第8章第5节质心
第五节 角动量角动量守恒定理
第五节角动量角动量守恒定理第五节角动量角动量守恒定理第五章角动量角动量守恒定理本章结构框图学习指导本章概念和内容就是中学没碰触过的，就是大学物理教学的重点和难点。
许多同学难将对应状态问题与旋转问题中的概念和规律混为一谈，比如两种冲击摆问题。
建议使用投影方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、对应状态动能和旋转动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量动量和角动量动量……一一予以比较。
本章的重点就是刚体定轴转动问题，特别注意定轴条件下，各种规律都必须用标量式则表示。
还请注意动量动量在天体问题、粒子问题中的应用领域。
基本建议1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。
2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。
3.理解力矩的物理意义,会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。
5.认知角冲量（冲量矩）概念，掌控质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，娴熟展开有关排序。
16.掌控角动量动量的条件，娴熟应用领域角动量守恒定律解有关问题。
内容提要1.基本概念刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。
定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。
即：i的大小与刚体总质量、质量原产及转轴边线有关。
质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。
表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。
表中5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量2力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫作力对该参考点的力矩（图5.1）：即为：大小：由右手定则确定。
对于力矩的概念必须特别注意明晰以下问题：区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。
例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点（力×力臂）方向：旋转轴决定的平面，其指向的力矩在三个坐标轴上的投影：由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。
地理信息系统原理第6章 空间分析
i
其中，Wi为第i个离散目标物权重，Xi，Yi为第i个离散目标物的坐
标。
质心量测经常用于宏观经济分析和市场区位选择，还可以跟踪某些
地理分布的变化，如人口变迁，土地类型变化等。
距离量算
“距离”是人们日常生活中经常涉及到的概念，它描述了两个事物或 实体之间的远近程度。最常用的距离概念是欧氏距离，无论是矢量结构， 还是栅格结构都很容易实现。
是针对矢量数据结构，或者是针对栅格数据结构的空间数据。
线的长度计算
线状地物对象最基本的形态参数之一是长度。
在矢量数据结构下，线表示为点对坐标（X，Y）或（X，Y，Z）的序
列，在不考虑比例尺情况下，线长度的计算公式为：
n1
L
X i1 X i
2
Yi1 Yi
2
Zi1 Zi
2
1 2
ArcGis地理处理工具
1）局部工具集 局部工具可以将输出栅格中 各个像元位置上的值作为所有输入 项在同一位置上的值的函数进行计 算。 通过局部工具，您可以合并 输入栅格，计算输入栅格上的统计 数据，还可以根据多个输入栅格上 各个像元的值，为输出栅格上的每 个像元设定一个评估标准。
像元统计
合并 等于频数 大于频数 最高位置 小于频数 最低位置 频数取值
、右多边形是哪些。 ⑤ 线线查询，如与某条河流相连的支流有哪些，某条道路跨过哪些
河流。 ⑥ 线点查询，如某条道路上有哪些桥梁，某条输电线上有哪些变电
站。 ⑦ 点面查询，如某个点落在哪个多边形内。
⑧ 点线查询，如某个结点由哪些线相交而成。
2) 空间量算
空间信息的自动化量算是地理信息系统所具有的重要功 能，也是进行空间分析的定量化基础。其中的主要量算有：
第八章 动能定理
第八章动能定理引言应用动力学基本方程是解决运动变化与力之间的关系的基本方法，但在许多实际问题中，特别是研究运动过程较复杂的质点系问题时，要列出每一个质点的运动方程十分困难。
动能定理建立了物体动能变化与受力所作的功之间的关系，应用动能定理解决动力学问题，淡化了具体的运动过程，使计算得到简化。
在物理中，质点的动能定理已作为重点内容进行了研究。
在理论力学中，动能定理的基本意义与物理所讲的完全相同。
为了避免重复，在本章，重点对动能定理的应用范围进行拓宽。
基本要求1、加深对功和动能概念的理种功和动能的求法，2、加深对动能定理的理解，理的应用。
3、了解功率和效率的概念第一节力的功一、功的概念物体受力的作用后，其运动状态将发生改变，这种改变不仅与力的大小和方向有关，还与物体在力的作用下所走过的路程有关。
功就是描述力在一段路程中对物体的积累效应，我们将（不变的）力Ｆ在物体运动方向上的投影F cos 与物体所走过的路程S的乘积，称为力Ｆ在路程S中对物体所作的功。
即：W F S =cos α在上式中，α表示力F 与运动方向的夹角，α<90°时，力作正功；反之力做负功。
可见，功是一个只有大小、正负而没有方向的量，是一个代数量。
功的单位由力和路程的单位来确定，在国际单位制中，功的单位是焦耳（J ），即：焦耳＝牛顿⨯米（1J 1N m =⋅）若在变力Ｆ作用下物体沿曲线运动，则可将路程S 分成为无限多个小微段dS，并将dS 视为直线，将该微段内的力Ｆ视为常力。
力在此微段上所作的功称为元功，用dW 表示。
即dW F dS =⋅cos α若求变力Ｆ在一段路程S 上所作的功，可对元功积分。
即：W dW F dSSS ==⎰⎰cos α二、几种常见力的功 1、重力的功重力的功等于物体的重力与物体重心始末位置的高度差的乘积，即W G h =±可见，重力的功只与物体的始末位置有关，而与物体运动的具体路径无关。
《高等数学II》教学大纲
《高等数学II》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：课程名称：高等数学II英文名称：Higher mathematics II课程类别：公共课学时：64学分：4适用对象: 理工科专业考核方式：考试先修课程：高等数学I二、课程简介《高等数学II》是高等学校理工科专业学生的必修课。
通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后续课程和获得进一步的数学知识奠定必要的基础。
通过知识内容的传授，培养学生的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
其具体内容包括：空间解析几何与向量代数；多元函数微积分学（多元函数微分学、重积分、曲线积分和曲面积分）；无穷级数。
Higher mathematics II is a compulsory course for students majoring in science and engineering in institutions of higher learning. Through learning of this course, make the students master the basic concepts of higher mathematics and the basic theory and basic computing skills, for learning the follow-up courses and further the mathematics knowledge to lay the necessary foundation. Through the knowledge content of teaching, cultivate students' operation ability, abstract thinking ability, logical reasoning ability, space imagination ability and the integrated use of knowledge to the ability to analyze and solve problems. The specific contents include: spatial analytic geometry and vector algebra; Multifunction calculus (multifunction differential calculus, reintegration, curvilinear integral and surface integral); Infinite series.三、课程性质与教学目的目前，《高等数学II》已成为理工科类及部分经济、管理类专业的主干学科基础课程，是教育部审定的核心课程和硕士研究生入学考试“数学1”和“数学2”的必考科目，对学好其它专业课程意义重大。
大学物理 马文蔚 课堂笔记
即水分子的质心在对称轴上 距氧原子中心6.8 10-12m处.
3 /14
§3.9 质心 质心运动定律
例 2 求半径为R的匀质半薄球壳的质心. 解 如图所示, 将坐标原点建在球壳的球心.
根据对称性可知, 质心的位置应该在对称轴(z轴)上. 即 xc 0 ; yc 0 由质心的计算公式可得,
化简得
m2 2 (m ) m 2mgR m'
2m' gR ; m m'
上海师范大学
m
m'
m m m m' m'
2m' gR m m'
13 /14
习 题 课
m
2m' gR ; m m'
m'
m m'
2m' gR m m'
2m' gR m m'
d rc d ri 由速度的定义式可知 是质心的运动速度; 是第i个质点的运动速度. dt dt 因此, (5)式可以写成, n n m'c mii pi pc (6)
i 1 i 1
n dr dr m' c mi i dt dt i 1
m1 2m2
2m2 ' 0 m1
10 /14
上海师范大学
习 题 课
碰撞后,摆锤在竖直平面内作圆周运动,
' 最高点处的速率为 H , 最高点处摆锤受到重力mg和绳子
' H
的拉力F的作用, 如图所示 因此 在最高点处有,
F mg Fn
m1
F mg
' ( H ) 2 由此可得 F m2 g m2 l ' ( H ) 2 F 0 m2 m2 g l
质心运动定理
Newton 第三定律和动量守恒Newton 第二定律给出了任何物体的加速度与作用在它上面的力之间的关系，在这个基础上，原则上可以解决任何力学问题。
例如，为了确定几个粒子的运动，人们可以利用前面一节中所展开的数值方法。
但是我们有充分的理由来进一步研究Newton 定律。
首先，有一些十分简单的运动不仅可以用数值方法分析，也可以直接进行数学分析。
比如：虽然我们可以按数值方法计算简谐振子的位置，但是分析这个运动并找到一般解cos x t =，则更令人满意。
同样，一个行星由引力决定的绕太阳的运行固然可以用上一节的数值解法逐点地加以计算，从而找到轨道的一般形状，但能够得到准确的形状——分析表明这是一个完整的椭圆——就更好了。
因此，当存在一种简单而又更为精确的方法以得出结果时，再去用一系列麻烦的算术运算就毫无必要了。
遗憾的是，只有很少问题能够以分析方法精确求解。
例如就简谐振子来说，如果弹簧力不是正比于位置，而是更为复杂的话，人们就只得又回到数值解法上来。
或者，假如有两个天体绕太阳运行，使天体的总数是三个，那么分析法就无法得出一个简单的运动公式，实际上这个问题只能作数值解。
这就是有名的三体问题，今天，它已作为常规计算准确地按上一节所描述的方式进行充分的演算后，加以解决了。
十分有趣的是，人们曾经化了那么长时间才领悟到也许数学分析的能力是有限的，因而使用数值解法是必要的这个事实。
然而，也有一些两种方法都失效的情况：对简单的问题我们可以用分析方法，对适当困难的问题可以用数值和算术方法；但是对非常困难的问题则这两种方法都不能用了。
例如：两辆汽车的碰撞，或者甚至气体中分子的运动，就是一种复杂的问题。
在一立方厘米的气体中有数不清的粒子，而试图用这么许多变量(约个——即一万亿亿个)来作计算将是荒谬的。
任何问题，如果不是只有二、三个行星绕太阳运行，而是诸如象气体、木块、铁块中的分子或原子的运功，或在球状星团中许多恒星的运动之类这样的问题，我们就不能直接去解，因此只好借助于其他手段。
《弹道学》教案
《弹道学》考试知识点弹道学是兵器类专业的一门学科基础教育课程，通过掌握弹丸在膛内的运动规律、膛内压力的形成规律、弹丸在空气中运动规律、内外弹道诸元计算方法以及与弹道测试等有关的内弹道、外弹道的基本概念、基本理论和基本方法。
但不同的学科对弹道学的知识面要求重点有所不同，其中弹药工程、弹箭飞行与控制工程学科对外弹道的内容要求更多，其他如兵器发射理论与技术、火炮自动武器、机动武器系统工程、武器系统与信息工程等学科在内弹道理论知识面要求更多。
第0章概述（了解）掌握弹道发射过程的高温、高压、高速、瞬时特性，了解弹道学在武器设计中的地位和作用，了解整个弹道的过程及弹道学的发展历程。
1、结合火炮自动武器的射击过程、理解弹道全过程。
（掌握）2、理解内弹道学的研究对象、特点。
（理解）3、理解外弹道学的研究对象、特点。
（理解）4、了解内弹道学、外弹道学的发展及其实际应用。
（了解）第1章火药的燃烧规律（重点）理解火药的一般知识、熟练掌握定容密闭容器的火药气体状态方程、熟练掌握射击情况下的火药气体状态方程、熟练掌握火药的几何燃烧定律、掌握火药气体生成速率、熟练掌握形状函数、掌握燃烧速度定律；熟悉弹道学中火药燃烧建模的基本思路和简单公式推导，对其中的概念如爆温、火药力、药室容积缩径长、压力全冲量、装填密度等基本概念要熟记，并能结合工程实际的例题，进行火药燃烧的形状函数及其规律分析、火药力和余容的实验分析测定。
第一节：火药的基本知识（1）火药的分类（简单了解）（2）火药的能量特征量（掌握）（3）火药的形状参数（熟练掌握）第二节：火药气体定容状态方程（1）密闭爆发器基本结构（了解）（2）火药气体状态方程及Nobel-Alber（熟练掌握）（3）火药力和余容的测定方法（熟练掌握）第三节：变容情况下火药气体方程（1）假设条件（熟练掌握）（2）自由容积缩颈长及相关参数定义（熟练掌握）（3）变容情况下火药气体方程（熟练掌握）第四节：火药的几何燃烧定律及形状函数（1）几何燃烧定律及其应用条件（熟练掌握）（2）气体生成速率（熟练掌握）（3）简单形状火药形状函数的建立（熟练掌握）（4）简单形状火药形状函数的分析（熟练掌握）第五节：火药的燃烧速度定律（1）正比式、二项式和指数式火药燃烧速度分析比较。
第课汽车总体受力分析_图文
第八章 汽车拖拉机 总体动力学
第2课 汽车总体受力分析
本章内容安排
第1课 车辆行驶原理 第2课 汽车总体受力分析 第3课 拖拉机及其机组总体受力分析
*
2
第八章 汽车拖拉机 总体动力学
第2课 汽车总体受力分析
本节课的主要内容
一、汽车行驶方程式 二、车轮地面法向反作用力 三、作用在驱动轮上的地面切向反作用力 四、附着率
速度区间的加速时间；常将速度区间(常取5km/h为一间隙)分为若干间隔
，通过确定面积Δ 1、Δ 2、…，来计算（总）加速时间
加速换挡时刻的确定: 为了获得最短加速时间，应在
交点对应车速由Ⅰ挡换Ⅱ挡
若Ⅰ挡和Ⅱ加速度倒数曲线不 相交，则应在I挡加速行驶至发 动机转速达到最高转速时换入 Ⅱ挡。
*
加速度倒数曲线
2．高速行驶时的附着率 汽车在良好道路上高速行驶时，道路的坡度与汽车加速度均很小。 令
高速行驶时后轮驱动汽车的后驱动轮附着率为
忽略坡度阻力和加速阻力
*
28
第八章 汽车拖拉机 总体动力学
第2课 汽车总体受力分析 四、附着率
图中的法向反作用力与附着率是按三种空气升力系数求得的，即后升力系数为0.28、
当车速为300km/h、CLr=0.28时，Cφ2=0.99；
CLr =0.15时，Cφ2=0.74。
这说明在极高车速下，即使是良好路面也不能满足附着性能的要求。
*
29
附着力以高速、高加速度通过大坡度行驶时，动载荷的绝对值也 达到最大值。
*
15
第八章 汽车拖拉机 总体动力学
第2课 汽车总体受力分析
三、作用在驱动轮上的地面切向反作用力
八年级物理第七章第三节重力课件
03 重力对物体形状和结构影 响
弹性形变与塑性形变
01
弹性形变
物体在受到外力作用时，形状或体积发生改变，当外力撤去后，物体能
恢复原状的形变。例如：弹簧、橡皮筋等。
02
塑性形变
物体在受到外力作用时，形状或体积发生改变，当外力撤去后，物体不
能恢复原状的形变。例如：泥土、塑料等。
04 地球重力场特性及变化规 律
地球形状和大小对重力场影响
地球非完全球形
由于地球赤道略鼓、两极稍扁， 导致重力场在赤道附近相对较弱 ，两极附近相对较强。
地球大小
地球的质量和体积决定了其表面 重力加速度的大小，进而影响重 力场的分布。
地球内部物质分布对重力场影响
地球密度分布不均
地球内部物质密度的不均匀分布会导致重力场的不规则变化。
建筑物结构类型
02
根据抵抗重力的方式不同，建筑物结构可分为承重墙结构、框
架结构、剪力墙结构、筒体结构等。
重力对建筑物结构的影响
03
重力作用下，建筑物的结构会受到压缩和弯曲等力的作用，因
此需要选择合适的结构类型和材料来抵抗这些力。
地壳运动与板块构造学说
地壳运动
地壳是地球表面的硬壳，由岩石构成。地壳运动是指地壳内部或地壳与地幔之间的相互作 用所引起的地壳变形、变位和破裂等现象。
02
03
苹果落地
当苹果从树上落下时，由 于受到重力的作用，苹果 会加速向地面运动，直到 与地面接触。
走路时身体平衡
人在行走过程中需要不断 调整身体的平衡，这主要 是通过感受重力和地面反 作用力来实现的。
水往低处流
水在重力的作用下会沿着 斜坡或管道向下流动，直 到达到最低点。
第5章--两自由度系统的振动
5.3
5.3.l
如前所述，一般情况下两自由度系统的振动微分方程组的形式为
可见在质点m1和m2的运动方程式中，都含有坐标x1和x2。这表明，两个质点的运动不是互相独立的，它们彼此受另一个质点的运动的影响。
像这样表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中时，就称这些坐标之间存在静力耦联或弹性耦联。
如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C偏离其平衡位置的铅直位移z及平板的转角来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。
5.1
5.1.1
图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x1、x2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x1、x2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得
主振型为
系统的振型图如图5-4所示。图(a)表明在第一主振型中二物体的振动方向是相同的；图(b)表明在第二主振型中二者的振动方向是反相的，并且弹簧上的A点是不动的，这样的点称为节点。
例5-2在图示5-3所示系统中，已知 ，求该系统对以下两组初始条件的响应：（1）t＝0，x10＝1cm， ；（2） 。
，
系统的第一阶和第二阶主振型为
，
于是得到第一主振动
,
第二主振动
,
在任意初始条件下，系统振动的一般解
如果初始条件是：t= 0时， ， ，代入上式得到
，
因此得到双摆作自由振动的规律
,
如果弹簧的刚度k很小，即
＜＜
这时 相差很少，将上式写成
，
令 则上式为
,
这表明，两个摆的运动可以看作是频率为 的简谐运动，但其振幅不是常数，而是缓慢变化的简谐函数 和 ，这种现象称为拍振。
(完整版)整车计算及质心位置确定
第六章整车计算及质心位置确定第一节轴荷计算及质心位置确定1、本章所用质量参数说明（Kg ）T 底盘承载质量F 底盘整备质量（不含上车装置）NL 有效载荷VA1 底盘整备质量时的前轴荷HA1 底盘整备质量时的后轴荷VA2 允许前轴荷HA2 允许后轴荷HAG2 允许总的后轴荷（驱动轴+ 支撑轴）NLA2 允许后支撑轴轴荷VLA2 允许中支撑轴轴荷GG2 允许总质量（载货汽车底盘整备质量+上车装置质量+ 允许载荷）NL2 允许有效载荷VA3 实际有效载荷（AB+NL ）时的前轴荷HA3 实际有效载荷（AB+NL ）时的后轴荷）GG3 实际有效载荷（AB+NL ）时的总质量NL3 实际有效载荷（AB+NL ）HA4 底盘后轴荷（包括所有附加质量例如驾驶员、附加油箱，但不含AB 和NL ）GG4 底盘总质量（包括所有附加质量例如驾驶员、附加油箱，但不含AB 和NL ）NLV 由轴荷超载引起的有效载荷损失HA ü超过允许后轴荷VA ü超过允许前轴荷AB 上车装置质量EG 整车整备质量（载货汽车底盘+AB ）M 附加质量，例如：M1 驾驶员+ 副驾驶员M2 备胎（新、老位置移动时）M3 起重机（随车吊）、起重尾板等LVA 前轴荷占总质量的比例（% ）2、本章所用尺寸参数说明（mm ）A 、轴距A1 、轴距（第一后轴中心线至第二后轴中心线）A 理论理论轴距（只用于 3 轴或 4 轴）a1 与轴荷比例（驱动轴与支撑轴之比）有关的从理论轴线到驱动轴的距离W 前轴中心线至驾驶室后围的距离W2 前轴中心线至上车装置前缘的距离X 货厢或上车装置的长度y 均布载荷时最佳质心位置至前轴中心线的距离（AB+NL ）y＇假设的质心位置至前周中心线的位置y1 驾驶员+ 副驾驶员位置距前轴中心线位置y2 备胎（新、老位置移动的距离）y3 起重机（随车吊）、起重尾板等MHS 附加质量的质心高度GHSL 整车空载质心高度GHSV 整车满载质心高度FHS 底盘的质心高度ABHS 上车装置的质心高度NLHS 允许有效载荷的质心高度2、轴荷计算a）双后轴：a1=A1/2A 理论=A+a1b）后支撑轴：a1=NLA2 × A1/HAG2A 理论=A+a1 c）中支撑轴：a1=VLA2 × A1/HAG2A 理论=A+A1 －a1 示例（一般）对于上车装置比较简单的车辆，例如自卸车、栅栏车或厢式车（未装随车吊、起重栏板等），为实现轴荷的最佳分配，y 值和y＇值应相等，否则会减少有效载荷。
无线网络技术_第8章 无线传感器网络
❖ 工作频段灵活：使用频段为2.4GHz、868MHz（欧 洲）和915MHz（美国），均为免执照（免费）的 频段
8.4 无线传感器网络的应用
❖ 最初源于军事上的需求 ❖ 后逐渐被被用于农业，医学等领域
安全/监控
闲侦听，以便接收可能传输给自己的数据。过度的 空闲侦听或者没必要的空闲侦听同样会造成节点能 量的浪费。 (4)在控制节点之间的信道分配时，如果控制消息过多， 也会消耗较多的网络能量。
MAC协议分类标准
❖ 采用分布式控制还是集中控制 ❖ 使用单一共享信道还是多个信道 ❖ 采用固定分配信道方式还是随机访问信道方式
❖ 网络层(Network Layer)
网络层协议主要负责路由发现和维护
路由协议可以划分为平面路由协议和分级路由协 议
WSN 路由协议设计要遵从如下原则
❖ 能量利用率优先考虑 ❖ 数据为中心 ❖ 不影响传感器节点探测精度条件下的数据聚合 ❖ 理想的节点定位和目标追踪
❖ 传输层(Transport Layer)
❖链路层（Data Link Layer）
链路层协议用于建立可靠的点到点或点到多点通信链路, 主要由介质访问控制(Medium Access Control ,简称MAC) 组成,MAC协议的基本作用是避免点到点通讯时冲突的发 生。
传感器网络的MAC协议必须满足两项基本要求:首先是组 建网络底层基础设施,实现多跳并具备自组织特性的节点 无线通讯;其次是在节点通讯过程中实现平等高效的资源 共享
❖ 确定事件发生的位置或获取消息的节点位置是传感 器网络最基本的功能之一，对无线传感器网络应用 的有效性起着关键的作用。
质心,刚心,规范
质心,刚心,规范篇一：规范阅读报告读书报告摘要：在毕业之际，学院为了使四年来我们所学的专业知识更系统化，更专业，同时也为了能更好的了解公路桥梁结构的知识，更好的完成毕业设计。
学生自己需要阅读了大量的书籍和资料。
通过这一期间的学习，不管从结构的概念设计、结构设计、还是抗震设计都有了进一步的理解。
特别是对抗震的设计有了进一步的深刻的了解。
关键词：公路工程桥梁工程抗震全世界每年大约发生500万次地震，其中绝大多数地震都很小，只有用非常灵敏的仪器才能测量到，但还是有1%的地震是人们能够感觉得到的，而更少的地震会造成严重的破坏。
虽然能造成破坏的地震比较少，但给人类社会带来严重的灾难，造成人身伤亡和经济损失。
所以作为我们道路桥梁技术人员，就要研究如何防止和减少道路桥梁由于地震造成的破坏。
在国内外抗震设防的目标是要求建筑在使用期间，对不同频率和强度的地震，应具有不同的抵抗能力，即“小震不坏，中震可修，大震不倒”。
道路桥梁在使用期间对不同强度的地震应具有不同的抵抗能力。
当设计基准期为50年时，则50年内众值烈度的超越概率为63.2%，这就是第一水准的烈度。
50年内超越概率约10%的烈度大体上相当于现行地震区划图规定的基本烈度，将它定义为第二水准的烈度。
罕遇地震烈度是罕遇的地震，它所产生的烈度在50年内的超越概率为2%，可作为第三水准的烈度。
《抗震规范》提出了二阶段设计方法以实现上述3个烈度水准的抗震的设防要求。
第一阶段的设计是在放方案布置符合抗震设计原则的前提下，按与基本烈度相对应的众值烈度的地震动参数，用弹性反应谱法求得结构在弹性状态下的地震作用标准值和相应的地震作用效应，然后与其他荷载效应按一定的组合系数进行组合，并对结构构件截面进行承载力验算，以控制其侧向变形不要过大。
这样，既满足第一水准下必要的承载力可靠度，又可以满足第二水准的设防要求。
除了进行第一阶段的设计外，还要进行第二阶段的设计，即按与基本烈度相对应的罕遇烈度验算结构的弹塑性层间变形是否符合规范要求，如果有变形过大的薄弱层，则应修改设计或采取相应的构造措施，以使其能够满足第三水准的设防要求。
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作业:P 342 1(2) ， 3 ， 4
11
所构成的质点系，则这个质点系的重心（位置）坐标为
x
m x
i 1 n
i
n
i
m
i 1
i
离 散 质 点
y
m
i 1 n i 1
n
i
yi
i
m
下面推广这个概念,利用定积分计算弧的质心.
2
§8.5 质 心
假设 l 为平面上一段质量分布均匀(密度为常数 )的 光滑曲线. 这时这段曲线的重心由曲线形状完全确定.
r
r
2 s
2r
。
F y , F为将半圆弧绕x轴旋转而成旋转曲面 2 s 4 r 2 2r （球面）面积，即 y . 2 r
6
§8.5 质 心
例2： 已知一抛物线段y x 2 1 x 1 ,曲线段上
习题
任一点处的密度与该点到y轴的距离成正比，
将l分成n个小段l1，l2 ln，长度分别为 s1 sn . 则每一小段的质量为 si .在li内任取一点 (i ,i ),
并把这一段弧的质量看 作集中在这一点的质点 , 于是,
利用上述质点系质心坐 标公式知弧 l质心坐标 ( x, y)近似为:
x
s s
i 1 n i i
n
n
s
i 1
i 1 n
i
i
i
s
i 1
,
y
s s
i 1 n i i
n
n
i
s
i 1
i 1 n
i
i
i
s
i 1
,
i
3
§8.5 质 心
记 maxsi ，则越小时，上述公式近似 程度越高， 当 0时，有
解： （注：为已知且有 .)
xds x ds
l l
加
a cos a 2 sin 2 a 2 cos 2 d
a
sin
ad
表明形心在x轴上. 10
由对称性知 y 0.
§8.5 质 心 例4: 求由抛物线ax y2 , ay x2 a 0 所围图形的形心坐标。
l
t1
t0
2 2 y (t ) x (t ) y (t )dt
s
s
2
,
s
t1
t0
x(t )
2
y '(t ) dt .
为曲线段长度. 8
§8.5 质 心
若密度不是常数，而是 x 的连续函数 ( x) a x b ，则质心坐标为
x
x ( x ) ds ( x ) ds
极限过程:有限转化为无限
xds x ds
l l
连 续 曲 线 弧
yds y ds
l l
这里的积分为曲线积分,通过弧长微分将之转化为定积分.
ds 1 f ( x) dx
2
s 1 [ f ( x)]2 dx.
a
b
4
§8.5 质 心
讨论结果
若曲线段方程为 y f x a x b ，
§8.5 质 心
引 言
前面所讨论的都是定积分在几何中 的一些应用问题(求弧长.面积.体积等), 本节讨论定积分在物理中的一种应用--求重心位置(坐标)问题.(平面)
1
§8.5 质 心
定义：均匀物体的质心（重心）叫做形心。
(i 1,2, n) 在物理学中， 平面上有 n 个质点 xi , yi ， 每一个质点的质量为 mi
s 1 [ f ( x)]2 dx. 为曲线段的长度.
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§8.5 质 心
例 1： 求以 r 为半径的半圆弧的形心。
2 2 y r x 解： 设此半圆弧的方程 。
由对称性知 x 0 (表明重心在 y 轴上)。
y
r r
y 1 y ' dx
2
s
2 y 1 y '2 dx
解： 解方程组 得交点为 0， 0 和 a , a .故 2 ax y a x2 加 x ax dx 2 0 a 9 ay x x a 2 a 20 x ax dx 9 0 a 由对称性 y a.
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§8.5 质 心
若曲线段方程为参数方 程：x x（t），y y（t）（t0 t t1），
t0，t1 内连续，则质心坐标为 并且x（t），y（t）都在 ：
xds x
l t1 t0
x(t ) x2 (t ) y2 (t )dt s
s
,
yds y
l l
b
a
xdm m
y
y ( x )ds ( x )ds
l l
bba Nhomakorabeaydm m
其中 dm ( x )ds ， m 为线段 l 的总质量。
a
( x ) ds
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§8.5 质 心 例3: 求圆弧x a cos , y a sin 的形心坐标。
x 1处的密度为5，求此曲线段的质量。 解： 设密度函数为 x c x , c是常数。
将x 1, 1 5代入上式，得 c 5
故 x 5 x .
1
1
故所求的质量为
2
5 m x ds 5 x 1 2 x dx 5 5 ln 2 5 . 1 1 2
f ' x 在 a, b 连续，则此曲线段的质心坐标为
b b
xds x 1 y ' dx x ds 1 y ' dx
2 l a b 2 l a
b a
yds y 1 y ' dx y ds 1 y ' dx
2 l a b 2 l a