经典考研地下水动力学重点4

2016-5-12
第三章 地下水向河渠的运动 Ø 均质含水层中地下水向河渠的运动
² 承压水向河渠一维稳定运动 ² 无入渗潜水向河渠二维稳定运动
²隔水底板水平 ²隔水底板倾斜 ² 无入渗潜水向河渠三维稳定运动 ²平面流线呈辐射状 ²渗流断面复杂变化 ² 均匀入渗潜水向河渠二维稳定运动 ² 承压水向河渠一维不稳定运动 Ø 非均质含水层地下水向河渠的运动
K h12 h22 2l
Wl 2
河1
q q1
W
q
a
x
河2
q2
x
1.
W当 0,q1
K h12 h22 , 2l
图3-1-8 河间地段潜水流动剖面图
该式为无入渗补给潜水剖面二维稳定流动，此时河间地段呈单
h1向流h动2时。 ， q1 0,水由河 1向河 2流动
h1 h2时， q1 0,水由河 2向河 1流动
h12 h22 2
Q K
l B1 B2
ln B1 ln B2
流量公式 Q
水头线方程
K h12 h22 B1 2l InB1
h2 h12 (h12
B2 InB2
KB m
h12 h22 2l
h22
)
InB1 InB1
InB InB2
四、无入渗潜水向河渠三维稳定运动 ------（二）渗流断面复杂变化
潜水含水层隔水底板
H 2 dH
H1
q和K沿程不 变
l1dx l 0 h hm
hm
h1 h2 2
H1 H2
ql K hm
q K h1 h2 H 1 H 2
2
l
水头线方程讨论
1－2渗流段的流量公式
q1
K h1 h2 H 1 H 2
2
l
1－x渗流段的流量公式
q2
K h1 h H 1 H 2x
q1 q2
水均衡原理
K h1 h2 H 1 H 2 K h1 h H 1 H
L 图3-1-1 承压水一维稳定运动
二、承压水向河渠一维稳定运动— 数学模型与求解（1）
2.数学模型
d2H 0
(1)
dx2
H |x 0 H 1 (2)
H |x L H 2 (3)
3.求解:解法一
对（1）式两次不定积分，代入已知条件
得：
H C1x C 2,
C2 H1
C1
H2 H1 l
H
H1
H1 H2 x l
二、承压水向河渠一维稳定运动 ---数学模型与求解（2）
求解过程-分离变量法 q
KM dH dx
q dx dH KM
从x＝0（断面1，H＝H1）积分至x=l(断面2，H＝H2）
l q dx 0 KM
H 2 dH
H1
由于 q const
ql KM q KM
H1 H2
H1 H2 l
二、承压水向河渠一维稳定运动 ---数学模型与求解（2）
两者缺一不可。
3.
稳定流与非稳定流计算公式不同，对地下水资源评
价意义重大。
• 本章要求：
Ø 深入理解裘布依假定的实质； Ø 掌握运用达西定律和水流连续性原理推导流量方程和水
头线方程的基本方法。
Ø 掌握以下条件的流网特征、流量方程和水头线方程，并 能灵活运用些解析公式解决实际计算问题：
n 承压水向河渠的一维稳定运动， n 无入渗隔水底板水平时潜水向河渠的二维稳定运动， n 均匀稳定入渗条件下潜水向河渠二维稳定运动。
3.1 均质含水层中地下水向河渠的运动
一、稳定与不稳定
1. 定义为地下水运动要素是否随时间发生变化，变化为非稳 定流，不变为稳定流；强调流场内所有点的运动要素都随
时间变化。 2. 产生稳定流的条件 ∑流入＝ ∑流出
① 必要条件，首先必须保持补给区和排泄区边界的水头 保持不变。
② 充分条件：要求所研究的渗流区段内补给量＝排泄量。
x W xdx 0K
1 2
(h12
h2)
q1 x K
W x2 K2
当x=l时，h=h2
1 2
(h12
h22)
q1 l W l2 K K2
单宽流量方程：q1
K h12 h22 2l
Wl 2
断面1
q2
K h12 h22 2l
Wl 2
任意断面处 q K h12 h22 Wl Wx
2l 2
断面2
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Q KA dH
H1
dx
A
Bh
B
B1
B1 B2 x l
h1
H2
h
底板水平，含z 0,故 dH dh
h2
dx dx
Q
K B1
B1 B2 x h dh
l
dx
L
图 3-1-5 平 面 流 线 辐 射 状 的 潜 水 流
3
四、无入渗潜水向河渠三维稳定运动 （一）平面流线辐射状
Q
K B1
B1 B 2 x h dh
象，流网如图。以潜
河1
河2
水面接受入渗补给为
流线起点，由于两河
水位不等，存在分水
岭。
图3-1-7 有入渗补给的河间地段流网图
（一）流量方程推导
取坐标系：规定流向与x方向一致q为正， 入渗W>0,蒸发W<0
若x断面在分水岭的左侧，即x<a,则 q1 q Wx
q1 q Wx
若x端面取在分水岭的右侧，
则有 Wx q1 q
倾斜且不平整，呈三维流动，
若允许忽略垂向分流速，则可
H1
利用裘布依微分方程
A1
Q KA dH dx
分离变量并积分得流量公式为
H1
Q K A1 A2 H 1 H 2
2
l
H2
横
A2
剖
面
纵
H2
剖
面
水头线方程 ，若任意断面A已
知，则可求H。
K A1 A2 H 1 H 2 K A1 A H图1 3-H1-6
2
h
h12
(h12
h22
)x l
此水头线的特点: 1. 它是以x轴为对称轴的抛物线
(上半支的一部分); 2. 它与渗透系数K值的大小无关。
水头线方程 (解法二)
数学模型
ddx(hddhx) 0 h|x 0 h1 h|x l h2
对（1）式两次不定积分，代入已知条件得：
h2 2
C1x C 2,
C2
h12 2
h22 2
C 1l
h12 2
C1
h22 h12 2l 2l
h
h12
(h12
h22
)
x l
h2 (h22 h12 )x h12 2 2l 2l 2
三、无入渗潜水向河渠二维稳定运动 ------(二)隔水底板倾斜
沿水平方向取x轴,
它和底板夹角为 ；
H轴和井轴一致。基准
H1
2
面可取在底板以下任
意高度水平（0－0）。
h12 h22 2l
＝ Wl 2
， q1＝0,分水岭刚好存图在3河-1-81处河间地段潜水流动剖面图
(3).当 K h12 h22 2l
说明：
Wl 2
， q1
0,不存在分水岭，河 1补给地下水
பைடு நூலகம்
(1)在分水岭处水流不满足裘布依假定
(2)在地下水排入河流的河床壁面，在河水位之上存在“出渗 面”，也不满足裘布依假定。
2
l
2x
(h1 h2 )(H 1 H 2 ) [h1 (H z)](H 1 H )
l
x
z
z1
(z1 z2 ) x l
四、无入渗潜水向河渠三维稳定运动 （一）平面流线辐射状
底板水平时，渗流宽度沿流向呈 线性变化，水流在x、y、z三个方 向都有分流速，根据裘布依假设， 忽略垂向分速度，则可将水流简 化为平面二维流。
q q1 Wx
W
Wx q1 q
河1
q q1 Wx
q q1
可知无论x在何处，均可
河2
q q2
x
得相同均衡式
a
x
q q1 Wx
图3-1-8 河间地段潜水流动剖面图
（一）流量方程推导
q q1 Wx
分离变量，由断
引入裘布依假定
q Kh dh
Kh dh dx
dx
q1 Wx
面1至断面x积分
h hdh
h1
x q1 dx 0K
（一）流量方程推导
q q1 Wx
分离变量积分
引入裘布依假定
q Kh dh dx
Kh dh dx
q1 Wx
单宽流量方程：
断面1 断面2
任意断面处
q
q1
K h12 h22 2l
Wl 2
q2
K h12 h22 2l
Wl 2
K h12 h22 Wl Wx 2l 2
流量方程的讨论
(据河1断面流量q1方程)
q1
2.
当W 0,且h1 h2,q1
W
l 2
,q2
W l ,存在分水岭a 2
l, 2
向两侧河流的排泄量相等，各为补给量的Wl一
2
半
。
流量方程的讨论 河1
W 0,h1 h2
q1
q1
K h12 h22 2l
Wl 2
(1).当 K h12 h22 2l
Wl 2
,q1
0,存在分水岭
W
q
q
a
x
河2
q2
x
(2).当 K
l
dx
h2 hdh
h1
lQ 0K
B1
1 B1
B2 x dx
l
h12 h22 Q 2K
l B1 B2
d
l
B1
0 B1
B1 B2 x l
B1 B2 x l
Q K
l B1 B2
ln B1
B1 B2 x l
l 0
Q K
l B1 B2
lnB 2
lnB1
Q K
l B1 B2
lnB1
lnB 2
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四、无入渗潜水向河渠三维稳定运动 （一）平面流线辐射状
2.数学模型
d2H 0
(1)
dx2
H |x 0 H 1 (2)
H |x L H 2 (3)
3.求解:解法一
单宽流量公式为
H
H1
H1 H2 x l
Q KA dH
KMB dH
dx
dx
qQ B
KM dH (单宽流量 ) dx
H
H1
H1 H2 x l
dH dx
H1 H2 l
q KM H 1 H 2 l
Q KMB H 1 H 2 l
l
2l
L
渗流断面复杂变化的潜水流
五、均匀入渗潜水向河渠二维稳定运动
1、入渗强度(W): 单位水平面积、单位时间内入渗补给地下水的水量。
2、问题描述：两条完整切割潜水含水层的平行河流，潜水
含水层隔水底板水平，入渗强度W分布均匀，W＝const，
流场为剖面二维流。
3、取单位渗流宽度
B W
的河间地块为研究对
h22
q KM H 1 H 2 l
单宽流量
q K h12 h22 2l
对比两式，若令z=0,即取基准 面与底板一致
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水头线方程
改变积分限（0～x)
q Kh dh ,q dx hdh dx K
x q dx 0K
h hdh
h1
q K h1 h2 h1 h2 2l
qx K
1 2
h12
h2
h12 h2
x l
(h12
h22 )
W lx K
W K
x2
讨论：
h2
h12
(h12
h22
)
x l
W (l K
x)x
1.当W>0时，水头线是椭圆曲线的上半支
当W<0时，水头线是双曲线方程
当W=0时，水头线是抛物线方程
此式为承压含水层地下水一维稳定流的水头线方程。可见，此
时水头线是一条直线，且水头H的分布与渗透系数K无关
在均匀一维流动情况下，由于水力梯度为常数，取决于水头差
及沿程途径。在介质均匀、渗流断面均部发生改变的情况下，
水力梯度为常数，故水头分布与K无关
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二、承压水向河渠一维稳定运动— 数学模型与求解（1）
q KM H 1 H 2 l
若从x=0(H=H1)处积分至x＝x（H＝H）处，即
x q dx 0 KM
H dH
H1
q KM
x
H1
H
H
H1
q KM
x
H1
KM H 1 H 2 lx
KM
H
H1
H1 H2 x l
研究思路：
定积分求常量
改变积分上下限
不定积分求解水头 线方程
建立数学模型
直接对微分方程进 行积分
h2
X 0 L
图3-1-2 隔水底板水平的二维潜水运动
三、无入渗潜水向河渠二维稳定运动 ------(一)隔水底板水平
q Kh dh dx
q dx hdh K
由于无垂向补排，故q沿0～l不变，积分从断面1 至断面2
l q dx 0K
h2 hdh
h1
q K h1 h2 h1 h2 2l
ql K
1 2
h12
H1
H
当 <20o，渗流长度
H2
可以用以水平孔距L来
近似表示，水力坡
h1
h2
度
dH 。
dx
即引入裘布依假设。
z1
0
z
X l
z2
X 0
图3-1-4 隔水底板倾斜的二维潜水流动
流量方程和水头线方程推导
根据裘布依假定
运用积分中值定理近似求解
q Kh dH dx
q 1 dx dH Kh
l q 1 dx 0K h
Ø 掌握处理层状非均质问题的分段法和等效厚度法。 • 重难点：
Ø 掌握无入渗潜水含水层中隔水底板水平时地下水向河渠 二维稳定运动；
Ø 均匀稳定入渗的潜水向河渠二维稳定运动； Ø 灵活运用分段法和等效厚度法求解非均质问题。
二、承压水向河渠一维稳定运动--物理模型
1、物理模型（水文地质模型描述） 条件：
(3)只 直有 面离 才河 视边 为界 等和 水分 头水 面岭 。边界，水平距离l>1.5~2.0M的垂
（二）水头线（浸润曲线）方程
由断面1至断面x积分得：
q1
K h12 h22 2l
Wl 2
1 2
h12
h2
q1 x W x2 K K2
1 2
h12
h2
(K h12 h22 Wl ) x W x2 2l 2 K K 2
Ø均质、等厚、承压含水层，两条平 行河流完整切割含水层。
Ø两河水位分别为H1，H2，当两河水位 稳定时，地下水可形成稳定流动， 地下水可形成稳定流动。
图3-1-1
H H1
H2
Ø这时，流网显示地下水流线是一条 平行的直线。
d2H 0
(1)
dx2
H |x 0 H 1 (2)
H |x L H 2 (3)
M x
定解条件用于求解 积分常数
三、无入渗潜水向河渠二维稳定运动 ------(一)隔水底板水平
此问题属于剖面二维
流动 (vz≠0)，潜水面是流线， H 1
由于其水力坡度不仅沿流线变
H1
化，而且过水断面也发生变化。
引入裘布依假定即令 H 0
z
h1
把二维流（x,z）问题降为一维
流（x）问题处理。
0
B 2
H2 h