别异于原点O,在曲线C 的A,B 两点处的切线分别为12,l l 且12,l l 交于点M,求证:M 在定直线上。
(21)(本小题满分12分)已知函数()ln(1)()1
ax
f x x a R x =+-
∈+， (1)若当x >0时，()0f x >恒成立.求a 的取值范围；
(I)比较20172019与20182018的大小.
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程:
cos ρθ=4,直线l 的参数方程
:2112
x y t ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩(t 为参数)。
(I)求曲线C 的直角坐标方程;
(I)设曲线C 与直线l 交于不同的两点A,B,M(2,-1),求
11
|AM||BM |
+的值. (23)(本小题满分10分)汇选修4-5:不等式选讲] 已知函数()3|2|||f x x x a =-++-，a∈R. (I)当a ＝3时，解不等式f(x)<0;
(I)若存在实数x ，使得()4f x ≥成立，求a 的取值范围．。