大学物理学：2安培环路定理

8.3 安培环路定理及其应用
一、安培环路定理（Ampere’s Law)
I1
静电场 E dl 0
I3
L
B dl 0 Ii
L
i
安培环路定理
L1
I2
在恒定磁场中，磁感应强度 B沿任一闭合环路的线积
分，等于穿过该环路的所有电流的代数和的 0倍。
磁场 B沿任意闭合路径的线积分不恒等于零，具有这种性
质的场称为涡旋场。
静电场 ---- 有源 无旋; 稳恒磁场----无源 有旋。
L B d r 0 ii IIii
正向穿过以L为边界的任意曲面的电 流的代数和。
Bdl L1
0 ( I2
I3)
Bdl L2
0 ( I1 I2 )
空间任意一点的磁感应强度 B 由 所有的电流贡献，而 B 的环流由 环路所围绕的电流贡献！
解：对称性分析——磁感应线是以电流为圆心 与电 流垂直平面上的同心圆。
I
r
B L
B
选环路 确定环路方向
Bdl
L
0 I
d l // B
B 2 r
B 0I 2r
r
0
例4 求：均匀密绕螺线环的磁场（已知中心半径R，总 匝数N，电流强度I）
rR
I
r R1 L
R2
解：对称性分析，磁感应线是一组同心圆
r1
2 r1 x d x
二、磁场的高斯定理
S
通过任一闭合曲面的总磁通量必为零
B dS 0
S
磁场的高斯定理
微分形式 B 0
静电场：有源场
磁场：无源场
E 0
说明：
1、磁场是无源场 ，磁感应线是闭合曲线，自然界不存在像 电荷那样的“磁荷”；
2、从闭合曲面穿进去多少磁感应线一定要从另一处穿出。
LB d l
0 NI （环腔内）
0 （其他）
Bl B 2 r 2 RB （忽略环的截面大小）
B
0 NI 2 R
0nI（环腔内）
0
（环腔外）
与环的横截面形状无关。
例5 无限长、圆柱导体(半径为R)均匀载流导线内外的磁场
解：1、对圆柱外，当P点远离圆柱时，圆柱可
近似看做是无限长的载流直导线，其过 P
L2
L2
L2
0 I 2
d
L2
d
L2
0 I 2r
0
B r
d
L 2
L2
L2
dl
I
3、证明L3路径
I
B dl 0 Ii内
L
i
垂直 dl B 水平
微元dl 总是可分解成垂直和水平两个分量，而B总是在 平只面有内在平(或面L平3内行的平水面平)，分所量以的最环后流垂，直这分和量上的面环一流样等求于得零。，
2、特性 • 无头无尾闭合曲线 • 与电流相套连 • 与电流成右手螺旋关系
I
B r I
B
I S
N
I
S
N
3、磁通量
S n B
S
m BS
SB
θ
ndS
m
B ds
S
n
B
m
BS
cos
BS
dm B dS
m
B dS
S
磁通量
单位：韦伯(Wb) (1Wb 1T m2 )
例1 两平行长直导线相距d = 40cm，每根导线 载有电流 I1= I2= 20A ，电流流向如图示。 求:（1）两导线所在平面内与两导线等距的 一点A处的磁感应强度。（2）通过图中斜线 所示面积的磁通量。(r1=r3=10cm, l =25cm)
8.2 磁场的高Βιβλιοθήκη Baidu定理(Gauss Law for Magnetic Field)
一、磁感应线和磁通量 (Magnetic field lines and magnetic flux)
1、规定：
I
• 方向：曲线上每一点的切线方向 表示该点磁感应强度的方向；
• 大小：该点附近磁力线的疏密 表示该点磁感应强度的大小。
解:(1) 两导线在中心点产生的B方向相同
I1 x r1
o
B 2 0I 20 I 方向向外 2 d 2 d
d
dx l I2 r2 r3
x
（2）通过所示微元面积的磁通量为：
d Bds ( 0 I 0 I )ldx 2x 2 (d x)
总的磁通量为： r1r2 d 0Il r1r2 ( 1 1 )dx 2 106 ln 3(Wb)
B
l
B
BI
2、每一条磁感应线上的B处处相等；
dS1
dS2
B
B dS 0
得：B1dS1 B2dS2 0
S
B1 B2
• 管外的磁场
由磁场的安培环路定理可 得管外的磁场：
B dl L
0I
0
B1 ab B2 cd 0 B1 B2
B l B
a
B1
I
b
d
c
B2
管外的磁场是匀强磁场,且可近似看做是零。
I1 I3
L1
L2
I2
二、安培环路定理的证明 以无限长直载流导线为例证明 I
B dl
L2
d r
L1
1、 证明L1路径
B dl 0 Ii内
L
i
B dl Bdl cos Brd
L1
L1
L1
L1
L02I 2 r
rd
0 I 2 L1
d
L1
0 I
2、 证明L2路径
B dl Bdl cos Bdl cos
• 管内的磁场
l
B
取过场点的的矩形环路abcda
I
LB dl B内 dl B dl B外 dl B dl
ab
bc
cd
da
B内ab 由安培环路定理
0
N l
abI
n N l
B 0nI
b B内a
c d
管内是均匀场
例3 求：无限长直线电流的磁场
点的磁感应线是以轴为中心的圆，取此圆
为安培环路，在此圆上B处处相等，则
B dl 0 Ii内
L
i
r
B 2 r 0I B 0I r R
2 r
I
R
rL
2、对圆柱内 同样取一半径为 r 的圆，则
B 2r
0
I
R2
r 2
0
Ir 2 R2
B
B
0 Ir 2R2
(r
R)
磁场分布
三. 安培环路定理在解场方面的应用
步骤： 1) 由电流的分布来分析磁场分布的对称性； 2) 选择合适的闭合路径 L ，使得沿路径的矢量积分可化为标
量积分(具体实施，类似于电场强度的高斯定理的解法)。
例2 求密绕长直螺线管内部的磁感强度(总匝数N，总长L，通以稳 恒电流I）
分析：1、螺线管内外的磁感应强度的方向；
说明
1、对于闭合的稳恒电流，只有与L相绞链的 电流，才算被L包围的电流；
B dl 0 Ii内
L
i
I2
I3 I4
I1
L
2、安培环路定理表达式右端中的电流和只是闭合路径所包围 的电流；但左端中的 B 却是空间所有电流产生的磁场，其中 也包括那些不被 L 所包围的电流产生的磁场，只不过是后者 的磁场对沿 L 的 B 的环流无贡献。