二元一次方程组的整数解
二元一次方程组的整数解
第四讲 二元一次方程（组）的整数解学习目标：1、理解二元一次方程整数解存在的条件2、掌握二元一次方程整数解的求法一、知识回顾1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。
即如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解，显然a,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x －2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
反过来也成立，方程9x+3y=10和 4x －2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。
2二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。
k 叫做参变数。
方法一：整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x=5111y -=y y y y 2515101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y=1－5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k －2(1－5k)=11k －2∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=ky k x 51211（k 是整数） 方法二：公式法： 设ax+by=c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 3、 求二元一次方程的正整数解：i.求出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值 ii. 用观察法直接写出。
二、例题辨析例1、我们知道方程2312x y +=有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解。
例：由2312x y +=，得1222433x y x -==-，（x 、y 为正整数） 01220x x >⎧∴⎨->⎩则有06x <<.又243y x =-为正整数，则23x 为正整数. 由2与3互质，可知：x 为3的倍数，从而3x =，代入2423y x =-=. 2312x y ∴+=的正整数解为32x y =⎧⎨=⎩ 问题：（1）请你写出方程25x y +=的一组正整数解：（2）若62x -为自然数，则满足条件的x 值有 个 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？变式练习：求方程的正整数解：5x+7y=87；例2、求方程5x+6y=100的正整数解变式练习：求11x+15y=7的整数解．例3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？。
二元一次方程整数解、配套类专练含答案
二元一次方程整数解、配套类专练一．选择题（共5小题）1．二元一次方程3x+2y＝17的正整数解的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．方程x+2y＝4的正整数解有（）组．A．1B．2C．3D．43．二元一次方程2x+3y＝21的正整数解有几个（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．关于x，y的二元一次方程2x+11y＝50的正整数解的个数（）A．1B．2C．3D．45．方程2x+3y＝10的正整数解的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．无数个二．解答题（共25小题）6．一张桌子由桌面和四条桌腿组成，1立方米木材可制作桌面50张或制作桌腿条300．现有5立方米的要木材，问应如何分配木材，可以使桌面与桌腿配套，共能配成多少张桌子．7．某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，每天只能生产其中一种零件，甲、乙、两种零件分别取3个、2个、才能配成一套，要在45天内生产最多成套的产品，问甲、乙两种零件应各生产几天？8．某校办工厂有36名工人，每人每天可制作桌子5张或凳子8条，应怎样分配制作桌子和凳子的人数，才能使桌子和凳子配套？（一张桌子配两条凳子）9．小敏和小强参加社会实践，要用白板纸做长方体包装盒，准备把所有白板纸分成两部分，一部分做盒身，另一部分做盒底，已知每张白板纸可以做盒身2个，或者做盒底3个，且一个盒身和两个盒底恰好做成一个包装盒．（1）现有12张白板纸，问能否使做成的盒身与盒底正好配套，为什么？（2）在（1）条件下，小敏和小强经过尝试发现，将一张白板纸经过适当套裁就可以裁出一个盒身和一个盒底，请把这种套裁方式综合考虑，探究能否使裁出的盒身与盒底正好配套，若能，请求出最多可做包装盒的个数；否则说明理由．10．某厂生产一批西装．每3米布可以裁上衣2件或裁裤子3条．现在共有布600米．为了使上衣和裤子配套．上衣和裤子应该各用多少米布？11．红星机械厂加工车间有70名工人，平均每人每天生产大齿轮10个或小齿轮20个，2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成一套，则应安排多少人生产大齿轮，多少人生产小齿轮，才能使每天生产的大小齿轮刚好配套？12．某车间有工人56名，生成一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？13．某工厂一车间有51名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲零件5个和乙零件3个，为了每天能配套生产应如何安排工人？14．某车间有工人30人，生产甲、乙、丙三种零件，每人每小时能生产甲零件30个或乙零件25个或丙零件20个．现用甲零件3个、乙零件5个和丙零件4个装配成某种机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件恰好能配成套？15．某车间共有132名工人，生产某种产品，该产品由甲乙两种零件组成，3个甲种零件与2个乙种零件可配成一套，每人每天可加工甲种零件5个、乙种零件4个或组装10套成品．（1）如果该车间的132名工人只生产甲、乙两种零件，为使每天生产甲、乙两种零件刚好配套，应安排生产甲、乙两种零件的工人各多少名？（2）如果这132名工人中，一部分人加工甲种零件，一部分人加工乙种零件，其余的组装，为使每天生产甲、乙两种零件刚好能组装成产品，应安排生产甲、乙两种零件和组装的工人各多少名？16．某工厂要生产某种型号方桌一批，已知每3立方米的材料可做桌面2个或桌腿5个，一个桌面和四个桌腿组成一个方桌．计划用130立方米的这种材料生产桌椅，应分别用多少材料生产桌面才能和桌腿恰好配套？共能生产多少套？17．某车间有工人660名，生产甲、乙两种零件，已知每人每天平均生产甲种零件14个或乙种零件20个，1个甲种零件与2个乙种零件为一套，如何调配人员可使每天生产的两种零件刚好配套？（1）找出本题中的等量关系．（2）适当设未知数，列出方程组．（3）解这个方程组，并回答上面提出的问题．18．某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖，1个衣身，1个衣领组成．如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个．请你为该厂设计一下，应该如何安排工人，才能使每天缝制出的衣袖，衣身，衣领正好配套．19．某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或者丙种零件200个，甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，车间计划30天内生产的一种零件正好成套，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天才能完成计划？20．某车间共有80个工人，生产甲、乙、丙三种工件，已知一个工人每天可以生产甲种工件15件，或乙种工件20件，或丙种工件50件，但要安装一台机器时，同时需要甲种工件3件，乙种工件2件，丙种工件1件，问如何安排工人生产才能保证安装时恰好配套？21．某市举办中学生“梦想杯”足球联赛，联赛记分办法是：胜场得3分，平1场得I分，负1场得0分．复兴中学足球队参加了18场比赛，积24分．（1）在这次足球联赛中，如果复兴中学足球队踢平场数与所负场数相同，那么它胜了几场？（2）在这次足球联赛中，如果复兴中学足球队踢平场数多于所负场数，那么它的胜、平、负情况共有多少种？22．列二元一次方程组解应用题篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．QH队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得到41分，那么QH队胜负场数应分别是多少？23．某项球类比赛，每场比赛必须分出胜负，其中胜1场得2分，负1场得1分．某队在全部16场比赛中得到25分，求这个队胜、负场数分别是多少？24．某足球联赛记分规则为胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，当比赛进行到第14轮结束时，甲队积分28分，判断甲队胜、平、负各几场，并说明理由．25．2010年中国足球甲级联赛，积分规则如下表：胜一场平一场负一场积分310赛季之初，已经降级的成都谢菲联队俱乐部提出本赛季第一阶段比赛目标是：联赛赛进行到第12轮时，球队积分为19分．请通过计算，判断成都谢菲联队胜、平、负各几场才能实现球队的目标？26．某校篮球队参加全市中学生篮球比赛，一共比赛16场，得28分．按赛制规定每胜一场得2分，负一场得1分，该校篮球队胜、负各多少场？27．某校积极推进“阳光体育”工程，本学期在九年级11个班中开展篮球单循环比赛（每个班与其它班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛）．比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场得1分．（1）如果某班在所有的比赛中只得24分，那么该班胜负场数分别是多少？（2）假设比赛结束后，甲班得分是乙班的1.5倍，且甲班获胜的场数比乙班获胜的场数3倍还多，请你求出甲班、乙班各胜了几场．28．在一次篮球选拔赛中，有12支球队参加选拔，每一队都要与另外的球队比赛一场，记分规则为：胜一场3分，平一场记1分，负一场记0分，比赛结束时，某球队所胜场数是所负场数的2倍，共得20分，则这支球队胜，负各几场？29．德国足球甲级联赛一个赛季共进行26轮比赛（即每队均需赛26场），其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在这个赛季中平局的场数比负的场数少，结果共得34分，这个队在这一赛季中，胜、平、负各多少场？30．某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则如下表：胜一场平一场负一场积分310当比赛进行到第二轮结束（每队均需比赛12场）时，A队共积19分，问A队胜，平，负各几场？二元一次方程整数解、配套类专练参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．解：∵3x+2y＝17，∴y＝由于x、y都是正整数，所以17﹣3x＞0∴x可取1、2、3、4、5．当x＝1时，y＝7，当x＝3时，y＝4，当x＝5时，y＝1，当x＝2、4时，y不是正整数舍去．满足条件的正整数解有三对．故选：B．2．解：方程x+2y＝4，解得：x＝﹣2y+4，当y＝1时，x＝2，则方程的正整数解有1组，故选：A．3．解：方程2x+3y＝21，解得：y＝，当x＝3时，y＝5；x＝6，y＝3，x＝9，y＝1，故选：B．4．解：2x+11y＝50，解得：x＝，当y＝2时，x＝14；当y＝4时，x＝3，则方程的正整数解有2对．故选：B．5．解：方程2x+3y＝10，解得：y＝，当x＝2时，y＝2，则方程的正整数解个数是1个，故选：A．二．解答题（共25小题）6．解：设做桌面的有x立方米，做桌腿的有y立方米．则，由①得：x＝5﹣y③，把③代入②得：200（5﹣y）＝300y，解得：y＝2，把y＝2代入③得：x＝5﹣2＝3，∴，∴50×3＝150（张）．答：3立方米做桌面，2立方米做桌腿，共能配成150张桌子．7．解：设甲、乙两种零件应该分别生产x天，y天．则，解得．答：甲零件生产25天，乙零件生产20天．8．解：设安排x人生产桌子，（36﹣x）人生产凳子，根据题意，得：2×5x＝8（36﹣x），解得：x＝16，36﹣16＝20（人）．答：安排16人生产桌子，20人生产凳子．9．解：（1）设使用x张白纸板做盒身，则使用（12﹣x）张白纸板做盒底，依题意，得：2×2x＝3（12﹣x），解得：x＝．∵不为整数，∴不能使做成的盒身与盒底正好配套．（2）设使用m张白纸板套裁，使用n张白纸板做盒身，则使用（12﹣m﹣n）张白纸板做盒底，依题意，得：2（m+2n）＝m+3（12﹣m﹣n），∴m＝9﹣n．∵m，n均为非负整数，∴，．当m＝9时，可以制作包装盒的个数为m+2n＝9（个），当m＝2时，可以制作包装盒的个数为m+2n＝10（个），∵9＜10，∴最多可做10个包装盒．答：能使裁出的盒身与盒底正好配套，最多可做10个包装盒．10．解：设上衣用x米布，裤子用y米布，根据题意得：，解得：，答：上衣用360米，裤子用240米．11．解：设安排x人生产大齿轮，y人生产小齿轮，根据题意，得：，解得：，答：应安排40人生产大齿轮，30人生产小齿轮，才能使每天生产的大小齿轮刚好配套．12．解：设应分配x人生产螺栓，y人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套，根据题意，得，解得：，答：应分配24人生产螺栓，32人生产螺母．13．解：设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，由题意得，解得：．答：应安排35人生产甲种零件，16人生产乙种零件．14．解：设需要x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，z人生产丙种零件，依题意有，解得，答：需要6人生产甲种零件，12人生产乙种零件，12人生产丙种零件，才能使每小时生产的零件数恰好配成整套．15．解：（1）设生产甲种零件的工人有x人，5x×2＝4（132﹣x）×3解得，x＝72132﹣x＝60即安排生产甲、乙两种零件的工人分别为72人、60人；（2）设加工甲种零件的x人，加工乙种零件的y人，组装的工人有z人，解得，，即加工甲种零件的66人，加工乙种零件的55人，组装的工人有11人．16．解：设用x立方米木料做桌面，y立方米做桌腿，恰好能配成方桌，根据题意得，解得．所以＝答：用50立方米木料做桌面，80立方米做桌腿，恰好能配成方桌．共能生产套．17．解：设x人生产甲零件，y人生产乙零件，根据题意可得：，解得：．答：275人生产甲零件，385人生产乙零件．18．解设x个人缝制衣袖，y个人缝制衣身，z个人缝制衣领．则有，解得：答：衣袖、衣身、衣领：120人，40人，50人．19．解：设甲生产了x天，乙生产了y天，丙生产了z天，由题意得：，∴x＝5z，y＝4z，代入第一个方程得：5z+4z+z＝30，解得z＝3，∴x＝5z＝15，y＝4z＝12，∴．答：甲、乙、丙三种零件各应生产15天、12天、3天．20．解：设安排生产甲种工件x人，生产乙种工件y人，则生产丙种工件（80﹣x﹣y）人，由题意得，化简得，解得：，80﹣x﹣y＝5．答：安排生产甲种工件50人，生产乙种工件25人，则生产丙种工件5人．21．解：（1）设复兴中学足球队胜x场，平y场，则负y场，依题意，得：，解得：．答：复兴中学足球队胜了6场．（2）设复兴中学足球队胜m场，平n场，负t场，依题意，得：，∴n＝24﹣3m，t＝2m﹣6．∵n＞t，t≥0，∴，∴3≤m＜6．∵m为整数，∴m＝3，4，5．∴胜、平、负情况共有3种．22．解：设QH队胜x场，负y场，由题意，得，解得：．答：QH队胜19场，负3场．23．解：设该队胜x场，负y场，则解得．答：这个队胜9场，负7场．24．解：设胜x场，平y场，则负（14﹣x﹣y）场，由题意得，3x+y＝28，∵x、y为正整数，14﹣x﹣y≥0，∴或或，故①甲队胜7场，平7场，负0场；②甲队胜8场，平4场，负2场；③甲队胜9场，平1场，负4场；25．解：设A队胜x场、平y场、负z场，则有，把x当成已知数，（2分）可解得．（1分）由题意得，x≥0、y≥0、z≥0，且x、y、z均为整数，所以，（3分）解得，（1分）于是x可取4、5、6，由此可得三组解，，；答：胜4场，平7场，负1场；胜5场，平4场，负3场；胜6场，平1场，负5场．26．解：设该队胜了x场，负了y场．根据题意，得，解得，答：设该队胜了12场，负了4场．27．解：（1）设该班胜了x场，负了y场，根据题意得：，解得：．答：该班胜了7场，负了3场．（2）设甲班胜了m场，乙班胜了n场，则甲班负了（10﹣m）场，乙班负了（10﹣n）场，∵甲班得分是乙班的1.5倍，∴3m+（10﹣m）＝1.5×[3n+（10﹣n）]，整理得：2m﹣3n＝5．∵m、n均为不大于10的非负整数，∴或或．∵甲班获胜的场数比乙班获胜的场数3倍还多，∴m＞3n，∴m＝4，n＝1．答：甲班胜了4场，乙班胜了1场．28．解：设这支球队负场数为x场，胜场数为2x场，平局为y场，根据题意可得：，解得：，故2x＝6，答：这支球队负场数为3场，胜场数为6场．29．解：设这个队胜x场，平y场，则负26﹣x﹣y场，由题意得3x+y＝34①；∵y＜26﹣x﹣y，移项得：x+2y＜26②；由①得y＝34﹣3x，代入②得x+68﹣6x＜26，解得：x＞，因x为整数，x最小取9，又∵x＝＝﹣≈11.33﹣，∴x最大可取11，所以x＝9时，y＝7，26﹣x﹣y＝10；x＝10时，y＝4，26﹣x﹣y＝12；x＝11时，y＝1，26﹣x﹣y＝14．答：这个队在这一赛季中，胜、平、负各9、7、10场或10、4、12场或11、1、14场．30．解：设A队胜x场，平y场，负z场，则，用x表示y，z解得，∵x≥0，y≥0，z≥0且x，y，z均为整数，∴，解之得3≤x≤6，∴x＝4，5，6即A队胜，平，负有3种情况，分别是①A队胜4场平7场负1场；②A队胜5场平4场负3场；③A队胜6场平1场负5场．。
二元一次方程组的整数解问题、无解问题(解析版)
二元一次方程组的整数解问题、无解问题一、二元一次方程组的整数解问题1、若关于x，y的方程组26x ymx y-=⎧⎨+=⎩有非负整数解，则正整数m为（）．A. 0，1B. 1，3，7C. 0，1，3D. 1，3答案：D解答：26x ymx y-=⎧⎨+=⎩①②，①+②得，（m+1）x=8，∴x=81 m+，8的因数1、2、4、8，∵m为正整数，∴m+1≥2，情况1，m+1=2，x=4，y=2，情况2，m+1=4，x=2，y=0，情况3，m+1=8，x=1，y=-1（舍），∴m=1或3．选D.2、已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组210320mx yx y+=⎧⎨-=⎩有整数解，则m2的值为（）．A. 4B. 4，49C. 1，4，49D. 无法确定答案：A解答：()()2101 3202 mx yx y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，（1）+（2）得，（3+m）x=10，所以x=103m +，将x=103m+代入（2）得y=153m+，当方程组有整数解时，3+m是10和15的公约数，所以3+m=±1或3+m=±5，即m=-2或m=-4或m=2或m=-8，又∵m是正整数，∴m=2，则m2=4．选A.3、当正整数a=______时，关于x、y的方程组()112x a yx y⎧+-=⎨-+=⎩的解是整数．答案：1或3解答：y=3a，a=1或3．4、422ax yx y+=⎧⎨-=⎩（a为正整数），方程组的正整数解为x=______，y=______．答案：2；2解答：整理方程组得：（a+2）x=6，x=62a+，此时a+2=3或6才为正整数，a=1或4．当a=1时，x=2，代入解得y=2，方程组的正整数解为22 xy=⎧⎨=⎩；当a=4时，x=1，代入解得y=0，舍弃．5、当整数m=______时，方程组21148x myx y+=⎧⎨+=⎩的解是正整数．答案：3解答：消去x可得y=58 m--，∴m=7或3，又∵m=7时x=-12与题设矛盾，故舍去，综上，m=3．6、正整数a取______时，方程组52x yax y+=⎧⎨-=⎩的解是正整数．答案：6解答：()()5122x yax y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，（1）+（2），得：（a+1）x=7，解得：x=71a+，由于解为正整数，故（a+1）必为7的正约数，故a+1=1或7，解得a=0或6，由于a为正整数，故a=6，此时14 xy=⎧⎨=⎩．7、请回答下列问题：（1）当方程组2520x ayx y+=⎧⎨-=⎩的解是正整数时，整数a的值为______．（2）m为正整数，已知二元一次方程组210320mx yx y+=⎧⎨-=⎩有整数解，则m2=______．答案：（1）-3或1（2）4解答：（1）解方程得：10454xaya⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴a+4=1，2，5，10；a+4=1，5，∴a=-3或1．（2）解方程得：103153xmym⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴m+3=5，10；m+3=5，15．得m=2，m2=4．8、关于x，y的方程组25342x y ax y a+=-⎧⎨-=⎩的解都是正整数，求非负整数a的值．答案：a=1．解答：解关于x，y的方程组25342x y ax y a+=-⎧⎨-=⎩①②，由①×3-②得：10y=15-5a，∴y =32a-， 把y =32a -代入到①得：x =2，∵x ，y 是正整数，且a 是非负整数， ∴只有a =1时，y =1符合题意． ∴a =1．9、当关于x 、y 的方程组21230x my x y +=⎧⎨-=⎩的解为正整数时，求整数m 的值．答案：m =-5或-4或-3或-2或0或6．解答：由21230x my x y +=⎧⎨-=⎩解得：366126x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∵解为正整数，∴ m ≥-5，又∵x 、y 均为正整数，36、12的公约数为：1、2、3、4、6、12， ∴m =-5或-4或-3或-2或0或6． 10、已知方程组2420x my x y +=⎧⎨-=⎩，当方程组的解是正整数时，求整数m 的值，并求出方程的所有正整数解． 答案：m =-3，-2，0，84x y =⎧⎨=⎩，42x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩解答：2x +my =4①，x -2y =0②， ①-②*2得my +4y =4， ∴y =()44m +，x =()84m +∵x ，y 为正整数，m 为整数， 所以m =-3，-2，0，84x y =⎧⎨=⎩，42x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩11、若m 为正整数，且已知关于x 、y 的二元一次方程组220520mx y x y +=⎧⎨-=⎩的解为一组整数，求m 2的值． 答案：25．解答：（m +5）x =20， ∵m 为正整数， ∴m +5＞5， ∴0＜x ＜4， ①x =1，m =15，y =52（舍）； ②x =2，m =5，y =5； ∴m =5，m 2=25． ③当x =3时，m =53，不为正整数，故舍去． 12、m 取什么整数值时，方程组2420x my x y +=⎧⎨-=⎩的解是正整数？并求它的所有正整数解．答案：m =0或-2或-3；84x y =⎧⎨=⎩或42x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩．解答：目测x 系数不含参数，故消掉x 瞬间得到： （m +4）y =4当m ≠-4时，即y =44m + 故m +4所有可能取值为1，2，4， ∴m =0或-2或-3 因为y =44m +，所以y =4或2或1 ∴x =8，y =4或x =4，y =2或x =2，y =1； ∴84x y =⎧⎨=⎩或42x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩．二、二元一次方程组的无解问题关于x 、y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，a 1、a 2、b 1、b 2、c 1、c 2均为实数，则解的情况有以下三种：①当12a a ≠12b b 时，方程组有唯一的解； ②当12a a =12b b =12c c 时，方程组有无数多解； ③当12a a =12b b ≠12cc 时，方程组无解． 即：①当x 与y 的系数不成比例，常数取任意值时，有唯一解； ②当、x 、y 与常数的系数都成比例时，有无数个解； ③当x 与y 的系数成比例，常数不成比例时，无解．13、方程组423634x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的解的情况是（ ）．A. 有唯一解B. 无解C. 有两解D. 有无数解答案：D解答：第一个方程两边同时乘以3得：6x +3y =4，与第二个方程相同，故方程组有无数解． 选D.14、与二元一次方程5x -y =2组成的方程组有无数多个解的方程是（ ）． A. 10x +2y =4 B. 4x -y =7C. 20x -4y =3D. 15x -3y =6答案：D解答：15x -3y =6化简得：5x -y =2，则15x -3y =6与二元一次方程5x -y =2组成的方程组有无数多个解． 选D. 15、若方程组2354x y x my n+=⎧⎨+=⎩有无数解，则下列说法正确的是（ ）．A. m =6，n ≠10B. m ≠6，n ≠10C. m =6，n =10D. 无法确定答案：C解答：根据题意，消去x 得，（m -6）y =n -10，∴当m =6，n =10时，原方程组无数解． 16、若方程组()1332k x y k x y ⎧--=⎨-=⎩有无数个解，则k 的值为（ ）．A. 1B. 2C. 3D. 不存在这样的值答案：B 解答：11k -=33--=2k∴k =2．17、若关于x 、y 的方程组3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，则a 的值为（ ）．A. -6B. 6C. 9D. 30答案：A解答：∵3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩.无解∴2a =31-≠91∴a =-618、方程组373921x y x y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是______答案：方程组有无穷多解 解答：373921x y x y +=⎧⎨+=⎩∵13=39=721， ∴方程组有无穷多解. 19、若二元一次方程组2354x y x my n+=⎧⎨+=⎩有无数组解，则m =______；n =______．答案：6；10 解答：2354x y x my n +=⎧⎨+=⎩①②，②-①×2得：（m -6）y =n -10．故答案为6，10．20、关于x ，y 的二元一次方程组232145ax y k x y +=-⎧⎨+=⎩有无数组解，求a +k =______．答案：14解答：()()23211452ax y k x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩由（1）-3×（2）可得（2a -12）x =2k -16，故2a -12=0，2k -16=0可得a =6，k =8， 进而a +k =14．21、关于x 、y 的方程组4410841x ky y x ++=⎧⎨-=⎩有无穷多组解，则k 的值为______．答案：-2 解答：整理得441481x ky x y +=-⎧⎨-+=⎩，所以44-=48k =11-，∴k =-2．22、当m 、n 为何值时，关于x 、y 的方程组()214mx y nm x y -=-⎧⎨--=-⎩．（1）无解． （2）唯一解． （3）有无数多解． 答案：（1）m =1，n ≠4． （2）m ≠1，n 取任意值． （3）m =1，n =4． 解答：（1）()214mx y n m x y -=-⎧⎪⎨--=-⎪⎩①②由②-①，得：（m -1）x =n -4，当m -1=0，n -4≠0，即m =1，n ≠4时，无解． （2）当m -1≠0，即m ≠1，n 取任意值，有唯一解． （3）当m -1=0，n -4=0时，即m =1，n =4时，有无数多解．23、关于x ,y 的二元一次方程组8328ax y k x y k +=-⎧⎨--=-⎩有无数组解，求参数a ,k 满足的条件；若方程组有唯一解，则参数a ,k 又需要满足什么条件？答案：当a =4，k =7时，有无数组解；当a ≠4时，方程组有唯一解．解答：当1a -=82-=38k k --时，方程组有无数组解， 解得a =4，k =7． 当1a -≠82-时，方程组有唯一解， 所以a ≠4时，方程组有唯一解．24、求k ，a 为何值时，关于x 、y 的方程组()4222kx y ak x y -=⎧⎨+-=-⎩的解满足：（1）有唯一一组解． （2）无解． （3）有无数组解．答案：（1）k ≠-1，a 取任意值． （2）k =-1，a ≠-1． （3）k =-1，a =-1． 解答：（1）唯一解：42k k +≠12--，即k ≠-1，a 取任意值． （2）无解：42k k +=12--≠2a-，即k =-1，a ≠-1． （3）无数解：42k k +=12--=2a-，即k =-1，a =-1．25、已知关于x ，y 的方程组1ax y ax y -=⎧⎨-=⎩．（1）当a ≠1时，解这个方程组． （2）若a =1，方程组的解的情况怎样？ （3）若a =1，方程组2ax y ax y -=⎧⎨-=⎩的解的情况怎样？答案：（1）10x y =⎧⎨=⎩．（2）方程组有无数多个解． （3）原方程组无解．解答：（1）两式相减，整理得（a-1）x=a-1，∵a≠1，∴x=1，y=0．∴方程组的解为10 xy=⎧⎨=⎩．（2）当a=1时，方程（a-1）x=a-1的解是一切实数，方程组有无数多个解．（3）方程组整理得（a-1）x=a-2，当a=1时，0≠-1，∴原方程组无解．。
七年级下-二元一次方程组的定义及解法
二元一次方程组的定义及解法知识集结知识元二元一次方程（组）的定义知识讲解1. 二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。
所以满足三个条件：①方程中有且只有两个未知数；②方程中含有未知数的项的次数为1；③方程为整式方程，就是二元一次方程。
注意：主要考查未知数的项的次数为1，方程必须为整式，不能为分式。
例：x=2y.2.二元一次方程组的定义：由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组。
注意三条：①方程组中有且只有两个未知数。
②方程组中含有未知数的项的次数为1。
③方程组中每个方程均为整式方程。
注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：①方程可以超过两个；②有的方程可以只有一元。
例题精讲二元一次方程（组）的定义例1.下列方程中，是二元一次方程的是（）.A．8x2+1=y B．y=8x+1C．y=D．xy=1例2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（）.C．D．A．B．例3.有下列方程组：（1）（2）（3）（4），其中说法正确的是（）.A．只有（1）、（3）是二元一次方程组B．只有（3）、（4）是二元一次方程组C．只有（4）是二元一次方程组D．只有（2）不是二元一次方程组根据定义求字母的值知识讲解含有参数的二元一次方程组，根据二元一次方程的定义：1.二元的系数不为零。
2.未知数的次数为1。
注意：出现在选择填空题时，可以不用解出方程，可以直接将m,n的值代入验证即可。
例题精讲根据定义求字母的值例1.已知3 =y是二元一次方程，那么k的值是（）.A．2B．3C．1D．0例2.若﹣8 =10是关于x，y的二元一次方程，则m+n=．例3.'若(a-3)x+=9是关于x，y的二元一次方程，求a的值。
'由实际问题抽象出二元一次方程组知识讲解分析实际问题，找出等量关系，列出实际问题.例题精讲由实际问题抽象出二元一次方程组例1.4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货，10辆板车和3车卡车一次能运货20吨，设每辆板车每次可运x吨货，每辆卡车每次能运y吨货，则可列方程组（）.A．B．C．D．例2.元旦期间，某服装商场按标价打折销售，小王去该商场买了两件衣服，第一件打6折，第二件打5折，共记230元，付款后，收银员发现两件衣服的标价牌换错了，又找给小王20元，请问两件衣服的原标价各是多少？解：设第一件衣服的原标价为x元，第二件衣服的原标价为y元；由题意可得方程组__________。
二元一次方程组
一、二元一次方程（组）与二元一次方程解定义1．若关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+3y＝6是二元一次方程，则k＝．【解答】﹣22．若x|2m﹣3|+（m﹣2）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的立方根是【解答】13．二元一次方程x+2y＝3的正整数解是．【解答】4．写出二元一次方程x+2y＝8的一组整数解：．【解答】（答案不唯一）5．由方程3x﹣2y﹣12＝0可得到用x表示y的式子是．【解答】y＝x﹣66．已知x﹣3y＝9，请用含x的代数式表示y，则y＝．【解答】x﹣37．已知二元一次方程2x﹣3y﹣5＝0的一组解为，则6b﹣4a+3＝．【解答】﹣78．若方程组是二元一次方程组，则a的值为．【解答】09．试写出一个以为解的二元一次方程组．【解答】．10．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a+b+c的值是．【解答】﹣2或﹣311．若＝＝1，将原方程组化为的形式为．【解答】12．观察下列方程组：①；②；③；…若第④方程组满足上述方程组的数字规律，则第④方程组为．【解答】13．当m＝时，关于x、y的方程组有无穷多解．【解答】414．若方程组的解是，其中y的值看不清楚了，则b的值是．【解答】二、解二元一次方程组与三元一次方程组（1）．【解答】（2）【解答】（3）；【解答】（4）【解答】（5）【解答】（6）【解答】．（7）【解答】（8）【解答】．（9）．【解答】（10）【解答】（11）【解答】（12）【解答】二．含参数方程组1．对有理数x、y规定运算⊕：x⊕y＝ax﹣by．已知1⊕7＝9，3⊕8＝14，求2a+5b的值．【解答】，所以2a+5b＝﹣1．2．若关于x，y的方程组的解为正数，当m为整数时，求的值．【解答】∴m＝4，∴＝＝5．3．k为正整数，已知关于x，y的二元一次方程组有整数解，求2k+x+y的平方根．【解答】2k+x+y的平方根＝±3．4．若实数x、y满足方程组，则代数式2x+2y﹣4的值是．【解答】45．已如是方程的解，则（a+b）（a﹣b）的值为．【解答】45．6．已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a+b＝．【解答】5．7．已知关于x，y的方程组的解为，则m＝．n＝．【解答】．8．若二元一次方程组的解为，则a+b的值为【解答】﹣1．9．如果方程组的解是方程7x+my＝16的一个解，则m的值为．【解答】2．10．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则（m﹣5）2019=．【解答】﹣1．．已知方程组的解满足12．如果方程组的解中x与y的值相等，那么a的值是．【解答】313．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足二元一次方程﹣y＝4，则m=．【解答】﹣12．方程组的解适合方程15. 已知方程组⎩⎨⎧=--=+1653652y x y x 和方程组⎩⎨⎧-=+-=-84ay bx by ax 的解相同，求代数式3a ＋7b 的值.16．已知方程组和方程组的解相同，则b ﹣2a 的值是 ．【解答】﹣3．17．若关于x 、y 的二元一次方程组和的解相同，求a 、b 的值．【解答】．18．若方程组与方程组的解相同，分别求a ，b 的值．【解答】a ＝﹣3，b ＝2．19．若关于x 、y 的方程组与有相同的解．（1）求这个相同的解； （2）求m 、n 的值．【解答】（1）；（2）．20．在解关于x 、y 的方程组时，可以用①×2﹣②消去未知数x ，也可以用①×4+②×3消去未知数y ，试求a 、b 的值．【解答】a ＝6，b ＝21．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得到解为，乙看错了方程组中的b ，而得到解为．（1）求正确的a ，b 的值；（2）求原方程组的解．【解答】（1）b ＝5a ＝4（2）22．小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方程组的系数看不清了，显示如下，同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解为”，而小红说：“我求出的解是，于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程中x 的系数所致”，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来．【解答】23．在解方程组时，哥哥正确地解得，弟弟因把c 写错而解得．求：（1）a +b +c 的值．（2）弟弟把c 写错成了什么数？【解答】（1）a +b +c ＝4+5+（﹣2）＝7．（2）c ＝﹣11．24．已知关于x，y的二元一次方程组．（1）若该方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是多少？（2）若y＜0，且m≤n，试求x的最小值．【解答】（1）；（2）x的最小值是5．25．阅读下列材料：小明同学遇到下列问题：解方程组，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看作一个数，把（2x﹣3y）看作一个数，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．这时原方程组化为解得把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．得解得所以，原方程组的解为请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：（1）解方程组（2）若方程组的解是，求方程组的解．【解答】（1）；（2）．26．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．解方程组解：由（1）﹣（2）得2x+2y＝2即x+y＝1（3）（3）×16得16x+16y＝16（4）（2）﹣（4）得x＝﹣1，从而可得y＝2∴方程组的解是．（1）请你仿上面的解法解方程组．【解答】（1）（2）．（2）猜测关于x、y的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证．27．如下是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系，若方程组从左至右依次记作方程组1，方程组2，方程组3，…，方程组n．方程组集合：，，，…对应方程组解的集合：，，，…．（1）方程组1的解为；（2）请依据方程组和它的解变化的规律，直接写出方程组n为，方程组n的解；（3）若方程组的解是，求a的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律．【解答】（1），（2）方程组n它的解是；（3）a＝5，即原方程组为所以该方程组符合（2）中的规律．28．已知：．（1）用x的代数式表示y；（2）如果x、y为自然数，那么x、y的值分别为多少？（3）如果x、y为整数，求（﹣2）x•4y的值．【解答】（1）y＝；（2）当x＝1时，y＝3；x＝3时，y＝2；x＝5时，y＝1；x＝7时，y＝0；（3）方程组整理得：x+2y＝m+2+5﹣m＝7，则原式＝（﹣2）x+2y＝（﹣2）7＝﹣128．29．当m，n都是实数，且满足2m＝8+n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”．（1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；（2）若点A（a，﹣4）、B（4，b）是“爱心点”，请判断A、B两点的中点C在第几象限？并说明理由；（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值．【解答】（1）A点为“爱心点”，B点不是“爱心点”；（2）A、B两点的中点C在第四象限（3）P＝0，q＝﹣．30．当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P（a﹣1，+1）为完美点．（1）判断点A（2，3）是否为完美点．（2）已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由．【解答】（1）A（2，3）不是完美点．（2）点B（x，y）是完美点．31．阅读材料：小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．解决问题：（1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是cm；（3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．【解答】（1）60；（2）20cm．（3）S阴影＝19×（7+3×3）﹣8×10×3＝64．。
如何证明一个二元一次方程有整数解
如何证明一个二元一次方程有整
数解
首先，我们要知道一个定理：如果方程 ax+by=c （其中
a,b,c 都是整数）有整数解，那么必须满足 a,b 的最大公约数能够整除 c。
这个定理可以用反证法来证明，即如果 a,b 的最大公约数不能整除 c，那么方程就没有整数解。
其次，我们要知道如何求出 a,b 的最大公约数。
一种常用的方法是辗转相除法，即用较大的数除以较小的数，得到余数，然后用较小的数除以余数，再得到新的余数，依此类推，直到余数为零为止。
最后一个非零的余数就是 a,b 的最大公约数。
最后，我们要知道如何求出方程的一个特解和所有的通解。
如果方程有整数解，那么一定存在一组整数 x0,y0 满足
ax0+by0=c。
这组整数可以用辗转相除法的逆过程来求出，即从最后一个非零的余数开始，逐步将其表示成 a,b 的线性组合。
然后，根据一个定理：如果方程 ax+by=c 有一组整数解x0,y0，那么它的所有整数解可以表示为 x=x0-b/g*t,
y=y0+a/g*t （其中 g 是 a,b 的最大公约数，t 是任意整数）。
这个定理也可以用代入法来证明，即将 x,y 的通解代入原方程，验证是否成立。
综上所述，我们可以用以下的步骤来证明一个二元一次方程有整数解：
1. 用辗转相除法求出 a,b 的最大公约数 g，并判断是否能够整除 c。
2. 如果 g 能够整除 c，则方程有整数解；否则没有。
3. 如果方程有整数解，则用辗转相除法的逆过程求出一个特解 x0,y0。
4. 根据通解公式求出所有的通解 x,y。
【暑假分层作业】第08练 二元一次方程组及其解法-2022年七年级数学(人教版)(答案及解析)
第08练二元一次方程组及其解法知识点一、二元一次方程：（1）二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．（3）二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．知识点二、二元一次方程组的定义：（1）二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．（2）二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．知识点三、二元一次方程组的解法：（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x （或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示．一、单选题1．方程组34225x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A．23xy=⎧⎨=⎩B．21xy=⎧⎨=-⎩C．11xy=⎧⎨=⎩D．11xy=⎧⎨=-⎩【答案】B【解析】【分析】由2x-y=5可得y=2x-5，将方程y=2x-5代入方程3x＋4y＝2进行求解，得到x的值，再将x 的值代入y=2x-5求解即可．【详解】解：由2x-y=5可得y=2x-5将方程y=2x-5代入方程3x＋4y＝2得：3x＋4（2x-5）＝2，解得：x＝2，将x＝2代入方程y=2x-5得：y=2×2-5=-1，∴该方程组的解为21x y =⎧⎨=-⎩故选：B ． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是能根据题目选择合适的消元方法进行计算．2．已知关于x ，y 的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为24x y =⎧⎨=⎩，则关于方程组111222(1)2(1)3(1)2(1)3a x b y c a x b y c ++-=⎧⎨++-=⎩的解为（ ） A ．57x y =⎧⎨=⎩B ．513x y =⎧⎨=⎩C ．13x y =⎧⎨=⎩D ．17x y =⎧⎨=⎩【答案】A 【解析】 【分析】将方程组变形，结合题意得出()()11232143x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即可求出x ，y 的值．【详解】解：方程组()()()()11122212131213a x b y c a x b y c ⎧++-=⎪⎨++-=⎪⎩变形为()()()()111222121133121133a x b y c a x b y c⎧++-=⎪⎪⎨⎪++-=⎪⎩，设()()113213x m y n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩则111222a m b n c a m b n c +=⎧⎨+=⎩，x 和y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是24x y =⎧⎨=⎩，∴24m n =⎧⎨=⎩，∴()()11232143x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解得57x y =⎧⎨=⎩，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．弄清题意是解本题的关键．3．若二元一次联立方程式2143221x yx y+=⎧⎨-+=⎩的解为,x a y b==，则a b+之值（）A．192B．212C．7 D．13【答案】D【解析】【分析】先求出二元一次方程组的解，然后代入代数式求解即可．【详解】解：解方程组214 3221x yx y+=⎧⎨-+=⎩得112 xy=⎧⎨=⎩因为二元一次方程组2143221x yx y+=⎧⎨-+=⎩的解为x ay b=⎧⎨=⎩，所以a=1，b=12，所以a+b=13．故选D．【点睛】题目主要考查解二元一次方程组，求代数式的值，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．4．已知关于x，y的方程组34754x yx y m+=⎧⎨-=⎩的解互为相反数，则m的值为（）A．63 B．7 C．－7 D．－63【答案】D【解析】【分析】根据相反数的定义得到x=-y，代入第一个方程求出x、y的值，再代入第二个方程求出m．【详解】解：∵方程组34754x yx y m+=⎧⎨-=⎩的解互为相反数，∴x=-y，∵3x +4y =7，∴-3y +4y =7，得y =7， ∴x =-7，∴m =5x -4y =-35-28=-63， 故选：D ． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组的解法，正确理解题意得到x=-y 是解题的关键．5．已知关于x ，y 的方程组1427x y ax y a +=+⎧⎨-=--⎩，则下列结论中正确的是：①当0a =时方程组的解是方程1x y +=的解；②当x y =时，52a =-；③当1y x =，则a 的值为1或3-；④不论a 取什么实数，3x y -的值始终不变．（ ） A ．①②③ B ．①②④C ．②③④D ．①③④【答案】B 【解析】 【分析】①把a 看作已知数表示出方程组的解，把0a =代入求出x 与y 的值，代入方程检验即可； ②令x y =求出a 的值，即可作出判断；③把x 与y 代入3x y -中计算得到结果，判断即可； ④令23x y =求出a 的值，判断即可． 【详解】解：1427x y a x y a +=+⎧⎨-=--⎩，据题意得：336x a =-， 解得：2=-x a ，把2=-x a 代入方程14x y a +=+得：33y a =+， 当0a =时，2x =-，3y =，把2x =-，3y =代入1x y +=得：左边231=-+=，右边1=， 所以2x =-，3y =是方程的解，故①正确； 当x y =时，233a a -=+， 即52a =-，故②正确；当1y x =时，()3321a a +-=，即1a =±或3，故③错误336339x y a a -=---=-，无论a 为什么实数，3x y -的值始终不变为-9，故④正确．∴正确的结论是：①②④，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．如果32x y =⎧⎨=-⎩是方程组15ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a 2008+2b 2008的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】将方程组的解代入方程组可得关于a 、b 的二元一次方程组321325a b a b -=⎧⎨+=⎩，再求解方程组即可求解． 【详解】解：∵32x y =⎧⎨=-⎩是方程组15ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，∴321325a b a b -=⎧⎨+=⎩①②，①＋②得，a ＝1， 将a ＝1代入①得，b ＝1， ∴a 2008＋2b 2008＝1＋2＝3， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．二、填空题7．对于实数,x y ，规定新运算：1x y ax by *=+-，其中,a b 是常数．若124*=，()2*310-=，则a b *= ___________． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据题意得到关于a 、b 的二元一次方程组21423110a b a b +-=⎧⎨-+-=⎩，求出a 、b 的值，然后根据221a b a b *=+-进行求解即可． 【详解】解：由题意得：21423110a b a b +-=⎧⎨-+-=⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩，∴()222211319a b a b *=+-=-+-=， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，正确理解题意求出a 、b 的值是解题的关键．8．若x ＝a ，y ＝b 是方程组342,25x y x y +=⎧⎨-=⎩的解，则22a b -=______．【答案】3 【解析】 【分析】先解方程组求出x 和y 的值，然后代入计算即可． 【详解】解：34225x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①+②×4，得 11x =22， ∴x =2． 把代入②，得 4-y =5， ∴y =-1，∵x ＝a ，y ＝b 是方程组342,25x y x y +=⎧⎨-=⎩的解，∴a =2，b =-1， ∴22a b -=4-1=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式． 9．若()22x y -与25x y +-互为相反数，则()2021x y -=______．【答案】1- 【解析】 【分析】由题意，得到()22250x y x y -++-=，然后利用非负数的性质，求出x 、y 的值，再代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵()22x y -与|25|x y +-互为相反数， ∴()22250x y x y -++-=， ∴20x y -=，250x y +-=，联合两个方程，解得12x y =⎧⎨=⎩，∴()20212021 (12)1x y -=-=-故答案为：-1． 【点睛】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，解题的关键是熟练运用非负数的性质进行解题． 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（0m >，0n >），得到正方形A B C D ''''及其内部的点，其中点A ，B 的对应点分别为A '，B '，则=a ______，m =______，n =______．若正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F '与点F 重合，则点F 的坐标为______．【答案】12，12，2，（1，4） 【解析】 【分析】首先根据点A 到A '，B 到B '的点的坐标可得方程组3102a m a n -+=-⎧⎨⨯+=⎩，3202a m a n +=⎧⎨⨯+=⎩，解可得a 、m 、n 的值，设F 点的坐标为(x ，y )，点F '、点F 重合可列出方程组，再解可得F 点坐标． 【详解】解：将点A (-3，0)的横、纵坐标都乘以实数a ，再将得到的点向右平移m 个单位，向上平移n 个单位后的坐标为：（- 3a + m ， n ）， 又知点A '的坐标为（-1，2）， ∴3102a m a n -+=-⎧⎨⨯+=⎩①， 解得2n =，将点B (3，0)的横、纵坐标都乘以实数a ，再将得到的点向右平移m 个单位，向上平移n 个单位后的坐标为：（3a + m ，n ）， 又知点B '的坐标为（2，2）， ∴3202a m a n +=⎧⎨⨯+=⎩②，①+②得：2m = 1， 解得12m =，将12m =代入②得：1322a +=，解得12a =， ∴正方形进行的操作为：把每个点的横、纵坐标都乘以实数12，再将得到的点向右平移12个单位，向上平移2个单位，设点F 的坐标为（x ，y ），依题意得1122122x y y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩，∴点F 的坐标为（1，4）． 故答案为：12，12，2，（1，4）． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，根据点的坐标列出方程组． 11．对于x 、y 定义一种新运算“※”：x y ax by =+※，其中a 、b 为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算，已知5227=※，3419=※，那么23=※_______． 【答案】13 【解析】 【分析】利用题中的新定义化简已知等式求出a 与b 的值，即可确定出所求． 【详解】解：根据题中的新定义得：52273419a b a b +=⎧⎨+=⎩①②，①×2﹣②得：7a =35， 解得：a =5，把a =5代入①得：b =1， 则23=※2×5+3×1=13． 故答案为13． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．12．已知关于x ，y 的二元一次方程组3226x y kx y k +=⎧⎨-=+⎩有下列说法：①当x 与y 相等时，解得k ＝﹣4；②当x 与y 互为相反数时，解得k ＝3；③若4x •8y ＝32，则k ＝11；④无论k 为何值，x 与y 的值一定满足关系式x ＋5y ＋12＝0，其中正确的序号是_____． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据x ＝y 列出方程，求出a 即可判断；②根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出a 即可判断；③把底数统一化成a ，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x ，y 的方程，把方程组的解代入求出a ；④在原方程中，我们消去a ，即可得到x ，y 的关系． 【详解】解：3226x y k x y k +=⎧⎨-=+⎩①②，由②得：x ＝2y +k +6③， 把③代入①中，得：y ＝187k --④，把④代入③中，得：x ＝567k +，∴原方程组的解为567187k x k y +⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩．①当x 与y 相等时，x ＝y ， 即567k +＝187k --，解得：k ＝﹣4，∴①正确；②∵方程的两根互为相反数，∴x +y ＝0， 即567k ++187k --＝0，解得：k ＝3，∴②正确；③4x •8y ＝32，∴（22）x •（23）y ＝25，∴22x •23y ＝25，∴22x +3y ＝25，∴2x +3y ＝5，将方程组的解代入得： 2×567k ++3×187k --＝5，解得：k ＝11，∴③正确；④3226x y k x y k +=⎧⎨-=+⎩①②，①﹣②×2得x +5y ＝﹣12，即x +5y +12＝0．∴④正确．综上所述，①②③④都正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握用加减法求解二元一次方程组是解题的关键．三、解答题13．解二元一次方程组：3324x y x y -=⎧⎨+=⎩． 【答案】21x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】利用加减消元法即可求解．【详解】3324x y x y -=⎧⎨+=⎩①②， ①×2+②得：5x =10，解得x =2；将x =2代入①中，得y =-1,∴方程组的解为：21x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组的知识，掌握加减消元法、代入消元法是解答本题的关键． 14．解方程组：(1)11912435x y x y -=⎧⎨-+=-⎩(2)()()22341312x y x y y ⎧+=⎪⎨⎪--=--⎩【答案】(1)373x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(2)23x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】利用两个整式加减消元或者代入消元来解二元一次方程组；(1)11912435x y x y -=⎧⎨-+=-⎩①②②式×3+①式得，x =3，将x =3，代入①式得，y =73， 故方程组的解为373x y =⎧⎪⎨=⎪⎩； (2)()()22341312x y x y y ⎧+=⎪⎨⎪--=--⎩①② ②式化简后得，4x -y =5 ③，①式×3+③式得，x =2，将x =2代入①得，y =3，故方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握整式加减消元或代入消元是解题的关键． 15．北京冬奥会、冬残奥会期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，为双奥的成功举办做出巨大贡献．同时，“绿色办奥”是北京冬奥会、冬残奥会四大办奥理念之一．期间，节能与清洁能源车辆占全部赛事保障车辆的84.9%，为历届冬奥会最高．冬奥会开幕式当天，北京大学组织本校全体参与开幕式活动的志愿者统一乘车去国家体育场鸟巢，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．(1)计划调配36座新能源客车多少辆？北京大学共有多少名志愿者？(2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？【答案】(1)计划调配36座新能源客车6辆，北京大学共有218名志愿者；(2)调配36座新能源客车3辆，调配22座新能源客车5辆．【解析】【分析】（1）根据题意，找到等量关系式，列一元一次方程求解即可；（2）由（1）得，志愿者有218人，根据题意，列二元一次方程，找整数解即可．(1)解：设计划调配36座新能源客车x 辆，则调配22座新能源客车（x +4）辆，由题意，得36x +2=22（x +4）-2解得x=6则志愿者的人数为：36x+2=36×6+2=218答：计划调配36座新能源客车6辆，北京大学共有218名志愿者．(2)解：设调配36座新能源客车a辆，则调配22座新能源客车b辆，由题意，得36a+22b=218∴18a+11b=109∵a，b为正整数∴当a=3，b=5时，既保证每人有座，又保证每车不空座答：调配36座新能源客车3辆，调配22座新能源客车5辆．【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的实际应用，根据题意找到等量关系式是解决问题的关键．16．将1到2021之间的所有奇数按顺序排成下图：记Pmn表示第m行第n个数，如P23表示第2行第3个数是17．(1)P45＝；(2)若Pmn＝2021，则m＝，n＝；(3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体（“T”字）并平移，所覆盖的4个数之和能否等于200若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由．【答案】(1)45；(2)169，3；(3)覆盖的4个数之和能等于200【解析】【分析】（1）根据题意可知P45表示第4行第5个数，每行都有6个数，所有的数字都是奇数，然后即可计算出相应的值；（2）根据题意，可以得到2[6（m﹣1）+n]﹣1＝2021，然后m为整数，1≤n≤6，即可得到m、n的值；（3）先判断，然后设4个阴影格子中的数分别为2n﹣3、2n﹣1、2n+1、2n+11，即可列出相应的方程，然后求解即可说明理由．(1)解：（1）由题意可得，P 45＝2×（6×3+5）﹣1＝45， 故答案为：45；(2)解：∵Pmn ＝2021，∴2[6（m ﹣1）+n ]﹣1＝2021，∴12m +2n ﹣13＝2021，∵m 为正整数，1≤n ≤6，∴m ＝169，n ＝3，故答案为：169，3；(3)解：所覆盖的4个数之和能等于200，理由：设4个阴影格子中的数分别为2n ﹣3、2n ﹣1、2n +1、2n +11，由题意可得（2n ﹣3）+（2n ﹣1）+（2n +1）+（2n +11）＝200，解得：n ＝24，∴所覆盖的4个数之和能等于200．【点睛】此题考查了数字类规律的运算，有理数的混合运算，解一元一次方程，正确理解数字的排列规律并应用是解题的关键．17．对于任意的实数x ，y ，规定运算“※”如下：x y ax by =+※．(1)当3a =，4b =时，求12-※（）的值； (2)若5316=※，232-=-※（），求a 与b 的值．【答案】(1)-5(2)a 的值为2，b 的值为2【解析】【分析】（1）根据规定运算“※”，进行计算即可解答；（2）根据题意可得关于a ，b 的二元一次方程组，然后进行计算即可解答．(1)当a =3，b =4时，∴1※（-2）=3×1+4×（-2）=-5，∴1※（-2）的值为-5；(2)∵5※3=16，2※（-3）=-2，∴5316232a b a b +⎧⎨--⎩＝①＝②， ①+②得：2a +5a=14解得a =2，把a =2代入①得：10+3b =16，解得b =2，∴原方程组的解为22a b ⎧⎨⎩＝＝， ∴a 的值为2，b 的值为2．【点睛】本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程的步骤，以及理解材料中规定的运算是解题的关键．18．备解二元一次方程组4*8x y x y -=⎧⎨+=⎩，现系数“*”印刷不清楚． (1)李宁同学把“*”当成3，请你帮助李宁解二元一次方程组438x y x y -=⎧⎨+=⎩； (2)数学老师说：“你猜错了”，该题标准答案的结果x 、y 是一对相反数，你知道原题中“*”是 ．【答案】(1)31x y ==-⎧⎨⎩(2)5【解析】【分析】（1）将方程组中的两个方程相加消掉未知数y ，得到x 的一元一次方程，求出x 的值，把x 的值代入第一个方程，求出y 的值，即得方程组的解；（2）用x -y =4与x +y =0组成方程组，求出x 、y 的值，把x 、y 的值代入*x +y =8，求出*的值．(1)438x y x y -=⎧⎨+=⎩①②， ①+②得，4x =12，把x =3代入①，得，3-y =4，∴y =-1，∴31x y ==-⎧⎨⎩； (2)04x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， ①+②，得，2x =4，∴x =2，把x =2代入①，得，2+y =0，∴y =-2，∴22x y =⎧⎨=-⎩， ∴228*-=，∴5*=．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解的定义，运用加减消元法解二元一次方程组，是解决问题的关键．1．定义新运算：对于任意实数a ，b 都有a ※b ＝am －bn ，等式右边是通常的减法和乘法运算．若3※2＝5，1※（－2）＝－1，则（－3）※1的值为（ ）A ．－2B ．－4C ．－7D ．－11 【答案】A【解析】【分析】按照定义新运算的法则，先求出m 和n 的值，再把算式转化为有理数运算即可．解：根据题意，3※2＝5，1※（－2）＝－1，得，32521m n m n -=⎧⎨+=-⎩， 解得，11m n =⎧⎨=-⎩， 则（－3）※1=（-3）×1-1×（-1）=-2，故选：A ．【点睛】本题考查了定义新运算，二元一次方程组和有理数混合计算，解题关键是根据定义新运算法则把两个等式转化为二元一次方程组，求出m 、n 的值．2．已知关于x ，y 的方程组25241x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩给出下列结论：正确的有_____．（填序号） ①当1a =时，方程组的解也是21x y a +=+的解；②无论a 取何值，x ，y 的值不可能是互为相反数；③x ，y 都为正整数的解有3对【答案】①②【解析】【分析】①将a=1代入方程组的解，求出方程组的解，即可做出判断；②将a 看做已知数求出方程组的解表示出x 与y ，即可做出判断；③将a 看做已知数求出方程组的解表示出x 与y ，即可判断正整数解；【详解】解关于x ，y 的方程组25241x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩得2122x a y a =+⎧⎨=-⎩①当1a =时，原方程组的解是30x y =⎧⎨=⎩，此时30x y =⎧⎨=⎩是213x y a +=+=的解，故①正确； ②原方程组的解是2122x a y a =+⎧⎨=-⎩，∴30x y +=≠，即无论a 取何值，x ，y 的值不可能是互为相反数，故②正确；③x ，y 都为正整数，则210220x a y a =+>⎧⎨=->⎩，解得112a -<<，正整数解分别是当10,2a a ==时，故只有两组，故③错误；故答案为①②【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．3．阅读以下内容：已知有理数m，n满足m+n＝3，且3274232m n km n+=-⎧⎨+=-⎩求k的值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：甲同学：先解关于m，n的方程组3274232m n km n+=-⎧⎨+=-⎩，再求k的值；乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；丙同学：先解方程组3232m nm n+=⎧⎨+=-⎩，再求k的值．（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；（2）在解关于x，y的方程组()()11821a x byb x ay⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩①②时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．【答案】（1）见解析；（2）a和b的值分别为2，5．【解析】【分析】（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可；（2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可．【详解】解：（1）选择甲，3274232m n km n+=-⎧⎨+=-⎩①②，①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8，解得：m＝2185k-，②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k，解得：n＝2145k-，代入m+n＝3得：21821455k k--+＝3，去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15，移项合并得：7k＝21，解得：k＝3；选择乙，3274232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩①②， ①+②得：5m +5n ＝7k ﹣6，解得：m +n ＝7-65k ， 代入m +n ＝3得：7-65k ＝3， 去分母得：7k ﹣6＝15，解得：k ＝3；选择丙，联立得：3232m n m n +=⎧⎨+=-⎩①②， ①×3﹣②得：m ＝11，把m ＝11代入①得：n ＝﹣8，代入3m +2n ＝7k ﹣4得：33﹣16＝7k ﹣4，解得：k ＝3；（2）根据题意得：1327a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：52b a =⎧⎨=⎩， 检验符合题意，则a 和b 的值分别为2，5．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．4．[阅读材料]善于思考的小明在解方程组253(1)4115(2)x y x y +=⎧⎨+=⎩时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程(2)变形：4105x y y ++=，即()2255(3)x y y ++=，把方程(1)代入(3)得：235y ⨯+=，所以1y =-，将1y =-代入(1)得4x =，所以原方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩．21 [解决问题]（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组3259419x y x y -=⎧⎨-=⎩， （2）已知x ，y 满足方程组2222321250425x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩，求224x y +的值． 【答案】（1）原方程组的解为32x y =⎧⎨=⎩；（2）22420x y += 【解析】【分析】（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案；（2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案．【详解】解：()13259419x y x y -=⎧⎨-=⎩①② 将方程②变形得:()332219x y y -+=③把方程①代入③得:35219y ⨯+=，所以2,y =将2y =代入①得3x =，所以原方程组的解为32x y =⎧⎨=⎩； ()22222321250425x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩①②， 把方程①变形，得到223(4)550x xy y xy ++-=③，然后把②代入③，得325550xy ⨯-=，∴5xy =，∴22425520x y +=-=；【点睛】本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个未知数．。
专题24 二元一次方程组有整数解(学生版)
专题24 二元一次方程组有整数解【最基础最核心】1．关于,x y的二元一次方程组2420x myx y+=⎧⎨-=⎩有正整数解,则满足条件的整数m的值有（）个A．1B．2C．3D．42．若关于x，y的方程组271ax yx y+=⎧⎨-=⎩有非负整数解，则满足条件的所有整数a值的和为（）A．﹣12B．7C．8D．133．已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组210320mx yx y+=⎧⎨-=⎩有整数解，则2m的值为（）A．4B．1C．49D．4或494．已知m为整数，二元一次方程组436626x yx my-=⎧⎨+=⎩有整数解，则m的值为（）A．4 或﹣4或﹣5B．4 或﹣4或﹣13C．4 或﹣5或﹣13D．4 或﹣4或﹣5或﹣135．若关于x，y的方程组322x yx y a+=⎧⎨-=-⎩的解是正整数，则整数a的值是_____．6．关于x，y的二元一次方程组5323x yx y a+=⎧⎨+=⎩的解是正整数，试确定整数a的值为_________________.7．若关于x，y的方程组362x yx my+=⎧⎨+=-⎩①②有整数解（即x，y均为整数），则满足条件的所有负整数m的值为_____．8．已知关于x，y的方程组322(1)tx yx t y t+=⎧⎨+-=⎩，当正整数t=_____时，方程组有整数解．【能力提升】9．a取何值时(a为整数），方程组2420x ayx y+=⎧⎨-=⎩的解是正整数，并求这个方程组的解．10．方程组1327x yx y+=-⎧-=⎨⎩的解满足210(x ky k-=是常数)，()1求k的值．()2直接写出关于x，y的方程()1213k x y-+=的正整数解11．k 为正整数，已知关于x ，y 的二元一次方程组 210{320kx y x y +=-=有整数解，求2k +x +y 的平方根．【乘风破浪拓展冲刺】12．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到对应点C ，D ，连接AC ，BD ．（1）求出点C ，D 的坐标；（2）设y 轴上一点P （0，m ），m 为整数，使关于x ，y 的二元一次方程组mx 2y 23x 2y 0+=-⎧⎨-=⎩有正整数解，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若Q 点在线段CD 上，横坐标为n ，△PBQ 的面积S △PBQ 的值不小于0.6且不大于4，求n 的取值范围．13．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2312x y +=有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由2312x y +=，得：1222433x y x -==-（x 、y 为正整数）．要使243y x =-为正整数，则23x 为正整数，可知：x 为3的倍数，从而3x =，代入2423y x =-=．所以2312x y +=的正整数解为32x y =⎧⎨=⎩．问题： （1）请你直接写出方程328x y +=的正整数解___________．（2）若63x -为自然数，则求出满足条件的正整数x 的值． （3）关于x ，y 的二元一次方程组29210x y x ky +=⎧⎨+=⎩的解是正整数，求整数k 的值．天仰2020创作文档3。
二元一次方程组整数解的步骤
二元一次方程组整数解的步骤嘿，朋友们！今天咱就来讲讲二元一次方程组整数解的那些事儿。
咱先说说啥是二元一次方程组哈，就好比有两个小伙伴，一个叫x，一个叫 y，它们俩之间有着一些特别的关系，这些关系用等式写出来，就是二元一次方程组啦。
那怎么找到它们的整数解呢？这就好比是在一个大迷宫里找出口。
首先呢，咱得把方程组整理得清清楚楚，明明白白的。
就像整理自己的房间一样，把东西都归置好。
然后呢，咱可以用一些巧妙的方法。
比如说，替换法！把一个式子中的某个变量用另一个式子表示出来，这就像给其中一个小伙伴穿上了特定的衣服，让它变得特别好认。
还有加减消元法呢，这就好像把两个小伙伴放在一起比较，通过加加减减，让一些东西消失，留下我们想要的信息。
在这个过程中啊，可得细心再细心，就像走钢丝一样，稍微不注意可能就掉下去啦。
咱得仔细观察每个式子的特点，找到最合适的方法去解开这个谜团。
举个例子哈，比如说有个方程组是这样的：x + 2y = 5，2x - y = 1。
那我们就可以先用替换法，从第一个式子中解出 x = 5 - 2y，然后把这个 x 代入到第二个式子中，这不就找到关系啦！找到了解之后，咱还得看看是不是整数解呀。
这就好比是检查礼物是不是完好无损的，要是有个边边角角坏了，那可不行。
有时候可能找起来不那么容易，就像在大海里捞针一样，但咱可不能放弃呀。
咱得像探险家一样，充满好奇和勇气，一点点去探索，去发现。
哎呀，你说这找二元一次方程组整数解是不是很有意思呀？就像一场刺激的冒险！虽然可能会遇到困难，但当我们终于找到那个正确的整数解时，那种成就感，简直无与伦比！所以呀，大家可别害怕，大胆地去尝试，去探索，相信你们一定能找到那些隐藏在方程组里的整数解宝藏！加油哦！。
贝祖定理二元一次方程有整数解
贝祖定理二元一次方程有整数解贝祖定理（Bézout's identity）是一个数学定理，它涉及到两个整数的最大公约数（GCD）和线性组合。
这个定理说明了两个整数的最大公约数与它们的一次线性组合的最大公约数之间的关系。
这个定理在许多数学领域中都有应用，包括代数、数论和几何等领域。
对于二元一次方程，贝祖定理的应用主要体现在求解整数解方面。
具体来说，如果二元一次方程组中的两个方程分别表示为ax + by = d 和cx + dy = e，其中a、b、c、d、e和f是整数，并且d和e的最大公约数为1，那么这个方程组有整数解。
证明过程如下：第一步，根据贝祖定理，如果两个整数d和e的最大公约数为1，那么存在整数x和y，使得dx + ey = 1。
第二步，将这个结果代入原方程组中，得到：1.(ad)x + (be)y = d2.(ac)x + (bc)y = e第三步，由于ad和be的最大公约数为1（根据第一步），所以存在整数k和l，使得adk + bele = 1。
因此，我们可以得到：k(adx + bey) + l(acx + bcy) = d + e第四步，由于d和e的最大公约数为1，所以d + e一定是d和e 的倍数。
因此，我们可以将上式化简为：(akdx + bly) + (alcx + bcy) = d(kx + ly) + e(lx + cy) = de * (kx/d + ly/d) + e * (lx/e + cy/e)第五步，根据线性组合的性质，我们可以得到kx/d + ly/d和lx/e + cy/e均为整数。
因此，方程组有整数解。
综上所述，如果二元一次方程组中的两个方程分别表示为ax + by = d和cx + dy = e，其中a、b、c、d、e和f是整数，并且d和e的最大公约数为1，那么这个方程组有整数解。
这个结论可以应用于解决实际问题的过程中，例如在计算机科学、工程学和物理学等领域中。
二元一次方程的整数解专题讲解
二元一次方程的整数解专题讲解甲内容提要1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。
即 如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解显然a,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。
2， 二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。
k 叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x=5111y -=y yy y 2515101--=-- (1) , 设k k y(51=-是整数），则y=1-5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=ky k x 51211（k 是整数）方法二，公式法：设ax+by=c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bkx x 00（x 0,y 0可用观察法）3， 求二元一次方程的正整数解：① 出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值 ② 用观察法直接写出。
乙例题例1求方程5x －9y=18整数解的能通解解x=53235310155918yy y y y -++=-++=+ 设k y =-53（k 为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k ∴原方程整数解是⎩⎨⎧-=-=k y kx 5399 （k 为整数）又解：当x=o 时，y=－2，∴方程有一个整数解⎩⎨⎧-==20y x 它的通解是⎩⎨⎧--=-=ky yx 5290（k 为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法一、目标认知学习目标：1．了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义；2．会检验一组数是不是某个二元一次方程组的解；3．会用代入法和加减法解二元一次方程组，了解代入消元法和加减消元法的基本思想；4．能够根据题目特点熟练选用代入法或加减法解二元一次方程组；5．能借助二元一次方程组解决一些实际问题，使用代数方法去反应现实生活中的等量关系，体会代数方法的优越性.重点：二元一次方程组的解法.难点：熟练运用代入法和加减法解二元一次方程组.二、知识要点梳理知识点一：二元一次方程的概念含有两个未知数(一般设为x、y)，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 如x＋y＝24，都是二元一次方程.要点诠释：(1)在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.(2)“未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1. 如xy的次数是2，所以方程6xy＋9＝0不是二元一次方程.(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 如方程的左边不是整式，所以它就不是二元一次方程.(4)判断某个方程是不是二元一次方程，一般先把它化为ax＋by＋c＝0的形式，再根据定义判断，例如：2x＋4y＝3＋2x不是二元一次方程，因为通过移项，原方程变为4y＝3，不符合二元一次方程的形式。
知识点二：二元一次方程的解能使二元一次方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
由于使二元一次方程的左右两边相等的未知数的值不只一个，故每个二元一次方程都有无数组解。
如，，，……，都是二元一次方程x＋y＝3的解，我们把有无数组解的这样的方程又称之为不定方程。
要点诠释：(1)使二元一次方程左右两边都相等的两个未知数的值(二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值),即二元一次方程的解都要用“{”联立起来，如,是二元一次方程x ＋y＝2的解。
【常考压轴题】专题10 二元一次方程组特殊解的三种考法(解析版)八年级数学上册压轴题攻略
专题10二元一次方程组特殊解的三种考法类型一、整数解的问题【变式训练1】当整数=a ______时，关于x ，y 的方程组20x y +=⎧⎨-=⎩①②有正整数解．【答案】3,2,0,4,12--【详解】解：21620x ay x y +=⎧⎨-=⎩①②由②得：2x y =③，把③代入①得：416,y ay +=解得：16,4y a=+y 为正整数，a 为整数，3a ∴=-或2a =-或0a =或4a =或12,a =此时3224x y a ==+也为整数，故答案为：3,2,0,4,12--【变式训练3】若m 是整数，关于x 、y 的二元一次方程组320x y ⎧⎨-=⎩的解是整数，则满足条件的所有m 的值的和为______．【答案】-12【详解】解：解方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩，解得103153x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∵二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩的解是整数，∴m +3是10的因数，也是15的因数，∴m +3=±5或m +3=±1，∴m =2，-2，-4或-8，∴满足条件的所有m 的值的和为2-2-4-8=-12，故答案为：-12．例1.若x ，y 满足二元一次方程组521122x y x y +=⎧⎨-=⎩，则x y +的值为______．【答案】3【详解】解：521122x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，由①-②得：339x y +=，即()39x y +=，∴3x y +=．故答案为：3例2.已知关于x ，y 的方程组ax by kex dy h +=⎧⎨+=⎩的解为31x y =⎧⎨=-⎩，则关于m ，n 的方程组()()()()a m n b m n ke m n d m n h ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩的解为（）A ．12m n =-⎧⎨=⎩B ．12m n =-⎧⎨=-⎩C ．12m n =⎧⎨=⎩D ．12m n =⎧⎨=-⎩【答案】D【分析】由于两个方程的形式相同、常数和对应项的系数都相同，所以两个方程组的解相同．根据解相同，可得含m 、n 的二元一次方程组，求解即可．【详解】解： 方程组ax by kex dy h +=⎧⎨+=⎩的解为31x y =⎧⎨=-⎩，∴方程组()()()()a m n b m n k e m n d m n h ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩的解为31m n m n -=⎧⎨+=-⎩．解方程组31m n m n -=⎧⎨+=-⎩得12m n =⎧⎨=-⎩．故选：D ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，根据两个方程组的特点，得到解间关系是解决本题的关键．另解决本题亦可先把解代入第一个方程组求出a 、b 的值，再把a 、b 的值代入第二个方程组，求解关于m 、n 的方程组后得结论．【变式训练1】已知关于x ，y 的二元一次方程组的解243x m y m+=⎧⎨-=⎩满足23x y -=，则m 的值是（）A ．2B ．－2C ．1D ．－1【答案】D 【解析】243x m y m +=⎧⎨-=⎩①②用①-②，得：()234x m y m +--=-，即212x y m -=-又∵23x y -=，∴12=3m -，解得：=1m -故选：D ．【变式训练3】已知关于x ，y 的二元一次方程组111222a x b y c ⎧⎨+=⎩的解为3y =⎧⎨=⎩，则关于x ，y的方程组()()()()1112222022202220222022a x b y c a x b y c ⎧++-=⎪⎨++-=⎪⎩的解是（）A ．20242019x y =⎧⎨=-⎩B ．20242025x y =⎧⎨=⎩C ．20202019x y =-⎧⎨=-⎩D ．20202025x y =-⎧⎨=⎩【答案】D【详解】解：∵关于x ，y 的二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为23x y =⎧⎨=⎩，()()()()1112222022202220222022a x b y c a x b y c ⎧++-=⎪⎨++-=⎪⎩，∴2022220223x y +=⎧⎨-=⎩，∴20202025x y =-⎧⎨=⎩，故选D ．类型三、看错解问题例．甲、乙两人求二元一次方程1ax by -=的整数解，甲正确地求出一组解为11x y =⎧⎨=-⎩，乙把看成7ax by -=，求得一组解为12x y =⎧⎨=⎩，则a ，b 的值为（）A ．32a b =-⎧⎨=⎩B ．52a b =⎧⎨=⎩C ．32a b =⎧⎨=-⎩D ．53a b =⎧⎨=⎩【答案】C【分析】将方程的解代入对应方程，组成新的方程组解方程即可．【详解】解：由题意可得，A ．22a b =⎧⎨=⎩B ．22x y =⎧⎨=⎩C ．23x y =-⎧⎨=-⎩D ．21x y =⎧⎨=⎩【答案】C【分析】根据题意，把21x y =⎧⎨=⎩代入方程2822ax by x by +=⎧⎨=+⎩，求出a b 、的值，再把a b 、的值代入2822ax by x by -=⎧⎨=+⎩①②，进行计算，即可得出结果．【详解】解：∵小明由于将方程①的“-”，看成了“+”，因而得到的解为21x y =⎧⎨=⎩，∴方程2822ax by x by +=⎧⎨=+⎩的解为21x y =⎧⎨=⎩，∴把21x y =⎧⎨=⎩代入方程2822ax by x by +=⎧⎨=+⎩，可得：22842a b b +=⎧⎨=+⎩③④，由④，可得：2b =，把2b =代入③，可得：2a =，∴方程的解为：22a b =⎧⎨=⎩，∴把22a b =⎧⎨=⎩代入2822ax by x by -=⎧⎨=+⎩①②，可得：248222x y x y -=⎧⎨=+⎩⑤⑥，由⑥代入⑤，可得=3y -，把=3y -代入⑥，可得：2x =-，∴方程的解为23x y =-⎧⎨=-⎩．故选：C【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，解本题的关键在理解题意，正确求出a b 、的值．3．若二元一次方程组232x y m x y m +=+⎧⎨+=⎩的解x ，y 的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m 的值为（）A ．4B ．1.5或2C ．2D ．4或2【答案】C6．解答题：解方程组323538303336x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时，由于x ，y 的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：①-②得222x y +=，所以1x y +=③，③35⨯-①得33x =-，解得=1x -，从而2y =，所以原方程组的解是12x y =-⎧⎨=⎩．请你运用上述方法解方程组：201620182020201920212023x y x y +=⎧⎨+=⎩．【答案】12x y =-⎧⎨=⎩【分析】仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解．【详解】解：201620182020201920212023x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，-②①得：333x y +=，∴1x y +=③，③2018⨯-①得：22x =-，解得：=1x -，将=1x -代入③得：2y =，∴原方程组的解为12x y =-⎧⎨=⎩．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消元法．7．解关于x ，y 的二元一次方程组932ax by x cy +=⎧⎨-=⎩时，小刚因为把c 抄错了，误解为41x y =⎧⎨=-⎩已知该方程组正确的解为2,4x y =⎧⎨=⎩，求a 、b 的值．【答案】 2.51a b =⎧⎨=⎩【分析】由题意，把41x y =⎧⎨=-⎩与24x y =⎧⎨=⎩都代入方程9ax by +=中，求解即可．【详解】解：把41xy=⎧⎨=-⎩与24xy=⎧⎨=⎩都代入方程9ax by+=中，得方程组：49 249 a ba b-=⎧⎨+=⎩，解得：2.51ab=⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键．。
专题09 —二元一次方程组篇(解析版)
专题09 二元一次方程组考点一：二元一次方程组之相关概念：1. 二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程。
2. 二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程组合在一起，就组成一个二元一次方程组。
3. 二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边成立的两个未知数的值叫做二元一次方程的一组解。
对于给定其中一个未知数的值总能求出另一个未知数的值。
所以二元一次方程的解成对出现，且无数对。
4. 二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解。
叫做二元一次方程组的解。
1．（2022•雅安）已知⎩⎨⎧==21yx是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 ．【分析】把x与y的值代入方程计算得到a+2b的值，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：把代入ax+by＝3得：a+2b＝3，则原式＝2（a+2b）﹣5＝2×3﹣5＝6﹣5＝1．故答案为：1．2．（2021•凉山州）已知⎩⎨⎧==31yx是方程ax+y＝2的解，则a的值为 ．【分析】把方程的解代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：把代入到方程中得：a+3＝2，∴a ＝﹣1，故答案为：﹣1．3．（2021•金华）已知⎩⎨⎧==my x 2是方程3x +2y ＝10的一个解，则m 的值是 ．【分析】把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于m 的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：把代入方程得：3×2+2m ＝10，∴m ＝2，故答案为：2．4．（2021•浙江）已知二元一次方程x +3y ＝14，请写出该方程的一组整数解 ．【分析】把y 看作已知数求出x ，确定出整数解即可．【解答】解：x +3y ＝14，x ＝14﹣3y ，当y ＝1时，x ＝11，则方程的一组整数解为．故答案为：（答案不唯一）．5．（2021•台湾）若二元一次联立方程式⎩⎨⎧=-=1064x y y x 的解为x ＝a，y ＝b ，则a +b 之值为何？（ ）A ．﹣15B ．﹣3C ．5D ．25【分析】运用加减消元法求出方程组的解，即可得到a ，b 的值，再求a +b 即可．【解答】解：，①+②得：6y ＝4y +10，∴y ＝5，把y ＝5代入①得：x ＝20，∴a +b ＝x +y ＝20+5＝25，故选：D ．6．（2021•无锡）若x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=-=-24732y x y x ，则x +y ＝ ．【分析】把方程组的两个方程的左右两边分别相减，求出x +y 的值即可．【解答】解：，①﹣②，可得：（2x ﹣3y ）﹣（x ﹣4y ）＝7﹣2，∴x +y ＝5．故答案为：5．7．（2021•遵义）已知x ，y 满足的方程组是⎩⎨⎧=+=+73222y x y x ，则x +y 的值为 ．【分析】将方程组中的两个方程直接相减即可求解．【解答】解：，②﹣①得，x +y ＝5，故答案为5．8．（2021•枣庄）已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+-=+32134y x y x ，则x +y 的值为 ．【分析】用加减消元法解二元一次方程组，然后求解．【解答】解：方法一：，①﹣②，得：2x +2y ＝﹣4，∴x +y ＝﹣2，故答案为：﹣2．方法二：，②×2，得：4x +2y ＝6③，①﹣③，得：y ＝﹣7，把y ＝﹣7代入②，得2x ﹣7＝3，解得：x ＝5，∴方程组的解为，∴x +y ＝﹣2，故答案为：﹣2．考点二：二元一次方程组之解二元一次方程组：1. 解二元一次方程组的思想：消元思想：将方程组中的未知数由多化少，逐一解决的思想。
2023学年人教中考数学重难点题型分类必刷题 专题14 二元一次方程组压轴题真题分类(含详解)
专题14 二元一次方程组压轴题真题分类（原卷版）专题简介：本份资料包含《二元一次方程组》这一章常考的两类压轴题，所选题目源自各名校月考、期中、 期末试题中的典型考题，具体包含两类类题型：二元一次方程组的整数解问题、二元一次方程组的新定义 压轴题，适合于想挑战满分的学生考前刷题使用，也适合于培训机构的老师培训尖子生时使用。
第一类：二元一次方程组的整数解问题1.（长郡）方程2550x y +=的正整数解为________.2.（中雅）若有序数对),(y x ，且正整数y x ,满足等式：xy y x =+，则称这个有序数对为“和谐数对”，“和谐数对”为 .3.（雅礼）解关于x ，y 二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+02162y x ay x ， （1）用a 来表示方程组的解；（2）若方程组有正整数解，求整数a 的值．(2) 九年级某班为了奖励学习进步的学生，花费35元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为(3)试求方程组⎩⎨⎧=-+=++123102z y x z y x 的正整数解。
5．（长郡）我们知道方程2x +3y ＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解． 例：由2x +3y ＝12，得：、y 为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x 为3的倍数，且，从而x ＝3，代入．所以2x +3y ＝12的正整数解为． （1）请你直接写出方程3x +2y ＝8的正整数解 ．（2）若为自然数，则满足条件的正整数x 的值有 ．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个（3）关于x ，y 的二元一次方程组的解是正整数，求整数k 的值．6.（长梅）已知关于x ，y 的方程组（1）请写出方程x +2y ＝5的所有正整数解；（2）若方程组的解满足x +y ＝0，求m 的值；（3）m ≠﹣3时，方程x ﹣2y +mx +9＝0总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？（4）如果方程组有整数解，求整数m 的值．7.（雅礼）阅读材料：我们把多元方程（组）的正整数解叫做这个方程（组）的“好解”，例如：⎩⎨⎧==81y x 就是方程113=+y x 的一组“好解”；⎪⎩⎪⎨⎧===321z y x 是方程组⎩⎨⎧=++=++61023z y x z y x 的一组“好解”.（1）请直接写出方程72=+y x 的所有“好解”；（2）关于x 、y 、k 的方程组⎩⎨⎧=++=++7010515k y x k y x 有“好解”吗？若有，请求出对应的“”好解；若没有，请说明理由； （3）已知x 、y 为方程20192333=+y x 的“好解”，且m y x =+，求所有m 的值.8.（湘一）我们把使得二元一次方程等号两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一个解，当这两个未知数的值为整数时，称这个解为二元一次方程的一个整数解。
七年级数学下册题型突破提高类型六 一元一次不等式与二元一次方程的整数解
类型六、一元一次不等式与二元一次方程的整数解【解惑】若关于x 、y 的二元一次方程组3133x y a x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足x +y ＜2，求a 的正整数解．方法：1.先解关于x 、y 的二元一次方程组的解集；2.解集满足4（x +y ）＝4+a ，再将x +y ＜2代入；3.然后解关于a 的不等式的解集即可得出答案.【融会贯通】1．已知整数a ，使得关于x ，y 的二元一次方程组7232x y x y a +=⎧⎨-=-⎩的解为正数，且关于x 的一元一次不等式39x a +>-至少有3个负整数解，则满足条件的整数a 的个数有（ ）A ．6B ．5C ．4D ．12．若关于x ，y 的方程组26x y mx y -=⎧⎨+=⎩有非负整数解，则正整数m 为（ ）． A ．0，1 B ．1，3，7 C ．0，1，3 D ．1，33．方程组22230ax y x y +=⎧+=⎨⎩的解是{3x y b ==，则关于x 的不等式bx +3a ≥0的非负整数解是______ ． 【知不足】1.在实数范围内定义新运算：1a b a b b =⋅-+，则不等式33x ≤的非负整数解为（ ）A ．10-，B ．1C ．0D ．01，2.若关于x 、y 的方程组443222x y m x y m +=+⎧⎨+=-+⎩的解满足32x y ->-，则m 的最小整数解为___________． 3．已知关于x 的不等式x ﹣a ＜0的最大整数解为3a+6，则a ＝_____．4．已知方程组312x y x y m -=⎧⎨+=⎩的解满足x 大于1且y 不大于5．(1)求m 的取值范围；(2)是否存在满足题目条件的整数m ，若存在，写出m 的值，若不存在，说明理由．【一览众山小】1.不等式3x ﹣3m ≤﹣2m 的正整数解为1，2，3，4，则m 的取值范围是_____．2．已知不等式5(x －2)＋8＜6(x －1)＋7的最小整数解为方程2x －ax ＝4的解，求a 的值．3．已知：23x y =⎧⎨=⎩和25x y =-⎧⎨=-⎩都是关于x 、y 的方程y kx b =+的解． （1）求k 、b 的值；（2）若不等式323x m x +>+的最大整数解是k ，求m 的取值范围．4．方程组322x y x y a +=⎧⎨-=-⎩的解满足023x y ≤-<，求a 的所有非负整数解． 5．若不等式325123x x --<+的最小整数解是方程24x ax -=的解，求a 的值． 【温故为师】1.若不等式3(x ＋1)－1＜4(x －1)＋3的最小整数解是方程12x －mx ＝6的解，求m 2－2m －11的值．2．若不等式2（x +1）－5＜3（x －1）+4的最小整数解是关于x 的方程13x －mx =5的解，求式子m 2－2m +2017的值. 3．已知方程ax+12=0的解是x=3，求满足关于y 的不等式（a+2）y ＜7的最小整数解．4．已知不等式5x ﹣2＜6x +1的最小正整数解是方程3x ﹣32ax=6的解，求a 的值． 5．若不等式()10462x x ++<的正整数解是方程()231a x x a +-=+的解，求221a a -的值.答案与解析【解惑】若关于x 、y 的二元一次方程组3133x y a x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足x +y ＜2，求a 的正整数解．方法：1.先解关于x 、y 的二元一次方程组的解集；2.解集满足4（x +y ）＝4+a ，再将x +y ＜2代入；3.然后解关于a 的不等式的解集即可得出答案.【融会贯通】1．已知整数a ，使得关于x ，y 的二元一次方程组7232x y x y a +=⎧⎨-=-⎩的解为正数，且关于x 的一元一次不等式39x a +>-至少有3个负整数解，则满足条件的整数a 的个数有（ ）A ．6B ．5C ．4D ．1 【答案】C 【详解】解：7232x y x y a +=⎧⎨-=-⎩①②①-②得：3y a =-，把3y a =-代入①得：4x a =+， ∵关于x ，y 的二元一次方程组7232x y x y a +=⎧⎨-=-⎩的解为正数，∴4>03>0a a +⎧⎨-⎩，解得：43a -<<， ∵39x a +>-，∴>39x a --，∵关于x 的一元一次不等式39x a +>-至少有3个负整数解，∴负整数解至少为3-，2-，1-，∴393a --<-，解得：>2a -，∴23a -<<，∵a 为整数，∴a 为1-，0，1，2，共4个数， 2．若关于x ，y 的方程组26x y mx y -=⎧⎨+=⎩有非负整数解，则正整数m 为（ ）． A ．0，1 B ．1，3，7 C ．0，1，3 D ．1，3621m y m ，∵方程组得解为非负整数，∴解不等式①得：1m -＞，解不等式②得：3m ≤，∴13m ＜，∵x ，y 是整数，∴1m +是8的因数，∴正整数m 是1，33．方程组22230ax y x y +=⎧+=⎨⎩的解是{3x y b ==，则关于x 的不等式bx +3a ≥0的非负整数解是______ ． 【答案】0、1、2、3解：将{x 3y b ==代入方程组ax 2y 22x 3y 0+=⎧+=⎨⎩，得：{3a 2b 263b 0+=+=， 解得：{a 2b 2==-， ∴不等式为-2x+6≥0， 解得：x≤3， ∴该不等式的非负整数解为0、1、2、3，【知不足】1.在实数范围内定义新运算：1a b a b b =⋅-+，则不等式33x ≤的非负整数解为（ ） A ．10-， B ．1 C ．0 D ．01，【答案】D 【详解】根据题意得3x-x+1≤3，解得，x≤1，所以原不等式的的非负整数解为0，2.若关于x 、y 的方程组443222x y m x y m +=+⎧⎨+=-+⎩的解满足32x y ->-，则m 的最小整数解为___________．，关于3．已知关于x 的不等式x ﹣a ＜0的最大整数解为3a+6，则a ＝_____．4．已知方程组312x y x y m-=⎧⎨+=⎩的解满足x 大于1且y 不大于5． (1)求m 的取值范围；(2)是否存在满足题目条件的整数m ，若存在，写出m 的值，若不存在，说明理由．【一览众山小】1.不等式3x ﹣3m ≤﹣2m 的正整数解为1，2，3，4，则m 的取值范围是_____．2．已知不等式5(x －2)＋8＜6(x －1)＋7的最小整数解为方程2x －ax ＝4的解，求a 的值．【答案】4【详解】解：解不等式得x >－3，所以最小整数解为x ＝－2.所以2×(－2)－a ×(－2)＝4，解得a ＝4.3．已知：23x y =⎧⎨=⎩和25x y =-⎧⎨=-⎩都是关于x 、y 的方程y kx b =+的解． （1）求k 、b 的值；（2）若不等式323x m x +>+的最大整数解是k ，求m 的取值范围． 【答案】（1）k 的值是2，b 的值是﹣1；（2）0≤m ＜1．【详解】解：（1）∵23x y =⎧⎨=⎩和25x y =-⎧⎨=-⎩都是关于x 、y 的方程y ＝kx+b 的解，∴2325k b k b +=⎧⎨-+=-⎩①②，①-②得：48,k = 2,k ∴= 把2k =代入①得：1,b =- 所以方程组的解是：21k b =⎧⎨=-⎩．∴k 的值是2，b 的值是﹣1． （2）∵3+2x ＞m+3x ，∴x ＜3﹣m ，∵不等式3+2x ＞m+3x 的最大整数解是k ，2k =，∴2＜3﹣m≤3，∴m 的取值范围是：0≤m ＜1．4．方程组322x y x y a +=⎧⎨-=-⎩的解满足023x y ≤-<，求a 的所有非负整数解． 【答案】0，1【详解】解：322x y x y a +=⎧⎨-=-⎩①②，+①②，得21x y a -=+，又023x y ≤-<，∴013a ≤+<，12a ∴-≤<，∴a 的所有非负整数解为：0，1．5．若不等式3251x x --<+的最小整数解是方程24x ax -=的解，求a 的值．【温故为师】1.若不等式3(x ＋1)－1＜4(x －1)＋3的最小整数解是方程12x －mx ＝6的解，求m 2－2m －11的值．2．若不等式2（x +1）－5＜3（x －1）+4的最小整数解是关于x 的方程1x －mx =5的解，求式子m 2－2m +2017的值.3．已知方程ax+12=0的解是x=3，求满足关于y 的不等式（a+2）y ＜7的最小整数解．【答案】关于y 的不等式（a+2）y ＜7的最小整数解为﹣3．【详解】试题分析：先将x=3代入ax+12=0，求出a 的值，代入（a+2）y<7，再利用不等式的基本性质解不等式，然后从不等式的解集中找出适合条件的最小整数即可．试题解析：将x=3代入ax+12=0，得3a+12=0，解得a=﹣4．把a=﹣4代入不等式，得﹣2y ＜7，解得y ＞﹣3.5，所以关于y 的不等式（a+2）y ＜7的最小整数解为﹣3．4．已知不等式5x ﹣2＜6x +1的最小正整数解是方程3x ﹣32ax=6的解，求a 的值．5．若不等式()10462x x ++<的正整数解是方程()231a x x a +-=+的解，求221a a -的值.。
二元一次方程组的整数解
第四讲 二元一次方程（组）的整数解学习目标：1、理解二元一次方程整数解存在的条件2、掌握二元一次方程整数解的求法一、知识回顾1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。
即如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解，显然a,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x －2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
反过来也成立，方程9x+3y=10和 4x －2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。
2二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。
k 叫做参变数。
方法一：整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x=5111y -=y y y y 2515101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y=1－5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k －2(1－5k)=11k －2∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=ky k x 51211（k 是整数） 方法二：公式法： 设ax+by=c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 3、 求二元一次方程的正整数解：i.求出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值 ii. 用观察法直接写出。
二、例题辨析例1、我们知道方程2312x y +=有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解。
例：由2312x y +=，得1222433x y x -==-，（x 、y 为正整数） 01220x x >⎧∴⎨->⎩则有06x <<. 又243y x =-为正整数，则23x 为正整数. 由2与3互质，可知：x 为3的倍数，从而3x =，代入2423y x =-=. 2312x y ∴+=的正整数解为32x y =⎧⎨=⎩问题：（1）请你写出方程25x y +=的一组正整数解：（2）若62x -为自然数，则满足条件的x 值有 个 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？变式练习：求方程的正整数解：5x+7y=87；例2、求方程5x+6y=100的正整数解变式练习：求11x+15y=7的整数解．例3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？。
二元一次方程求正整数解的方法
二元一次方程求正整数解的方法嘿，咱今儿就来唠唠二元一次方程求正整数解这事儿哈！你说这二元一次方程，就好像是个调皮的小精灵，有时候藏得挺深，让咱得费点心思去找它的正整数解呢！咱先得明白啥是二元一次方程呀，不就是有两个未知数，而且这未知数的最高次数是一嘛。
那怎么求正整数解呢？咱就拿个具体例子来说吧，比如 3x + 2y = 11。
咱可以先从一个未知数下手呀，就好比先抓住一只小蚂蚱。
比如说，咱让 x 从 1 开始试起。
当 x = 1 时，那 3×1 + 2y = 11，算一下，2y = 8，y = 4，嘿，这就是一组正整数解嘛！那咱接着试 x = 2 呢，一算，y 就不是正整数啦。
再试试 x = 3，哎呀，又找到一组解啦！你想想看，这是不是就像在一个大宝藏里找宝贝呀，得一个一个地方去翻找。
有时候一下子就找到了，有时候得费点功夫呢。
还有个办法呢，就是把方程变个形。
就像给它变个魔术一样。
比如刚才那个例子，变成 y = (11 - 3x) / 2。
然后咱就根据这个式子来找合适的 x 值，让算出的 y 也是正整数呀。
这就好像是走迷宫，咱得找到那条正确的路才能走出去。
找二元一次方程的正整数解不也是这样嘛，得找到那个最合适的搭配。
有时候啊，找着找着还挺有意思的呢。
就好像在玩一个解谜游戏，你得开动脑筋，想各种办法去找到答案。
咱再举个例子哈，2x + 5y = 20。
你就按照咱刚才说的方法去试试，是不是能找到正整数解呀。
总之呢，求二元一次方程的正整数解，就得有耐心，有方法。
不能瞎碰运气，得动脑子去分析。
这就好比做饭，得掌握好火候，调料放得恰到好处，才能做出美味的菜肴。
咱求正整数解也是一样，方法对了，就能顺利找到啦！你说是不是这个理儿呀？咱可别嫌麻烦，多试试，多想想，总能找到那些藏起来的正整数解的！加油吧！。
人教版数学七年级下册知识重点与单元测-第八章8-1二元一次方程(组)的相关概念(能力提升)
第八章 二元一次方程（组）8.1 二元一次方程（组）的相关概念（能力提升）【要点梳理】知识点一、二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.要点二、二元一次方程的解一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 要点诠释：(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：2,5.x y =⎧⎨=⎩． (2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．要点三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如⎩⎨⎧=-=+52013y x x 也是二元一次方程组.要点四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点诠释：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成x ay b=⎧⎨=⎩的形式．(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组2526x y x y +=⎧⎨+=⎩无解，而方程组1222x y x y +=-⎧⎨+=-⎩的解有无数个．【典型例题】 类型一、二元一次方程例1．已知方程（m ﹣2）x n ﹣1+2y |m﹣1|=m 是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值．【答案与解析】解：∵（m ﹣2）x n ﹣1+2y |m﹣1|=m 是关于x 、y 的二元一次方程，∴n ﹣1=1，|m ﹣1|=1， 解得：n=2，m=0或2，若m=2，方程为2y=2，不合题意，舍去， 则m=0，n=2． 举一反三：【变式1】已知方程3241252m nx y +--=是二元一次方程，则m= ，n= . 【答案】-2，14【变式2】方程(1)(1)0a x a y ++-=，当______a a ≠=时，它是二元一次方程，当时，它是一元一次方程．【答案】1±；11-或 类型二、二元一次方程的解 例2.已知是方程2x ﹣6my+8=0的一组解，求m 的值．【答案与解析】 解：∵是方程2x ﹣6my+8=0的一组解，∴2×2﹣6m ×（﹣1）+8=0，解得m=﹣2． 举一反三：【变式】已知方程2x-y+m-3=0的一个解是11x m y m =-⎧⎨=+⎩，求m 的值.【答案】 解：将11x m y m =-⎧⎨=+⎩代入方程2x-y+m-3=0得2(1)(1)30m m m --++-=，解得3m =.答：m 的值为3.例3.写出二元一次方程204=+y x 的所有正整数解. 【答案与解析】解：由原方程得x y 420-=，因为y x 、都是正整数， 所以当4321， ， ， =x 时，481216， ， ， =y . 所以方程204=+y x 的所有正整数解为：⎩⎨⎧==161y x ， ⎩⎨⎧==122y x ， ⎩⎨⎧==83y x ， ⎩⎨⎧==44y x .举一反三： 【变式1】已知是关于x 、y 的二元一次方程ax ﹣（2a ﹣3）y=7的解，求a 的值．【答案】 解：把代入方程ax ﹣（2a ﹣3）y=7，可得：2a+3（2a ﹣3）=7， 解得：a=2．【变式2】在方程0243=-+y x 中，若y 分别取2、41、0、－1、－4，求相应的x 的值.【答案】将0243=-+y x 变形得342yx -=. 把已知y 值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表：类型三、二元一次方程组及解 例4.甲、乙两人共同解方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①②由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩．乙看错了方程②中的b ．得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩．试计算：20112010110a b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值．【答案与解析】 解：把31x y =-⎧⎨=-⎩代入②，得-12+b ＝-2，所以b ＝10．把54x y =⎧⎨=⎩代入①，得5a+20＝15，所以a ＝-1， 所以201120112010201011(1)101(1)01010ab ⎛⎫⎛⎫+-=-+-⨯=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．举一反三：【变式】已知关于,x y 的二元一次方程组41323x ay x by x y +==⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩的解是 ， 求的值a b +． 【答案】解：将13x y =⎧⎨=-⎩代入原方程组得：134332a b -=⎧⎨-+=⎩ ，解得113a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以23a b +=-．【巩固练习】一、选择题1．一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（ ） A ．5 个 B. 6 个 C.7 个 D.8 个2.方程2x ﹣=0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y ﹣2x=0，x 2﹣x+1=0中，二元一次方程的个数是（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个3.已知x=2，y=﹣3是二元一次方程5x+my+2=0的解，则m 的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．D ．﹣4.若5x -6y =0，且xy ≠0，则的值等于（ ）A ．23 B. 32C.1D. -1 5.若x 、y 均为非负数，则方程6x=-7y 的解的情况是（ ） A ．无解 B.有唯一一个解 C.有无数多个解 D.不能确定6.在早餐店里，王伯伯买5个馒头，3个包子，老板少拿2元，只要50元．李太太买了11个馒头，5个包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每个x 元，包子每个y 元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系? ( )A ．53502115900.9x y x y +=+⎧⎨+=⨯⎩B ．53502115900.9x y x y +=+⎧⎨+=÷⎩C ．53502115900.9x y x y +=-⎧⎨+=⨯⎩ D ．53502115900.9x y x y +=-⎧⎨+=÷⎩二、填空题 7．已知方程3241252m nxy +--=是二元一次方程，则m ＝________，n ＝_________． 8．若方程组的解为，则点P （a ，b ）在第象限．9．在13,72x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 04x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，33x y =⎧⎨=⎩这四对数值中，是二元一次方程组32823x y x y +=⎧⎨-=⎩的解的是________ ．10. 方程2x+3y=10 中，当3x-6=0 时，y=_________； 11. 方程|a |+|b |=2 的自然数解是_____________； 12.若二元一次方程组的解中，则等于____________.三、解答题13．请你写出一个二元一次方程组，使它的解是．14．甲、乙二人共同解方程组2623mx y x ny +=-⎧⎨-=-⎩①②由于看错了方程①中的m 值，得到方程组的解为32x y =-⎧⎨=-⎩；乙看错了方程②中的n 的值，得到方程组的解为52x y =-⎧⎨=⎩，试求代数式22m n m n ++的值．15．某球迷协会组织36名球迷租乘汽车赴比赛场地，为中国国家男子足球队呐喊助威，可租用的汽车有两种：一种是每辆车可乘8人，另一种是每辆车可乘4人．要求租用的车子不留空座，也不超载．（1）请你给出三种不同的租车方案；（2）若8个座位的车子租金是300元/天，4个座位的车子租金是200元/天，请你设计费用最少的租车方案，并简述你的理由．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B；2. 【答案】D；【解析】解：2x ﹣=0是分式方程，不是二元一次方程；3x+y=0是二元次方程；2x+xy=1不是二元一次方程；3x+y﹣2x=0是二元一次方程；x2﹣x+1=0不是二元一次方程．故选：D．3.【答案】【解析】把x=2，y=﹣3代入二元一次方程5x+my+2=0，得10﹣3m+2=0，解得m=4．4. 【答案】A；【解析】将5x＝6y代入后面的代数式化简即得答案．5. 【答案】B；【解析】76x y=-可知：,x y异号或均为0，所以不可能同时为正，只能同时为0.6. 【答案】B；【解析】根据题意知，x，y同时满足两个相等关系:①老板少拿2元，只要50元；②老板以售价的九折优待，只要90元，故选B．二、填空题7. 【答案】-2，14；【解析】由二元一次方程的定义可得：31241mn+=⎧⎨-=⎩，所以214mn=-⎧⎪⎨=⎪⎩8.【答案】四【解析】：将x=2，y=1代入方程组得：，解得：a=2，b=﹣3，则P（2，﹣3）在第四象限．9. 【答案】21 xy=⎧⎨=⎩；【解析】把４组解分别代入方程组验证即可．10．【答案】2；【解析】将2x=代入2x+3y=10中可得y值．11.【答案】；12.【答案】－3∶4；【解析】将代入中，得，即；将代入，得，即，即.三、解答题13.【解析】解：答案不唯一，例如：∵，∴x+y=5, x-y=-1,∴所求的二元一次方程组可以是．14.【解析】解：将32xy=-⎧⎨=-⎩代入②中2(3)23n⨯-+=-，32n=．将52xy=-⎧⎨=⎩代入①中-5m+4＝-6，m＝2．∴229374344 m n mn++=++=．15.【解析】解：（1）设8个座位的车租x辆，4个座位的车租y辆．则8x+4y＝36，即2x+y＝9．∵ x，y必须都为非负整数，∴ x可取0，1，2，3，4，∴ y的对应值分别为9，7，5，3，1．因此租车方案有5种，任取三种即可．（2）因为8个座位的车座位多，相对日租金较少，所以要使费用最少，必须尽量多租8个座位的车．所以符合要求的租车方案为8个座位的车租4辆．4个座位的车租1辆，此时租车费用为4×300+1×200＝1400(元)．。
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ii.用观察法直接写出。
二、例题辨析
例1、我们知道方程 有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解。例：由 ，得 ，（ 、 为正整数） 则有 .
又 为正整数，则 为正整数.
由2与3互质，可知： 为3的倍数，从而 ，代入 .
的正整数解为
问题：（1）请你写出方程 的一组正整数解：
方法一：整除法：求方程5x+11y=1的整数解
解：x= = (1) ,
设 是整数），则y=1－5k (2) ,
把（2）代入（1）得x=k－2(1－5k)=11k－2
∴原方程所有的整数解是 （k是整数）
方法二：公式法：
设ax+by=c有整数解 则通解是 （x0,y0可用观察法）
3、求二元一次方程的正整数解：
第四讲二元一次方程（组）的整数解
学习目标：
1、理解二元一次方程整数解存在的条件
2、掌握二元一次方程整数解的求法
一、知识回顾
1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即
如果（a,b）|c则方程ax+by=c有整数解，显然a,b互质时一定有整数解。
2当 时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）
3当 （即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：
例1、选择一组a,c值使方程组
1有无数多解， ②无解， ③有唯一的解
变式练习：不解方程组，判定下列方程组解的情况：
1 ② ③
变式练习：当a、b满足什么条件时，关于 、 的方程(2 -18)x=3①与方程组
4、有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为 .已知a,b,c都小于10,a,b,c依次为,,.
5、a取什么值时方程组 的解是正数？
6、a取哪些正整数值，方程组 的解x和y都是正整数？
7、要使方程组 的解都是整数，k应取哪些整数值？
8、（古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？
（2）若 为自然数，则满足条件的 值有个
A、2 B、3 C、4 D、5
（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？
变式练习：求方程的正整数解：5x+7y=87；
例2、求方程5x+6y=100的正整数解
变式练习：求11x+15y=7的整数解．
例3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？
。
变式练习:一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
例5、a取什么值时，方程组 的解是正数？
变式练习m取何整数值时，方程组 的解x和y都是整数？
例6、（古代问题）用100枚铜板买桃，，榄橄共100粒，己知桃，每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，，榄橄各买几粒？
例如方程3x+5y=1,5x－2y=7,9x+3y=6都有整数解。
反过来也成立，方程9x+3y=10和4x－2y=1都没有整数解，
∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,43;by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。
三、归纳总结
1、方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
2、求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
四、拓展延伸
二元一次方程组 的解的情况有以下三种：
1当 时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）
都无解？请说明理由.
五、课后作业
1、已知关于 的方程组 有整数解,即 都是整数, 是正整数,求 的值.
2、一试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多对几题？
3、王老师家的是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得8877;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2351.王老师家的是.