波普尔的概率理论

概率与不确定性

——四评波普尔的概率理论

谭天荣

内容提要：本文证明：表现统计规律的“统计分布”是一种现实的分布，

而“概率分布”则是它的观念映像；“统计分布”是一种客观的分布，而“概

率分布”则依赖于观察者。在量子力学中，人们因为混淆“统计分布”与

“概率分布”而造成两个误解，第一，把“概率分布”误解为一种现实的

分布。第二，把主观上的“不确定性”误解为客观上的“不确定性”。波普

尔指出：统计分布是系综的性质，而不是系综的元素的性质，并从此出发

建立了“量子力学的统计系综诠释”。这一工作实际上澄清了第一个误解。

但是，由于他坚持概率分布的客观性，这就使得他仍然被第二个误解所困

扰，不能把自己对量子力学远见卓识贯彻到底。

关键词：卡尔·波普尔；测不准原理；不确定性；概率分布；薛定谔猫；

概率的倾向性诠释

1.引言

在《科学研究的逻辑》一书的《对量子论的若干意见》一章中，波普尔提出如下论点：

量子力学中有一些概率公式被海森堡用追溯到他的测不准原理∆x·∆p h；

这些公式应解释为形式上单称的概率陈述，从而测不准原理必须用统计学来解释：∆x和∆p乃是统计学上的“方差”，测不准原理则表明它们之间有一定的统计学的离散关系。海森堡把测不准原理理解为我们在测量时达到的精确性的限制：电子的位置x和动量p不可能同时精确加以测量，两个误差域的积至少是h的数量级。海森堡的这一结论并不是从理论公式中演绎出来的逻辑推断，而是一个孤立的或附加的假定。这个假定实际上与波恩对波函数的统计诠释相矛盾，正是这个矛盾引起了现代量子物理学所有的困难，它的令人赞叹的结构就被这些困难所困扰。

本文将考察波普尔的这一论点。

2.预告不确定性与回溯不确定性

如果波普尔问一位哥本哈根学派的物理学家，在什么情况下他能放弃他对测不准原理的诠释，回答想必会因人而异。但如果波普尔问：如果实验证明了“电子的运动是轨道运动”，你会不会放弃你对测不准原理的诠释，我想这位物理学家一定会回答：“是的，我会放弃。”在《科学研究的逻辑》一书中，波普尔曾经提出过一个他认为能间接证明“电子的运动是轨道运动”的“判决性实验”，但不久就

认识到自己弄错了。然而，这一历史事实并不意味着波普尔所期望的判决性实验不存在。这里我们提出一个，它能直接证明“电子的运动是轨道运动”。

我们知道，“不确定性”是量子力学最主要的特征之一。不幸的是，“不确定性”有多种含义，这些含义在量子力学中彼此混淆了。在《概率与相对频率》一文中，我们曾指出主观的不确定性与客观的不确定性之间的混淆，这里我们将指出另一种概念混淆。

以电子的小孔衍射过程为例，根据经典物理学的观点，人们原来期望在这一过程中所有通过小孔的电子都落在屏幕上的同一位置（最多有实验误差允许的小偏差），但实验结果不是这样，这些电子落在屏幕上不是集中于一个位置，而是分散成为衍射图形。正是在这种意义下，人们说“单个电子落在屏幕上的位置是不确定的”，这种不确定性可以追溯到测不准原理。

但是，在这一实验中不确定性还有另一种含义：单个电子落在屏幕上，留下一个痕迹，这个痕迹的线度远远大于电子的线度，因此，某一电子在屏幕上留下的痕迹没有给出这个电子落在屏幕上的确切位置。在这种意义下，我们也可以说“单个电子落在屏幕上的位置是不确定的”。这种不确定性并不是什么量子现象，它与测不准原理无关。

按照海森堡的用语，第一种不确定性来源于预告性测量的误差，我们称它为“预告不确定性”；第二种不确定性来源于回溯性测量的误差，我们称它为“回溯不确定性”。海森堡一再强调：回溯性测量是没有意义的；而波普尔却认为回溯性测量极为重要，回溯性测量不达到一定的精确度，就无法检验对预告性测量的预言。在判定波普尔与海森堡的上述争论谁是谁非之前，我先提出一个问题：怎样划分预告性测量的误差与回溯性测量的误差，即怎样划分预告不确定性和回溯不确定性？我想，人们会异口同声地说：“多么幼稚的问题”。尽管如此，我还是要为这一幼稚的问题提供一个或许是更加幼稚回答：以电子小孔衍射过程为例，如果设想整个实验装置的线度（包括装置本身的大小和装置之间的距离）增加一倍而各种部件的材料的性能保持不变，则有，第一，屏幕上任意两个电子的距离增加了一倍，从而 x这一预告性测量的误差增加了一倍；第二，屏幕只改变大小而不改变性能，从而回溯性测量的误差保持不变。一般地说，当实验装置的线度改变时，与距离有关的预告不确定性将随着改变，而回溯不确定性则保持不变。

我们知道，当电子经过威尔逊云雾室时，将留下一条径迹。由于有某种不确定性，这条径迹不能确切地给出电子的轨道。现在我们问，这里的“某种不确定性”是预告不确定性还是回溯不确定性。让我们设想，把威尔逊云雾室的线度增加一倍，但不改变云雾物质颗粒的大小，结果会怎么样？我们立刻会回答：第一，如果大量电子进入云雾室，则根据测不准原理，这些电子各自留下的径迹将更加分散，从而预告性测量的误差增加了一倍；第二，每一条径迹的粗细保持不变。从而回溯不确定性则保持不变。海森堡说的是什么不确定性呢？他说的是：由于云雾室的雾珠太大，不能精确确定电子的轨道，这分明说的是回溯不确定性，它与海森堡原理无关。

在电子衍射过程中，由于回溯不确定性，单个电子在屏幕上留下的痕迹不能给出该电子的确切位置，但是这个痕迹足以表明，该电子在屏幕上有一个“位置”；同样是由于回溯不确定性，单个电子在云雾室中留下的径迹不能给出该电子的确切轨道，但是这条径迹足以表明，该电子在云雾室中有一条轨道。这样，单个电子在云雾室中留下一条径迹，就是表明“电子的运动是轨道运动”的判决性实验。

有一个流传很广的传说，年轻的海森堡通过玄思冥想，从单个电子在云雾室中留下的径迹的不确定性领悟出测不准原理。这个传说是许多科普作者津津乐道的话题。如果这些作者知道这种不确定性其实与测不准原理完全无关，不知他们作何感想。

我们看到，怎样划分预告不确定性和回溯不确定性，诚然是一个幼稚的问题，但由于没有弄清这一问题而造成如此重大的失误，那就不仅是幼稚而已。

3.概率分布的观念性

在《概率的相对频率》一文中，我们曾经指出，概率分布与统计分布是不同的概念，统计分布是一种客观的分布，而概率分布依赖于观察者。现在我们指出概率分布与统计分布的另一个区别。为此，让我们考察一个或许是最简单的表现统计规律的经验事实。

事实1：如果把某一硬币一再地随手一掷，则它一会出现正面，一会出现反面；但是，当掷的次数增多时，出现正面的次数与出现反面的次数将趋于相等；在任意给定的场合，当掷的次数足够多时，就可以认为出现正面的次数与出现反面的次数是相等的（即可以忽略出现正面的次数与出现反面的次数之间的微小差别）。

一枚硬币掷出并落定以后，可以拾起来再掷，这种情形使得事实1作为统计规律的例子有一定特殊性。为了适用于更一般的情形，我们把它改述为如下形式：事实2：如果把大量硬币随手一掷，则其中的有些出现正面，有些出现反面；但是，当掷的硬币足够多时，就可以认为出现正面的个数与出现反面的个数是相等的。

用G表示在事实2 中的“掷出并落定以后的大量硬币”的集合，用(1/2, 1/2)表示“正面占1/2；反面占1/2”这一分布，把“正面”或者“反面”称为硬币落定以后的“状态”，则事实2可表成：

(a)G中诸硬币的状态的统计分布是(1/2, 1/2)。

如果观察者知道而且也仅知道“a是G的一个元素”，则事实2也可表成：

(b)a的状态的概率分布是(1/2, 1/2)。

现在我们问：分布(1/2, 1/2)所表现的到底是G的特征还是a的特征？

在这里，所谓“分布(1/2, 1/2)表现G的特征”，是指“G中的诸硬币，有一半出现正面，一半出现反面”。而所谓“分布(1/2, 1/2)表现a的特征”，则是指“a出现半个正面半个反面”。经验事实是：G的诸硬币确实有一半出现正面，一半出现反面；但a或者出现正面，或者出现反面，不会出现半个正面半个反面。因此，分布(1/2, 1/2)所表现的是G的特征而不是a的特征，这一点是丝毫不能