大学物理学：2安培环路定理
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《大学物理》安培环路定理
根据安培环路定理得
B 2r
0
r2 R2
I
B
0I 2R
B
0 2
I R2
r
r
O
R
（r＜R） 载流圆柱体的磁场分布曲线
ll.7 安培环路定理
例4 载流螺绕环的磁场分布。 所谓螺绕环，就是将细导线N匝密绕在内径为R1，
外径为R2的圆环上（如图所示）。接通稳恒电流I， 求环内外的磁场分布。
解 在圆环轴线所在平面内，
b B dl d B dl 0
d
c B dl 0
ll.7 安培环路定理
b
LB dl a B dl B l
穿过矩形环路的电流强度： Ii I n l
安培环路定理：
B dl L
o Ii
B l 0I nl
B 0nI
ll.7 安培环路定理
例2 计算无限长载流圆柱体的磁场。设圆柱体 导线的半径为R，轴向电流I均匀地通过导线横截面。
取半径为r的圆周L为环路，
方向如图。
(1)当 r>R2 (2) 当 r<R1 (3)当R1<r<R2
B=0 B=0
R2 R1 r
环路 L 磁感应线
ll.7 安培环路定理
B dl B dl B2r 0 NI
L
L
B 0 NI 2r
0
B
0 NI
2r
0
r R1 R1 r R2
r R2
i 1
ll.7 安培环路定理
2．环路L不围绕电流I
B dl B' dl ' B cosdl B' cos 'dl '
0I 2r
rd
大学物理安培环路定理
10-4 安培环路定理静电场的一个重要特征是电场强度E 沿任意闭合路径的积分等于零，即0d =⋅⎰l E l，那么，磁场中的磁感强度B 沿任意闭合路径的积分⎰⋅ld lB 等于多少呢？可以证明：在真空的稳恒磁场中，磁感强度B 沿任一闭合路径的积分（即B 的环流）的值，等于0μ乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和，即∑⎰==⋅ni lI10 d il B μ （10-8）安培环路定理与静电场环路定理的比较 讨论：安培环路定理的证明如图(a)所示，有一通有电流I 的长直载流导线垂直于屏幕平面，且电流流向垂直屏幕平面向内. 在屏幕平面上取两个闭合路径1C 和2C ，其中闭合路径1C 内包围的电流为I ，而在闭合路径2C 内没有电流. 从图（b ）可以看出，由于磁感强度B 的方向总是沿着环绕直导线的圆形回路的切线方向，所以对闭合路径1C 或2C 上任意一线元l d ，磁感强度B 与l d 的点积为ϕαd cos d d Br l B ==⋅l B式中r 为载流导线至线元l d 的距离. 由第10-2节二中例1的式（2），上式可写成ϕμϕμd π2d π2d 00Ir rI==⋅l B （1）对于图（a ）的闭合回路1C ，ϕ将由0增至π2. 于是，磁感强度B 沿闭合路径1C 的环流为这就是真空中磁场的环路定理，也称安培环路定理。
它是电流与磁场之间的基本规律之一。
在式（10-8）中，若电流流向与积分回路呈右螺旋关系，电流取正值；反之则取负值。
⎰⎰===⋅1000π2π2d π2d CIIIμμϕμl B （2）可见，真空中磁感强度B 沿闭合路径的环流等于闭合路径所包围的电流乘以0μ，而与闭合路径的形状无关.然而，对于图（a ）中的闭合路径2C ，将得到不同的结果，当我们从闭合路径2C 上某一点出发，绕行一周后，角ϕ的净增量为零，即⎰=0d ϕ于是，由式（1）可得⎰=⋅20d c l B （3）比较式（2）和式（3）可以看出，它们是有差别的. 这是由于闭合路径1C 包围了电流，而闭合路径2C 却未包围电流. 于是我们可以得到普遍的安培环路定理：沿任意闭合路径的磁感强度B 的环流为⎰∑=⋅20d c I μl B式中∑I 是该闭合路径所包围电流的代数和 人物简介：安培简介安培(Andre Marie Ampere,1775-1855)，法国物理学家，对数学和化学也有贡献，他在电磁理论的建立和发展方面建树颇丰。
大学物理10.4安培环路定理及其应用Xiao
实验设备与材料
01
02
磁场测量仪
用于测量磁场强度和方向。
导线
用于产生电流，形成磁场。
03
电源
为导线提供电流。
04
磁力计
用于测量磁力大小。
实验步骤与操作
步骤2
连接电源，使导线通电，产生 电流。
步骤4
使用磁力计测量导线受到的磁 力大小。
步骤1
将导线绕制成一定形状，如圆 形或矩形，并固定在实验台上。
步骤3
02
安培环路定理的数学表达式为： ∮B·dl = μ₀I，其中B表示磁场强度， dl表示微小线段，I表示穿过曲线的 电流，μ₀表示真空中的磁导率。
安培环路定理的推导过程
安培环路定理的推导基于电磁场的基 本理论，通过应用高斯定理和斯托克 斯定理，结合电流连续性和电荷守恒 定律，逐步推导出安培环路定理。
大学物理10.4安培环路定理及其 应用
目 录
• 安培环路定理的概述 • 安培环路定理的应用场景 • 安培环路定理在实践中的应用 • 安培环路定理的实验验证 • 安培环路定理的扩展与思考
01 安培环路定理的概述
安培环路定理的定义
01
安培环路定理是描述磁场与电流 之间关系的物理定理，它指出磁 场对电流的作用力与电流分布及 路径有关。
03
电磁场仿真
安培环路定理是电磁场仿真的基础之一，通过仿真软件实现安培环路定
理的算法，可以模拟电机的电磁场行为，预测电机的性能，并为实际电
机设计提供理论依据。
电磁场仿真软件的安培环路定理实现
有限元法（FEM）
有限元法是一种常用的电磁场仿真方法，通过将连续的电磁场离散化为有限个小的单元，并应用安培环路定理进行求 解。这种方法可以处理复杂的几何形状和边界条件，得到高精度的仿真结果。
大学物理教案安培环路定理
课时：2课时教学目标：1. 理解安培环路定理的基本概念和内容。
2. 掌握安培环路定理的应用方法和步骤。
3. 能够运用安培环路定理解决实际问题。
教学重点：1. 安培环路定理的内容。
2. 安培环路定理的应用。
教学难点：1. 安培环路定理的应用。
2. 确定闭合路径的形状。
教学过程：一、导入1. 回顾电磁学的基本知识，如库仑定律、高斯定律等。
2. 引入安培环路定理的概念，提出本节课的学习目标。
二、讲授新课1. 安培环路定理的内容（1）介绍安培环路定理的定义：在稳恒磁场中，磁场强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。
（2）解释安培环路定理的物理意义：反映了稳恒磁场的磁感应线和载流导线相互套连的性质。
2. 安培环路定理的应用（1）介绍安培环路定理的应用步骤：① 确定闭合路径：根据电流分布和磁场分布的特点，选择合适的闭合路径。
② 计算磁场强度：根据电流分布和闭合路径，利用毕奥-萨伐尔定律计算磁场强度。
③ 计算环路积分：将磁场强度沿闭合路径进行线积分。
④ 解出电流值：根据安培环路定理，将环路积分与电流值相等，解出电流值。
（2）举例说明安培环路定理的应用：① 计算无限长直导线的磁场：利用安培环路定理，选择一个合适的闭合路径，计算磁场强度，然后求出电流值。
② 计算无限长螺线管的磁场：利用安培环路定理，选择一个合适的闭合路径，计算磁场强度，然后求出电流值。
三、课堂练习1. 根据所学知识，选择一个合适的闭合路径，计算给定电流分布下的磁场强度。
2. 运用安培环路定理，求解一个实际问题，如计算一段载流导线周围的磁场分布。
四、总结与作业1. 总结本节课的学习内容，强调安培环路定理的应用方法和步骤。
2. 布置作业：完成课后习题，巩固所学知识。
教学反思：本节课通过讲解安培环路定理的基本概念和内容，使学生掌握了安培环路定理的应用方法和步骤。
在教学过程中，注重引导学生分析问题、解决问题，培养学生的实际操作能力。
大学物理 安培环路定理
为可积的。 B dl
l
3）选择积分路径的取向，根据取向确定穿过回路内
电流的正负。
14
二、安培环路定理的应用
当场源分布具有高度对称性时，利用安培环 路定理计算磁感应强度。 1. 无限长载流圆柱体 已知：I、R 电流沿轴向，在截面上均匀分布
I
R
分析对称性
电流分布 轴对称 磁场分布
15
l
0 I
R
l
设闭合回路 l为 圆形回路，l与I成 右手螺旋。
5
闭合回路形状任意时：
0 I B 2r B dl L B d l cos
L
I
L
r
0I rd L 2 r 0I
P
B r
I L
磁场的环流与环路中所包 围的电流有关 。
d r
B 的方向判断如下：
对称性分析结论：
磁场沿回路切线，各点大小相等
r
dB
dB
P
dI o dI
作积分环路并计算环流
如图
rR
0
I
B dl Bdl B 2 r
利用安培环路定理求 B
R
B dl
0 I
B
r
2 rB 0 I 0 I B 2 r
r
dl
B
L
B1
1
dl1
7
L
• 推广到一般情况 I1 ~ I k —— 在环路 L 中
In
I2 I1
I k 1 ~ I n —— 在环路 L 外
则磁场环流为：
Ii
P
Ik
L
I k 1
B dl
l
3）选择积分路径的取向，根据取向确定穿过回路内
电流的正负。
14
二、安培环路定理的应用
当场源分布具有高度对称性时，利用安培环 路定理计算磁感应强度。 1. 无限长载流圆柱体 已知：I、R 电流沿轴向，在截面上均匀分布
I
R
分析对称性
电流分布 轴对称 磁场分布
15
l
0 I
R
l
设闭合回路 l为 圆形回路，l与I成 右手螺旋。
5
闭合回路形状任意时：
0 I B 2r B dl L B d l cos
L
I
L
r
0I rd L 2 r 0I
P
B r
I L
磁场的环流与环路中所包 围的电流有关 。
d r
B 的方向判断如下：
对称性分析结论：
磁场沿回路切线，各点大小相等
r
dB
dB
P
dI o dI
作积分环路并计算环流
如图
rR
0
I
B dl Bdl B 2 r
利用安培环路定理求 B
R
B dl
0 I
B
r
2 rB 0 I 0 I B 2 r
r
dl
B
L
B1
1
dl1
7
L
• 推广到一般情况 I1 ~ I k —— 在环路 L 中
In
I2 I1
I k 1 ~ I n —— 在环路 L 外
则磁场环流为：
Ii
P
Ik
L
I k 1
B dl
大学物理 5.4 磁场的安培环路定理
r
l
B
例2 载流长直螺线管磁场分布
如图，均匀密绕无限长直
螺线管通有电流为I，单位
长度匝数为n）
I
解：对称性分析—— 管内垂轴
b
Ba
平面上任意一点与 B轴平行
cd b c d a
(3)磁场是有旋场 —— 电流是磁场涡旋的轴心
B dl —— 不代表磁场力的功，仅是磁场与电流的关系
L
(4)安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任 意设想的一段载流导线不成立
2. 安培环路定理的应用
在静电场中，当带电体具有一定对称性时 可以利用高斯定理很方便的计算其电场分布。 在恒定磁场中，如果电流分布具有某种对称性， 也可以利用安培环路定理计算电流磁场的分布。
由 于 这 时 I 内 =0 ， 所 以 有 B=0 (在螺线环外)
l2
l1
可见，螺线环的磁场集中在
环内，环外无磁场。
对载流长直密绕螺线管，若线圈中通有电流强度为I的电
流,沿管长方向单位长度上的匝数为n，则由安培环路定理容
易求得：管内： B onI
说明
(1)积分回路绕行方向与电流方向呈右螺旋
关系
满足右螺旋关系时 Ii 0 反之 Ii 0
I
1
I
I
3
2l
I I
l
l B dl o ( I1 I2 ) l B dl o ( 2I I) oI
(2)公式中的 B 是环路上的磁感应强度，使
空间所有电流共同激发的。
L
B
LB
dr
l
B
例2 载流长直螺线管磁场分布
如图，均匀密绕无限长直
螺线管通有电流为I，单位
长度匝数为n）
I
解：对称性分析—— 管内垂轴
b
Ba
平面上任意一点与 B轴平行
cd b c d a
(3)磁场是有旋场 —— 电流是磁场涡旋的轴心
B dl —— 不代表磁场力的功，仅是磁场与电流的关系
L
(4)安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任 意设想的一段载流导线不成立
2. 安培环路定理的应用
在静电场中，当带电体具有一定对称性时 可以利用高斯定理很方便的计算其电场分布。 在恒定磁场中，如果电流分布具有某种对称性， 也可以利用安培环路定理计算电流磁场的分布。
由 于 这 时 I 内 =0 ， 所 以 有 B=0 (在螺线环外)
l2
l1
可见，螺线环的磁场集中在
环内，环外无磁场。
对载流长直密绕螺线管，若线圈中通有电流强度为I的电
流,沿管长方向单位长度上的匝数为n，则由安培环路定理容
易求得：管内： B onI
说明
(1)积分回路绕行方向与电流方向呈右螺旋
关系
满足右螺旋关系时 Ii 0 反之 Ii 0
I
1
I
I
3
2l
I I
l
l B dl o ( I1 I2 ) l B dl o ( 2I I) oI
(2)公式中的 B 是环路上的磁感应强度，使
空间所有电流共同激发的。
L
B
LB
dr
安培环路定理
(1)管内:取L矩形回路 abcda
边在轴上，两边与轴平行,另
aP b
两个边垂直于轴。
LB dl Bab ab Bcd cd Bab ab
e
Q
f
0I 0nI ab
d
c
∞
B内 onI 其方向与电流满足右手螺旋.
(2)管外 :
取回路efbae同理可证，无限长直螺线管外任一点的磁场为
A(rQ )
0I 2
ln
r Q
r P
A(rP )
A(rQ
)
0I 2
ln
r Q
r
-I
r P
P
两式相加,得:
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
rP rQ
0I 2
ln
rP rP
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
r P
r P
若选Q点的矢势为零,则
A(rP )
0I 2
ln
r P
r P
例2.一无限长载流圆柱导体,半径为R, 电流I均匀分布
ldr
0I 2
l
ln
rQ r
A(rP ) A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
+I
Q
若选Q点的矢势为零,则
A(rp
)
0I 2
ln
rQ rP
r P
注意:若选Q点在无穷远处或导线
上,磁矢势将无意义.
讨论:两根平行的载流直导线,电流大 小相等方向相反,求磁矢势.
选Q点在两直线电流之间垂线的中点处.
A(rP )
B dS 0
有磁介质的安培环路定律(大学物理下)
(2)硬磁材料——作永久磁铁 钨钢，碳钢，铝镍钴合金
B
HC
HC H
矫顽力(Hc)大（>102A/m)，剩磁Br大 磁滞回线的面积大，损耗大。
还用于磁电式电表中的永磁铁。 耳机中的永久磁铁，永磁扬声器。
(3)矩磁材料——作存储元件
锰镁铁氧体，锂锰铁氧体
B
HC
H
HC
Br=BS ，Hc不大，磁滞回线是矩形。 用于记忆元件，当+脉冲产生H>HC使磁芯呈+B态， 则–脉冲产生H< – HC使磁芯呈– B态，可做为二进制 的两个态。
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。
所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。
”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力；
通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣；
通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
2r
O
B H 0r H
例2 一无限长载流圆柱体，通有电流I ，设电流 I
均匀分布在整个横截面上。柱体的相对磁导率μr， 柱外为真空。求：柱内外各区域的磁场强度和磁感
应强度。
I
解： r R
LH dl H 2r I
r2 R2 I
Ir
Ir
H 2R2 B 2R2
四、磁化强度
定义: 磁化强度
l
M
pm
V
A m1
Is
S
Is
Is
Is——沿轴线单位长度上的磁化电流（磁化面电流密度）
大学物理安培环路定理
I2
I3
l
B B1 B2 B3
Bdl
l
0(I2 I3)
推广：
➢ 安培环路定理
n
B dl 0 Ii
i 1
第七章 恒定磁场
4
安培环路定理
n
B dl 0 Ii
i 1
在真空的恒定磁场中，磁感强度
B
沿任
一闭合路径的积分的值，等于 0乘以该闭合
路径所穿过的各电流的代数和.
注意
电流 I 正负的规定： I 与 L 成右螺旋
7.6 安培环路定理
一 安培环路定理
B 0I
2π R
l
B
dl
0
2π
I dl R
B dl
l
0I
I
B
dl
oR
l
设闭合回路 l 为圆形回路, l 与
I 成右螺旋
第七章 恒定磁场
1
若回路绕向为逆时针
B
d
l
0
I
l
2π
2π
0 d 0I
对任意形状的回路
B dl
0I
rd
0I
d
2πr
2π
O•
R•'
O
d
第七章 恒定磁场
15
解:用“中和法”.电流可认为是由半径
为的 R 无限长圆柱电流 I1和一个同电流 密度的反方向的半径为 R'的无限长圆柱 电流 I2组成.
J
I1
(R2
R'2 )
I1 JR2 (设向里) I2 JR'2
它们在空腔内p点产生的磁感 应强度分别为：
y P
B1 0 Jr1 / 2
大学物理下-2安培环路定理-精选文档
• 管内的磁场
取过场点的的矩形环路abcda
l B
I
cd da
B d l B d l B d l B d l 内 外 B dl
L
ab bc
B内ab
由安培环路定理
N 0 abI l
N n l
B 0nI
i
安培环路定理
L1
I2
分，等于穿过该环路的所有电流的代数和的 0 倍。 质的场称为涡旋场。 静电场 ---- 有源 无旋; 稳恒磁场----无源 有旋。
在恒定磁场中，磁感应强度 B 沿任一闭合环路的线积
磁场 B 沿任意闭合路径的线积分不恒等于零，具有这种性
d r II B
L 0
i i
ii
I1
正向穿过以L为边界的任意曲面的电 流的代数和。
I3
L1
d l ( I I) B
L 1 0 2 3
L 2
B d l ( I I ) 0 1 2
L2
空间任意一点的磁感应强度 B 由 所有的电流贡献，而 B 的环流由 环路所围绕的电流贡献！
I2
二、安培环路定理的证明
1
d
r
I
L1
1
2、 证明L2路径
L 2
B d l Bdl cos Bdl cos
L 2 L 2
L2
I I 0 0 d d 0 2 2 r L L 2 2
L2
L2
3、证明L3路径
d l I 0 i 内 B
大学物理10.4 安培环路定理及其应用Xiao.ppt
例筒.形有导两体个，半在径它分们别之为间充R1以和相R对2 的磁“导无率限为长r”同的轴磁圆介
质，圆筒外为真空。当两圆筒通有相反方向的电流 I
时，试 求（1）磁介质中任意点 P
的磁感应强度的大小;（2）圆柱体
外面一点 Q 的磁感应强度.
解 对称性分析
R1 r R2
H dl I
(3)安培环路定理说明磁场性质—磁场是有旋场 (非保
守场)。
比较：静电场
LE dl 0
（无旋场，保守场）
(4) 安培环路定理提供了一种计算 B 的方法。
问
1）B 是否与回路 L
外电流有关？
是, 但回路外电流对环流 LB d l 的贡献为零。
2）若 B d l 0 ，是否回路 L 上各处 B 0？
定则时，电流 I 取正；反 之取负。
(2) 空间中任意一点的B 都是由环路内外所有电流激
发的，而 B dl 仅与穿过环路的电流有关。 L 环流由环路内电流决定
B dl 0 Ii L内
由环路内外电流产生 环路所包围的电流
南京理工大学应用物理系
10.4 安培环路定理及其应用
说明： (1)管内磁场是均匀的。
作安培环路MNOPM
M
N
P ++
B1
+B+2+
+
L
++
+
O ++
+
B
B dl L
MN B1 dl
B dl
NO
大学物理课件复习资料安培环路定理
判断下列图中结果
I1 I2 L 图1
I3
I I L 图2
I
r r 1） ∫ B⋅ dl = µo (I1 − I2 ) ） L r r 2） ∫ B⋅ dl = µo (− 2I + I ) = −µo I ） L r r 3） B⋅ dl = µo ( − 2I ) = −2µo I ） ∫
L
L 图3
l
I2 I3
r
r dl
如果环路内还有其它无限长直线电流 根据叠加原理， 根据叠加原理，可知
r r ∫ B ⋅ dl =μ0 ( I1 + I 2 − I3 )
l
3.回路不环绕电流 3.回路不环绕电流
r r ∫ B4 ⋅ dl
l
=
∫
l
µ0 I 4 cos θ 4 dl4 2π r4
I1
r
I4
=
∫
l
µ0 I 4 r4 dϕ 4 2π r4
3）环路定理适用于闭合稳恒电流的磁场。而有限电 ）环路定理适用于闭合稳恒电流的磁场。 适用于闭合稳恒电流的磁场 如一段不闭合的载流导线）不适用环路定理。 流（如一段不闭合的载流导线）不适用环路定理。 4）安培环路定理说明磁场性质 —— ） 磁场是非保守场，是涡旋场。 磁场是非保守场，是涡旋场。 5）闭合回路包围电流的判断： ）闭合回路包围电流的判断： 以闭合回路为边界任意做一曲面， 以闭合回路为边界任意做一曲面，电流穿过 曲面就算包围。 曲面就算包围。
L
r
v B
v dB
I
.
dI
v B
v B 的方向与 I 成右螺旋 µ 0 Ir B= 2 0 < r < R, 2π R µ0I r > R, B= 2π r
安培环路定理
r
l
(4)
dl
l
B dl B 2 π r
I
i
i
I
(5)
B 2 π r 0 I
0 I B 2πr
太原理工大学大学物理
例1 求无限长载流圆柱面的磁场 解：(1)对称性分析
将圆柱面分为无限多窄条，每 个窄条可看作电流dI的无限长直 导线 p点的磁场的大小与r有关， 方向与r垂直。 （2）选合适的环路：在垂直于 轴线的平面内，选择半径r的圆形 L1 环路L，环路正方向如图。 太原理工大学大学物理
2π R
B
o R
r
B—r曲线如图。 太原理工大学大学物理
3.载流长直密绕螺线管内的磁场 已知：螺线管载流I,单位长度匝数n 求：管内B大小 a b 解： (1)分析磁场 d ‘ b ‘ ++++++++++++ L c 长直螺线管内 B ∥轴线, d 螺线管外 B 0 。 （2）过场点作一矩形回路L，且L与I成右手螺旋关系。 （3）计算
同理：当
rR
时
I
r
L
R
I I 2 2 Ii 2 π r 2 r πR R i
0 r 2 B2πr 2 I R
0 Ir 2 π R2 B 0 I 2 π r
0 Ir B 2π R 2
故均匀载流长圆柱体的磁场
(r R) (r R)
0 I
0 NI B 2πr
(r R1 , r R2 ) 0 故载流密绕螺绕环磁场 B 0 NI ( R1 r R2 ) 2πr 讨论:
1）若R2- R1=d<<r，环内各点 B近似相等，则n=N/2πr
大学物理-2安培环路定理
取如图圆柱面，得：
S
B1S1 B2 S2 0
S1
S2
B1 B2
所以，每一条磁感应线上的B处处相等；
再由磁场的安培环路定理
，取如图矩形：
l1
B dl L
0I
0
B1 l1 B2 l2 0
l2
B1 B2
结论：磁感应线是均匀的，题目中的情况是不存在的， 即：在没有电流分布的空间区域里，若磁感应线为一 系列平行直线，则磁感应线是均匀的（B相等）。 注意：若磁感应线是曲线，本结论不适用。
I
场同向，所以其磁场和磁通量为：
B
0 Ir 2 R2
S
vv B dS
R 0
0 Ir 2 R2
1
dr
0 I 106 (韦伯） 4
B dS 0
S
微分形式 B 0
磁场的高斯定理
无源场
说明： 1、磁场是无源场 ，磁感应线是闭合曲线， 自然界目前还未发现象电荷那样的“磁荷”；
2、从闭合曲面穿进去多少磁感应线一定要 从另一处穿出。
8.3 安培环路定理及其应用
一、安培环路定理
I3
rr
Ñ B dl 0 Ii
L
i
I1
I2
安培环路定理
L dl
在恒定磁场中，磁感应强度B 沿任
电流分布
一闭合环路的线积分，等于穿过该环路
的所有电流的代数和的 0 倍。
磁场 B沿任意闭合路径的线积分不恒等
于零，具有这种性质的场称为涡旋场。
rr
Ñ B dl 0 Ii
L
i
LL r
drl L BL
IiL
在场中任取的一闭合线 任意规定一个绕行方向
大学物理 安培环路定理
2
例：如下图所示，边长为l的正三角形线圈中通有电流I， 则此线圈在A点（如图）产生的磁感强度为: （ B ）
0 I A、 4 3 l
0 I B、2 3 l
D、0
A I
0 I C、 2 l
2.圆弧形电流在圆心产生的磁场 已知: R、I，圆心角为θ，求在圆心O点的磁感 应强度.
解：任取电流元 Idl
19
L
B d l 0 I
7
如果闭合回路不包围载流导线
B dl B dl B dl
L L1 L2
Br d Br d
L1 L2
I
A
0 I 0 I
d d 2π
L1 L2
B
L
B d l B d l B d l 2 rB
L L
2 rB 0 I
0 I B (r R) 2 r
2）圆柱体内任一点Q
I B d l 2 rB 0 2 r 2 L R 0 Ir B (r R) 2 2 R
1
0 Idl r 毕奥—萨伐尔定律 dB 3 4π r 0 Idl r 磁感强度叠加原理： B dB r3 L 4π 载流直导线
PdB
a O
B=
2
0 I
4π a
cos 1 cos 2
若L a
1
r x
x
dx
0 I B= 2 a
c d a b 解： B d l B d l B d l B d l B d l L a b c d b b B d l =B dl Bab
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解:(1) 两导线在中心点产生的B方向相同
I1 x r1
o
B 2 0I 20 I 方向向外 2 d 2 d
d
dx l I2 r2 r3
x
（2）通过所示微元面积的磁通量为：
d Bds ( 0 I 0 I )ldx 2x 2 (d x)
总的磁通量为： r1r2 d 0Il r1r2 ( 1 1 )dx 2 106 ln 3(Wb)
L2
L2
L2
0 I 2
d
L2
d
L2
0 I 2r
0
B r
d
L 2
L2
L2
dl
I
3、证明L3路径
I
B dl 0 Ii内
L
i
垂直 dl B 水平
微元dl 总是可分解成垂直和水平两个分量，而B总是在 平只面有内在平(或面L平3内行的平水面平)，分所量以的最环后流垂，直这分和量上的面环一流样等求于得零。，
说明
1、对于闭合的稳恒电流，只有与L相绞链的 电流，才算被L包围的电流；
B dl 0 Ii内
L
i
I2
I3 I4
I1
L
2、安培环路定理表达式右端中的电流和只是闭合路径所包围 的电流；但左端中的 B 却是空间所有电流产生的磁场，其中 也包括那些不被 L 所包围的电流产生的磁场，只不过是后者 的磁场对沿 L 的 B 的环流无贡献。
LB d l
0 NI （环腔内）
0 （其他）
Bl B 2 r 2 RB （忽略环的截面大小）
B
0 NI 2 R
0nI（环腔内）
0
（环腔外）
与环的横截面形状无关。
例5 无限长、圆柱导体(半径为R)均匀载流导线内外的磁场
解：1、对圆柱外，当P点远离圆柱时，圆柱可
近似看做是无限长的载流直导线，其过 P
r1
2 r1 x d x
二、磁场的高斯定理
S
通过任一闭合曲面的总磁通量必为零
B dS 0
S
磁场的高斯定理
微分形式 B 0
静电场：有源场
磁场：无源场
E 0
说明：
1、磁场是无源场 ，磁感应线是闭合曲线，自然界不存在像 电荷那样的“磁荷”；
2、从闭合曲面穿进去多少磁感应线一定要从另一处穿出。
B
l
B
BI
2、每一条磁感应线上的B处处相等；
dS1
dS2
B
B dS 0
得：B1dS1 B2dS2 0
S
B1 B2
• 管外的磁场
由磁场的安培环路定理可 得管外的磁场：
B dl L
0I
0
B1 ab B2 cd 0 B1 B2
B l B
a
B1
I
b
d
c
B2
管外的磁场是匀强磁场,且可近似看做是零。
I1 I3
L1
L2
I2
二、安培环路定理的证明 以无限长直载流导线为例证明 I
B dl
L2
d r
L1
1、 证明L1路径
பைடு நூலகம்
B dl 0 Ii内
L
i
B dl Bdl cos Brd
L1
L1
L1
L1
L02I 2 r
rd
0 I 2 L1
d
L1
0 I
2、 证明L2路径
B dl Bdl cos Bdl cos
点的磁感应线是以轴为中心的圆，取此圆
为安培环路，在此圆上B处处相等，则
B dl 0 Ii内
L
i
r
B 2 r 0I B 0I r R
2 r
I
R
rL
2、对圆柱内 同样取一半径为 r 的圆，则
B 2r
0
I
R2
r 2
0
Ir 2 R2
B
B
0 Ir 2R2
(r
R)
磁场分布
• 管内的磁场
l
B
取过场点的的矩形环路abcda
I
LB dl B内 dl B dl B外 dl B dl
ab
bc
cd
da
B内ab 由安培环路定理
0
N l
abI
n N l
B 0nI
b B内a
c d
管内是均匀场
例3 求：无限长直线电流的磁场
8.2 磁场的高斯定理(Gauss Law for Magnetic Field)
一、磁感应线和磁通量 (Magnetic field lines and magnetic flux)
1、规定：
I
• 方向：曲线上每一点的切线方向 表示该点磁感应强度的方向；
• 大小：该点附近磁力线的疏密 表示该点磁感应强度的大小。
2、特性 • 无头无尾闭合曲线 • 与电流相套连 • 与电流成右手螺旋关系
I
B r I
B
I S
N
I
S
N
3、磁通量
S n B
S
m BS
SB
θ
ndS
m
B ds
S
n
B
m
BS
cos
BS
dm B dS
m
B dS
S
磁通量
单位：韦伯(Wb) (1Wb 1T m2 )
例1 两平行长直导线相距d = 40cm，每根导线 载有电流 I1= I2= 20A ，电流流向如图示。 求:（1）两导线所在平面内与两导线等距的 一点A处的磁感应强度。（2）通过图中斜线 所示面积的磁通量。(r1=r3=10cm, l =25cm)
三. 安培环路定理在解场方面的应用
步骤： 1) 由电流的分布来分析磁场分布的对称性； 2) 选择合适的闭合路径 L ，使得沿路径的矢量积分可化为标
量积分(具体实施，类似于电场强度的高斯定理的解法)。
例2 求密绕长直螺线管内部的磁感强度(总匝数N，总长L，通以稳 恒电流I）
分析：1、螺线管内外的磁感应强度的方向；
质的场称为涡旋场。
静电场 ---- 有源 无旋; 稳恒磁场----无源 有旋。
L B d r 0 ii IIii
正向穿过以L为边界的任意曲面的电 流的代数和。
Bdl L1
0 ( I2
I3)
Bdl L2
0 ( I1 I2 )
空间任意一点的磁感应强度 B 由 所有的电流贡献，而 B 的环流由 环路所围绕的电流贡献！
解：对称性分析——磁感应线是以电流为圆心 与电 流垂直平面上的同心圆。
I
r
B L
B
选环路 确定环路方向
Bdl
L
0 I
d l // B
B 2 r
B 0I 2r
r
0
例4 求：均匀密绕螺线环的磁场（已知中心半径R，总 匝数N，电流强度I）
rR
I
r R1 L
R2
解：对称性分析，磁感应线是一组同心圆
8.3 安培环路定理及其应用
一、安培环路定理（Ampere’s Law)
I1
静电场 E dl 0
I3
L
B dl 0 Ii
L
i
安培环路定理
L1
I2
在恒定磁场中，磁感应强度 B沿任一闭合环路的线积
分，等于穿过该环路的所有电流的代数和的 0倍。
磁场 B沿任意闭合路径的线积分不恒等于零，具有这种性
I1 x r1
o
B 2 0I 20 I 方向向外 2 d 2 d
d
dx l I2 r2 r3
x
（2）通过所示微元面积的磁通量为：
d Bds ( 0 I 0 I )ldx 2x 2 (d x)
总的磁通量为： r1r2 d 0Il r1r2 ( 1 1 )dx 2 106 ln 3(Wb)
L2
L2
L2
0 I 2
d
L2
d
L2
0 I 2r
0
B r
d
L 2
L2
L2
dl
I
3、证明L3路径
I
B dl 0 Ii内
L
i
垂直 dl B 水平
微元dl 总是可分解成垂直和水平两个分量，而B总是在 平只面有内在平(或面L平3内行的平水面平)，分所量以的最环后流垂，直这分和量上的面环一流样等求于得零。，
说明
1、对于闭合的稳恒电流，只有与L相绞链的 电流，才算被L包围的电流；
B dl 0 Ii内
L
i
I2
I3 I4
I1
L
2、安培环路定理表达式右端中的电流和只是闭合路径所包围 的电流；但左端中的 B 却是空间所有电流产生的磁场，其中 也包括那些不被 L 所包围的电流产生的磁场，只不过是后者 的磁场对沿 L 的 B 的环流无贡献。
LB d l
0 NI （环腔内）
0 （其他）
Bl B 2 r 2 RB （忽略环的截面大小）
B
0 NI 2 R
0nI（环腔内）
0
（环腔外）
与环的横截面形状无关。
例5 无限长、圆柱导体(半径为R)均匀载流导线内外的磁场
解：1、对圆柱外，当P点远离圆柱时，圆柱可
近似看做是无限长的载流直导线，其过 P
r1
2 r1 x d x
二、磁场的高斯定理
S
通过任一闭合曲面的总磁通量必为零
B dS 0
S
磁场的高斯定理
微分形式 B 0
静电场：有源场
磁场：无源场
E 0
说明：
1、磁场是无源场 ，磁感应线是闭合曲线，自然界不存在像 电荷那样的“磁荷”；
2、从闭合曲面穿进去多少磁感应线一定要从另一处穿出。
B
l
B
BI
2、每一条磁感应线上的B处处相等；
dS1
dS2
B
B dS 0
得：B1dS1 B2dS2 0
S
B1 B2
• 管外的磁场
由磁场的安培环路定理可 得管外的磁场：
B dl L
0I
0
B1 ab B2 cd 0 B1 B2
B l B
a
B1
I
b
d
c
B2
管外的磁场是匀强磁场,且可近似看做是零。
I1 I3
L1
L2
I2
二、安培环路定理的证明 以无限长直载流导线为例证明 I
B dl
L2
d r
L1
1、 证明L1路径
பைடு நூலகம்
B dl 0 Ii内
L
i
B dl Bdl cos Brd
L1
L1
L1
L1
L02I 2 r
rd
0 I 2 L1
d
L1
0 I
2、 证明L2路径
B dl Bdl cos Bdl cos
点的磁感应线是以轴为中心的圆，取此圆
为安培环路，在此圆上B处处相等，则
B dl 0 Ii内
L
i
r
B 2 r 0I B 0I r R
2 r
I
R
rL
2、对圆柱内 同样取一半径为 r 的圆，则
B 2r
0
I
R2
r 2
0
Ir 2 R2
B
B
0 Ir 2R2
(r
R)
磁场分布
• 管内的磁场
l
B
取过场点的的矩形环路abcda
I
LB dl B内 dl B dl B外 dl B dl
ab
bc
cd
da
B内ab 由安培环路定理
0
N l
abI
n N l
B 0nI
b B内a
c d
管内是均匀场
例3 求：无限长直线电流的磁场
8.2 磁场的高斯定理(Gauss Law for Magnetic Field)
一、磁感应线和磁通量 (Magnetic field lines and magnetic flux)
1、规定：
I
• 方向：曲线上每一点的切线方向 表示该点磁感应强度的方向；
• 大小：该点附近磁力线的疏密 表示该点磁感应强度的大小。
2、特性 • 无头无尾闭合曲线 • 与电流相套连 • 与电流成右手螺旋关系
I
B r I
B
I S
N
I
S
N
3、磁通量
S n B
S
m BS
SB
θ
ndS
m
B ds
S
n
B
m
BS
cos
BS
dm B dS
m
B dS
S
磁通量
单位：韦伯(Wb) (1Wb 1T m2 )
例1 两平行长直导线相距d = 40cm，每根导线 载有电流 I1= I2= 20A ，电流流向如图示。 求:（1）两导线所在平面内与两导线等距的 一点A处的磁感应强度。（2）通过图中斜线 所示面积的磁通量。(r1=r3=10cm, l =25cm)
三. 安培环路定理在解场方面的应用
步骤： 1) 由电流的分布来分析磁场分布的对称性； 2) 选择合适的闭合路径 L ，使得沿路径的矢量积分可化为标
量积分(具体实施，类似于电场强度的高斯定理的解法)。
例2 求密绕长直螺线管内部的磁感强度(总匝数N，总长L，通以稳 恒电流I）
分析：1、螺线管内外的磁感应强度的方向；
质的场称为涡旋场。
静电场 ---- 有源 无旋; 稳恒磁场----无源 有旋。
L B d r 0 ii IIii
正向穿过以L为边界的任意曲面的电 流的代数和。
Bdl L1
0 ( I2
I3)
Bdl L2
0 ( I1 I2 )
空间任意一点的磁感应强度 B 由 所有的电流贡献，而 B 的环流由 环路所围绕的电流贡献！
解：对称性分析——磁感应线是以电流为圆心 与电 流垂直平面上的同心圆。
I
r
B L
B
选环路 确定环路方向
Bdl
L
0 I
d l // B
B 2 r
B 0I 2r
r
0
例4 求：均匀密绕螺线环的磁场（已知中心半径R，总 匝数N，电流强度I）
rR
I
r R1 L
R2
解：对称性分析，磁感应线是一组同心圆
8.3 安培环路定理及其应用
一、安培环路定理（Ampere’s Law)
I1
静电场 E dl 0
I3
L
B dl 0 Ii
L
i
安培环路定理
L1
I2
在恒定磁场中，磁感应强度 B沿任一闭合环路的线积
分，等于穿过该环路的所有电流的代数和的 0倍。
磁场 B沿任意闭合路径的线积分不恒等于零，具有这种性