微专题直角三角形中根号二、根号三倍的线段数量关系

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2024辽宁中考数学二轮专题训练微专题构造根号2、根号3倍线段问题 (含答案)

2024辽宁中考数学二轮专题训练构造2、3倍线段问题类型一利用等腰直角三角形构造含2倍关系的线段问题如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，过点A作AD⊥BC于点D.结论：BC＝2AC＝2AB；AB＝AC＝2AD＝2BD＝2D C.看到线段间含2倍关系或已知条件含45°角，等腰直角三角形判断线段数量关系时，考虑运用等腰直角三角形性质进行求解．练习1已知边长为4的正方形ABCD与边长为a(1＜a＜4)的正方形CFEG的顶点C重合．(1)如图①，若点E在对角线AC上，则AE与BF的数量关系为________；(2)如图②，若∠BCF＝α(0＜α＜30°)，请问此时上述结论是否还成立？如成立，写出推理过程，如不成立，说明理由．练习1题图类型二利用30°角的直角三角形构造含3倍关系的线段问题如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝30°.结论：AB ＝12AC ；BC ＝32AC ；BC ＝3A B.看到线段间含3、33或已知条件含30°，60°角，直角三角形判断线段数量关系时，考虑运用含30°角的直角三角形性质进行求解．练习2如图，已知△ABC 和△DCE 中，AB ＝AC ，DC ＝DE ，BF ＝EF ，点B ，C ，E 都在同一直线上，且△ABC 和△DCE 在该直线同侧．若∠BAC ＝60°，∠CDE ＝120°.求证：AF ＝3DF .练习2题图参考答案练习1解：(1)AE ＝2BF ；【解法提示】∵四边形ABCD 和四边形CFEG 都是正方形，∴∠B ＝∠CFE ＝90°，∠FCE ＝∠BCA ＝45°，CE ＝2CF ，∴AB ∥EF ，∴AE BF ＝CE CF ＝2，∴AE ＝2BF ；(2)上述结论还成立，理由如下：如解图，连接CE ，练习1题解图∵∠FCE ＝∠BCA ＝45°，∴∠BCF ＝∠ACE ＝45°－∠ACF ＝α，在Rt △CEF 和Rt △CBA 中，CE ＝2CF ，CA ＝2CB ，∴CE CF ＝CA CB ＝2，∴△ACE ∽△BCF ，∴AE BF ＝AC CB ＝2，∴AE ＝2BF .练习2证明：如解图，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点D 作DJ ⊥EC 于点J .练习2题解图∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴BH ＝CH ，AH ＝3BH ，∵DC ＝DE ，∠CDE ＝120°，∴CJ ＝JE ，∠DEC ＝∠DCE ＝30°，∴JE ＝3DJ ，∵BF ＝FE ，∴HJ ＝BF ＝EF ，∴BH ＝FJ ，HF ＝JE ，∴AH ＝3FJ ，FH ＝3DJ ，∴AH FJ ＝HF DJ ＝3，∵∠AHF ＝∠FJD ＝90°，∴△AHF ∽△FJD ，∴AF DF ＝AH FJ ＝3，∴AF ＝3DF .。

数学人教版八年级下册常用特殊直角三角形三边的比例关系微课设计

常用特殊直角三角形三边的比例关系微课设计教学目标：1、探究并掌握特殊直角三角形三边的关系。

2、会正确运用三边的比例关系进行简单计算。

教学重点：经历探索并掌握特殊直角三角形三边的比例关系。

教学难点：能熟练运用三遍的比例关系进行灵活运用及简单计算。

教学过程：学习本节，除了经历探究并掌握特殊直角三角形三边的关系，还要会正确运用三边的比例关系进行正确计算首先，亲，你能回答这两个问题吗？我们小学就已经知道的特殊直角三角形有哪两种？这两种特殊的直角三角形都具有哪些性质呢？好的你肯定已经回答了这两个知识含30度角的直角三角形和含45度角的直角三角形那它们分别具有的性质是…..?在直角三角形中，30度的角所对的直角边等于斜边的一半等角对等边接下来，我们来探究这两个直角三角形三边的比例关系请注意所有的思路和回顾所用到的知识看是否与你想的一样呢？含30度角的直角三角形在含30度角的直角三角形中短直角边比上长直角边比上斜边等于1：根号3：2明白了吗？第二种，含45度角的直角三角形含45度角的直角三角形直角边比直角边比斜边等于1比1比根号2明白了吗？让我们来记住它们吧！你记住了吗？我知道，你可能对其中的应用还不太熟练我们一起来看一下吧该怎么运用呢？已知短直角边也就是比例份数1求斜边和长直角边首先，已知一份代表30，那斜边占2份，所以就是60长直角边占根号3份答案是30倍根号3你明白了吗？我们接着来看已知长直角边，长直角边为根号3份知道根号3份表示4倍根号3，那么一份代表4，即短直角边长为4 斜边占2份，即为8我猜你已经学会运用了吧你来试一试吧你是不是已经有答案了呢？看是否与你想的一样吧！答案是400倍根号3请注意这里所用到的知识和方法那含45度角的直角三角形呢？已知直角边，两直角边相等答案是30一份代表30，斜边占根号2份，答案是30倍根号2带着这样的方法，你再来做一个吧看是否与你想的一样呢今天，我们探究了特殊直角三角形三边的关系请你记住这两组勾股数，并且，如果你喜欢它，请多多在练习中应用它们谢谢大家。

八年级数学下册第17章模型解题7 勾股定理与根号2,根号3倍问题

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模型解题7 勾股定理与根号2，根号3倍问题
Hale Waihona Puke ∴在△ACD 与△MCB 中，
∠ACD＝∠MCB，
CD＝CB，
∴△ACD≌△MCB(ASA)．
∠CDA＝∠CBM，
∴AD＝BM，AC＝CM.又∵AC⊥CM，∴AM＝ 2AC.
∴AB＋AD＝AB＋BM＝AM＝ 2AC.∴AB＋AD＝ 2AC.
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第十七章勾股定理模型解题7 勾股定理与根号2，根号3倍问题
模型解题7 勾股定理与根号2，根号3倍问题【满分技法】顶角为90°的等腰三角形中，底是腰的 2倍；证a＝ 2c，可构造底为a、腰为c的等腰直角三角形．顶角为120°等腰三角形中，底是腰的 3 倍；证a＝ 3 c，可构造底为a、腰为c、顶角为120°的等腰三角形．根据图中数据求边长：
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模型解题7 勾股定理与根号2，根号3倍问题【变式2】如图，已知∠BCD＝90°，∠BAD＝90°，BC＝CD，求证：AB ＋AD＝ 2 AC. 证明：如图，延长 AB 到 M 使 AC⊥CM.∵∠BCD ＝ 90 ° ， AC ⊥ CM ， ∴∠ACD＝∠MCB. 又∵∠CDA＋∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＝360°，∠BCD＝∠DAB＝90°， ∴ ∠ CDA ＋ ∠ABC ＝ 180 ° . 又 ∵∠ABC ＋ ∠CBM ＝ 180 ° ， ∴ ∠ CDA ＝ ∠CBM.
谢谢观看
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BC.
∴∠DAB＝∠DAC＝45°.∴∠DAB＝∠C.
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模型解题7 勾股定理与根号2，根号3倍问题
AE＝CF， ∴在△AED与△CFD中，∠DAE＝∠C，
AD＝CD， ∴△AED≌△CFD(SAS)． ∴∠ADE＝∠CDF，DE＝DF.又∵∠ADF＋∠CDF＝∠ADC＝90°， ∴∠ADF＋∠ADE＝90°.∴∠EDF＝90°.∴△DEF为等腰直角三角形． ∴EF＝ 2DF.

直角三角形中的三边关系

直角三角形中的三边关系直角三角形是初中数学中重要的概念之一，它的三边关系是我们必须掌握的知识。

在本文中，我将详细介绍直角三角形的三边关系，包括勾股定理和三角函数的应用。

希望通过这篇文章，能够帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用直角三角形的三边关系。

一、勾股定理勾股定理是直角三角形中最为经典的定理之一。

它表明，在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。

例如，我们有一个直角三角形，其中直角边的长度分别为3和4，我们可以使用勾股定理来求解斜边的长度。

根据勾股定理，斜边的平方等于直角边的平方和，所以斜边的平方为3²+4²=9+16=25。

因此，斜边的长度为√25=5。

勾股定理的应用非常广泛，不仅可以用于求解直角三角形的边长，还可以用于解决各种几何问题。

掌握了勾股定理，我们可以更加灵活地运用它来解决实际问题。

二、三角函数的应用除了勾股定理，三角函数也是直角三角形中的重要概念。

在直角三角形中，我们可以定义三个基本的三角函数：正弦、余弦和正切。

正弦函数（sin）定义为直角三角形的斜边与斜边上的对边之比。

余弦函数（cos）定义为直角三角形的斜边与斜边上的邻边之比。

正切函数（tan）定义为直角三角形的对边与邻边之比。

三角函数的定义可以帮助我们解决各种与角度和比例有关的问题。

例如，如果我们知道一个直角三角形的一个角度和一个边长，我们可以使用正弦、余弦或正切函数来求解其他边长。

举个例子，假设我们有一个直角三角形，其中一个角度为30°，斜边的长度为2。

我们可以使用正弦函数来求解对边的长度。

根据正弦函数的定义，对边与斜边的比值为sin(30°)=对边/斜边，所以对边的长度为sin(30°)×2=1。

三角函数的应用非常广泛，不仅可以用于解决几何问题，还可以用于物理、工程等领域的计算。

因此，掌握三角函数的概念和应用是非常重要的。

总结：直角三角形中的三边关系是我们必须掌握的重要知识。

微专题五大常考全等三角形模型

3. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“ASA”）
4. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成 “AAS”）
5. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）
微专题五大常考全等三角形模型
模型一平移型
模型展示
图形特点
沿同一条直线平移可得两三角形重合
第4题图
微专题五大常考全等三角形模型
模型五三垂直型
模型展示图形特点
已知三个直角，相等的线段
微专题五大常考全等三角形模型
针对训练 5. 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝30°，以AB为边向外作等边△ABE，过点E作DE⊥AB于点D. 求证：AC＝DE.
第5题图
针对训练 2. (2019西安铁一中模拟)如图，AC、BD交于点E，若AB＝CD，AC＝BD. 求证：∠BAC＝∠CDB
第2题图
微专题五大常考全等三角形模型
模型三旋转型
模型展示重合
微专题五大常考全等三角形模型
针对训练 3. (2019苏州节选)如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段 AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G. 求证：EF＝BC.
微专题五大常考全等三角形模型
针对训练 1. 如图，点B、E、C、F在同一直线上，且AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD. 求证：AB＝DE.
第1题图
微专题五大常考全等三角形模型
模型二翻折(对称)型
模型展示
图形特点
沿公共边或者公共顶点所在某条直线折叠可得两三角形重合
微专题五大常考全等三角形模型

【微专题】2023学年八年级数学上册常考点提分精练(人教版) 角平分线与全等三角形结合(解析版)

角平分线与全等三角形结合1．如图 A B 两点分别在射线OM ON 上点C 在MON ∠的内部且CA CB = CD OM ⊥ CE ON ⊥ 垂足分别为D E 且AD BE =．(1)求证：OC 平分MON ∠；(2)如果10AO = 4BO = 求OD 的长．【答案】(1)见解析(2)7【解析】【分析】（1）证明Rt △ACD ≌Rt △BCE （HL ）得CD =CE ．再由角平分线的判定即可得出结论；OC 平分∠MON ；（2）证Rt △ODC ≌Rt △OEC （HL ）得OD =OE 设BE =AD =x ．则OE =OD =4+x 再由AO =OD +AD =4+2x =10 得x =3．即可得出答案．(1)证明：∵CD OM ⊥ CE ON ⊥∴90CDA CEB ∠=∠=︒．在Rt ACD △与Rt BCE 中 CA CB AD BE =⎧⎨=⎩∴Rt ACD △≌Rt BCE （HL ）∴CD CE =．又∵CD OM ⊥ CE ON ⊥∴OC 平分MON ∠．(2)解：在Rt ODC △与Rt OEC △中 CD CE OC OC =⎧⎨=⎩∴Rt ODC △≌Rt OEC △（HL ）∴OD OE =设BE AD x ==．∵4BO = ∴4OE OD x ==+∵AD BE x == ∴4210AO OD AD x =+=+=∴3x = ∴437OD =+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识证明Rt △ACD ≌Rt △BCE 和Rt △ODC ≌Rt △OEC 是解题的关键．2．已知∠MAN AC 平分∠MAN D 为AM 上一点 B 为AN 上一点．（1）如图①所示若∠MAN ＝120° ∠ABC ＝∠ADC ＝90° 求证：AB +AD ＝AC ；（2）如图②所示若∠MAN ＝120° ∠ABC +∠ADC ＝180° 则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）成立见解析【解析】【分析】（1）根据AC 平分∠MAN 可得CB ＝CD ∠CAB ＝60° 即可证明RT △ACD ≌RT △ACB 可得AD ＝AB 再根据AC ＝2AB 即可解题；（2）根据AC 平分∠MAN 可得CB ＝CD ∠CAB ＝60° 易证∠FCD ＝∠BCE 即可证明△CDF ≌△CBE 可得BE ＝DF 再根据（1）中证明AC ＝AE +AF 即可解题．【详解】解：（1）证明：∵AC 平分∠MAN∴CB ＝CD ∠CAB ＝60°在Rt △ACD 和Rt △AC B 中AC AC CD CB =⎧⎨=⎩∴Rt △ACD ≌Rt △ACB （HL ）∴AD ＝AB∵∠ACB ＝90°﹣∠CAB ＝30°∴AC ＝2AB∴AD +AB ＝AC ；（2）成立过C 作CE ⊥AN 于E CF ⊥AM 于F∵AC 平分∠MAN∴CB ＝CD ∠CAB ＝60°∵∠ABC +∠ADC ＝180°∴∠DCB ＝60°∵∠FCE ＝180°﹣∠BAD ＝60°∴∠FCE ＝∠BCD∵∠FCD +∠DCE ＝∠FCE ∠BCE +∠DCE ＝∠BCD∴∠FCD ＝∠BCE在△CDF 和△CBE 中90FCD BCE CF CE CFD CEB ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩∴△CDF ≌△CBE （ASA ）∴BE ＝DF∴AD +AB ＝AD +AE +BE ＝AD +DF +AE ＝AE +AF∵AC ＝AE +AF∴AD +AB ＝A C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质考查了全等三角形对应边相等的性质本题中求证△CDF ≌△CBE 是解题的关键．3．如图：在直角△AB C 中 ∠ABC ＝90° 点D 在AB 边上连接C D ．（1）如图1 若CD 是∠ACB 的角平分线且AD ＝CD 探究BC 与AC 的数量关系说明理由；（2）如图2 若BC ＝BD BF ⊥AC 于点F 交CD 于点G 点E 在AB 的延长线上且AD ＝BE 连接GE 求证：BG +EG ＝A C ．【答案】（1）12BC AC =理由见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）如图1 过点D 作DM AC ⊥于点M 证明()Rt CDM Rt CDB HL ≌ 由全等三角形的性质得出CM CB = 则可得出结论；（2）作DK AB ⊥交BF 的延长线于点K 证明()Rt CAB Rt BKD AAS ≌ 得出BK AC = DK AB = 证明()DKG DEG SAS ∆≅∆ 得出KG EG = 则结论可得出．【详解】解：（1）12BC AC =．理由如下：如图1 过点D 作DM AC ⊥于点MAD CD =M ∴为AC 的中点12CM AM AC ∴== CD 平分ACB ∠DM DB ∴=在Rt CDM 和Rt CDB 中CD CD DM DB=⎧⎨=⎩ ()Rt CDM Rt CDB HL ∴≌CM CB ∴=12BC AC ∴=；（2）证明：如图2 作DK AB ⊥交BF 的延长线于点KBF AC ⊥90AFK ∴∠=︒A K ∴∠=∠又90BDK ABC ∠=∠=︒ BC BD =()Rt CAB Rt BKD AAS ∴≌BK AC ∴= DK AB =AD BE =AD BD BE BD ∴+=+即AB DE =DK DE ∴=又DB BC = 90ABC ∠=︒45CDB ∴∠=︒45KDG EDG ∴∠=∠=︒又DG DG =()DKG DEG SAS ∴∆≅∆KG EG ∴=AC BK KG BG EG BG ∴==+=+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质角平分线的性质等腰三角形的性质等腰直角三角形的性质等知识解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．4．观察、猜想、探究：在△AB C 中 ∠ACB ＝2∠B ．（1）如图① 当∠C ＝90° AD 为∠BAC 的角平分线时过D 作AB 的垂线DE,垂足为E 可以发现AB 、AC 、CD 存在的数量关系是；（2）如图② 当∠C ≠90° AD 为∠BAC 的角平分线时线段AB 、AC 、CD 是否还存（1）中的数量关系？如果存在请给出证明．如果不存在请说明理由；（3）如图③ 当AD 为△ABC 的外角平分线时线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并对你的猜想给予证明．【答案】（1）AB ＝AC +CD ；（2）存在理由见解析；（3）AB ＝CD ﹣AC 理由见解析【解析】【分析】（1）根据∠ACB =90° ∠ACB =2∠B 得到∠B =45° CD ⊥AC 由线段垂直平分线的性质可得DE =CD 再证明∠B =∠EDB 得到BE =ED =CD 最后证明Rt △AED ≌Rt △ACD 得到AE =AC 即可得到结论；（2）在AB 上截取AG ＝AC 证明△ADG ≌△ADC 得到CD ＝DG ∠AGD ＝∠ACB 再由∠ACB ＝2∠B 得到∠B ＝∠GDB 则BG ＝DG ＝DC 即可得到AB ＝BG +AG ＝CD +AC ；（3）在AF 上截取AG ＝AC 由AD 为∠F AC 的平分线得到∠GAD ＝∠CAD 可证△ADG ≌△ACD 得到CD ＝GD ∠AGD ＝∠ACD 即可推出∠ACB ＝∠FGD 再由∠ACB ＝2∠B 推出∠B ＝∠GDB 得到BG ＝DG ＝DC 则AB ＝BG ﹣AG ＝CD ﹣A C ．【详解】解：（1）AB ＝AC +CD 理由如下：∵∠ACB =90° ∠ACB =2∠B∴∠B =45° CD ⊥AC∵DE ⊥AB AD 平分∠BAC∴DE =CD ∠DEB =∠DEA =90°∴∠EDB =180°-∠B -∠DEB =45°∴∠B =∠EDB∴BE =ED =CD在Rt △AED 和Rt △AD C 中DE DC AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △AED ≌Rt △ACD （HL ）∴AE =AC∴AB +AE +BE =AC +CD ；（2）还存在AB ＝CD +AC 理由如下：在AB 上截取AG ＝AC 如图2所示∵AD 为∠BAC 的平分线∴∠GAD ＝∠CAD∵在△ADG 和△AD C 中AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ADC （SAS ）∴CD ＝DG ∠AGD ＝∠ACB∵∠ACB ＝2∠B∴∠AGD ＝2∠B又∵∠AGD ＝∠B +∠GDB∴∠B ＝∠GDB∴BG ＝DG ＝DC则AB ＝BG +AG ＝CD +AC ；（3）AB ＝CD ﹣AC 理由如下：在AF 上截取AG ＝AC 如图3所示∵AD 为∠F AC 的平分线∴∠GAD ＝∠CAD∵在△ADG 和△AC D 中AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ACD （SAS ）∴CD ＝GD ∠AGD ＝∠ACD∵∠FGD =180°-∠AGD ∠ACB =180°-∠ACD∴∠ACB ＝∠FGD∵∠ACB ＝2∠B∴∠FGD ＝2∠B又∵∠FGD ＝∠B +∠GDB∴∠B ＝∠GDB∴BG ＝DG ＝DC则AB ＝BG ﹣AG ＝CD ﹣A C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定角平分线的性质与定义三角形外角的性质三角形内角和定理解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．5．已知：如图1 在ABC 中 AD 是BAC ∠的平分线．E 是线段AD 上一点（点E 不与点A 点D 重合）满足2∠=∠ABE ACE ．（1）如图2 若18∠=︒ACE 且EA EC = 则DEC ∠=________︒ AEB ∠=_______︒．（2）求证：AB BE AC +=．（3）如图3 若BD BE = 请直接写出ABE ∠和BAC ∠的数量关系．【答案】（1）36 126；（2）见解析；（3）3180∠+∠=︒ABE BAC【解析】【分析】（1）18∠=︒ACE 且EA EC = 再结合三角形的外角定理即可求DEC ∠ 18∠=︒ACE 且EA EC = AD 是BAC ∠的平分线 2∠=∠ABE ACE 再结合三角形内角和定理即可求解AEB ∠；（2）在AC 上截取AF AB = 连接FE 可证()≌AEF AEB SAS 故EF EB = AFE ABE 从而可得FEC FCE ∠=∠ 所以EF FC =进而可证得：=+=+AC AF FC AB BE （3）由BD BE = 可得BED BDE ∠=∠ BED ABE BAE ∠=∠+∠ ∠=∠+∠BDE DAC ACD 又AD 是BAC ∠的平分线可得ABE ACD ∠=∠ 故CE 是ACD ∠的平分线所以BE 是ABD ∠的平分线故∠=∠=∠ABE ACD DBE 又180ACB ABC BAC ∠+∠+∠=︒ 所以ABE ∠和BAC ∠的数量关系即可求解．【详解】（1）∵18∠=︒ACE 且EA EC =∴∠EAC =∠ACE =18°∴∠DEC =∠EAC +∠ACE =36°又∵AD 是BAC ∠的平分线∴∠BAD =∠CAD =18°∵2∠=∠ABE ACE∴∠ABE =36°∴1801836126∠=︒-︒-︒=︒AEB ；故答案为：36 126（2）在AC 上截取AF AB = 连接FE又∵AE =AE EAF EAB ∠=∠∴()≌AEF AEB SAS∴EF EB = AFE ABE∵∠AFE =∠ACE +∠FEC ∠ABE =2∠ACE∴FEC FCE ∠=∠∴EF FC =∴=+=+AC AF FC AB BE ；（3）∵BD BE =∴BED BDE ∠=∠∵BED ABE BAE ∠=∠+∠ ∠=∠+∠BDE DAC ACD∠CAD =∠BAE∴∠ACD =∠ABE∵∠ABE =2∠ACE∴∠ACD =2∠ACE∴CE 平分∠ACB∴点E 到CA 、CB 的距离相等又∵AD 是BAC ∠的平分线∴点E 到AC 、AB 的距离相等∴点E 到BA 、BC 的距离相等∴BE 是ABD ∠的平分线∴∠ABE =∠CBE∴∠=∠=∠ABE ACD DBE又∵180ACB ABC BAC ∠+∠+∠=︒∴2180∠+∠+∠=︒ABE ABE BAC即3180∠+∠=︒ABE BAC ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质、三角形的内角和定理、角平分线的性质、三角形全等的判定和性质解题的关键是熟练掌握各知识点准确作出辅助线熟练运用数形结合的思想．6．已知：如图 D 为△ABC 外角∠ACP 平分线上一点且DA ＝DB DM ⊥BP 于点M ．（1）若AC ＝6 DM ＝2 求△ACD 的面积；（2）求证：AC ＝BM ＋CM ．【答案】（1）6；（2）见解析【解析】【分析】（1）如图作DN ⊥AC 于N ．根据角平分线的性质定理可得DM ＝DN ＝2 由此即可解决问题；（2）由Rt △CDM ≌Rt △CDN 推出CN ＝CM 由Rt △ADN ≌Rt △BDM 推出AN ＝BM 由此即可解决问题．【详解】（1）解：如图作DN ⊥AC 于N ．∵DC 平分∠ACP DM ⊥CP DN ⊥CA∴DM ＝DN ＝2∴S △ADC ＝12•AC •DN ＝12×6×2＝6．（2）∵CD ＝CD DM ＝DN∴Rt △CDM ≌Rt △CDN∴CN ＝CM∵AD ＝BD DN ＝DM∴Rt △ADN ≌Rt △BDM∴AN ＝BM∴AC ＝AN ＋CN ＝BM ＋CM ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题属于中考常考题型．7．如图在∠EAF 的平分线上取点B 作BC ⊥AF 于点C 在直线AC 上取一动点P ．在直线AE 上取点Q 使得BQ=BP ．（1）如图1 当点P 在点线段AC 上时 ∠BQA +∠BP A = °；（2）如图2 当点P 在CA 延长线上时探究AQ 、AP 、AC 三条线段之间的数量关系说明理由；（3）在满足（1）的结论条件下当点P 运动到在射线AC 上时直接写出AQ 、AP 、PC 三条线段之间的数量关系为：．【答案】（1）180；（2）2AQ AP AC -=；理由见解析；（3）2AQ AP PC -=或2AP AQ PC -=．【解析】【分析】（1）作BM ⊥AE 于点M 根据角平分线的性质得到BM =BC 证明Rt BMQ ∆Rt ()BPC HL ∆≌,继而证明BQA BPC ∠=∠解题即可；（2）作BM AE ⊥于M 先证明Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）继而得到ABM ABC ∠=∠ AM AC = BM BC = 再证明Rt Rt BMQ BCP ∆∆≌（HL ）从而得到PC QM = 据此解题即可；（3）分两种情况讨论当点P 在线段AC 上时或当点P 在线段AC 的延长线上时分别画出适合的图再由QBM PBC ∆∆≌（AAS ）可得QBM PBC ∠=∠ QM PC = BM BC = 再由Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）可得AM AC = 利用线段和差计算即可．【详解】（1）证明：过点B 作BM AE ⊥于M∵BA 平分EAF ∠ BC AF ⊥∴BM BC =在Rt BMQ ∆和Rt BPC ∆中BQ BP BM BC =⎧⎨=⎩∴Rt Rt BMQ BPC ∆∆≌（HL ）∴BQA BPC ∠=∠又∵180BPC BPA ∠+∠=︒∴180BQA BPA ∠+∠=︒故答案为180；（2）解：2AQ AP AC -=理由如下：如图2 作BM AE ⊥于M∵AB 平分∠EAF BC AF ⊥∴BM =BC 90BMA BCA ∠=∠=︒在Rt ABM ∆和Rt ABC ∆中BM BC AB AB=⎧⎨=⎩ ∴Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）∴ABM ABC ∠=∠ AM AC =在Rt BMQ ∆和Rt BCP ∆中BQ BP BM BC =⎧⎨=⎩∴Rt Rt BMQ BCP ∆∆≌（HL ）∴PC QM =∴()()2AQ AP AM QM PC AC AM AC AC -=+--=+=（3）当点P 在线段AC 上时如图 2AQ AP PC -=理由如下：作BM AE ⊥于M∵BC ⊥AF∴90BMA BCA ∠=∠=︒∵180BQA BPA ∠+∠=︒ ∠BPC +∠BP A =180°∴∠BPC =∠BQM在QBM ∆和PBC ∆中BMQ BCP BQM BPC QB PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QBM PBC ∆∆≌（AAS ）∴QBM PBC ∠=∠ QM PC = BM BC =在Rt ABM ∆和Rt ABC ∆中BM BC AB AB =⎧⎨=⎩∴Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）∴AM AC =∴()2AQ AP AM QM AC PC QM PC PC -=+--=+=当点P 在线段AC 的延长线上时如图 2AP AQ PC -=理由如下：作BM AE ⊥于M∵BC ⊥AF∴90BMA BCA ∠=∠=︒∵180BQA BPA ∠+∠=︒ ∠BQM +∠BQA =180°∴∠BPC =∠BQM在QBM ∆和PBC ∆中BMQ BCPBQM BPCQB PB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QBM PBC ∆∆≌（AAS ）∴QBM PBC ∠=∠ QM PC = BM BC =在Rt ABM ∆和Rt ABC ∆中BM BCAB AB =⎧⎨=⎩∴Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）∴AM AC =∴()2AP AQ AC CP AM QM MQ PC PC -=+--=+=故答案为：2AQ AP PC -=或2AP AQ PC -=．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质角平分线性质分类讨论思想等知识掌握相关知识利用辅助线画出准确图形是解题关键．8．如图在ABC 中 BAD DAC ∠=∠ DF AB ⊥ DM AC ⊥ 10AF cm = 14AC cm = 动点E 以2/cm s 的速度从A 点向F 点运动动点G 以1/cm s 的速度从C 点向A 点运动当一个点到达终点时另一个点随之停止运动设运动时间为t ．（1）CM = :AE CG = ；（2）当t 取何值时 DFE △和DMG △全等；（3）在（2）的前提下若:119:126BD DC = 228cm AED S =△ 求BFD S ．【答案】（1）4 2；（2）143；（3）293cm 2．【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可证Rt △AFD ≌Rt △AMD 得AF =AM 从而求出即可；（2）分两种情况进行讨论：①当0＜t ＜4时 ②当4≤t ＜5时分别根据△DFE ≌△DMG 得出EF =GM 据此列出关于t 的方程进行求解即可．（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比即可求得答案．【详解】（1）∵∠BAD =∠DAC DF ⊥AB DM ⊥AC ∴DF =DM在Rt △AFD 和Rt △AM D 中DF DMAD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △AFD ≌Rt △AMD （HL ）；∴10AF AM cm ==14104CM AC AM cm ∴=-=-=2AE t = CG t = :2AE CG ∴=（2）①当0＜t ＜4时点G 在线段CM 上点E 在线段AF 上．EF ＝10﹣2t MG ＝4﹣t∴10﹣2t＝4﹣t∴t＝6（不合题意舍去）；②当4＜t＜5时点G在线段AM上点E在线段AF上．EF＝10﹣2t MG＝t﹣4∴10﹣2t＝t﹣4∴t＝143；综上所述当t＝143时△DFE与△DMG全等；（3）∵t＝14 3∴AE＝2t＝28 3∵DF＝DM∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD＝119：126 ∵AC＝14∴AB＝119 9∴BF＝AB﹣AF＝1199﹣10＝299∵S△ADE：S△BDF＝AE：BF＝283：299S△AED＝28cm2∴S△BDF＝293cm2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积公式以及动点问题解题的难点在于第二问中求运动的时间此题容易漏解和错解．9．在平面直角坐标系中A（﹣3 0）、B（0 7）、C（7 0）∠ABC＋∠ADC＝180° BC⊥C D．（1）如图1①求证：∠ABO＝∠CAD；②AB与AD是否相等？请说明理由；（2）如图2 E为∠BCO的邻补角的平分线上的一点且∠BEO＝45° OE交BC于点F求BF 的长．【答案】（1）①见解析；②AB＝AD见解析；（2）7【解析】【分析】(1）根据四边形的内角和定理、直角三角形的性质证明；(2)过点A作AF⊥BC于点F作AE⊥CD的延长线于点E△ABF≌△ADE得到AB＝AD(3)过点E作EH⊥BC于点H作EG⊥x轴于点G根据角平分线的性质得到EH=EG证明△ABF ≌△ADE得到EB=EO根据等腰三角形的判定定理解答.【详解】证明：①在四边形ABC D中∵∠ABC＋∠ADC＝180°∴∠BAD＋∠BCD＝180°∵BC⊥CD∴∠BCD＝90°∴∠BAD＝90°∴∠BAC＋∠CAD＝90°∵∠BAC＋∠ABO＝90°∴∠ABO＝∠CAD；解：②AB＝AD如图：过点A 作AF ⊥BC 于点F 作AE ⊥CD 的延长线于点E ∵B （0 7） C （7 0）∴OB ＝OC∴∠BCO ＝45°∵BC ⊥CD∴∠BCO ＝∠DCO ＝45°∵AF ⊥BC AE ⊥CD∴AF ＝AE ∠F AE ＝90°∴∠BAF ＝∠DAE在△ABF 和△ADE 中BAF DAE AF AEAFB AED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABF ≌△ADE （ASA ）∴AB ＝AD（3）过点E 作EH ⊥BC 于点H 作EG ⊥x 轴于点G∵E 点在∠BCO 的邻补角的平分线上∴EH ＝EG∵∠BCO ＝∠BEO ＝45°∴∠EBC ＝∠EOC在△EBH 和△EOG 中EBH EOG EHB EGO EH EG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EBH ≌△EOG （AAS ）∴EB ＝EO∵∠BEO ＝45°∴∠EBO ＝∠EOB ＝67.5° 又∠OBC ＝45°∴∠BOE ＝∠BFO ＝67.5°∴BF ＝BO ＝7.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.10．如图所示直线AB 交x 轴于点A （a 0）交y 轴于点B （0 b ）且a 、b2(4)0a -= C 的坐标为（﹣1 0）且AH ⊥BC 于点H AH 交OB 于点P ．（1）如图1 写出a 、b 的值证明△AOP ≌△BOC ；（2）如图2 连接OH 求证：∠OHP ＝45°；（3）如图3 若点D 为AB 的中点点M 为y 轴正半轴上一动点连接MD 过D 作DN ⊥DM 交x 轴于N 点当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中求证：S △BDM ﹣S △ADN ＝4．【答案】（1）a ＝4 b ＝﹣4 见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）先依据非负数的性质求得a 、b 的值从而可得到OA OB = 然后再90COB POA ∠=∠=︒OAP OBC ∠=∠ 最后依据ASA 可证明OAP OBC ∆∆≌；（2）要证45OHP ∠=︒ 只需证明HO 平分CHA ∠ 过O 分别作OM CB ⊥于M 点作ON HA ⊥于N 点只需证到OM ON = 只需证明COM PON ∆∆≌即可；（3）连接OD 易证ODM ADN ∆∆≌ 从而有ODM ADN S S ∆∆= 由此可得12BDM ADN BDM ODM BOD AOB S S S S S S ∆∆∆∆∆∆-=-==．【详解】（1）解：2(4)0a -=0a b ∴+= 40a -=4a ∴= 4b =-则4OA OB ==．AH BC ⊥即90AHC ∠=︒ 90COB ∠=︒90HAC ACH OBC OCB ∴∠+∠=∠+∠=︒HAC OBC ∴∠=∠．在OAP ∆与OBC ∆中90COB POA OA OBOAP OBC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()OAP OBC ASA ∴∆∆≌；（2）证明：过O 分别作OM CB ⊥于M 点作ON HA ⊥于N 点．在四边形OMHN 中 36039090MON ∠=︒-⨯︒=︒90COM PON MOP ∴∠=∠=︒-∠．OAP OBC ∆∆≌OC OP ∴=在COM ∆与PON ∆中90COM PON OMC ONP OC OP ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()COM PON AAS ∴∆∆≌OM ON ∴=．OM CB ⊥ ON HA ⊥HO ∴平分CHA ∠1452OHP CHA ∴∠=∠=︒；（3）证明：如图：连接OD ．90AOB ∠=︒ OA OB = D 为AB 的中点OD AB ∴⊥ 45BOD AOD ∠=∠=︒ OD DA BD ==45OAD ∴∠=︒ 9045135MOD ∠=︒+︒=︒135DAN MOD ∴∠=︒=∠．MD ND ⊥即90MDN ∠=︒90MDO NDA MDA ∴∠=∠=︒-∠．在ODM ∆与ADN ∆中MDO NDA DOM DAN OD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ODM ADN ASA ∴∆∆≌ODM ADN S S ∆∆∴=．11114442222BDM ADN BDM ODM BOD AOB S S S S S S AO BO ∆∆∆∆∆∆∴-=-===⨯⋅=⨯⨯⨯=．【点睛】本题是一次函数综合题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识在解决第（3）小题的过程中还用到了等积变换而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键．11．在△AB C 中 ∠BAC ＝90° AB ＝A C ．（1）如图1 若A 、B 两点的坐标分别是A （0 4） B （﹣2 0）求C 点的坐标；（2）如图2 作∠ABC 的角平分线BD 交AC 于点D 过C 点作CE ⊥BD 于点E 求证： BD ＝2CE【答案】（1）（4 2）；（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）作CM ⊥OA 垂足为M 证明△ABO ≌△CAM 即可得解；（2）延长CE 、BA 相交于点F 证明△ABD ≌△ACF （ASA ）得到BD =CF 证明△BCE ≌△BFE （ASA ）即可得解；【详解】（1）作CM ⊥OA 垂足为M∵∠AOB =∠BAC =90°∴∠BAO +∠CAM =90° ∠BAO +∠ABO =90°∴∠ABO =∠CAM在ABO 和CAM 中AOB CMA ABO CAM AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABO ≌△CAM∴MC =AO =4 AM =BO =2 MO =AO -AM =2∴点C 坐标（4 2）；（2）如图2 延长CE 、BA 相交于点F∵∠EBF+∠F =90° ∠ACF+∠F =90°∴∠EBF =∠ACF在ABD △和ACF 中ABD ACF AB ACBAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABD ≌△ACF （ASA ）∴BD=CF在BCE 和BFE △中CBE FBE BE BEBEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BCE ≌△BFE （ASA ）∴CE =EF∴BD =CF =2 CE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质角平分线的性质准确分析证明是解题的关键． 12．如图1 点A 、D 在y 轴正半轴上点B 、C 分别在x 轴上 CD 平分∠ACB 与y 轴交于D 点 ∠CAO ＋∠BDO ＝90°．（1）求证：AC ＝BC ；（2）如图2 点C 的坐标为(6 0) 点E 为AC 上一点且∠DEA ＝∠DBO 求BC +EC 的值；（3）如图3 过D 作DF ⊥AC 于F 点点H 为FC 上一动点点G 为OC 上一动点当H 在FC 上移动、点G 在OC 上移动时始终满足∠GDH ＝∠GDO +∠FDH ．试判断FH 、GH 、OG 这三者之间的数量关系写出你的结论并加以证明．【答案】（1）证明见解析；（2）BC +EC =12；（3）GH =FH +OG 证明见解析．【解析】【分析】（1）由题意∠CAO ＋∠BDO ＝90° 可知∠CAO =∠CBD 再结合CD 平分∠ACB 所以可由AAS 定理证明△ACD ≌△BCD 由全等三角形的性质可得AC =BC ；（2）过D 作DN ⊥AC 于N 点可证明Rt △BDO ≌Rt △EDN 、△DOC ≌△DNC 因此 BO =EN 、OC =NC 所以 BC +EC =BO +OC +NC -NE =2OC 即可得BC +EC 的长；（3）在x 轴的负半轴上取OM =FH 可证明△DFH ≌△DOM 、△HDG ≌△MDG 因此 MG =GH 所以 GH =OM +OG =FH +OG 即可证明所得结论．【详解】（1）证明：∵x 轴⊥y 轴∴∠CBD ＋∠BDO ＝90°∵∠CAO ＋∠BDO ＝90°∴∠CAO =∠CB D ．∵CD 平分∠ACB∴ACD BCD ∠=∠在△ACD 和△BC D 中ACD BCD CAO CBD CD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCD （AAS ）．∴AC =BC AD =DE ；（2）解：由（1）知∠CAD =∠DEA =∠DBO∴BD =AD =DE过D 作DN ⊥AC 于N 点如右图所示：∵∠ACD =∠BCD∴DO =DN在Rt △BDO 和Rt △EDN 中BD DE DO DN=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BDO ≌Rt △EDN （HL ）∴BO =EN ．在△DOC 和△DN C 中90DOC DNC OCD NCD DC DC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DOC ≌△DNC （AAS ）可知：OC =NC ；∴BC +EC =BO +OC +NC -NE =2OC =12；（3）GH =FH +OG ．证明：由（1）知：DF =DO在x 轴的负半轴上取OM =FH 连接DM 如图所示：在△DFH 和△DOM 中90DF DO DFH DOM OM FH ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△DFH ≌△DOM （SAS ）．∴DH =DM ∠1=∠ODM ．∴∠GDH =∠1+∠2=∠ODM +∠2=∠GDM ．在△HDG 和△MDG 中DH DMGDH GDM DG DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△HDG ≌△MDG （SAS ）．∴MG =GH∴GH =OM +OG =FH +OG ．【点睛】本题考查坐标与图形全等三角形的性质和判定角平分线的性质．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．。

2020年中考数学必考考点专题18解直角三角形问题(含解析)

专题18 解直角三角形问题一、勾股定理1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

2．勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。

4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）5. 直角三角形的性质：(1)直角三角形的两锐角互余；(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；(3)直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半；(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

6.直角三角形的判定：(1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形(2) 两锐角互余的三角形是直角三角形(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形(4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形二、锐角三角函数1.各种锐角三角函数的定义（1）正弦：在△ABC中，∠C=90°把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边（2）余弦：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与斜边比值的叫做∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边（3）正切：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边2.特殊值的三角函数：专题知识回顾三、仰角、俯角、坡度概念 1．仰角：视线在水平线上方的角； 2．俯角：视线在水平线下方的角。

3．坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。

四、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA •tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA=AAcos sin专题典型题考法及解析【例题1】（2019•湖北省鄂州市）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P 点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝．【答案】2或2或2．【解析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．∵AO＝OB＝2，∴当BP＝2时，∠APB＝90°，当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴AP＝OA•tan∠AOP＝2，∴BP＝＝2，当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴BP＝OB•tan∠1＝2，故答案为：2或2或2．【例题2】（2019•湖南长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【答案】D【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．【例题3】（2019•江苏连云港）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．【解析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．在Rt△ABC中，sinB＝，∴AC＝AB•sin37°＝25×＝15（海里）．答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D.C.M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出C D．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可．过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D.C.M在一条直线上．在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝15×＝12，AM＝AC•cos∠CAM＝15×＝9．在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，∴AD＝＝＝9，CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．设缉私艇的速度为x海里/小时，则有＝，解得x＝6．经检验，x＝6是原方程的解．答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．专题典型训练题一、选择题1．（2019•渝北区）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（）A．1，，2 B．1，3，4 C．2，3，6 D．4，5，6【答案】A．【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．A.12+（）2＝22，故是直角三角形，故此选项正确；B.12+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；C.22+32≠62，故不是直角三角形，故此选项错误；D.42+52≠62，故不是直角三角形，故此选项错误．2．（2019•巴南区）下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是（）A．，，B．32，42，52C．D．0.3，0.4，0.5【答案】D．【解析】先根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．A.（）2+（）2≠（）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；B.（32）2+（42）2≠（52）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；C.（）2+（）2≠（）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；D.0.032+0.042＝0.052，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意。

中考数学构造关于根号二根号三倍线段问题

中考数学构造关于根号二根号三倍线段问题中考数学构造关于根号二根号三倍线段问题一、问题引入在中考数学考试中，有一道经典题目是构造根号二根号三倍线段。

这个问题涉及到了数学中的几何知识，同时也需要一定的构造技巧和创造力。

下面将详细介绍这个问题以及解题思路。

二、问题描述已知一个线段AB，长度为1，要求构造一个线段CD，使得CD的长度是根号二根号三倍。

三、解题思路1. 首先，我们可以先构造一个长度为根号三的线段EF。

根号三是个无理数，无法精确地构造出其长度。

但是，我们可以利用勾股定理来近似构造。

2. 根据勾股定理，我们可以构造一个直角三角形，其中一个直角边长为1，另一个直角边长为根号三。

这样，斜边的长度就近似等于根号四，即2。

3. 接下来，我们需要构造一个长度为根号二的线段GH。

同样地，根号二也是个无理数，我们无法精确地构造出其长度。

但是，我们可以利用勾股定理来近似构造。

4. 构造一个正方形，在其对角线上分别取两个点I和J，使得IJ的长度为1。

这样，正方形的边长就是根号二。

5. 然后，我们可以将直角三角形和正方形拼接在一起，使得直角边和边长为根号二的线段平行。

这样，我们就得到了一个长度为根号二根号三的线段CD。

四、结论验证我们可以利用数学计算方法验证一下构造出的线段CD的长度是否是根号二根号三倍。

1. 根号二根号三的近似值约为2.44949。

2. 计算线段CD的长度，即2*根号二根号三 = 2 * 根号四 = 2 * 2 = 4。

3. 可以发现，根号二根号三倍的线段CD的长度并不等于实际构造出来的线段长度，即2.44949 ≠ 4。

这说明，我们的构造过程只是近似地构造了根号二根号三倍线段。

五、总结中考数学中的根号二根号三倍线段问题是一个综合性的几何题目，既需要运用勾股定理进行近似构造，又需要灵活运用直角三角形和正方形的性质进行拼接。

通过这个问题的解题过程，我们不仅可以巩固几何知识，还可以培养解决问题的思维能力和创造力。

2019-2020学年上海八年级数学上册期末专题复习专题08 直角三角形复习(考点讲解)(教师版)

专题08 直角三角形（沪教版）【考点剖析】1.直角三角形全等的判定Rt ABC ∴∆2.直角三角形的性质定理及推论 3.勾股定理4.两点的距离公式①数轴上两点A 、B 分别表示实数m 、n ，则AB 的距离为||m n -.②如果直角坐标平面内有两点111222(,)(,)P x y P x y 、，那么12P P 、两点间的距离12PP =【典例分析】例题1 （浦东2017期末4）在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（） A.4、7、9； B. 5、12、13； C. 6、8、10； D. 7、24、25. 【答案】A【解析】A 、因为222479+≠，故不是直角三角形，符合题意；B 、22251213+=，故是直角三角形；C 、2228610+=，故是直角三角形；D 、22272425+=，故是直角三角形；故选A.例题2 （金山2018期末16）如图：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，AB 的垂直平分线EF 分别交BC 、AB 于点E 、F ， ︒=∠65AEF ，那么=∠CAE ．【答案】40︒.【解析】因为EF 垂直平分AB ，所以EA ＝EB ，所以B EAB ∠=∠，因为︒=∠65AEF ，所以25B EAB ∠=∠=︒，所以252550AEC ∠=︒+︒=︒，所以905040CAE ∠=︒-︒=︒.例题3 （黄浦2017期末16）若ABC ∆的三条边分别为5、12、13，则ABC ∆之最长边上的中线长为 . 【答案】132；【解析】因为22251213+=，故ABC ∆为直角三角形，则ABC ∆的最长边（即斜边）上的中线长等于斜边的一半为132. 例题4 （金山2017期末18）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点D 在BC 边上，现将ABC ∆沿直线AD 折叠，使点C 落在斜边AB 上，那么AD ＝ cm.【答案】.【解析】设点C 落在AB 边上的点E 处，则DE ＝DC ，AE ＝AC ＝6，设DE ＝DC ＝x ，则BD ＝8－x ，因为AB10=，所以BE ＝4，所以8-x=5，得x ＝3，所以AD ===. 例题5 （浦东2017期末19）已知在ABC ∆中，AB ＝9，AC ＝10，BC ＝17，那么边AB 上的高等于 . 【答案】8【解析】如图，设AD ＝x ，CD ＝h ，则由勾股定理得2222100(9)289x h x h ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解之得68x h =⎧⎨=⎩.17109DCBA例题6 （普陀2017期末23）已知：如图，在ABC ∆中，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，点M 是BC 的中点，且MN DE ⊥，垂足为点N. （1）求证：ME ＝MD ；（2）如果BD 平分ABC ∠，求证：AC ＝4EN.【答案与解析】（1）因为BD 、是边AC 上的高，所以90BDC ∠=︒，因为M 是BC 的中点，所以12DM BC =，同理12EM BC =，所以ME=MD. （2）因为BD 平分ABC ∠，所以ABD CBD ∠=∠，因为BD 是边AC 上的高，所以90ADB CDB ∠=∠=︒，在ABD CBD ∆∆和中，ABD CBD BD BD ADB CDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以ABD CBD ∆∆≌，所以AD=CD ，又CE 是边AB 上的高，所以CEA=90∠︒，所以AC=2ED ，因为ME=MD ， MN DE ⊥，所以ED=2 EN ，所以AC=4EN. 【真题训练】一、选择题1．（金山2017期末5）下列各组数据是线段的长，其中能作为直角三角形的三边的是（）1； B. C. D. 【答案】A.【解析】因为2221+=，故可作为直角三角形的三边.所以选A.2．（宝山2017期末4）在90Rt ABC C ∆∠=︒中，，如果12BC AB =，那么（） A.30A ∠=︒； B. 45A ∠=︒； C. 60A ∠=︒； D. 36A ∠=︒. 【答案】A【解析】根据直角三角形的性质定理2的推论2：直角三角形中，若直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30度。

直角三角形的三边关系定理解析

直角三角形的三边关系定理解析一、直角三角形的定义直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是直角，即90度。

二、三边关系定理直角三角形的三边关系定理是指直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

三、三边关系定理的证明1.勾股定理的证明a.设直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边为c。

b.构造直角三角形ABC，其中∠C为直角，AC=a，BC=b。

c.在三角形ABC中，过点A作AD垂直于BC，交BC于点D。

d.根据直角三角形的性质，得到∠ADB也为直角。

e.根据勾股定理，得到AB²=AD²+BD²。

f.因为AD=BC=b，BD=a，所以AB²=a²+b²。

g.因此，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

2.逆定理的证明a.设三角形ABC的两边AB和AC的平方和等于BC的平方，即AB²+AC²=BC²。

b.过点A作AD垂直于BC，交BC于点D。

c.根据勾股定理的逆定理，得到∠ADB为直角。

d.因此，三角形ABC为直角三角形。

四、三边关系定理的应用1.计算直角三角形的边长a.已知两直角边的长度，可以通过三边关系定理计算斜边的长度。

b.已知斜边和一锐角边的长度，可以通过三边关系定理计算另一锐角边的长度。

2.证明几何题a.在解决几何问题时，如果已知三角形是直角三角形，可以通过三边关系定理来证明。

b.在解决几何问题时，如果需要证明一个三角形是直角三角形，可以通过三边关系定理来证明。

五、特殊情况1.等腰直角三角形a.等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，其中两直角边相等。

b.在等腰直角三角形中，斜边的长度是直角边长度的√2倍。

2.直角三角形中的直角边和斜边的关系a.在直角三角形中，斜边的长度大于任何一条直角边的长度。

b.在直角三角形中，直角边的长度大于斜边与另一条直角边之差。

直角三角形的三边关系定理是数学中的一个重要定理，它揭示了直角三角形中三边之间的数量关系。

人教版八年级数学上精练第12章全等三角形三角形全等的判定微专题全等三角形应用的常见类型(含解析)

人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.2 三角形全等的判定微专题全等三角形应用的常见类型老师告诉你全等三角形的对应边相等、对应角相等，为我们提供了解决线段相等，角相等的新思路、新方法，因此，判定两个三角形全等是解决线段相等，角相等的问题的基础，全等三角形的判定和性质的应用是各类考试的必考内容之一，主要题型有证明线段、角相等关系、和差关系、位置关系等.类型一、全等三角形在证明线段相等角相等中的应用【典例剖析】例1-1．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF．（Ⅰ）求证：CF=AE；（Ⅱ）若AE=3，BF=4，求AB的长．例1-2．如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB=EC，DB=BC．求证：AD=EB．【针对训练】1．已知：如图，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：∠B=∠E．2．如图，在中，，、分别为、上一点，．若，求证：．3．如图，CA=CD，CB=CE，AB=DE，AB与DE交于点M．（1）求证：∠ACD=∠BCE；（2）连MC，若∠BMC=78°，求∠BMD的度数．类型二、全等三角形在证明线段和差关系的应用【典例剖析】例2-1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；例2-2．综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：_____，∠BDC=_____°；（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：_____；【针对训练】1．已知：四边形中，，，，对角线相交于点O，且平分，过点A作，垂足为H．判断线段之间的数量关系：___________；并证明你的结论．2．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．连结BE，CD，作AF⊥CD，垂足为F，交BE于点G．（1）若∠GAE=70°，求∠ADC的度数；（2）如图2，作EH⊥GF，垂足为H，HF=7，求EH+DF的长；（3）求证：BG=EG．3．如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG．（1）求证：BE=CF；（2）若BG=CA，求证：GA=2DE．类型三、全等三角形在证明线段位置关系的应用【典例剖析】例3-1．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．求证：（1）△ACD≌△BEC；（2）CF⊥DE．例3-2．已知AB=CD，AD=BC．求证：①AD∥BC；②∠B=∠D．【针对训练】1．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE．2．如图，，，，在同一条直线上，于点，于点，，，求证：．3．如图，点A ，B ，C ，D 在一条直线上，AB=CD ，CE ∥BF ，CE=BF ，求证：AE ∥DF ．类型四、全等三角形在线段或角的计算中的应用【典例剖析】例4-1．如图，AB DC =，ABC DCB ∠=∠.（1）求证：BD CA =；（2）若62A ∠=︒，75ABC ∠=︒.求ACD ∠的度数.例4-2．如图，在 ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AB 边上一点，过点C 作//CF AB 交ED 的延长线于点F ，（1）求证：BDE CDF ≌△△；（2）当AD BC ⊥，1AE =，2CF =时，求AC 的长.【针对训练】1．如图.点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，点E ，F 分别在直线AB 的两侧，且AE BF =，A B ∠=∠，ACE BDF ∠=∠.（1）求证：ACE BDF △△≌；（2）若8AB =，2AC =，求CD 的长.2．如图，四边ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AB AC =，点E 是BD 上一点，且ABD ACD ∠=∠，EAD BAC ∠=∠.（1）求证：AE AD =；（2）若8BD =，5DC =，求ED 的长.3．如图,以ABC △的两边AC ,BC 为边分别向外作ADC △和BEC △,使得BCD ACE ∠=∠,CD CE =,D E ∠=∠.（1）求证:ADC BEC ≌△△;（2）若60CAD ∠=︒,110ABE ∠=︒,求ACB ∠的度数.4．如图,C 是线段AB 的中点,CD 平分ACE ∠,CE 平分BCD ∠,CD CE =.（1）求证:ACD BCE ≅△△; （2）若50D ∠=︒,求B ∠的度数.类型五、全等三角形在生活实际中的应用【典例剖析】例5-1．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O 处用一根细绳悬挂一个小球A ，小球A 可以自由摆动，如图，OA 表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA 摆到OB 位置，此时过点B 作BD ⊥OA于点D ，当小球摆到OC 位置时，OB 与OC 恰好垂直（图中的A 、B 、O 、C 在同一平面上），过点C 作CE ⊥OA 于点E ，测得CE=15cm,OE=8cm. （1）试说明：OE=BD ；（2）求DE 的长．例5-2．如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同（EH=HD ），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯BC 和EF 的长度是否相等，于是制定了如下方案：课题探究两个滑梯的长度是否相等测量工具长度为6米的米尺测量步骤①测量出线段FD 的长度②测量出线段AB 的长度测量数据DF=2.5米，AB=5米（1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯BC 和EF 的长度是否相等？并说明理由．（2）试猜想左右两个滑梯BC 和EF 所在直线的位置关系，并加以证明．【针对训练】1．如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的S点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．课题测凉亭与游艇之间的距离测量工具皮尺等测量方案示意图测量步骤①小明沿堤岸走到电线杆B旁；②再往前走相同的距离，到达C点；③然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来．测量数据AB=10米，BC=10米，CD=5米（1）凉亭与游艇之间的距离是_____米．（2）请你说明小明做法的正确性．2．如图，这是王玲家的养鱼塘，王玲想要测量鱼塘的宽AB，请你帮助她设计一个不必下水而且简单可行的方案，并说明理由，要求在原图上画出该方案的示意图．3．雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.2 三角形全等的判定微专题全等三角形应用的常见类型（解析版）老师告诉你全等三角形的对应边相等、对应角相等，为我们提供了解决线段相等，角相等的新思路、新方法，因此，判定两个三角形全等是解决线段相等，角相等的问题的基础，全等三角形的判定和性质的应用是各类考试的必考内容之一，主要题型有证明线段、角相等关系、和差关系、位置关系等.类型一、全等三角形在证明线段相等角相等中的应用【典例剖析】例1-1．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF．（Ⅰ）求证：CF=AE；（Ⅱ）若AE=3，BF=4，求AB的长．【解析】（Ⅰ）通过HL证明Rt△CDF≌Rt△EDA，即可得出结论；（Ⅱ）通过HL证明△BED≌△BCD，得BE=BC，再进行等量代换即可．证明：（Ⅰ）∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DC，∠AED=90°，在Rt△CDF与Rt△EDA中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDA（HL），∴CF=AE；（Ⅱ）∵CF=AE，AE=3，∴CF=3，∵BF=4，∴BC=BF+CF=4+3=7，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠C=90°，∴∠DEB=∠C，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△BED和△BCD中，，∴△BED≌△BCD（AAS），∴BE=BC=7，∴AB=BE+AE=7+3=10．例1-2．如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB=EC，DB=BC．求证：AD=EB．【解析】由平行线的性质可得∠A=∠EBC，由“AAS”可证△ABD≌△BEC，可得BD=EC．证明：∵BD∥CE，∴∠ABD=∠C，在△ABD和△ECB中，∴△ABD≌△ECB（SAS），∴AD=EB．【针对训练】1．已知：如图，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：∠B=∠E．【解析】由AF=DC，得AC=DF，由AB∥DE，得∠A=∠D，即可证△ABC≌△DEF（SAS），故∠B=∠E．证明：∵AF=DC，∴AF+CF=DC+CF，即AC=DF，∵AB∥DE，∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠B=∠E．2．如图，在中，，、分别为、上一点，．若，求证：．【答案】见解析【解析】先根据条件得出，，再根据判定，即可得到．解：证明：，，，，，，，在与中，，，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．3．如图，CA=CD，CB=CE，AB=DE，AB与DE交于点M．（1）求证：∠ACD=∠BCE；（2）连MC，若∠BMC=78°，求∠BMD的度数．【解析】（1）根据SSS证明△ABC≌△DEC，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）根据AAS证明△AGC≌△DHC，进而利用全等三角形的性质解答即可．证明：（1）在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SSS），∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE；（2）过C作CG⊥AB于G，CH⊥DE于H，∵△ABC≌△DEC，∴∠A=∠D，AC=DC，∵∠AGC=∠DHC=90°，在△AGC和△DHC中，，∴△AGC≌△DHC（AAS），∴CG=CH，∴MC平分∠BMD，∴∠BMD=2∠BMC=2×78°=156°．类型二、全等三角形在证明线段和差关系的应用【典例剖析】例2-1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；【解析】（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；②由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案．（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）．②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∵DC+CE=DE，∴AD+BE=DE．（2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC-CD=AD-BE．例2-2．综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：_____，∠BDC=_____°；（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：_____；【答案】(1)BE=CF;(2)30;(3)BF=CF+2AM;【解析】（1）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论；（2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAF即可得出结论；（3）根据等腰直角三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAE即可得出结论；（4）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点P，利用勾股定理计算出BP，再利用第3小题的结论得到三角形的高，△ABP的面积即可求出．解：（1）BE=CF，∠BDC=30°，理由如下：如图1所示：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB=AC，AE=AF，又∵∠BAC=∠EAF=30°，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴BE=CF，∴∠ABE=∠ACD，∵∠AOE∠ABE+∠BAC，∠AOE=∠ACD+∠BDC，∴∠BDC=∠BAC=30°；（2）BE=CF，∠BDC=60°，理由如下：如图2所示：证明：∵∠BAC=∠EAF=120°，∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，即∠BAE=∠CAF，又∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴AB=AC，AE=AF，∴△BAE≌△CAF（SAS）∴BE=CF，∴∠AEB=∠AFC，∵∠EAF=120°，AE=AF，∴∠AEF=∠AFE=30°，∴∠BDC=∠BEF-∠EFD=∠AEB+30°-（∠AFC-30°）=60°；（3）BF=CF+2AM，理由如下：如图3所示：∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴∠CAB=∠EAF=90°，AB=AC，AE=AF，∴∠CAB-∠CAE=∠FAE-∠CAE，即：∠BAE=∠CAF，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE=CF，∵AM⊥BF，AE=AF，EAF=90°，∴EF=2AM，∵BF=BE+EF，∴BF=CF+2AM；【针对训练】1．已知：四边形中，，，，对角线相交于点O，且平分，过点A作，垂足为H．判断线段之间的数量关系：___________；并证明你的结论．【答案】，证明见解析【解析】先证明是等边三角形，再证明，最后根据三角形内角和定理证明，在上截取，先证明，得出，再证明，得出，即可解决问题．，证明：∵，，∴是等边三角形，∴，∵，平分，∴，∴，∵，，，∴，在上截取，∵，∴，又，∴，∴，∴∵，∴，∴，∵，∴．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．连结BE，CD，作AF⊥CD，垂足为F，交BE于点G．（1）若∠GAE=70°，求∠ADC的度数；（2）如图2，作EH⊥GF，垂足为H，HF=7，求EH+DF的长；（3）求证：BG=EG．【解析】（1）由∠ADC+∠DAF=90°，∠GAE+∠DAF=90°，得∠ADC=∠GAE=70°；（2）可证明△EAH≌△ADF，EH=AF，AH=DF，则EH+DF=AF+AH=HF=7；（3）作EH⊥FG于点H，BI⊥FG交FG的延长线于点I，可证明△BAI≌△ACF，得BI=AF，而EH=AF，所以BI=EH，可证明△BGI≌△EGH，则BG=EG．（1）解：如图1，∵AF⊥CD，∴∠AFD=90°，∴∠ADC+∠DAF=90°，∵∠DAE=90°，∴∠GAE+∠DAF=90°，∴∠ADC=∠GAE=70°，∴∠ADC的度数是70°．（2）解：如图2，∵EH⊥GF，∴∠EHA=∠AFD=90°，由（1）得∠EAH=∠ADF，在△EAH和△ADF中，，∴△EAH≌△ADF（AAS），∴EH=AF，AH=DF，∴EH+DF=AF+AH=HF=7，∴EH+DF的长是7．（3）证明：如图3，作EH⊥FG于点H，BI⊥FG交FG的延长线于点I，∴∠I=∠EHG=∠AFC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAI=∠ACF=90°-∠CAF，在△BAI和△ACF中，，∴△BAI≌△ACF（AAS），∴BI=AF，由（2）得EH=AF，∴BI=EH，在△BGI和△EGH中，，∴△BGI≌△EGH（AAS），∴BG=EG．3．如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG．（1）求证：BE=CF；（2）若BG=CA，求证：GA=2DE．【解析】（1）利用AAS证明△BED≌△CFD，得BE=CF；（2）利用HL证明Rt△BGE≌Rt△CAF，得GE=AF，从而解决问题．证明：（1）∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠F，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE=CF；（2）在Rt△BGE和Rt△CAF中，，∴Rt△BGE≌Rt△CAF（HL），∴GE=AF，∴AG=EF．∵△BED≌△CFD，∴DE=DF，∴GA=2DE．类型三、全等三角形在证明线段位置关系的应用【典例剖析】例3-1．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．求证：（1）△ACD≌△BEC；（2）CF⊥DE．【解析】（1）根据平行线性质求出∠A=∠B，根据SAS推出即可．（2）根据全等三角形性质推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出即可．证明：（1）∵AD∥BE，∴∠A=∠B，在△ACD和△BEC中∴△ACD≌△BEC（SAS），（2）∵△ACD≌△BEC，∴CD=CE，又∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE．例3-2．已知AB=CD，AD=BC．求证：①AD∥BC；②∠B=∠D．【解析】①连接AC，由AB=CD，BC=DA，AC=CA，根据全等三角形的判定定理“SSS”证明△ABC≌△CDA，得∠ACB=∠CAD，则AD∥BC；②由△ABC≌△CDA，得∠B=∠D．证明：①连接AC，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠ACB=∠CAD，∴AD∥BC．②△ABC≌△CDA，∴∠B=∠D．【针对训练】1．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE．【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可以得出△ABE≌△ACD；（2）由△ABE≌△ACD可以得出∠B=∠ACD-45°，进而得出∠DCB=90°，就可以得出结论．（1）△ABE≌△ACD．证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE．即∠BAE=∠CAD，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD；（2）证明∵△ABE≌△ACD，∴∠ACD=∠ABE=45°，又∵∠ACB=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∴DC⊥BE．2．如图，，，，在同一条直线上，于点，于点，，，求证：．【答案】见解析【解析】先证明，利用全等三角形的性质解题即可．证明：∵，∴，又∵∴在和中，，∴∴∴【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．3．如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB=CD，CE∥BF，CE=BF，求证：AE∥DF．【解析】根据平行线的性质得出∠ACE=∠DBF，求出AC=BD，根据全等三角形的判定得出△AEC≌△DFB，根据全等三角形的性质得出∠A=∠D，根据平行线的判定得出即可．证明：∵CE∥BF，∴∠ACE=∠DBF，∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD ，在△AEC 和△DFB 中，，∴△AEC ≌△DFB （SAS ）， ∴∠A=∠D ， ∴AE ∥DF ．类型四、全等三角形在线段或角的计算中的应用【典例剖析】例4-1．如图，AB DC =，ABC DCB ∠=∠.（1）求证：BD CA =；（2）若62A ∠=︒，75ABC ∠=︒.求ACD ∠的度数. 答案：（1）见详解（2）32︒解析：（1）证明：在ABC △与DBC △中，AB DC ABC DCB BC CB ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝， ()SAS ABC DCB ∴≌△△，BD CA ∴=；（2）ABC DCB ≌△△，75ABC ∠=︒75ABC DCB ∴∠=∠=︒， 62A ∠=︒，75ABC ∠=︒. 180756243ACB ∴∠=︒-︒-︒=︒，754332ACD DCB ACB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒.例4-2．如图，在 ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AB 边上一点，过点C 作//CF AB 交ED 的延长线于点F ，（1）求证：BDE CDF ≌△△；（2）当AD BC ⊥，1AE =，2CF =时，求AC 的长. （1）答案：见解析解析：//CF AB ，B FCD ∴∠=∠，BED F ∠=∠，AD 是BC 边上的中线，BD CD ∴=， BDE CDF∴≌△△；（2）答案：3解析：BDE CDF≌△△， 2BE CF ∴==，123AB AE BE ∴=+=+=， AD BC ⊥，BD CD =， 3AC AB ∴==.【针对训练】1．如图.点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，点E ，F 分别在直线AB 的两侧，且AE BF =，A B ∠=∠，ACE BDF ∠=∠.（1）求证：ACE BDF △△≌；（2）若8AB =，2AC =，求CD 的长. 答案：（1）见解析（2）4解析：（1）在ACE △和BDF △中，ACE BDF A BAE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AAS ACE BDF ∴△△≌；（2）ACE BDF ≌△△，2AC =，2BD AC ∴==，又8AB =，4CD AB AC BD ∴=--=.2．如图，四边ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AB AC =，点E 是BD 上一点，且ABD ACD ∠=∠，EAD BAC ∠=∠.（1）求证：AE AD =；（2）若8BD =，5DC =，求ED 的长. 答案：（1）见解析（2）3 解析：（1）BAC EAD ∠=∠，BAC EAC EAD EAC ∴∠-∠=∠-∠，即：BAE CAD ∠=∠，在ABE △和ACD △中，ABD ACD AB ACBAE CAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ASA ABE ACD ∴≌△△，AE AD ∴=；（2）()ASA ABE ACD ≌△△，BE CD ∴=， 8BD =，5DC =，853ED BD BE BD CD ∴=-=-=-=.3．如图,以ABC △的两边AC ,BC 为边分别向外作ADC △和BEC △,使得BCD ACE ∠=∠,CD CE =,D E ∠=∠.（1）求证:ADC BEC ≌△△;（2）若60CAD ∠=︒,110ABE ∠=︒,求ACB ∠的度数. 答案：（1）见解析（2）80︒ 解析:（1）证明:BCD ACE ∠=∠,BCD ACB ACE ACB ∴∠-∠=∠-∠,即ACD BCE ∠=∠. 又CD CE =,D E ∠=∠,()ADC BEC ASA ∴△≌△;（2）由（1）得ADC BEC △≌△,60CBE CAD ∴∠=∠=︒,AC BC =, CAB CBA ∴∠=∠. 110ABE ∠=︒,1106050CAB CBA ABE CBE ∴∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒, 180180505080ACB CAB CBA ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.4．如图,C 是线段AB 的中点,CD 平分ACE ∠,CE 平分BCD ∠,CD CE =.（1）求证:ACD BCE ≅△△; （2）若50D ∠=︒,求B ∠的度数. 答案：（1）证明见解析; （2）70︒. 解析:（1）点C 是线段AB 的中点,AC BC ∴=,又CD 平分ACE ∠,CE 平分BCD ∠,12∴∠=∠,23∠=∠,13∴∠=∠在ACD △和BCE △中,13CD CE AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACD BCE ∴≅△△（2）123180∴∠+∠+∠=︒12360∴∠=∠=∠=︒ ACD BCE ≅△△ 50E D ∴∠=∠=︒180370B E ∴∠=-∠-∠=︒︒.类型五、全等三角形在生活实际中的应用【典例剖析】例5-1．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O 处用一根细绳悬挂一个小球A ，小球A 可以自由摆动，如图，OA 表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA 摆到OB 位置，此时过点B 作BD ⊥OA于点D ，当小球摆到OC 位置时，OB 与OC 恰好垂直（图中的A 、B 、O 、C 在同一平面上），过点C 作CE ⊥OA 于点E ，测得CE=15cm,OE=8cm. （1）试说明：OE=BD ；（2）求DE 的长．【解析】（1）利用AAS 证明△COE ≌△OBD ，可得结论；（2）利用全等三角形性质可得答案．解：（1）∵OB⊥OC，∴∠BOD+∠COE=90°，∵CE⊥OA，BD⊥OA，∴∠CEO=∠ODB=90°，∴∠BOD+∠B=90°，∴∠COE=∠B，∵OC=BO，∴△COE≌△OBD（AAS），∴OE=BD；（2）∵△COE≌△OBD，∴CE=OD=15cm,∴DE=OD-OE=7cm.例5-2．如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同（EH=HD），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯BC和EF的长度是否相等，于是制定了如下方案：课题探究两个滑梯的长度是否相等测量工具长度为6米的米尺①测量出线段FD的长度测量步骤②测量出线段AB的长度测量数据DF=2.5米，AB=5米（1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯BC和EF的长度是否相等？并说明理由．（2）试猜想左右两个滑梯BC和EF所在直线的位置关系，并加以证明．【解析】（1）证明△BAC≌△EDF（SAS），由全等三角形的性质得出BC=EF；（2）延长BC交EF于点M，由全等三角形的性质得出∠BMF=90°，则可得出结论．解：（1）BC=EF．理由：∵EH=DH=2.5米，∴ED=5米，∴AB=DE，由题意可知四边形CADH为矩形，∴CA=DH=2.5米，∵DF=2.5米，∴CA=DF，∵∠BAC=∠EDF=90°，∴△BAC≌△EDF（SAS），∴BC=EF；（2）BC⊥EF．理由：延长BC交EF于点M，∵∠EDF=90°，∴∠F+∠EDF=90°，∵△BAC≌△EDF，∴∠B=∠DEF，∴∠B+∠F=90°，∴∠BMF=90°，∴EF⊥BM．【针对训练】1．如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的S点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．课题测凉亭与游艇之间的距离测量工具皮尺等测量方案示意图测量步骤①小明沿堤岸走到电线杆B旁；②再往前走相同的距离，到达C点；③然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来．测量数据AB=10米，BC=10米，CD=5米（1）凉亭与游艇之间的距离是_____米．（2）请你说明小明做法的正确性．【答案】5【解析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．解：（1）凉亭与游艇之间的距离是5米；故答案为：5．（2）理由：在△ABS与△CBD中，，∴△ABS≌△CBD（ASA），∴AS=CD=5米．2．如图，这是王玲家的养鱼塘，王玲想要测量鱼塘的宽AB，请你帮助她设计一个不必下水而且简单可行的方案，并说明理由，要求在原图上画出该方案的示意图．【解析】方案设计为：从A点出发沿与AB垂直的方向到C点，再沿AC方向走到D点，使CD=AC，接着从B点出发，沿与AD垂直的方向走到E点，使E、C、B共线，则测出DE的长解能得到AB 的宽；然后根据全等三角形的判断方法证明△ACB≌△DCE，从而得到AB=DE．解：方案设计为：从A点出发沿与AB垂直的方向到C点，再沿AC方向走到D点，使CD=AC，接着从B点出发，沿与AD垂直的方向走到E点，使E、C、B共线，则测出DE的长解能得到AB的宽．理由如下：∵AD⊥AB，BE⊥AD，∴∠BAC=∠EDC，∵∠BCA=∠ECD，AC=DC，∴△ACB≌△DCE（ASA），∴AB=DE．3．雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．【解析】∠BAD与∠CAD相等，证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，本题OA=OA公共边，可考虑SSS证明三角形全等，从而推出角相等．解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD=∠CAD，理由如下：∵AB=AC，AE=AB，AF=AC，∴AE=AF，在△AOE与△AOF中，，∴△AOE≌△AOF（SSS），∴∠BAD=∠CAD．。

与三角形的中位线有关的问题求解-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练

专题29 与三角形的中位线有关的问题求解1. 如图平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD 的中点，BD＝6，则△DOE的周长为（）A. 6B. 7C. 8D. 102. 如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，AD//BC，BD为∠ABC的平分线，BC＝6，AC＝8．E、F分别是BD、AC的中点，则EF的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 如图，在四边形ABCD中，G是对角线BD的中点，E、F分别是边BC、AD的中点，AB＝DC，∠ABD＝100°，∠BDC=44°．则∠GEF的度数是（）A. 10°B. 20°C. 28°D. 30°4. 如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N．△ABC的周长为30，BC＝12．则MN的长是( )A. 15B. 9C. 6D. 35. 如图，在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，点D 为AB 上一点，BC ＝BD ，BE ⊥CD 于点E ，点F 为AC 的中点，连接EF ，则EF 的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 如图，△ABC 以点O 为旋转中心，旋转180°后得到△A ′B ′C ′，ED 是△ABC 的中位线，经旋转后为线段E ′D ′．已知ED ＝6，则B ′C ′等于（）A. 8B. 10C. 12D. 147. 如图，在平行四边形ABCD 中，点M 为边AD 上一点，2AM MD =，点E ，点F 分别是,BM CM 中点，若6EF =，则AM 的长为__________．8. 如图，▱ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝4，AE ⊥BC 于E ，F 为边CD 上一动点，连接AF 、EF ，点G ，H 分别为AF 、EF 的中点，则GH 的长为_____．9. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为________．10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是直线AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC=6，AB=5，则AM-MN的最大值为________．11. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD ＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝____．12. 如图，等边△ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AC 边上一点，若AE ＝3，EM+CM 的最小值为_____．13. 如图，在四边形ABCD 中，90,4ABC AB BC ∠=︒==，E ，F 分别是,AD CD 的中点，连接,,BE BF EF ，若四边形ABCD 的面积为12，则BEF △的面积为________．三、解答题14. 如图1，直线AB 和直线AC 相交于A 点()4,0-，B 、C 分别在y 轴的正半轴和负半轴上，且2OB OC =，C 点坐标为()0,2-．（1）求直线AB 的函数表达式；（2）在线段AC 上找一点P ，使得2ABP ACO S S ∆∆=，求P 点的坐标；（3）如图2，D 点为线段AO 的中点，若点Q 是线段AB （不与点A 、B 重合）上一点，且使得DQA OQB ∠=∠，请求出Q 点坐标．15. 如图1，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，,AO CO BCA CAD =∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）如图2，E ，F ，G 分别是,,BO CO AD 的中点，连接,,EF GE GF ，若2,15,16BD AB BC AC ===，求EFG 的周长．16. 如图，在 ABCD 中，∠ABC ，∠BCD 的平分线交于点F ，E 是边BC 的中点，连接EF ，AF ，AF 的延长线交边CD 于点G ，BF 的延长线交CD 的延长线于点H ．（1）∠BFC ＝ °；（2）求证：BC ＝CH ；（3）若EF ＝5，AB ＝6，求CG 的长．17. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，2BD AB =，点E 为线段OC 的中点．（1）求证：2ABO ODE ∠=∠；（2）若F ，G 分别是OB ，AD 的中点．①判断EFG 的形状并证明你的结论；②当EF EG ⊥，且AB =ABCD 的面积．18. 已知，在ABC 中，点M 是BC 的中点，点D 是线段AM 上一点（不与点A 重合）．过点D 作AB 的平行线，过点C 作AM 的平行线，两线交于点E ，连结AE ．（1）如图1，当点D 与M 重合时，求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）如图2，当点D 不与M 重合时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）图3，延长BD 交AC 于点H ，若BH AC ⊥，且BH AM =，求CAM ∠的度数．19. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 为BC 边的中点，过点B 作BF ⊥AB 交AD 的延长线于点F ，CE 平分∠ACB 交AD 于点E ．（1）判断四边形CEBF 的形状，并证明；（2）若AD =，求BF 及四边形CEBF 的面积．20. 如图1，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接BE ，点M ，N ，P 分别为DE ，BE ，BC 的中点，连接NM ，NP ．（1）图1中，线段NM ，NP 的数量关系是，∠MNP 的度数为；（2）把△ADE绕点A顺时针旋转到如图2所示的位置，连接MP．求证：△MNP 是等边三角形；（3）把△ADE绕点A在平面内旋转，若AD＝2，AB＝5，请直接写出△MNP面积的最大值．专题29 与三角形的中位线有关的问题求解【1题答案】【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=12BC，所以易求△DOE 的周长．【详解】解：∵▱ABCD的周长为20，∴2(BC+CD)=20，则BC+CD=10．∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=6，∴OD=OB=12BD=3．∵点E是CD的中点，点O是BD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE=12CD，∴OE=12BC，∴△DOE的周长=OD+OE+DE=12BD+12(BC+CD)=5+3=8，故选：C．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分、平行四边形的对边相等．【2题答案】【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理得到AB=10，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠ABD=∠ADB，求得AB=AD=10，连接BF并延长交AD于G，根据全等三角形的性质得到BF=FG，AG=BC=6，求得DG=10-6=4，根据三角形中位线定理即可得到结论．【详解】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∵BC=6，AC=8．∴10AB==，∵AD BC∥，∴∠ADB=∠DBC，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD=10，连接BF并延长交AD于G，∵AD BC∥，∴∠GAC=∠BCA，∵F是AC的中点，∴AF=CF，在△AFG和△CFB中，AFG CFBGAC BCA AF CF⎧∠=∠⎪⎪∠=∠⎨⎪=⎪⎩，∴△AFG≌△CFB（AAS），∴BF=FG，AG=BC=6，∴DG=10-6=4，∵E是BD的中点，∴EF= 12DG=2．故选：A．【点睛】此题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到EG ∥CD ，12EG CD =，FG ∥AB ，12FG AB =,再求出124EGF ∠=︒,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，即可得出答案．【详解】∵点E ,G 分别是BC ,BD 的中点，∴EG ∥CD ，12EG CD =,∴44BGE BDC ∠=∠=︒,∵点F ,G 分别是AD ,BD 的中点，∴FG ∥AB ，12FG AB =,∴100ABD FGD ∠=∠=︒,∴18080,BGF ABD ∠=︒-∠=︒∴8044124,EGF ∠=︒+︒=︒∵AB =CD ,∴GE =GF ,∴1(180124)282GEF GFE ∠=∠=⨯︒-︒=︒,故选：C ．【点睛】本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理和平行线的性质，掌握三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题关键．【4题答案】【答案】D【解析】【分析】延长AM、AN分别交BC于点F、G，根据BN为∠ABC的角平分线，AN⊥BN得出∠BAN＝∠G，故△ABG为等腰三角形，所以BN也为等腰三角形的中线，即AN＝GN．同理AM＝MF，根据三角形中位线定理即可得出结论．【详解】∵△ABC的周长为30，BC＝12．∴AB+AC＝30﹣BC＝18．延长AN、AM分别交BC于点F、G．如图所示：∵BN为∠ABC的角平分线，∴∠CBN＝∠ABN，∵BN⊥AG，∴∠ABN+∠BAN＝90°，∠AGB +∠CBN＝90°，∴∠BAN＝∠AGB，∴AB＝BG，∴AN＝GN，同理AC＝CF，AM＝MF，∴MN为△AFG的中位线，GF＝BG+CF﹣BC，∴MN＝12(AB+AC﹣BC)＝12(18﹣12)＝3．故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．【5题答案】【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质求出CE＝ED，根据三角形中位线定理解答．【详解】解：BD＝BC＝6，∴AD＝AB﹣BD＝4，∵BC＝BD，BE⊥CD，∴CE＝ED，又CF＝FA，∴EF＝12AD＝2，故选B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．【6题答案】【答案】C【解析】【分析】先根据旋转的性质可得E'D'＝ED＝6，再根据三角形的中位线定理求解即可．【详解】解：∵△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′，ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E'D'∴E'D'＝ED＝6，∴B'C'＝2E'D'＝12.故选：C．【点睛】本题考查旋转的性质、中位线定理，掌握旋转的性质是解题的关键．【7题答案】【答案】8【解析】【分析】先根据三角形中位线定理可得BC的长，再根据平行四边形的性质可得AD的长，然后根据2AM MD=即可得．【详解】点E，点F分别是,BM CM中点EF∴是BCM的中位线22612BC EF∴==⨯=四边形ABCD是平行四边形12AD BC ∴==又2AM MD= 2212833AM AD ∴==⨯=故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点，解题的关键是熟记三角形中位线定理．【8题答案】【解析】【分析】根据含30°的直角三角形的性质得出AE ，进而利用三角形中位线得出GH 即可．【详解】解：∵∠B ＝60°，AB ＝4，AE ⊥BC 于E ，∴∠BAE=30°，∴122BE AB ==∴AE ∵点G ，H 分别为AF 、EF 的中点，∴GH 是△AEF 的中位线，∴GH ＝1AE 2=，【点睛】此题考查平行四边形的性质和三角形中位线定理，关键是根据含30°的直角三角形的性质得出AE 解答．【9题答案】【答案】32【解析】【分析】将Rt △ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到Rt △EBD ，则此时E ，C ，B 三点在同一直线上，得出Q 的运动轨迹为线段ED ，当CQ ⊥ED 时，CQ 的长度最小，由直角三角形的性质及三角形中位线定理可得出答案．【详解】解：将Rt △ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到Rt △EBD ，则此时E ，C ，B 三点在同一直线上，∵∠ABC =60°，∠PBQ =60°，∴∠ABP =∠EBQ ，随着P 点运动，总有AB =EB ，PB =QB ，∴总有△APB ≌△EQB （SAS ），即E ，Q ，D 三点在同一直线上，∴Q 的运动轨迹为线段ED ，∴当CQ ⊥ED 时，CQ 的长度最小，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，AB =6，∴BC =BD =3，EC =3，即C 为EB 的中点，∵CQ ⊥ED ，∠D =90°，∴CQ ∥BD ，CQ 为△EBD 的中位线，∴CQ =12BD =32，故答案为：32．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．【10题答案】【答案】52【解析】【分析】由题分析可以得到M 的轨迹是一条直线（AD 的垂直平分线），再通过计算求出DN 的值即可．【详解】解：如图，连接DM ，DN ，∵90EDF BAC ∠=∠=︒，且M 点是EF 的中点，∴MA=MD=12 EF，可以得到M的轨迹是一条直线（AD的垂直平分线），∴AM MN DM MN-=-，∵点D、N分别是BC、AC的中点，∴1522 DN AB==,∵AM MN DM MN DN-=-≤（D、M、N三点共线时取等号）,∴52 AM MN-的最大值为．故答案为：52．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、线段的垂直平分线的判定、直角三角形的性质和三角形的三边关系，解决本题的关键是掌握相关概念以及正确分析出取最大值时M点的位置．【11题答案】【答案】13【解析】【分析】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，由中位线定理可得NF、MF 的长度，再根据勾股定理求出MN的长度即可．【详解】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点∴NF 、MF 分别是△BDE 、△ABD 的中位线∴11//,//,5,1222NF BE MF AD NF BE MF AD ====∵90ACB ∠=︒∴AD BC⊥∵//MF AD∴MF BC⊥∵//NF BE∴NF MF⊥在Rt MNF △中，由勾股定理得13MN ===故答案为：13．【点睛】本题考查了三角形中位线的问题，掌握中位线定理、勾股定理是解题的关键．【12题答案】【答案】【解析】【详解】试题解析：连接BE ，与AD 交于点M ．则BE 就是EM+CM 的最小值．取CE 中点F ，连接DF ．∵等边△ABC 的边长为6，AE=2，∴CE=AC-AE=6-2=4，∴CF=EF=AE=2，又∵AD 是BC 边上的中线，∴DF 是△BCE 的中位线，∴BE=2DF ，BE ∥DF ，又∵E 为AF 的中点，∴M 为AD 的中点，∴ME 是△ADF 的中位线，∴DF=2ME ，∴BE=2DF=4ME ，∴BM=BE-ME=4ME-ME=3ME ，∴BE=43BM ．在直角△BDM 中，BD=12BC=3，DM=12∴，∴BE=43．∵EM+CM=BE∴EM+CM 的最小值为．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．勾股定理．【13题答案】【答案】5【解析】【分析】连接AC ，过B 作EF 的垂线，利用勾股定理可得AC ，易得ABC ∆的面积，可得BG 和ADC ∆的面积，三角形ABC 与三角形ACD 同底，利用面积比可得它们高的比，而GH 又是ACD ∆以AC 为底的高的一半，可得GH ，易得BH ，由中位线的性质可得EF 的长，利用三角形的面积公式可得结果．【详解】解：连接AC ，过B 作EF 的垂线交AC 于点G ，交EF 于点H ，90ABC ∠=︒ ，4AB BC ==，AC ∴===E ，F 分别是AD ，CD 的中点，EF ∴是ADC ∆的中位线，//EF AC ∴，⊥ BH EF ，BH AC ∴⊥，ABC ∆ 为等腰三角形，ABG ∴∆，BCG ∆为等腰直角三角形，AG BG ∴==，1144822ABC S AB BC ∆=⋅⋅=⨯⨯= ，四边形ABCD 的面积为12，1284ADC S ∆∴=-=， 824ABC ACD S S ∆∆==，∴122122AC BG AC GH ⋅⋅=⋅⋅，14GH BG ∴==BH ∴=，又12EF AC ==，11522BEF S EF BH ∆∴=⋅⋅=⨯=．故答案为：5．【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，勾股定理，三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键．三、解答题【14题答案】【答案】（1）4y x =+（2）44(,)33P -- （3）84(,)33Q-【解析】【分析】(1)根据2OB OC =，C 点坐标为()0,2-，确定2224OB OC ==⨯=，确定点(0,4)B ，设直线AB 的函数表达式为y kx b =+，代入A 、B 两点的坐标计算即可．（2）设直线AC 的函数表达式为y mx n =+，代入A 、C 两点的坐标，确定解析式，设(,)P a ma n +，连接BP ，根据坐标可计算ACO S ∆，结合2ABP ACO S S ∆∆=确定ABP S ∆，再运用分割法得到11||22ABP ABC P x BC BC OA S B P S C S ∆∆∆==-- ，计算即可．（3）在AB 上取一点E ，使得AQ QE =，连接OE ，结合AD DO =得到DQ 是中位线，得到DQ OE ∥，得到DQA OEQ ∠=∠，结合DQA OQB ∠=∠，可证明OEQ OQB ∠=∠，继而得到OQ OE =，过点Q 作QG OA ⊥于点G ，利用等腰直角三角形的性质，运用勾股定理，求算QG AG OG ，，的长，结合点的位置，写出坐标即可．【小问1详解】因为2OB OC =，C 点坐标为()0,2-，所以2224OB OC ==⨯=，所以点(0,4)B ，设直线AB 的函数表达式为y kx b =+，代入A 、B 两点的坐标，得：404k b b -+=⎧⎨=⎩，解得14k b =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的函数表达式为4y x =+．【小问2详解】设直线AC 的函数表达式为y mx n =+，代入A 、C 两点的坐标，得：402m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以直线AC 的函数表达式为122y x =--．设1(,2)2P a a --，连接BP ，因为A 点()4,0-，C 点坐标为()0,2-，点(0,4)B ，所以424(2)6OA OC BC ===--=，，，所以11=42422ACO AO O S C ∆=⨯⨯= ，因为2ABP ACOS S ∆∆=所以=8ABP S ∆，因为ΔΔΔ11··22ABP ABC PBC P S S S BC OA BC x =-=-，所以1164622⨯⨯-⨯⨯（-a)=8，解得43a =-，所以44(,)33P --．【小问3详解】如图，因为4OB OA ==，D 点为线段AO 的中点，所以45DAQ OBQ ∠=∠= ，2DA DB ==，AB ==，在AB 上取一点E ，使得AQ QE =，连接OE ，因为AD DO =，所以DQ 是中位线，所以DQ OE ∥，所以DQA OEQ ∠=∠，2OE DQ =，因为DQA OQB ∠=∠，所以OEQ OQB ∠=∠，所以2OQ OE DQ ==，过点Q 作QG OA ⊥于点G ，则QG AG =，设QG AG x ==，则2,4DG x OG x =-=-，根据勾股定理，得222222(2),(4)DQ x x OQ x x =-+=-+，所以2222(4)4[(2)]x x x x -+=-+，解得43x =，所以48==33QG AG OG OA AG =-=，因为点Q 在第二象限，所以84(,)33Q -．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，线段与坐标的关系，三角形中位线定理，勾股定理，三角形面积分割法计算，熟练掌握待定系数法，勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键．【15题答案】【答案】（1）证明过程见解析（2）24【解析】【分析】(1)由∠=∠BCA CAD得到BC//AD，再证明△AOD≌△COB得到BC=AD，由此即可证明四边形ABCD为平行四边形；(2)由ABCD为平行四边形得到BD=2BO，结合已知条件BD=2BA得到BO=BA=CD=OD，进而得到△DOF与△BOA均为等腰三角形，结合F为OC中点得到∠DFA=90°，GF为Rt△ADF斜边上的中线求出11522GF AD==；过B点作BH⊥AC于H，求出BH=9，再证明四边形BHGE为平行四边形得到GE=BH=9，最后将GE、GF、EF相加即可求解．【小问1详解】证明：∵∠=∠BCA CAD，∴BC∥AD，在△AOD和△COB中：BCA CAD CO AOCOB AOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOD≌△COB(ASA)，∴BC=AD，∴四边形ABCD为平行四边形．【小问2详解】解：∵点E、F分别为BO和CO的中点，∴EF是△OBC的中位线，∴11522 EF BC==；∵ABCD为平行四边形，∴BD=2BO，又已知BD=2BA，∴BO=BA=CD=OD，∴△DOC与△BOA均为等腰三角形，又F为OC的中点，连接DF，∴DF⊥OC，∴∠AFD=90°，又G为AD的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：1115222 GF AD BC===；过B点作BH⊥AO于H，连接HG，如上图所示：由等腰三角形的“三线合一”可知：AH=HO=12AO=14AC=4，∴HC=HO+OC=4+8=12，在Rt△BHC中，由勾股定理可知9BH===,∵H为AO中点，G为AD中点，∴HG为△AOD的中位线，∴HG∥BD，即HG∥BE，且1122HG OD BO BE===，∴四边形BHGE为平行四边形，∴GE=BH=9，∴151592422EFGC GE GF EF=++=++=．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、平行四边形的性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，熟练掌握各图形的性质及定理是解决本题的关键．【16题答案】【答案】（1）90；（2）见解析；（3）CG＝4．【解析】【分析】（1）根据题意，平行四边形邻角互补，结合已知条件则，根据∠BFC=12∠ABC +12∠BCD ，即可求解；（2）根据已知条件，直接证明△BCF ≌△HCF 即可；（3）根据已知条件，先证明EF 为B CH 的中位线，求得CH ，再证明△ABF ≌△HGF ，求得H G ，根据CG HC HG =-即可求得【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ABC +∠BCD ＝180°，∵BF 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∴∠FBC ＝12∠ABC ，∠DCF ＝∠BCF ＝12∠BCD ，∴∠FBC +∠BCF ＝90°，∴∠BFC ＝90°，故答案为90；（2）在△BCF 和△HCF 中，90BCF HCF CF CFBFC HFC ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，∴△BCF ≌△HCF （ASA ），∴BC ＝CH ；（3）∵△BCF ≌△HCF ，∴BF ＝FH ，又∵E 是边BC 的中点，∴CH ＝2EF ＝10，∵AB ∥CD ，∴∠H ＝∠ABF ，在△ABF 和△GHF 中，ABF H BF HFAFB HFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF ≌△HGF （ASA ），∴AB ＝HG ＝6，∴CG ＝CH ﹣GH ＝4．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，中位线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．【17题答案】【答案】（1）见解析，（2）EFG ①的形状为等腰三角形，理由见解析；②24【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质易证CDO ABO ∠=∠，再证CDO 是等腰三角形，由等腰三角形三线合一性质得出12ODE CDE CDO ∠=∠=∠，即可得出结论；（2）①易证DE CO ⊥，由G 为AD 中点，得出12E G A D =，再由E 、F 分别是OC 、OB 的中点，得出12EF BC =，由平行四边形的性质得AD BC =，即可得出EG EF =，则EFG 是等腰三角形；②先证四边形BEFG 是平行四边形，得出EFG GDE ∠=∠，DGE FEG ∠=∠，再证EFG 、DEG △、AED △都是等腰直角三角形，设DG GE x ==，则DE AE ==，13CE AE ==3x =，得出DE =4AC CE ==，最后由122ABCD S AC DE =⨯⋅平行四边形，即可得出答案．【小问1详解】四边形ABCD 是平行四边形，,AB CD ∴∥AB CD =，22BD DO BO ==，CDO ABO ∴∠=∠，2BD AB = ，AB DO CD ∴==，CDO ∴ 是等腰三角形，点E 为线段OC 的中点，1122ODE CDE CDO ABO ∴∠=∠=∠=∠，2ABO ODE ∴∠=∠；【小问2详解】①EFG 的形状为等腰三角形，理由如下：CDO 是等腰三角形，E 是CO 中点，DE CO ∴⊥，90DEA ∴∠=︒，G 为AD 中点，12EG AD ∴=，E 、F 分别是OC 、OB 的中点，12EF BC ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，EG EF ∴=，EFG ∴△是等腰三角形；②解：四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，AB CD ==，AD BC =，AD BC ∥，E 、F 分别是OC 、OB 的中点，13CE AE ∴=，EF 是OBC △的中位线，EF BC ∴∥，12EF BC =，EF BC DG ∴∥∥，G 是AD 的中点，1122DG AD BC ∴==，EF DG ∴=，∴四边形BEFG 是平行四边形，EFG GDE ∴∠=∠，EF DG ∥，DGE FEG ∴∠=∠，EF EG ⊥ ，90FEG DGE ∴∠=∠=︒，由①得：EG EF =，EFG ∴△是等腰直角三角形，45EFG GDE ∴∠=∠=︒，DEG ∴ 是等腰直角三角形，DG GE ∴=，90DEA ∠=︒ ，AED ∴ 是等腰直角三角形，DE AE ∴=，设DG GE x ==，则DE AE ==，13CE AE ==，在Rt DEC 中，由勾股定理得：222CD DE CE =+，即222)=+，解得：3x =或3(x =-不合题意，舍去)，DE ∴=，4443AC CE ∴====，12242ABCD S AC DE ∴=⨯⋅==平行四边形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．【18题答案】【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）30°【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得同位角相等，再利用ASA 证明ABD EDC ∆≅∆，得AB ED =，从而证明结论；（2）过点M 作MG DE ∥交EC 于点G ，则四边形DMGE 为平行四边形，得ED GM =且//ED GM ，由（1）可得AB GM =且AB GM ∥，从而得出结论；（3）取线段HC 的中点I ，连接MI ，由三角形中位线定理得MI BH ∥，12MI BH =，则12MI AM =，MI AC ⊥，即可解决问题．【小问1详解】解：证明：DE AB ∥ ，EDC ABM ∴∠=∠，CE AM ∥，ECD ADB ∴∠=∠，AM 是ABC ∆的中线，且D 与M 重合，BD DC ∴=，()ABD EDC ASA ∴∆≅∆，AB ED ∴=，AB ED ∥，∴四边形ABDE 是平行四边形；【小问2详解】成立，理由如下：过点M 作MG DE ∥交EC 于点G ，CE AM ∥，∴四边形DMGE 为平行四边形，ED GM ∴=且ED GM ∥，由（1）可得AB GM =且AB GM ∥，AB ED ∴=且AB ED ∥，∴四边形ABDE 为平行四边形；【小问3详解】取线段HC 的中点I ，连接MI ，MI ∴是BHC ∆的中位线，MI BH ∴∥，12MI BH =，BH AC ⊥ 且BH AM =，12MI AM ∴=，MI AC ⊥，30CAM ∴∠=︒．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，遇中点取中点构造中位线是解决问题（3）的关键．【19题答案】【答案】（1）四边形CEBF 是平行四边形，证明见解析；（2）BF =CEBF 的面积=12．【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质、垂直的定义和角平分线的定义可得∠DCE ＝∠CBF ，而可根据ASA 证明△CDE ≌△BDF ，于是可得DE ＝DF ，进一步即可得出结论；（2）设CD =x ，则AC=BC =2x ，然后在Rt △ACD 中，由勾股定理可求出x ，从而可得AC 、AB 的长，由等腰三角形的性质可得CE 垂直平分AB ，进而可得AE=BE ，然后根据等腰三角形的性质和判定以及余角的性质可得AE=EF ，于是可得AD =3DE ，AF =4DE ，而AD 已知，则DE 和AF 可得，于是可在直角△AFB 中根据勾股定理求出BF ，过点C 作CG ⊥DE 于点G ，如图，则由三角形的面积可求出CG 的长，于是可得△CDE 的面积，而所求的四边形CEBF 的面积是△CDE 面积的4倍，问题即得解决．【详解】（1）四边形CEBF 是平行四边形．证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠ABC ＝45°，∵FB ⊥AB ，∴∠ABF ＝90°，∴∠CBF ＝45°，∵CE 平分∠ACB ，∴∠DCE ＝45°＝∠CBF ，又∵DC =DB ，∠CDE =∠BDF ，∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴DE ＝DF ，∵DC =DB ，∴四边形CEBF 是平行四边形；（2）解：设CD =x ，则AC=BC =2x ，在Rt △ACD 中，由勾股定理得：()(2222x x +=，解得：x =3，∴CD =3，AC=BC =6，∴AB ==∵AC=BC ，CE 平分∠ACB ，∴CE 垂直平分AB ，∴AE=BE ，∴∠BAE =∠ABE ，∵∠BAE +∠AFB =90°，∠ABE +∠FBE=90°，∴∠AFB =∠FBE ，∴EF=BE ，∴AE=EF ，∵EF =2DE ，∴AD =3DE ，AF =4DE ，∴13DE AD ==，∴AF =，∴BF ===，过点C 作CG ⊥DE 于点G ，如图，则由三角形的面积可得：AC CD AD CG = ，即63CG ⨯=，解得：CG =∴S △CDE =132=，∴四边形CEBF 的面积=4S △CDE =4×3=12．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质以及利用三角形的面积求高等知识，属于常考题型，具有一定的综合性，熟练掌握上述知识是解题的关键．【20题答案】【答案】（1）NM =NP ，60°；（2）见解析；（3【解析】【分析】（1）根据点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，得MN=12BD，PN=12CE，MN∥AB，PN∥AC，可知MN=PN，而∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠ABE+∠AEB，即可求出∠MNP=60°；（2）先证△ABD≌△ACE（SAS），得BD=CE，∠ABD=∠ACE，然后由（1）同理可得MN=PN，∠MNP=60°；（3）先求出MN的最大值，由（2）知△MNP为等边三角形知，MN最大时，△MNP面积的最大，求出此时的面积即可．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∵点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，∴MN=12BD，PN=12CE，MN∥AB，PN∥AC，∴MN=PN，∠ENM=∠EBA，∠ENP=∠AEB，∴∠MNE+∠ENP=∠ABE+∠AEB，∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=60°，∴∠MNP=60°，故答案为：NM=NP，60°；（2）由旋转得：∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，∴MN=12BD，PN=12CE，MN∥BD，PN∥CE，∴MN=PN，∠ENM=∠EBD，∠BPN=∠BCE，∴∠ENP=∠NBP+∠NPB=∠NBP+∠ECB，∵∠EBD=∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ABE，∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB=180°-∠BAC=60°，∴△MNP是等边三角形；（3）由题意知BD≤AB+AD，即BD≤7，∴MN≤72，由（2）知△MNP是等边三角形，∴MN=72时，S△MNP最大，∴S△MNP 77 22⨯【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定与性质等知识，证明出△MNP是等边三角形是解题的关键．。

三角形三条边的长度关系公式根号

三角形三条边的长度关系公式根号三角形是几何学中的基本图形之一，它由三条边和三个角组成。

在研究三角形时，我们经常需要知道三条边的长度关系公式，其中一个常见的公式就是"三角形三条边的长度关系公式根号"。

本文将探讨这个公式的形成原理、应用场景以及个人观点和理解。

1. 根号公式的形成原理在三角形中，三条边的长度关系决定了三个角的大小关系。

根号公式的形成原理基于三角形的勾股定理和余弦定理。

勾股定理表明，若三角形的一个角为直角（即90度），则直角边的平方等于其他两条边平方的和。

而余弦定理则是描述了三角形的任意一个角的余弦值与三条边的关系。

2. 根号公式的应用场景根号公式在解决与三角形相关的问题时非常有用。

当我们已知一个角和两条边的长度时，可以利用根号公式求解剩余的边长。

根号公式也可以用于验证一个三角形是否为直角三角形或等边三角形。

3. 根号公式的具体表达形式根据根号公式的具体表达形式，我们可以推导出三个不同形式的公式，分别用于计算三种不同情况下的边长关系。

- 如果我们已知一个角A和边a的长度，想要求解另外两条边b和c 的长度，可以使用以下公式：b = √(c^2 + a^2 - 2ac*cosA)c = √(b^2 + a^2 - 2ab*cosA)- 如果我们已知一个角A和边c的长度，想要求解另外两条边a和b 的长度，可以使用以下公式：a = √(b^2 + c^2 - 2bc*cosA)b = √(a^2 + c^2 - 2ac*cosA)- 如果我们已知两个角A和B以及边a的长度，想要求解另外一条边b的长度，可以使用以下公式：b = √(a^2 + c^2 - 2ac*cos(A-B))需要注意的是，这些公式中的cos函数使用的是弧度制。

4. 个人观点和理解对于三角形三条边的长度关系公式根号，我认为它是解决与三角形相关问题时的重要工具。

它使我们能够在已知一些信息的情况下，推导出其他未知边的长度。

微专题全等三角形的六种基本模型-2024年中考数学复习

21
全等三角形的六种基本模型
模型应用
8.如图17， △ 是边长为1的等边三角形， = ，
∠ = 120∘ ，点，分别在，上，且
∠ = 60∘ .求 △ 的周长.
提示：如图16，延长至点，使 = ，连接 .
图6
= ,
在 △ 和 △ 中， ቐ∠ = ∠, ∴ △≌△ SAS .
= ,
∠ = ∠ = 50∘ ．
7
全等三角形的六种基本模型
模型三旋转型
模型剖析
如图7，将三角形绕着公共顶
点旋转一定角度后，两个三角形能
够完全重合，这两个三角形称为旋
图3
在 △ 和△ 中， ∵ ∠ = ∠ ， ∠ = ∠ ， = ，
∴ △ ≌ △ AAS .
∴ = .
4
全等三角形的六种基本模型
模型二对称型
模型剖析
如图4、图5，将所给图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能
够完全重合，这两个三角形称为对称型全等三角形，其中重合的顶点就
= ， ∴ △ ≌ △ SAS . ∴ = ，
图17
图16
22
全等三角形的六种基本模型
∠ = ∠. ∵ ∠ = 120∘ ， ∠ = 60∘ ， ∴ ∠ +
∠ = 60∘ . ∴ ∠ + ∠ = 60∘ . ∴ ∠ = ∠ =
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 110∘ .
∴ ∠ = ∠ ．
= ,
图9
在 △ 和 △ 中， ቐ∠ = ∠ ， ∴ △ ≌ △ ．
= ,
∴ = ．
11
全等三角形的六种基本模型

2020-2021学年人教版八年级下册数学微专题：方程思想在勾股定理中的应用

人教版八年级下册数学微专题：方程思想在勾股定理中的应用一．专题解读：在一个直角三角形中，若已知两边长，可直接运用勾股定理求第三边长，若已知一边长，且知另两边具有一定的数量关系，可利用方程思想，设出一边长，利用数量关系表示另一边长，借助勾股定理这一等量关系列出方程解决问题，其中两边的数量关系主要有两种呈现形式：一是直角三角形中有特殊角，二是出现图形的折叠．二．典型习题.1. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，CD 是AB 边上的高，则线段AD 的长度为( )A.125B.245C.135D.752．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝4，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )A.53B.52C.83 D ．53. 如图所示，在△ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知AC ＝CD ＝5，AD ＝6，BD ＝52，则△ABC 的面积是( )A ．18B ．36C ．72D ．1254.如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路．若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB ＝160 km，BC＝120 km，则A，C两村之间的距离为( )A．250 km B．240 km C．200 km D．180 km5. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝2，CD＝3，则BD＝( )A. 5B.19 C．3 2 D.8336.如图，在△ABC中，AB＝41，BC＝8，AC＝5，则△ABC的面积为．7. 如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC 重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB＝．8.如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点A与C重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF的长度为．9.已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，4)和(3，0)，点C 是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，点C的坐标为．11.求下列直角三角形中未知的边长．12. 一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？(这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．)13. 如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．14. 如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°.若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝65.(1)求AC，CE的长．(2)求证：∠ACE＝90°.人教版八年级下册数学微专题：方程思想在勾股定理中的应用一．专题解读：在一个直角三角形中，若已知两边长，可直接运用勾股定理求第三边长，若已知一边长，且知另两边具有一定的数量关系，可利用方程思想，设出一边长，利用数量关系表示另一边长，借助勾股定理这一等量关系列出方程解决问题，其中两边的数量关系主要有两种呈现形式：一是直角三角形中有特殊角，二是出现图形的折叠．二．典型习题.1. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，CD 是AB 边上的高，则线段AD 的长度为( D )A.125B.245C.135D.752．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝4，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( C )A.53B.52C.83 D ．53. 如图所示，在△ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知AC ＝CD ＝5，AD ＝6，BD ＝52，则△ABC 的面积是( A )A．18 B．36 C．72 D．1254.如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路．若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB ＝160 km，BC＝120 km，则A，C两村之间的距离为( C )A．250 km B．240 km C．200 km D．180 km5. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝2，CD＝3，则BD＝( B )A. 5B.19 C．3 2 D.8336.如图，在△ABC中，AB＝41，BC＝8，AC＝5，则△ABC的面积为16．7. 如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC 重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB＝6．8.如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点A与C重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF的长度为25．9.已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为23或27．10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，4)和(3，0)，点C 是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，点C的坐标为(0，118 )．11.求下列直角三角形中未知的边长．解：如图1，设AC＝x，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2x.∵AB2＝AC2＋BC2，∴(2x)2＝x2＋32.∴x＝3或－3(负值舍去)．∴AC＝3，AB＝2 3.如图2，设AC＝x，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴BC＝AC＝x.∵AB2＝AC2＋BC2，∴x2＋x2＝(32)2.∴x＝3或－3(负值舍去)．∴AC＝BC＝3.12. 一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？(这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．)解：设AB＝x尺，根据题意，得∠BAC＝90°，AB＋BC＝10尺，∴BC＝(10－x)尺．∵AC2＋AB2＝BC2，∴32＋x2＝(10－x)2，解得x＝411 20 .答：折断处离地面41120尺．13. 如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，∴根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52.∴AC＝5.∵AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，AD2＝132＝169，∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，即∠ACD＝90°.14. 如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°.若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝65.(1)求AC，CE的长．(2)求证：∠ACE＝90°.解：(1)∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，∴AC＝AB2＋BC2＝32＋22＝13.∵在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4，∴CE＝CD2＋DE2＝62＋42＝52＝213.(2)证明：∵AC＝13，CE＝52，AE＝65，∴AE2＝AC2＋CE2.∴∠ACE＝90°.。

2024河南中考数学专题复习微专题12 构造直角三角形解决根号2、根号3倍的线段数量关系课件

在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF＝∠B，若∠A＝45°，试猜
想CF与BE之间的数量关系，并说明理由．解法一：解：CF＝ 2BE .
∟
理由如下：如图，过点F作FG⊥BC于点G， ∵AB＝BC，∠A＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠DEF＝∠B＝90°，∠C＝∠A＝45°，
G
2
如图，以点B为直角顶点，BE为直角边向上作含30°的Rt△BEG，且
∠BGE＝60°，同时以点F为顶点，CF为边向下作等边三角形CFH，
∵∠ACB＝60°，故可知点H恰好在边BC上，
∵∠A＝30°，∠DEF＝∠B＝90°，
∴∠BGE＝∠C＝∠FHC＝60°，∠DEB＋∠FEH＝90°，
∠DEB＋∠EDG＝90°，BE＝
第1题图①
(2)如图②，请在射线AM上找到一点D，使得AD＝ 2 AB .
2
(2)作图如图，过点B作射线AM的垂线，交射线AM于点D，此时AD＝ 2 AB .
2
D
第1题图②
满分技法辅助线作法： ①不含分式时， 2 在谁那里，谁就是直角边； ②含分式时，分式在谁那里，谁就是斜边，要找的点就是直角顶点．
G
第1题图
∟
解法二：解：CF＝ 2BE .
理由如下：如图，以点B为直角顶点，BE为直角边向下作等腰Rt△BEG. ∵AB＝BC，∠A＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠ABC＝90°，∠C＝∠A＝45°，
∴∠DEB＋∠FEC＝90°，∠DEB＋∠EDG＝90°，
∴∠FEC＝∠EDG. ∵△BEG是等腰直角三角形，
G
第1题图
∴∠G＝45°＝∠C，GE＝ 2BE ，∠EBG＝∠ABC＝90°，

6.微专题构造 √2、 √3倍的线段数量关系

第1题图
证明：如解图，过点F作FP⊥EF，交AD于点P. ∵CE⊥AD，EF平分∠CED， ∴∠1＝∠2＝45°. ∵FP⊥EF，∴∠6＝∠2＝45°. ∴EF＝PF.∴PE＝ 2EF. 又∵BF⊥CD，∴∠3＋∠4＝∠3＋∠5＝90°，即∠4＝∠5 . 又∵∠1＝∠2，∠2＝∠6， ∴∠1＝∠6.
第1题解图
在△CFE和△BFP中，
1=6
EF
Hale Waihona Puke PF4 5∴△CFE ≌△BFP(ASA)． ∴BP＝CE . ∵ CA＝CB，CE⊥AB， ∴AE＝BE. ∴AE＋CE＝BE＋BP＝PE＝ 2EF.
第1题解图
类型二构造含30°角的直角三角形( 3 倍的数量关系)
方法解读 1. 若题中已知30°角，常通过作垂线构造含30°角的直角三角形；
AC =CB EAC FCB AE CF
∴△ACE ≌△CBF(SAS)，
第2题解图
∴CE＝BF，∠AEC＝∠CFB，
∴∠BFD＝∠AED＝60°，
∴∠EBF＝30°，
∵∠BED＝30°，
∴△EFB是等腰三角形，
∵FG⊥BE，∴EG＝GB，
在Rt△BFG中，BF＝2 3BG，
3
3
∴BF＝ 3 BE，
∴CE＝ 3BE.
3
第2题解图
2. 若题中无30°角，常通过寻找直角，截长补短构造含30°角的直角三角形．
方法应用
2. 已知等边三角形ABC，D是边AB上一点，连接CD，E是线段CD上一点，连接AE，
BE使得AE⊥BE，且∠AED＝2∠BED，求证：CE＝
3
BE.
3
第2题图
证明：如解图，在CD上截取CF＝AE，过点F作FG⊥BE于点G，连接FB， ∵AE⊥BE，∠AED＝2∠BED， ∴∠AED＝60°，∠BED＝30°， ∵∠EAC＋∠ACD＝60°，∠ACD＋∠BCF＝60°， ∴∠EAC＝∠FCB，在△ACE和△CBF中，

微专题直角三角形中根号二、根号三倍的线段数量关系

第1题解图
∵BA＝BC， ∴AE＝EC， ∴GC＝GA， ∵GH⊥BC，HC＝HB， ∴GC＝GB， ∴GB＝AG， ∵∠ABG＝∠CBG＝22.5°， ∴∠GCB＝∠GBC＝22.5°，∠GAB＝∠GBA＝22.5°， ∴∠CGE＝45°，∠AGE＝45°， ∴△AEG是等腰直角三角形， ∴AG＝BG＝ 2 AE.
针对训练 1. 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，过C作AB边上的高CD，H为 BC边上的中点，连接DH，点F是CD上一点，且DF＝AD，连接BF并延长交AC 于E，交DH于G.用等式表示线段BG与AE之间的数量关系.
第1题图
解：如解图，连接CG，AG. ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴DC＝DB， ∵AD＝DF， ∴△ADC≌△FDB(SAS)， ∴∠ACD＝∠FBD， ∵∠CFE＝∠BFD， ∴∠CEF＝∠FDB＝90°， ∴BE⊥AC，
第2题图
解：线段AG与CG之间的数量关系为AG＝ 3 CG. 证明：如解图，作CH⊥AG于点H. 由题意可知，∠ECF＝∠ACG＝120°. ∴∠FCG＝∠ACE. ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°， ∴∠DAC＝∠BAC＝ 30°. ∴∠AGC＝30°. ∴CA＝CG. ∴HG＝ 1 AG.
微专题直角三角形中 2 、3倍的线段数量关系
方法一利用等腰直角三角形构造含 2倍关系的线段问题
方法解读
看到45°角时，要考虑到通过构造等腰直角三角形来转换线段之间的数量关系. 如图，Rt△ABC，∠B＝45°. 结论：BC＝ 2 AC＝ 2 AB；AB＝AC＝ 2 AD＝ 2 BD ＝ 2 DC
方法二利用30°角的直角三角形构造含 3 倍关系的线段问题

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