24 内积空间中的正交性

2、4 内积空间中的正交性Inner Product Spaces and Orthogonality在三维空间中,如右图1所示任取一平面M ,空间中的每一个矢量x 必能分解成两个直交的向量与,其中一个向量0x 在平面M 上,另一个向量z 与平面M 垂直,即0x x z =+,0x z ⊥.这种向量的分解形式,在一般的内积空间就是否成立？图2.4.1 三维空间向量的分解,向量0x x z =+,其中0x z ⊥2.4.1 正交分解定义2.4.1 正交设X 就是内积空间,,x y X ∈,如果(,)0x y =,则称x 与y 正交或垂直,记为x y ⊥.如果X 的子集A 中的每一个向量都与子集B 中的每一个向量正交,则称A 与B 正交,记为A B ⊥.特别记x A ⊥,即向量x 与A 中的每一个向量垂直.定理2.4.1 勾股定理设X 就是内积空间,,x y X ∈,若x y ⊥,则222x y x y +=+. 证明 2(,)x y x y x y +=++(,)(,)(,)(,)x x x y y x y y =+++ (,)(,)x x y y =+22x y =+.□注1: 在内积空间中,就是否存在222x y x y +=+ ⇒x y ⊥？显然由2x y+(,)(,)(,)(,)x x x y x y y y =+++222Re(,)x y x y =++,可知在实内积空间中222x y x y x y +=+⇒⊥成立.定义2.4.2 正交补Orthogonal complement设X 就是内积空间,M X ⊂,记{|,}M x x M x X ⊥=⊥∈,则称M ⊥为子集M 的正交补.显然有{0}X ⊥=,{0}X ⊥=以及{0}M M ⊥=.性质2.4.1 设X 就是内积空间,M X ⊂,则M ⊥就是X 的闭线性子空间. 证明 (1) M ⊥就是X 的线性子空间,x y M ⊥∀∈,,αβ∈K ,z M ∀∈,有(,)(,)(,)(,)(,)0x y z x z y z x z y z αβαβαβ+=+=+=,于就是x y M αβ⊥+∈,因此M ⊥就是X 的线性子空间.(2) M ⊥就是X 的闭子空间设{}n x M ⊥⊂,且依范数0n x x →()n →∞,于就是z M ∀∈,有0(,)(lim ,)lim(,)0n n n n x z x z x z →∞→∞===.因此0x M ⊥∈,即M ⊥就是X 的闭子空间.□注2: 由于完备度量空间中的子空间完备的充要条件就是子空间闭,因此在Hilbert 空间中(完备的内积空间),任意子集M 的正交补M ⊥就是完备的子空间,即Hilbert 空间的正交补M ⊥也就是Hilbert 空间.定义2.4.3 正交分解设M 就是内积空间X 的子空间,x X ∈,如果存在0,x M z M ⊥∈∈,使得0x x z =+,则称0x 为x 在M 上的正交投影或正交分解.引理 2.4.1 设X 就是内积空间,M 就是X 的线性子空间,x X ∈,若存在y M ∈,使得(,)x y d x M -=,那么x y M -⊥.证明 令z x y =-,若z 不垂直于M ,则存在1y M ∈,使得1(,)0z y ≠,显然10y ≠. 因为α∀∈K ,有2111(,)z y z y z y ααα-=--21111(,)(,)(,)z y z z y y y αααα=--+ 21111(,)[(,)(,)]z z y y z y y ααα=---特别取111(,)(,)y z y y α=,则可得222222121111(,)(,)(,)(,)y z z y z z y z zx yd x M y y αα-=-=-≤=-=,即知1(,)z y d x M α-<.又由于1y M α∈,所以111()(,)z y x y y x y y d x M ααα-=--=-+≥.产生矛盾,故x y M -⊥.□定理2.4.1 投影定理设M 就是Hilbert 空间H 的闭线性子空间,则H 中的元素x 在M 中存在唯一的正交投影,即x H ∀∈,0x x z =+,其中0,x M z M ⊥∈∈.(或表示为H M M ⊥=⊕)证明 (1) 寻找0x 进行分解.x H ∀∈,设(,)inf{}0y Md x M x y a ∈=-=>,则存在{}n y M ⊂,使得n y x a -→ ()n →∞,首先证{}n y 就是M 中的基本列,因为,m n ∀∈N 有22()()m nm n y y y x x y -=-+- 22222()()m nm n y x x y y x x y =-+-----2221224()2m nm n y x x y y y x =-+--+-因为,m n y y M ∈及M 就是子空间,知1()2m n y y M +∈,所以1()2m n y y x a +-≥,于就是 2m ny y -222224m ny x x y a ≤-+--0(,)m n →→∞故{}n y 就是M 中的基本列,又因M 就是闭子空间,即为完备空间,所以{}n y 就是M 中的收敛列.不妨设0()n y x n →→∞,则有0(,)a x x d x M =-=.令0z x x =-,因此有0x x z =+,其中0x M ∈,且根据前面引理知z M ⊥∈.(2) 分解的唯一性.假设还存在1x M ∈,1z M ⊥∈使得11x x z =+,那么有0110()()x x z z =-+-,1⊥-∈z z M ,于就是只需0的分解具有唯一性.若0y'z'=+,y'M ∈,⊥∈z'M ,则20(0,)(,)(,)(,)y'y'z'y'y'y'z'y'y'==+=+=可见0y'=及0z'=,即0的分解具有唯一性.□例2.4.1 证明在内积空间上,x y ⊥的充要条件就是α∀∈K 有x y x α+≥.证明 必要性⇒ 若x y ⊥,则有(,)0x y =,α∀∈K 有(,)(,)0x y x y αα==,于就是由勾股定理得:2222x y x y x αα+=+≥.充分性⇐若α∀∈K 有x y x α+≥,且0y ≠时,220x y x α≤+-(,)(,)x y x y x x αα=++-(,)(,)(,)(,)(,)x x y x x y y y x x αααα=+++- (,)[(,)(,)]y x x y y y ααα=++特别取(,)(,)x y y y α=-,于就是, 220x y xα≤+-22(,)(,)(,)0(,)x y x y y x y y y=-=-≤ 故(,)0x y =,即x y ⊥.□2.4.2 标准正交系在三维空间中,任何一向量α可写成112233a e a e a e α=++,其中1(1,0,0)e =,2(0,1,0)e =,3(0,0,1)e =,11(,)a e α=,22(,)a e α=,33(,)a e α=,显然当i j ≠时,i j e e ⊥,而(,)1i i e e =.可见112233(,)(,)(,)e e e e e e αααα=++,那么在有限维内积空间中就是否具有同样的结论呢？定义2.4.4 标准正交系设X 就是内积空间,{}n e 就是X 中的点列,若满足1(,)0i j i je e i j=⎧=⎨≠⎩.则称{}n e 为X 中的标准正交系.例2.4.2 在n 维内积空间n R 中,向量组1(1,0,,0)e =,2(0,1,0,,0)e =,,(0,,0,1)n e =,就是n R 的一个标准正交系.□例2.4.3 在2l 中,向量(0,,0,1,0,,0,)n ne =(1,2,n =),则{}n e 就是2l 的一个标准正交系.□例2.4.4 在2[,]L ππ-中,对于2,[,]f g L ππ∈-,定义内积为1(,)()()f g f t g t dt πππ-=⋅⎰则下列三组向量均就是2[,]L ππ-的标准正交系,{}{cos ,1,2,}n n n e e e nx n ===; {}{sin ,1,2,}'''n n n e e e nx n ===;*00{}{,,cos ,sin ,1,2,}''n n n n n e e e e e e nx e nx n =====.□注3: 如果线性空间上中的点列{}n e 的任意有限个元素线性独立,则称{}n e 为线性独立系.可验证标准正交系就是线性独立系.设12{,,,}kn n n e e e 就是标准正交系{}n e 的一个有限子集,如果存在12,,,k ααα∈K 使得12120k n n k n e e e ααα+++=,那么对于任意的j α(1j k ≤≤)11(,)(,)(,)(,)(0,)0jjjjt jt j jk kj j n n j n n t n n t n n n t t e e e e e e e e e ααααα========∑∑、反过来,任何一个线性独立系经过正交化后为标准正交系.定理2.4.2 设{}n e 为内积空间X 的标准正交系,12{,,,}kn n n e e e ⊂{}n e ,记12{,,,}k n n n M span e e e =,那么x X ∀∈,01(,)i i kn n i x x e e ==∑就是x 在M 上的正交投影.即0x M ∈,0x x z =+,0()x x M -⊥.证明 显然0x M ∈,y M ∀∈,由于存在12,,,k ααα∈K ,使得1,i ki n i y e α==∑于就是011(,)((,),)i i i k kn n i n i i x x y x x e e e α==-=-∑∑111(,)((,),)i i i i kk ki n n n i n i i i x e x e e e αα====-∑∑∑11(,)(,)(,)0i i i i k ki n i n n n i i x e x e e e αα===-=∑∑.□注4: 上述定理中的M 为k 维闭子空间,作为内积空间M 与k R 同构,M 也就是完备的子空间,根据投影定理,x 在M 上的正交投影0x 唯一存在.定理 2.4.3 设{}n x 为内积空间X 中任意的一组线性独立系,则可将{}n x 用格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法化为标准正交系{}n e ,且对任何自然数n ,有()(),n n k k αβ∈K()1nn n k k k x e α==∑,()1nn n k k k e x β==∑,同时1212{,,,}{,,,}n n span e e e span x x x =.证明 令111x e x =,则有11e =.记11{}M span e =,根据上述定理可将2x 在1M 上做正交分解22112(,)x x e e v =+,即21v e ⊥,21v M ⊥∈,得22211(,)v x x e e =-.令222v e v =,则有21e =,21e e ⊥,且有 21221221(,)1x e e x x v v x =-,221122(,)x x e e v e =+. 记212{,}M span e e =,将3x 在2M 上做正交分解33113223(,)(,)x x e e x e e v =++,则30v ≠及32v M ⊥∈,得33311322(,)(,)v x x e e x e e =--,可令333v e v =,从而治3x 就是123,,e e e 的线性组合,3e 就是123,,x x x 的线性组合.以此类推,可令11(,)n n n n i i i v x x e e -==-∑,且有121,,,n e e e -正交,进而令nn nv e v =,显然1n e =,于就是11()111(,)(,)n n nn n n n i i n n n i i i i i i i x v x e e v e x e e e α--====+=+=∑∑∑.同时可得n e 就是12,,,n x x x 的线性组合.□。