§2.5闭环传递函数§2.6 梅逊公式

例1
求C(s)/R(s)
1 [ G2G3 H 2 G4G5 H 3 G3G4 H 4 G1G2G3G4G5G6 H 1] (G2G3 H 2 )( G4G5 H 3 )
1 G2G3 H 2 G4G5 H 3 G3G4 H 4 G1G2G3G4G5G6 H1 G2G3G4G5 H 2 H 3
§2.6 控制系统的信号流图
3、信号流图的常用术语
⑴ 入支路：进入节点的支路 ⑵ 出支路：离开节点的支路 ⑶源节点：只有输出支路而无输入支路的节点称为源节点或输入节点，相当于输 入信号。 ⑷阱节点：只有输入支路而无输出支路的节点称为阱节点或输出节点，对应系统 的输出信号。 ⑸混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点，相当于比较点或 引出点。 ⑹通路：沿支路的箭头方向顺序通过各相连支路的路径成为通路。 ⑺前向通路：从源节点开始并且终止于阱节点，与其他节点相交不多于一次的通 路称为前向通路。 ⑻回路：如果通路的起点和终点是同一节点，并且与其他任何节点相交不多于一 次的闭合路径称为回路。 ⑼前向通路增益：前向通路中各支路增益的乘积称为前向通路增益。
1 H1 G1 G2 G1G2 G3 H1
P1 G1G2 P2 G3
1 1
2 1 H1
G1G2 G3 (1 H 1 ) ( s ) 1 H 1 G1 G2 G1G2 G3 H 1
Mason 公式（5）
例 5 求传递函数 C(s)/R(s)
控制系统结构图
例 5 求C(s)/R(s)
1 [ G2 H 2 G1G2G3G4 H 1 G1G2G4 H 1 ] 1 G2 H 2 G1G2G3G4 H 1 G1G2G4 H1 P1 G1G2G3G4 1 1 P2 G1G2G4 2 1 P3 G2G3G4G5 3 1 P4 G2G4G5 4 1 P5 G3G4G6 5 1 P6 G6 H 2G2G4 6 1
§2.6 控制系统的信号流图
1、引言
信号流图是表示线性代数方程组的示图，采用信号流图可以直接对代数方程组求 解。在控制工程中，信号流图和结构图一样，可用以表示系统的结构及变量传递 过程中的数学关系。由于它的符号简单，便于绘制，而且可以通过梅逊公式（不 必经过图形简化）直接求得系统的传递函数，因此特别适合对于复杂结构系统的 分析。
第二章小结
例 2 求C(s)/R(s)
1 [ G1G2 H1 G2G3 H 2 G1G2G3 G4 H 2 G1G4 ]
1 G1G2 H1 G2G3 H 2 G1G2G3 G4 H 2 G1G4
P1 G1G2G3 P2 G1G4
( s )
1 1
例6 求 C(s)/R(s), C(s)/N(s)
1 [ G2 H G1G2 G1G3 ] G1G2G3 H
1 G2 H G1G2 G1G3 G1G2G3 H
P1 G1G2
P2 G1G3
PN 1 1 PN 2 G4G1G2
1 1
P1 G1G2G3G4G5G6
1 1
G1G2G3G4G5G6 ( s ) 1 G2G3 H 2 G4G5 H 3 G3G4 H 4 G1G2G3G4G5G6 H 1 G2G3G4G5 H 2 H 3
Mason 公式（2）
例 2 求传递函数 C(s)/R(s)
控制系统结构图
§2.6 控制系统的信号流图
2、信号流图的组成要素
信号流图中的基本图形符号有三种：节点、支路和支路增益。 ⑴ 节点—用符号“○”表示。节点代表系统中的一个变量（信号）。 ⑵ 支路—用符号“→—”表示，支路是连接两个节点的有向线段，其中的箭头表 示信号的传递方向。 ⑶ 增益—用标在支路旁边的传递函数“G”表示支路增益。支路增益定量描述信 号从支路一端沿箭头方向传送到另一端的函数关系，相当于结构图中环节的传 递函数。
自动控制原理
潍坊科技学院机械工程学院 李世琛
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 引言 控制系统的时域数学模型 控制系统的复域数学模型 控制系统的结构图及其等效变换 控制系统的传递函数 控制系统的信号流图
课程回顾
2.3 复域数学模型 —— 传递函数 （1）传递函数的定义、性质和适用范围 （2）常用控制元件的传递函数 （3）典型环节 2.4 控制系统的结构图及其等效变换 （1）系统结构图的导出 （2）结构图等效化简
§2.6 控制系统的信号流图
5、结构图与信号流图的关系:信号流图<=> 结构图
⑴由结构图向信号流图转化应尽量精简节点的数目。 ⑵两个相邻的节点支路增益为1时，一般可以合并为一个节点，但对于输入节点 和输出接点却不能合并掉 ⑶比较点之前无引出点或比较点之后有引出点只需在比较点处设置一个节点即可 ⑷比较点之前有引出点应在二者之处各设置一个节点，以表示两个不同的变量。 ⑸相邻的N个比较点可以用一个节点表示，相邻的N个引出点也可以用一个节点 表示 ⑹标完节点后应给每个节点标上序号，这样在计算前向通道条数、回路个数、看 回路与回路接触不接触、回路与前向通道接触不接触时不容易出错。
n Pk La L L L L L k
b c
d e
— 前向通路的条数 — 第k条前向通路的总增益 — 所有不同回路的回路增益之和 — 两两互不接触回路的回路增益乘积之和
f
— 互不接触回路中，每次取其中三个的回路增益乘积之和
Mason 公式（1）
例 1 求传递函数 C(s)/R(s)
控制系统结构图
§2.5 控制系统的传递函数
一、引言
前文所述的传递函数都是在输入信号作用下讨论的。实际的控制系统不仅会
受到控制输入信号的作用，还会受到干扰信号的作用。下图所示是具有扰动作用
的闭环系统，图中R(s)表示控制输入信号， N(s)表示干扰信号， 代表系统的输出， E(s)代表误差信号。若将R(s)和N(s)分别看作系统的外作用，C(s)和E(s)看做系统
§2.6 控制系统的信号流图
⑽回路增益：回路中各支路增益的乘积，称为回路增益 ⑾ 不接触回路：信号流图中没有任何共同节点的回路，称为不接触回路或互不 接触回路。
4、信号流图与结构图的对应关系
信号流图 源节点 阱节点 混合节点 支路 支路增益 前向通路 回路 互不接触回路 结构图 输入信号 输出信号 比较点，引出点 环节 环节传递函数
G1G2G3G4 G1G2G4 G2G3G4G5 G2G4G5 G3G4G6 G2ห้องสมุดไป่ตู้4G6 H 2 ( s ) 1 G2 H 2 G1G2G3G4 H 1 G1G2G4 H 1
Mason 公式（6）
例 6 求传递函数 C(s)/R(s), C(s)/N(s)
控制系统结构图
P1
1 ( RCs) 3
1 1
1 ( s ) ( RCs) 3 5( RCs) 2 6( RCs) 1
Mason 公式（4）
例 4 求传递函数 C(s)/R(s)
控制系统结构图
例 4 求C(s)/R(s)
1 [ H G1 G 2 G1G2 G 3 G3 ] G3 H 1 1
需要指出，这里的开环传递函数是针对闭环系统而言的，而不是指开环系统 的 传递函数。
§2.5 控制系统的传递函数
2、系统的闭环传递函数
<1．给定输入作用下的闭环传递函数 当只研究系统控制输入作用时，令 N(s)=0，可求出系统输出C(s)对输入R(s)的闭 环传递函数为
N(s)
<2 ．扰动输入作用下的闭环传递函数 当只研究系统在扰动输入作用时，令R(s)=0，可求得输出C(s)对扰动作用N(s)的 传递函数
§2.5 控制系统的传递函数
<2、扰动输入作用下的误差传递函数 令R(s) =0，可求出误差对扰动作用的闭环传递函数，简称扰动误差传递函数， 即 N(s)
<3、控制输入和扰动同时作用下系统的总误差 利用叠加原理可求出系统在控制输入和扰动输入同时作用下系统的总误差为
不难发现，四种闭环传递函数 Φ(s)、Φn(s)、 Φe(s)、Φen(s) 具有相同的分母即 =1+ G(s)H(s)。这正是闭环控制系统的本质特征。通常把这 个分母多项式称为闭环系统的特征多项式。1+ G(s)H(s) 称为闭环系统的特征方
2 1 G2 H
N 1 1 G2 H N2 1
G1G2 G1G3 ( s ) 1 G2 H G1G2 G1G3 G1G2G3 H
N ( s)
( 1 G1G3G4 )(1 G2 H ) G1G2G4 1 G2 H G1G2 G1G3 G1G2G3 H
（1）结构图 信号流图
（2）结构图 信号流图
§2.6.2 梅逊（Mason）增益公式
1 n G(s) Pk Δ k Δ k 1

— 特征式
1 La Lb Lc Ld Le L f
— 第k条前向通路的余子式(把与第k条前向通路接触的回路去除, 剩余回路构成的子特征式
2 1
G1G2G3 G1G4 G1G2 H 1 G2G3 H 2 G1G2G3 G4 H 2 G1G4
Mason 公式（3）
例 3 求传递函数 C(s)/R(s)
控制系统结构图
例 3 求C(s)/R(s)
1 [ 5
1 1 1 ] 6 3 RCs ( RCS ) 2 ( RCs)
的输出，则下图的闭环系统就成为一个双输入、双输出系统。当两个输入量同时
作用于线性系统时，可以分别考虑各外作用的影响，然后应用叠加原理，即可得 到闭环系统的总输出响应。
§2.5 控制系统的传递函数
1 、系统开环传递函数
为分析系统方便起见，常常在 H(S)的输出端，亦即在反馈点处，“人为”地断 开 系统的主反馈通路。将前向通路传递函数与反馈通路传递函数的乘积称为系统的 开环传递函数，用 G(s)H(s)表示。它等于系统的反馈信号B(s)与偏差信号E(s)之 比，即
§2.5 控制系统的传递函数
<3、输入和扰动同时作用下系统的总输出 根据线性系统的叠加原理，系统在多个输入作用下，其总输出等于各输入单独作 用所引起的输出分量的代数和，可求得系统的总输出为
3、系统的误差传递函数
<1、控制输入作用下的误差传递函数 在N(s)=0的情况下，可求出系统的误差传递函数，即