第一章 初等模型

并令其为零, 则有
dy 200 8000l k 0 dk 1 有k . 注意到 400l
d2 y 8000l 0, 2 dk k 1 400l 1 此说明当k 时, y 取最大值, 相应的最大高度为 400l 1 y 40000l 米. 4l g 这里 l . 2 2V0
,
由于 t (0) 0 ,
t (l ) 0. 且
1 t ( x)wk.baidu.com v1
由此可知 t
h1
2 3 2
(h 1 2 x 2 )
1 v2
h2
2 3 2
0,
数t
x 的最小值点. 由 t x 0, 得
1 v1
2
x 在区间 0,l 有唯一的零点 x0 , 且该点为函
0 x 100 ,
于是问题就归结为求函数在闭区间上的最小值点.
解模 用微积分方法, 可先求
y 对 x的导数:
5x y k 3, 2 400 x 令 y 0 x 15. 又
y 0 400k , y 15 380k ,
第一章 初等模型
在这一章中, 我们介绍几个初等模型及相应的求解方法. 所谓初等模型, 指的是该模型并不涉及高深的数学问题,
用常用的数学工具即可求解此类问题.
一、微积分方法寻找最优点
问题一
铁路线上 AB 段的距离为100km, 工厂C 距 A 处
20km, 并且 AC AB.（见下图） 为了运输需要, 要在 AB上选定一点 D, 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里 货运的运费与公路每公里货运的运费之比为3: 5, 问D 点
π ⑷船体与河床一边的夹角为 , 0， . 2 建模
由假设, 记驳船的长度为 l , 则由题意知:
l CD CE ED.
又 EF
BH 10,
由相似三角形关系, 得
EF ED sin ,
及
BH 5cos .
所以
ED EF / sin (10 5cos ) / sin ,
同理得
CE (12 5sin ) / cos .
由此得
10 5cos 12 5sin π l f ( ), 0, . sin cos 2
⑴ π 上式表示了当 从 0 变到 时河床可容忍驳船的最大长度. 2 若驳船能转过河床, 则其长度不能超过上式中所有 的最小
x,y,n .
这里的n 是多项式的次数.
例
X y
已知11个数据点，分别用2次及10次多项式进行拟合.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 12
-0.4 1.9 3.2 6.2 7.1 7.3 7.7 9.6 9.5 9.3
解 在MatLab下完成下列操作:
*
所以存在
0.1,1.0 ,
使得
f '( ) 0.
*
经计算后有下表
点 0.1000 0.5500 0.5500 0.6625 0.7188
f
-500 -11.153 -11.153 -3.7942 -0.7051
点 1.0000 1.0000 0.7750 0.7750 0.7750
由多元函数的极值条件知 a* , b*应满足方程
n F a 2 ( yi axi b) xi 0, i 1 n F 2 ( yi axi b) 0, b i 1
⑻
容易得到⑻的解为
n n n n xi yi xi yi i 1 i 1 a* i 1 , 2 n n n n xi2 i 1 xi i 1 i 1 * 1 n a n b yi xi . n i 1 n i 1
应选在何处? 建模 设 AD xkm, 则
A x D B
DB 100 x,
20km
C
CD 400 x 2 .
再设铁路上货运的运费为 3k / km, 公路上货运的运费为
5k / km, 从 B 到 C 的总运费为 y, 则
y 5k CD 3k DB
k 5 400 x 2 3 100 x
f
16.89 16.89 0.2753 2.2753 2.2753
0.7188
-0.7051
0.7469
2.2753
这样, 通过反复计算的方法, 我们可以知道上述问题的近似 解为 *
0.73,
此时
f 0.73 0.1060，
进一步有
而此时
f 0.7320 0.0001.
此时⑷为
( y ax b) .
2
n
记
i 1
i
i
⑸
F a, b ( yi axi b)2 ,
i 1
n
⑹
则问题转变为求 a* , b* , 使
n * * 2 F a , b min ( yi axi b) a, b R . ⑺ i 1
l x0 h 2 (l x 0 )
2 2
[h 2 2 (l x)2 ] x [0, l ],
x0 h1 x 0
2
1 v2
,
记
x0 h1 2 x 02
则有
sin ,
l x0 h 2 2 (l x 0 )2
sin
其中 , 分别表示图中光线的入射角和反射角. 此为光学 中著名的折射定律.
参数是容易通过物理实验确定, 这样我们可以通过公式得 到光线通过不同介质的速度比. 而速度与材料的光导性质 有关. 如果我们将一种材料作为参照物, 就可以找出其它 材料的光导性质参数.
问题四 一高射炮向空中射击（不计空气阻力）, 建立平 面直角坐标系, 若原点是高射炮的发射点. 试建立数学模
型说明:
1 y 100 500 1 k 300k , 25
结论: 当 AD 15km 时总运费最小.
问题二 有一艘驳船, 宽度为5米, 欲驶过一个河渠. 该河 有一个直角弯道, 河渠两边的直角弯道各宽10米和12米. 试
问, 要驶过这个河渠, 驳船的长度不能超过多少米? 假设
⑴不考虑河床的深度, 整个驳船在河渠中行使都不会搁浅; ⑵驳船在转弯过程中可以最大限 度地接近河岸; ⑶驳船是一个标准的长方体, 在 俯视平面上记为长方形 ABCD, 如图所示
垂直方向的分速度有地球引力, 以重力加速度 g 减速. 即:
Vx V0t cos , 1 2 Vy V0t sin 2 gt .
解模 在上式中消去 t , 得到
y kx l (k 1) x , g 这里 k tan , l . 此即为问题所对应的数学模 2
者. 注意到函数 f 是个可微函数, 故该问题转化为求解
f 0
的问题.
解模 求导后得
5 10cos 12sin 5 f '( ) . 2 2 sin cos
零点.
怎么办？？？
⑵
该函数的零点并不容易求得. 我们用二分法求出该函数的
因
f '(0.1) 500, f '(1.0) 16.89,
sin sin , v1 v2
⑶
结论 物理学通过实验发现了折射定律，而数学（特别是通过 数学模型）则揭示了隐藏在这一规律后面的数量关系⑶.
应用 ⑶给出了一个一般的折射定律公式. 我们发现公式中有4 个参数: , , v1 , v2 . 而对于一个具体问题, 这些参数如何
确定也是数学建模需要关心的问题. 在本题中 , 这两个
汽车刹车距离
问题的提出 美国的某些司机培训课程中有这样的规则: 正常驾驶条
件下, 车速每增加10英里/小时, 后面与前面一辆车的距离
应增加一个车身的距离. 又云: 实现这个规则的一种简便 方法是所谓“两秒准则”: 即后车司机从前车经过某一标 志 开始默数2秒后到达同一标志, 而不管车速如何.
问题分析 制定这样的规则是为了在后车急刹车情况下不致撞上前 车, 即要保持汽车的刹车距离. 显然刹车距离与车速有关.
2 2
型. 由此模型可解决这两个问题.
2V0
⑴炮弹发射后落地时纵坐标 y
2
0,
2
即

kx l (k 1) x , ( x 0), k x . 2 l (k 1)
dx 1 1 k 0 k 1. 2 2 dk l (k 1) k 1为函数的极大值点, 即最佳角度满足
⑼
该方法就称为最小二乘法.
最小二乘法的几何意义
y
y ax b
O
x
进一步地, 若所求曲线为以多项式时, 则也有相应的方 程.
曲线拟合关系中的方程⑼常称为法式方程.
利用软件MatLab，可以简单地得到拟合多项式中的各 项系数. MatLab中曲线拟合命令是 polyfit.
基本格式 polyfit
⑴此炮弹能发射到的最远距离是多少？此时发射斜率为何 值？ ⑵此炮弹发射后击中200米远处的墙壁的最大高度是多少?
模型假定 1.炮弹初速度为V 2.忽略空气阻力.
0
,
炮弹发射角为 ;
建模 炮弹的速度可分解成水平和垂直两个分速度, 由假定2, 水平方向的的分速度由于没有阻力, 所以是匀速运动, 而
π 0.78375. 4
因而该结果和猜测相差不大.
模型评价 我们用近似求解的方法代替精确求解的方法, 从而在计算 过程中还会带来一定的误差. 因此, 最终的结果我们是保留
了两位有效数字, 当然从从实用的角度看, 这也足够了.
问题三
光的折射定律 设在 x 轴的上下两侧有两种不同
的介质甲和乙, 光在介质甲和介质乙的传播速度分别是v1
间是
1 1 2 2 t ( x) h1 x h 2 2 (l x)2 , x [0, l ]. v1 v2
解模
t x 的导数:
1 t ( x) v1
下面来确定 x 满足什么条件时,
t x 取得最小值.
lx
先求
x h1 2 x2
1 v2
h 2 2 (l x) 2
二、最小二乘法与数据拟合
1.数据拟合的意义
给定平面上 n个数据点
xi , yi , 我们将寻找曲线 y f x,
2 i i
使误差尽可能的小. 即使
f x y
i 1
n
⑷
为最小.
一个最为简单的情况是: 函数 y 即y
ax b.
f x 为线性函数,
f ( * ) 21 （米）.
下面是函数及导函数的大致图形.
导函数曲线
函数曲线
分析 从导函数曲线图中可以看到, 导函数的零点是唯一的,
因而问题有唯一的极值. 再从函数曲线图中看到, 该曲线
是个“单谷”曲线, 因而该点即为我们所要求的极小点.
π 直观上, 该点应该在区间0， 中点的附近, 而 2
和 v2 .又设点 A 在介质甲内, 点 B 在介质乙内, 要使光线
从 A传播到 B 耗时最少，问光线应取怎样的路径？ 假设 如图所示 点A, B到 x
轴的距离分别是 h1 , h2 , MN 的长 度为 l , MP 的长度为 x.
建模 由于在同一介质中, 光线的最速路径显然为直线, 因此 光线从 A 到 B 的传播路径必为折线 APM , 其所需的总时
程序如下
图形如下:
例
求解下面的最小二乘问题 0 10 20 30 40 80 90 95
x
y
68
67.1 66.4 65.6 64.6 61.8 61.0 60.0
解 由求解公式, 在MatLab下编制程序并进行求解, 得
a 0.0799, b 67.9593.
求解程序为
问题一
2
上式中求 x 对 k 的导数, 并令其为零, 则有
容易看到:
π 从而有 . 4
k tan 1,
⑵由于炮弹击中 200 米外的墙壁, 即 x
2
200, 此时有
2
y 200k l (k 1) 200 ,
要获得最大高度, 仍然是一个极值问题, 故上式对 k 求导,