第8章第5节质心

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作业:P 342 1(2) ， 3 ， 4
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所构成的质点系，则这个质点系的重心（位置）坐标为
x
m x
i 1 n
i
n
i
m
i 1
i
离 散 质 点
y
m
i 1 n i 1
n
i
yi
i
m
下面推广这个概念,利用定积分计算弧的质心.
2
§8.5 质 心
假设 l 为平面上一段质量分布均匀(密度为常数 )的 光滑曲线. 这时这段曲线的重心由曲线形状完全确定.
r
r
2 s

2r
。
F y , F为将半圆弧绕x轴旋转而成旋转曲面 2 s 4 r 2 2r （球面）面积，即 y . 2 r
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§8.5 质 心
例2： 已知一抛物线段y x 2 1 x 1 ,曲线段上
习题
任一点处的密度与该点到y轴的距离成正比，
将l分成n个小段l1，l2 ln，长度分别为 s1 sn . 则每一小段的质量为 si .在li内任取一点 (i ,i ),
并把这一段弧的质量看 作集中在这一点的质点 , 于是,
利用上述质点系质心坐 标公式知弧 l质心坐标 ( x, y)近似为:
x
s s
i 1 n i i
n
n
s
i 1

i 1 n
i
i
i
s
i 1
,
y
s s
i 1 n i i
n
n
i
s
i 1

i 1 n
i
i
i
s
i 1
,
i
3
§8.5 质 心
记 maxsi ，则越小时，上述公式近似 程度越高， 当 0时，有
解： （注：为已知且有 .)
xds x ds
l l
加



a cos a 2 sin 2 a 2 cos 2 d
a
sin
ad



表明形心在x轴上. 10
由对称性知 y 0.
§8.5 质 心 例4: 求由抛物线ax y2 , ay x2 a 0 所围图形的形心坐标。
l
t1
t0
2 2 y (t ) x (t ) y (t )dt
s
s
2
,
s
t1
t0
x(t )
2
y '(t ) dt .
为曲线段长度. 8
§8.5 质 心
若密度不是常数，而是 x 的连续函数 ( x) a x b ，则质心坐标为
x
x ( x ) ds ( x ) ds
极限过程:有限转化为无限
xds x ds
l l
连 续 曲 线 弧
yds y ds
l l
这里的积分为曲线积分,通过弧长微分将之转化为定积分.
ds 1 f ( x) dx
2
s 1 [ f ( x)]2 dx.
a
b
4
§8.5 质 心
讨论结果
若曲线段方程为 y f x a x b ，
§8.5 质 心
引 言
前面所讨论的都是定积分在几何中 的一些应用问题(求弧长.面积.体积等), 本节讨论定积分在物理中的一种应用--求重心位置(坐标)问题.(平面)
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§8.5 质 心
定义：均匀物体的质心（重心）叫做形心。
(i 1,2, n) 在物理学中， 平面上有 n 个质点 xi , yi ， 每一个质点的质量为 mi
s 1 [ f ( x)]2 dx. 为曲线段的长度.
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§8.5 质 心
例 1： 求以 r 为半径的半圆弧的形心。
2 2 y r x 解： 设此半圆弧的方程 。
由对称性知 x 0 (表明重心在 y 轴上)。
y
r r
y 1 y ' dx
2
s

2 y 1 y '2 dx
解： 解方程组 得交点为 0， 0 和 a , a .故 2 ax y a x2 加 x ax dx 2 0 a 9 ay x x a 2 a 20 x ax dx 9 0 a 由对称性 y a.
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§8.5 质 心
若曲线段方程为参数方 程：x x（t），y y（t）（t0 t t1），
t0，t1 内连续，则质心坐标为 并且x（t），y（t）都在 ：
xds x
l t1 t0
x(t ) x2 (t ) y2 (t )dt s
s
,
yds y
l l


b
a
xdm m
y
y ( x )ds ( x )ds
l l

bba Nhomakorabeaydm m
其中 dm ( x )ds ， m 为线段 l 的总质量。
a
( x ) ds
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§8.5 质 心 例3: 求圆弧x a cos , y a sin 的形心坐标。
x 1处的密度为5，求此曲线段的质量。 解： 设密度函数为 x c x , c是常数。
将x 1, 1 5代入上式，得 c 5
故 x 5 x .
1
1
故所求的质量为
2
5 m x ds 5 x 1 2 x dx 5 5 ln 2 5 . 1 1 2
f ' x 在 a, b 连续，则此曲线段的质心坐标为
b b
xds x 1 y ' dx x ds 1 y ' dx
2 l a b 2 l a
b a
yds y 1 y ' dx y ds 1 y ' dx
2 l a b 2 l a