概率统计讲课稿第五章(第一,二节)

第五章随机变量的数字特征

问题、目的、意义:

所谓随机变量的数字特征,是指连系于它的分布函数的某些数,如平均值,方差等.它们反映随机变量的某些方的特征.

在第二章我们举出常见的随机变量分布函数的各种例子,很多分布函数含有两个或多于一个参数(如泊松分布含有一个参数λ,正态分布含有两个参数μ和σ),这些参数往往是由某些数字特征或其它数值所决定的,因此找到这些特征,分布函数(或分布律,概率密度)跟着就确定了.但对一般随机变量,要完全确定它的分布函数就不那么容易了,不过在许多实践问题中,我们并不需要完全知道分布函数,我们只需要知道随机变量某些特征也就够了.例如,在测量某物体的长度时,测量的结果是一个随机变量.在实际工作中,往往用测量长度的平均数来代表这一物体的

长度.又如对一射手的技术评定,除了要了解命中环数的平均值,同时还必须考虑稳定情况,命中点分散还是比较集中？

由此而可见, 随机变量的数字特征的研究有理论上和实际上的重要意义.

第一节 数学期望

一、数学期望的概念

设某射手进行了100次射击,其中命中7环10次，命中8环20次，命中9环40次，命中10环30次，求此人平均命中环数. 解

平均环数为

)3010409208107(100

1

⨯+⨯+⨯+⨯⨯100

3010100409100208100107⨯

+⨯+⨯+⨯=

∑∑==⋅=⋅=10

710

7

k k

k

k p k n n k

9.8= ,

其中 100=n ,

107=n ,208=n ,409=n ,

3010=n .

n

n

p k

k

=,是环数k 出现的频率.

由于频率趋向于概率值,因此我们用概率来代替频率而引出数学期望的概念. 数学期望是平均值的推广.

如果随机变量X 的分布律为

{},1,2,,k k P X x p k n ===L ；

称1

n

k k k x p =∑为X 的数学期望， 记为 1

()n

k k k E X EX x p ===∑ .

“期望”在我们日常生活中常指有根据的希望。

1. 离散型随机变量X 的数学期望：

定义1 设随机变量X 的分布律为： {Λ,2,1,}===k p x X P k

k

,

若级数∑∞

=1

k k

k

p x 绝对收敛

(即∑∞

=1

||k k

k

p x 收敛)，

则称级数∑∞

=1

k k k p x 为X 的数学期望， 记为 ∑∞

===1

)(k k

k

p x EX X E .

2． 离散型随机变量X 的函数的数学期

望：

设()X g Y =，()x g 是连续函数； 定理 设X 是离散型随机变量， 且{Λ,2,1,}===k p x X P k

k

，

若级数()k

k k

p x g ∑∞

=1

绝对收敛，

则有：()==X Eg EY ()k

k k

p x g ∑∞

=1

.

(计算()X g Y =的数学期望,按定

义要先求出()X g Y =的分布律,再求

}{1∑+∞

===i i i y Y P y EY ,但这样麻烦,有了此

定理计算起来就比较直接,不必求出Y 的分布律.(其实是先合并取相同值的概率,与后合并取相同值的概率之分,两个算法一致))

例1 设随机变量X 的分布律如下:

求,EX 2

EX , )53(2

+X E 解 2.03.023.004.02-=⨯+⨯+⨯-=EX ,

,

8.23.00)3.04.0(43.023.004.0)2(2222=⨯++=⨯+⨯+⨯-=EX 3

.0]523[3.0]503[4.0]5)2(3[)53(2222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-=+X E 4.133.05)3.04.0(17=⨯++⨯= .

例2 设随机变量X 的分布律为

1

{}k P X k qp -==， ,0,1p q q p >=-，

1,2,k =L ,

求EX 和2

EX .

解 1

1

1

{}k k k EX k P X k k qp +∞

+∞

-===⋅==⋅∑∑

1

1

k k q k p +∞

-==⋅∑

211

(1)1q p p =⋅=--.

这里,利用了幂级数求和公式

)1(

)(111

'-='=∑∑∞

+=∞

+=-x

x x kx k k

k k 2

)

1(1

x -= x

x x x x k k k -=+++++=∑+∞

=11

120ΛΛ,(1||

22211

1

{}k k k EX k P X k k qp +∞

+∞

-===⋅==⋅∑∑

21

1

k k q k p +∞

-==⋅∑

3211(1)(1)p p

q p p ++=⋅=--, 利用了