3-4-3基本不等式的应用—证明问题 54张
高中数学第3章不等式3.4-3.4.2基本不等式的应用课件苏教版必修5
连接 BD，则在△CDB 中，
题型 3 用基本不等式解应用题
[典例 3] 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．
(1)现有 36 m 长的材料，每间虎笼的长、 宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
[变式训练] 4.某建筑的金属支架如图所示，根据要求 AB 至少长 2.8 m，C 为 AB 的中点，B 到 D 的 距离比 CD 的长小 0.5 m，∠BCD＝60°，已知 建筑支架的材料每米的价格一定，问：怎样设计 AB，CD 的长，可使建造这个支架的成本最低？
命题：函数 f(x)＝x＋ax(a＞0)在区间(－∞，－ a]， [ a，＋∞)上为增函数，在区间[－ a，0)和(0， a]上为 减函数．
证明：设 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋ax11－x12＝ x11x2(x1－x2)(x1x2－a)．
题型 1 用基本不等式证明 [典例 1] 已知 a，b，c∈R，且不全相等．若 abc＝1， 求证： a＋ b＋ c<1a＋1b＋1c. 分析：可以从左⇒右，也可以从右⇒左．注意“1”的适 时代换．
第3章 不等式
1．如果用 x，y 来分别表示矩形的长和宽，用 l 来表 示矩形的周长，S 来表示矩形的面积，则 l＝2(x＋y)，S ＝xy．
2．在上题中，若面积 S 为定值，则由 x＋y≥2 xy， 可知周长有最小值，为__4___S__．
知识点 1 基本不等式及其注意问题
(1)a＋2 b是两个正数 a 与 b 的算术平均数， ab是两个 正数的几何平均数， ab≤a＋2 b表明两个正数 a 与 b 的几 何平均数不大于算术平均数．此性质可推广到三个及三 个以上的情况．注意熟悉和掌握下列结论：
3.4 基本不等式的证明
3.4 基本不等式的证明【知识网络】1、重要的基本不等式，不等式等号成立的条件；2、证明不等式的方法及应用。
【典型例题】例1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成 立的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B 。
解析： a b =是22222a b a b++⎛⎫≤⎪⎝⎭等号成立的条件。
（2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222,S a b c p ab bc ac =++=++，则（ ）A ．2S p ≥B ． 2p S p <<C ．S p >D ．2p S p ≤<答案:D ．解析：2222221()[()()()]0,2S p a b c ab bc ac a b b c a c S p -=++-++=-+-+-≥∴≥，又∵222222222||,||,||,2,2,2a b c b c a a c b a ab b c b bc c a a ac c b -<-<-<∴-+<-+<-+< ∴2222(),2a b c ab bc ac S p ++<++∴<。
（3）设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11， a 与b 的大小关系 （ ）A ．a >bB ．a <bC ．a ≤bD ．a ≥b答案：B 。
解析：11111x y x y x ya x y x y x y x y+==+<+++++++++。
（4）b 克盐水中，有a 克盐（0>>a b ），若再添加m 克盐（m >0）则盐水就变咸了， 试根据这一事实提炼一个不等式 .答案：mb ma b a ++<．解析:由盐的浓度变大得． （5）设.11120,0的最小值，求且yxy x y x +=+>> ．答案： 223+。
人教版高中数学第3章3.4-3.4.2基本不等式的应用
(2)有附加条件的不等式恒成立的证明．其解题思路 是：观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙 代换是一种较为重要的变形，如当已知条件中含有“1”时， 要注意“1”的代换．另外，解题中要时刻注意等号能否取 到．
[变式训练] 1．已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，求证：x4＋y4≥18. 证明：因为 x4＋y4≥2x2y2，两边同时加上 x4＋y4 得 2(x4＋y4)≥(x2＋y2)2，① 又因为 x2＋y2≥2xy，两边同时加上 x2＋y2 得
(3)运用两个重要不等式解题时，要学会应用它们的 变式灵活地解题，例如 a2＋b2≥2ab 可变形为 ab≤a2＋2 b2， b2≥2ab－a2；当 b＞0 时，ab2＋b≥2a，λ a2＋1λb2≥2ab(λ ＞0)等．又如a＋2 b≥ ab可变形为 ab≤a＋2 b，a＋2 b2≥ ab，(a＋b)2≥4ab 等．
＋3＝1，
当且仅当 5－4x＝ 1 ，即 x＝1 时，上式等号成立， 5－4x
故当 x＝1 时，ymax＝1. (2)因为 0<x<12，所以 1－2x>0. 所以 y＝14×2x(1－2x)≤14×2x＋21－2x2＝14× 14＝116.
所以当且仅当 2x＝1－2x0<x<12，即 x＝14时， ymax＝116.
所
以
将
三
式
叠
加
，
有
1 a
＋
1 b
＋
1 c
>
1 ab
＋
1 bc
＋
c1a. 又 abc＝1，
所以1a＋1b＋1c> aabbc＋ abbcc＋ acbac＝ a＋ b
＋ c. 即 a＋ b＋ c<1a＋1b＋1c.
基本不等式及其应用
基本不等式及其应用基本不等式及其应用一、知识结构二、重点叙述1. 基本不等式模型一般地,如果a>0,b>0,则立。
我们常把叫做正数a、b的算术平均数,把ab叫做正数a、b的几何平均数, ,或,当且仅当a=b时等号成即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当两个正数相等时等号成立。
拓展:若a、b∈R,则2. 基本不等式证明方法,当且仅当a=b时等号成立。
3.基本不等式的应用①利用基本不等式证明不等式或比较大小; ②利用基本不等式求最值或求范围; ③利用基本不等式解决实际问题。
三、案例分析案例1：(1)（xx天津·理）设的最小值为A 8B 4C 1D (2) （xx海南、宁夏·理7）已知，，成等差数列，若成等比数列，则Ａ．Ｂ．的最小值是（）Ｃ．Ｄ．分析：（1）由是与的等比中项，得。
用“1代换法”，把看成，进而利用基本不等式求得最小值。
（2）可用直接法解之。
根据等差、等比数列的“等距离”性质，把多元函数转化为x、y的二元函数，由二元的基本不等式求其最小值。
也可以用特殊值法解决。
解：（1）∵是与的等比中项，∴，得。
∴，当且仅当即时，“=”成立。
故选择C。
成等差数列，成等比数列，（2）（直接法）∵∴∴，∵，，∴，∴，当且仅当时，等号成立。
∴。
故选D。
成等差数列，成等比数列分别都为另解：（特殊值法）令，则，故选D。
案例2：(1) （xx重庆·文）已知A．2B．，则C．4的最小值是（） D．5(2)（xx山东·理16）函数y=loga (x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，则的最小值为________________.分析：(1)用基本不等式解之，由于两次使用基本不等式，两次的“等号”成立应该“同时”。
(2)抓住函数图象过定点，求得定点A的坐标，建立m、n的线性关系，两次应用基本不等式求得最小值，同样注意两次的“等号”成立是否“同时”？只有“同时”，最小值才存在。
2021学年高中数学人教A版必修5课件：3-4+基本不等式：ab≤a+b2
[解] (1)∵x>0，∴由基本不等式得
f(x)＝4x＋9x≥2 4x·9x＝2 36＝12， 当且仅当 4x＝9x，即 x＝32时，f(x)＝4x＋9x取最小值 12. (2)∵0<x<32，∴3－2x>0， ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋23－2x2＝92. 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时取“＝”． ∴y 的最大值为92.
(2)记忆口诀：和定积最大，积定和最小．
3．在多次使用基本不等式求最值时，我们应注意什么问题？
提示：在连续多次应用基本不等式时，我们要注意各次应用 时不等式取等号的条件是否一致，若不能同时取等号，则需换用 其他方法求出最值．
4．两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？
提示：不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取 到．如 sinx 与si4nx，x∈(0，π2)，两个都是正数，乘积为定值．但 是由 0<sinx<1，且 sinx＋si4nx在(0,1)上为减函数，所以 sinx＋si4nx >1＋41＝5，等号不成立，取不到最小值．
类型三 基本不等式的实际应用
[例 3] 特殊运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按规定限制 50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价 格是每升 6 元，而送货卡车每小时耗油2＋3x620升，司机的工资 是每小时 140 元．
(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式． (2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费 用的值．
C．3 个
D．4 个
解析：当ba，ab均为正数时，ba＋ab≥2，故只须 a、b 同号即 可．所以①、③、④均可以．
2．若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( D )
数学课件 人教a版必修1 第二章基本不等式的应用同步教学课件
当 a<1 时,
<0,即 a+2< .
-1
1-
+
反思感悟 用作差法比较实数大小的步骤
作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)
变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,
即确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.
课堂篇
探究学习
探究一
反思感悟 1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不
等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采
用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题
中经常采用这种办法.
1
1
2.注意正确的倒数法则,应该是 a>b,ab>0⇒ < ,不能误认为是
1
1
a>b⇒ < ,在应用时不能出错.
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
实数大小的比较
例2比较下列各组中的两个代数式的大小:
(1)2x2+3与x+2,x∈R;
3
,a∈R,且 a≠1.
1-
(2)a+2 与
分析:利用作差法进行比较.解第(2)小题时要注意对实数a分类讨
论.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2
(4)若
(5)若
1
a>b,
>
;
-
1
> ,则 a>0,b<0;
数学-基本不等式在实际问题中的应用
基本不等式在实际问题中的应用高中数学 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题．导语同学们，我们说数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题，比如：“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左右两个矩形框架，两框架面积之和为18 000 m 2，现地上部分要建在矩形ABCD 上，已知两框架与矩形ABCD 空白的宽度为10 m ，两框架之间的中缝空白宽度为5 m ，请问作为设计师的你，应怎样设计矩形ABCD ，才能使水立方占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！一、基本不等式在生活中的应用问题 利用基本不等式求最大(小)值时，应注意哪些问题？提示 一正：x ，y 都得是正数；二定：积定和最小，和定积最大；三相等：检验等号成立的条件是否满足实际需要．例1 (教材46页例3改编)小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16m 2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度．解 设矩形围栏相邻两条边长分别为x m ，y m ，围栏的长度为2(x ＋y )m.方法一 由已知xy ＝16，由≥，可知x ＋y ≥2＝8，x ＋y2xy xy 所以2(x ＋y )≥16，当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立，因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m 的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.方法二 由已知xy ＝16，可知y ＝，16x所以2(x ＋y )＝2≥2×2＝16.(x ＋16x )x ·16x 当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立，因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m 的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.延伸探究 如果小明的爸爸只有12 m 长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？解 由已知得2(x ＋y )＝12，故x ＋y ＝6，面积为xy ，由≤＝＝3，或＝≤＝3，xy x ＋y262xy x (6－x )x ＋6－x 2可得xy ≤9，当且仅当x ＝y ＝3时，等号成立．因此，当游乐园为边长为3的正方形时，面积最大，最大面积为9 m 2.反思感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义；(2)构造定值，利用基本不等式求最值；(3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意；(4)结论．跟踪训练1 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价．解 设该长方体容器底面的长和宽分别为a m ，b m ，成本为y 元，由于长方体容器的容积为4 m 3，高为1 m ，所以底面面积S ＝ab ＝4，y ＝20S ＋10[2(a ＋b )]＝20(a ＋b )＋80，由基本不等式可得y ＝20(a ＋b )＋80≥20×2＋80＝160(元)，ab 当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立，因此，该容器的最低总造价为160元．二、基本不等式在几何中的应用例2 如图所示，设矩形ABCD (AB >BC )的周长为24，把它沿AC 翻折，翻折后AB ′交DC 于点P ，设AB ＝x .(1)用x 表示DP ，并求出x 的取值范围；(2)求△ADP 面积的最大值及此时x 的值．解 (1)矩形ABCD (AB >BC )的周长为24，∵AB ＝x ，∴AD ＝－x ＝12－x ，242在△APC 中，∠PAC ＝∠PCA ，所以AP ＝PC ，从而得DP ＝PB ′，∴AP ＝AB ′－PB ′＝AB －DP ＝x －DP ，在Rt △ADP 中，由勾股定理得(12－x )2＋DP 2＝(x －DP )2，∵AB >BC ＝AD ，得x >12－x ，∴6<x <12，∴DP ＝12－(6<x <12)．72x (2)在Rt △ADP 中，S △ADP ＝AD ·DP ＝(12－x )＝108－(6<x <12)．1212(12－72x )(6x ＋432x )∵6<x <12，∴6x ＋≥2·＝72，当且仅当6x ＝，即x ＝6时取等号．432x 6x ·432x 2432x 2∴S △ADP ＝108－≤108－72，∴当x ＝6时，△ADP 的面积取最大值108－72.(6x ＋432x )222反思感悟 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．跟踪训练2 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝4米，AD ＝3米，当BM ＝________时，矩形花坛AMPN 的面积最小．答案 4解析 设BM ＝x (x >0)，则由DC ∥AM 得＝，解得ND ＝，NDND ＋344＋x 12x ∴矩形AMPN 的面积为S ＝(4＋x )＝24＋3x ＋≥24＋2＝48，当且仅当(3＋12x )48x 3x ×48x 3x ＝，即x ＝4时等号成立．48x1．知识清单：(1)基本不等式在生活中的应用．(2)基本不等式在几何中的应用．2．方法归纳：配凑法．3．常见误区：生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围．1．用一段长为8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为( )A ．9 cm 2 B ．16 cm 2C ．4 cm 2 D ．5 cm 2答案 C解析 设矩形模型的长和宽分别为x ，y ，则x >0，y >0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形菜园的面积S ＝xy ≤＝＝4，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，(x ＋y )24424所以当矩形菜园的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.2．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是( )A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算C ．两种方案一样 D ．无法确定答案 B解析 任取其中两次加油，假设第一次的油价为m 元/升，第二次的油价为n 元/升．第一种方案的均价为＝≥；30m ＋30n60m ＋n 2mn 第二种方案的均价为＝≤.400200m＋200n 2mn m ＋n mn 所以无论油价如何变化，第二种都更划算．3．某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x (a ，b ，x 均大于零)，则( )A ．x ＝B ．x ≤C ．x >D ．x ≥a ＋b2a ＋b2a ＋b2a ＋b2答案 B解析 由题意得，A (1＋a )(1＋b )＝A (1＋x )2，则(1＋a )(1＋b )＝(1＋x )2，因为(1＋a )(1＋b )≤2，(1＋a ＋1＋b2)所以1＋x ≤＝1＋，2＋a ＋b2a ＋b2所以x ≤，当且仅当a ＝b 时取等号．a ＋b24.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，矩形花园面积的最大值为________．答案 400解析 由题意设矩形花园的长为x >0，宽为y >0，矩形花园的面积为xy ，根据题意作图如下，因为花园是矩形，则△ADE 与△ABC 相似，所以＝，又因为AG ＝BC ＝40，AFAG DEBC所以AF ＝DE ＝x ，FG ＝y ，所以x ＋y ＝40，由基本不等式x ＋y ≥2，得xy ≤400，xy 当且仅当x ＝y ＝20时，矩形花园面积最大，最大值为400.课时对点练1.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“( )”的几何解释( )A ．如果a >b >0，那么>a bB ．如果a >b >0，那么a 2>b 2C ．对任意正实数a 和b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立D ．对任意正实数a 和b ，有a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立ab 答案 C解析 可将直角三角形的两直角边长度取作a ，b ，斜边为c (c 2＝a 2＋b 2)，则外围的正方形的面积为c 2，也就是a 2＋b 2，四个阴影面积之和刚好为2ab ，对任意正实数a 和b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选C.2．汽车上坡时的速度为a ，原路返回时的速度为b ，且0＜a ＜b ，则汽车全程的平均速度比a ，b 的平均值( )A ．大 B ．小C ．相等 D ．不能确定答案 B解析 令单程为s ，则上坡时间为t 1＝，下坡时间为t 2＝，sa sb 平均速度为＝＝<<.2st 1＋t 22ssa＋s b 21a＋1b ab a ＋b23．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．故C 既够用，浪12a 2＋b 2ab 2ab 2费也最少．4.如图所示，矩形ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的( )A ．最小长度为8B ．最小长度为42C ．最大长度为8D ．最大长度为42答案 B解析 设BC ＝a ，CD ＝b ，因为矩形的面积为4，所以ab ＝4，所以围成矩形ABCD 所需要的篱笆长度为2a ＋b ＝2a ＋≥2＝4，4a 2a ·4a 2当且仅当2a ＝，即a ＝时，等号成立．4a 25．气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为(4n ＋46)(n ∈N *)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止，一共使用了( )A ．300天 B ．400天 C ．600天 D ．800天答案 B解析 设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为＝＋2n ＋48，当且仅当＝2n 时，取得最小值，此时320 000＋(50＋4n ＋46)n2n320 000n320 000nn ＝400.6．(多选)已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y (万元)与运营年数x 的关系为y ＝－x 2＋12x －25，则下列判断正确的是( )A ．车辆运营年数越多，收入越高B ．车辆在第6年时，总收入最高C ．车辆在前5年的平均收入最高D ．车辆每年都能盈利答案 BC解析 由题意，y ＝－x 2＋12x －25，是开口向下的二次函数，故A 错误；对称轴x ＝6，故B 正确；＝－x ＋12－＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x ＝5时，等号成立，yx 25x (x ＋25x )25故C 正确；当x ＝1时，y ＝－14，故D 错误．7．矩形的长为a ，宽为b ，且面积为64，则矩形周长的最小值为________．答案 32解析 由题意，矩形中长为a ，宽为b ，且面积为64，即ab ＝64，所以矩形的周长为2a ＋2b ＝2a ＋≥2＝32，128a 2×128当且仅当a ＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32.8．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m 3，深度为3 m ．如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为________m.答案 160解析 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为m ，4 8003x 由题意可得水池总造价y ＝150×＋120×＝240 000＋7204 8003(2×3x ＋2×3×4 8003x )(x >0)，(x ＋1 600x)则y ＝720＋240000≥720×2＋240 000＝720×2×40＋240 000＝297(x ＋1 600x)x ·1 600x 600，当且仅当x ＝，即x ＝40时，y 有最小值297 600，1 600x 此时另一边的长度为＝40(m)，4 8003x 因此，要使水池总造价最低，则水池的底面周长为160 m.9．经观测，某公路段在某时段内的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间有函数关系：y ＝(v >0)．在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 900vv 2＋5v ＋1 000最大？解 y ＝＝，900vv 2＋5v ＋1 000900v ＋1 000v ＋5∵v ＋≥2＝20，1 000v v ·1 000v 10∴y ＝≤＝，900v ＋1 000v ＋59002010＋5180410＋1当且仅当v ＝，即v ＝10时等号成立．1 000v 10∴当汽车的平均速度v ＝10千米/小时时车流量y 最大．1010．根据交通法规，某路段限制车辆最高时速不得超过100千米/小时，现有一辆运货卡车在该路段上以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．(2＋x 2360)(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)由题意，y ＝2·＋14·＝＋(0<x ≤100)．(2＋x 2360)130x 130x 2 340x 13x18(2)因为y ＝＋≥2＝26，当且仅当x ＝18时，等号成立，2 340x 13x18 2 340x ·13x181010又0<18<100，10所以当x ＝18千米/小时时，这次行车的总费用最低，为26元．101011.无字证明是指只用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，请写出该图验证的不等式( )A ．a 2＋b 2≥a ＋bB ．4ab ≥a 2＋b 2C ．a ＋b ≥2D ．a 2＋b 2≥2abab 答案 D解析 从图形可以看出正方形的面积比8个直角三角形的面积和要大，当中心小正方形缩为一个点时，两个面积相等；因此(a ＋b )2≥8×ab ＝4ab ，所以a 2＋b 2≥2ab .1212．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S ＝求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公p (p －a )(p －b )(p －c )式．现有一个三角形的边长满足a ＝6，b ＋c ＝8，则此三角形面积的最大值为( )A ．3 B ．8 C ．4 D ．9773答案 A解析 由题意p ＝7，S ＝＝≤·＝3，7(7－a )(7－b )(7－c )7(7－b )(7－c )77－b ＋7－c27当且仅当7－b ＝7－c ，即b ＝c ＝4时，等号成立，此三角形面积的最大值为3.713．某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，提价幅度较大的一种是( )A ．先提价p %，后提价q %B ．先提价q %，后提价p %C ．分两次提价%p ＋q2D ．分两次提价%(以上p ≠q )p 2＋q 22答案 D解析 由题意可知，A ，B 选项的两次提价均为(1＋p %)(1＋q %)；C 选项的提价为2，D 选项的提价为(1＋p ＋q 2%)2，(1＋p 2＋q 22%)又∵<，∴(1＋p %)(1＋q %)<2<2，p ＋q2p 2＋q 22(1＋p ＋q 2%)(1＋p 2＋q 22%)∴提价最多的为D 选项．14．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km 处．答案 5解析 设仓库到车站距离为x ，每月土地费用为y 1，每月货物的运输费用为y 2，由题意可设y 1＝，y 2＝k 2x ，k 1x 把x ＝10，y 1＝2与x ＝10，y 2＝8分别代入上式得k 1＝20，k 2＝0.8，∴y 1＝，y 2＝0.8x ，20x 费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋≥2×4＝8，20x 当且仅当0.8x ＝，即x ＝5时等号成立．20x 当仓库建在离车站5 km 处两项费用之和最小．15．一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10 g 黄金，售货员先将5 g 的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是( )A ．大于10 gB ．大于等于10 gC ．小于10 gD ．小于等于10 g 答案 A解析 由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a (a >0)，右臂长为b (b >0)，则a ≠b ，再设先称得黄金为x g ，后称得黄金为y g ，则bx ＝5a ，ay ＝5b ，∴x ＝，y ＝，5a b 5b a ∴x ＋y ＝＋＝5≥5×2＝10，5ab 5b a (a b ＋b a )a b ·b a 当且仅当＝，即a ＝b 时等号成立，但a ≠b ，等号不成立，即x ＋y >10，a b ba 因此，顾客购得的黄金大于10 g.16．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(10－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．(1)求每套丛书利润y 与售价x 的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润．解 (1)∵Error!∴0<x <100，y ＝x －＝x －－20(0<x <100)，(20＋1010－0.1x )100100－x 当x ＝80时，y ＝80－－20＝55(元)，100100－80此时销量为10－0.1×80＝2(万套)，总利润为2×55＝110(万元)．(2)y ＝x －－20，100100－x ∵0<x <100，∴100－x >0，∴y ＝－＋80[100100－x ＋(100－x )]≤－2＋80＝60，100100－x ·(100－x )当且仅当＝100－x ，即x ＝90元时，每套利润最大为60元．100100－x。
高中数学【人教A版必修】5第三章3.4基本不等式课件(16张ppt)
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
高中数学【人教A版必修】5第三章3.4 基本不 等式课 件(16 张ppt) 【精品 】
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知识要点：
1.重要不等式： a2b22a(b a,b R )
当且仅当a=b时，等号成立.
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构造条件
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1、本节课主要内容？
你会了 吗？
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相等”
三、应用 高中数学【人教A版必修】5第三章3.4基本不等式课件(16张ppt)【精品】
当两正数积为定值时，求其和的最小值
abab（ a0,b0） ab2a（ ba0,b0）
2
例1、（1）若
求
的最小值.
(2) 若
求
的最大值.
练习1:若 x0求 y 3x12的最小值.
x
练习2:若 ab0 求 y a b 的最小值. ba
几何平均数 算术平均数
基本不等式
2.代数意义：两个正数的几何平均数小于等于算术平均数
3. 代数方法如何证明？ 4.从几何上如何解释？
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代数方法： 高中数学【人教A版必修】5第三章3.4基本不等式课件(16张ppt)【精品】
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人教版高中数学第3章3.4-3.4.基本不等式的证明
当且仅当 m＝n＝8 时，mn 取到最大值 64. 所以12mn 的最大值为 32.
名师点评
当 a>0，b>0 时：
(1)若 a＋b＝p(和为定值)，则当 a＝b 时，积 ab 有最
p2 大值 4 ，可以用基本不等式
a＋b ab≤ 2 求得．
(2)若 ab＝S(积为定值)，则当 a＝b 时，和 a＋b 有最 小值 2 S，可以用均值不等式 a＋b≥2 ab求得．
6．不等式a＋2 b≥ ab，(a，b∈R＋)，在证明不等式， 求函数的最大值、最小值时，有着广泛的应用，因此我们 也称它为基本不等式．
知识点 1 基本不等式
(1)如果 a、b 是正数，那么a＋2 b≥ ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”号)．
(2)对基本不等式的理解． ①称a＋2 b为 a，b 的算术平均数，称 ab为 a，b 的几 何平均数．基本不等式可叙述为：两个正数的几何平均 数不大于它们的算术平均数．
第3章 不等式
a＋b 3．4 基本不等式 ab≤ 2
(a≥0，b≥0) 3．4.1 基本不等式的证明
[情景导入] 用长为定值 l 的线段去围成一个矩形， 你能设计出一个方案，使得所围成的矩形的面积最大吗？ 或许你能够一口报出答案：当所围成的矩形是正方形时， 其面积最大．那么，你能知道其中的奥秘吗？
②a＝b⇔a＋2 b＝ ab.也就是说若 a＝b，则a＋2 b＝ ab；若a＋2 b＝ ab，则( a－ b)2＝0，即 a＝b；若 a≠b， 则a＋2 b＞ ab.这种关系可叙述为：当且仅当 a＝b 时，基 本不等式 ab≤a＋2 b中的等号成立．若 a 与 b 不能相等， ab≤a＋2 b中的等号就不能成立，
3．已知 x，y 都是正数，求证： (1)xy＋xy≥2； (2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 证明：因为 x，y 都是正数， 所以xy＞0，xy＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0.
人教B版 必修五 3.4不等式的实际应用 (共33张PPT)
两个正实数的算术平均值大于或等 于它的几何平均值。
新课导入
我们学习了不等式的一些性质和一个 重要的定理，那么，不等式在生活当中有 什么样的应用呢？
教学目标
知识与能力
通过实际问题，掌握不等式的实际应用 和解决这类问题的一般步骤
消费额平均每年的增长率至多是多少（精确 到0.1）。
解：设食品消费额的年平均增长率为x(x>0), 则到2019年，食品消费额为0.6(1+x)2消费 支出总额为 1+2×0.3=1.6(万元). 依据题意得40%<0.6(1+x)2/1.6 ≦50%即
15x2+30x-1>0
3x2+6x-1≦0
让学生经历从实际情景中抽象出不等式模 型的过程。
过程与方法
通过实例，让学生体验数学与日常生活的联系， 感受数学的实用价值，增强学生的应用意识，提 高他们的实践能力。
情感态度与价值观
通过对不等式的学习和应用，能够体会数 学中的联系与结合，有利于理解和掌握.
通过课堂学习培养敢于结合以前所学知识， 推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
ax2+bx+c<0 （a>0）的解集 {x︳x1<x<x2}
有两等根 x1=x2=
{x︳x≠
b
}
2a
φ
△<0
无实根 R φ
实践
b克糖水中含有a克糖（b>a>0），若在这些 糖水中再添加m（m>0）克糖,则糖水就变甜了， 根据此事实你能写出一个不等式吗？
a+m > a b+m b
18学年高中数学第三章不等式3.4基本不等式3.4.2基本不等式的应用课件新人教A版必修5
989(元),
≥560+ 2 48 × 10 800 = 2 000, 当且仅当 48x=
10 800 , 即x=15 时 ,等号成立 . ������
因此,当x=15时,f(x)取最小值f(15)=2 000, 即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.
题型一
题型二
题型三
反思在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方 法: (1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数; (2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小 值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)根据实际背景写出答案.
第2课时
基本不等式的应用
1.复习巩固基本不等式. 2.能利用基本不等式证明一些简单的不等式,并会解决有关的实 际应用问题.
1.重要不等式a2+b2≥2ab (1)证明:课本应用了图形间的面积关系推导出了a2+b2≥2ab,也 可用分析法证明如下: 要证明a2+b2≥2ab,只要证明a2+b2-2ab≥0,即证明(a-b)2≥0,这显 然对任意a,b∈R成立,所以a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立. (2)说明: ①不等式中的a,b的取值是任意实数,它们既可以是具体的某个 数,也可以是一个代数式. ②公式中等号成立的条件是a=b,若a,b不能相等,则a2+b2≥2ab中 的等号不能成立.
高中数学第三章不等式3.4基本不等式课件新人教A版必修5
利用基本不等式求最值
(1)已知 x>2，求 x＋x－4 2的最小值； (2)已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值； (3)已知 0<x<13，求函数 y＝x(1－3x)的最大值； (4)已知 x>1，y>2，且 x＋y＝15，求 z＝(x－1)(y－2)的最大值． [思路点拨] 利用基本不等式时，应按照“一正，二定， 三相等”的原则挖掘条件，检查条件是否具备，再利用基本不 等式解之．
方法二：由1x＋9y＝1，得 (x－1)(y－9)＝9(定值)． 可知 x>1，y>9， ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10 ≥2 x－1y－9＋10＝16， 当且仅当 x－1＝y－9＝3，即 x＝4，y＝12 时，上式取等号， 故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
(3)∵0<x<13， ∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x) ≤133x＋21－3x2＝112， 当且仅当 x＝16时，函数 y＝x(1－3x)取得最大值112.
(4)∵x>1，y>2， ∴x－1>0，y－2>0. 又由 x＋y＝15，得(x－1)＋(y－2)＝12 ∴z＝(x－1)(y－2)≤x－1＋2 y－22＝36. 当且仅当 x－1＝y－2 时，z 有最大值 36.
在利用基本不等式求最值时要注意三点：一 是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值， 求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理发现拆分项或 配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.
2．(1)函数 y＝2x＋2x(x>0)的最小值是( )
A．2
B．3
C．4
D．6
3.4不等式的实际应用PPT优秀课件
am a 此事实提炼一个式 ， bm b
22.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
典例分析：
例1、 甲、乙两人同时同地沿同一路线去同一地点，
甲有一半的时间以速度m行走，另一半时间以速度 n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程 以速度n行走，如果m≠n,问甲、乙两人谁先到达指 定地点？ 分析：
所以
2s t甲 - t乙 = m n
=
2 s(m n) s 4 mn m n — = 2 mn m 2 n mn 2 sm n 2mnm n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其中s,m,n都是正数，且m≠n,于是t甲- t乙<0 ，即t甲＜t乙
22.05.2019
答：甲比乙先到达指定地点。 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
x
［（x-8）-（ x
第二次：倒出溶液 4 升，纯农药还剩
本题的不等关系是： 两次倒出后，桶内的纯农药不超过容积的２８％
22.05.2019
解答请同学们自己完成。 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
x
8 ）×4］， x
解： 设桶的容积为x升， 显然 x>8.
依题意，得 (x-8) - 4 ( x 8 )
x
9x2-150x+400≤0
≤28% · x
由于x>8, 因而原不等式化简为
10 40 x 即（3x-10)(3x-40)≤0. 因此 3 3
，从而
8＜x≤
22.05.2019
4 0 3
答：桶的最大容积为
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
3-4-2基本不等式的应用—最值问题
第三章
3.4
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[点评]
本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且
都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经 常使用的方法，要学会观察学会变形，另外解法 2，通过消元， 化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另 一个变量范围给出限制． (消去 x 后，原来 x 的限制条件，应当由代替它的 y 来“接 班”，此限制条件不会因“消元”而凭空消失！)
9 当且仅当 y－9＝ ，即 y＝12 时取等号，此时，x＝4， y－9 ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
第三章 3.4 第2课时
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1 9 解法 3：(配凑法)由x＋y＝1 得，y＋9x＝xy，∴(x－1)(y－ 9)＝9.∴x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥10＋2 x－1y－9＝16. 当且仅当 x－1＝y－9 时取等号． 1 9 又∵x＋y＝1，∴x＝4，y＝12. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
第三章
3.4
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
4 (3)已知 a＞3，求 a＋ 的最小值． a－3
4 4 解：∵a＞3，∴a， ＞0.∴a＋ ≥2 a－3 a－3 4 4 ＝ ，即 a＝4 时，a＋ 取最小值 2 a－3 a－3
4 a· .当 a a－3
4a ＝8. a－3
第三章
3.4
第三章
3.4
第2课时
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1 9 [解析] 解法 1：(1 的代换)∵x ＋y ＝1，
1 9 y 9x ∴x＋y＝(x＋y)· ＋y ＝10＋ ＋ . x y x
应用基本不等式解决实际问题的方法
应用基本不等式解决实际问题的方法（原创版4篇）目录（篇1）一、基本不等式的概念和性质二、应用基本不等式解决实际问题的方法1.求解最值问题2.证明不等式3.解决实际生活中的问题三、基本不等式在实际问题中的应用案例1.求解最大利润问题2.证明不等式关系3.解决实际生活中的财务问题正文（篇1）一、基本不等式的概念和性质基本不等式是数学中的一个重要概念，主要用于研究不等式之间的联系和关系。
基本不等式有两个基本性质，分别是对称性和传递性。
对称性指的是对于任意的实数 a 和 b，都有 a*b<=b*a，即乘法满足交换律。
传递性指的是对于任意的实数 a、b 和 c，如果 a<=b 且 b<=c，那么 a<=c。
二、应用基本不等式解决实际问题的方法基本不等式在实际问题中有广泛的应用，主要包括以下三种方法：1.求解最值问题：利用基本不等式可以方便地求解最值问题。
例如，对于函数 f(x)=x^2+ax+b，当 a^2-4b<=0 时，函数的最小值等于 b；当a^2-4b>0 时，函数的最小值等于 f(-a/2)。
2.证明不等式：基本不等式也可以用于证明不等式。
例如，要证明x+y<=2，可以利用基本不等式，得到 (x+y)^2<=4，从而证明 x+y<=2。
3.解决实际生活中的问题：基本不等式也可以用于解决实际生活中的问题。
例如，对于一个商人，他希望利润最大化，可以利用基本不等式，得到售价 - 成本<=售价*成本，从而得到最大利润的售价。
三、基本不等式在实际问题中的应用案例基本不等式在实际问题中有广泛的应用，以下是两个应用案例：1.求解最大利润问题：一个商人要销售一批商品，商品的成本为 c，售价为 x，销售量为 y，利润为 P=xy-c。
利用基本不等式，可以得到最大利润的售价 x<=sqrt(2*c/y)。
2.证明不等式关系：在实际问题中，基本不等式也可以用于证明不等式关系。
(新课标)高中数学 第3章 不等式 3.4 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用—证明与最值问题课
不等式的应用—证明与最值问题课时作业新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（新课标）2017春高中数学第3章不等式3.4 基本不等式第2课时基本不等式的应用—证明与最值问题课时作业新人教A 版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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的应用—证明与最值问题课时作业新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．(2016·浙江嘉兴一模)已知直线l1:a2x＋y＋2＝0与直线l2：bx－(a2＋1）y－1＝0互相垂直，则｜ab｜的最小值为导学号 54742862( C )A．5 B．4C．2 D．1[解析］由条件知，直线l1与l2的斜率存在，且l1⊥l2，k1＝－a2，k2＝错误!，∴k1k2＝－a2ba2＋1＝－1，∴b＝错误!>0，∴|ab｜＝|错误!|＝|a|＋错误!≥2，等号成立时｜a｜＝错误!,∴a＝±1，b ＝2，∴｜ab｜的最小值为2。
2．已知a>0，b>0，且2是2a与b的等差中项,则错误!的最小值为错误!( B ）A．错误!B．错误!C．2 D．4[解析］∵2是2a与b的等差中项，∴2a＋b＝4.又∵a>0，b〉0，∴2ab≤（错误!)2＝（错误!)2＝4，当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取等号．∴1ab≥12。
故选B．3．若a〉0，b>0且a＋b＝4,则下列不等式恒成立的是错误!（ D ) A．错误!>错误!B．错误!＋错误!≤1C．错误!≥2D．错误!≤错误!［解析]∵a>0，b>0，a＋b＝4，∴错误!≤错误!＝2,∴ab≤4，∴错误!≥错误!，∴错误!＋错误!＝错误!＝错误!≥1,故A、B、C均错，故选D．4．（2015·福建厦门高二期末）已知a〉b，b>0,若不等式错误!＋错误!≥错误!恒成立，则m的最大值等于导学号 54742865( C )A．7 B．8C．9 D．10[解析]∵a>0，b>0,不等式错误!＋错误!≥错误!恒成立，∴m≤[（2a＋b)(错误!＋错误!)］min.∵（2a＋b)(2a＋1b)＝5＋2(错误!＋错误!)≥5＋2×2错误!＝9，当且仅当a＝b时取等号．∴m的最大值等于9。
高中数学 第三章 不等式 3.4.2 基本不等式的应用课件
跟踪训练3 一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知
两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于
v
2
20
千米，
那么这批货物全部运到B市，最快需要__8_小时.
解析 设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则
t＝400＋v162v02＝40v0＋14600v≥2
思考 因为x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号.所以当x＝1时，(x2＋1)min＝2. 以上说法对吗？为什么？
答案 错.显然(x2＋1)min＝1. x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号.仅说明曲线y＝x2＋1恒在直线y＝2x上方， 仅在x＝1时有公共点. 使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值.如果都不是定值， 可能出错.
解答
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为 多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解 设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩 形菜园的面积为xy m2.
由 xy≤x＋2 y＝128＝9，可得 xy≤81，
当且仅当x＝y＝9时，等号成立. 所以这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大， 最大面积为81 m2.
命题角度1 几何问题的最值 例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 解 设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y) m. 由x＋2 y≥ xy，可得 x＋y≥2 100，2(x＋y)≥40. 当且仅当x＝y＝10时，等号成立. 所以这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.
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3.4
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＋
(3)方法一：∵a，b，c，∈R . a＋b b＋c c＋a ∴lg 2 ＋lg 2 ＋lg 2 >lg a＋lg b＋lg c
a＋b b＋c c＋a ⇔lg · · >lg 2 2 2
abc
a＋b b＋c c＋a ⇔ 2 · 2 · 2 >abc. a＋b b＋c c＋a 因为 2 ≥ ab>0， 2 ≥ bc>0， 2 ≥ ac>0，且以上 a＋b b＋c c＋a 三个不等式中等号不能同时成立，所以 · · >abc 成 2 2 2 立，从而原不等式成立．
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[点评] 则变为：
在 a3＋b3＋c3≥3abc 中，令 x＝a3，y＝b3，z＝c3，
x＋y＋z 3 ≥ xyz(x、 z∈R＋， y、 当且仅当 x＝y＝z 时取等号)． 3 a＋b＋c 3 我们也把 3 ， abc分别叫做三个正数 a，b，c 的算 a＋b＋c 3 术平均数与几何平均数．于是 3 ≥ abc. 此式可以说成：三个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数．
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命题方向
综合法证明不等式
[例 2]
已知 a， 都是正数， b 求证 ab＋4a＋b＋4≥8 ab.
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[证明]
∵ab＋4a＋b＋4＝(a＋1)(b＋4)，
又∵a>0，b>0， ∴a＋1≥2 a>0，b＋4≥4 b>0， 当且仅当 a＝1，b＝4 时取等号． ∴(a＋1)(b＋4)≥8 ab， 当且仅当 a＝1，b＝4 时取等号．
2 2
三式相加得 a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2 2 2 2 ≥ (a＋b)＋ (b＋c)＋ (a＋c) 2 2 2 ＝ 2(a＋b＋c)(等号在 a＝b＝c 时成立)．
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(2)∵a、b、c 是△ABC 的三边， 不妨设 a≥b≥c>0，则 a>b－c≥0， b>a－c≥0，c>a－b≥0，平方得： a2>b2＋c2－2bc，b2>a2＋c2－2ac，c2>a2＋b2－2ab， 三式相加得：0>a2＋b2＋c2－2bc－2ac－2ab， ∴2ab＋2bc＋2ac>a2＋b2＋c2.
证法 2(比较法)： |ac＋bd|≤1⇔－1≤ac＋bd≤1. 先证 ac＋bd≥－1. ∵ac＋bd－(－1) 1 1 ＝ac＋bd＋ ＋ 2 2 a2＋b2 c2＋d2 ＝ac＋bd＋ 2 ＋ 2 a＋c2＋b＋d2 ＝ ≥0， 2 ∴ac＋bd≥－1.
第三章 3.4 第3课时
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再证 ac＋bd≤1. ∵1－(ac＋bd) 1 1 ＝2＋2－(ac＋bd) a2＋b2 c2＋d2 ＝ 2 ＋ 2 －ac－bd a－c2＋b－d2 ＝ ≥0， 2 ∴ac＋bd≤1. 综上得|ac＋bd|≤1.
第三章
3.4
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证法 3(分析法)：要证|ac＋bd|≤1， 只需证明(ac＋bd)2≤1， 即只需证明 a2c2＋2abcd＋b2d2≤1.① 由于 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，因此①式等价于 a2c2＋2abcd＋b2d2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．② 将②式展开化简得(ad－bc)2≥0. ∵a、b、c、d 全是实数∴此式成立，故①式成立，从而原 命题得证．
第三章
3.4
第3课时
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1．注意基本不等式的基本形式是“和的形式≥积的形 a＋b 式”还要注意“反向”不等式 ≤ 2 活运用． 2．注意对字母轮换式的识别，从而通过某种形式的迭加 或迭乘使问题获解． a2＋b2 在解题中的灵 2
第三章
3.4
第3课时
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3．重视化归思想的运用，等式与不等式之间的转化、不 等式与不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等等．要 把握准转化的条件，达到化归目的．
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思路方法技巧
第三章
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第3课时
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命题方向
不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法
第三章
3.4
第3课时
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2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2 ＝(a2b＋bc2)＋(ab2＋ac2)＋(b2c＋a2c) ＝b(a2＋c2)＋a(b2＋c2)＋c(a2＋b2) ≥b· 2ac＋a· 2bc＋c· 2ab＝6abc， ∴a3＋b3＋c3≥3abc. 显然，当且仅当 a＝b＝c 时， a3＋b3＋c3＝3abc.
第三章
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联想一：由平方和等于 1，联想到三角函数的平方关系， 可设 a＝cosα、b＝sinα、c＝cosβ、d＝sinβ(α、β∈R) 则有|ac＋bd|＝|cosαcosβ＋sinαsinβ|＝|cos(α－β)|≤1.
第三章 3.4 第3课时
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＋
方法二：∵a，b，c∈R ， a＋b b＋c c＋a ∴ ≥ ab>0， ≥ bc>0， ≥ ac>0，且上述三 2 2 2 个不等式中等号不能同时成立， a＋b b＋c c＋a ∴ 2 · 2 · 2 >acb. a＋b b＋c c＋a ∴lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c. 2 2 2
[解析]
先证 a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2，
∵a2＋b2≥2ab(a，b∈R)， ∴a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2a2b2＋2b2c2＋2c2a2， ∴a4＋b4＋c2≥a2b2＋b2c2＋c2a2， 再证 a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)， ∵a2b2＋b2c2＝b2(a2＋c2)≥2ab2c (等号在 a＝c 时成立)．
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若 a，b，c 均为正数，求证 a3＋b3＋c3≥3abc.
第三章
3.4
第3课时
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[解析]
我们先证 a3＋b3≥a2b＋ab2，①
∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)≥0， ∴a3＋b3≥a2b＋ab2， 同理可得 b3＋c3≥b2c＋bc2，② a3＋c3≥a2c＋ac2.③ 将①②③式两边分别相加，得
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
不等式
第三章 不等式
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第三章
3．4 a＋b 基本不等式 ab≤ 2
第三章 不等式
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第三章
第 3 课时 基本不等式的应用—证明问题
第三章
3.4
第3课时
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重点难点展示
第三章
3.4
第3课时
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重点：应用基本不等式进行不等式的证明． 难点：1.不等式的综合应用． 2．反向不等式的运用．
第三章
3.4
第3课时
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学习要点点拨
第三章 不等式
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课前自主预习 课堂巩固训练 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误作答
第三章
3.4
第3课时
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课程目标解读
第三章
3.4
第3课时
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熟练应用基本不等式，进行不等式的证明．
第三章
[解析]
证法 1(综合法)：因为 a，b，c，d 都是实数，所
以|ac＋bd|≤|ac|＋|bd| a2＋c2 b2＋d2 ≤ ＋ 2 2 a2＋b2＋c2＋d2 ＝ . 2 又因为 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，所以|ac＋bd|≤1.
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同理 a2b2＋a2c2≥2a2bc，(等号在 b＝c 时成立)． b2c2＋a2c2≥2abc2，(等号在 a＝b 时成立)． 三式相加得：a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c) (等号在 a＝b＝c 时成立)
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[点评]
三种证法各有侧重点，但都植根于条件 a2＋b2＝
1 与 c2＋d2＝1 的灵活运用上，解题时要善于展开联想，不放 过任何可能的思路火花，多方探索对比，对开阔视野，训练 思维很有帮助，请你对条件式，再展开联想，看还能与什么 知识产生联系？