投资学第6章风险厌恶与风险资产配置

U(x)=blog(x/a)=blog(2n-1/a)=blog2n-1-bloga=b[(n-1)log2-loga]
根据期望效用原理，某人对参加此游戏所愿付出的最大代价是 x，即期望收益。由此数量得到 的效用 U(x)等于游戏期望效用 EU(x)。对游戏期望效用我们记为：
EU ( x ) P ( x )U ( x )
引子：如果证券A可以无风险的获得回报率 为10％，而证券B以50％的概率获得20％ 的收益，50％的概率的收益为0，你将选择 哪一种证券？ 对于一个风险规避的投资者，虽然证券B的 期望收益为10％，但它具有风险，而证券 A的无风险收益为10％，显然证券A优于证 券B。 结论：风险厌恶型的投资者会放弃公平博 弈(fair play)或更糟的投资组合。
投资学 第6章 5
你们是在投资还是赌博
1.购买彩票？ 2.购买股票？ 3.购买外汇？ 4.老虎机？
投资学 第6章
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投资者的风险态度
风险厌恶(Risk aversion) 风险中性(Risk neutral) 风险爱好(Risk lover)
投资学 第6章
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如何判断你的类型
x 1
将前式代入此式，并记住 n 次抛掷首次出现正面的概率为（1/2n） ，我们得到：
将前式代入此式，并记住 n 次抛掷首次出现正面的概率为（1/2n） ，我 们得到：
1 b[(n 1) log 2 log a ] n n 1 2 n 1 1 b n log 2 b n log a n 1 2 n 1 2 不过因为 EU ( x)
第一次出现正面 结果描绘 1 H 2 TH 3 TTH 4 TTTH . . . . . . n ((n-1)个 T)H 该游戏的期望收益为： 结果的概率 1/2 1/4 1/8 1/16 . . . 1/2n 奖励 1 2 4 8 . . . 2n-1
1 1 1 1 1 E ( R) 1 2 4 8 ... n 2 n1 2 4 8 16 2 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋ ＋...＋ ＝ 2 2 2 2
圣.彼得堡悖论对资产定价的启示 1、对资产的定价，必须假定投资者首先都是理性的，其次都是风险回避型的，风险回避型 的理性投资者只有当预期收益大于投资成本时，才能进行投资； 2、对于某些资产的定价(如上例)，应用期望效用比应用期望收益更合理，期望效用是一个 比期望收益更宽泛的概念，特别是在期望收益很高的不确定性投资中，风险回避和边际 财富效用递减规律会起更大的作用； 3、 圣.彼得堡悖论所给出的游戏定价的解，即 2 美元，实际上对该赌博者的效用函数来说 来说是一个公平游戏的价格，也即均衡价格，期望效用为 0 的价格。 4、 用期望效用而不是用期望收入来给资产定价，不仅解决了这个金融投资学上的悖论，也 为资产定价提出了一个新的思路。这种思想和方法为后来的金融资产定价奠定了基础。 因此我们说圣.彼得堡悖论的提出和解决是资产定价理论的起源。
问题
为何 风险厌恶者将拒绝参加公平博弈？？？
投资学 第6章
效用函数（Utility function）
一个风险厌恶投资者常用如下形式的效应函 数： 1 U E (r ) A 2 2
其中，A为投资者风险厌恶指数，收益率为小
数形式。 若A越大，表示投资者越害怕风险，在同等风 险的情况下，越需要更多的收益补偿。 若A不变，则当方差越大，效用越低。
投资学 第6章
风险厌恶与风险资产的资本配置
本章主要内容
投资过程的分解：
选择一个风险资产组合
在风险资产与无风险资产间决定配置比例
配置比例的技术性要求：效用优化
投资学 第6章
2
如何进行收益与风险的权衡
1.不同组别风险、收益的权衡 2.如何用一无量纲的数字来进行表示？ 3.经济学如何刻画显示效用的？
投资学 第6章
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表6.2 各种风险厌恶投资者的投资组合的 效用值
准则：只有当风险资产的确定性等价收益至少不小于无风险 资产的收益时，这项投资才是值得的。 当无风险收益为0.06时，哪些投资是可行的？
投资学 第6章 22
图6.1 投资组合P的收益与风险权衡投资学 第6章23
均值方差准则（Mean-variance criterion) 若投资者是风险厌恶的，则对于证券A和证 券B，如果

2
n 1

1
n
1
n 1 1 n n 1 2 我们可知游戏的期望效 用等于 2 EU ( x) b log 2 b log a b log a
这 个 方 程 说 明 ， blog(2/a) 就 等 于
2
美 元 的 效 用 或
EU(x)=EU(2)=U(2) 。由此可见，具有贝努里效用函数所表示的偏好特 性的人最多愿意付 2 美元来参加这项游戏。或者说，此人对确保营利 2 美元与参加游戏的计划表示无差异。这样，引进期望效用函数后就解 决了圣彼得堡悖论。
风险偏好型的 投资者将风险 作为正效用的 商品看待，当 收益降低时候， 可以通过风险 增加得到效用 补偿。
Standard Deviation 投资学 第6章
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表6.1 风险资产组合(无风险利率为 5%)
投资学 第6章
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附录6A：圣彼德堡悖论
期望收益无限的赌局，为何参加者愿意付 出的门票价格非常有限？ 边际效用递减规律
投资学 第6章
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6.4 单一风险资产与单一无风险资产 的资产组合
记风险资产组合 P的期望收益率为 E (rP ), 标准差为 P， 无风险资产组合 F的收益率为rf ， 则由y份风险资产和 (1 y )份无风险资产组成的新 组合C : E (rC ) yE(rP ) (1 y )rf rf y[ E (rP ) rf ]
1.对于个人来讲如何判断 2.对于全社会如何判断？
投资学 第6章
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风险厌恶型投资者的无差异曲线 （Indifference Curves）
Expected Return 1.能否相交 2.谁的效用更高 3.为何向右下方凸出 1 P 2
3
4 Increasing Utility Standard Deviation
投资学 第6章
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资产组合的动态调整(续)
Vanguard Fidelity Portfolio P Risk-Free Assets F Portfolio C
113,400/300,000 = 0.378 96,600/300,000 = 0.322 210,000/300,000 = 0.700 90,000/300,000 = 0.300 300,000/300,000 = 1.000
E(rA ) E(rB )
并且

2 A
2 B
则该投资者认为“A占优于B”，或A比B有优势(A dominates B)。
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占优原则（Dominance Principle）
期望回报 4 2 1 方差或者标准差 3
• 2 占优 1; 2 占优于3; 4 占优于3;
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投资学 第6章 9
从风险厌恶型投资来看，收益带给他正的 效用，而风险带给他负的效用，或者理解 为一种负效用的商品。 根据微观经济学的无差异曲线，若给一个 消费者更多的负效用商品，且要保证他的 效用不变，则只有增加正效用的商品。 根据均方准则，若均值不变，而方差减少， 或者方差不变，但均值增加，则投资者获 得更高的效用，此即风险厌恶者的无差异 曲线。
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确定等价收益率（Certainty equivalent rate）
为使风险投资与无风险投资具有相同的吸 引力而确定的风险投资的经风险调整后的 报酬率，称为风险资产的确定等价收益率。 由于无风险资产的方差为0，因此，其效用 U就等价于无风险回报率，因此，U就是风 险资产的确定性等价收益率。
投资学 第6章
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6.1 风险与风险厌恶
6.1.1 风险、投机与赌博
风险：能以概率测度的不确定性 投机：承担一定风险(considerable risk)，获 取相应报酬(commensurate return) 赌博：为一不确定结果下注 赌博与投机的关键区别：赌博没有相应报酬
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6.1.2 风险厌恶与效用价值
表 6.3 风险厌恶系数A=4的投资者的 可能组合效用值
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图6.2 无差异曲线
无差异曲 线形状受 哪些因素 影响？？
投资学 第6章
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6.1.3 评估风险厌恶
观察个体面临风险时的决策过程 观察为避免风险而愿意付出的代价
保险支付（P109） 风险资产比例
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例：资产组合的动态调整
Total portfolio value = $300,000 Risk-free value = 90,000 Risky (Vanguard & Fidelity) = 210,000 Vanguard (V) = 54% Fidelity (F) = 46%
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6.3 无风险资产
无风险资产只是一种近似 短期国库券可视为一种无风险资产，但其 利率存在一定的低估 习惯以货币市场基金作为对绝大部分投资 者易接受的无风险资产
无风险利率有时可用LIBOR来代替
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Figure 6.3 Spread Between 3-Month CD and T-bill Rates
投资学 第6章
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三、圣.彼得堡悖论(St.Petersburg paradox) 连续执硬币直至落在地上出现“正面”为止。如果第一次出现正面，奖励 1 元， 第二次出现正面奖励 2 元，第三次出现正面奖励 4 元，第四次出现正面奖励 8 元，等 等。每多一次抛掷出现正面，就加倍地偿付。这个试验的可能结果可以总结如下：