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导数在经济学的应用
第七节 导数在经济学中的应用本节讨论导数概念在经济学中的两个应用——边际分析和弹性分析.内容分布图示★ 引言 ★ 边际函数★ 边际成本 ★ 例1★ 边际收入与边际利润★ 例2 ★ 例3 ★ 例4★ 函数的弹性★ 需求弹性 ★ 例5★ 用需求弹性分析总收益的变化 ★ 例6★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题3-7 ★ 返回内容要点：一、边际分析在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量y 对于另一个经济变量x 的变化. 平均概念表示在x 在某一范围内取值y 的变化. 边际概念表示当x 的改变量x ∆趋于0时，y 的相应改变量y ∆与x ∆的比值的变化，即当x 在某一给定值附近有微小变化时，y 的瞬时变化.边际函数： 根据导数的定义, 导数)(0x f '表示)(x f 在点0x x =处的变化率, 在经济学中, 称其为)(x f 在点0x x =处的边际函数值.边际成本：成本函数)(x C C =(x 是产量)的导数)(x C '称为边际成本函数.边际收入与边际利润：在估计产品销售量x 时, 给产品所定的价格)(x P 称为价格函数, 可以期望)(x P 应是x 的递减函数. 于是，收入函数 )()(x xP x R =利润函数 )()()(x C x R x L -=()(x C 是成本函数)收入函数的导数)(x R '称为边际收入函数; 利润函数的导数)(x L '称为边际利润函数.二、 函数弹性函数弹性的概念：在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率, 经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况, 为此引入下面定义.定义1 设函数)(x f y =可导, 函数的相对改变量)()()(x f x f x x f y y -∆+=∆ 与自变量的相对改变量x x ∆之比xx y y //∆∆, 称为函数)(x f 从x 到x x ∆+两点间的弹性(或相对变化率). 而极限 x x y y x //lim0∆∆→∆ 称为函数)(x f 在点x 的弹性(或相对变化率), 记为.lim //lim 00yx y y x x y x x y y Ex Ey x x '=⋅∆∆=∆∆=→∆→∆ 注: 函数)(x f 在点x 的弹性ExEy 反映随x 的变化)(x f 变化幅度的大小,即)(x f 对x 变化反应的强烈程度或灵敏度. 数值上, )(x f ExE 表示)(x f 在点x 处,当x 产生1%的改变时, 函数)(x f 近似地改变)(x f Ex E %, 在应用问题中解释弹性的具体意义时, 通常略去“近似”二字.需求弹性：设需求函数)(P f Q =, 这里P 表示产品的价格. 于是, 可具体定义该产品在价格为P 时的需求弹性如下:)()(lim //lim)(00P f P f P Q P P Q P P Q Q P P P '⋅=⋅∆∆=∆∆==→∆→∆ηη 当P ∆很小时, 有 PQ P f P P f P f P ∆∆⋅≈'⋅=)()()(η, 故需求弹性η近似地表示在价格为P 时, 价格变动1%, 需求量将变化%η, 通常也略去“近似”二字.注: 一般地, 需求函数是单调减少函数, 需求量随价格的提高而减少(当0>∆P 时, 0<∆Q ), 故需求弹性一般是负值, 它反映产品需求量对价格变动反应的强烈程度(灵敏度). 用需求弹性分析总收益的变化：总收益R 是商品价格P 与销售量Q 的乘积, 即),(P f P Q P R ⋅=⋅=由 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+='+=')()(1)()()(P f P P f P f P f P P f R ),1)((η+=P f知：(1) 若1||<η, 需求变动的幅度小于价格变动的幅度.,0>'R R 递增. 即价格上涨, 总收益增加; 价格下跌, 总收益减少.(2) 若1||>η, 需求变动的幅度大于价格变动的幅度.0<'R , R 递减. 即价格上涨, 总收益减少; 价格下跌, 总收益增加.(3) 若1||=η, 需求变动的幅度等于价格变动的幅度.0='R , R 取得最大值.综上所述, 总收益的变化受需求弹性的制约, 随商品需求弹性的变化而变化,例题选讲：边际分析例1（讲义例1）设每月产量为x 吨时, 总成本函数为4900841)(2++=x x x C (元)， 求最低平均成本和相应产量的边际成本.例2（讲义例2）设某种产品的需求函数为P x 1001000-=, 求当需求量300=x 时的总收入, 平均收入和边际收入.例3（讲义例3）设某产品的需求函数为x P 1.080-=(P 是价格, x 是需求量), 成本函数为x C 205000+=(元).(1) 试求边际利润函数)(x L ', 并分别求150=x 和400=x 时的边际利润.(2) 求需求量x 为多少时, 其利润最大?例4（讲义例4）设某厂在一个计算期内产品的产量x 与其成本C 的关系为32000001.0003.061000)(x x x x C C +-+==(元),根据市场调研得知, 每单位该种产品的价格为6元, 且全部能够销售出, 试求使利润最大的产量.函数弹性例5（讲义例5）设某种商品的需求量x 与价格P 的关系为.411600)(PP Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛= (1) 求需求弹性)(P η;(2) 当商品的价格10=P (元)时, 再增加1%, 求该商品需求量变化情况.例6（讲义例6）某商品的需求函数为275P Q -=(Q 为需求量, P 为价格).(1) 求4=P 时的边际需求, 并说明其经济意义.(2) 求4=P 时的需求弹性, 并说明其经济意义.(3) 当4=P 时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?(4) 当6=P 时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?例7（讲义例7）糖果厂每周的销售量为Q 千袋, 每袋价格为2元, 总成本函数为10001300100)(2++=Q Q Q C (元), 试求:(1) 不盈不亏时的销售量; (2)可取得利润的销售量;(3) 取得最大利润的销售量和最大利润;(4) 平均成本最小时的产量.例8（讲义例8）一玩具经售商以下列成本及收益函数销售某种产品:60000,001.02.7)(60000,0002.04.2)(22≤≤-=≤≤-=x x x x R x x x x C试问何时利润随产量增加(即增加产量可使利润增加)?例9 某企业的成本函数为50005.0+=x C ，其中C 的单位为元，而x 为上生产数量. 试求10000,1000=x 及100000时的单位平均成本, 当x 趋近于无穷大时单位平均成本的极限为何?课堂练习1.设某产品的成本函数和价格函数分别为,10050)(,100053800)(2x x P x x x C -=-+= 决定产品的生产量x , 以使利润达到最大.2.设商品需求函数为,2/12)(P P f Q -==(1) 求需求弹性函数;(2) 求6=P 时的需求弹性;(3) 在6=P 时, 若价格上涨1%, 总收益增加还是减少? 将变化百分之几?(4) P 为何值时, 总收益最大? 最大的总收益是多少?。
浅谈导数在经济分析中的应用
浅谈导数在经济分析中的应用导数是微积分中的重要概念，它在经济分析中有着十分重要的应用。
在经济学领域中，导数在描述市场变化、成本分析和边际效益等方面发挥着重要作用。
本文将从以上几个方面来探讨导数在经济分析中的应用。
导数在描述市场变化方面具有重要作用。
在市场经济中，市场需求和供给的变化对市场价格有着重要影响。
导数可以帮助分析市场需求曲线和供给曲线的斜率，从而帮助理解市场变化。
当市场需求曲线的导数为负数时，表示当价格上涨时市场需求下降的速度；当市场需求曲线的导数为正数时，表示当价格上涨时市场需求上涨的速度。
这样，利用导数来描述市场变化可以帮助经济学家更加准确地理解市场的运行规律，为经济政策的制定提供更加可靠的依据。
导数在成本分析方面也有着重要的应用。
在企业生产中，成本是一个非常重要的方面，对于企业的经营状况和利润水平有着重要影响。
在经济学中，导数可以帮助分析企业成本函数的变化。
企业的边际成本就是通过对成本函数进行求导得到的。
通过分析边际成本的变化，可以帮助企业决定最优的生产规模和生产方式，从而提高生产效率，降低生产成本，实现良好的经济效益。
导数在经济分析中具有十分重要的应用价值。
通过对市场变化、成本分析和边际效益等方面的导数分析，可以帮助理解经济运行的规律，为经济政策的制定和企业经营的决策提供重要的依据。
对于经济学家、企业家和政策制定者来说，掌握导数分析方法是十分重要的，可以帮助他们更好地理解和解决相关的经济问题。
希望本文的介绍可以帮助读者更好地理解导数在经济分析中的重要作用。
浅谈导数在经济分析中的应用
浅谈导数在经济分析中的应用导数在经济分析中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 边际效应分析：导数可以衡量一个经济变量对另一个经济变量的边际影响。
对于一个生产函数来说，生产量对于投入变量的边际影响可以通过对生产函数求导得到。
这种边际效应分析可以帮助经济学家和决策者理解不同变量之间的相互关系，并制定相应的政策。
2. 最优化问题：很多经济问题可以通过最优化理论求解，而求解最优化问题往往需要使用导数。
生产者在确定生产量时通常会面临成本最小化问题，这个问题可以通过对成本函数求导得到最小化成本对应的生产量。
消费者在确定消费组合时也会面临效用最大化问题，同样可以通过对效用函数求导得到最大化效用对应的消费组合。
3. 弹性分析：弹性是衡量变量之间相互影响的一种度量，而导数可以用来计算弹性。
常见的有价格弹性、收入弹性等。
价格弹性可以告诉我们当价格发生变化时，需求量或供应量的相应变化幅度。
收入弹性可以告诉我们消费者的购买力提高或降低时，对于不同商品需求的变化情况。
通过弹性分析，我们可以更好地理解市场的运行规律，为政策调控提供有力的依据。
4. 经济模型的建立和分析：经济模型是经济学中用来描述经济系统的一种工具，而模型的建立和分析往往需要使用导数。
在宏观经济学中，凯恩斯经济学模型通过对消费函数的导数进行分析，揭示了收入对消费的影响；在微观经济学中，供求模型通过对供给曲线和需求曲线的导数进行分析，揭示了价格和数量之间的关系。
导数在经济分析中具有重要的应用价值。
通过对经济变量之间的边际效应、最优化问题、弹性分析以及经济模型的建立和分析等进行导数的运用，我们可以更好地理解经济现象，分析经济问题，制定经济政策。
导数也为经济学提供了强大的工具和方法，使得经济学成为一门严谨而科学的学科。
导数在经济学中的应用
导数在经济学中的应用1. 引言经济学是一门研究人类如何管理资源以满足各种需求的学科。
在经济学中，数学工具起着非常重要的作用，其中导数是一种常用的数学工具。
导数可以帮助经济学家研究和分析各种经济现象，并做出相应的政策建议。
本文将介绍导数在经济学中的应用，并通过具体的例子来说明其作用。
2. 供需分析在经济学中，供需分析是一种基本的方法，用于研究产品或服务的市场行为。
通过对供给曲线和需求曲线的分析，经济学家可以确定平衡价格和数量。
而导数在供需分析中起着重要的作用。
导数可以帮助我们理解市场的反应速度。
例如，假设某种商品的需求量与价格之间存在负相关关系。
通过计算需求曲线的导数，我们可以得到价格变化对需求量变化的敏感度。
当我们知道了市场对价格变化的敏感度后，可以通过调整价格来影响需求量，实现市场的稳定。
3. 生产函数分析在经济学中，生产函数是一种描述生产过程的数学模型。
生产函数可以帮助我们分析输入要素对输出的影响。
而导数在生产函数分析中可以帮助经济学家计算边际产出。
边际产出指的是增加一个单位的输入要素所能获得的额外产出。
通过计算生产函数的导数，我们可以得到边际产出的变化情况。
这对于生产效率的改进和资源的优化分配非常重要。
4. 最优化问题经济学中经常会遇到最优化问题，即在给定的约束条件下，寻找能够使某个目标函数取得最大或最小值的变量取值。
导数在最优化问题中起着重要的作用。
通过计算目标函数的导数，我们可以找到函数的极值点。
这对于决策者来说非常有用，因为他们可以通过调整相关变量来实现经济目标的最大化或最小化。
5. 边际效用分析边际效用是指每增加一个单位的消费量所产生的额外满足感。
在经济学中，通过边际效用的概念，经济学家可以研究消费者的行为和做出相关政策建议。
导数在边际效用分析中起着重要的作用。
通过计算效用函数的导数，我们可以得到边际效用的变化情况。
这可以帮助我们判断消费者对于不同商品之间的偏好，并且可以进行合理的消费决策。
导数在经济中的应用
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解 (1)当该商品的销售量为x时, 商品销售总收入为 设政府征的总税额为T, 则有T = t x, 且利润函数为
例39 .某商家销售某种商品的价格满足关系p = 7–0.2x
(万元/吨), 且x为销售量(单位:吨)、商品的成本函数为
C(x) = 3x + 1(万元)
*
例35 当a、b、α为常数时, 求下列函数的弹性函数及在 点 x = 1处的点弹性, 并阐述其经济意义.
由弹性定义可知(1)若 y = ƒ(x) 在点 处可导. 则它 在 处的弹性为
(3)弹性是一个无量纲的数值, 这一数值与计量单位无关.
*
η(1)的经济意义是: 在x = 1处, 当b > 0 时, x 增加(或减少)1%, ƒ(x)就增加(或减少) b% ; 当b < 0 时, x 增加(或减少)1%, ƒ(x)就减少(或增加) –b% . η(x)的经济意义是:
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例42 某酒厂有一批新酿的好酒, 如果现在(假定t=0)就
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数 假设资金的贴现率为 r, 并以连续复利计
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出售, 售价为 (元). 如果窖藏起来待日按陈酒价格
单击此处添加小标题
息, 为使总收入的现值最大, 应在何年出售此酒?
若贷款总额为M, 则银行的贷款收益为 0.16 M = 0.16 k x, 而这笔贷款M要付给存户的利息为 , 从而银行的投 资纯收益为
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4.最佳批量和批数
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因而当进货的批数为 20 批, 定货批量为 400
导数在经济学中的应用
应用
在经济学中，约束最优化问题 可以用于求解各种实际问题， 例如在预算约束下求解效用最
大化问题。
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经济中其他相关的导数概念及运 用
偏导数在经济中的应用
边际概念
偏导数可以用来描述一个变量对另一个变量的变化率，即边际概念。在经济学中，边际成本、边际收益和边际效用等概念是偏导数在经济学中的重要应用。
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导数的运算性质
导数具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，即$(f+g)'=f'+g'$，$(f-g)'=f'-g'$，$(cf)'=cf'$，$(f/g)'=(f'gfg')/g^2$。
导数的计算方法
基本导数公式
常见的基本导数公式有$(x^n)'=nx^{n-1}$， $(ax^n)'=ax^{n-1}n$，$(\sin x)'=\cos x$，$(\cos x)'=\sin x$等。
高阶导数在经济中的应用
稳定性分析
高阶导数可以用于分析经济模型的稳定 性。例如，在宏观经济模型中，如果一 个系统的特征根的实部小于零，那么该 系统就是稳定的；否则，该系统就是不 稳定的。
VS
政策效应分析
高阶导数可以用于政策效应的分析。例如 ，财政政策和货币政策的效应往往需要考 虑到高阶导数的影响。高阶导数可以反映 出一个变量对另一个变量的变化率的变化 情况。
求法
通过求偏导数判断函数的单调性，进而求得极值点。
应用
在经济学中，二元函数的极值可以用于求解最优化问 题，例如在生产函数中找到最大化产量点。
约束条件下的最优化问题
浅谈导数在经济分析中的应用
浅谈导数在经济分析中的应用导数是微积分中的重要概念，用于研究函数的变化率和曲线的斜率。
在经济分析中，导数的应用广泛而且重要。
导数可用于分析经济模型中的最优解。
在经济学中，我们常常面临一些最优化问题，例如最大化利润、最小化成本、最大化效用等。
通过研究函数的导数，我们可以找到这些问题的最优解。
当求解一个最大化利润的问题时，我们可以通过计算利润函数的导数，找到使导数等于零的点，这个点就是最大化利润的解。
类似地，当求解最小化成本的问题时，我们可以通过计算成本函数的导数来找到最小化成本的解。
导数在经济模型的求解中起到了非常重要的作用。
导数可用于分析边际效应。
在经济学中，边际效应是指对一个变量进行微小改变所带来的变化效果。
边际成本是指增加一个单位产量所需要的额外成本，边际效用是指多消费一个单位产品所带来的额外满足程度。
通过计算边际效应的导数，我们可以更好地理解和分析经济行为。
当我们对某产品的需求函数求导，得到的导数表示每增加一个单位价格，消费者购买该产品的数量将减少多少。
通过分析这个导数，我们可以判断价格对需求的弹性，从而指导企业制定合理的定价策略。
导数还可用于分析生产函数和成本函数之间的关系。
生产函数是描述产出与生产要素之间关系的函数，成本函数是描述产出与生产要素成本之间关系的函数。
通过计算生产函数和成本函数的偏导数，我们可以分析不同生产要素对产出和成本的贡献程度，从而进行资源配置和效率分析。
当我们计算产出对某一生产要素的偏导数时，得到的导数表示增加一个单位该生产要素将增加产出的多少。
通过分析这个导数，我们可以判断生产要素的边际报酬，进而进行合理的资源配置。
导数可用于分析市场供求关系和均衡价格。
在经济学中，供求关系是描述市场上商品或劳务的供给和需求之间的关系。
通过计算供应函数和需求函数的导数，我们可以分析不同因素对价格和数量的影响。
当我们计算需求函数对价格的导数时，得到的导数表示价格对需求的弹性，即价格变动对需求量的影响程度。
导数在经济学中的应用
导数在经济学中的应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。
而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，确实是边际分析方法。
1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。
用c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。
不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)确实是固定成本。
平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x 0变化到x x ∆+0，则：xx c x x c ∆-∆+)()(00称为c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均变化率。
而x x c /)(称为平均成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。
例1，设有某种商品的成本函数为：x x x c 30135000)(++=其中x 表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x 吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：（元）1080040030400135000)(400=⨯+⨯+==x x c 吨）（元/2740010800)(400===x xx c 假如产量由400吨增加到450吨，即产量增加x ∆=50吨时，相应地总成本增加量为：4.686108004.11468)400()450()(=-=-=∆c c x c 728.13504.686)()(500400==∆∆+=∆∆=∆=x x xx x c x x c 这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。
类似地运算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x ∆=1时，总成本的变化为：7495.13)400()401()(=-=∆c c x c 7495.1317495.13)(1400=∆∆=∆=x x xx c表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。
1导数在经济学中的应用
解： （1）固定成本C(0)＝500，
平均成本函数： C= C(Q) 2Q+500 2+ 500
Q
Q
Q
（2）总收益函数为： R＝QP ＝Q f (Q ) ＝ Q(10-0.01Q)= 10Q-0.01Q2。
（3）利润函数为 :L(Q) ＝ R(Q)－C(Q) ＝ 8Q-0.01Q2-500
边际与边际分析
10
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故边际收益函数为
R(x) 1 x 100 1 (500 x).
5
5
令 R(x) 0, x 0;
又当x 500时， R 0,当x 500时， R 0,
由此可知，当销量小于500时，再增加销售可使总收入增加，但销量超过500 时，收益会减少。
由 R(x) 1 x 100 1 (500 x). 得
x
x
x 当产量由
增加一个单位时所增加的成本，当
x 0
时，若上式极限存在，即
C(x) 可导，则有
C(x) lim C lim C(x x) C(x) .
x0 x x0
x
我们称 C(x)为边际成本函数，其经济学的解释为：
C ( x)
近似等于当产量为
x 时，若再增加一个单位产量所需增加
的成本。这是因为
C(x) 0.01x2 10 x 2000 ,
故边际成本函数
C(x) 0.02x 10.
又由总收益函数 R(x) px 30x 知，总利润函数为
L(x) R(x) C(x) 0.01x2 20 x 2000 ,
故边际利润函数为
L(x) 0.02x 20 0.02(1000 x).
x0 x / x0
x0
x / x0
导数在经济学中应用
导数在经济学中的应用引言导数是微积分的重要概念之一，在经济学中有着广泛的应用。
导数在经济学中的应用不仅可以帮助我们理解市场经济中的各种现象，还可以用于分析经济模型和制定经济政策。
本文将重点介绍导数在经济学中的三个主要应用：边际效应分析、优化问题求解和经济增长模型。
边际效应分析在经济学中，边际效应是指某一经济变量的变化对另一经济变量的影响。
导数可以帮助我们计算出边际效应的大小和方向。
例如，在市场经济中，对某种商品的需求函数往往是一个曲线，而导数可以告诉我们需求曲线上某一点的斜率，也即是该点的价格弹性。
价格弹性越大，说明该商品对价格的敏感度越高。
这对企业制定定价策略和政府制定税收政策都有重要的指导作用。
此外，导数还可以帮助我们分析产量变化对生产成本和利润的影响。
在经济学中，企业的生产函数通常是某一种投入要素与产量之间的关系。
通过对生产函数求导，我们可以得到边际产量、边际成本和边际利润的函数。
这些边际效应的分析对企业的生产决策和资源配置非常重要。
优化问题求解优化问题求解是经济学中常见的问题之一，即在给定一组约束条件下，如何找到使某一目标函数最大或最小的决策变量取值。
导数在解决这类问题时起到了关键作用。
在微积分中，导数为函数提供了局部的信息。
在优化问题求解中，我们通常需要找到目标函数的极值点。
通过计算目标函数的导数，并将导数等于零的点作为候选极值点进行分析，我们可以找到目标函数的局部最大值和最小值。
这对于制定经济政策和优化资源配置具有重要意义。
经济增长模型经济增长模型是经济学中研究产出和收入长期增长的理论框架。
导数在经济增长模型中的应用主要体现在生产函数和资本积累方程中。
生产函数是描述产出与生产要素之间的关系的函数。
通过对生产函数求导，我们可以得到投入要素的边际产出，从而帮助我们分析生产要素的配置和经济增长的驱动力。
资本积累方程是经济增长模型中描述资本存量变化的方程。
通过对资本积累方程求导，我们可以得到资本积累率的边际变化，从而帮助我们分析资本积累的速度和经济增长的潜力。
导数在经济中的应用
一个单位产品，总收入约增加12个单位。
二、弹性分析
弹性分析也是经济分析中常用的一种方法，主要用于对 生产、供给、需求等问题的研究。 函数的弹性是指函数的相对变化率。
对于函数f(x),如果极限
y / y lim y x x x 0 x / x lim f ' ( x) x 0
边际成本就是总成本函数关于产量q的导数。
2、边际收入：多销售一个单位产品所增加的销售收入。 收入函数R=R(q)，q为某产品的销售量。 边际收入就是收入函数关于销售量q的导数R'(q)。 3、边际利润：多销售一个单位产品所增加(或减少)的 利润。
利润函数L=L(q)=R(q)-C(q)，q为某产品的销售量。
边际成本就是总成本函数关于产量q的导数。
2、边际收入：多销售一个单位产品所增加的销售收入。 收入函数R=R(q)，q为某产品的销售量。 边际收入就是收入函数关于销售量q的导数R'(q)。 3、边际利润：多销售一个单位产品所增加(或减少)的 利润。
利润函数L=L(q)=R(q)-C(q)，q为某产品的销售量。
p dS p Es S ' ( p ) S dp S
例2 设某商品的需求函数为
Q 3000 e0.释其经济含义.
p p 0.02 p 解： Ed Q' ( p) 3000 (0.02)e Q 3000 e 0.02 p
Es (2) 2
它的经济含义是：当价格为2时，若价格增加1%， 则供给增加2%.
1 由q=100-5p得： p (100 q) 5 1 1 R(q) (100 q)q (100 q q 2 ) 于是 5 5 1 边际收入函数为 R' (q) (100 2q) 5 R' (20) 12, R' (50) 0, R' (70) 8
导数在经济上的应用
优化问题
导数在经济学中还可以用于解决优化问题，即在一定条件下 ，如何选择合适的变量组合以最大化或最小化某个目标函数 。例如，如何选择合适的投入组合以最大化利润或最小化成 本等。
贸易量与成本的关系
导数可以用来分析贸易量与成本 之间的关系。例如，通过计算贸 易量的导数和成本的导数，可以 分析两者之间的变化关系以及变 化的快慢程度。
价格弹性的计算
价格弹性是国际贸易中一个重要 的概念，它反映的是价格变动对 需求的影响程度。通过计算价格 的导数和需求的导数，可以计算 价格弹性的值。
牛顿法
利用牛顿公式求解目标函数的极值点，通过迭代 的方式逐步逼近极值点。
拉格朗日乘数法
通过引入拉格朗日乘数，将多个约束条件下的最 优化问题转化为求解一组方程的问题。
最优化理论在经济中的应用案例
投资组合优化
01
利用最优化理论确定最佳投资组合，在满足风险和收益约束条
件下，最大化投资收益。
生产计划优化
02
通过建立微分方程模型，描述人口增 长率与时间的关系，可以预测未来人 口的数量变化。例如，经典的马尔萨 斯人口预测模型就是基于微分方程的 。
要点三
投资组合优化
通过建立微分方程模型，描述投资者 在不同资产之间的投资分配比例与时 间的关系，可以找到最优的投资组合 方案，以实现最大化的收益风险比。 例如，经典的马科维茨投资组合理论 就是基于微分方程的。
04
最优化理论及其应用
最优化理论的基本概念
1 2
最大值
在一定约束条件下，求解目标函数的最小值或最 大值。
导数在经济学中的应用
导数在经济学中的应用导数作为微积分的重要概念，在经济学中具有广泛的应用。
它可以帮助经济学家分析各种经济问题，从价格变动到边际效益，都可以通过导数进行深入研究和理解。
本文将探讨导数在经济学中的几个应用领域。
一、供求关系的分析供求关系是经济学中最基本的概念之一。
导数可以帮助我们分析供求曲线的斜率，进而推断出市场的均衡价格和数量。
在供求模型中，需求曲线和供给曲线的交点就是市场均衡点。
通过计算导数，我们可以确定需求曲线和供给曲线在特定点的斜率，从而了解市场的动态变化。
二、边际效益的分析边际效益是指增加或减少一个单位的产品或服务所产生的额外效果。
在经济学中，边际效益的分析对决策者非常重要。
导数可以帮助我们计算边际效益，并判断其变化趋势。
比如，在生产决策中，企业需要权衡每生产一个单位产品所获得的边际收益和边际成本。
通过导数分析，可以找到最优的生产方案。
三、弹性的计算弹性是指需求或供给对价格变动的敏感程度。
在经济学中，弹性是一个重要的测量指标。
导数可以帮助我们计算需求弹性和供给弹性。
需求弹性指的是当价格变动时，需求量的变化幅度；供给弹性指的是当价格变动时，供给量的变化幅度。
通过导数的计算，我们可以评估市场的灵活性和变动性。
四、成本和收益的最优化成本和收益的最优化是企业和个人在经济决策中经常面临的问题。
导数可以帮助我们计算成本和收益函数的斜率，从而确定最优化的方案。
比如，在生产决策中，企业需要确定成本最小化的产量水平；在消费决策中，个人需要确定效用最大化的消费组合。
通过导数的计算，可以简化这些最优化问题的求解过程。
总结：导数在经济学中具有广泛的应用，可以用于供求关系的分析、边际效益的计算、弹性的评估以及成本和收益的最优化。
通过对导数的深入理解和应用，经济学家能够更好地解释和预测经济现象，为经济决策提供更科学的依据。
因此，掌握导数的概念和运算方法，对于学习和研究经济学都至关重要。
导数在经济学中的简单应用
=
1 2
10
P
P
=
p
P 20
2
(2)P 3,
EP
p3
3 17
(3)
ER 1
Ep
14， 总收益增加 14 %
17
17
12/31/2023
2 0
一、主要内容
dy y dy ydx y dy o(x) dx
关系
导数
y lim x0 x
基本公式 高阶导数
微分
dy yx
求导法则
12/31/2023
y f ( x0 x) f ( x0 )
如函数 f ( x)在点 x0可微，则
y dy |xx0 f ( x0 )x
假如 x 1, 则 y f ( x0 )
这说明当 x在 x0点改变“一个单位”时，y相应的近似改变 f ( x0 )个单位。 边际函数值描述了 f (x)在点 x0处的变化速度.
积，即
R(Q) QP QP(Q),
式中，P P(Q)是需求函数 Q Q(P)的反函数，也称需求函
数，于是有，R(Q) [QP(Q)] P(Q) QP(Q).
12/31/2023
7
例3 设某产品的需求函数为
P 10 Q , 5
求销售量为30个单位时的总收益、平均收益与边际收益。
总收益： R(Q )
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu(c是常数),
（3）(uv) uv uv,
（4）(
u) v
uv v2
uv
(v
0).
(2) 反函数旳求导法则
如果函数x ( y)的反函数为y f (x),则有
f
( x)
导数在经济学中的应用
例4.设某产品的需求函数x与价格P的关系为
Q(
P
)
1600
1 4
P
.
（1）求需求弹性 ( P )；
（2）当商品的价格P 1（ 0 元）时，再增加1，
求该商品需求量的变化情况.
解：需求弹性为
(P) P Q(P)
Q(P)
(P)
P
1600
1 4
P
1600
1 4
P
P
1600
当x 150时，边际利润为 L(150) 0.2 150 60 30， 当x 400时，边际利润为 平均收入函数为 L(400) 0.2 400 60 20. 可见，销售第151个产品，利润将增加30元， 而销售第401个产品，利润将减少20元.
二、函数的弹性
定义1：函数的相对改变量 y f ( x x) f ( x)
增加；价格下跌，总收益减少.
（ 2）若 | | 1，需求变动的幅度大于价格
变动的幅度.R 0，R递减.即价格上涨，总收益 减少；价格下跌，总收益减少.
（ 3）若 | | 1，需求变动的幅度等于价格
变动的幅度.R=0，R取得最大值. 综上所述，总收益的变化受需求弹性的制 约，随商品需求弹性的变化而变化.
解：在每天生产10件的基础上再多生产一件的 成本大约为C (10)：
C( x) d ( x3 2 x2 12x) 3x2 4x 12， dx
C(10) 27（ 2 元）， 即多生产一件的附加成本为272元，边际收入为
R( x) d ( x3 3 x2 10x) 3x2 6x 10 dx
例3.设某产品的需求函数为P 80 0.1（ x P是 价格，x是需求量），成本函数为C 5000 20x. 试求边际利润函数L( x)，并分别求x 150和 x 400时的边际利润. 解：已知P( x) 80 0.1x,C( x) 5000 20x， 则有 R( x) P x (80 0.1x) x 80x 0.1x2， 边际利润函数为 L( x) (0.1x2 60x 5000) 0.2x 60，
导数在经济中的应用
1、边际成本分析
设生产某产品的总成本函数为 C C(q)
其中q 为产量，则边际成本 MC C(q)。其经 济含义是当产量为 q，再生产一个单位产品
所增加的总成本为C(q) 。在经营决策中，边 际成本可用来判断产量的增减在经济上是否 合算。
①当总成本函数为线性成本函数时，如
C aq b MC dC a
Ex
y
讲解例2
2、弹性经济意义 需求的价格弹性，即需求函数的弹性．我们只 考虑价格变动时对需求量的影响．
设某种商品的需求函数为 Qd Q( p) 需求的价格弹性 E Q( p) p
Qd
其中 Qd 是商品的市场需求量， p是商品的价
格，故 Qd 0, p 0 而需求函数 Qd 的减函数，所以 Q( p) 0 从而有
E
Q( p) 是价格 p
Q( p) p 0
Qd
讲解例3
3、价格弹性对总收益的分析
小结——本节主要学习了以下内容： 一、导数在经济学边际分析中的应用 二、导数在经济学弹性分析中的应用
dq
对线性成本函数而言, MC 是大于的常数．这 表明产品产量为任何水平时，再增加一个单 位产品的生产成本都是，总成本是均匀增加 的。
②当总成本函数是二次函数时，如总成本函 数为 C(q) 1 q2 20q 10000 时 ，MC C(q) q 20
2
对于不同的产量。它的单位生产成本是不同 的。
MR MC 企业获得最大利润．
分析： MR MC 总利润函数为减函数
MR MC 总利润函数为增函数
二、弹性分析
1、函数的弹性
y
lim
x 0
y x
导数概念在经济学中的应用
y x
y 2.2 x
表示函数 y x2 的平均相对变化率.
5
定义 设 y f (x) 是一个经济函数，如果极限
y y lim x0 x x
Elasticity
存在，称之为函数 f ( x) 在点 x 处的弹性，记作 Ey . Ex
计算公式：Ey x y
Ex y
经济意义：
当自变量 x 增加1%时，因变量 y (近似 地)改变 Ey %. Ex
的含义. 2
例1 生产某产品x单位的总成本为
C( x) 1100 0.002x 2 (百元)，
则生产1000单位时的边际成本为
C(1000 ) 4 ,
说明： 产量 x 1000时，每增加一个单位产量，大约
需增加成本 4(百元).
例2 某商品的需求函数为Q 75 P 2 ,求 P 4 时的边际需求. 解 Q 2P , Q(4) 8 .
解
Q
1
e
P 5
，
5
EQ PQ 1 P .
EP Q
5
当 P 6 时， EQ 1.2 . EP
解释：当 P 6 时，若价格上涨 1%，则需求下降 1.2%.
8
练习：
P1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ6 习题三
9
第五节 导数概念在经济学中的应用
一、边际分析 设可导函数 y f (x) 是一个经济函数，则其导函数
f ( x) 称为边际函数，如边际成本、边际收益、边际需求等.
marginal cost : MC
marginal revenue : MR
1
第五节 导数概念在经济学中的应用
一、边际分析
设可导函数 y f (x) 是一个经济函数，则其导函数 f ( x) 称为边际函数，如边际成本、边际收益、边际需求等.
导数在经济方面的应用边际分析
总成本、平均成本及边际成本，并解释边际
成本的经济意义.
解 生产 900 个单位时的总成本为
C(Q)
Q900
1100
9002 1200
1775
平均成本
C(Q
)Q9
0
1 7 7 5 900
1.97
边际成本为 C(Q)
Q .5 ，它表示当
产量为 900 个单位时，再增产（或减产）一个单位，
益的平均变化率为
R R(20) R(15) 320 255 13
Q
20 15
5
返回
案例 2.5 某工厂对其产品的情况进 行了大量的统计分析后，得出总利润 L(Q) （元）与每月产量 Q（吨）的关系为 L L(Q) 250Q 5Q2 ，试确定每月生产 20 吨，25 吨，35 吨的边际利润，并作出 经济解释.
参考答案
解 设圆面积为 A ，圆半径为 R ，则
A R2
方程两边对时间 T 求导数，得
dA 2 R dR
dT
dT
当 R 为2厘米，dR 为0.01厘米/秒时，
dT
dA 0.04
dT
即圆板面积的增长速度为0.04 平方厘米/秒。
课堂练习
2、一个平放的水槽长12米，横截 面为等腰梯形，下底宽3米，口宽9米， 深4米．现以每分钟10立方米的速度将 水注入，试求当水深2米时，水面上升 的速度.
解 边际利润函数为 L( Q) 2 50
L(Q) Q20 L(20) 50
L(Q) Q25 L(25) 0
L(Q) Q30 L(35) 100
1Q，0则
上述结果表明当生产量为每月 20 吨时，再增加 一吨，利润将增加 50 元；当产量为每月 25 吨时，再 增加一吨，利润不变；当产量为 35 吨时，再增加一 吨利润减少 100 元.此处亦说明，对厂家来说，并非生 产的产品数量越多，利润就越高.所以我们可以利用边 际函数来作出相应的产量决策.
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则2000 4a b；2500
4.5a
b
得a 1000；b 2000
所以供给函数为为：Q
1000 P
2000
2.3成本函数
产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用
度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成
精选
L q。[7]
例8:某工厂将要生产一种商品， 该商品的产量Q与总利润L Q之间的函数
2
关系为：L Q250Q5Q,求产量为20时的边际利润。
解：边际利润函数为L' Q25010Q
L' 20250102050（元）
它的经济意义是：在每天生产20个单位的基础上，再多生产1个单位，总
利润将增加50元。
3.2弹性分析
引言
近年来，随着市场经济的不断发展、 经济的不断繁荣， 经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。 因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中， 对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。 而导数作为高等数学中的重要概念， 同样也是解决经济问题的一个有力工具。 在高等数学中， 导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，
考察。在经济学中，把函数f x的导数f ' x称为f x的边际函数，在点x0的值f 'x0称为f x在x0处的边际值。
3.1.1边际成本
边际成本的定义是指每增加一单位的产量随即产生的总成本增加量即称为
边际成本，假设生产某种产品q单位时所需要的总成本函数C (q)可导，则其边际
成本定义为MC lim
C
则收益可增加600元。
3.1.3边际利润
边际利润指的是销售该产品所获得的收入总额与相应的可变成本之间相差
的数额，能够反映出当该产品的销售量增加或降低时企业增加或减少的收益额。
与边际成本类似，边际利润MR定义为总利润函数L q关于销售量q的导数，其
精选
经济含义是:当销售量为q时，再销售一个单位（即q1）所增加的总利润
解：边际成本函数为C' Q0.08Q
C' 200.08201.6（百元/件）=160（元/件）
它的经济意义是：在产量Q为20时的基础上再生产一个单位商品，总成本
增加160元。
3.1.2边际收入
边际收入与边际成本类似，边际收入定义为R' q，即边际收入是总收入函
数R q关于销售量k的导数，其经济含义是：当销售量为q时，再销售一个单位
设函数y f x在点x0的某领域内有定义， 若极限lim
f x
f
x0
存在，则
xx0
x
x0
称f在点x0处可导，并称该极限为函数
f在x0处的导数，记作f ' x0
。
[1]
于是，导数的定义从数量关系上看， 所反映的是函数的自变量的变化对相应的函数值变化快慢影响的程度， 即变化率， 也被称为瞬时变化率； 对数学表达式
d
涨1%，销售该商品所获得总收益将增加。
3.2.2供给价格弹性
供给的价格弹性简称为供给弹性， 供给弹性是表示在一定时期内一种商品的供应量变动对于该商品的价格变动的反应程度， 是商品的供应量变动率与价格变
动率之比。假设供给函数为Qf P，以e表示供给的价格弹性系数，则供给
s
Q
的价格弧弹性的公式为：
Q
Q
题和优化问题。
3.1边际分析
边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率,它的提出
不仅为人们作出决策提供了一个有用的工具，而且使得数学工具能应用于经济学,
利用导数研究经济变量的边际变化的方法，即边际分析法。[5]早在19世纪70
年代就出现边际分析的身影， 边际分析主要用于研究自变量的单位增加量对因变量产生的影响，偏重于自变量的最后一个单位增加量与因变量之间的数量关系的
例1：服装店销售某种衬衫的件数Q与价格P是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。
解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：QaPb
则120
100a b；200
80a
b
解得a
4；b
520
所以需求函数为
Q 4P
520
。
2.2供给函数
一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期内在各种可能的价格下，
价格变动的反应程度。 简单来说， 它表示需求曲线上两点之间的弹性。假定需求
精选
函数为Q
f P，Q表示需求量的变动量、
P表示价格的变动量，以ed表示
Q
需求的价格弹性系数，则需求的价格弧弹性的公式为
:
Q
Q
P
。
[9]
edP
?
Q
P
P
例9：厂商生产某种产品，假设定价为
5
元/件时市场需求量为
400件，定
价为4元/件时市场需求量为
C q
q C q；边际成本是总成本函数C q关于产
q 0
q
q
精选
量q的导数，其经济含义是：当产量为q时，再生产一个单位（即q1）所增
加的总成本C q,因此可以近似的记为C q1C qC qC' q。[6]
例6：若厂商要生产某种商品，生产件数为Q件时的总成本函数为
2
C (Q)5000.04Q（百元），求产量为20件时的边际成本。
短期成本函数中的可变成本部分与固定成本部分。
解：当Q 0时，C0 44
所以固定成本为44，可变成本部分为C Q Q3
4Q2
16Q
2.4收入函数
在贸易活动过程当中， 一定时期内销售该商品后所获得的收入总额即为该时期内的总收入， 记为R。而售出某商品所能获得的收入的多少则取决于该商品的
销售数量和价格。所以，收入函数可以表示为RPQ，其中P表示商品得销售
本可以分为固定成本和变动成本两部分，固定成本和可变成本是相对于某一个特
定的过程而言的， 并不是唯一确定的。 固定成本F是指在一定的时间内不会随着
产量的变动而多支出费用， 例如设备、厂房设施等的固定费用和其他管理费用等。
可变成本V是指当产品产量变动时随之变动的支出费用，如电力燃烧材料、 原材
料支出、税收等。一般来说，以货币形式计值得（总）成本C是产量Q的函数，
导数可作为经济分析的工具， 广泛地应用到经济研究和企业管理之中， 促进经济理论朝着更加精确的方向发展。 本文从边际分析， 弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。
1、导数的概念
早在法国数学家费马探究极值问题时就将导数的思想引入了， 但导数思想是在英国数学家牛顿研究力学和德国数学家莱布尼茨研究几何学的过程中正式建立起来的。
（即q1）所增加的总收入R q。[6]
例7：商店新进了一种商品，当该商品的销售量为Q件时收益函数为
2
R Q 800Q
Q（元），求销售400件时的边际收益为多少？
4
解：边际收入函数为R' Q 800
Q（元/件）
2
R' 400
800
400
600(元/件)
2
它的经济意义是：当该商品的销售量Q为400时，销售量若再增加一个单位，
[2]
而言，所表达的是函数增量和自变量增量之比的极限问题。
2、 经济分析中常用的函数
由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题， 所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解， 以便更好的理解和使用它们。经济分析中常用的函数主要有以下四类：
2.1需求函数
需求函数指在特定的时间内， 各种可能的价格条件下， 消费者愿意并且能够购买该商品的数量。 （出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸
3、导数在经济学中的应用
随着市场经济的不断发展， 应用数学知识定量分析经济及管理领域中的问题已成为经济学的一个重要部分,用数学知识来解答经济活动中的一些现象对很多经营决策起到了非常重要的作用。 导数是微积分中的一个重要概念， 它是函数关于自变量的变化率。[4]在经济学中，也存在变化率问题，如：边际问题、弹性问
愿意且能够提供出售的该种商品数量。
[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看
成常量以达到化简问题的目的。 所以，供给函数可以用Q
s
f P表示，其中，P
S
为商品的价格，Q为商品的供给量。可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。
例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0.5元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。
额，为收入总额与成本总额之间的差值，常用L来表示，LQRQCQ。
例5：某企业生产销售Q个单位的产品，总收入函数为R24x2x2，总成
本函数Cx25，求利润函数、最大产出水平与最大利润。
解：利润函数LRC24 x2x2x253x224 x5
当x 4时有最大值L 43（解题过程要详细，须进一步完善）
所以利润函数为L3x224 x 5，最大产出水平为4，最大利润为43。
P1
P2
公式表示为：
ed
Q
2
。
PQ1
Q2
2
当需求曲线上两点之间的变化量趋于无穷小时， 需求的价格弹性要用点弹性来表示。也就是说，她表示需求曲线上某一点上的需求量变动对于价格变动的反
应程度，则需求的价格点弹性公式可表示为:
ed
lim
0
Q?P
dQ?p
P
P Q