平差数学模型与最小二乘原理电子教案

2平差数学模型与最小二乘原理

2.1 参数估计及其最优性质

几何模型：包括水准网和平面控制网（包括测角网、测边网、边角网）。每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都被称为几何量。

在诸多几何量中，有的可以直接测量，有的是间接求出。几何模型不同，它所需要知道的元素的个数与类型也不同，目标是确定几何模型的唯一性。

1.如图2-1的三角形ABC中，为

了确定它的形状，只需要知道三个内

角中的任意两个内角的大小就可以了。它们都是同一类型的元素。

2.要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两角、任意的两边一角或者是三边。它们中间都至少包含一条边长该情况包含角度和边长两类元素。

3.

要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须知道图中15个元素（6个坐标元素，3个内角元素，3个边长元素，3个方位角元素）中的6个不同的元素，这6个元素可以构成更多的组合，至少要包含一个点的坐标和一条边坐标方位角，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影响该三角形的内部形状和大小。如果A、B两点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、

两边或一边一角等。

我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为必要观测元素。必要观测个数用t表示。例如，确定三角形的形状，必要观测元素个数t=2；确定三角形的大小和形状，必要观测元素个数t=3；确定三角形的大小、形状、位置和方向，必要观测元素个数t=6。对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。

必要起算数据个数用d表示，水准网为1，测角网为4，测边网和边角网为3。

观测值个数用n个表示。

当n

当n =t 时,则可唯一地确定该模型，但对观测结果中含有的粗差和错误都将无法发现；

当n >t 时，能及时发现测量中的粗差和错误，提高观测成果的精度和可靠性。令多余观测个数t n r

-=，在统计学中

称r 为自由度。

一个几何模型能通过t 个必要而独立的量唯一的确定下来，当模型中有r 个多余观测量，一定存在着r 个这样的函数关系式。

例如在上述2中，如果观测了角度1L 、2L 、3L ，即n =3,t =2,则r =1,它们的真值之间存在如下关系式

0180~~~321=-++︒L L L

有r 个多余观测，就会有r 个这样的关系式（条件方程）。由于观测不可避免地含有误差，所以

0180321≠-++︒L L L 为了消除矛盾，通常用另一组被称为“观测值估值”（又叫平

差值、最或是值、最或然值）L

ˆ来代替观测值L ，即 i

i i V L L +=ˆ i V 称为观测值的改正数，未知数个数>方程式个数，无数多组，所以问题的关键点是：在无数多组解中求得唯一的一组最优改正数。

测量平差的任务就是对参数（未知数）及其方差（协方差）进行估计，即对平差数学模型的参数进行估计（点估计和区间估计）。由于多余观测而产生的平差数学模型，都不可能直接解方程而求得唯一解，测量平差中的参数估计，就是要在无数多组解中，找到一组最优的解作为平差参数的最终估计，为此，必须对平差数学模型附加某种约束条件，实现满足最优性质的参数唯一解，其中最广泛采用的平差准则是最小二乘准则。

最优估计量主要有以下3个性质。

1．一致性

满足

0])ˆ[(lim 2=-∞

→X X E n 的估计量X

ˆ为参数X 的一致性估计量。 2．无偏性 满足

X X

E =)ˆ( 则称X

ˆ为X 的无偏估计量。 同时满足

X X

E =)ˆ( 0])ˆ[(lim 2=-∞→X X E n

则称X

ˆ为X 的严格一致性估计量。 3．

有效性

具有无偏性的估计量并不唯一，但毫无疑问方差最小的估计量是最优的。设有估计量Xˆ1和Xˆ2，如果D(Xˆ1)

数理统计理论证明，具有无偏性、最优性的估计量一定是一致性估计量，所以测量平差中参数的最佳估计值要求是最优无偏估计量。

2.2 最小二乘原理

在测量工作及其它科学工程领域，应用最早也最广泛的就是所谓的“最小二乘准则”

min =∆∆=ΦP T

测量工作中习惯上用符号V 代替∆

ˆ min ==ΦPV V T

当

P 为非对角阵，表示观测值相关，按min =PV V

T

进行的

平差称为相关观测平差。

当P为对角阵，表示观测值不相关，此时最小二乘准则可表示为纯量形式，即

min 2222211=+++==Φn

n T

v p v p v p PV V

特别地，当观测值不相关且等精度时，权阵P 为单位阵，此时最小二乘准则可表示为

min 222

21

=+++==Φn

T

v v v PV V

其实，估计的准则有许多种，最小二乘准则是其中的一种，还有一种常用的估计叫做最大似然估计，其概率分布密度函数为

⎭⎬⎫⎩⎨⎧∆∆-=

∆=Φ-12

1

2

21exp )

2(1)(D D

f T n π

所谓极大似然估计，就是要在概率分布密度函数达到极大的条件下来对真误差