3-4-3基本不等式的应用—证明问题 54张

第三章
3.4
第3课时
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[点评] 则变为：
在 a3＋b3＋c3≥3abc 中，令 x＝a3，y＝b3，z＝c3，
x＋y＋z 3 ≥ xyz(x、 z∈R＋， y、 当且仅当 x＝y＝z 时取等号)． 3 a＋b＋c 3 我们也把 3 ， abc分别叫做三个正数 a，b，c 的算 a＋b＋c 3 术平均数与几何平均数．于是 3 ≥ abc. 此式可以说成：三个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数．
第三章 不等式
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课前自主预习 课堂巩固训练 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误作答
第三章
3.4
第3课时
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课程目标解读
第三章
3.4
第3课时
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熟练应用基本不等式，进行不等式的证明．
第三章
3．重视化归思想的运用，等式与不等式之间的转化、不 等式与不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等等．要 把握准转化的条件，达到化归目的．
第三章
3.4
第3课时
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思路方法技巧
第三章
3.4
第3课时
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命题方向
不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法
第三章
3.4
第3课时
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1．注意基本不等式的基本形式是“和的形式≥积的形 a＋b 式”还要注意“反向”不等式 ≤ 2 活运用． 2．注意对字母轮换式的识别，从而通过某种形式的迭加 或迭乘使问题获解． a2＋b2 在解题中的灵 2
第三章
3.4
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第三章 3.4 第3课时
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[证明] (1)∵a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，c2＋a2>2ca， 以上三式相加：2(a2＋b2＋c2)>2ab＋2bc＋2ca， ∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca. bc ac b a (2)∵a、b、c∈R ∴ a ＋ b ＝c(a＋b)
第三章
3.4
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[点评]
三种证法各有侧重点，但都植根于条件 a2＋b2＝
1 与 c2＋d2＝1 的灵活运用上，解题时要善于展开联想，不放 过任何可能的思路火花，多方探索对比，对开阔视野，训练 思维很有帮助，请你对条件式，再展开联想，看还能与什么 知识产生联系？
第三章 3.4 第3课时
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＋
方法二：∵a，b，c∈R ， a＋b b＋c c＋a ∴ ≥ ab>0， ≥ bc>0， ≥ ac>0，且上述三 2 2 2 个不等式中等号不能同时成立， a＋b b＋c c＋a ∴ 2 · 2 · 2 >acb. a＋b b＋c c＋a ∴lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c. 2 2 2
第三章
3.4
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2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2 ＝(a2b＋bc2)＋(ab2＋ac2)＋(b2c＋a2c) ＝b(a2＋c2)＋a(b2＋c2)＋c(a2＋b2) ≥b· 2ac＋a· 2bc＋c· 2ab＝6abc， ∴a3＋b3＋c3≥3abc. 显然，当且仅当 a＝b＝c 时， a3＋b3＋c3＝3abc.
第三章
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[解析]
a＋b (1)我们已知 2 ≤
a2＋b2 a＋b 2 2 ∴ 2 ， a ＋b ≥ 2 ＝
2 (a＋b)(a，b∈R 等号在 a＝b 时成立)． 2 2 同理 b ＋c ≥ 2 (b＋c)(等号在 b＝c 时成立)．
2 2
2 a ＋c ≥ 2 (a＋c)(等号在 a＝c 时成立)．
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联想一：由平方和等于 1，联想到三角函数的平方关系， 可设 a＝cosα、b＝sinα、c＝cosβ、d＝sinβ(α、β∈R) 则有|ac＋bd|＝|cosαcosβ＋sinαsinβ|＝|cos(α－β)|≤1.
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重点难点展示
第三章
3.4
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重点：应用基本不等式进行不等式的证明． 难点：1.不等式的综合应用． 2．反向不等式的运用．
第三章
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学习要点点拨
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若 a，b，c 均为正数，求证 a3＋b3＋c3≥3abc.
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[解析]
我们先证 a3＋b3≥a2b＋ab2，①
∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)≥0， ∴a3＋b3≥a2b＋ab2， 同理可得 b3＋c3≥b2c＋bc2，② a3＋c3≥a2c＋ac2.③ 将①②③式两边分别相加，得
[解析]
先证 a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2，
∵a2＋b2≥2ab(a，b∈R)， ∴a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2a2b2＋2b2c2＋2c2a2， ∴a4＋b4＋c2≥a2b2＋b2c2＋c2a2， 再证 a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)， ∵a2b2＋b2c2＝b2(a2＋c2)≥2ab2c (等号在 a＝c 时成立)．
3.4
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课前自主预习
第三章
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1．试证下列不等式 (1)已知 a， c 为两两不相等的实数， b， 求证： 2＋b2＋c2>ab a ＋bc＋ca. bc ac ab (2)设 a、b、c 是不全相等的正数，求证： a ＋ b ＋ c >a＋ b＋c. a＋b b＋c (3)若 a，b，c 是不全相等的正数，求证 lg ＋lg ＋ 2 2 c＋a lg >lg a＋lg b＋lg c. 2
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
不等式
第三章 不等式
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第三章
3．4 a＋b 基本不等式 ab≤ 2
第三章 不等式
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第三章
第 3 课时 基本不等式的应用—证明问题
第三章
3.4
第3课时
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＋
(3)方法一：∵a，b，c，∈R . a＋b b＋c c＋a ∴lg 2 ＋lg 2 ＋lg 2 >lg a＋lg b＋lg c
a＋b b＋c c＋a ⇔lg · · >lg 2 2 2
abc
a＋b b＋c c＋a ⇔ 2 · 2 · 2 >abc. a＋b b＋c c＋a 因为 2 ≥ ab>0， 2 ≥ bc>0， 2 ≥ ac>0，且以上 a＋b b＋c c＋a 三个不等式中等号不能同时成立，所以 · · >abc 成 2 2 2 立，从而原不等式成立．
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第3课时
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*合作探究 (1)求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)． (2)设 a，b，c 为△ABC 的三条边，求证 a2＋b2＋c2<2(ab ＋bc＋ca)． 你通过上面题目的证明有什么体会？对什么是“字母轮 换对称关系”的不等式你会识别了吗？对这样的不等式的证 法你把握了吗？望今后解题后多做这种反思，对提高你的数学 思维能力会很有帮助的．
证法 2(比较法)： |ac＋bd|≤1⇔－1≤ac＋bd≤1. 先证 ac＋bd≥－1. ∵ac＋bd－(－1) 1 1 ＝ac＋bd＋ ＋ 2 2 a2＋b2 c2＋d2 ＝ac＋bd＋ 2 ＋ 2 a＋c2＋b＋d2 ＝ ≥0， 2 ∴ac＋bd≥－1.
第三章 3.4 第3课时
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2 2
三式相加得 a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2 2 2 2 ≥ (a＋b)＋ (b＋c)＋ (a＋c) 2 2 2 ＝ 2(a＋b＋c)(等号在 a＝b＝c 时成立)．
第三章 3.4 第3课时
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(2)∵a、b、c 是△ABC 的三边， 不妨设 a≥b≥c>0，则 a>b－c≥0， b>a－c≥0，c>a－b≥0，平方得： a2>b2＋c2－2bc，b2>a2＋c2－2ac，c2>a2＋b2－2ab， 三式相加得：0>a2＋b2＋c2－2bc－2ac－2ab， ∴2ab＋2bc＋2ac>a2＋b2＋c2.
＋
≥2c
ba b a ·＝2c 等号在 ＝ 即 a＝b 时成立． ab a b
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bc ab 同理可得： a ＋ c ≥2b(a＝c 时等号成立)． ac ab ＋ ≥2a(b＝c 时等号成立)． b c bc ac ab 三式相加得： ＋ ＋ ≥a＋b＋c(等号在 a＝b＝c 时成立)． a b c
[例 1] ＋c)． [分析]
求证：a4 ＋b4＋c4≥a2b2 ＋b2c2 ＋c2a2≥abc(a＋b
本题中的表达式具有轮换对称关系，将表达式
中字母轮换 a→b→c→a 后表达式不变， 这类问题证明一般变 为几个表达式(通常几个字母就需几个表达式)迭加(乘)， 从而 获解．
第三章
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[解析]
证法 1(综合法)：因为 a，b，c，d 都是实数，所
以|ac＋bd|≤|ac|＋|bd| a2＋c2 b2＋d2 ≤ ＋ 2 2 a2＋b2＋c2＋d2 ＝ . 2 又因为 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，所以|ac＋bd|≤1.
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探索延拓创新
第三章
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[例 3]
已知 a，b，c，d 都是实数，且 a2＋b2＝1，c2＋
d2＝1，求证：|ac＋bd|≤1.
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第3课时
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同理 a2b2＋a2c2≥2a2bc，(等号在 b＝c 时成立)． b2c2＋a2c2≥2abc2，(等号在 a＝b 时成立)． 三式相加得：a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c) (等号在 a＝b＝c 时成立)
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第3课时
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命题方向
综合法证明不等式
[例 2]
已知 a， 都是正数， b 求证 ab＋4a＋b＋4≥8 ab.
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[证明]
∵ab＋4a＋b＋4＝(a＋1)(b＋4)，
又∵a>0，b>0， ∴a＋1≥2 a>0，b＋4≥4 b>0， 当且仅当 a＝1，b＝4 时取等号． ∴(a＋1)(b＋4)≥8 ab， 当且仅当 a＝1，b＝4 时取等号．
再证 ac＋bd≤1. ∵1－(ac＋bd) 1 1 ＝2＋2－(ac＋bd) a2＋b2 c2＋d2 ＝ 2 ＋ 2 －ac－bd a－c2＋b－d2 ＝ ≥0， 2 ∴ac＋bd≤1. 综上得|ac＋bd|≤1.
第三章
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证法 3(分析法)：要证|ac＋bd|≤1， 只需证明(ac＋bd)2≤1， 即只需证明 a2c2＋2abcd＋b2d2≤1.① 由于 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，因此①式等价于 a2c2＋2abcd＋b2d2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．② 将②式展开化简得(ad－bc)2≥0. ∵a、b、c、d 全是实数∴此式成立，故①式成立，从而原 命题得证．