函数的几种特性和复合函数
函数的概念与性质、反函数、复合函数
函数
一、区间及领域 二、函数的概念 三、函数的几种特性 四、初等函数 五、常用经济函数
函数(第一章)
1. 理解函数和概念，了解反函数和复合函 数的概念。 2. 了解函数的单调性、有界性、奇偶性和 周期性，熟悉基本初等函数的性质及其图 形。 3. 理解初等函数的概念，会建立简单实际 问题中的函数关系式。
定义 设x 和y 是两个变量,D是一个给定的数集， 如果对于每个数 x D, 变量 y 按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称 y 是 x的函数，记作
y f ( x) 数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
2. 有界性 有界性
有界 有上界 有下界
函数有界性的定义
设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。 若存在实数 A , B , 使对一切 x I 恒有
A f(x)B 则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界。 否则, 称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上无界。
一、区间与邻域
1.区间 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
初等函数、简单函数、复合函数、初等函数的概念及关系
初等函数、简单函数、复合函数、初等函数的概念及
关系
1.初等函数：
初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算（加、减、乘、除）与有限次复合形成的函数。
基本初等函数包括以下几种类型：-常数函数：如f（x）=C，C是常数。
-幂函数：如f（x）=x^n，n为实数。
-指数函数：如f（x）=a^x，a>0且a≠1.
-对数函数：如f（x）=log_a（x），a>0且a≠1.
-三角函数：sin（x），cos（x），tan（x），cot（x），sec（x），csc（x）及其逆函数（反三角函数）。
2.简单函数：
简单函数通常是指构成复杂函数的基本单元，它们相对独立且形式较为简单。
在解决具体问题时，简单函数可能指的就是上述基本初等函数，或者是通过基本初等函数进行一次或几次基本运算（如加法、乘法等）得到的函数。
3.复合函数：
复合函数是两个或多个函数通过变量的代换相互结合而成的新
函数。
如果存在两个函数f和g，那么可以定义一个复合函数h（x）=f（g（x）），其中g的值域需包含在f的定义域内。
例如，`h（x）
=sin（2x）`就是一个复合函数，其中`g（x）=2x`作为外层函数的“内层”被嵌套到`f（u）=sin（u）`中。
关系上：
-所有的基本初等函数都是简单函数。
-简单函数经过组合（包括复合和四则运算）可以形成更复杂的初等函数。
-复合函数是构造初等函数过程中的一种重要手段，它可以将几个简单函数联接起来构建新的、具有更丰富特性的函数表达式。
根据复合函数知识点总结归纳
根据复合函数知识点总结归纳
一、复合函数的定义
复合函数是由两个函数组合而成的新函数。
给定两个函数 f(x)
和 g(x)，则它们的复合函数定义为 h(x) = f(g(x))。
二、复合函数的性质
1. 复合函数满足结合律：f(g(h(x))) = (f ∘ g) ∘ h(x) = f(g(h(x)))。
2. 复合函数满足交换律：f(g(x)) = g(f(x))。
3. 复合函数的定义域：复合函数 h(x) 的定义域取决于 g(x) 的
定义域。
三、求解复合函数
1. 已知构成复合函数的两个函数 f(x) 和 g(x)，将 g(x) 的输出作
为 f(x) 的输入，可以通过以下方法求解复合函数 h(x) = f(g(x))：- 将 g(x) 的表达式代入 f(x) 中，并化简得到 h(x)。
- 先求解 g(x)，再将其结果代入 f(x) 中，得到 h(x)。
2. 注意函数的定义域和值域，确保复合函数的求解是合理的。
四、复合函数的应用
1. 复合函数常用于描述复杂的运算关系，尤其是在数学和物理领域中。
2. 复合函数可以用于优化问题，通过将多个函数组合，实现更高效的计算和求解过程。
五、总结
复合函数是由两个函数组合而成的新函数，满足结合律和交换律。
求解复合函数需要注意定义域和值域，复合函数在数学和物理问题中有广泛的应用。
以上是关于复合函数的知识点总结归纳。
参考资料：。
函数的复合运算
函数的复合运算函数是数学中非常重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在数学和计算机科学中，函数的复合运算是一种常见的操作，它可以将两个函数结合在一起，生成一个新的函数。
本文将介绍函数的复合运算及其性质和应用。
一、函数的复合运算定义函数的复合运算用于将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数如下所示：h(x) = (f ∘ g)(x) = f(g(x))其中符号"∘"表示复合运算。
这意味着将g(x)的输出作为f(x)的输入。
复合函数h(x)输出的结果是f(g(x))。
二、函数的复合运算性质函数的复合运算满足以下性质：1. 结合律：对于三个函数f(x)，g(x)和h(x)，复合函数满足(f ∘ g) ∘h = f ∘ (g ∘ h)，即复合函数的运算顺序不影响最终结果。
2. 同一律：对于任何函数f(x)，都有f ∘ (g(x) = f(x)，即函数与恒等函数的复合运算结果为自身。
3. 终止律：对于任何函数f(x)，都存在一个恒等函数e(x)使得f(x)∘ e(x) = f(x)，即函数与恒等函数的复合运算保持不变。
三、函数的复合运算示例为了更好地理解函数的复合运算，我们以一个简单的例子来说明。
假设有两个函数f(x) = 2x + 1和g(x) = x^2，现在我们求它们的复合函数h(x) = (f ∘ g)(x)。
首先，我们将g(x)的输出代入f(x)中，即f(g(x)) = 2(g(x)) + 1 =2(x^2) + 1。
因此，复合函数h(x) = 2(x^2) + 1。
四、函数的复合运算应用函数的复合运算在数学和计算机科学中有广泛的应用。
以下是其中一些常见的应用场景：1. 函数的链式法则：在微积分中，复合函数的求导可以通过链式法则来计算。
2. 数据处理：在计算机科学中，函数的复合运算常用于数据处理和转换，例如在图像处理、信号处理和机器学习中。
复合函数的几个性质及其应用
复合函数的几个性质及其应用2复合函数的性质及其应用有关函数的知识是高中数学的重要内容，也是高考及竞赛的重点、热点，同时也是难点。
由几种初等函数复合而成的函数更因其概念抽象，综合程度较高，解题方法灵活，给教与学带来了一些困难，现行教科书上并未对其作系统介绍，本文拟讨论形如y=f[g(x)]的复合函数的几个性质及其应用。
复合函数的定义：一般地，若函数y=f(u)的定义域为P ，而函数u=g(x) 的定义域为M ，值域为C ，并且C 包含在P 内，那么对于M 内的每一个值x 经过中间变量u ，相应地得到唯一确定的一个值y ，于是y 经过中间变量u 而成为x 的函数，记为：y=f[g(x)]。
这种函数称为复合函数。
（函数u=g(x)的值不超过函数y=f(u)的定义域是极重要的）。
y=f(u)叫做复合函数的外函数，u=g(x)叫做复合函数的内函数。
一、 定义域 ：复合函数y=f[g(x)]的定义域是函数u=g(x)的定义域中使值属于y=f(u)的定义域的部分。
例1， 设函数f(x)的定义域是[0，4]，求函数f(2x )的定义域解：∵f(x)的定义域为[0，4] ∴0≤2x ≤4， 即-2≤x ≤2∴f(2x )的定义域为 [-2，2]二、值域：求复合函数的值域时即要考虑内函数的值域又要兼顾外函数的定义域。
例2 求函数)32(log 25.0+-=x x y 的值域解：∵ 44)1(3222≥+--=+-x x x 又0322>+-x x∴43202≤+-<x x345得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-=≥+-=≤-≤>-045)1(01)0(1230023k g k g k k k 解得：0≤k ≤54若y=f(x)具有单调性由复合函数单调性很容易得出以下结论：1、y=f(x)与y=-f(x)的单调性相异;2、若f(x)≠0则y=f(x)与)(1x f y =的单调性相异; 3、若f(x)＞0则y=f(x)与)(x f y =的单调性一致. 例5 讨论 21x xy += 的单调性 解：∵21x xy += 是奇函数∴在(-∞, 0)与(0, +∞)上具有相同的单调性， 当x ＞0时2111x y +=2x y = 递增 ⇒ 21x y =递减 ⇒211x y +=递减⇒2111x y +=递增。
复合函数的概念
复合函数的概念在数学领域，复合函数的概念非常重要，它是由一系列函数（也称为嵌套函数）组合而成的复合函数。
在本文中，将解释复合函数的性质和用法，以及它们的具体形式。
复合函数的定义复合函数是由一系列函数（内函数）组合而成的函数，它们具有特定的语法结构。
一般情况下，复合函数由两部分组成：外函数和内函数。
外函数是父函数，它包含一个变量或参数，内函数是子函数，它是另一个函数，并且要求先于外函数求值，并最终返回给外函数，外函数使用子函数的输出作为参数进行求值。
举个例子，假设有两个函数f(x)=x+1，g(x) = x2，此时，f g (x)是一个复合函数，其中f为外函数，g为内函数，f g (x)=f(g(x))=x2+1。
复合函数的特性复合函数具有许多独特的特性，让它们在数学中十分重要。
首先，复合函数有极值。
这是因为嵌套函数中的最大值和最小值可以被运用到复合函数中。
其次，复合函数可以组合成更为复杂的函数，这使得它们可以更有效地表达复杂的问题和模型。
此外，复合函数是可链接的函数，即两个复合函数可以连接在一起，形成一个更复杂的复合函数。
综上所述，复合函数具有强大的表达能力，可以解决各种数学问题。
复合函数的用法复合函数可以用于解决各种数学问题，从而获得更复杂的解决方案。
例如，当解决偏微分方程时，复合函数可以用于求解此类方程的拟合曲线，从而解决各种不稳定或反转的问题。
此外，复合函数还可以应用于统计学中，用于建立复杂的概率模型，以求解各种统计学问题。
最后，复合函数还可以用于计算距离。
例如，假设有一个点形成的X-Y轴，并由三个点组成线段，则可以计算出两个点之间的距离，使用复合函数组件来计算，从而更加有效地解决此类问题。
总结从上文可以看出，复合函数在数学领域有着非常重要的地位，它是由一系列函数组合而成的复合函数。
复合函数具有独特的特性，并可以用于解决各种数学问题，例如偏微分方程、统计学问题和距离计算等。
因此，复合函数可以为数学研究提供更准确、更有效的解决方案。
初中数学知识点函数的运算与复合函数
初中数学知识点函数的运算与复合函数初中数学知识点：函数的运算与复合函数函数是数学中常见且重要的概念之一，它描述了两个集合之间的某种特定关系。
在初中数学中，我们学习了函数的运算以及复合函数的概念与性质。
本文将详细介绍函数的运算和复合函数的相关知识点。
一、函数的运算1. 函数的加减运算给定两个函数f(x)和g(x)，它们的和函数是指对应自变量x的函数值相加得到的一个新函数，记作f(x)+g(x)。
同样，差函数是指对应自变量x的函数值相减得到的一个新函数，记作f(x)-g(x)。
2. 函数的乘法运算给定两个函数f(x)和g(x)，它们的乘积函数是指对应自变量x的函数值相乘得到的一个新函数，记作f(x)·g(x)。
需要注意的是，乘法运算只适用于定义域相同的函数。
3. 函数的除法运算给定两个函数f(x)和g(x)，其中g(x)≠0，它们的商函数是指对应自变量x的函数值相除得到的一个新函数，记作f(x)/g(x)。
二、复合函数1. 复合函数的定义给定两个函数f(x)和g(x)，将g(x)的输出作为f(x)的输入，得到一个新的函数h(x)，则称h(x)为f(x)与g(x)的复合函数，记作h(x) = f[g(x)]。
2. 复合函数的运算法则复合函数的运算遵循以下法则：（1）f[g(x)] ≠ g[f(x)]，即复合函数的次序不能颠倒。
（2）如果f(x)和g(x)均为可逆函数，则复合函数h(x)也是可逆函数，并且其逆函数为[g⁻¹∘f⁻¹](x)。
3. 复合函数的应用复合函数在数学中具有广泛的应用，特别是在实际问题的建模过程中。
通过将一种函数的输出作为另一种函数的输入，可以得到更为复杂的函数关系，从而更好地描述实际问题的特征和规律。
三、例题解析为了更好地理解函数的运算和复合函数的概念，下面通过一个例题来进行解析。
例题：已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x²-1，求函数h(x)=f[g(x)]。
复合函数
复合函数复合函数是中学数学里，深化函数概念、提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具，是进一步学习高等数学的重要基础，也是历年高考常考不衰的热点。
但高中数学教材未作介绍，而其他教辅资料上也仅给出描述性的非严格定义，因此，高一数学教学与高考数学复习中，介绍有关内容很有必要。
一、复合函数的概念我们常见的复合函数的描述性定义是：如果y 是u 的函数，而u 又是x 的函数，即)(u f y =，)(x g u =，那么y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函数f 和g 的复合函数，u 叫做中间变量。
例如x y 2sin =它与x y sin =不同，不是基本初等函数，而是由三角函数u y sin =和一次函数x u 2=经过“复合”而成的一个函数。
由于上述定义中对“复合”的定义没有明确界定，因而很多同学对复合函数的概念似是而非，含混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们正确理解复合函数的概念。
1、由字面理解“复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函数的定义中，对复合步骤的方式有特殊的约定。
它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来，得到的形如)()(x g b x f a ⋅±⋅或)()(x g b x f a ⋅⋅⋅的函数，而是专指把几个映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射，构作的一个复合映射确定的函数。
这里的几个映射可以相同，也可以不同，但只能是常数与基本初等函数间进行的幂运算、指数运算、对数运算、三角运算、反三角运算等。
自变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射。
例如，复合函数x y 2sin =是自变量x 先“乘2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y 关于x 的一个函数x y 2sin =，因此有人说复合函数是函数的函数。
为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数。
复合函数单调性、函数奇偶性
有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 ：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
函数及其性质反函数与复合函数
1. 有界性
给定函数y f ( x)，x D, 设区间I D，如果常数M 0使得
f ( x) M
(x I )
则称函数f ( x)在区间I 上有界.
有界性体现在常数M的存在性，如果这样的M不存在，则
称f ( x)在I 上无界，换言之，即对于任意一个正数M (无论多
f 又唯一地确定一个y，这样，
图 1-28
对每个x D，可以唯一确定一个y(如图 1- 28)，从而确定
一个新函数，这个函数称为由u g ( x)和y f (u)构成的一个
复合函数，其函数记号通常用f g表示，
所以
( f g )( x) f [ g ( x)],
xD
也可以不用抽象的复合函数记号f g，而直接将这个复合
f 和f 在数集Df 和Rf 之间建立了一一对应关系 .
一般地说，并非每个函数都可以唯一确定一个反函数.
第四节 复合函数
设有两个函数y f (u), u D1 和 u g ( x), x D
x
f g
y g
u
f
如果g的值域R( g ) D1，则对
于每个x D，由g确定一个
u R( g ) D1，从而这个u经过
f ( x t ) f ( x) (x R)
则称f ( x)为周期函数，t 是它的周期.通常所说周期函数的周
期是指它的最小正周期T，即
T min t f ( x t ) f ( x) (x R ), t 0
且T 0
第三节 反函数
设函数y f ( x)的定义域是Df ，值域是Rf ，即
(b )
x2
高考数学复合函数基础理论总结
高考数学复合函数基础理论总结复合函数是高一数学学习的重点和难点之一，也是高考数学考试的常见考点。
理解和掌握复合函数的基础理论是学好高等数学、应用数学、物理、化学等学科的前提。
本文将围绕复合函数的定义、性质、运算规则以及应用进行总结和分析。
一、复合函数的定义复合函数的定义：设函数f的定义域为Df，值域为Rf，函数g的定义域为Dg，值域为Rg。
如果存在一个函数h(x)使得对于f的定义域Df中的每一个元素x，都有g的定义域Dg中恰有一个元素y与之对应，并且y是f(x)在g的范围内的唯一值，则称h(x)为f和g的复合函数，表示为h(x) = f(g(x))。
二、复合函数的性质1. 复合函数的定义域：复合函数的定义域由g的定义域和f的值域的交集构成，即Dh = {x|x∈Dg且g(x)∈Df}。
2. 复合函数的值域：复合函数的值域为f的值域的子集，即Rh ⊆ Rf。
3. 复合函数的单调性：若f(x)和g(x)在其定义域内单调增加（或单调减少），则h(x) = f(g(x))也在其定义域内单调增加（或单调减少）。
4. 复合函数的奇偶性：若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则h(x) = f(g(x))为奇函数；若f(x)和g(x)均为偶函数，则h(x) = f(g(x))为偶函数。
5. 复合函数的周期性：若f(x)的周期为T1，g(x)的周期为T2，则当T2是T1的正整数倍时，h(x) = f(g(x))的周期为T1。
三、复合函数的运算规则1. 复合函数的加法：设h1(x) = f1(g1(x))，h2(x) = f2(g2(x))，且f1(x)和f2(x)的值域相等。
则有(h1 + h2)(x) = f1(g1(x))+f2(g2(x))。
2. 复合函数的减法：设h1(x) = f1(g1(x))，h2(x) = f2(g2(x))，且f1(x)和f2(x)的值域相等。
则有(h1 - h2)(x) = f1(g1(x))-f2(g2(x))。
1.1函数及其性质
反余切函数 y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
复合函数
P24
设有函数 y=u2 和函数 u=1-sinx, 则 y=(1-sinx)2
是两者的复合函数。
一般地:
若函数y=f(u)的定义域为D1, U=φ(x)的定义域为D2
值域w2={uu=φ(x)x∈D2} 且W2D1,这样得到的
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
4．函数的周期性:
设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的
数l, 使得对于任一x D, ( x l ) D.且 f ( x l) f ( x) 恒成立. 则称f ( x)为周 期函数, l称为f ( x)的周期.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
以x为自变量,y为因变量的函数 y=f[φ(x)],XW2D1
称为由函数y=f(u)和u=φ(x) 复合而成的复合函数,
其中u称为中间变量。 函数还可进行三重，四重和多重复合。
注意：
条件W2D1必不可少，否则两个函数就不一定能构成一个
复合函数。 如y=arcsinu 和u=2+x2 就不能构成一个复合函数。
函数与极限 §1.1 函数及其性质
பைடு நூலகம்
主要内容
一、函数概念 二、函数的几种特性 三、基本初等函数和复合函数 四、初等函数
一、函数概念
定义 设x和y是两个变量，D是一给定的数集。
如果对于每个数x D, 变量y按照一定法则总有确定 的数值和它对应，则称y是x的函数， 记着y=f(x). 数集D叫做这个函数的定义域， X叫做自变量，
复合函数和初等函数
2.初等函数
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算或 复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为 初等函数.
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
例如， y 1 x2 ， y sin2 x ，y ln x e2x
y ln(1 sin x)， 等等。
1.1.4 复合函数、初等函数
基本初等函数
课前复习
1、常数函数 2、幂函数
y C (C是常数)
y xa (a是常数, a 0)
3、指数函数
y a x (a 0, a 1)
4、对数函数
y loga x (a 0,a 1)
5、三角函数
y sin x y tan x
y secx
y cos x
y cot x
y csc x
6、反三角函数
y arcsinx
y arccosx y arctanx
y arccot x
1.复合函数 定义 1.6 设 y 是 u 的函数 y f (u) ， u 又是 x 的函
数 u (x) ， 如 果 函 数 u (x) 的 值 域 包 含 在 函 数
多项式函数：
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
(ai为常数 ，i 0 ，1 ，2 ，...，n)
有理函数：
f
(x)
an xn an1xn1 bm xm bm1xm1
a1x a0 b1x b0
(ai ,b j为常数 , i 0，1，2， ，n；j 0，1，2， ，n)
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的是
Ａ．
y
(1) 2
x
初等函数_反函数_复合函数
定义
在定义域的不同区间内用不同的对应法则表示的函数叫分段函数。
例
已知函数y
f
(x)
2
x,
0 x 1，
1 x, x 1
并求出f (0), f (0.5), f (1), f (3)的值
解
f (0) 0，f (0.5) 2 0.5, f (1) 2，f (3) 4
f 的反函数.
只有在一一对应的前提下才能有反函数.
y f (x)与 x f -1( y) 互为反函数
y
反函数的图形
y f (x)
y x
函数 y = f (x) 与其反函数 y = f 1(x) 的图形关于
y f 1(x)
第Ⅰ、Ⅲ 象限的角平分线 y = x 对称
O
x
反函数的图形
(1) y sin 1 x2
(2) y ln cos 2x
解 (1) y sin u, u t , t 1 x2
(2) y ln u, u cost, t 2x
以上过程称为分解过程
复合函数分解到什么时候为止 ？
分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止 .
四、分段函数
(1)分段函数是一个函数 注意： (2)分段函数的定义域是各 个表达式定义域的并集
(3)求值时应把自变量代入 相应区间的表达式中计 算
变量 u 称为中间变量
类似地，可以定义多于两重复合关系的复合函数
外层函数 y f (u)
u g(x) 内层函数
y
f
u
gx
y f (g(x))
例1 写出y sin u， u 2x2 1的复合函数
复合函数 知识点 总结
复合函数知识点总结第一部分是复合函数的定义。
复合函数是指两个函数相互作用所形成的新函数。
设有函数f(x)，g(x)，那么复合函数可以表示为(g ∘ f)(x)，其中(g ∘ f)(x) = g(f(x))。
也就是说，先将x 带入函数f(x)中，得到f(x)的输出值，然后将这个输出值带入函数g(x)中，得到最终的输出值。
这个过程可以简单地理解为先对x进行一个变化，然后再对这个结果进行另一个变化，最终得到复合函数的值。
第二部分是复合函数的性质。
复合函数的性质包括：复合函数的定义域是由f(x)的定义域和g(x)的值域所决定的；两个函数的复合函数不满足交换律，即(g ∘ f)(x)不等于(f ∘ g)(x)；复合函数的结合律，即((h ∘ g) ∘ f)(x) = h ∘ (g ∘ f)(x)；复合函数的定义域是满足f(x)的定义域并且满足g(x)的值域的范围。
复合函数的性质对于理解和应用复合函数都是非常重要的，可以帮助我们更好地处理复合函数的问题。
第三部分是复合函数的求导法则。
求导是对一个函数在某一点处的变化率的描述，而复合函数的求导法则是对两个函数组合在一起的求导方法。
根据链式法则，设有复合函数y =g(f(x))，那么y' = g'(u) * f'(x)，其中u是f(x)的值。
这个法则对于求导复合函数有非常大的帮助，使我们可以更快地求出复合函数的导数。
第四部分是复合函数的实际应用。
复合函数在数学和实际问题中都有广泛的应用。
在数学中，复合函数可以用来描述复杂的函数关系，简化函数的求导过程。
在实际问题中，复合函数可以用来描述各种复杂的关系，比如利息的复合增长、物理问题中的复杂运动规律等。
复合函数的实际应用使我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
综上所述，复合函数是数学中重要的概念，它可以用来描述各种复杂的函数关系，并在实际问题中得到广泛的应用。
复合函数的性质、求导法则和实际应用对于理解和应用复合函数都是非常重要的。
函数的性质和运算
函数的性质和运算函数是数学中的重要概念，描述了两个集合之间的关系。
在数学和计算机科学中，函数具有一些重要的性质和运算规则，本文将介绍函数的基本性质和常见的运算方法。
一、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指函数的输入值所来自的集合，而值域是指函数的输出值所组成的集合。
函数的定义域和值域可以有不同的形式，如实数、整数或自然数等。
2. 一一对应性：如果一个函数的每个输入值对应唯一的输出值，且不同的输入值对应不同的输出值，则称函数具有一一对应性。
一一对应的函数也称为双射函数。
3. 奇偶性：给定函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = -f(x)，则称函数具有奇性；如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则称函数具有偶性。
4. 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域上的递增或递减的性质。
如果对于任意的x1、x2，若x1 < x2，则有f(x1) ≤ f(x2)，则称函数为递增函数；若x1 < x2，则有f(x1) ≥ f(x2)，则称函数为递减函数。
二、常见的函数运算1. 函数的加法和乘法：给定两个函数f(x)和g(x)，定义域相同，则它们的和函数为h(x) = f(x) + g(x)，乘积函数为k(x) = f(x) · g(x)。
函数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。
2. 函数的复合：给定两个函数f(x)和g(x)，如果f的值域是g的定义域，则它们的复合函数为h(x) = f(g(x))。
函数的复合满足结合律。
3. 函数的反函数：如果函数f具有一一对应性且定义域等于值域，则称f的反函数为f^(-1)。
对于函数f的每个输出值y，都存在唯一的输入值x，使得f(x) = y，此时f^(-1)(y) = x。
4. 函数的逆运算：给定一个函数f(x)，对于每个输出值y，函数的逆运算是找到满足f(x) = y的输入值x。
函数的逆运算通常用符号f^(-1)(y)表示。
三角函数的复合
三角函数的复合三角函数是数学中重要的概念之一，它们是描述角度与三角形边长之间关系的函数。
复合函数是将一个函数作为另一个函数的输入，并输出一个新的函数。
在本文中，我们将探讨三角函数的复合。
一、定义三角函数的复合定义：设有函数y = f(x)，g(x)是f(x)的定义域上的某个函数，则复合函数h(x) = f(g(x))。
二、三角函数的复合例子1. sin(cos(x)): 这个例子中，我们先对角度进行余弦运算，然后将结果作为正弦函数的输入值。
这种复合可以应用于解决与角度相关的问题，例如在激光测距中的应用。
2. tan(2x): 在这个例子中，我们将角度的两倍用作正切函数的输入。
这种复合可以用于解决周期性问题，例如在振动系统的分析中。
3. sec(csc(x)): 在这个例子中，我们先对角度进行余割运算，然后将结果再次进行正割运算。
这种复合可以用于解决与角度相关的问题，例如在地质勘探中的应用。
三、复合函数的性质复合函数具有以下性质：1. 结合律：(f ◦ g) ◦ h= f ◦ (g ◦ h)，即复合函数的复合是满足结合律的。
2. 对于三角函数的复合，函数的周期性可能发生改变。
例如，在sin(x^2)中，之前sin函数的周期是2π，但是经过复合后，周期变为了π。
3. 复合函数的导数可以通过链式法则计算。
如果y = f(g(x))，则dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)，其中f'表示f(x)的导函数，g'表示g(x)的导函数。
四、应用举例三角函数的复合广泛应用于科学和工程领域。
下面是几个例子：1. 信号处理：在信号处理中，将不同频率的正弦信号进行复合，可以获得更复杂的信号，用于音频和图像处理等应用。
2. 电子工程：在电子电路设计中，使用三角函数的复合来描述电流和电压的变化，以推导电路的传输特性和频率响应。
3. 机械振动：在机械工程中，通过对振动系统中的各种力的分析，复合三角函数可以描述物体的位移、速度和加速度等参数。
函数的几种特性和复合函数
想一想：
k 一次函数 y kx b 和反比列函数 y 中 k (k 0) x
的取值对函数单调性的影响？
1.观察 f ( x) x 和
2
8 6
f ( x) x 的图像：
3
二.奇偶性
20 10
函数的性质
4
3
2
1 10
1
2
2
20
3 2 1
1 2 3
4、函数的周期性
5、复合函数
f (x) 在X上无界 M 0, x1 X , 使得 f ( x1 ) M
y M y=f(x) o x 有界 X o -M M y
x0
X 无界
x
-M
【结论】
f ( x )在X上有界
f ( x )在X上既有上界又有下 界
四.函数的周期性
【定义】 x D , l 0 , 且 x l D, 若
函数的几种特性和 复合函数
函数的性质
一.函数的单调性
1.问题的引入
观察某地一日气温变化图，考虑哪几部分气温是 上升的，哪几部分是下降的？
T / C
12
10 8
6
4
2
o
2
4
8
12
16
20
24
t/h
函数的性质
2.定义
(1)设函数 y f ( x) 在区间 (a, b)有意义，对任意的
x1, x2 (a, b) ，当 x1 x2 时，
， 非偶函数
函数的性质
课堂练习
判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x x x
3
5
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想一想：
k 一次函数 y kx b 和反比列函数 y 中 k (k 0) x
的取值对函数单调性的影响？
1.观察 f ( x) x 和
2
8 6
f ( x) x 的图像：
3
二.奇偶性
20 10
函数的性质
4
3
2
1 10
1
2
2
20
3 2 1
1 2 3
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期
3l 2
l 2
l 2
3l 2
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
y
2
o 2 x
周期为
周期为
【注】 周期函数不一定存在最小正周期 .
五、复合函数
1.【复合函数】
设 y u, u 1 x 2 ,
(1)【定义】 设有函数链
称函数 f ( x ) 在 X 上有上界 ( K1是其中的一个 上界 )
若K 2 , 使得
f ( x) K2
称函数 f ( x ) 在 X 上有下界 ( K 2是其中的一个下界 ) 若数集X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M
则称函数 f (x)在X上有界.否则称无界.
例如 y arcsin u, u 2 x 2 ; y arcsin( 2 x 2 )
2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
x 例如 y cot , 2
y u,x u cot v , Nhomakorabeav . 2
三重复合函数
课堂小结
1、函数的单调性
2、函数的奇偶性 3、函数的有界性
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
f ( x) 是单调递增的 f ( x) 是单调递减的
简记：“同号增，异号减” (2)若函数 y f ( x) 在区间 (a, b)是单调递增(或递减)的 则称区间 (a, b) 为 f ( x) 的增区间（或减区间）
f (x) 在X上无界 M 0, x1 X , 使得 f ( x1 ) M
y M y=f(x) o x 有界 X o -M M y
x0
X 无界
x
-M
【结论】
f ( x )在X上有界
f ( x )在X上既有上界又有下 界
四.函数的周期性
【定义】 x D , l 0 , 且 x l D, 若
f ( x) 是偶函数 f ( x) 是奇函数
函数的性质
例4 判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) 2x 1
2
(2) f ( x) x
2 2
解:(1)
xR
f (x) 2( x) 1 2x 1 f ( x) f ( x) 2x 1 是偶函数
2
(2)由于 f ( x) x 的定义域为 不关于原点对称， 故
函数的性质
(3)在图像上，从左往右看，增函数的图像是上升的， 减函数的图像是下降的 例3 已知函数 y f ( x) 的图像，试写出它的增减区间
y
1
o
1
2
3 2
2
x
3 解:从图像上看，增区间为 (0, ),( ,2 ) 2 2 3 减区间为 ( , ) 2 2
函数的性质
4、函数的周期性
5、复合函数
y 1 x2
①
y f ( u), u D1
且 g( D ) D 1
则
②
称为由①, ②确定的复合函数, u 称为中间变量. 【说明】通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
(2)【注意】 1）构成复合函数的条件 g ( D ) D 1 不可少. （即：内层函数在复合函数定义域D内的值域g(D) 一定包含在外层函数的定义域D1内）
函数的几种特性和 复合函数
函数的性质
一.函数的单调性
1.问题的引入
观察某地一日气温变化图，考虑哪几部分气温是 上升的，哪几部分是下降的？
T / C
12
10 8
6
4
2
o
2
4
8
12
16
20
24
t/h
函数的性质
2.定义
(1)设函数 y f ( x) 在区间 (a, b)有意义，对任意的
x1, x2 (a, b) ，当 x1 x2 时，
， x [0, )
f ( x) x
是非奇非偶函数
函数的性质
课堂练习
判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x x x
3
5
1 (2) f ( x) 2 x
(3) f ( x) 2x 3x 1
2
三.函数的有界性
【定义】 若数集X D, K1 , x X , 有 f ( x ) K 1
关于y轴对称
关于原点对称
f ( x) f ( x) f ( x)是偶函数
f ( x) f ( x) f ( x)是奇函数
函数的性质
2.定义 设 y f ( x) 的定义域关于原点对称，对于定义域内 的每一点x,若
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)