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数列中裂项求和的几种常见模型
数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识
的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求
和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式
法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加
法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现
频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。
模型一：数列 { a n } 是以 d 为公差的等差数列，且
d 0,a n 0(n 1,2,3, )，则
1
1
1 1
a n
a
n 1
(
)
d a n
a
n 1
例 1 已知二次函数
y
f ( x) 的图像经过坐标原点，其导函数为
f ' (x) 6x 2 ，数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，点 (n, S n )(n N ) 均在函数
y
f ( x) 的
图像上。
（Ⅰ）求数列 { a n } 的通项公式；
（Ⅱ）设 b n
1 ，T n 是数列 {b n } 的前 n 项和，求使得 T n
m
对所有
a n
a
n 1
20
n N 都 成
立
的 最
小
正
整
数
m ；
（2006 年湖北省数学高考理科试题）
解：（Ⅰ）设这二次函数 f(x)
＝ax 2+bx (a ≠0) , 则 f`(x)=2ax+b,
由于 f`(x)=6x
－2, 得
a=3 , b=
－2, 所以 f(x) ＝3x 2－ 2x.
又因为点 (n, S n )( n N
) 均在函数 y f ( x) 的图像上，所以 S n ＝3n 2－2n.
当 n ≥2 时， a ＝S －S ＝（
2
n
＝6n －5.
3n －2n ）－ （ n
1) 2
2( 1)
n n n －1
3
1
1
2
n
n N ）
当 n ＝1 时，a ＝ S ＝3×1－2＝6×1－ 5，所以，a ＝6n －5 （
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知 b n 3 ＝ 3
＝ 1
( 1 1 ) ，
a n
a
n 1
(6n 5) 6(n 1) 5 2 6n 5 6n
1
故 T n ＝ n
b i ＝
1
1 ) 1 1 ) 1 1
＝1
（1－
1 ）.
(1 ( ... ( )
i 1
2 7 7 13
6n 5 6n 1
2
6n 1
因此，要使 1
（1－
6 1 1 ）< m （ n N ）成立的 m,必 且 足 1
2
n 20
2
≤ m
，即 m ≥10，所以 足要求的最小正整数 m
20
10..
例 2 在 xoy 平面上有一系列点
P 1 ( x 1, y 1 ),
P 2 ( x 2 , y 2 ) ，⋯， P n ( x n , y n ) ，⋯，（n ∈N * ），点 P n 在
函数 y x 2 ( x 0) 的 象上，以点 n
n
P 心的 P 与 x 都相切，且 P 与 P +1 又彼此外切 . 若 x 1 1, 且 x n 1 x n .
n
n
（I ）求数列 { x n } 的通 公式；
（II ） P 的面 S n ,T n
S 1
S 2 L
S n , 求证 : T n
3 n
2
解：（ I ） P n 与 P n+1
彼此外切，令 r n P n 的半径，
| P n P n 1 | r n r n 1 ,即 ( x n
x n 1 ) 2 ( y n
y n 1 )2
y n
y n 1,
两 平方并化 得 ( x n x n 1 )2 4 y n y n 1,
由 意得， P n 的半径 r n
y n
x n 2 ,( x n x n 1 )
2
4 x n 2
x n 2
1 ,
x n x n 1 0,
x n
x n 1 2x n x n 1 ,即 1
1
2( n N ),
x n 1 x n
数列 { 1 }是以 1
1 首 ，以
2 公差的等差数列，
x n x 1
所以
1
1 (n 1)
2 2n 1,即 x n
1 1
x n
2n （II ） S n
r n 2
y n 2
x n 4
1) 4 ，
(2n
因为 T n
S 1
S 2
S n
[1 1 1
]
3
2 (2n
1) 2
(1
1
1
1
)
1.3
3.5
(2n 3)( 2n
1)
{1
1
[(1 1) (1
1) ( 1 1 )]}
2 3 3 5
2n 3 2n 1
[1
1
(1
1 )] 3 2(2n
1)
3 .
2
2n 1 2
2
所以， T n
3 .
2